第一篇：極限的四則運算教案

2.4 極限的四則運算

（一）古浪五中---姚祺鵬 【教學目標】

（一）知識與技能

1．掌握函數(shù)極限四則運算法則；

2．會用極限四則運算法則求較復雜函數(shù)的極限；

3．提高問題的轉(zhuǎn)化能力，體會事物之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的關系；

（二）過程與方法

1.掌握極限的四則運算法則，并能使用它求一些復雜數(shù)列的極限.2.從函數(shù)極限聯(lián)想到數(shù)列極限，從“一般”到“特殊”.（三）情態(tài)與價值觀

1.培養(yǎng)學習進行類比的數(shù)學思想

2.培養(yǎng)學習總結(jié)、歸納的能力，學會從“一般”到“特殊”，從“特殊”到“一般”轉(zhuǎn)化的思想.同時培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，加強學生的的實踐能力。(四)高考闡釋：

高考對極限的考察以選擇題和填空題為主，考察基本運算，此類題目的特點在于需要進行巧妙的恒等變形，立足課本基礎知識和基本方法 【教學重點與難點】

重點：掌握函數(shù)極限的四則運算法則； 難點：難點是運算法則的應用（會分析已知函數(shù)由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的運算結(jié)合而成的）． 【教學過程】

1．提問復習，引入新課 對簡單函數(shù)，我們可以根據(jù)它的圖象或通過分析函數(shù)值的變化趨勢直接寫出它們的極限．如． 讓學生求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）對于復雜一點的函數(shù)，如何求極限呢？例如計算即，顯然通過畫圖或分析函數(shù)值的變化趨勢找出它的極限值是不方便的．因此、我們有必要探討有關極限的運算法則，通過法則，把求復雜函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為求簡單函數(shù)的極限． 板書課題：極限的四則運算．

2．特殊探路，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 考察完成下表：

0.9 0.99

0.999 1

1.001 1.01 1.1

根據(jù)計算（用計算器）和極限概念，得出，與對比發(fā)現(xiàn)：． 由此得出一般結(jié)論：函數(shù)極限的四則運算法則： 如果，那么

特別地:（1）（C為常數(shù)）（2）

（3）這些法則對的情況仍然成立．（4）兩個常用極限，3．應用舉例，熟悉法則 例1 求 問：已知函數(shù)中含有哪些簡單函數(shù)？它是經(jīng)過怎樣的運算結(jié)合而成的？是否適用法則？適用哪一條法則？師生共同分析，邊問邊答規(guī)范寫出解答過程． 解：

（1）講解時注意提問每一步的依據(jù)，做到“言必有據(jù)”，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S．

（2）書寫時，由于極限符號“”有運算意義，因此在未求出極限值時，丟掉符號是錯誤的． 點評：例1說明，求某些函數(shù)（到底是哪些函數(shù)，學了2.6節(jié)就知道了．激發(fā)學生學習積極性，為講連續(xù)函數(shù)埋下伏筆）在某一點處的極限值時，只要把代入函數(shù)解析式中就可得到極限值，此種求極限值的方法不妨叫代入法 鞏固練習：教科書第88頁第1題． 例2 求．

問：本題還能用代入法求其極限值嗎？為什么？引導分析：如果把直接代入中，那么分子、分母都為零．雖然分子、分母的極限都存在，但不適合用商的法則（為什么？），不能簡單用代入法求這個極限．根據(jù)極限概念和思想，所求極限只取決于點處附近的點（即可認為），故可把分子、分母分解因式后約去公因式，從而轉(zhuǎn)化為可用代入法求極限的情形．通過本例，不僅對法則的適用條件加深了理解，而且進一步深化了對極限概念和思想本質(zhì)的認識． 解：原式

點評：函數(shù)在某一點的極限，考察的是函數(shù)值的變化趨勢，與函數(shù)在這一點是否有定義、是否等于在這一點的函數(shù)值無關，故本例可約去公因式． 鞏固練習：教科書第88頁練習第2題 4．歸納小結(jié)，掌握通法

（1）函數(shù)極限四則運算法則．

（2）一般地，中學階段接觸到的函數(shù)，若要求其在某一點處的極限值，通?？芍苯佑么敕ǎ蛘呤窍茸冃危ㄖ饕羌s去公因式），轉(zhuǎn)化為可用代入法求極限的情形． 5.布置作業(yè)

教科書習題2.5第1題．

思考題：已知，求常數(shù)a、b的值． 6.板書設計

第二篇：數(shù)列極限的運算性質(zhì)

極限的運算

教學目標

1．熟練運用極限的四則運算法則，求數(shù)列的極限．

2．理解和掌握三個常用極限及其使用條件．培養(yǎng)學生運用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決數(shù)列極限問題的能力．

3．正確認識極限思想和方法是從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想． 教學重點與難點

使用極限四則運算法則及3個常用極限時的條件． 教學過程

（一）運用極限的四則運算法則求數(shù)列的極限

師：高中數(shù)學中的求極限問題，主要是通過極限的四則運算法則，把所求極限轉(zhuǎn)化成三個常用極限：lim1=0，limC=C，limqn=0（|q|<1）來解決。

n??n??n??n例1：求下列極限：

7n3?3n2?n?(1)lim 3n??4n?1

師：（1）中的式子如何轉(zhuǎn)化才能求出極限．

生：可以分子、分母同除以n3，就能夠求出極限．

師：（2）中含有冪型數(shù)，應該怎樣轉(zhuǎn)化？

師：分子、分母同時除以3n-1結(jié)果如何？ 生：結(jié)果應該一樣．

師：分子、分母同時除以2或2，能否求出極限？

n

n-

1（二）先求和再求極限 例2 求下列極限：

由學生自己先做，教師巡視．

判斷正誤．

生：因為極限的四則運算法則只適用于有限個數(shù)列加、減、乘、除的情況．此題當n→∞，和式成了無限項的和，不能使用運算法則，所以解法1是錯的．

師：解法2先用等差數(shù)列的求和公式，求出分子的和，滿足了極限四則運算法則的條件，從而求出了極限．第（2）題應該怎樣做？

生：用等比數(shù)列的求和公式先求出分母的和．

=12． 師：例2告訴我們不能把處理有限項和問題的思路及方法隨意地搬到無限項和的問題中去，要特別注意極限四則運算法則的適用條件．

例3求下列極限：

師：本例也應該先求出數(shù)列的解析式，然后再求極限，請同學觀察所給數(shù)列的特點，想出對策．

生：（1）題是連乘積的形式，可以進行約分變形．

生：（2）題是分數(shù)和的形式，可以用“裂項法”變形．

例4設首項為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項和為Sn，師：等比數(shù)列的前n項和Sn怎樣表示？

師：看來此題要分情況討論了．

師：綜合兩位同學的討論結(jié)果，解法如下：

師：本例重點體現(xiàn)了分類討論思想的運用能夠使復雜問題條理化．同

（三）公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項和的極限 師：利用無窮等比數(shù)列所有各項和的概念以及求極限的知識，我們已經(jīng)得到了公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列各項和的公式：

例5計算：

題目不難，可由學生自己做． 師：（1）中的數(shù)列有什么特點？

師：（2）中求所有奇數(shù)項的和實質(zhì)是求什么？

（1）所給數(shù)列是等比數(shù)列；（2）公比的絕對值小于1；

（四）利用極限的概念求數(shù)的取值范圍

師：（1）中a在一個等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一個含有a的方程就可以求出來了．

師：同學能夠想到用方程的思想解決問題非常好，怎樣得到這個方程？ 生：先求極限．

師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？

|q|＜1，正好能得到一個含有m的不等式，解不等式就能求出m的范圍．

解得0＜m＜4．

師：請同學歸納一下本課中求極限有哪些類型？ 生：主要有三種類型：

（1）利用極限運算法則和三個常用極限，求數(shù)列的極限；（2）先求數(shù)列的前n項和，再求數(shù)列的極限；（3）求公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列的極限． 師：求數(shù)列極限應注意的問題是什么？ 生甲：要注意公式使用的條件．

生乙：要注意有限項和與無限項和的區(qū)別與聯(lián)系．

上述問答，教師應根據(jù)學生回答的情況，及時進行引導和必要的補充．

（五）布置作業(yè) 1．填空題：

2．選擇題：

則x的取值范圍是[ ]． 的值是[ ]．

A．2 B．-2 C．1 D．-1 作業(yè)答案或提示

（7）a． 2．選擇題：

（2）由于所給兩個極限存在，所以an與bn的極限必存在，得方程

以上習題教師可以根據(jù)學生的狀況，酌情選用． 課堂教學設計說明

1．掌握常用方法，深化學生思維． 數(shù)學中對解題的要求，首先是學生能夠按部就班地進行邏輯推理，尋找最常見的解題思路，當問題解決以后，教師要引導學生立即反思，為什么要這么做？對常用方法只停留在會用是不夠的，應該對常用方法所體現(xiàn)的思維方式進行深入探討，內(nèi)化為自身的認知結(jié)構(gòu)，然后把這種思維方式加以運用．例1的設計就是以此為目的的．

2．展示典型錯誤，培養(yǎng)嚴謹思維． 第二課時

數(shù)列極限的運算性質(zhì)

教學目標：

1、掌握數(shù)列極限的運算性質(zhì)；會利用這些性質(zhì)計算數(shù)列的極限

2、掌握重要的極限計算公式：lim(1+1/n)n=e 教學過程：

一、數(shù)列極限的運算性質(zhì)

如果liman=A，limbn=B，那么

（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman-limbn =A-B（3）lim(an?bn)= liman? limbn =A?B（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B?0，bn?0）注意：運用這些性質(zhì)時，每個數(shù)列必須要有極限，在數(shù)列商的極限中，作為分母的數(shù)列的項及其極限都不為零。

數(shù)列的和的極限的運算性質(zhì)可推廣為：如果有限個數(shù)列都有極限，那么這有限個數(shù)列對應各項的和所組成的數(shù)列也有極限，且極限值等于這有限個數(shù)列的極限的和。類似地，對數(shù)列的積的極限的運算性質(zhì)也可作這樣的推廣。注意：上述性質(zhì)只能推廣為有限個數(shù)列的和與積的運算，不能推廣為無限個數(shù)列的和與積。

二、求數(shù)列極限

1、lim（5+1/n）=5

2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=1

3、lim(2+3/n)2=4

4、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=10

5、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2 分析：由于lim(3n2-2n-5)及l(fā)im(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接應用商的極限運算性質(zhì)進行計算。為了能應用極限的運算性質(zhì)，可利用分式的性質(zhì)先進行變形。在變形時分子、分母同時除以分子、分母中含n的最高次數(shù)項。

4、一個重要的數(shù)列極限

我們曾經(jīng)學過自然對數(shù)的底e?2.718，它是一個無理數(shù)，它是數(shù)列(1+1/n)n的極限。lim(1+1/n)n =e（證明將在高等數(shù)學中研究）求下列數(shù)列的極限

lim(1+1/n)2n+1 =lim(1+1/n)n ?(1+1/n)n ?(1+1/n)=e?e?1=e2 lim(1+3/n)n =lim[(1+1/(n/3))n/3] 3=e3

分析：在底數(shù)的兩項中，一項為1，另一項為3/n，其中分子不是1，與關于e的重要極限的形式不相符合，為此需要作變形。其變形的目標是將分子中的3變?yōu)?，而不改變分式的值。為此可在3/n的分子、分母中同時除以3，但這樣又出現(xiàn)了新的矛盾，即分母中的n/3與指數(shù)上的n以及取極限時n??不相一致，為此再將指數(shù)上的n改成n/3?3，又因為n??與n/3??是等價的。

lim(1+1/(n+1))n=lim(1+1/(n+1))(n+1)-1=lim(1+1/(n+1))n+1/lim(1+1/(n+1))=e

練習：計算下列數(shù)列的極限

lim(3-1/2n)=3

lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5

lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4 lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2

lim(1+3/2n)2=1

lim(1+1/3n)2(2-1/(n+1)3=1?8=8 lim(1+1/n)3n+2=lim[(1+1/n)n] 3?(1+1/n)2=e3

lim(1+4/n)n=e4

lim(1+1/(n+2))n+1=e lim[(n+5)/(n+4)]n=lim(1+1/(n+4))n=e

lim(1+2/(n+1))n=e2

lim[(n+5)/(n+2)] n=lim[(1+3/(n+2))(n+2)/3] 3/(1+3/(n+2))2=e3

第三篇：數(shù)列極限教案

數(shù)列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數(shù)學的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學向高等數(shù)學過渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。

二、教學重點和難點

教學重點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫。

教學難點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫，簡單數(shù)列的極限進行證明。

三、教學目標

1、通過學習數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過學習概念，發(fā)現(xiàn)不同學科知識的融會貫通，從哲學的量變到質(zhì)變的思想的角度來看待數(shù)列極限概念。

四、授課過程

1、概念引入

例子一：(割圓術)劉徽的割圓術來計算圓的面積。

.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度

第四天的剩余長度 8

.....第n天的剩余長度n?1.......2

隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。

這里蘊含的就是極限的概念。

總結(jié)：極限是變量變化趨勢結(jié)果的預測。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個具體的數(shù)列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過程中，當n趨近于??時，xn不斷接近于某一個常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來越接近0；（3）

（4）中的數(shù)列卻沒有這樣的特征。

此處“n趨近于??時”，“xn無限接近于數(shù)a”主要強調(diào)的是“一個過程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準確無誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學語言來刻畫數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點就是將數(shù)列的這樣一個特征用數(shù)學語言刻畫出來，并引入數(shù)列極限的概念。

2、內(nèi)容講授

（定義板書）設?xn?是一個數(shù)列，a是實數(shù)。如果對于任意給定的數(shù)??0，總存在一個正整數(shù)N，當n?N時，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x

n?的極限，或者說數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。

寫作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個正數(shù)，但是這個數(shù)在選取時是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當n?N時，xn?a??。1000

數(shù)列極限的??N語言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設xn?，因為 nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們?nèi)????1，當n?N時，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)

第四篇：高三數(shù)學函數(shù)極限的運算法則2

函數(shù)極限的運算法則（4月30日）

教學目標：掌握函數(shù)極限的運算法則，并會求簡單的函數(shù)的極限

教學重點：運用函數(shù)極限的運算法則求極限

教學難點：函數(shù)極限法則的運用

教學過程：

一、引入：

一些簡單函數(shù)可從變化趨勢找出它們的極限，如lim1?0,limx?xo.若求極限的函數(shù)比x??xx?xo

較復雜，就要分析已知函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)經(jīng)過怎樣的運算結(jié)合而成的，已知函數(shù)的極限與這些簡單函數(shù)的極限有什么關系，這樣就能把復雜函數(shù)的極限計算轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的極限的計算.二、新課講授

也就是說，如果兩個函數(shù)都有極限，那么這兩個函數(shù)的和、差、積、商組成的函數(shù)極限，分別等于這兩個函數(shù)的極限的和、差、積、商（作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為0）.說明：當C是常數(shù)，n是正整數(shù)時，lim[Cf(x)]?Climf(x)x?xox?xo

x?xolim[f(x)]n?[limf(x)]n x?xo

這些法則對于x??的情況仍然適用.三 典例剖析

例1 求lim(x?3x)x?2

22x3?x2?1例2 求lim x?1x?

1x2?16

例3 求lim

x?4x?

4x2?16

分析：當x?4時，分母的極限是0，不能直接運用上面的極限運用法則.注意函數(shù)y?

x?4

在定義域x?4內(nèi)，可以將分子、分母約去公因式x?4后變成x?4，由此即可求出函數(shù)的極

限.3x2?x?

3例4 求lim 2x??x?

1分析：當x??時，分子、分母都沒有極限，不能直接運用上面的商的極限運算法則.如果分子、分母都除以x，所得到的分子、分母都有極限，就可以用商的極限運用法則計算。

總結(jié)：limC?C,limx?xo(k?N),x?xo

x?xo

k

k

*

limC?C,lim

x??

?0(k?N*)kx??x

2x2?x?

4例5 求lim

3x??3x?x2?

1分析：同例4一樣，不能直接用法則求極限.如果分子、分母都除以x，就可以運用法則計算了。

四 課堂練習（利用函數(shù)的極限法則求下列函數(shù)極限）

（1）lim(2x?3)；（2）lim(2x?3x?1)

x?

2x?2

2x2?

1（3）lim[(2x?1)(x?3)]；（4）lim2

x?4x?13x?4x?1

x2?1x2?5x?6

（5）lim（6）lim 2x?3x??1x?1x?9

2x2?x?22y2?y

（7）lim3（8）lim

3x??3x?3x2?1y??y?

5五 小結(jié)有限個函數(shù)的和（或積）的極限等于這些函數(shù)的和（或積）；函數(shù)的運算法則成立的前提條件是函數(shù)f(x),g(x)?的極限存在，在進行極限運算時，要特別注意這一點.3 兩個（或幾個）函數(shù)的極限至少有一個不存在時，他們的和、差、積、商的極限不一定不存在.在求幾個函數(shù)的和（或積）的極限時，一般要化簡，再求極限.六 作業(yè)（求下列極限）

2xx2?5

（1）lim(2x?3x?4)（2）lim2（3）lim2

x??1x?1x?x?1x?2x?3

x2?3x?1x2?33x3?x2

?1)（5）4（4）lim(（6）lim5 242x?0x?0x?3x?4x?x?1x?3x?2x

x?2x?1x3?3x2?2x

（7）lim2（8）lim2（9）lim

x?2x?4x??1x?1x??2x2?x?6

11(x?m)2?m2x2?1

（10）lim（11）lim(2??2)（12）lim2

x??x?0x??2x?2x?1xxx

x3?x2x3?123x2?11x?6)（15）lim2（13）lim4（14）lim(3

2x??x?3x?1

（16）lim3x2?11x?6x??2x2?5x?3x?23x?217）limx?x2?6x3x?02x?5x2?3x3

x?12x?5x?3

x?x2?6x3

18）limx??2x?5x2?3x3（（

第五篇：極限的四則運算教案

極限的四則運算教案

教學目標

1．熟練運用極限的四則運算法則，求數(shù)列的極限．

2．理解和掌握三個常用極限及其使用條件．培養(yǎng)學生運用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決數(shù)列極限問題的能力．

3．正確認識極限思想和方法是從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想．

教學重點與難點

使用極限四則運算法則及3個常用極限時的條件． 教學過程設計

（一）運用極限的四則運算法則求數(shù)列的極限

師：高中數(shù)學中的求極限問題，主要是通過極限的四則運算法則，把所求極限轉(zhuǎn)化成三個常用極限：

例1 求下列極限：

師：（1）中的式子如何轉(zhuǎn)化才能求出極限． 生：可以分子、分母同除以n3，就能夠求出極限．

師：（2）中含有冪型數(shù)，應該怎樣轉(zhuǎn)化？

師：分子、分母同時除以3n-1結(jié)果如何？ 生：結(jié)果應該一樣．

師：分子、分母同時除以2n或2n-1，能否求出極限？

（二）先求和再求極限 例2 求下列極限：

由學生自己先做，教師巡視．

判斷正誤．

生：因為極限的四則運算法則只適用于有限個數(shù)列加、減、乘、除的情況．此題當n→∞，和式成了無限項的和，不能使用運算法則，所以解法1是錯的． 師：解法2先用等差數(shù)列的求和公式，求出分子的和，滿足了極限四則運算法則的條件，從而求出了極限．第（2）題應該怎樣做？

生：用等比數(shù)列的求和公式先求出分母的和．

=12． 師：例2告訴我們不能把處理有限項和問題的思路及方法隨意地搬到無限項和的問題中去，要特別注意極限四則運算法則的適用條件．

例3求下列極限：

師：本例也應該先求出數(shù)列的解析式，然后再求極限，請同學觀察所給數(shù)列的特點，想出對策．

生：（1）題是連乘積的形式，可以進行約分變形．

生：（2）題是分數(shù)和的形式，可以用“裂項法”變形．

例4設首項為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項和為Sn，師：等比數(shù)列的前n項和Sn怎樣表示？

師：看來此題要分情況討論了．

師：綜合兩位同學的討論結(jié)果，解法如下：

師：本例重點體現(xiàn)了分類討論思想的運用能夠使復雜問題條理化．同

（三）公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項和的極限

師：利用無窮等比數(shù)列所有各項和的概念以及求極限的知識，我們已經(jīng)得到了公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列各項和的公式：

例5計算：

題目不難，可由學生自己做． 師：（1）中的數(shù)列有什么特點？

師：（2）中求所有奇數(shù)項的和實質(zhì)是求什么？

（1）所給數(shù)列是等比數(shù)列；（2）公比的絕對值小于1；

（四）利用極限的概念求數(shù)的取值范圍

師：（1）中a在一個等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一個含有a的方程就可以求出來了．

師：同學能夠想到用方程的思想解決問題非常好，怎樣得到這個方程？ 生：先求極限．

師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？

|q|＜1，正好能得到一個含有m的不等式，解不等式就能求出m的范圍．

解得0＜m＜4．

師：請同學歸納一下本課中求極限有哪些類型？ 生：主要有三種類型：

（1）利用極限運算法則和三個常用極限，求數(shù)列的極限；（2）先求數(shù)列的前n項和，再求數(shù)列的極限；（3）求公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列的極限． 師：求數(shù)列極限應注意的問題是什么？ 生甲：要注意公式使用的條件．

生乙：要注意有限項和與無限項和的區(qū)別與聯(lián)系．

上述問答，教師應根據(jù)學生回答的情況，及時進行引導和必要的補充．

（五）布置作業(yè) 1．填空題：

2．選擇題：

則x的取值范圍是[

]． 的值是[

]．

A．2

B．-2

C．1

D．-1 作業(yè)答案或提示

（7）a． 2．選擇題：

（2）由于所給兩個極限存在，所以an與bn的極限必存在，得方程

以上習題教師可以根據(jù)學生的狀況，酌情選用． 課堂教學設計說明

1．掌握常用方法，深化學生思維．

數(shù)學中對解題的要求，首先是學生能夠按部就班地進行邏輯推理，尋找最常見的解題思路，當問題解決以后，教師要引導學生立即反思，為什么要這么做？對常用方法只停留在會用是不夠的，應該對常用方法所體現(xiàn)的思維方式進行深入探討，內(nèi)化為自身的認知結(jié)構(gòu)，然后把這種思維方式加以運用．例1的設計就是以此為目的的．

2．展示典型錯誤，培養(yǎng)嚴謹思維．

求數(shù)列極限的基本方法，學生并不難掌握，因此，例2采取讓學生自己做的方式，有針對性地展示出此類題目在解題中容易出現(xiàn)的典型錯誤，讓學生從正確與謬誤的對比中，辨明是非、正誤，強化求極限時應注意的條件，培養(yǎng)思維的嚴謹性．這種做法，會給學生留下難忘的印象，收到較好的教學效果．

3．貫穿數(shù)學思想，提高解題能力．

本課從始至終貫穿著轉(zhuǎn)化的思想．而例4中的分類討論思想，例6中的方程思想的應用，都對問題的解決，起到了決定性的作用，使復雜問題條理化，隱藏的問題明朗化．因此，只有培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)，在教學過程中不斷滲透和深化數(shù)學思想方法，才能達到系統(tǒng)概括知識內(nèi)容，溝通各類知識的縱橫聯(lián)系，提高解題能力的要求．