第一篇：高中立體幾何教案 第二章 多面體與旋轉(zhuǎn)體 球教案

高中立體幾何教案 第二章 多面體與旋轉(zhuǎn)體 球教案

內(nèi)蒙巴盟奮斗中學(xué) 傅裕東

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握球的定義．

2．掌握球的性質(zhì)，并能熟練應(yīng)用；

3．通過球的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：球的截面性質(zhì)． 難點(diǎn)：球面距離的計(jì)算． 教學(xué)設(shè)計(jì)過程

一、復(fù)習(xí)提問

師：圓柱是怎樣定義的．

生：以矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．

師：是矩形的邊為旋轉(zhuǎn)軸嗎？ 生：是

師：同學(xué)們請(qǐng)讀p．21定義，然后教師強(qiáng)調(diào)指出，是以矩形的一邊所在的直線為軸．

師：同學(xué)們?cè)倏紤]：圓錐、圓臺(tái)是怎樣定義的．教師要強(qiáng)調(diào)邊所在的直線為軸．

二、講課題

師：以上同學(xué)們清楚了圓柱、圓錐、圓臺(tái)的形成過程．那么球是怎樣形成的呢？是否也可以通過某一個(gè)幾何體旋轉(zhuǎn)而形成呢？學(xué)生經(jīng)過思考不難發(fā)現(xiàn)，半圓以它的直徑所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面圍成的幾何體．（待學(xué)生回答后）教師展示教具，（從而得出球面的旋轉(zhuǎn)定義）（板書）半圓以它直徑所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體（簡稱球），（接著教師畫出下圖并介紹球的有關(guān)概念：球心、球半徑、直徑、球的表示，特別要強(qiáng)調(diào)球面與球二者的區(qū)別）

師：球面與球的區(qū)別是什么？

生：球是包括球面在內(nèi)的一個(gè)幾何體，球面是一個(gè)面．

師：在平面幾何里，從點(diǎn)集的觀點(diǎn)看圓是怎么定義的，我們是否也可用類似的方法定義球面．

生：在同一平面內(nèi)，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓．

師：在空間到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，是以定點(diǎn)為球心的球面． 球的性質(zhì)：

師：通過上面的討論我們不難看出：球面兩種定義和圓有聯(lián)系．比如說：從點(diǎn)集的觀點(diǎn)看圓與球面的定義，這個(gè)定義就其內(nèi)容來說，都是指到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，它們的不同之處只在于定義適用的范圍，圓的定義是對(duì)平面而言，而球的定義則是對(duì)空間而言的，因此可以說，球面的概念是圓的概念在空間的推廣，既然如此我們不禁要問，它們之間會(huì)不會(huì)有某些相似的性質(zhì)，我們能否從圓的某些性質(zhì)去推測并證明球的某些性質(zhì)．

（顯而易見，上面的引入和啟發(fā)為學(xué)生對(duì)球性質(zhì)的進(jìn)一步探討在思維方法上做好了必要的準(zhǔn)備，學(xué)生已形成了一定的“定勢”思維，教師要牢牢把握住既定的思維軌道去探索）

師：我們知道圓的割線在圓內(nèi)的部分是一條線段，球被平面所截其截面是什么？

生：是圓面．

師：為什么是圓面，教師出示教具演示，并指出教材不做證明要求．（請(qǐng)有興趣的同學(xué)下去完成證明）

（下面的證明僅供教師參考）

證明：設(shè)球的半徑是R，下面分兩種情況研究．

（1）設(shè)平面α與球面相交，如果點(diǎn)O∈α（如上圖2），設(shè)A是球面和平面α的交線上的任意一點(diǎn)，因?yàn)锳在球面上，所以AO=R．

所以A在平面α內(nèi)以O(shè)為圓心，R為半徑的圓上．反過來，如果B是這個(gè)圓上的任意一點(diǎn)．因?yàn)镺B=R，所以點(diǎn)B在球面上．

點(diǎn)B在球面上，又在平面α內(nèi)，就是說點(diǎn)B在平面α和球面的交線上． 因此，平面α和球O的截面是一個(gè)圓面．

（2）如果點(diǎn)O α（如圖3），自點(diǎn)O作OK⊥α，垂足為K，設(shè)A是平面α和球面交線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AK．因?yàn)镺K⊥α，所

B在球O的球面上．

點(diǎn)B在平面α內(nèi)，又在球O的球面上，那么點(diǎn)B就在它們的交線上． 因此平面α截球O的截面是一個(gè)圓面了．

師：球的截面在球中的地位類似于弦在圓中的地位，截面是圓面．（學(xué)生明確了球的截面是圓面之后，下面的問題便迎刃而解）

師：在圓中，圓心與弦的中點(diǎn)連線與弦有什么位置關(guān)系？ 生：垂直．

師：那么在球中，球心與截面圓心的連線與截面有什么位置關(guān)系．（教師畫出示意圖）

生：垂直于截面圓．（教師板書球的性質(zhì)（1））（并展示實(shí)物或模型演示給學(xué)生，不作證明）

師：球心與截面圓心的連線垂直于截面圓，那么不難看出，球半徑R，球心與截面圓的距離d，及截面圓半徑r之間有什么關(guān)系？

師板書球的性質(zhì)（2）］

師：在圓中，弦心距的變化與弦長有什么關(guān)系．

生：當(dāng)d=0時(shí)弦最長，隨著弦心距的增大，弦在減小，當(dāng)d=R時(shí)弦長為0，這時(shí)直線與圓相切．

師：在球中，球心到截面的距離d與截面圓的大小有什么關(guān)系？

生：（可類比圓的弦變化思考）當(dāng)d=0時(shí)，截面過球心，這時(shí)R=r，截面圓最大，如圖4．

師：這個(gè)圓叫做大圓．

生：當(dāng)d增大時(shí)截面圓越來越小．

師：當(dāng)0＜d＜R時(shí)截面是小圓，如圖5．當(dāng)d=R時(shí)，截面圓縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)稱截面與球相切，如圖6．

師：在地球儀中，緯線和徑線是怎樣規(guī)定的．

生：平行于赤道的小圓線是緯線，過南北極的半大圓是經(jīng)線．

師：（下面對(duì)經(jīng)度和緯度結(jié)合圖形要講清楚，這兩個(gè)概念也是很難理解的）如圖7，緯度——P點(diǎn)的緯度，也是

或∠POA的度數(shù)，即：某地的緯度就是經(jīng)過該點(diǎn)的球半徑和赤道平面所成的角度．

如圖8，經(jīng)度——P點(diǎn)的經(jīng)度，也是

或∠AOB的度數(shù)，即：某地點(diǎn)的徑度就是經(jīng)過這點(diǎn)的徑線與地軸確定的半平面與本初子午線與地軸確定的半平面所成二面角的度數(shù)．

球面上兩點(diǎn)間的距離．（用地球儀邊演示邊發(fā)問）

師：如果我們把地球看成一個(gè)球，我們會(huì)遇到這樣的問題，由A到B的球面上應(yīng)如何走行程最短？我們知道平面上兩點(diǎn)間最短的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長度，而地球的表面是曲面，球面上A，B兩點(diǎn)間的最短路程顯然不是線段AB的長度，那么它又是什么呢？（這時(shí)教師把事先做好的連接A，B兩段鐵絲作成的圓弧由地球儀表面（見圖9）搬在電教片上，并畫圖10．）指出這相當(dāng)于在平面上連接A，B的劣弧中，怎樣的劣弧的長度最短？就圖而言？哪一段弧較短？（要求學(xué)生答），這兩段弧在本質(zhì)上有什么區(qū)別？

生：所在圓半徑不同．

師：可以看出，半徑較大的劣弧反而短．這就啟示我們，在球面由A到B的路程要盡量沿著所在圓半徑較大的劣弧走．在連接A，B的劣弧中最大圓的半徑存在嗎？生：（學(xué)生相互議論，研究發(fā)現(xiàn)）最大圓半徑存在． 師：它等于多少？

生：就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓半徑R．

師：由以上討論：最后我們知道，在球面上，兩點(diǎn)間的最短距離就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧長度，把這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)間的球面距離．（板書）例1（把例題抄在投影片上）

我國首都北京靠近北緯40°，求北緯40°緯線的長度約為多少千米（地球半徑約6370km）．

師：怎樣能把這個(gè)問題平面化呢？ 生：做地球的截面大圓．

師：是截面大圓嗎？任一個(gè)截面大圓能完成該題的要求嗎？

生：（部分學(xué)生說能，另一部分說不能，經(jīng)過討論爭執(zhí)，最后統(tǒng)一了意見）是經(jīng)過南北極的大圓截面．

師：（畫圖）請(qǐng)同學(xué)回答哪個(gè)角等于40°．

生：∠AOB=40°

師：請(qǐng)找出經(jīng)過A點(diǎn)緯線圈的半徑． 生：半徑是AK．

師：過A點(diǎn)緯線圈的周長是多少？ 生：C=2π·AK．

師：用半徑R和40°表示AK的長． 生：AK=Rcos40°

師：故求出了北緯40°緯線的長度約為

C＝2π·Rocs40°=3.066×104km 練習(xí)：

（1）課本p．87 1．（2）下列命題：

a．球的任意兩個(gè)大圓的交點(diǎn)連線是球的直徑．

b．球面上任意兩點(diǎn)的球面距離，是過這兩點(diǎn)的大圓弧長． c．球面上任意兩點(diǎn)的球面距離，是連接這兩點(diǎn)的線段長． d．用不過球心的平面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面． 正確的是 [ ] A．a(chǎn)，b C．a(chǎn)，d

B．b，c D．d 作業(yè)：課本p．91．1．2． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本教案體現(xiàn)由淺入深、循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，充分體現(xiàn)了啟發(fā)式、和類比思想的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力．

第二篇：高中立體幾何教案

高中立體幾何教案 第一章 直線和平面 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)教案

教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生掌握兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理及應(yīng)用；

2．引導(dǎo)學(xué)生自己探索與研究兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理；

難點(diǎn)：兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理的證明及應(yīng)用． 教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)提問

教師簡述上節(jié)課研究的主要內(nèi)容（即兩個(gè)平面的位置關(guān)系，平面與平面平行的定義及兩個(gè)平面平行的判定定理），并讓學(xué)生回答：

（1）兩個(gè)平面平行的意義是什么？

（2）平面與平面的判定定理是怎樣的？并用命題的形式寫出來？

（教師板書平面與平面平行的定義及用命題形式書寫平面與平面平行的判定定理）（目的：（1）通過學(xué)生回答，來檢查學(xué)生能否正確敘述學(xué)過的知識(shí)，正確理解平面與平面平行的判定定理．（2）板書定義及定理內(nèi)容，是為學(xué)生猜測并發(fā)現(xiàn)平面與平面平行的性質(zhì)定理作準(zhǔn)備）

二、引出命題

（教師在對(duì)上述問題講評(píng)之后，點(diǎn)出本節(jié)課主題并板書，平面與平面平行的性質(zhì)）師：從課題中，可以看出，我們這節(jié)課研究的主要對(duì)象是什么？ 生：兩個(gè)平面平行能推導(dǎo)出哪些正確的結(jié)論．

師：下面我們猜測一下，已知兩平面平行，能得出些什么結(jié)論．（學(xué)生議論）

師：猜測是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題常用的方法．“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以對(duì)已有的命題增加條件，或是交換已有命題的條件和結(jié)

論．也可通過類比法即通過兩個(gè)對(duì)象類似之處的比較而由已經(jīng)獲得的知識(shí)去引出新的猜想等來得到新的命題．

（不僅要引導(dǎo)學(xué)生猜想，同時(shí)又給學(xué)生具體的猜想方法）

師：前面，復(fù)習(xí)了平面與平面平行的判定定理，判定定理的結(jié)論是兩平面平行，這對(duì)我們猜想有何啟發(fā)？

生：由平面與平面平行的定義，我猜想：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)面．

師：很好，把它寫成命題形式．

（教師板書并作圖，同時(shí)指出，先作猜想、再一起證明）猜想一：

已知：平面α∥β，直線a 求證：a∥β．

生：由判定定理“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”．我猜想：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面．

[教師板書]

α，猜想二：

已知：平面α∥β，直線l⊥α．

求證：l⊥β．

師：這一猜想的已知條件不僅是“α∥β”，還加上了“直線l⊥α”．下面請(qǐng)同學(xué)們看課本上關(guān)于判定定理“垂直于同一直線的兩平面平行”的證明．在證明過程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a(chǎn)與a′是什么關(guān)系？

生：a∥a′．

師：若改為γ不是過AA′的平面，而是任意一個(gè)與α，β都相交的平面γ．同學(xué)們考慮一下是否可以得到一個(gè)猜想呢？

（學(xué)生討論）

生：如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，也必與另一個(gè)平面相交．” [教師板書] 猜想三：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求證：γ與β一定相交． 師：怎么作這樣的猜想呢？

生：我想起平面幾何中的一個(gè)結(jié)論：“一條直線與兩條平行線中的一條相交，也必與另一條相交．”

師：很好，這里實(shí)質(zhì)用的是類比法來猜想．就是把原來的直線類似看作平面．兩平行直線類似看作兩個(gè)平行平面，從而得出這一猜想．大家再考慮，猜想三中，一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，得到的交線有什么位置關(guān)系？

生：平行

師：請(qǐng)同學(xué)們表達(dá)出這個(gè)命題．

生：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行． [教師板書]

猜想四：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b． 求證：a∥b．

[通過復(fù)習(xí)定理的證明方法，既發(fā)現(xiàn)了猜想三，猜想四，同時(shí)又復(fù)習(xí)了定理的證明方法，也為猜想四的證明，作了鋪墊] 師：在得到猜想三時(shí)，我們用到了類比法，實(shí)際上，在立體幾何的研究中，將所要解決的問題與平面幾何中的有關(guān)問題作類比，常常能給我們以啟示，發(fā)現(xiàn)立體幾何中的新問題．比如：在平面幾何中，我們有這樣一條定理：“夾在兩條平行線間的平行線段相等”，請(qǐng)同學(xué)們用類比的方法，看能否得出一個(gè)立體幾何中的猜想？

生：把兩條平行線看作兩個(gè)平行平面，可得猜想：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等． [教師板書] 猜想五：

已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β． 求證：AA′=BB′．

[該命題，在教材中是一道練習(xí)題，但也是平面與平面平行的性質(zhì)定理，為了完整體現(xiàn)平面與平面平行的性質(zhì)定理，故爾把它放在課堂上進(jìn)行分析]

三、證明猜想

師：通過分析，我們得到了五個(gè)猜想，猜想的結(jié)論往往并不完全可靠．得到猜想，并不意謂著我們已經(jīng)得到了兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，下面主要來論證我們得到的猜想是否正確．

[師生相互交流，共同完成猜想的論證] 師：猜想一是由平面與平面平行的定義得到的，因此在證明過程中要注意應(yīng)用定義． [猜想一證明] 證明：因?yàn)棣痢桅拢驭僚cβ無公共點(diǎn)． 又 因?yàn)閍 α，所以 a與β無公共點(diǎn)． 故 a∥β．

師：利用平面與平面平行的定義及線面平行的定義，論證了猜想一的正確性．這便是平面與平面平行的性質(zhì)定理一．簡言之，“面面平行，則線面平行．”

[教師擦掉“猜想一”，板書“性質(zhì)定理一”] [論證完猜想一之后，教師與學(xué)生共同研究了“猜想二”，發(fā)現(xiàn)，若論證了“猜想四”的正確性質(zhì)，“猜想二”就容易證了，因而首先討論“猜想三，猜想四”] 師：“猜想三”是類比平面幾何中的結(jié)論得到的，還記得初中時(shí)，是怎么證明的？ [學(xué)生回答：反證法] 師：那么，大家可否類比初中的證明方法來證明“猜想三”呢？

生：用反證法：假設(shè)γ與β不相交，則γ∥β．這樣過直線a有兩個(gè)平面α和γ與β平行．與“過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行”矛盾．故γ與β相交．

師：很好．由此可知：不只是發(fā)現(xiàn)問題時(shí)可用類比法，就是證明方法也可用類比方法．不過猜想三，雖已證明為正確的命題，但教材中并把它作為平面與平面平行的性質(zhì)定理，大家在今后應(yīng)用中要注意．

[猜想四的證明] 師：猜想四要證明的是直線a∥b，顯然a，b共面于平面γ，只需推導(dǎo)出a與b無公共點(diǎn)即可． 生：（證法一）因?yàn)?a∥β，所以 a與β無公共點(diǎn)．

又因?yàn)?a α，b β．

所以 a與b無公共點(diǎn)． 又因?yàn)?a γ，b 所以 a∥b．

師：我們來探討其它的證明方法．要證線線平行，可以轉(zhuǎn)化為線面平行． 生：（證法二）

因?yàn)?a α，又因?yàn)?α∥β，所以 a∥β．

又因?yàn)?a γ，且γ∩β=b，所以 a∥b．

師：用兩種不同證法得出了“猜想四”是正確的．這是平面和平面平行的性質(zhì)定理二． [教師擦掉“猜想四”，板書“性質(zhì)定理二”] 師：平面與平面平行的性質(zhì)定理二給出了在兩個(gè)平行平面內(nèi)找一對(duì)平行線的方法．即：“作一平面，交兩面，得交線，則線線平行．”同時(shí)也給我們證明兩條直線平行的又一方法．簡言之，“面面平行，則線線平行”．

[猜想二的證明] 師：猜想二要證明的是直線l⊥β，根據(jù)線面垂直的判定定理，就要證明l和平面β內(nèi)的兩條相交直線垂直．那么如何在平面β內(nèi)作兩條相交直線呢？

[引導(dǎo)學(xué)生回憶：“垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行”的定理的證明] γ，生：（證法一）設(shè)l∩α=A，l∩β=B．

過AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′． 因?yàn)?α∥β，所以 a∥a′．

再過AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′． 同理b∥b′．

又因?yàn)閘⊥α，所以 l⊥a，l⊥b，所以 l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，故 l⊥β．

師：要證明l⊥β，根據(jù)線面垂直的定義，就是要證明l和平面β內(nèi)任何一條直線垂直． 生：（證法二）

在β內(nèi)任取一條直線b，經(jīng)過b作一平面γ，使γ∩α=a，因?yàn)?α∥β，所以 a∥b，因此 l⊥α，a α，故 l⊥a，所以 l⊥b． 又因?yàn)閎為β內(nèi)任意一條直線，所以 l⊥β．

[教師擦掉“猜想二”，板書“性質(zhì)定理三”] [猜想五的證明] 證明：因?yàn)?AA′∥BB′，所以過AA′，BB′有一個(gè)平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．

因?yàn)?α∥β，所以 AB∥A′B′，因此 AA′ B′B為平行四邊形． 故 AA′=BB′．

[教師擦掉“猜想五”，板書“性質(zhì)定理四”] 師：性質(zhì)定理四，是類比兩條平行線的性質(zhì)得到的．平行線的性質(zhì)有許多，大家還能類比得出哪些有關(guān)平行平面的猜想呢？你能證明嗎？請(qǐng)大家課下思考．

[因類比法是重要的方法，但平行性質(zhì)定理已得出，故留作課下思考]

四、定理應(yīng)用

師：以上我們通過探索一猜想一論證，得出了平面與平面平行的四個(gè)性質(zhì)定理，下面來作簡單的應(yīng)用．

例 已知平面α∥β，AB，CD為夾在α，β間的異面線段，E、F分別為AB，CD的中點(diǎn)． 求證：EF∥α，EF∥β．

師：要證EF∥β，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，就是要在β內(nèi)找一條直線與EF平行． 證法一：

連接AF并延長交β于G． 因?yàn)?AG∩CD=F，所以 AG，CD確定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG． 因?yàn)?α∥β，所以 AC∥DG，所以 ∠ACF=∠GDF，又 ∠AFC=∠DFG，CF=DF，所以 △ACF≌△DFG． 所以 AF=FG． 又 AE=BE，所以 EF∥BG，BG 故 EF∥β． 同理：EF∥α．

師：要證明EF∥β，只須過EF作一平面，使該平面與β平行，則根據(jù)平面與平面平行性質(zhì)定理即可證．

證法二：因?yàn)锳B與CD為異面直線，所以A CD． β．

在A，CD確定的平面內(nèi)過A作AG∥CD，交β于G，取AG中點(diǎn)H，連結(jié)AC，HF． 因?yàn)?α∥β，所以 AC∥DG∥EF．

因?yàn)?DG β，所以 HF∥β． 又因?yàn)?E為AB的中點(diǎn)，因此 EH∥BG，所以 EH∥β． 又EH∩FH=H，因此平面EFH∥β，EF 所以 EF∥β． 同理，EF∥α．

平面EFH，師：從以上兩種證明方法可以看出，雖然是解決立體幾何問題，但都是通過轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題來解決的．這是解決立體幾何問題的一種技能，只是依據(jù)的不同，轉(zhuǎn)化的方式也不同．

五、平行平面間的距離

師：和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段．兩個(gè)平行平面有幾條公垂線？這些公垂線的位置關(guān)系是什么？

生：兩個(gè)平行平面有無數(shù)條公垂線，它們都是平行直線．

師：夾在兩平行平面之間的公垂線段有什么數(shù)量關(guān)系？根據(jù)是什么？ 生：相等，根據(jù)“夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等．”

師：可見夾在兩個(gè)平行平面的公垂線段長度是唯一的．而且是夾在兩個(gè)平行平面間的所有線段中最短的．因此我們把這公垂線段的長度叫做兩個(gè)平行平面的距離．顯然兩個(gè)平行平面的距離等于其中一個(gè)平面上的任一點(diǎn)到另一個(gè)平面的垂線段的長度．

六、小結(jié)

1．由學(xué)生用文字語言和符號(hào)語言來敘述兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理．

教師總結(jié)本節(jié)課是由發(fā)現(xiàn)與論證兩個(gè)過程組成的．簡單的說就是：由具體問題具體素材用類比等方法猜想命題，并由轉(zhuǎn)化等方法論證猜想的正確性，得到結(jié)論．

2．在應(yīng)用定理解決立體幾何問題時(shí)，要注意轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題來處理．大家在今后學(xué)習(xí)中一定要注意掌握這一基本技能．

3．線線平行、線面平行與面面平行的判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系．在學(xué)習(xí)中應(yīng)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的科學(xué)規(guī)律：低一級(jí)位置關(guān)系判定著高一級(jí)位置關(guān)系；高一級(jí)位置關(guān)系一定能推導(dǎo)低一級(jí)位置關(guān)系．下面以三種位置關(guān)系為綱應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想整理如下：

七、布置作業(yè)

課本：p．38，習(xí)題五5，6，7，8． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1．本節(jié)課的中心是兩個(gè)平行平面的性質(zhì)定理．定理較多，若采取平鋪直敘，直接地給出命題，那樣就繞開了發(fā)現(xiàn)、探索問題的過程，雖然比較省事，但對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力是不利的． 在設(shè)計(jì)本教案時(shí)，充分考慮到教學(xué)研究活動(dòng)是由發(fā)現(xiàn)與論證這樣兩個(gè)過程組成的．因而把“如何引出命題”和“如何猜想”作為本節(jié)課的重要活動(dòng)內(nèi)容．在教師的啟發(fā)下，讓學(xué)生利用具體問題；運(yùn)用具體素材，通過類比等具體方法，發(fā)現(xiàn)命題，完成猜想．然后在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生一一完成對(duì)猜想的證明，得到兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理．也就在這一“探索”、“發(fā)現(xiàn)”、“論證”的過程中，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力．

在實(shí)施過程中，讓學(xué)生處在主體地位，教師始終處于引導(dǎo)者的位置．特別是在用類比法發(fā)現(xiàn)猜想時(shí)，學(xué)生根據(jù)兩條平行線的性質(zhì)類比得出許多猜想．比如：根據(jù)“平行于同一條直線的兩條直線平行”得到“平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．”根據(jù)“兩條直線平行，同位角相等”等，得到“與兩個(gè)平行平面都相交的直線與兩個(gè)平面所成的角相等”等等，當(dāng)然在這些猜想中，有的是正確的，有的是錯(cuò)誤的，這里不一一敘述．這就要求教師在教學(xué)過程中，注意變化，作適當(dāng)處理．學(xué)生在整節(jié)課中，思維活躍，沉浸在“探索、發(fā)現(xiàn)”的思維樂趣中，也正是在這種樂趣中，提高了學(xué)生的思維能力．

2．在對(duì)定理的證明過程中，課上不僅要求證出來，而且還考慮多種證法．對(duì)于定理的證明，是解決問題的一些常用方法，也可以說是常規(guī)方法，是要學(xué)生認(rèn)真掌握的．因此教師要把定理的證明方法，作為教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行必要的講解，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．

3．轉(zhuǎn)化是重要的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)思維方法．它在立體幾何中處處體現(xiàn)．實(shí)質(zhì)上處理空間圖形問題的基本思想方法就是把它轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題，化繁為簡．特別是在線線平行，線面平行，面面平行三種平行的關(guān)系上轉(zhuǎn)化的思想也有較充分的體現(xiàn)，因而在小結(jié)中列出三個(gè)平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)讓的關(guān)系圖，一方面便于學(xué)生理解，記憶，同時(shí)通過此表，能馬上發(fā)現(xiàn)三者相互推導(dǎo)的關(guān)系，能打開思路，發(fā)現(xiàn)線索，得到最佳的解題方案．

第三篇：教案 立體幾何

【教學(xué)過程】 *揭示課題 9 立體幾何 *復(fù)習(xí)導(dǎo)入

一、點(diǎn)線面的位置關(guān)系 點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：A?a　A?a 2.點(diǎn)與面的位置關(guān)系： A??　A?? 3.直線與直線的位置關(guān)系：平行 相交 異面 4直線與平面的位置關(guān)系： 在平面內(nèi) 相交平行

二、線面平行的判定定理

1.線線平行：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

2.線面平行：如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線就和這個(gè)平面平行

3.面面平行：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行

三、線面平行的性質(zhì)定理

1.線線平行：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等

2.線面平行：如果一條直線和一個(gè)平面平行，并且經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)面相交，那么這條直線和交線平行

3.面面平行：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

四、線面垂直的判定定理

1.線面垂直：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直

2.面面垂直：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

五、線面垂直性質(zhì)定理

1.線面垂直：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行

2.面面垂直：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面

六、柱、錐、球 1.棱柱、圓柱

S側(cè)=底面周長?高V體=底面面積?高2.棱錐、圓錐

1底面周長?母線2 1V體=底面積?高3S側(cè)?3.球

S表=4?r243 V體=?r3*練習(xí)講解 復(fù)習(xí)題A組 *歸納小結(jié)

本章立體幾何部分概念偏多，需要著重分辨判定定理與性質(zhì)定理的適用范圍，將點(diǎn)線面位置關(guān)系化為最簡單的線線判斷，由此可提高位置判定的速度，能夠更加地熟練運(yùn)用各大定理。

第四篇：立體幾何最全教案doc

直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

一、目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．了解空間直線和平面的位置關(guān)系；

2．掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；進(jìn)一步熟悉反證法的實(shí)質(zhì)及其一般解題步驟．

3．通過探究線面平行定義、判定和性質(zhì)定理及其應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象

能力．

4．通過有關(guān)定理的發(fā)現(xiàn)、證明及應(yīng)用，提高學(xué)生的空間想象力和類比、轉(zhuǎn)化的能力，提高學(xué)生的邏輯

推理能力．

重點(diǎn)：

直線與平面平行的判定、性質(zhì)定理的應(yīng)用；

難點(diǎn)：

線面平行的判定定理的反證法證明，線面平行的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用．

二、知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)

一、直線和平面垂直的定義與判定

1.直線和平面垂直定義

如果直線和平面的垂線；平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面

互相垂直，記作

.直線叫平面叫直線的垂面；垂線和平面的交點(diǎn)叫垂足.要點(diǎn)詮釋：

(1)定義中“平面

注意區(qū)別.(2)直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式.(3)若，則.內(nèi)的任意一條直線”就是指“平面

內(nèi)的所有直線”，這與“無數(shù)條直線”不同，2.直線和平面垂直的判定定理

判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

符號(hào)語言：

特征：線線垂直

要點(diǎn)詮釋： 線面垂直

(1)判定定理的條件中：“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，不可忽視.(2)要判定一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線

垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，則無關(guān)緊要.知識(shí)點(diǎn)

二、斜線、射影、直線與平面所成的角

一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線.過斜線上斜足外的一點(diǎn)間平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.要點(diǎn)詮釋：

(1)直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線.(2)直線與平面垂直射影是點(diǎn).(3)斜線任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上.(4)一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是

0°的角.知識(shí)點(diǎn)三、二面角

1.二面角定義

平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.表示方法：棱為、面分別為的二面角記作二面角

.有時(shí)為了方便，也可在內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)角或.，將這個(gè)二面角記作二面角.如果棱記作，那么這個(gè)二面角記作二面

2.二面角的平面角

在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.二面角叫做直二面角.二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的

知識(shí)點(diǎn)

四、平面與平面垂直的定義與判定

1.平面與平面垂直定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面垂直.表示方法：平面與垂直，記作

.畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖：

2.平面與平面垂直的判定定理

判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.符號(hào)語言：

圖形語言：

特征：線面垂直

要點(diǎn)詮釋： 面面垂直

平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直.通常我們將其記為“線面垂直，則面面垂直”.因此，處理面面垂直問題處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題.以后證明平面與平面垂直，只要在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和另一個(gè)平面垂直即可.知識(shí)點(diǎn)

五、直線與平面垂直的性質(zhì)

1.基本性質(zhì)

一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線.符號(hào)語言：

圖形語言：

2.性質(zhì)定理

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.符號(hào)語言：

圖形語言：

知識(shí)點(diǎn)

六、平面與平面垂直的性質(zhì)

性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.符號(hào)語言：

圖形語言：

三、規(guī)律方法指導(dǎo)

垂直關(guān)系的知識(shí)記憶口訣：

線面垂直的關(guān)鍵，定義來證最常見，判定定理也常用，它的意義要記清，平面之內(nèi)兩直線，兩線交于一個(gè)點(diǎn)，面外還有一條線，垂直兩線是條件，面面垂直要證好，原有圖中去尋找，若是這樣還不好，輔助線面是個(gè)寶，先作交線的垂線，面面轉(zhuǎn)為線和面，再證一步線和線，面面垂直即可見，借助輔助線和面，加的時(shí)候不能亂，以某性質(zhì)為基礎(chǔ)，不能主觀憑臆斷，判斷線和面垂直，線垂面中兩交線，兩線垂直同一面，相互平行共伸展，兩面垂直同一線，一面平行另一面，要讓面和面垂直，面過另面一垂線，面面垂直成直角，線面垂直記心間.經(jīng)典例題透析

類型

一、直線和平面垂直的定義

1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則內(nèi)的一條直線垂直，則，則，則

； ；

①如果直線與平面

②如果直線與平面

③如果直線不垂直于

④如果直線不垂直于

內(nèi)沒有與垂直的直線； 內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與垂直.A.0

B.1C.2D.3

答案：B

解析：當(dāng)當(dāng)與當(dāng)與內(nèi)的無數(shù)條直線平行時(shí)，與

不一定垂直，故①不對(duì)； 垂直，故②不對(duì)；

內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證與不垂直時(shí)，可能與

內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③不對(duì)；④正確.故選B.總結(jié)升華：注意直線和平面垂直定義中的關(guān)鍵詞語.舉一反三：

【變式1】下列說法中錯(cuò)誤的是()

①如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直，該直線與這個(gè)平面必相交；

②如果一條直線和平面的一條平行線垂直，該直線必在這個(gè)平面內(nèi)；

③如果一條直線和平面的一條垂線垂直，該直線必定在這個(gè)平面內(nèi)；

④如果一條直線和一個(gè)平面垂直，該直線垂直于平面內(nèi)的任何直線.A.①②

B.②③④

C.①②④

D.①②③

答案：D

解析：如圖所示，直線

∴ ①錯(cuò)；

由于

，，但，但，∴ ②錯(cuò)；，∴ ③錯(cuò).，面ABCD，顯然，由直線與平面垂直的定義知④正確，故選D.總結(jié)升華：本題可以借助長方體來驗(yàn)證結(jié)論的正誤.類型

二、直線和平面垂直的判定

2．如圖所示，已知Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA=SB=SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)因?yàn)镾A=SC，D為AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B=BC，D是AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，所以BD⊥平面SAC.總結(jié)升華：挖掘題目中的隱含條件，利用線面垂直的判定定理即可得證.舉一反三：

【變式1】如圖所示，三棱錐的四個(gè)面中，最多有________個(gè)直角三角形.答案：4

解析：如圖所示，PA⊥面ABC.∠ABC=90°，則圖中四個(gè)三角形都是直角三角形.故填4.總結(jié)升華：注意正確畫出圖形.【變式2】如圖所示，直三棱柱的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D，求證：CD⊥平面BDM.的中點(diǎn)為M.中，∠ACB=90°，AC=1，側(cè)棱，側(cè)面

證明：如右圖，連接

∵

又知D為其底邊

∵

又，∴、，∴、，則

為等腰三角形....的中點(diǎn)，∴，∴.∵ 為直角三角形，D為的中點(diǎn)，∴，.又

∵、，∴

.即CD⊥DM..為平面BDM內(nèi)兩條相交直線，∴ CD⊥平面BDM.類型

三、直線和平面所成的角

BC=3．如圖所示，已知∠BOC在平面，求OA和平面所成的角.內(nèi)，OA是平面的斜線，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，解析：∵

正三角形，∴

∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴ △AOB、△AOC為.，∴，∴ △ABC為直角三角形.同理△BOC也為直角三角形.過A作AH垂直平面于H，連接OH，∵ AO=AB=AC，∴ OH=BH=CH，H為△BOC的外心.∴ H在BC上，且H為BC的中點(diǎn).∵ Rt△AOH中，∴

所成角為45°.，∴ ∠AOH=45°.即AO和平面

總結(jié)升華：

(1)確定點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的位置，是解題的關(guān)鍵，因?yàn)橹挥写_定了射影的位置，才能找到直線與平面

所成的角，才能將空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題來解.(2)求斜線與平面所成的角的程序：

①尋找過直線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；

②連接垂足和斜足得出射影，確定出所求解；

③把該角放入三角形計(jì)算.(3)直線和平面所成的角，也應(yīng)考慮到直線和平面垂直、直線和平面平行或在平面內(nèi)諸情況，也就是直

線和平面成90°角和0°角的情況，所以求線面所成角時(shí)，應(yīng)想到以上兩種情況.舉一反三：

【變式1】如圖所示，在正三棱柱

中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則

與側(cè)面所成的角是________.答案：

解析：如右圖.由題取AC中點(diǎn)O，連接BO.則BO⊥平面

.故為與平面所成角.又在中，.∴，∴.類型四、二面角

4．如圖所示，在四面體ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，求以BC為棱，以面BCD和面BCA為面的二面角大小.解析：取BC的中點(diǎn)E，連接AE、DE，∵ AB=AC，∴ AE⊥BC.又∵ △ABD≌△ACD，AB=AC，∴ DB=DC，∴ DE⊥BC.∴ ∠AED為二面角的平面角.又∵ △ABC≌△BDC，∴ AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=

同理.，BE=1，∴，在△AED中，∵，∴，∴ ∠AED=90°.∴ 以面BCD和面ABC為面的二面角大小為90°.總結(jié)升華：確定二面角的平面角，常常用定義來確定.舉一反三：

【變式1】已知D、E分別是正三棱柱E、C1的平面與棱柱的下底面的側(cè)棱和上的點(diǎn)，且.求過D、所成的二面角的大小.解析：如圖，在平面

則F是面與面內(nèi)延長DE和的公共點(diǎn)，的平面角.，交于點(diǎn)F，為這兩個(gè)平面的交線，∴ 所求二面角就是

∵

∴ E、∵

∴

又面

∴

∴

∴ 面.是二面角.，而，且分別DF和A1F的中點(diǎn).，面面，.的平面角，由已知，∴.總結(jié)升華：當(dāng)所求的二面角沒有給出它的棱時(shí)，找出二面角的兩個(gè)面的兩個(gè)公共點(diǎn)，從而找出它的棱，進(jìn)而求其平面角的大小即可.類型

五、平面與平面垂直的判定

5．在四面體ABCD中，AB=AD=CB=CD=AC=，如圖所示.求證：平面ABD⊥平面BCD.證明：∵ △ABD與△BCD是全等的等腰三角形，∴ 取BD的中點(diǎn)E，連接AE、CE，則AE⊥BD，BD⊥CE，∴ ∠AEC為二面角A-BD-C的平面角.在△ABD中，，∴.同理.在△AEC中，由于，，∴ AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角為90°.∴平面ABD⊥平面BCD.總結(jié)升華：利用兩個(gè)平面互相垂直的定義可以直接判定兩個(gè)平面垂直，判定的方法是

(1)找出兩個(gè)相交平面的平面角；

(2)證明這個(gè)平面角是直角；

(3)根據(jù)定義，這兩個(gè)平面互相垂直.舉一反三：

【變式1】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分別為CD、DA和對(duì)角線AC的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面BGD.證明：∵ AB=BC，CD=AD，G是AC的中點(diǎn)，∴ BG⊥AC，DG⊥AC，∴ AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴ EF⊥平面BGD.∵ EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.總結(jié)升華：證面面垂直的方法：

(1)證明兩平面構(gòu)成的二面角的平面角為90°；

(2)證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，將證明“面面垂直”的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題.【變式2】如圖所示，在Rt△AOB中，斜邊AB=4.Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB的中點(diǎn).求證：平面COD⊥平面AOB；

證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴ ∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又∵ 二面角B-AO-C是直二面角.∴ CO⊥BO.又∵ AO∩BO=O，∴ CO⊥平面AOB.又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.【變式3】過點(diǎn)P引三條長度相等但不共面的線段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求證：平面ABC⊥平面BPC.證明：如圖，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB為正三角形，則有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中點(diǎn)為E

直角△BPC中，由AB=AC，AE⊥BC，，直角△ABE中，，在△PEA中，∴，，平面ABC⊥平面BPC.類型

六、綜合應(yīng)用

6．如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中點(diǎn)，求證：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．

證明：(1)取EC的中點(diǎn)F，連接DF．

∵ CE⊥平面ABC，∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．

∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．

(2)取AC的中點(diǎn)N，連接MN、BN，MN

∵ BDCF，∴ MN

CF．

BD．N平面BDM．

∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．

又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．

又∵ BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．

(3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．

又∵ DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．

總結(jié)升華：本題涉及線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和判定，這里證明的關(guān)鍵是BN⊥平面ECA，應(yīng)充分體會(huì)線線垂直、線面垂直與面面垂直的關(guān)系．

7．如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．

(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD．

思路點(diǎn)撥：要證明MN∥平面PAD，須證MN平行于平面PAD內(nèi)某一條直線．注意到M、N分別為AB，PC的中點(diǎn)，可取PD的中點(diǎn)E，從而只須證明MN∥AE即可．證明如下．

證明：(1)取PD的中點(diǎn)E，連接AE、EN，則，故AMNE為平行四邊形，∴ MN∥AE．

∵ AE平面PAD，MN

平面PAD，∴ MN∥平面PAD．

(2)要證MN⊥CD，可證MN⊥AB．

由(1)知，需證AE⊥AB．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，∴ AB⊥平面PAD．

∴ AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB，∴ MN⊥CD．

(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再證AE⊥PD即可．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E為PD的中點(diǎn)．

∴ AE⊥PD，即MN⊥PD．

又MN⊥CD，∴ MN⊥平面PCD．

總結(jié)升華：本題是涉及線面垂直、線面平行、線線垂直諸多知識(shí)點(diǎn)的一道綜合題．(1)的關(guān)鍵是選取PD的中點(diǎn)E，所作的輔助線使問題處理的方向明朗化．線線垂直→線面垂直→線線垂直是轉(zhuǎn)化規(guī)律．

學(xué)習(xí)成果測評(píng) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.平面

A.2.已知直線a、b和平面，下列推論錯(cuò)誤的是().外的一條直線與

B.內(nèi)的兩條平行直線垂直，那么().相交

D.與的位置關(guān)系不確定

C.與

A.B.C.D.3.若直線a⊥直線b，且a⊥平面

A.4.若P是平面

B.，則有().D.或

C.外一點(diǎn)，則下列命題正確的是().相交 垂直平行平行

A.過P只能作一條直線與平面

B.過P可作無數(shù)條直線與平面

C.過P只能作一條直線與平面

D.過P可作無數(shù)條直線與平面

5.設(shè)是直二面角，直線，直線，且a不垂直于，b不垂直于，那么().A.a與b可能垂直，但不能平行

B.a與b可能垂直，也可能平行

C.a與b不可能垂直，但可能平行

D.a與b不可能平行，也不能垂直

6.設(shè)

、為兩個(gè)不同的平面，、m為兩條不同的直線，且，則；②若，則

屆那么().，有如下兩個(gè)命題：①若

A.①是真命題，②是假命題

B.①是假命題，②是真命題

C.①②都是真命題

D.①②都是假命題

7.關(guān)于直線m、n與平面

①若

③若且且與，有下列四個(gè)命題：

且且，則

；，則m∥n；②若，則

；④若，則m∥n.其中真命題的序號(hào)是().A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

8.已知直線m⊥平面

①若，則，直線；②若，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是().，則m∥n；③若m∥n，則

；④若，則

.A.③④

B.①③

C.②④

D.①②

9.下面四個(gè)命題：

①兩兩相交的三條直線只可能確定一個(gè)平面；

②經(jīng)過平面外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面垂直這個(gè)平面；

③平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則

；

④兩個(gè)平面垂直，過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作它們交線的垂線，則此垂線垂直于另一個(gè)平面其中真命題

的個(gè)數(shù)是().A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)

10.設(shè)有不同的直線a、b和不同的平面

①若，則；②若、，、，給出下列三個(gè)命題：，則

；③若，則

.其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.0

B.1C.2

D.3

11.已知直線⊥平面

③；④，直線

平面

.，有四個(gè)命題：①

；②

；

其中正確的命題是__________.(把所有正確命題的序號(hào)都填上)

12.長方體 中，MN在平面內(nèi)，MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關(guān)系是_______.13.如圖所示，直角△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA=SB=SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC.求證：BD⊥面SAC.能力提升

1.下面四個(gè)命題：

①若直線a∥平面

②若直線a⊥平面

③若平面

④若平面∥平面⊥平面，則，則，則，則內(nèi)任何直線都與a平行； 內(nèi)任何直線都與a垂直； 內(nèi)任何直線都與內(nèi)任何直線都與

平行； 垂直.其中正確的兩個(gè)命題是()

A.①與②

B.②與③

C.③與④

D.②與④

2.一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)面，那么這兩個(gè)二面角().A.相等

B.互補(bǔ)

C.關(guān)系無法確定

D.相等或互補(bǔ)

3.、是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面⊥；③n⊥；④m⊥

.、外的兩條不同直線，給出四個(gè)結(jié)論：

①m⊥n；②

以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________________.4.已知直線PA與平面

5.已知ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，過點(diǎn)A作AE⊥SB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥SC于點(diǎn)F，如圖所示.(1)求證：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于點(diǎn)G，求證：AG⊥SD.內(nèi)過點(diǎn)A的三條直線AB、AC、AD成等角，求證：PA⊥平面

.綜合探究

1.已知：如圖所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形.2.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)證明：PA∥平面EDB；

(2)證明：PB⊥平面EFD.參考答案 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.D 內(nèi)兩條直線若相交則

；若平行則不能確定與的位置關(guān)系.2.D a與b位置關(guān)系不能確定.3.D

4.D 過P能作無數(shù)條直線與

5.C 若，如圖，在平行，這些直線均在過P與，則

.平行的平面內(nèi).內(nèi)可作

∴，則，與已知矛盾.∴ a與b不可能垂直；當(dāng)a、b均與平行時(shí)，a∥b，故選C.6.D

7.D

8.B

9.B 面面垂直的性質(zhì)定理對(duì)于④顯然成立；在①中應(yīng)考慮兩兩相交的幾種情況，對(duì)于三條直線交于一點(diǎn)

時(shí)，且不在同一平面時(shí)，顯然不成立；在②中，平面外一點(diǎn)只能引一條直線與平面垂直，但過這條

直線的平面有無數(shù)個(gè)，不是真命題；對(duì)于③，若的三點(diǎn)到

10.B平行于同一平面的兩直線可能平行，也可能相交或異面，故①錯(cuò).平行于同一直線的兩平面可能平

行，也可能相交，故②也錯(cuò).11.①③ ①∵

②設(shè)

③∵，，∴，∴，且m∥d時(shí)，.又

.∴ ①正確..故命題②錯(cuò).，∴

.故③正確.的距離相等，故不是真命題.與

相交，在兩側(cè)且在內(nèi)一定存在不共線

④由②知④不正確.12.MN⊥AB 如下圖，由長方體的性質(zhì)知，平面

內(nèi)，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.AB

平面ABCD，交線為BC.因?yàn)镸N在平面

平面ABCD，∴ MN⊥AB.13.證明：(1)∵ SA=SC，D為AC的中點(diǎn)，∴ SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，則AD=DC=BD.∴ △ADS≌△BDS.∴ SD⊥BD.又AC∩BD=D，∴ SD⊥面ABC.(2)∵ AB=BC，D為AC中點(diǎn)，∴ BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴ SD⊥BD.∵ SD∩AC=D，∴ BD⊥平面SAC.能力提升

1.B ①是錯(cuò)誤的，a與

④是錯(cuò)誤的.2.C 可類比“空間中一個(gè)角的兩條邊分別垂直于另一個(gè)角的兩條邊”可知，這兩個(gè)角關(guān)系不確定.3.①③④ ②或②③④①，成立，如圖.過m上一點(diǎn)P作PB∥n，則PB⊥m，、的交線交于點(diǎn)C.內(nèi)的一簇平行線平行.②③由線面垂直，面面平行的性質(zhì)可判斷出是正確的.假設(shè)①③④為條件，即

PB⊥.設(shè)垂足為點(diǎn)B，又設(shè)，垂足為點(diǎn)A，過PA、PB的平面與

∵ ⊥PA，⊥PB，∴ ⊥平面PAB.∴ ⊥AC.⊥BC.∴ ∠ACB是二面角

由m⊥n，顯然PA⊥PB.∴ ∠ACB=90°.∴

由①③④.②成立.的平面角.反過來，如果②③④成立，與上面證法類似可得①成立.4.證明：如圖，在AB、AC、AD上分別取點(diǎn)E、F、G，使AE=AF=AG，連接PE、PF、PG、EF、FG，設(shè)EF、FG的中點(diǎn)分別為H、I.由已知可得△PAE≌△PAF.∴ PE=PF.∵ H是EF中點(diǎn)，∴ PH⊥EF，AH⊥EF.∴ EF⊥平面PAH.∴ EF⊥PA.同理可證FG⊥PA.又EF∩FG=F，∴ PA⊥平面EFG，即PA⊥平面.5.證明：(1)∵ SA⊥平面ABCD，BC

平面ABCD，∴ SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB=A，∴ BC⊥平面SAB，AE

平面SAB.∴ BC⊥AE.又AE⊥SB，BC∩SB=B.∴ 有AE⊥平面SBC，又SC平面SDC，∴ AE⊥SC.又EF⊥SC，AE∩EF=E，∴ SC⊥平面AEF，AE平面AEF，∴ AF⊥SC.(2)∵ SC⊥平面AEF，AG

平面AEF，∴ SC⊥AG，又CD⊥AD，CD⊥SA，AD∩SA=A.∴ CD⊥平面SAD，AG

平面SAD.∴ CD⊥AG，又SC∩CD=C，∴ AG⊥平面SDC.又SD平面SDC，∴ AG⊥SD.綜合探究

1.證明：(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于點(diǎn)F.∴平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴ DF⊥平面PAC.PC平面PAC，∴ DF⊥AP.作DG⊥AB于點(diǎn)G.同理可證DG⊥AP.又DG、DF都在平面ABC內(nèi).∴ PA⊥平面ABC.(2)連接BE并延長交PC于H.∵ E是△PBC的垂心，∴ PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂線.∴ PC⊥BH.∴ PC⊥平面ABE.∴ PC⊥AB.又∵ PA⊥平面ABC，∴ PA⊥AB.∴ AB⊥平面PAC.∴ AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.2.證明：(1)連接AC，AC交BD于點(diǎn)D.連接EO，如圖.∵ 底面ABCD是正方形.∴ 點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).在△PAC中，EO是中位線，∴ PA∥EO.而EO平面EDB且PA

平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵ PD⊥底面ABCD且DC

∴ PD⊥DC.∵ PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴ DE⊥PC.同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵ 底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴ BC⊥平面PDC。而DE

∴ BC⊥ED。

由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB平面PBC，∴ DE⊥PB.平面PDC，底面ABCD.又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴ PB⊥平面EFD.

第五篇：高中立體幾何教案第一章直線和平面第一章復(fù)習(xí)(四)教案

高中立體幾何教案 第一章 直線和平面 第一章復(fù)習(xí)

（四）教案

北京師大二附中 金寶錚

教學(xué)目標(biāo)

結(jié)合第一章的內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)思想方法．（數(shù)形結(jié)合思想；方程的思想；轉(zhuǎn)化的思想；分類討論的思想）

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)． 教學(xué)設(shè)計(jì)過程

師：今天是復(fù)習(xí)課的最后一節(jié)．今天以復(fù)習(xí)題目中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為主線，研究幾種常用數(shù)學(xué)思想在本章的體現(xiàn)．

分類討論的思想是同學(xué)們比較熟悉的．使用較多的是在代數(shù)課上y=ax2+bx+c的圖象，當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下．

幾何中，分類討論思想的應(yīng)用，主要是依據(jù)圖形中元素位置關(guān)系的不同而展開的．

請(qǐng)看以下一組題目：

例1 已知：a∥b，直線a平面α，直線b平面α，直線c

平面α，c∥a．若直線a與直線b的距離為6cm，直線b與直線c的距離5cm，直線c與平面α的距離為4cm．

求：直線a與直線c的距離．（教師畫圖）

生A：在直線c上任取一點(diǎn)A，作AB⊥α于B，過B作BC⊥a于C，反向延長交b于D，因?yàn)閍∥b，所以BC⊥b．分別連結(jié)AC、AD，根據(jù)三垂線定理，a⊥AC，b⊥AD．

據(jù)題意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．

師：哪位同學(xué)對(duì)“生A”的解答有補(bǔ)充？

師：生A的解答基礎(chǔ)是依據(jù)我畫的圖．而原題中并沒有給圖，也沒有“如圖”這樣的說明，因此我們先要研究圖應(yīng)該怎么畫！

生B：老師，我對(duì)“生A”的發(fā)言有補(bǔ)充． 這個(gè)題目的圖形還有以下兩種可能：

師：好．這道題目體現(xiàn)了分類討論的思想．它是根據(jù)直線c在平面α內(nèi)射影的不同位置來

進(jìn)行討論的．

生C：老師，我認(rèn)為還有兩種情況：

情形1：直線c在平面α內(nèi)射影與直線a重合． 情形2：直線c在平面α內(nèi)射影與直線b重合．

師：“生C”同學(xué)的補(bǔ)充很好．例1應(yīng)該分為5種情況來討論．但是其中會(huì)有一些情況無解，請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在實(shí)踐一下．

圖一的位置．其余三種位置關(guān)系均無解．

師：還有一點(diǎn)提醒同學(xué)們注意：對(duì)于不同的位置關(guān)系，解題時(shí)都要給予論述，對(duì)于無解的情形要講清無解的原因。有些同學(xué)認(rèn)為無解就不用寫了，這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的．再看例2．

例2平面α外兩點(diǎn)A，B，它們到平面α的距離分別為a，b，求：點(diǎn)P到平面α的距離．

生A：我認(rèn)為有兩種情況：一種是點(diǎn)A、點(diǎn)B在平面α同側(cè)；另一種是點(diǎn)A、點(diǎn)B在平面α異側(cè)．

生B：我有不同看法，已知條件中沒有給出a，b的大小關(guān)系，“生A”解決圖5情形時(shí)，默認(rèn)為b＞a是不對(duì)的，應(yīng)該再分兩種情形：

師：“生B”的補(bǔ)充很好，例2不僅在圖形的位置關(guān)系上分類討論，還要根據(jù)數(shù)據(jù)a，b的大小關(guān)系來分類討論．如果簡化題目，已知條件上補(bǔ)一個(gè)條件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？ 生C：當(dāng)A，B兩點(diǎn)在兩側(cè)時(shí)，在圖6中，點(diǎn)P不一定在A1B1上方．當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)P位于A1B1上方；當(dāng)b=2a時(shí)，點(diǎn)P在A1B1上；

師：經(jīng)過“生C”的補(bǔ)充，題目解答就全面了．

下面談一下方程的思想．在初中階段，同學(xué)們重點(diǎn)研究了列方程解應(yīng)用題，這就是最基本的方程的思想．通過設(shè)未知數(shù)，尋求已知量與未知量之間的關(guān)系，從而獲得問題的解決．下面請(qǐng)看例3．

例3 如圖7，二面角α-l-β，點(diǎn)B∈l，AB α，BC β．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．

求：二面角α-l-β的大?。?/p>

師：首先我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造二面角的平面角．具體作法是：在l上選點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)D分別在α，β平面內(nèi)作l的垂線交BA，BC于E，F(xiàn)．

設(shè)AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．

∠EDF=90°．

本例特點(diǎn)在于題目中沒有給出任何線段的長度，而是通過設(shè)未知量，進(jìn)而知道已知與未知的關(guān)系．

例4 二面角α-EF-β為120°，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈β，∠ACB為二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一點(diǎn)D．

問：D點(diǎn)在何處時(shí)，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？

為了確定點(diǎn)D的位置，可設(shè)與D點(diǎn)有關(guān)的某一條線段長為x，依據(jù)題設(shè)建立等量關(guān)系．再求出x的值，同學(xué)們實(shí)踐一下．

生A：在EF上取點(diǎn)D，設(shè)AD=x． 因?yàn)?AC=BC=a，∠ACB=120°，因?yàn)?∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，所以 ∠ADC=180°-θ．

△ABD中由余弦定理可得： AB2=x2+x2-2x2cosθ，生B：我認(rèn)為解答不全面，剛才“生A”的解答中，運(yùn)用了圖8中各點(diǎn)之間位置關(guān)系．

應(yīng)該給予討論，當(dāng)點(diǎn)D位于CF之間時(shí)，∠ADC=180°而不是等于180°-θ． 師：“生B”的問題提的好，在“生A”的解答中，距點(diǎn)C的距離

例5 如圖9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由

求：△ABC的周長．

師：這道題目的難度在于如何建立一座溝通已知與未知的橋梁． 生：觀察圖形，我發(fā)現(xiàn)圖中有三對(duì)全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．設(shè)∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．

師：上面列舉了3個(gè)題目，從不同的側(cè)面，以不同的形式反映出方程的思想在立體幾何解題中的作用．

下面再談一下轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵十分豐富．有條件的轉(zhuǎn)化；結(jié)論的轉(zhuǎn)化；圖形的轉(zhuǎn)化；解題策略的轉(zhuǎn)化??

事實(shí)上，許多題目的解答過程都不同程度在使用轉(zhuǎn)化的思想． 例6 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1． 求：異面直線A1C1與B1C的距離．

生A：可以證明：B1C∥A1D1，進(jìn)而可證B1C∥面A1DC1，問題轉(zhuǎn)化為求直線B1C與平面A1C1D的距離??

生B：還可以證明AC∥A1C1，不難證明：平面A1C1D∥平面ACD1．問題轉(zhuǎn)化為求平面A1C1D與平面ACB1的距離??

生C：在A1C1上取一點(diǎn)P，作PN⊥B1C1于N，作NQ⊥B1C于Q，連結(jié)PQ．可以證明PQ⊥B1C．

師：“生C”的思想是：依據(jù)異面直線的概念，特別是公垂線段的長是兩條異面直線上各取一點(diǎn)后所連線段的最小值．

布置作業(yè)：（略）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本節(jié)是復(fù)習(xí)題的第四節(jié)．首先介紹一下上節(jié)課的設(shè)計(jì)思路． 在第三節(jié)復(fù)習(xí)課上，重點(diǎn)研究了證明問題．

對(duì)于證明題的思路分析，總體構(gòu)想認(rèn)為它應(yīng)該是初中平面幾何論證的延續(xù)，像由因?qū)Ч?，?zhí)果索因等一些經(jīng)典論述讓學(xué)生刻骨銘心．

通過證明問題的復(fù)習(xí)，使學(xué)生對(duì)線面各種位置關(guān)系及性質(zhì)、判定定理運(yùn)用自如．

反證法是高中首次出現(xiàn)，學(xué)生不易掌握，是一個(gè)難點(diǎn)．教師要結(jié)合題目引導(dǎo)學(xué)生去思考，什么樣的題目用反證法．

同一法不屬教材，一般不要引入課堂．對(duì)確有余力的班級(jí)，教師也可適當(dāng)滲透．

本節(jié)復(fù)習(xí)課是最后一節(jié)復(fù)習(xí)課，力圖通過復(fù)習(xí)，使學(xué)生能夠站在數(shù)學(xué)方法這個(gè)高度來解題．從認(rèn)識(shí)水平上也上一個(gè)新的臺(tái)階．教師必須認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法決不是通過一節(jié)課就能完全教會(huì)學(xué)生．它是需要有長期的教學(xué)積累而成，確實(shí)有水到渠成的感覺．

目前高中數(shù)學(xué)提出的四個(gè)數(shù)學(xué)思想：分類討論、函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化．本節(jié)重點(diǎn)研究了其中三個(gè)．

分類討論是容易接受也是容易忽略的．許多同學(xué)往往是出了考場就想起來應(yīng)該分類討論．

出現(xiàn)這種情況體現(xiàn)兩點(diǎn)：一是學(xué)生能力尚不強(qiáng)，檢東忘西、丟三落四；另一方面是分類討論的意識(shí)還不夠強(qiáng)，這種意識(shí)的培養(yǎng)需要一個(gè)過程．教師在平時(shí)教學(xué)中要注意滲透．對(duì)于一些問題，教師事先不去提醒他們注意，當(dāng)他們走入誤區(qū)，教師再予以指導(dǎo)，效果會(huì)好一些．

方程的思想貫穿于整個(gè)中學(xué)教材．立體幾何也不例外，如何通過設(shè)置未知量，也有時(shí)是“參數(shù)”，用其來溝通已知與未知．本節(jié)課通過不同的例子來展示． 轉(zhuǎn)化更是無處不在．幾乎每一道題的解答都滲透有轉(zhuǎn)化的思想．這里只選了一例，轉(zhuǎn)化求證方向，用以解決問題．

復(fù)習(xí)課有其獨(dú)特之處，例題選配最好結(jié)合所教班級(jí)實(shí)際情況，在此，僅以兩個(gè)教案的粗淺之見，望能起到拋磚引玉之功效．