第一篇：高中立體幾何教案

高中立體幾何教案 第一章 直線和平面 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)教案

教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生掌握兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理及應(yīng)用；

2．引導(dǎo)學(xué)生自己探索與研究?jī)蓚€(gè)平面平行的性質(zhì)定理，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理；

難點(diǎn)：兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理的證明及應(yīng)用． 教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

教師簡(jiǎn)述上節(jié)課研究的主要內(nèi)容（即兩個(gè)平面的位置關(guān)系，平面與平面平行的定義及兩個(gè)平面平行的判定定理），并讓學(xué)生回答：

（1）兩個(gè)平面平行的意義是什么？

（2）平面與平面的判定定理是怎樣的？并用命題的形式寫(xiě)出來(lái)？

（教師板書(shū)平面與平面平行的定義及用命題形式書(shū)寫(xiě)平面與平面平行的判定定理）（目的：（1）通過(guò)學(xué)生回答，來(lái)檢查學(xué)生能否正確敘述學(xué)過(guò)的知識(shí)，正確理解平面與平面平行的判定定理．（2）板書(shū)定義及定理內(nèi)容，是為學(xué)生猜測(cè)并發(fā)現(xiàn)平面與平面平行的性質(zhì)定理作準(zhǔn)備）

二、引出命題

（教師在對(duì)上述問(wèn)題講評(píng)之后，點(diǎn)出本節(jié)課主題并板書(shū)，平面與平面平行的性質(zhì)）師：從課題中，可以看出，我們這節(jié)課研究的主要對(duì)象是什么？ 生：兩個(gè)平面平行能推導(dǎo)出哪些正確的結(jié)論．

師：下面我們猜測(cè)一下，已知兩平面平行，能得出些什么結(jié)論．（學(xué)生議論）

師：猜測(cè)是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的方法．“沒(méi)有大膽的猜想，就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以對(duì)已有的命題增加條件，或是交換已有命題的條件和結(jié)

論．也可通過(guò)類(lèi)比法即通過(guò)兩個(gè)對(duì)象類(lèi)似之處的比較而由已經(jīng)獲得的知識(shí)去引出新的猜想等來(lái)得到新的命題．

（不僅要引導(dǎo)學(xué)生猜想，同時(shí)又給學(xué)生具體的猜想方法）

師：前面，復(fù)習(xí)了平面與平面平行的判定定理，判定定理的結(jié)論是兩平面平行，這對(duì)我們猜想有何啟發(fā)？

生：由平面與平面平行的定義，我猜想：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)面．

師：很好，把它寫(xiě)成命題形式．

（教師板書(shū)并作圖，同時(shí)指出，先作猜想、再一起證明）猜想一：

已知：平面α∥β，直線a 求證：a∥β．

生：由判定定理“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”．我猜想：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面．

[教師板書(shū)]

α，猜想二：

已知：平面α∥β，直線l⊥α．

求證：l⊥β．

師：這一猜想的已知條件不僅是“α∥β”，還加上了“直線l⊥α”．下面請(qǐng)同學(xué)們看課本上關(guān)于判定定理“垂直于同一直線的兩平面平行”的證明．在證明過(guò)程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a(chǎn)與a′是什么關(guān)系？

生：a∥a′．

師：若改為γ不是過(guò)AA′的平面，而是任意一個(gè)與α，β都相交的平面γ．同學(xué)們考慮一下是否可以得到一個(gè)猜想呢？

（學(xué)生討論）

生：如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，也必與另一個(gè)平面相交．” [教師板書(shū)] 猜想三：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求證：γ與β一定相交． 師：怎么作這樣的猜想呢？

生：我想起平面幾何中的一個(gè)結(jié)論：“一條直線與兩條平行線中的一條相交，也必與另一條相交．”

師：很好，這里實(shí)質(zhì)用的是類(lèi)比法來(lái)猜想．就是把原來(lái)的直線類(lèi)似看作平面．兩平行直線類(lèi)似看作兩個(gè)平行平面，從而得出這一猜想．大家再考慮，猜想三中，一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，得到的交線有什么位置關(guān)系？

生：平行

師：請(qǐng)同學(xué)們表達(dá)出這個(gè)命題．

生：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行． [教師板書(shū)]

猜想四：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b． 求證：a∥b．

[通過(guò)復(fù)習(xí)定理的證明方法，既發(fā)現(xiàn)了猜想三，猜想四，同時(shí)又復(fù)習(xí)了定理的證明方法，也為猜想四的證明，作了鋪墊] 師：在得到猜想三時(shí)，我們用到了類(lèi)比法，實(shí)際上，在立體幾何的研究中，將所要解決的問(wèn)題與平面幾何中的有關(guān)問(wèn)題作類(lèi)比，常常能給我們以啟示，發(fā)現(xiàn)立體幾何中的新問(wèn)題．比如：在平面幾何中，我們有這樣一條定理：“夾在兩條平行線間的平行線段相等”，請(qǐng)同學(xué)們用類(lèi)比的方法，看能否得出一個(gè)立體幾何中的猜想？

生：把兩條平行線看作兩個(gè)平行平面，可得猜想：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等． [教師板書(shū)] 猜想五：

已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β． 求證：AA′=BB′．

[該命題，在教材中是一道練習(xí)題，但也是平面與平面平行的性質(zhì)定理，為了完整體現(xiàn)平面與平面平行的性質(zhì)定理，故爾把它放在課堂上進(jìn)行分析]

三、證明猜想

師：通過(guò)分析，我們得到了五個(gè)猜想，猜想的結(jié)論往往并不完全可靠．得到猜想，并不意謂著我們已經(jīng)得到了兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，下面主要來(lái)論證我們得到的猜想是否正確．

[師生相互交流，共同完成猜想的論證] 師：猜想一是由平面與平面平行的定義得到的，因此在證明過(guò)程中要注意應(yīng)用定義． [猜想一證明] 證明：因?yàn)棣痢桅?，所以α與β無(wú)公共點(diǎn)． 又 因?yàn)閍 α，所以 a與β無(wú)公共點(diǎn)． 故 a∥β．

師：利用平面與平面平行的定義及線面平行的定義，論證了猜想一的正確性．這便是平面與平面平行的性質(zhì)定理一．簡(jiǎn)言之，“面面平行，則線面平行．”

[教師擦掉“猜想一”，板書(shū)“性質(zhì)定理一”] [論證完猜想一之后，教師與學(xué)生共同研究了“猜想二”，發(fā)現(xiàn)，若論證了“猜想四”的正確性質(zhì)，“猜想二”就容易證了，因而首先討論“猜想三，猜想四”] 師：“猜想三”是類(lèi)比平面幾何中的結(jié)論得到的，還記得初中時(shí)，是怎么證明的？ [學(xué)生回答：反證法] 師：那么，大家可否類(lèi)比初中的證明方法來(lái)證明“猜想三”呢？

生：用反證法：假設(shè)γ與β不相交，則γ∥β．這樣過(guò)直線a有兩個(gè)平面α和γ與β平行．與“過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行”矛盾．故γ與β相交．

師：很好．由此可知：不只是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題時(shí)可用類(lèi)比法，就是證明方法也可用類(lèi)比方法．不過(guò)猜想三，雖已證明為正確的命題，但教材中并把它作為平面與平面平行的性質(zhì)定理，大家在今后應(yīng)用中要注意．

[猜想四的證明] 師：猜想四要證明的是直線a∥b，顯然a，b共面于平面γ，只需推導(dǎo)出a與b無(wú)公共點(diǎn)即可． 生：（證法一）因?yàn)?a∥β，所以 a與β無(wú)公共點(diǎn)．

又因?yàn)?a α，b β．

所以 a與b無(wú)公共點(diǎn)． 又因?yàn)?a γ，b 所以 a∥b．

師：我們來(lái)探討其它的證明方法．要證線線平行，可以轉(zhuǎn)化為線面平行． 生：（證法二）

因?yàn)?a α，又因?yàn)?α∥β，所以 a∥β．

又因?yàn)?a γ，且γ∩β=b，所以 a∥b．

師：用兩種不同證法得出了“猜想四”是正確的．這是平面和平面平行的性質(zhì)定理二． [教師擦掉“猜想四”，板書(shū)“性質(zhì)定理二”] 師：平面與平面平行的性質(zhì)定理二給出了在兩個(gè)平行平面內(nèi)找一對(duì)平行線的方法．即：“作一平面，交兩面，得交線，則線線平行．”同時(shí)也給我們證明兩條直線平行的又一方法．簡(jiǎn)言之，“面面平行，則線線平行”．

[猜想二的證明] 師：猜想二要證明的是直線l⊥β，根據(jù)線面垂直的判定定理，就要證明l和平面β內(nèi)的兩條相交直線垂直．那么如何在平面β內(nèi)作兩條相交直線呢？

[引導(dǎo)學(xué)生回憶：“垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行”的定理的證明] γ，生：（證法一）設(shè)l∩α=A，l∩β=B．

過(guò)AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′． 因?yàn)?α∥β，所以 a∥a′．

再過(guò)AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′． 同理b∥b′．

又因?yàn)閘⊥α，所以 l⊥a，l⊥b，所以 l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，故 l⊥β．

師：要證明l⊥β，根據(jù)線面垂直的定義，就是要證明l和平面β內(nèi)任何一條直線垂直． 生：（證法二）

在β內(nèi)任取一條直線b，經(jīng)過(guò)b作一平面γ，使γ∩α=a，因?yàn)?α∥β，所以 a∥b，因此 l⊥α，a α，故 l⊥a，所以 l⊥b． 又因?yàn)閎為β內(nèi)任意一條直線，所以 l⊥β．

[教師擦掉“猜想二”，板書(shū)“性質(zhì)定理三”] [猜想五的證明] 證明：因?yàn)?AA′∥BB′，所以過(guò)AA′，BB′有一個(gè)平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．

因?yàn)?α∥β，所以 AB∥A′B′，因此 AA′ B′B為平行四邊形． 故 AA′=BB′．

[教師擦掉“猜想五”，板書(shū)“性質(zhì)定理四”] 師：性質(zhì)定理四，是類(lèi)比兩條平行線的性質(zhì)得到的．平行線的性質(zhì)有許多，大家還能類(lèi)比得出哪些有關(guān)平行平面的猜想呢？你能證明嗎？請(qǐng)大家課下思考．

[因類(lèi)比法是重要的方法，但平行性質(zhì)定理已得出，故留作課下思考]

四、定理應(yīng)用

師：以上我們通過(guò)探索一猜想一論證，得出了平面與平面平行的四個(gè)性質(zhì)定理，下面來(lái)作簡(jiǎn)單的應(yīng)用．

例 已知平面α∥β，AB，CD為夾在α，β間的異面線段，E、F分別為AB，CD的中點(diǎn)． 求證：EF∥α，EF∥β．

師：要證EF∥β，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，就是要在β內(nèi)找一條直線與EF平行． 證法一：

連接AF并延長(zhǎng)交β于G． 因?yàn)?AG∩CD=F，所以 AG，CD確定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG． 因?yàn)?α∥β，所以 AC∥DG，所以 ∠ACF=∠GDF，又 ∠AFC=∠DFG，CF=DF，所以 △ACF≌△DFG． 所以 AF=FG． 又 AE=BE，所以 EF∥BG，BG 故 EF∥β． 同理：EF∥α．

師：要證明EF∥β，只須過(guò)EF作一平面，使該平面與β平行，則根據(jù)平面與平面平行性質(zhì)定理即可證．

證法二：因?yàn)锳B與CD為異面直線，所以A CD． β．

在A，CD確定的平面內(nèi)過(guò)A作AG∥CD，交β于G，取AG中點(diǎn)H，連結(jié)AC，HF． 因?yàn)?α∥β，所以 AC∥DG∥EF．

因?yàn)?DG β，所以 HF∥β． 又因?yàn)?E為AB的中點(diǎn)，因此 EH∥BG，所以 EH∥β． 又EH∩FH=H，因此平面EFH∥β，EF 所以 EF∥β． 同理，EF∥α．

平面EFH，師：從以上兩種證明方法可以看出，雖然是解決立體幾何問(wèn)題，但都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題來(lái)解決的．這是解決立體幾何問(wèn)題的一種技能，只是依據(jù)的不同，轉(zhuǎn)化的方式也不同．

五、平行平面間的距離

師：和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段．兩個(gè)平行平面有幾條公垂線？這些公垂線的位置關(guān)系是什么？

生：兩個(gè)平行平面有無(wú)數(shù)條公垂線，它們都是平行直線．

師：夾在兩平行平面之間的公垂線段有什么數(shù)量關(guān)系？根據(jù)是什么？ 生：相等，根據(jù)“夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等．”

師：可見(jiàn)夾在兩個(gè)平行平面的公垂線段長(zhǎng)度是唯一的．而且是夾在兩個(gè)平行平面間的所有線段中最短的．因此我們把這公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面的距離．顯然兩個(gè)平行平面的距離等于其中一個(gè)平面上的任一點(diǎn)到另一個(gè)平面的垂線段的長(zhǎng)度．

六、小結(jié)

1．由學(xué)生用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言來(lái)敘述兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理．

教師總結(jié)本節(jié)課是由發(fā)現(xiàn)與論證兩個(gè)過(guò)程組成的．簡(jiǎn)單的說(shuō)就是：由具體問(wèn)題具體素材用類(lèi)比等方法猜想命題，并由轉(zhuǎn)化等方法論證猜想的正確性，得到結(jié)論．

2．在應(yīng)用定理解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，要注意轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)題來(lái)處理．大家在今后學(xué)習(xí)中一定要注意掌握這一基本技能．

3．線線平行、線面平行與面面平行的判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系．在學(xué)習(xí)中應(yīng)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的科學(xué)規(guī)律：低一級(jí)位置關(guān)系判定著高一級(jí)位置關(guān)系；高一級(jí)位置關(guān)系一定能推導(dǎo)低一級(jí)位置關(guān)系．下面以三種位置關(guān)系為綱應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想整理如下：

七、布置作業(yè)

課本：p．38，習(xí)題五5，6，7，8． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．本節(jié)課的中心是兩個(gè)平行平面的性質(zhì)定理．定理較多，若采取平鋪直敘，直接地給出命題，那樣就繞開(kāi)了發(fā)現(xiàn)、探索問(wèn)題的過(guò)程，雖然比較省事，但對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力是不利的． 在設(shè)計(jì)本教案時(shí)，充分考慮到教學(xué)研究活動(dòng)是由發(fā)現(xiàn)與論證這樣兩個(gè)過(guò)程組成的．因而把“如何引出命題”和“如何猜想”作為本節(jié)課的重要活動(dòng)內(nèi)容．在教師的啟發(fā)下，讓學(xué)生利用具體問(wèn)題；運(yùn)用具體素材，通過(guò)類(lèi)比等具體方法，發(fā)現(xiàn)命題，完成猜想．然后在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生一一完成對(duì)猜想的證明，得到兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理．也就在這一“探索”、“發(fā)現(xiàn)”、“論證”的過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．

在實(shí)施過(guò)程中，讓學(xué)生處在主體地位，教師始終處于引導(dǎo)者的位置．特別是在用類(lèi)比法發(fā)現(xiàn)猜想時(shí)，學(xué)生根據(jù)兩條平行線的性質(zhì)類(lèi)比得出許多猜想．比如：根據(jù)“平行于同一條直線的兩條直線平行”得到“平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．”根據(jù)“兩條直線平行，同位角相等”等，得到“與兩個(gè)平行平面都相交的直線與兩個(gè)平面所成的角相等”等等，當(dāng)然在這些猜想中，有的是正確的，有的是錯(cuò)誤的，這里不一一敘述．這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中，注意變化，作適當(dāng)處理．學(xué)生在整節(jié)課中，思維活躍，沉浸在“探索、發(fā)現(xiàn)”的思維樂(lè)趣中，也正是在這種樂(lè)趣中，提高了學(xué)生的思維能力．

2．在對(duì)定理的證明過(guò)程中，課上不僅要求證出來(lái)，而且還考慮多種證法．對(duì)于定理的證明，是解決問(wèn)題的一些常用方法，也可以說(shuō)是常規(guī)方法，是要學(xué)生認(rèn)真掌握的．因此教師要把定理的證明方法，作為教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行必要的講解，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力．

3．轉(zhuǎn)化是重要的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)思維方法．它在立體幾何中處處體現(xiàn)．實(shí)質(zhì)上處理空間圖形問(wèn)題的基本思想方法就是把它轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn)．特別是在線線平行，線面平行，面面平行三種平行的關(guān)系上轉(zhuǎn)化的思想也有較充分的體現(xiàn)，因而在小結(jié)中列出三個(gè)平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)讓的關(guān)系圖，一方面便于學(xué)生理解，記憶，同時(shí)通過(guò)此表，能馬上發(fā)現(xiàn)三者相互推導(dǎo)的關(guān)系，能打開(kāi)思路，發(fā)現(xiàn)線索，得到最佳的解題方案．

第二篇：高中立體幾何

高中立體幾何的學(xué)習(xí)

高中立體幾何的學(xué)習(xí)主要在于培養(yǎng)空間抽象能力的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生普遍反映“幾何比代數(shù)難學(xué)”。但很多學(xué)好這部分的同學(xué)，又覺(jué)得這部分很簡(jiǎn)單。那么,怎樣才能學(xué)好立體幾何呢?我這里談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)。

一．空間想象能力的提高。

開(kāi)始學(xué)習(xí)的時(shí)候，首先要多看簡(jiǎn)單的立體幾何題目，不能從難題入手。自己動(dòng)手畫(huà)一些立體幾何的圖形，比如教材上的習(xí)題，輔導(dǎo)書(shū)上的練習(xí)題，不看原圖，自己先畫(huà)。畫(huà)出來(lái)的圖形很可能和給出的圖不一樣，這是好事，再對(duì)比一下，那個(gè)圖更容易解題。

二．邏輯思維能力的培養(yǎng)。

培養(yǎng)邏輯思維能力，首先是牢固掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，其次掌握必要的邏輯知識(shí)和邏輯思維。

1.加強(qiáng)對(duì)基本概念理解。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的兩大組成部分之一，理解與掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。

對(duì)于基本概念的理解，首先要多想。比如對(duì)異面直線的理解，兩條直線不在同一個(gè)平面是簡(jiǎn)單的定義，如何才能不在同一個(gè)平面呢，第一是把同一個(gè)[平面上的直線離開(kāi)這個(gè)平面，或者用兩支筆來(lái)比劃，這樣直觀上有了異面直線的概念，然后想在數(shù)學(xué)上怎么才能保證兩條直

線不在一個(gè)平面，那些條件能保證兩條直線不在一個(gè)平面。我們多去想想，就可以知道，只要直線不平行，并且不相交，那么就異面，對(duì)于不平行的條件，在平面幾何中我們已經(jīng)知道，如何能保證不相交呢，想象延長(zhǎng)線等手段能不能得到證明呢，如果不能，那么把其中一條直線放在一個(gè)平面，看另外一條直線和這個(gè)平面是否平行，這樣我們對(duì)異面直線的概念就比較容易掌握。

這在立體幾何“簡(jiǎn)單幾何體”部分的學(xué)習(xí)中顯得尤為突出，本章節(jié)中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，嚴(yán)謹(jǐn)性，辨析相近易混的概念。如：正四面體與正三棱錐、長(zhǎng)方體與直平行六面體、軸截面與直截面、球面與球等概念的區(qū)別和聯(lián)系。

2.加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)命題理解，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)命題解決問(wèn)題。

對(duì)數(shù)學(xué)的公理，定理的理解和應(yīng)用，突出反映在題目的證明和計(jì)算上。需要避免證明中出現(xiàn)邏輯推理不嚴(yán)密，運(yùn)用定理、公理、法則時(shí)言非有據(jù)，或以主觀臆斷代替嚴(yán)密的科學(xué)論證，書(shū)寫(xiě)格式不合理，層次不清，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言使用不當(dāng)，不合乎習(xí)慣等。

（1）重視定理本身的證明。我們知道，定理本身的證明思路具有示范性，典型性，它體現(xiàn)了基本的邏輯推理知識(shí)和基本的證明思想的培養(yǎng),以及規(guī)范的書(shū)寫(xiě)格式的養(yǎng)成。做到不僅會(huì)分析定理的條件和結(jié)論,而且能掌握定理的內(nèi)容,證明的思想方法,適用范圍和表達(dá)形式.特別是進(jìn)入高中學(xué)習(xí)以后所涉及到的一些新的證題的思想方法,如新教材上的立體幾何例題:“過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.”此定理的證明就采用了反證法,那么反

證法的證題思想就需要去體會(huì),一般步驟,書(shū)寫(xiě)格式,注意要點(diǎn)等.并配以適當(dāng)?shù)挠?xùn)練,以初步掌握應(yīng)用反證法證明立體幾何題.(2)提高應(yīng)用定理分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.這常常體現(xiàn)在遇到一個(gè)幾何題以后,不知從何下手.對(duì)于習(xí)題，我們首先需要知道：要干什么（要求的結(jié)論是什么），那些條件能滿足要求，這樣一步一步往前找條件。當(dāng)然這要根據(jù)具體情況，需要多看習(xí)題，我反對(duì)題海，但必要的練習(xí)是不可以缺少的。

第三篇：教案 立體幾何

【教學(xué)過(guò)程】 *揭示課題 9 立體幾何 *復(fù)習(xí)導(dǎo)入

一、點(diǎn)線面的位置關(guān)系 點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：A?a　A?a 2.點(diǎn)與面的位置關(guān)系： A??　A?? 3.直線與直線的位置關(guān)系：平行 相交 異面 4直線與平面的位置關(guān)系： 在平面內(nèi) 相交平行

二、線面平行的判定定理

1.線線平行：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

2.線面平行：如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線就和這個(gè)平面平行

3.面面平行：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行

三、線面平行的性質(zhì)定理

1.線線平行：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等

2.線面平行：如果一條直線和一個(gè)平面平行，并且經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)面相交，那么這條直線和交線平行

3.面面平行：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

四、線面垂直的判定定理

1.線面垂直：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直

2.面面垂直：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

五、線面垂直性質(zhì)定理

1.線面垂直：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行

2.面面垂直：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面

六、柱、錐、球 1.棱柱、圓柱

S側(cè)=底面周長(zhǎng)?高V體=底面面積?高2.棱錐、圓錐

1底面周長(zhǎng)?母線2 1V體=底面積?高3S側(cè)?3.球

S表=4?r243 V體=?r3*練習(xí)講解 復(fù)習(xí)題A組 *歸納小結(jié)

本章立體幾何部分概念偏多，需要著重分辨判定定理與性質(zhì)定理的適用范圍，將點(diǎn)線面位置關(guān)系化為最簡(jiǎn)單的線線判斷，由此可提高位置判定的速度，能夠更加地熟練運(yùn)用各大定理。

第四篇：高中立體幾何常用結(jié)論、定理

立體幾何中的定理、公理和常用結(jié)論

一、定理

1．公理

1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．

若A∈l，B∈l，A∈?，B∈?，則l??．

2．公理

2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線．

P∈?，P∈???∩?＝l，且P∈l．

3．公理

3經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．

推論1

經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 推論2

經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面． 推論3

經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．

4．異面直線的判定定理：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線．（若a?α，A∈/α，B∈α，B∈/a，則直線AB和直線a是異面直線．）5．公理4（空間平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．

6．等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等． 7．定理：如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條直線，那么它也垂直于另一條直線．

若b∥c，a⊥b，則a⊥c．

8．直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行． 若a?／?，b??，a∥b，則a∥?．

9．直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行． 若a∥?，a?β，??β＝b，則a∥b．

10．直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，這條直線和這個(gè)平面垂直．

若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，則l⊥α． 11．：若兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直．

若a∥b，a⊥α，則b⊥α．

12．直線與平面垂直的性質(zhì)定理：若兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．

若a⊥α，b⊥α，則a∥b．

13．平面與平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．

若a??，b??，a?b＝A，a∥?，b∥?，則?∥?．

14．平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．

若?∥?，?∩γ＝a，?∩γ＝b，則a∥b．

15．定理：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．

若α∥β，a⊥α，則a⊥β．

16．兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直． 若l⊥?，l??，則?⊥?．

17．兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面． 若?⊥?，?∩?＝l，a??，a⊥l，則a⊥?．

18．兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)． 若?⊥?，P∈?，P∈a，a⊥?，則a??．

19．長(zhǎng)方體的體積公式：V長(zhǎng)方體＝abc，其中a，b，c分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高．

20．祖暅原理：兩個(gè)等高（夾在兩個(gè)平行平面之間）的幾何體，如果在任何等高處的截面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．

二、常識(shí)

1．過(guò)空間一點(diǎn)，與已知平面垂直的直線有且只有一條． 2．過(guò)空間一點(diǎn)，與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)． 3．經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行．

三、常用結(jié)論

（可用來(lái)解決選擇、填空題）

1．空間四點(diǎn)A、B、C、D，若直線AB與CD異面，則AC與BD，AD與BC也一定異面． 2．如果過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線平行于與此平面平行的一條直線，那么這條直線在此平面內(nèi)． 3．如果過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線垂直于與此平面垂直的一條直線，那么這條直線在此平面內(nèi)． 4．夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等．

5．經(jīng)過(guò)兩條異面直線中的一條，有且只有一個(gè)平面與另一條直線平行．

6．若直線a同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，則a一定也平行于這兩個(gè)相交平面的交線． 7．如果一條直線垂直于一個(gè)三角形的兩邊，那么它也垂直于第三邊．

8．如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線所在直線上．

9．如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，那么這兩個(gè)平面平行．

10．平行于同一平面的兩個(gè)平面平行．

11．空間四面體A－BCD中，若有兩對(duì)對(duì)棱互相垂直，則第三對(duì)對(duì)棱也互相垂直，且頂點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是△BCD的垂心（類(lèi)似地，頂點(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的射影是ΔACD的垂心，…）．

12．空間四面體P－ABC中，若PA、PB、PC兩兩垂直，則 ①點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是ΔABC的垂心；

②△ABC的垂心O也是點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影（PO⊥平面ABC）． 13．空間四面體P－ABC中，①若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的外心．

②若三個(gè)側(cè)面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的內(nèi)心． 14．如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面． 若?⊥?，P∈?，P∈a，a⊥?，則a??．

第五篇：高中立體幾何證明方法

高中立體幾何

一、平行與垂直關(guān)系的論證

由判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系，在應(yīng)用中：低一級(jí)位置關(guān)系判定高一級(jí)位置關(guān)系；高一級(jí)位置關(guān)系推出低一級(jí)位置關(guān)系，前者是判定定理，后者是性質(zhì)定理。1.線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

面面平行性質(zhì)

?//?

????a,???

???a?b?

//b)

線面平行性質(zhì)

?//???//??

??

a???

????b??

a//??a//b

?//??

a???

?

?

??//?

?a//?

2.線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

在?內(nèi)射影a??

則a?OA?a?POa?PO?a?AO

l??

線面垂直定義

???

?

?a?

??

?l?a

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????b??a?? a??,a?b??

?????????

?

?

??a?? ?a??

面面垂直定義

????l，且二面角??l???

成直二面角

?????

?

3.平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

a//b?a??

a???

a

??b???

a???

???

//?

面面平行判定2 面面平行性質(zhì)

3a???b???

??a//b

?//??a??

?a???

4.應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化”的基本思路——“由求證想判定，由已知想性質(zhì)?！?.唯一性結(jié)論：

二、三類(lèi)角

1.三類(lèi)角的定義：

（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°（??0?時(shí)，b∥?或b

??）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2.三類(lèi)角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有關(guān)的角；（2）證明其符合定義；（3）指出所求作的角；（4）計(jì)算大小。

（三）空間距離：求點(diǎn)到直線的距離，經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點(diǎn)到直線的垂線，然后在相關(guān)三角形中求解。求點(diǎn)到面的距離，一般找出（或作出）過(guò)此點(diǎn)與已知平面垂直的平面利用面面垂直的性質(zhì)求之也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離，直線與平面的距離，面面距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離。