第一篇：(人教版)初中數(shù)學因式分解教案

1,教學目標

【課前預習】:知識回顧

1、單項式乘單項式的法則是把之積作為積的系數(shù)，相同字母的作為積里這個字母的指數(shù)，只在一個單項式中含有的字母，則連同其指數(shù)作為積的一個。

2、單項式與多項式相乘，就是根據(jù)乘法律，用單項式乘多項式的，再把所得的。

3、多項式與多項式相乘，先用一個多項式的乘另一個多項式的再把所得的。

4、寫出完全平方公式

寫出平方差公式。

5、叫多項式的因式分解。

6、因式分解與整式乘法的關系怎樣？

7、填空: m(a+b+c)=(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)=(a+b)2=(a-b)2= 2，例題

例

1、已知a＋b=－3, ab=2, 求a2＋b2;(a－b)2 的值。

例

2、先化簡，后求值：2x2(x2-x+1)-x(2x3-10x2+2x), 其中x=0.25

例3.計算:(1)(a＋9)(a＋1)(2)(5－2x+y)(2x＋5-y)(3)(2x?3y)2(2x?3y)

2例4: 分解因式

(1)x4?1(2)49(a－b)2-6(a＋b)2(3)x4y4－8x2y2＋16 3，作業(yè)

一、耐心填一填（每小題２分，共18分）

1、計算：?5?10???3?10??________；（用科學記數(shù)法表示）42a?a?b??b?a?b?=_____________．

2、⑴·3ab2c?—24a3b5c； ⑵?—a—b?2?a22ab?b2

3、．多項式—3x2y3z?9x3y3z—6x4yz2的公因式是___________； 分解因式a3—4ab2=．

4、用一張包裝紙包一本長、寬、厚如圖所示的書（單位：cm），如果將封面和封底每一邊都包進去3cm．則需長方形的包裝

紙cm2．

5、若a—b=2，3a+2b=3，則3a(a—b)+2b(a—b)=．

二、精心選一選

6、下列四個等式從左至右的變形中，是因式分解的是：（）A．?a?1??a—1??a2—1； B.?x—y??m—n???y—x??n—m?； C.ab—a—b?1??a—1??b—1?； D.m23??—2m—3?m?m—2—?．

m??

7、計算?3a?b???3a?b?等于：

（）A．9a2?6ab?b2 B．—b2?6ab?9a2 C．b2?9a2 D．9a2?b2

12、下列多項式, 在有理數(shù)范圍內(nèi)不能用平方差公式分解的是：（）

A．—x2?y2 B．4a2—?a?b?2 C． a2—8b2 D． x2y2—1

13、通過計算幾何圖形的面積可表示一些代數(shù)恒等式，右圖可表示的

代數(shù)恒等式是：

（）A．?a—b?2?a2—2ab?b2 B．?a?b?2?a2?2ab?b2

C．2a?a?b??2a2?2ab D．?a?b??a—b??a2—b2

14、如果多項式x2?mx?16能分解為一個二項式的平方的形式，那么m的值為：（）

A．4 B．8 C．—8 D．±8

215、?x?mx?1??x?2?的積中x的二次項系數(shù)為零，則m的值是：

A．1

B．–1 C．–2

D．2

三、用心做一做 1．計算：

（1）?2x?3y?2??y?3x??3x?y?（2）(x＋y)(x2＋y2)(x－y)(x4?y4)

（３）．(a－2b＋3)(a＋2b－3)

（4）．[(x－y)2＋(x＋y)2](x2－y2)

222??11???、先化簡，再求值：??a—?—?a?????a?3?，其中2?2???????a= —2

3、分解因式：

（1）4x3y＋4x2y2＋xy3；

（3）x3－25x（4）4x4－4x3＋x2；（5）ab＋a＋b＋1

４、已知?a?b?2?7，?a—b?2?4，求a2?b2和ab的值．

5、閱讀解答題：

（2）（a＋b）2＋2（a＋b）＋1 有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉化成整式問題來解決，請先閱讀下面的解題過 程，再解答后面的問題．

例：（2004年河北省初中數(shù)學競賽題）若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，試比較x、y的大?。?解：設123456788=a，那么x=?a?1??a—2??a2—a—2，y=a?a—1??a2—a ∵x—y??a∴x＜y 看完后，你學到了這種方法嗎？再親自試一試吧，你準行！問題：計算 1.345?0.345?2.69—1.3452

—1.345?0.3452 2用這種方法不僅可比大小，也能解計算題喲！

—a—2—a2—a?—2＜0 ???

第二篇：初中數(shù)學因式分解練習題

1．（2014?黔南州）下列計算錯誤的是（）A．a(chǎn)?a2=a3 C．2m+3n=5mn

A．a(chǎn)2+4a-21=a（a+4）-21 C．（a-3）（a+7）=a2+4a-21 A．a(chǎn)2+1 A．-3

B．a(chǎn)2-6a+9 B．-1

B．a(chǎn)2b-ab2=ab（a-b）D．（x2）3=x6

B．a(chǎn)2+4a-21=（a-3）（a+7）D．a(chǎn)2+4a-21=（a+2）2-25 C．x2+5y C．1

D．x2-5y D．3

16．（2014?攀枝花）因式分解a2b-b的正確結果是（）A．b（a+1）（a-1）A．x（x2-9）A．a(chǎn)（x-6）（x+2）A．x2+y2

A．（x+y）2=x2+y2 C．x2y+xy2=（xy）3 A．（a2+1）2 A．（x+2）（x-2）A．（x-2）2 A．m2+n2=（m+n）2

D．（a-2）（a+1）

C．（a-b）2=a2-2ab+b2 A．（x2）3=x6 C．x2-2xy+y2=（x-y）2 A．x2+2x-1=（x-1）2 C．（x+1）2=x2+2x+1 A．x2-xy A．x（x2-4）A．y（x-y）2 A．a(chǎn)2（a-2）+a

D．y（x+y）（x-y）D．2（x+9）（x-9）

A．x2+2x-1=（x-1）2 C．x3-4x=x（x+2）（x-2）

B．x2+xy

B．x（x+4）（x-4）B．y（x+y）（x-y）B．a(chǎn)（a2-2a）B．（a2-1）2 B．（x+2）2 B．x2

B．a(chǎn)（b+1）（b-1）B．x（x-3）2 B．a(chǎn)（x-3）（x+4）B．x2-y

C．b（a2-1）C．x（x+3）2 C．a(chǎn)（x2-4x-12）C．x2+x+1 B．x2y2=（xy）4 D．x4÷x2=x2 C．a(chǎn)2（a2-2）C．（x-4）2 C．（x-1）2

D．（a+1）2（a-1）2 D．（x-2）2 D．x（x-2）D．b（a-1）2 D．x（x+3）（x-3）D．a(chǎn)（x+6）（x-2）D．x2-2x+1

17．（2014?廣東）把x3-9x分解因式，結果正確的是（）18．（2014?懷化）多項式ax2-4ax-12a因式分解正確的是（）19．（2014?玉林）下面的多項式在實數(shù)范圍內(nèi)能因式分解的是（）21．（2014?官渡區(qū)一模）下列運算正確的是（）

2．（2014?海南）下列式子從左到右變形是因式分解的是（）

3．（2014?安徽）下列四個多項式中，能因式分解的是（）

4．（2014?臺灣）若x2-4x+3與x2+2x-3的公因式為x-c，則c之值為何？（）

5．（2014?臺灣）（3x+2）（-x6+3x5）+（3x+2）（-2x6+x5）+（x+1）（3x6-4x5）與下列哪一個式子相同？（）A．（3x-4x）（2x+1）C．-（3x6-4x5）（2x+1）A．x2-1 A．-1 A．a(chǎn)（a-1）

22．（2014?下城區(qū)一模）分解因式a4-2a2+1的結果是（）

23．（2014?衡陽二模）把代數(shù)式x2-4x+4分解因式，下列結果中正確的是（）24．（2014?濱湖區(qū)二模）分解因式（x-1）2-1的結果是（）25．（2014?上城區(qū)二模）下列因式分解正確的是（）

B．m2-4n2=（m-2n）（m+2n）D．a(chǎn)2-3a+1=a（a-3）+1 B．x2?x3=x5 D．3x-2x=1

B．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）D．x2-4x=x（x+2）（x-2）C．x2+y2

C．x（x+2）（x-2）C．y（x+y）2 C．a(chǎn)（a-1）2

D．x2-y2

D．（x+2）（x-2）D．y（x2-2xy+y2）D．a(chǎn)（a+1）（a-1）

B．（3x-4x）（2x+3）D．-（3x6-4x5）（2x+3）C．x2-2x+1 C．1

C．（a-2）（a-1）B．（x-4）x=x-4x D．m2-2mn+n2=（m+n）2

6．（2014?威海）將下列多項式分解因式，結果中不含因式x-1的是（）

B．x（x-2）+（2-x）B．0 B．a(chǎn)（a-2）

D．x2+2x+1 D．2

7．（2014?漳州）若代數(shù)式x2+ax可以分解因式，則常數(shù)a不可以?。ǎ?．（2014?仙桃）將（a-1）2-1分解因式，結果正確的是（）9．（2014?常德）下面分解因式正確的是（）A．x+2x+1=x（x+2）+1 C．a(chǎn)x+bx=（a+b）x

10．（2014?河北）計算：852-152=（）A．70

A．x2-y2=（x-y）2 C．xy-x=x（y-1）

B．700

C．4900

B．a(chǎn)2+a+1=（a+1）2 D．2x+y=2（x+y）

D．7000

11．（2014?岳陽）下列因式分解正確的是（）

26．（2014?郯城縣模擬）下列運算錯誤的是（）

27．（2014?路北區(qū)二模）下列各因式分解正確的是（）

29．（2014?長清區(qū)一模）下列多項式中，能運用公式法因式分解的是（）30．（2014?天橋區(qū)二模）把多項式x3-4x分解因式所得的結果是（）

31．（2014?朝陽區(qū)一模）把多項式x2y-2xy2+y3分解因式，正確的結果是（）32．（2014?邢臺一模）分解因式：a3-2a2+a=（）33．（2014?南充模擬）下列各因式分解正確的是（）

12．（2014?衡陽）下列因式分解中，正確的個數(shù)為（）

①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③-x2+y2=（x+y）（x-y）A．3個

B．2個

C．1個

B．x2+2x-1=（x-1）2 D．x-x+2=x（x-1）+2

B．y（x-y）B．2（x-3）2

D．0個

13．（2014?畢節(jié)地區(qū)）下列因式分解正確的是（）A．2x2-2=2（x+1）（x-1）C．x+1=（x+1）A．y（x+y）A．2（x2-9）

14．（2014?泉州）分解因式x2y-y3結果正確的是（）

C．y（x-y）C．2（x+3）（x-3）

B．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）D．（x+1）2=x2+2x+1

15．（2014?義烏市）把代數(shù)式2x2-18分解因式，結果正確的是（）

第三篇：初中數(shù)學因式分解(練習題)

初中因式分解的常用方法

例

1、分解因式：am?an?bm?bn

例

2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

練習：分解因式

1、a2?ab?ac?bc2、xy?x?y?1例

3、分解因式：x2?y2?ax?ay

例

4、分解因式：a2?2ab?b2?c2

練習：分解因式

3、x2?x?9y2?3y4、x2?y2?z2?2yz綜合練習：（1）x3?x2y?xy2?y3（2）ax2?bx2?bx?ax?a?b

（3）x2?6xy?9y2?16a2?8a?1（4）a2?6ab?12b?9b2?4a

（5）a4?2a3?a2?9（6）4a2x?4a2y?b2x?b2y

（7）x2?2xy?xz?yz?y2（8）a2?2a?b2?2b?2ab?1

（9）y(y?2)?(m?1)(m?1)（10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)

（11）a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc（12）a3?b3?c3?3abc例

5、分解因式：x2?5x?6

例

6、分解因式：x2?7x?6

練習

5、分解因式(1)x2?14x?24(2)a2?15a?36(3)x2?4x?5練習

6、分解因式(1)x2?x?2(2)y2?2y?15(3)x2?10x?24

例

7、分解因式：3x2?11x?10

練習

7、分解因式：（1）5x2?7x?6（2）3x2?7x?2

（3）10x2?17x?3（4）?6y2?11y?10

例

8、分解因式：a2?8ab?128b2

練習

8、分解因式(1)x2?3xy?2y2(2)m2?6mn?8n2(3)a2?ab?6b2

例9、2x2?7xy?6y2例

10、x2y2?3xy?2

練習

9、分解因式：（1）15x2?7xy?4y2（2）a2x2?6ax?8綜合練習

10、（1）8x6?7x3?1（2）12x2?11xy?15y2

（3）(x?y)2?3(x?y)?10（4）(a?b)2?4a?4b?3

（5）x2y2?5x2y?6x2（6）m2?4mn?4n2?3m?6n?2

（7）x2?4xy?4y2?2x?4y?3（8）5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2

（9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10（10）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc

例

11、分解因式：x2?3xy?10y2?x?9y?2

練習

11、分解因式(1)x2?y2?4x?6y?5(2)x2?xy?2y2?x?7y?6

(3)x2?xy?6y2?x?13y?6(4)a2?ab?6b2?5a?35b?36例

12、分解因式（1）x2?3xy?10y2?x?9y?2

（2）x2?xy?6y2?x?13y?6

練習

12、分解因式（1）x2?xy?2y2?x?7y?6（2）6x2?7xy?3y2?xz?7yz?2z2

第四篇：【初中數(shù)學】復習資料--因式分解常用技巧總結

因式分解常用技巧總結

基本的四種技巧：

一．提取公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c)；

例：6xy2?9x2y?y3?

二．公式法：a2?b2?(a?b)(a?b),a2?2ab?b2?(a?b)2

推廣：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)；

an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b???abn?2?bn?1)

an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b???abn?2?bn?1)

（n為奇數(shù)）

例：8x?3127y3?

變式1：x8?x6?x4?x2?1?

答案：(x4?x3?x2?x?1)(x4?x3?x2?x?1)

三．十字相乘法：x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

推廣：a1a2x?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)，（a1a2≠０）

xy?ax?by?ab?(x?b)(y?a)

22例：6m?7mn?20n?

變式1：x?xy?6y?x?13y?6?

四．分組分解法：分組以后能提公因式或利用公式分解，從而把原多項式因式分解

例：9a?6a?2b?b?

25?4x?8xy?4y22222222?

推廣：（1）拆項法：把多項式里的某一項拆成兩項或多項，使其能進行分組分解

例：x4?7x2?1? 答案：(x2?3x?1)(x2?3x?1)（2）添項法：在多項式中適當?shù)靥砩弦恍╉棧蛊淠苻D化為可進行分組分解 例：3x6?x12?1? 答案：(x3?x6?1)(x3?x6?1)變式1：x3?9x?8? 變式2：x4?4?

其他重要的因式分解技巧：

1．換元法：換元法是在分解因式時，通過將原式的代數(shù)式用字母代替后，達到簡化原式結構的目的

例1：(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2?

提示：令 m?x2?6，原式=(x2?6x?6)2 例2：xy(xy?1)?(xy?3)?2(x?y?答案：(x?1)(y?1)(x?1)(y?1)

變式1：(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?24? 變式2：(x?4x?1)(x?3x?1)?10x?

2．主元法：主元法就是將多元（多個字母）中某個元作為主要字母，視其他元為常數(shù)，重新按主元排列多項式，排除非主元字母的干擾，從而簡化問題。例： 2x?xz?4xy?2xyz?2xy32224242412)?(x?y?1)

2?yz?

2提示：按y為主元重新排列，答案：(2x?z)(x?y)

變式1：x?2xy?xy?2x?y?2xy?2y?1?

變式2：20y3+6ax2-8axy-15xy2

（以a為主元）

變式3：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?（以a為主元）33344422222

3．待定系數(shù)法：待定系數(shù)法是數(shù)學常用方法，用途十分廣泛。在因式分解中，就是首先設出幾個含有待定系數(shù)的因式，然后根據(jù)多項式恒等和方程（組）來確定待定系數(shù)，從而分解因式。例：若x3?ax2?bx?8有兩個因式x+1和x+2, 求（a+b）的值

4．配方法：配方法是把一個式子的一部分配成完全平方式或幾個完全平方式的和（差）的形式，在此基礎上分解因式

例：x4?x2?2ax?1?a2?（提示：x2?2x2?x2）

變式：4x2?4x?y2?4y?3?

5．綜合法：在分解因式的過程中，往往要將幾個分解因式的方法結合起來才能解決一個因式分解的問題，對上述方法要靈活的運用。

例：(x?2)3?(y?2)3?(x?y)3?

提示：令m=x-2,n=y-2，m-n=x-y，在換元的基礎上，通過分組、公式、提公因式等多種方法來完成分解因式，答案：3(x-2)(y-2)(x-y)

【鞏固練習】

一、選擇題

1．將x(x-y)-y(y-x)因式分解的結果是（）

(A)(x-y)2(x2+y2)

(B)(x-y)2(x2-y2)(C)(x-y)2(x-y)(x+y)(D)(x-y)3(x+y)2．下列多項式中能運用公式法因式分解的是（）(A)–a3-b

3(B)a2-ab+b(C)a2+b2

(D)–a-b 3．用分組分解法把多項式ab-c+b-ac分解因式，分組的方法有（）(A)4種

（B）3種

（C）2種（D）1種

4．用分組分解法分解多項式a2-b2-c2+2bc時，分組正確的是()

(A)(a-c)+(2bc-b)

(B)(a-b-c)+2bc

(C)(a-b)-(c-2bc)

(D)a+(2bc-b-c）5．已知多項式2x3-x2-13x+m有一個因式是2x+1，則m的值是()

（A）0

（B）6

（C）-1

（D）-6 6．下列多項式按下面的分組不能分解的是（）

（A）(2ax-10ay)+(5by-bx)

(B)(5by-10ay)+(2ax-bx)(C)(x2-y2)+(ax+ay)

(D)(x2+ax)-(y2-ay)

二、填空題 22

222

2222

27．利用公式填空（1）14m2?2mn?()=()

4422

366(2)多項式x-y, x+2xy+y, xy+xy, x+y的公因式是————（3）9x2+（）+16y2=（）2

(4)將-m+mn因式分解的結果是___________(5)分解因式8x3-12x2y+6xy2-y3適當分組的方法是_________ 8．在下列多項式a-4b-a+2b, ab-4ab+4-c, 4a-9b+24bc-16c, a-4b+4b-1, 2216a-16b+8a+1中用分組分解法時，能夠分成三項一組和一項一組的多項式有_____個。

三、解答題

9．把xy-xy分解因式

10．把16(x+y)-24(x+y)+9分解因式 11．把(x+y)-4xy分解因式 12．x6n+2+2x3n+2+x2

13．9(a+1)2(a-1)2-6(a2-1)(b2-1)+(b+1)2(b-1)2 14．14?2a 342

***222215．把16x2-8x-y2+2y分解因式 16．把x3+2x2-4x-8因式分解

17．把下列各式分解因式

（1）x2-y2-z2-2yz

(2)a3+a2+b3+b2+2ab

(3)16-x2n-100y2+20xny(4)ab(c-d)-cd(a-b)(5)x-x-x-y+y+y

(6)4x+1 18．使多項式2x3-x2-2x+1的值等于0的x值為_______ 19．已知x+y=1,求x3+3xy+y3的值

【參考答案】

一、1．D；2．A； 3．C； 4．D； 5．D；6．D

二、7．（1）2n、222

412m?2n

（2）(x+y)

(3)(3x+4y)

2222

(4)–m(m+n)(m-n)

(5)(8x-y)-(12xy-6xy)

8．3

三、解答題

9．xy(x+y)(x-y)

10．(4x+4y-3)2

11．(x-y)2(x+y)2

12．x2(xn+1)2(x2n-xn+1)2 13．(3a2-b2-2)2

14．(1?2a)(1?2a?4a)

15．(4x-y)(4x+y-2)16．(x+2)2(x-2)

21417．(1)(x+y+z)(x-y-z);

(2)(a+b)(a2-ab+b2+a+b)

(3)(4+xn-10y)(4-xn+10y)

(4)(ac+bd)(bc-ad)

(5)(x-y)(x+xy+y-x-y-1)

(6)(2x+2x+1)(2x-2x+1)18．12, 1,-1 提示：將2x-x-2x+1因式分解

219． 1

提示：將x3+y2因式分解，再將已知條件中代入

第五篇：初中數(shù)學因式分解(含答案)競賽題精選1

初中數(shù)學因式分解(一)

因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式，是解決數(shù)學問題的有力工具．是掌握因式分解對于培養(yǎng)學生解題技能，思維能力，有獨特作用．

1．運用公式法

整式乘法公式，反向使用，即為因式分解

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

幾個常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n為正整數(shù)；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n為偶數(shù)；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n為奇數(shù)．

分解因式，根據(jù)多項式字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇公式．

例1 分解因式：

(1)-2x

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；(4)a-ab+ab-b．

2752

575n-1nnnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-133322

2222

23322332222222y+4x3n-1n+2y-2xy；(2)x-8y-z-6xyz； n-1n+4333

333例2 分解因式：a+b+c-3abc．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

1514132

2．拆項、添項法

因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；(4)ab-ab+a+b+1．

422

322963223

3．換元法

換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

例7 分解因式：(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

例8 分解因式：(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

22222

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2

+y2)．

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

練習一

2．分解因式：

(1)x+3x-4；

(2)x-11xy+y；

(3)x+9x+26x+24；

(4)x-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1；(2)x+7x+14x+7x+1；

(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20． 3

2222

232432422

2初中數(shù)學因式分解(一)答案

多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹．

1．運用公式法

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再補充幾個常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n為正整數(shù)；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n為偶數(shù)；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n為奇數(shù)．

運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇公式．

例1 分解因式：

(1)-2xy+4x3335n-1n3n-1nnn-1n-

2n-

32n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1333

2222

23322332222222y-2xy； n+2n-1n+

4(2)x-8y-z-6xyz；

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；

(4)a-ab+ab-b．

解(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)

=-2xy[(xn)-2xny+(y)]

=-2xy(xn-y)

=-2xy(x-y)(x+y)．

(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c

＝(a-b)+2c(a-b)+c

=(a-b+c)．

本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)22222

222

2333n-1nn

n

2n-1n2

22n-1n2

22n-1n4

4752257222

=(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b)

=a(a-b)+b(a-b)

=(a-b)(a+b)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)

=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)

例2 分解因式：a+b+c-3abc．

本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．

分析我們已經(jīng)知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為

a+b=(a+b)-3ab(a+b)．

這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導．

333

324

4225552252

27522

572

解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc

=［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．

說明公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為

a+b+c-3abc 33322

顯然，當a+b+c=0時，則a+b+c=3abc；當a+b+c＞0時，則a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立．

如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，則有 33

等號成立的充要條件是x=y=z．這也是一個常用的結論．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

分析這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應用公式a-b來分解．

解因為

x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)，所以 16151413

2nn

151514

說明在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．

2．拆項、添項法

因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

分析本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．

解法1 將常數(shù)項8拆成-1+9．

原式=x-9x-1+9

=(x-1)-9x+9

=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法2 將一次項-9x拆成-x-8x．

原式=x-x-8x+8

=(x-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法3 將三次項x拆成9x-8x．

原式=9x-8x-9x+8

=(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法4 添加兩項-x+x．

原式=x-9x+8

=x-x+x-9x+8

=x(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種． 22322322

223333

33323322333

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；

(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；

(4)ab-ab+a+b+1．

解(1)將-3拆成-1-1-1．

原式=x+x+x-1-1-1

=(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)

=(x-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)．

(2)將4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn

=mn-m-n+1+2mn+2mn

=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)將(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)．

原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)

=［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)

=［(x+1)+(x-1)]-(x-1)

=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)．

(4)添加兩項+ab-ab．

原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1)

=[a(a-b)+1](ab+b+1)

=(a-ab+1)(b+ab+1)．

說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結合，找到公因式．這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經(jīng)驗．

3．換元法 222

2332

233222222

2222

242

2422

4222

222222

222222226

33363

39639633322422

422963

換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

分析將原式展開，是關于x的四次多項式，分解因式較困難．我們不妨將x+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉化為關于y的二次三項式的因式分解問題了．

解設x+x=y，則

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)

=(x-1)(x+2)(x+x+5)．

說明本題也可將x+x+1看作一個整體，比如今x+x+1=u，一樣可以得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試．

例7 分解因式：

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

分析先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合．

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90．

令y=2x+5x+2，則

原式=y(y+1)-90=y+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7)

=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．

說明對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎．

例8 分解因式：

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

解設x+4x+8=y，則

原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)

=(x+6x+8)(x+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x+5x+8)．

說明由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式．

例9分解因式：6x+7x-36x-7x+6．

解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x

=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x 42

243

2222222

2222222

222

222

=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x

=6(x-1)+7x(x-1)-24x

=[2(x-1)-3x］［3(x-1)+8x]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

說明本解法實際上是將x-1看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體．

解法2

222

22222

原式=x[6(t+2)+7t-36]

=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)

=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 22222222

例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．

分析本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．

解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，則

原式=(u-v)-4v(u-2v)

=u-6uv+9v

=(u-3v)

=(x+2xy+y-3xy)

=(x-xy+y)．

***2

22222