第一篇：人教版圓的一般方程教案

圓的一般方程

一、教學(xué)目標(biāo)

1．討論并掌握圓的一般方程的特點，并能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑．

2．能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程解題，解題過程中能分析和運用圓的幾何性質(zhì)．

二、教學(xué)重點與難點

圓的一般方程的探求過程及其特點是教學(xué)重點；根據(jù)具體條件選用圓的方程為教學(xué)難點．

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)并引入新課

師：請大家說出圓心在點(a，b)，且半徑是r的圓的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2．

師：以前學(xué)習(xí)過直線，直線方程有哪幾種？

生：直線方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式． 師：直線方程的一般式是Ax+By+C=0嗎？ 生A：是的．

生B：缺少條件A2+B2≠0．

師：好！那么圓的方程有沒有類似“直線方程的一般式”那樣的“一般方程”呢？

(書寫課題：“圓的一般方程”的探求)1

（二）探索新知

師：圓是否有一般方程？這是個未解決的問題，我們來探求一下．大家知道，我們認(rèn)識一般的東西，總是從特殊入手．如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式，兩點式……)展開整理而得到的．想求圓的一般方程，怎么辦？ 生：可仿照直線方程試一試！把標(biāo)準(zhǔn)形式展開，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F(xiàn)=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)師：從(*)式的得來過程可知，只要是圓的方程就可以寫成(*)的形式．那么能否下結(jié)論：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圓的方程？ 生A：不一定．還得考慮：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否寫成標(biāo)準(zhǔn)形式．

生B：也可以像直線方程一樣，要有一定條件． 師：那么考慮考慮怎樣去尋找條件？ 生：配方．

師；請大家動手做，看看能否配成標(biāo)準(zhǔn)形式？

(放手讓同學(xué)討論，教師適當(dāng)指導(dǎo)，然后由同學(xué)說，教師板書．)

22將（*）式配方得:??D??E?D2?E2?4F?x?2?????y?2???4.???

1．當(dāng)D2+E2－4F＞0時，比較(△)式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知：(*)式表示以

??DE1??2,??2??為圓心，2D2?E2?4F為半徑的圓；

2.當(dāng)D2?E2?4F?0時，???式只有實數(shù)解x??D2,y??E2，即???式表示一個點??D??2，?E?2???有時也叫點圓?3.當(dāng)D2+E2－4F＜0時，(*)式?jīng)]有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．

教師總結(jié)：當(dāng)D2+E2－4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圓的一般方程．

師：圓的一般方程有什么特點？ 生A：是關(guān)于x、y的二元二次方程． 師：剛才生A的說法對嗎？

生B：不全對．它是關(guān)于x、y的特殊的二元二次方程． 師：特殊在什么地方？

(通過爭論與舉反例后，由教師總結(jié))師：1．x2，y2系數(shù)相同，且不等于零． 2．沒有xy這樣的二次項．

(追問)：這兩個條件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圓”的什么條件？ 生：必要條件． 師：還缺什么？ 生：D2+E2－4F＞0．

練習(xí)：判斷以下方程是否是圓的方程： ①x2+y2－2x+4y－4=0 3

②2x2+2y2－12x+4y=0 ③x2+2y2－6x+4y－1=0 ④x2+y2－12x+6y+50=0

三、應(yīng)用舉例

師：先請大家比較一下圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2+(y－b)2=r2與一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在應(yīng)用上各有什么優(yōu)點？

生：標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征明顯——能看出圓心、半徑；一般方程的優(yōu)點是能從一般的二元二次方程中找出圓的方程． 師：怎樣判斷用“一般方程”表示的圓的圓心、半徑．

DE?1生：圓心???，r?D2?E2?4F.??，?22?2生B：不用死記，配方即可．

師：兩種形式的方程各有特點，我們應(yīng)對具體情況作具體分析、選擇． 四．例題講解

例1．求過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程；

分析：由于O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)不在同一條直線上，因此經(jīng)過O,M1,M2三點有唯一的圓．

解：法一：設(shè)圓的方程為x2?y2?Dx?Ey?F?0，∵O,M1,M2三點都在圓上，∴O,M1,M2三點坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程，把O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)代入所設(shè)方程，4

?F?0?得：?D?E?F?2?0

?4D?2E?F?20?0??D??8?解之得：?E?6

?F?0?所以，所求圓的方程為x2?y2?8x?6y?0．

法二：也可以求OM1和OM2中垂線的交點即為圓心，圓心到O的距離就是半徑也可以求的圓的方程：x2?y2?8x?6y?0．

法三：也可以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x?a)2?(y?b)2?r2將點的坐標(biāo)代入后解方程組也可以解得(x?4)2?(y?3)2?25

五、小結(jié)

注意一般式的特點：1°x2，y2系數(shù)相等且不為零；2°沒有xy這樣的項；3°D2+E2－4F＞0．另外，大家考慮：D2+E2－4F有點像什么？像判別式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圓的方程的判別式．如D、E確定了，則與F的變化有關(guān)．

六、作業(yè)：

1.求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑： ①x2+y2－2x－5=0 ②x2+y2+2x－4y－4=0 ③x2+y2+2ax＝0 ④x2+y2－2by－2b2＝0

七、教學(xué)反思

這是一節(jié)介紹新知識的課，而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識的形成過程．因此，在設(shè)計這節(jié)課時，力求“過程、結(jié)論并重；知識、能力、思想方法并重”.6

第二篇：數(shù)學(xué)教案(圓的一般方程)

教學(xué)簡案

【課

題】圓的一般方程 【教學(xué)目標(biāo)】

1、知識目標(biāo)：（1）在掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心和半徑，掌握方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件；

（2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程。

（3）利用圓的方程解決與圓有關(guān)的實際問題。

2、能力目標(biāo)：通過對方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件的探索，培養(yǎng)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。

3、情感目標(biāo)：滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。

【教學(xué)重點】圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F。

【教學(xué)難點】對圓的一般方程的認(rèn)識、掌握和應(yīng)用。【教學(xué)方法】講授法，分析法。【教學(xué)用具】多媒體輔助教學(xué) 【教學(xué)流程】

一、情景創(chuàng)設(shè) 問題1：

在平面直角坐標(biāo)系中，以C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的方程是什么？

問題2：

將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開整理后，能發(fā)現(xiàn)哪些特征？（尋找新知識的生長點）

結(jié)論：（多媒體顯示）

將(x?a)2?(y?b)2?r2 展開得x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0，我們發(fā)現(xiàn)任何圓都能表示為一個具有以下特征的x,y的二次方程：

（1）x2和y2項的系數(shù)同為1；

（2）不出現(xiàn)交叉乘積的二次項xy。

問題3：

x2?y2?2x?4y?6?0是圓的方程？若是，寫出圓心坐標(biāo)和半徑；若不是，則說明理由

二、探索研究

二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件是什么？

（創(chuàng)設(shè)一種鼓勵的寬松的氛圍，讓學(xué)生充分發(fā)表自已的觀點，教師適當(dāng)引導(dǎo)。）

二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，通過配方后可以化為

D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)?

224（1）當(dāng)D2?E2?4F?0時，方程表示以(?為半徑的圓；

DE1,?)為圓心，D2?E2?4F222（2）當(dāng)D2?E2?4F?0時，方程表示一個點(?DE,?)； 22（3）當(dāng)D2?E2?4F?0時，方程沒有實數(shù)解，因而方程不表示任何圖形。板書：圓的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0（D2?E2?4F?0）

指出：（1）圓心(?DE1,?)，半徑D2?E2?4F； 222（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于它明確指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點；

（3）給出圓的一般方程，會寫出它的圓心和半徑；若給出相關(guān)條件，則能求出圓的方程。

三、應(yīng)用舉例

例

1、判斷下列方程是否表示圓，如果是，并求出各圓的半徑和圓心坐標(biāo)：

（1）x2?y2?6x?0；

（2）2x2?2y2?4x?8y?12?0；

（3）2x2?2y2?4x?8y?10?0；（4）x2?y2?6x?10?0；

（5）x2?2y2?4x?8y?10。

（解略）

例

2、求以O(shè)(0,0),A(1,1),B(4,2)為頂點的三角形的外接圓方程，并求出它的圓心和半徑。

（分析：應(yīng)用圓的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，將已知三點的坐標(biāo)代

入這個方程，得到一個三元一次方程組，解這個三元一次方程組，即可求得

圓的一般方程，對圓的一般方程配方即可求半徑長和圓心坐標(biāo)。同時，將這

種求圓的一般方程的方法稱為“待定系數(shù)法”。）

四、課內(nèi)練習(xí)

1、判定下列方程中，哪些是圓的方程？如果是，求出它們的圓心和半徑：

（1）2x2?2y2?4x?5?0；

（2）x2?y2?3x?4y?12?0；

3（3）x2?2y2?4x?2y?5?0；

（4）?x2?2y2?4x?2y?1；

（5）3x2?4xy?(x?2y)2?4

2、求過三點A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圓的方程。

五、課內(nèi)拓展

若圓x2?y2?Dx?Ey?F?0與y軸相切于原點，則D，E，F(xiàn)應(yīng)滿足什么條件？若圓與y軸相切呢？

學(xué)生討論，各抒已見，相互補充，完善結(jié)論。

我們還可以繼續(xù)探究：如當(dāng)圓與x軸相切；過原點；原點在圓內(nèi)；等等情況時，系數(shù)D、E、F應(yīng)滿足的條件。

八、歸納小結(jié)

（教師引導(dǎo)，由學(xué)生總結(jié)一節(jié)課的收獲，然后顯示幻燈片同時教師總結(jié)。）

五、布置作業(yè)

（1）課堂作業(yè)：《數(shù)學(xué)指導(dǎo)用書》第25頁課外習(xí)題1（1）（2）（3）（4）、2、4。（2）課外作業(yè)：《數(shù)學(xué)指導(dǎo)用書》第26頁課外習(xí)題5、6、7。

第三篇：高二數(shù)學(xué)圓的一般方程教案 人教版

高二數(shù)學(xué)圓的一般方程教案 人教版

一、教學(xué)目標(biāo)

(一)知識教學(xué)點

使學(xué)生掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(二)能力訓(xùn)練點

使學(xué)生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程，培養(yǎng)學(xué)生用配方法和待定系數(shù)法解決實際問題的能力．

(三)學(xué)科滲透點

通過對待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)知識和基本方法打下牢固的基礎(chǔ)．

二、教材分析

1．重點：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(解決辦法：(1)要求學(xué)生不要死記配方結(jié)果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強這方面題型訓(xùn)練．)

2．難點：圓的一般方程的特點．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生分析得出圓的一般方程的特點，并加以記憶．)

3．疑點：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F＞0．

(解決辦法：通過對方程配方分三種討論易得限制條件．)

三、活動設(shè)計 講授、提問、歸納、演板、小結(jié)、再講授、再演板．

四、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)引入新課

前面，我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現(xiàn)將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見，任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0．請大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題．復(fù)習(xí)引出課題為“圓的一般方程”．

(二)圓的一般方程的定義

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：(1)

(1)當(dāng)D2+E2-4F＞0時，方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程

第四篇：圓的一般方程教學(xué)設(shè)計

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識與技能：在熟練記憶圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，能通過配方法將方程

配方，從而得出此方程表示圓的條件，記住此條件，并會求圓心和半徑；熟練進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程之間的互化；通過比較得出求圓方程的兩種方法（待定系數(shù)法和幾何性質(zhì)法）。

過程與方法：通過對方程

表示圓的條件的探究，培

圓的一般方程教學(xué)設(shè)計

養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力，通過比較例題，感悟歸納和總結(jié)的學(xué)習(xí)方法。

情感態(tài)度與價值觀：通過對數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，讓學(xué)生感受解決問題的不同思考角度和過程，激勵學(xué)生積極思考，勇于探索的精神。

二、重點難點：探究方程的兩種方法（待定系數(shù)法和幾何性質(zhì)法）。

三、學(xué)法提示：探究式；比較歸納式

四、學(xué)習(xí)過程：包括相關(guān)預(yù)習(xí)、學(xué)習(xí)探究、反饋和展示、啟發(fā)點撥、歸納小結(jié)、釋疑答難、訓(xùn)練鞏固、點撥校正、作業(yè)等。

1、自主預(yù)習(xí)（用10分鐘時間閱讀教材內(nèi)容，勾勒自己的疑惑，查閱相關(guān)的資料輔助解決疑惑，記錄自己一些獨特的見解，完成學(xué)業(yè)質(zhì)量模塊測評的環(huán)節(jié)1，包括基礎(chǔ)知識的記憶、思維提升的判斷及A、B、C不同層級的練習(xí)）

2、思考探究（引入）：

問題1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？你能正確展開嗎？

此時重點觀察和發(fā)現(xiàn)后進(jìn)生的練習(xí)過程，及時地予以真誠的語言鼓勵或者一個肯定的眼神、一個手勢，讓這些學(xué)生從一開始投入到我能學(xué)會的自信心當(dāng)中來。

問題2：方程方程

表示圓的條件；求圓方程在解決這兩個問題之前老師緊接著問：由問題1你能想到解決這兩個問題的辦法嗎？或者由這兩個方程的形式特點你想到了什么方法來處理這兩個方程？這樣培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系的意識，也培養(yǎng)學(xué)生觀察分析問題的能力。

這樣學(xué)生自然采用配方法處理，第一個表示一個圓，第二個不表示任何圖形。

問題3：將問題2一般化，方程

都表示圓嗎？在什么條件下表示圓？

3、小組展示

先給學(xué)生5分鐘自主探究（因為涉及到分情況討論，可能有一半學(xué)生會出錯），而后各個小組在小組長的展示下相互完善，達(dá)成共識。

4、點撥，滲透分類討論思想的時機和標(biāo)準(zhǔn)。

5、自主解答，訓(xùn)練感悟。

求過三點O(0，0),M(1，1),N(4，2)的圓的方程，并求這個圓的圓心和半徑。要求：8分鐘之內(nèi)完成；根據(jù)已有知識多聯(lián)系解決，方法不限。

8分鐘之后提問一名完成的學(xué)生來展示方法和過程，之后再調(diào)動學(xué)生的積極性來充分展示自己的過程。

6、歸納總結(jié)

圓的一般方程是什么？條件是什么? 求圓的方程的方法有哪些？對照例

2、例

3、例4回答

對于待定系數(shù)法的應(yīng)用，你還想到了哪些知識？請總結(jié)用待定系數(shù)法解題的步驟。

7、學(xué)生提問，答疑解惑

8、鞏固練習(xí)。（1）判斷方程（2）已知圓C的圓心在直線圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

五、作業(yè)布置 ：1.正式作業(yè)課本P124：1，2； 2.筆記整理

=0表示什么圖形（配方法，分類討論思想）

并且經(jīng)過原點和A（2,1），求

第五篇：高中數(shù)學(xué)教師資格面試《圓的一般方程》教案

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高中數(shù)學(xué)教師資格面試《圓的一般方程》教案

一、教學(xué)目標(biāo) 【知識與技能】

在掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件。

【過程與方法】

通過對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究，學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力得到提高。

【情感態(tài)度與價值觀】

滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。

二、教學(xué)重難點 【重點】

掌握圓的一般方程，以及用待定系數(shù)法求圓的一般方程。【難點】

二元二次方程與圓的一般方程及標(biāo)準(zhǔn)圓方程的關(guān)系。

三、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)舊知，引出課題

1.復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心、半徑。

2.提問1：已知圓心為(1,-2)、半徑為2的圓的方程是什么?(二)交流討論，探究新知

1.提問2：方程x2 +y2-2x+4y+1=0是什么圖形?方程x2 +y2-2x-4y+6=0表示什么圖形?任何圓的方程都是這樣的二元二次方程嗎?(通過此例分析引導(dǎo)學(xué)生使用配方法)2.方程x2 +y2 +Dx+Ey+F=0什么條件下表示圓?(配方和展開由學(xué)生相互討論交流完成,教師最后展示結(jié)果)將x2 +y2 +Dx+Ey+F=0配方得：

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3.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對方程分類討論，最后師生共同總結(jié)出3種情況，即圓的一般方程表示圓的條件。從而得出圓的一般方程是：x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)4.由學(xué)生歸納圓的一般方程的特點，師生共同總結(jié)。(三)例題講解，深化新知

例1.判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程?如果是，請求出圓的圓心及半徑。

例2.求過三點A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo)。

(四)小結(jié)作業(yè)

師生共同總結(jié)今天這節(jié)課所學(xué)知識點 作業(yè)：分必做題和選做題。

四、板書設(shè)計

五、教學(xué)反思

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