第一篇：圓教案

圓知識點(diǎn)總結(jié)

一、本章知識點(diǎn)框架

圓心、半徑?基本元素：定義、弧、??垂徑定理?對稱、中心對稱?圓的認(rèn)識?對稱性：旋轉(zhuǎn)對稱、軸 圓心角、弧、弦、弦心距???與圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角、弦切角?

?點(diǎn)與圓??相交???直線與圓相切—切線與切線長??與圓有關(guān)的位置關(guān)系 ??相離????圓與圓的位置關(guān)系積?弧長和扇形、弓形的面圓中的有關(guān)計(jì)算? 圓錐與圓錐的側(cè)面展開圖?

二、本章重點(diǎn) 1.圓的定義

（1）線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓。

（2）圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合。2.判定一個(gè)點(diǎn)P是否在圓O上，設(shè)圓O的半徑為R，OP=d，則有

d?r?點(diǎn)P在圓O外； d?r?點(diǎn)P在圓O上； d?r?點(diǎn)P在圓O內(nèi)。

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3.與圓有關(guān)的角

（1）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。

（2）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧的圓心角的一半；（圖a）

②同弧或等弧所對圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。（圖b）

③90的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角；（圖c）④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形； ⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。

⑥在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等。?

圖a 圖b 圖c 圖d（3）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角。（圖d）推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半。4.圓的性質(zhì)：

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（1）旋轉(zhuǎn)不變形：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；

圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等。

（2）軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸。（3）垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條??；（圖1）②平分弦（不是直徑）的直徑垂直與弦，并且平分弦所對的兩條弧； ③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條??；

④平分一條弧所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分這條弦； ⑤平行弦夾的弧相等。（圖2）

圖1 圖2 5.三角形的內(nèi)心、外心、垂心、重心

（1）三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示。

（2）三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示。

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（3）三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示。（4）垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)。6.切線的判定、性質(zhì)（1）切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直與這條半徑的直線是圓的切線。②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線。（2）切線的性質(zhì)：（圖3）①圓的切線垂直與過切點(diǎn)的半徑； ②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)； ③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心。

（3）切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長。

（4）切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（圖4）

圖3 圖4 7.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

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（1）四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角。

（2）各邊都和圓相切的四邊形叫做圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等。圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算：（如下圖所示）①正三角形

在圓O中，?ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在Rt?BOD中進(jìn)行，OD:BD:OB?1:3:2 ②正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt?OAE中進(jìn)行，OE:AE:OA?1:1:2 ③正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt?OAB中進(jìn)行，AB:OB:OA?1:3:2

8.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓O半徑為R，點(diǎn)O到直線I的距離為d，（1）直線和圓沒有公共點(diǎn)?直線和圓相離?d>R；(圖5)

（2）直線和圓O有唯一公共點(diǎn)?直線I和圓O相切?d=R；（圖6）（3）直線I和圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)?直線I和圓O相交?d

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圖5 圖6 圖7 9.圓與圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓O1、圓O2的半徑為R、r（R>r），圓心距O1O2?d

（1）圓O1和圓O2沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所以點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部?圓O1、圓O2外離?d>R+r。（外離圖8）

（2）圓O1和圓O2沒有公共點(diǎn)，且圓O2的每一個(gè)點(diǎn)都在圓O1內(nèi)部?圓O1、圓O2內(nèi)含?d

（3）圓O1和圓O2有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每一圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部?圓O1、圓O2外切?d=R+r。（外切圖10）

（4）圓O1和圓O2有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，圓O2的每個(gè)點(diǎn)都在圓O1內(nèi)部?圓O1、圓O2內(nèi)切?d=R-r。（內(nèi)切圖11）

（5）圓O1和圓O2有兩個(gè)公共點(diǎn)?圓O1、圓O2相交?R-r

圖8

圖9

圖10 西 北 首 家 教 育 綜 合 體 · 精 心 打 造 中 國 教 育 第 一 品 牌

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圖11

圖12 10.兩圓的性質(zhì)：

（1）兩個(gè)圓是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線；

（2）相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切心。11.圓中有關(guān)計(jì)算: 2圓的面積公式：S??R，周長C?2?R.圓心角為n、半徑為R的弧長l?圓心角為n??n?R.180n?R21?lR.、半徑為R，弧長為l的扇形的面積S?3602弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算。

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，地面半徑為R，母線長為1的圓柱的體積為nR2l，側(cè)面積為2?Rl，全面積為2?Rl?2?R2。

圓錐的側(cè)面積展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積

222為?Rl，全面積為?Rl??R2，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有R?h?l.例1.如圖所示，已知AB為圓O直徑，C為弧AB上一點(diǎn)，CD?AB于點(diǎn)D，?OCD的平分線CP交圓O與點(diǎn)P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？

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分析:要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在弧AB上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律。解: 連接OP，?2??P????1??P OC=OP??2??1???OP//CD????PA?PB CD?AB??PD點(diǎn)為AB中點(diǎn)。

例2.下列命題正確的是（B）A.相等的圓周角所對的弧相等 B.等弧所對的弦相等 C.三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D.平分弦的直徑垂直于弦

例3.四邊形ABCD內(nèi)接與圓O，?A:?B:?C?1:2:3，求?D.分析：園內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等。解：設(shè)?A?x，?B?2x，?C?3x, 則?D??A??C??B?2x.?x?2x?3x?2x?360?，x?45?

??D?90?

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練習(xí)：四邊形ABCD外切于圓O，周長為20，且AB:BC:CD?1:2:3,求AD 的長。

例4.為了測量一個(gè)圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30?的三角板和一個(gè)刻度尺，用如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑，若測得PA=5cm，則鐵環(huán)的半徑是______cm.分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識進(jìn)行合作解決，即過P點(diǎn)作直線OP?PA，再用三角板畫一個(gè)頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60的角，這個(gè)角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，在用三角函數(shù)知識求解。解:tan??PAO?OP?OP?PA?tan60??5?3?53cm PA?例5.已知圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，圓O1的半徑是10，圓O2的半徑是17，公共弦AB=16，求兩圓的圓心距。

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圖1 圖2 解：分兩種情況討論：

（1）若O1、O2位于AB的兩側(cè)如圖1所示，設(shè)O1O2與AB交于C，連接O1A、O2A，則O1O2垂直平分AB，?AC?AB.又?AB?16?AC?8

在Rt?O1CA中，O1C?O1A2?AC2?6.在Rt?O2CA中，O2C?O2A2?AC2?15.故O1O2=O1C+O2C=21（2）若O1、O2位于AB的同側(cè)如圖2所示，設(shè)O1O2的延長線與AB交于C，連接O1A、O2A，?CO2垂直平分AB，?AC?1AB.212又?AB?16?AC?8

在Rt?O1CA中，O1C?O1A2?AC2?6.在Rt?O2CA中，O2C?O2A2?AC2?15.故O1O2=O2C-O1C=9

三、相關(guān)定理： 1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）如下圖所示

即：?弦AB、CD交于點(diǎn)P，?PA?PB?PC?PA（相交弦定理）

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。

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即：?CD垂直AB于點(diǎn)E，?CE2?DE2?EA?EB

例6.已知P為圓O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，圓O半徑為6cm，過P任作一弦AB，設(shè)AP=x，BP=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為______。

62?3227解：由相交弦定理得y?，即y?，其中3?x?9.xx2.切割線定理

推論：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

即：若PA是切線，PB是割線，則PA2?PC?PB

例7.已知PT切圓O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm,求PB長。

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解：設(shè)TD=x,BP=y,由相交弦定理得：AD?DB?CD?TD 即3?4?(8?x)xx1?6，x2?2（舍）

由切割線定理，PT2?AP?BP 由勾股定理得，PD2?PT2?TD2

?PD2?AP?BP?TD2?(y?4)2?62?y(y?7)

?y?20cm

四、輔助線總結(jié) 1.圓中常見的輔助線

（1）作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等；

（2）作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明。

（3）作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算。

（4）作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角；

（5）作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角——直角；（6）遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角；（7）遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角；

（8）欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：①若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；②不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑

（9）遇到三角形的外心常連接外心和三角形的各頂點(diǎn)；

（10）遇到三角形的內(nèi)心，常作：①內(nèi)心到三邊的垂線；②連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)；

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（11）遇相交兩圓，常作:①公共弦；②連心線；（12）遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線；

（13）求公切線時(shí)常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊。

2.圓中較特殊的輔助線

① 過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線； ②將割線、相交弦補(bǔ)充完整； ③作輔助圓。

例8.如圖所示，AB是圓O的直徑，弦CD?AB,垂足為E，如果AB=10，CD=8，那么AE的長為（A）

分析：連接OC，由AB是圓O的直徑，弦CD?AB知CD=DE，設(shè)AE=x，則在Rt?CEO中，OC2?OE2?CE2, 即52?(5?x)2?42，則x1?2，x2?8（舍去）

例8圖 例9圖

例9.如圖所示，CA為圓O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在圓O上，如果?AOB等于（C）

A.35 B.90 C.110 D.120

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14路靈臺校區(qū)：靈臺縣國盛大廈校總區(qū)校:長：西武安縣市新雁都灘會區(qū)

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029-34200707 ：029-88758405

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關(guān)系可以知道

?AOB?2?BAC?2?55??110? 故選C

例10.如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側(cè)面積等于（B）分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即2??4?5?40?(cm2)

例11.如圖所示，在半徑為4的圓O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長CM交圓O于E，且EM>MC，連接OE、DE，DE?15，求：EM的長。

解：由DC是圓O的直徑，知DE?EC，于是EC?DC2?DE2?7,設(shè)EM=x,則AM?MB?x(7?x)，即x2?7x?12?0，所以x1?3,x2?4，而EM>MC，即EM=4.學(xué)校長西武安西 北 首 家 教 育 綜 合 體 · 精 心 打 造 中 國 教 育 第 一 品 牌

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第二篇：圓教案

認(rèn)識圓

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與能力目標(biāo)：

結(jié)合生活實(shí)際，通過觀察、操作等活動(dòng)認(rèn)識圓，理解圓心、半徑、直徑的意義，掌握圓的特征，理解同一個(gè)圓里（或等圓）半徑與直徑的關(guān)系。

2、過程與方法目標(biāo)：

結(jié)合具體的情境，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活密切聯(lián)系，能用圓的知識來解釋生活中的簡單現(xiàn)象。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

通過觀察、操作、想象等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的意識，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

教學(xué)重點(diǎn)：

在探索中發(fā)現(xiàn)圓的特征。教學(xué)難點(diǎn)：

理解同一個(gè)圓里（或等圓）半徑與直徑的關(guān)系，能利用圓的特征解決生活實(shí)際問題。

一、回顧已學(xué)過的平面圖形

1、出示正方形、長方形、三角形等學(xué)過的平面圖形。說出它們的特點(diǎn)。

2、出示圓

觀察并比較和剛才的平面圖形有什么區(qū)別？ 由直線構(gòu)成的平面圖形。由曲線圍成的平面圖形

3、找生活中的圓

你在生活中哪些地方見過圓？說一說。

4、你知道車輪為什么要做成圓形的？

二、學(xué)習(xí)圓

1、找圓心

把圓對折幾次，有什么發(fā)現(xiàn)。折痕相交于一點(diǎn)。（板書圓心：O）在圓里標(biāo)出圓心。

2、認(rèn)識直徑

畫出其中一條折痕，說一說。（經(jīng)過圓心，兩端都在圓上。）（板書直徑：d）圓有多少條直徑？

量出它的一條直徑的長度，再量另一條，比較長度。同一個(gè)圓中，所有直徑長度相等。

比較不同大小的圓。（直徑-----大?。?/p>

3、認(rèn)識半徑

（半徑：r）（半徑-----大?。┲睆胶桶霃降年P(guān)系

解決車輪為什么要做成圓形。

三、畫圓

我們學(xué)習(xí)了圓，怎樣來畫一個(gè)圓。

1、畫圓心

確定圓的位置

2、定半徑

確定圓的大小

3、畫圓 旋轉(zhuǎn)一周

四、小結(jié)。

五、問題：怎么畫一個(gè)大圓。

第三篇：圓 教案

圓教案

一、本章知識框架

二、本章重點(diǎn)

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合． 2．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上． 設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點(diǎn)P在⊙O 外； d＝r點(diǎn)P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形． ⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角．

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角． 弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半． 4．圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸． 垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。?/p>

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)． 6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)． ③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心．

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等． 8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和⊙O 相交dr)，圓心距

．

(1)外離(2)含(3)外切(4)dR＋r． 沒有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部

內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部d＝R＋r． 的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，內(nèi)切d＝R－r．

相交(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)． 11．圓中有關(guān)計(jì)算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算．

．

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側(cè)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為【經(jīng)典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有

．

分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律． 解：

連結(jié)OP，P點(diǎn)為中點(diǎn)．

小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓

D．平分弦的直徑垂直于弦． 解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確． B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個(gè)圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B．

例3 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等． 解：

設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長． 例4 0

分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識進(jìn)行合作解決，即過P點(diǎn)作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個(gè)頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個(gè)角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，再用三角函數(shù)知識求解．

解：

．

小結(jié)：應(yīng)用圓的知識解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型． 例5 已知

相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)

與AB交于C，連結(jié)又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在在故(2)若，則垂直平分AB，∴

．

中，中，．

． ．

位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)

． 的延長線與AB交于C，連結(jié)∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時(shí)，要注意雙解或多解問題．

三、相關(guān)定理：

1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：

若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，P任作一弦AB，設(shè)為。，⊙O半徑為，過，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴

∴，（舍）由勾股定∴

四、輔助線總結(jié) 1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明．

3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．

4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)．

10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線．

13)．求公切線時(shí)常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補(bǔ)充完整． 3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為()

A．2 B．3 C．4 D．5 分析：連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設(shè)AE＝x，則在Rt△CEO中，則，(舍去)．，即，答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關(guān)系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側(cè)面積等于()A． B．

C．

D．

分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即

．答案：B．

例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，．

求：EM的長．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設(shè)EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以

．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程

(其中m為實(shí)數(shù))的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數(shù)．

簡析：(1)由BE、BD是關(guān)于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為(2)由相交弦定理，得

．得，即

．故BE＝BD．

．而PB切⊙O于點(diǎn)B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第四篇：圓和圓教案

課題：圓和圓的位置關(guān)系

山西省平定縣娘子關(guān)中學(xué)馮向科

教學(xué)目標(biāo)：

了解圓與圓的五種位置關(guān)系的定義； 掌握兩圓的相切位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關(guān)系，相切兩圓的連心線的性質(zhì)。

1．培養(yǎng)學(xué)生的分類和數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想；培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來分析和發(fā)現(xiàn)問題的能力．

2．促使學(xué)生勤于思考、樂于探究的習(xí)慣、增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心。

教學(xué)重點(diǎn)：

兩圓的相切位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關(guān)系．

教學(xué)難點(diǎn)：

兩圓相切時(shí)分類討論 教具：圓規(guī)、圓片 教學(xué)步驟：

（一）復(fù)習(xí)、引出問題

1．復(fù)習(xí)：直線和圓有幾種位置關(guān)系?各是怎樣定義的?

（教師主導(dǎo)，學(xué)生回憶、回答）直線和圓有三種位置關(guān)系，即直線和圓相離、相切、相交．各種位置關(guān)系是通過直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來定義的 2．引出問題：平面內(nèi)兩個(gè)圓，它們作相對運(yùn)動(dòng)，將會產(chǎn)生什么樣的位置關(guān)系呢?

（二）觀察、分類，得出概念

1、讓學(xué)生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系，準(zhǔn)確給出描述性定義：

(1)外離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離．(圖(1))

(2)外切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切．這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．(圖(2))

(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這兩個(gè)圓相交．(圖(3))

(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切．這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．(圖(4))

(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含(圖(5))．兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個(gè)特例．(圖(6))

2、歸納：

(1)兩圓外離與內(nèi)含時(shí)，兩圓都無公共點(diǎn)．

(2)兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)唯一

(3)兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內(nèi)含)；相交；相切(外切和內(nèi)切)．

教師組織學(xué)生歸納，并進(jìn)一步考慮：從兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)考慮，無公共點(diǎn)則相離；有一個(gè)公共點(diǎn)則相切；有兩個(gè)公共點(diǎn)則相交．除以上關(guān)系外，還有其它關(guān)系嗎?可能不可能有三個(gè)公共點(diǎn)?

結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關(guān)系．

（三）分析、研究

1、相切兩圓的性質(zhì)．

讓學(xué)生觀察連心線與切點(diǎn)的關(guān)系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質(zhì)：

如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上．

這個(gè)性質(zhì)由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學(xué)課下可以考慮如何對這一性質(zhì)進(jìn)行證明

2、兩圓位置關(guān)系的數(shù)量特征．

設(shè)兩圓半徑分別為R和r．圓心距為d，組織學(xué)生研究兩圓的五種位置關(guān)系，r和d之間有何數(shù)量關(guān)系．（圖形略）

兩圓外切

兩圓內(nèi)切 d＝R+r； d＝R-r(R＞r);

說明：注重“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)．

（四）應(yīng)用、練習(xí)

例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，OP=8厘米。求：以P為圓心作⊙P與⊙O相切，圓⊙P的半徑是多少?

解：（1）設(shè)⊙P與⊙O外切與點(diǎn)A，則PA=PO-OA ∴PA=3cm．

（2）設(shè)⊙P與⊙O內(nèi)切與點(diǎn)B，則 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm． 綜上所述，圓⊙P的半徑是3cm或1 3cm。

練習(xí)

1、⊙O的半徑為5厘米，OP=1厘米，以P為圓心作⊙P與⊙O相切，圓⊙P的半徑是多少?

2、⊙O的半徑為5厘米，⊙P的半徑為3厘米，以P為圓心作⊙P與⊙O相切，PO是多少?

3、⊙O的半徑為5厘米，⊙P的半徑為3厘米，⊙P與⊙O外切，半徑為7厘米的圓和兩圓相切，這樣的圓能做幾個(gè)？半徑為5厘米呢？半徑為8厘米呢？

4、⊙O的半徑為15厘米，⊙P的半徑為20厘米，⊙P與⊙O相交與A、B兩點(diǎn)，AB=24。（1）求PO的長？（2）求∠PAO的度數(shù)？（3）求四邊形PAOB的面積？

（五）小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)到了什么？是怎樣學(xué)到的？

（六）作業(yè)

《圓和圓的位置關(guān)系》示范課教學(xué)反思

-------用數(shù)學(xué)眼光開生活

山西省平定縣娘子關(guān)中學(xué)馮向科

我在教學(xué)能手示范課中講授了《圓和圓的位置關(guān)系》一課。感受到學(xué)生在數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系方面有欠缺，缺乏學(xué)一致用。下面談?wù)勗谑痉墩n后我的一些實(shí)踐的心得體會。

在生活中挖掘數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，讓學(xué)生學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)，以人為本，人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。這是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的宗旨，它通過加強(qiáng)過程性，體驗(yàn)性目標(biāo)，以及對教材、教學(xué)、評價(jià)等方面的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、親身實(shí)踐、獨(dú)立思考、合作探究、獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力，以及交流與合作的能力，并且采用多種評價(jià)方式，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，體現(xiàn)著改革與創(chuàng)新精神，數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)為未來的數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向。

一 培養(yǎng)學(xué)生把生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系的能力

數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。我們的日常生活就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的大課堂，是探索問題的廣闊天地，把所學(xué)的知識運(yùn)用到生活實(shí)踐中，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的。很多數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)思想方法都可以在生活中找到它們的原型，在平時(shí)生活中，學(xué)生很難從現(xiàn)實(shí)中尋找數(shù)學(xué)題材，把要學(xué)的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的生活實(shí)際有機(jī)結(jié)合，如舉出生活中兩圓不同位置關(guān)系的實(shí)例，學(xué)生難以描述。

二、創(chuàng)設(shè)情景、貼近生活、激發(fā)興趣

結(jié)合學(xué)生身邊的實(shí)例導(dǎo)入新課，不但可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知的內(nèi)驅(qū)力，而且可使所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題具體化，形象化。在新知的教學(xué)時(shí)，如果能結(jié)合學(xué)生的日常生活，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉與感興趣的具體生活活動(dòng)情況，就能引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想、類比，溝通從具體的感性實(shí)踐到抽象概括的道路，加深對新知的理解。因此在教學(xué)中如何使學(xué)生“領(lǐng)悟”出數(shù)學(xué)知識源于生活，又服務(wù)于生活，能用數(shù)學(xué)眼光觀察生活實(shí)際，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力，是每位數(shù)學(xué)教師重視的問題。教師選取貼近學(xué)生生活實(shí)際的題材，以喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能憑借生活經(jīng)驗(yàn)，積極參與嘗試探究。因此當(dāng)學(xué)生掌握了某項(xiàng)數(shù)學(xué)知識后，可以有意識地創(chuàng)設(shè)一些把所學(xué)知識運(yùn)用到生活實(shí)際的環(huán)境。

如在導(dǎo)入《直線和圓的位置關(guān)系》時(shí)，這樣問學(xué)生：小朋友，你們看過日出

嗎？太陽和地平線在開始時(shí)候是怎樣的位置關(guān)系？后來怎么變化的呢？

三、引導(dǎo)實(shí)踐、總結(jié)規(guī)律、寓教育樂

數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐。為此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要?jiǎng)?chuàng)設(shè)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的條件給學(xué)生以實(shí)際活動(dòng)的機(jī)會，讓學(xué)生親自參與實(shí)踐，摸一摸，擺一擺，拼一拼，移一移，看一看，想一想，形成豐富的感性材料，再經(jīng)過大腦加工，由表及里，由淺入深，去偽存真地辯證分析，教學(xué)效果事半功倍。如這節(jié)課通過讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，圓和圓的位置關(guān)系、兩圓相切是圓心距和兩圓半徑的關(guān)系等結(jié)論，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，總結(jié)出規(guī)律。如果教師不讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，而是一味滔滔不絕地講解分析，學(xué)生只能是“知其然而不知其所以然”，聽得索然寡味。數(shù)學(xué)知識是抽象的，教學(xué)不得法，會挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，會扼殺學(xué)生的實(shí)踐力，會抑制學(xué)生的聰明才智。

四、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題

新課程標(biāo)準(zhǔn)很重視在教學(xué)過程中，學(xué)生的主動(dòng)參與，學(xué)生能獨(dú)立思考并能一起合作探究，能提出有價(jià)值的問題，并能通過個(gè)人的或大家的智慧解決問題。老師教給學(xué)生的是一種能力而不是問題的答案。教學(xué)中教師的作用重在于“導(dǎo)”，具體應(yīng)體現(xiàn)在啟發(fā)、點(diǎn)撥、設(shè)疑和解惑上。能讓學(xué)生先說的盡可能讓學(xué)生說，能讓學(xué)生操作的盡可能讓學(xué)生操作，能讓學(xué)生討論的盡可能讓學(xué)生討論，力求為學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境、營造氛圍。讓學(xué)生有機(jī)會成為“問”的主體，成為“信息源”，那么，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性將會被大大激發(fā)。如做完練習(xí)

3、⊙O的半徑為5厘米，⊙P的半徑為3厘米，⊙P與⊙O外切，半徑為7厘米的圓和兩圓相切，這樣的圓能做幾個(gè)？半徑為9厘米呢？半徑為8厘米呢？后。有學(xué)生問⊙O的半徑為a厘米，⊙P的半徑為b厘米，⊙P與⊙O外切，半徑＞（a+b）厘米的圓和⊙O、⊙P兩圓相切，這樣的圓能做幾個(gè)？半徑＜（a+b）厘米呢？半徑為（a+b）厘米呢？

數(shù)學(xué)知識源于生活而最終服務(wù)于生活。在今后教學(xué)中，我還要經(jīng)常從現(xiàn)實(shí)中尋找數(shù)學(xué)題材，把要學(xué)的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的生活實(shí)際有機(jī)結(jié)合，注意引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，親身體驗(yàn)，理解、鞏固、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題。

第五篇：圓——教案

圓的定義

目標(biāo)：探索圓的兩種定義，理解并掌握弧、弦、優(yōu)弧、劣弧、半圓等基本概念，能夠從圖形中識別

1、想想生活中的圓：摩天輪、呼啦圈、自行車、圓月、硬幣、瓶蓋、鐘面、圓桌、鈕扣、圓形餅干、鐵餅

2、動(dòng)手畫圓：在一個(gè)平面內(nèi)一條線段OA繞它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)形成的圖形就是圓．

3、第一定義：圓：在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段OA繞它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓；

圓心：固定的端點(diǎn)O叫作圓心；

半徑：線段OA的長度叫作這個(gè)圓的半徑．

圓的表示方法：以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離都等于定長（半徑）；（2）到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．

第二定義：所有到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形叫作圓．

4、弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦； 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫作直徑；

?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫作圓弧，簡稱??；

?弧的表示方法：以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”；

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓．

?優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫作優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如圖3中的ABC； ?劣?。盒∮诎雸A的弧叫作劣弧，如圖3中的BC．

5、思考：車輪為什么做成圓形？如果做成正方形會有什么結(jié)果？

把車輪做成圓形，車輪上各點(diǎn)到車輪中心（圓心）的距離都等于車輪的半徑，當(dāng)車輪在平面上滾動(dòng)時(shí)，車輪中心與平面的距離保持不變，因此當(dāng)車輛在平坦的路上行駛時(shí)，坐車的人會感覺到非常平穩(wěn)；如果做成其他圖形，比如正方形，正方形的中心（對角線的交點(diǎn)）距離地面的距離隨著正方形的滾動(dòng)而改變，因此中心到地面的距離就不是保持不變，因此不穩(wěn)定．

6、如何在操場上畫一個(gè)半徑是5 m的圓？

7、從樹木的年輪，可以很清楚地看出樹生長的年齡．如果一棵20年樹齡的紅杉樹的樹干直徑是23 cm，這棵紅杉樹平均每年半徑增加多少？

垂直于弦的直徑

目標(biāo)：探索圓的對稱性，進(jìn)而得到垂直于弦的直徑所具有的性質(zhì)； 能夠利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)解決相關(guān)實(shí)際問題．

1、動(dòng)手活動(dòng)：用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？

沿著圓的任意一條直徑對折，直徑兩旁的部分能夠完全重合，由此可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．

2、動(dòng)手活動(dòng)：第一步，在一張紙上任意畫一個(gè)⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個(gè)圓對折，使圓的兩半部分重合；

第二步，得到一條折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足； 第四步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B垂直于弦的直徑的性質(zhì)：

（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；

（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

?例１：AB所在圓的圓心是點(diǎn)O，過O作OC⊥AB于點(diǎn)D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圓的半徑．

弦長、半徑、拱形高、弦心距（圓心到弦的距離）四個(gè)量中，只需要知道兩個(gè)量，其余兩個(gè)量就可以求出來．

??例２：已知AB，請你利用尺規(guī)作圖的方法作出AB的中點(diǎn)，說出你的作法．

3、某條河上有一座圓弧形拱橋ACB，橋下面水面寬度AB為7．2米，橋的最高處點(diǎn)C離水面的高度2．4米．現(xiàn)在有一艘寬3米，船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里，問：這艘船是否能夠通過這座拱橋？說明理由．

GCFMAHEDOB

連接AO、GO、CO，由于弧的最高點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，所以得到 OC⊥AB，OC⊥GF，根據(jù)勾股定理容易計(jì)算 OE=1．5米，OM=3．6米．

所以ME=2．1米，因此可以通過這座拱橋．

4、銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道．如圖7所示，污水水面寬度為60 cm，水面至管道頂部距離為10 cm，問修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道?

連接OA，過O作OE⊥AB，垂足為E，交圓于F，1則AE=2AB = 30 cm．令⊙O的半徑為R，則OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．

在Rt△AEO中，OA=AE+OE，即R=30+(R-10)． 解得R =50 cm．

修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為100 cm的管道．

222

弧、弦、圓心角

目標(biāo)：（1）圓的旋轉(zhuǎn)不變性；

（2）圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理；

動(dòng)手活動(dòng)：(1)在兩張透明紙上，作兩個(gè)半徑相等的⊙O和⊙O′，沿圓周分別將兩圓剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′，如圖1所示，圓心固定．

注意：在畫∠AOB與∠A′O′B′時(shí)，要使OB相對于OA的方向與O′B′相對于O′A′的方向一致，否則當(dāng)OA與OA′重合時(shí)，OB與O′B′不能重合．

(3)將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度．使得OA與O′A′重合． 在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；

（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)（劣）弧相等．

AB??AC，∠ACB＝60°，求證∠AOB=∠AOC=∠BOC． 例

1、在⊙O中，?AOBC

例

2、AB是⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度數(shù)．

思考：定理“在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？

圓周角

目標(biāo)：1．了解圓周角與圓心角的關(guān)系．

2．探索圓周角的性質(zhì)和直徑所對圓周角的特征． 3．能運(yùn)用圓周角的性質(zhì)解決問題．

問題1：同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（?AOB和?ACB）有什么關(guān)系？

問題2：如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角（?ADB和?AEB）和同學(xué)乙的視角相同嗎？

同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半． 問題3：半圓（或直徑）所對的圓周角是多少度？90°的圓周角所對的弦是什么? 例：如圖，⊙O的直徑 AB 為10 cm，弦 AC 為6 cm，∠ACB 的平分線交⊙O于 D，求BC、AD、BD的長．

AD=BD

ACOBD

（一）圓的有關(guān)概念

1、圓（兩種定義）、圓心、半徑；

2、圓的確定條件：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?②不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

3、弦、直徑；

4、圓弧（?。?、半圓、優(yōu)弧、劣??；

5、等圓、等弧，同心圓；

6、圓心角、圓周角；

（二）圓的基本性質(zhì)

1、圓的對稱性

①圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。*②圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心。

2、圓的弦、弧、直徑的關(guān)系

①垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

* [引申] 一條直線若具有：Ⅰ、經(jīng)過圓心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所對的劣??；Ⅴ、平分弦所對的優(yōu)弧，這五個(gè)性質(zhì)中的任何兩條，必具有其余三條性質(zhì)，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ時(shí)，應(yīng)除去弦為直徑的情況）

3、弧、弦、圓心角的關(guān)系

①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

②在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等。③在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。

歸納：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等。

4、圓周角的性質(zhì)

①定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。②在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

③推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。