第一篇：等比數(shù)列前n項和教案[小編推薦]

等比數(shù)列前n項和教案

一、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。

過程與方法目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生構(gòu)造數(shù)列的意識及探究、分析與問題的能力，體會公式探究過程中從特殊到一般的思維方式，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想。

情感與態(tài)度目標(biāo)：通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于創(chuàng)新、敢于創(chuàng)新，磨煉思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異性、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴謹美。

二、重點與難點

教學(xué)重點：等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)、等比數(shù)列求和公式特點及公式應(yīng)用。教學(xué)難點：等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)方法、公式的應(yīng)用條件。

三、教學(xué)方法

利用多媒體輔助教學(xué)，采用啟發(fā)---探討---建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合。

四、教具準備

教學(xué)課件，多媒體

五、教學(xué)過程

（一）簡單復(fù)習(xí)

等比數(shù)列的定義

an?1?q(q?0)an等比數(shù)列的公式

an?a1qn?

1（二）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

印度國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者西薩，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放1顆麥粒，在第2個格子里放2顆麥粒，在第3個格子里放4顆麥粒，在第4個格子里放8顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子，請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求。” 你認為國王有能力滿足發(fā)明者的上述要求嗎？

（三）師生互動，探究問題

問題1：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)+++?+，同時告訴學(xué)生一個抽象的答案，如果按西薩的要求，這是一個多么巨大的數(shù)字??！它相當(dāng)于全世界兩千多年小麥產(chǎn)量的總和．

問題2：，，…,是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？ 探究一：+++?+，記為64=+++?+①式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）

探究二：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，①式兩邊同乘以2則有264=+++?+②式．比較①、②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：①、②兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：=?，指出：這就是錯位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過程。

思考：為什么①式兩邊要同乘以2呢？

（四）類比聯(lián)系，解決問題

探究三：如何將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列{}，首項為1，公比為q,如何求前n項和為？

探究四：在導(dǎo)過程中，由 1?q =1?1，得到= 1?1 /(1?q)對不對？

探究五：結(jié)合等比數(shù)列的通項公式=1?1如何把用

1、、q表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）探究六：簡單提推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的另倆種方法。提取公比法和和比定理法，增強學(xué)生的思維和知識能力

（五）例題講解，形成技能

六、總結(jié)歸納，加深理解

引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)。

七、故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)

最后我們回到故事中的問題，西薩的第二個要求需要大約7380億噸小麥，比第一個要求更加苛刻，顯然國王兌現(xiàn)不了他的承諾。同學(xué)們有什么辦法幫助國王嗎？讓西薩自己去數(shù)他要的麥粒，事實上，假如他一秒鐘數(shù)一粒，數(shù)完這些麥粒所需時間約是5800億年。

八、課后作業(yè)

必做題: 練習(xí)1，2

第二篇：等比數(shù)列前n項和教案[范文模版]

等比數(shù)列前n項和教案

導(dǎo)入：同學(xué)們，大家好！數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機整體，它的生命力正在于各部分之間的聯(lián)系，咱們在前邊數(shù)列這一部分看到了很多有聯(lián)系的數(shù)，排成一定順序的數(shù)，我們重點研究了等差數(shù)列和等比數(shù)列，正是它們向我們展示了數(shù)與數(shù)之間美妙的聯(lián)系，那么首先在等差數(shù)列當(dāng)中，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義，通項公式和以及前n項求和公式，那么現(xiàn)在咱們一塊回憶一下等差數(shù)列前n項求和公式的推導(dǎo)過程，在等差數(shù)列前n項求和公式的推導(dǎo)過程當(dāng)中，我們注意到，等差數(shù)列的本質(zhì)特征是從第二項起，每一項比前一項要多一個公差d，那么，再把對等的兩項交換順序后，我們又一次注意到等差數(shù)列從倒數(shù)第二項起，每一項比后一項少一個d，就是通過這樣的本質(zhì)特征，我們發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列各項之間的差異，那么我們通過什么樣的方式來消除這樣的差異呢？（停頓兩秒，之后同學(xué)一起回答）把這兩個式子相加，這樣我們就可以得到等差數(shù)列前n項求和公式。先找差異，再消除差異，這樣的方法我們稱之為“倒序相加”的方法。

好，我們再來看等比數(shù)列，在等比數(shù)列中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了它的定義，通項公式，那么接下來應(yīng)該學(xué)習(xí)它的（在此停頓一秒，學(xué)生一起回答）前n項求和公式，好的，前n項求和公式。首先，我們來看這樣一個問題情境，首先我們來做一個假設(shè)，假設(shè)在座的各位都是小小企業(yè)家，現(xiàn)在，你的公司在經(jīng)營上遇到一些困難需要向銀行貸款，銀行和你商定，在三年內(nèi)，公司每月向銀行貸款一萬元，為了還本付息，公司第一個月要向銀行還款一元，第二個月還款2元，第三個月還款4元，??，那么以此類推，也就是說公司每月還款的數(shù)量是前一個月的兩倍。那么，你作為這個公司的負責(zé)人，你會在這個和約上簽字嗎？思考一下，和同桌之間討論一下。

提問，怎么樣會不會簽約？那么請你吧這么一個在你的公司中遇到的問題給我們建立一個數(shù)學(xué)模型，我們可以把這個借款的過程（借款的過程也就是銀行每月給你的過程，銀行每月給的錢可以構(gòu)成一個？）構(gòu)成一個等比數(shù)列，（等比數(shù)列，好，an ,這個數(shù)列的首項？）首項是10000，（首項是10000元，）公比是1，（一共有多少項？）一共有36項。（好的，第二個，bn）首項是1元，（也就是你每個月給引港的還款也構(gòu)成一個等比數(shù)列，他的首項是1，公比是？一共是多少項？）

那么你通過什么計算出我不會和銀行簽約，通過計算數(shù)列的和，好，首先我們來看看，在銀行借給你的錢的和是？那么你還給銀行的錢呢？非常好請坐

現(xiàn)在這位同學(xué)幫我們把這個實際問題概括成了數(shù)學(xué)問題，建立了數(shù)學(xué)模型，原來是兩個等比數(shù)列的問題，我們在決定要不要和銀行簽約的過程也就是去比較一下銀行借給我們的錢和我們還給銀行的錢之間的差異，好，銀行借給我們的前已經(jīng)解決了，那么我們還給銀行的錢又怎樣計算呢，這實際上就是一個等比數(shù)列求和的問題，這也就是本節(jié)課我們要來研究的課題，等比數(shù)列前n項和，試想，如果我們掌握了這個方法，我們能精確的計算出我們還給銀行的錢是多少，那么我們可以明確地做出判斷我是否和銀行簽約，是不是？

接下來在這個36項求和的過程的當(dāng)中，這個等比數(shù)列求和

等差數(shù)列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本質(zhì)即整體設(shè)元，構(gòu)造等式，利用方程的思想化繁為簡，把不易求和的問題轉(zhuǎn)化為易于求和的問題，從而求和的實質(zhì)是減少了項.那現(xiàn)在用這種辦法還行嗎？若不行，那該怎樣簡化運算？能否類比倒序相加的本質(zhì)，根據(jù)等比數(shù)列項之間的特點，也構(gòu)造一個式子，通過兩式運算來解決問題？

第三篇：等比數(shù)列前n項和公式教案

課題: §2.5等比數(shù)列的前Ⅱ.講授新課

n項和

[分析問題]如果把各格所放的麥粒數(shù)看成是一個數(shù)列，我們可以得到一個等比數(shù)列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總合就是求這個等比數(shù)列的前64項的和。下面我們先來推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式。

1、等比數(shù)列的前n項和公式：

當(dāng)q?1時，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當(dāng)q=1時，Sn?na1

當(dāng)已知a1, q, n 時用公式①；當(dāng)已知a1, q, an時，用公式②.公式的推導(dǎo)方法一：

一般地，設(shè)等比數(shù)列a1,a2?a3,?an?它的前n項和是

Sn?a1?a2?a3??an

?Sn?a1?a2?a3??an由? n?1a?aq1?n2n?2n?1??a1q?Sn?a1?a1q?a1q??a1q得?

23n?1n??a1q?qSn?a1q?a1q?a1q??a1qn?(1?q)Sn?a1?a1q

∴當(dāng)q?1時，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當(dāng)q=1時，Sn?na1

公式的推導(dǎo)方法二：

有等比數(shù)列的定義，a2a1?a3a2???anan?1??q

根據(jù)等比的性質(zhì)，有a2?a3???ana1?a2???an?1Sn?a1Sn?an?q

即 Sn?a1Sn?an?q?(1?q)Sn?a1?anq（結(jié)論同上）

圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比定理，導(dǎo)出了公式． 公式的推導(dǎo)方法三：

Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1)

＝a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an)

?(1?q)Sn?a1?anq（結(jié)論同上）

課題: §2.5等比數(shù)列的前●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入

首先回憶一下前一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容： 等比數(shù)列的前n項和公式： 當(dāng)q?1時，Sn?a1(1?q)1?qnn項和

①

或Sn?a1?anq1?q

②

當(dāng)q=1時，Sn?na1

當(dāng)已知a1, q, n 時用公式①；當(dāng)已知a1, q, an時，用公式②

課 題：數(shù)列復(fù)習(xí)小結(jié)

教學(xué)過程：

一、本章知識結(jié)構(gòu)

二、知識綱要

(1)數(shù)列的概念，通項公式，數(shù)列的分類，從函數(shù)的觀點看數(shù)列．(2)等差、等比數(shù)列的定義．(3)等差、等比數(shù)列的通項公式．(4)等差中項、等比中項．

(5)等差、等比數(shù)列的前n項和公式及其推導(dǎo)方法．

三、方法總結(jié)

1．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，有些題目可結(jié)合函數(shù)知識去解決，體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想．

2．等差、等比數(shù)列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想，有時用到換元法．

3．求等比數(shù)列的前n項和時要考慮公比是否等于1，公比是字母時要進行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想． 4．?dāng)?shù)列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯位相減法，拆項法，裂項法，累加法，等價轉(zhuǎn)化等．

四、知識精要：

1、數(shù)列

[數(shù)列的通項公式] an2、等差數(shù)列 [等差數(shù)列的概念] [定義]如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。[等差數(shù)列的判定方法]

1． 定義法：對于數(shù)列?an?，若an?1?an?d(常數(shù))，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。2．等差中項：對于數(shù)列?an?，若2an?1?an?an?2，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。[等差數(shù)列的通項公式]

如果等差數(shù)列?an?的首項是a1，公差是d，則等差數(shù)列的通項為an?a1?(n?1)d。[說明]該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。[等差數(shù)列的前n項和] 1．Sn?n(a1?an)2?a1?S1(n?1)???Sn?Sn?1(n?2)[數(shù)列的前n項和] Sn?a1?a2?a3???an

2.Sn?na1?n(n?1)2d

[說明]對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)。[等差中項] 如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。即：A?a?b2或2A?a?b

[說明]：在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數(shù)列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。[等差數(shù)列的性質(zhì)]

1．等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果an是等差數(shù)列的第n項，am是等差數(shù)列的第m項，且m?n，公差為d，則有an?am?(n?m)d

2.對于等差數(shù)列?an?，若n?m?p?q，則an?am?ap?aq。

3．若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差數(shù)列。

3、等比數(shù)列 [等比數(shù)列的概念] [定義]如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q?0）。[等比中項] 如果在a與b之間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。即G2?ab。[等比數(shù)列的判定方法] 1． 定義法：對于數(shù)列?an?，若an?1an?q(q?0)，則數(shù)列?an?是等比數(shù)列。

22．等比中項：對于數(shù)列?an?，若anan?2?an，則數(shù)列?an?是等比數(shù)列。?1[等比數(shù)列的通項公式]

n?1如果等比數(shù)列?an?的首項是a1，公比是q，則等比數(shù)列的通項為an?a1q。

[等比數(shù)列的前n項和] Sn?a1(1?q)1?qn(q?1)Sn?a1?anq1?q(q?1)當(dāng)q?1時，Sn?na1

[等比數(shù)列的性質(zhì)] 1．等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：an?amqn?m

2． 對于等比數(shù)列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av

4．若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數(shù)列。如下圖所示：

4、數(shù)列前n項和（1）重要公式：

1?2?3??n?1?2?3??n222n(n?1)22；

； ?n(n?1)(2n?1)61?2??n333?[121n(n?1)] 2（2）裂項求和：

n(n?1)?1n?1n?1；

第四篇：等比數(shù)列前n項和作業(yè)

第五章第3講

一、選擇題

1.公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a2a12＝16，則a5＝()A.1B.2C.4D.8

2.[2013·安徽名校聯(lián)考]已知等比數(shù)列{a的前n項和為S39

n}n，a32S3＝2，則公比q＝()

A.1或－1B.－1C.1D.－1或1222

3.[2013·泉州五校質(zhì)檢]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝3，前三項的和S3＝21，則a3＋a4＋a5的值為()

A.33B.72C.84

D.189

4.[2013·合肥質(zhì)檢]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝2n

(n∈N*

＋1·an)，則a10＝()A.64B.32C.16D.8

5.[2013·衡陽三聯(lián)]設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和．已知a2·a4＝1，S3＝7，則S5＝()

A.33B.31171544C.2D.2

6.[2013·湖南重點中學(xué)調(diào)研]若等比數(shù)列{an}的公比q＝2，且前12項的積為212，則a3a6a9a12的值為()

A.24B.26C.28D.212

二、填空題

7.已知等比數(shù)列{a}中，a5

n1＋a3＝10，a4＋a6＝4，則等比數(shù)列{an}的公比q＝________.8.[2013·金版原創(chuàng)]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項之和為Sn，已知a1＝2011，且 an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，則S2012＝________.9.[2013·南京模擬]記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知

am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m＝________.三、解答題

10.[2013·錦州模擬]設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝7，a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列．

(1)求a2的值；

(2)若{an}是等比數(shù)列，且an＋1

11.[2013·湖州模擬]已知等差數(shù)列{an}滿足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通項公式；

(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.12.[2013·浙江模擬]已知公差不為0的等差數(shù)列{a(a∈R)，且11

n}的首項a1為aa1

a2，a4

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)對n∈N*，試比較11111

a2＋a22＋a23＋…＋a2na1

第五篇：等比數(shù)列及其前n項和(學(xué)生)

自強學(xué)校高一數(shù)學(xué)

等比數(shù)列及其前n項和

1．等比數(shù)列的定義

如果一個數(shù)列從

A．2B.2C.2D.24．設(shè){an}是首項大于零的等比數(shù)列，則“a1＜a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的()

A．充分而不必要條件C．充分必要條件

B．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件

5．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝2，S20＝8則S30＝________.等比數(shù)列中基本量的運算

【例1】 等比數(shù)列{an}滿足：a1＋a6＝11，a3·a49q∈(0，1)．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若該數(shù)列前n項和Sn＝21，求n的值．

總結(jié)：在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．

練習(xí)1．記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設(shè)S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，求Sn.等比數(shù)列的判定及證明

【例2】 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an＋1，求證：{an}是等比數(shù)列，并求出通項公式．

總結(jié)：證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法有兩種：一是利用等比數(shù)列的定義，即證明an＋1*2*

＝q(q≠0，n∈N)，二是利用等比中項法，即證明an＋1＝anan＋2≠0(n∈N)． an

練習(xí)2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．

等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

【例3】(2010·上海卷)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.(1)證明：{an－1}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{Sn}的通項公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小整數(shù)n.總結(jié)：數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點，該類綜合題的知識綜合性強，能很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力，從而一直成為高考命題者的首選．

練習(xí)3．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn，n＝1,2,3，?，求：

(1)a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項公式；(2)a2＋a4＋a6＋?＋a2n的值．作業(yè):

一、選擇題

1．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝4q＝()

111A．－2B．2C．2D.22．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝()

A．42B．7C．6D．52

13．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝t·5n－2－5t的值為()

A．4B．5C.5D.54．已知等比數(shù)列{an}中，若a1 005·a1 007＝4，則該數(shù)列的前2 011項的積為()

A．42 011B．±42 011C．22 011D．±22 011

225．若a1＝1，對于任何n∈N*，都有an＞0，且nan＋1＝(2n－1)an＋1an＋2an.設(shè)M(x)表示

整數(shù)x的個位數(shù)字，則M(a2 011)＝()

A．2B．3C．4D．5

二、填空題

6．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若數(shù)列{an＋c}恰為等比數(shù)列，則c的值為________． 7． 等比數(shù)列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，則{an}的前4項和S4＝____.8．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝6，則a10＋a11＋a12＝________.9．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，?)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.三、解答題

10．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通項公式．

11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．

12.在數(shù)列{an}中a1＝1，an＝2(an－1－1)＋n(n≥2，n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)證明：數(shù)列{an＋n}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.