第一篇：直線(xiàn)的方程教案

《直線(xiàn)的方程》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：理解直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式的特點(diǎn)和使用范圍

過(guò)程與方法：在知道直線(xiàn)上一點(diǎn)和直線(xiàn)斜率的基礎(chǔ)上，通過(guò)師生探討得出點(diǎn)斜式方程 情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)：養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思想，可以使用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)看問(wèn)題。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)斜式方程

教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)使用點(diǎn)斜式方程

三、教學(xué)用具：直尺，多媒體

四、教學(xué)過(guò)程

1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入，引入新知

我們確定一條直線(xiàn)需要知道哪些條件呢？（直線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率）

那么我們能不能用直線(xiàn)上這一點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)的斜率把整條直線(xiàn)所有點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該滿(mǎn)足的關(guān)系表達(dá)出來(lái)呢？這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的課程《直線(xiàn)的方程》。

2、師生互動(dòng)，探索新知

探究一：在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)P（0,3），斜率K=2，Q(X,Y)是直線(xiàn)L上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，如ppt上圖例所示。通過(guò)上節(jié)課所學(xué)，我們可以得出什么？

由于P,Q都在這條直線(xiàn)上，我們就可以用這兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線(xiàn)L的斜率，可以得出公式：Y-3X-0=2 那我們就可以的出方程Y=2X+3 所以就有L上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)（X,Y）都滿(mǎn)足方程Y=2X=3,滿(mǎn)足方程Y=2X+3的每一個(gè)（X,Y）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在直線(xiàn)L上。

因此我們可以的出結(jié)論：一般的如果一條直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿(mǎn)足一個(gè)方程，滿(mǎn)足該方程的每一個(gè)數(shù)對(duì)（x,y）所確定的點(diǎn)都在直線(xiàn)l上，我們就把這個(gè)方程稱(chēng)為l的直線(xiàn)方程，因此，當(dāng)我們知道了直線(xiàn)上的一點(diǎn)p（x,y），和它的斜率，我們就可以求出直線(xiàn)方程。

3、知識(shí)剖析，深化理解

我們剛剛知道了如何來(lái)求直線(xiàn)方程，那現(xiàn)在同學(xué)來(lái)做做這一個(gè)例子。設(shè) Q(X,Y)是直線(xiàn)L上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，由于點(diǎn)P,Q都在L，求直線(xiàn)的方程。設(shè)點(diǎn)P（X0，,Y0），先表示出這個(gè)直線(xiàn)的額斜率是Y-Y0X-X0=K，然后可以推得公式Y(jié)-Y0=K(X-X0)那如果當(dāng)X=X0，這個(gè)公式就沒(méi)有意義，還有就是分母不能為零，所以這里要注意（X不能等于X0）

1）過(guò)點(diǎn)，斜率是K的直線(xiàn)L上的點(diǎn)，其坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程（1）嗎？ P(X0,Y0)

(X0,Y0)，斜率為K的直線(xiàn)L上嗎？ 2）坐標(biāo)滿(mǎn)足方程（1）的點(diǎn)都在經(jīng)過(guò)P那么像這種由直線(xiàn)上一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)斜率所求的方程，就稱(chēng)為直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式。直線(xiàn)的點(diǎn)斜式是不是滿(mǎn)足坐標(biāo)平面上所有的直線(xiàn)呢？

小組討論：當(dāng)直線(xiàn)與X軸垂直時(shí)，傾斜角為直角時(shí)，直線(xiàn)方程怎么寫(xiě)？（Y-Y0=KX）當(dāng)直線(xiàn)與Y軸垂直時(shí)，傾斜角為零時(shí)，直線(xiàn)方程怎么寫(xiě)？（Y=K(X-X0)那我們帶入與X垂直的一條線(xiàn)上的坐標(biāo)（3,0）（3,1），斜率為K，算出（Y=3K,Y=3K+1）

點(diǎn)斜式就不滿(mǎn)足這個(gè)條件的直線(xiàn)，大家子啊照例做做下一個(gè)，還是不一樣是吧，這個(gè)點(diǎn)斜式不能滿(mǎn)足。（它只能滿(mǎn)足斜率存在的直線(xiàn)。）

4、鞏固提高：做一做習(xí)題1的第一小題：經(jīng)過(guò)點(diǎn)p（1,3）斜率為1,求出方程，并且畫(huà)圖。（Y=X+2）

5、課堂小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式方程，知道了這種方程也有他的局限性，就是不使用斜率不存在的直線(xiàn)，那怎么辦呢？我們下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)。課后大家預(yù)習(xí)后邊的內(nèi)容，鞏固今天所學(xué)習(xí)的知識(shí)。

6、板書(shū)：點(diǎn)斜式的概念及圖形。

第二篇：直線(xiàn)方程教案

Ⅰ.課題導(dǎo)入

［師］同學(xué)們，我們前面幾節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線(xiàn)方程的各種形式，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線(xiàn)上的點(diǎn)；反之這條直線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解。這是這個(gè)方程叫做這條直線(xiàn)的方程；這條直線(xiàn)叫做這個(gè)方程的直線(xiàn)?，F(xiàn)在大家回憶一下，我們都學(xué)習(xí)了直線(xiàn)方程的哪些特殊的形式。我們學(xué)習(xí)了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式等形式，對(duì)直線(xiàn)方程的表示形式有了一定的認(rèn)識(shí).現(xiàn)在，我們來(lái)回顧一下它們的基本形式.點(diǎn)斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）適用于斜率存在的直線(xiàn).斜截式的基本形式：y＝kx＋b適用于斜率存在的直線(xiàn)；

兩點(diǎn)式的基本形式：直線(xiàn)；

截距式的基本形式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）適用于斜率存在且不為0的?y2?y1x2?x1xy?＝1（a，b≠0）適用于橫縱截距都存在且不為0的直線(xiàn).ab在使用這些方程時(shí)要注意它們時(shí)要注意它們的限制條件。

那么大家觀(guān)察一下這些方程，都是x,y的幾次方程??？［生］都是關(guān)于x，y的二元一次方程.那么我們?cè)瓉?lái)在代數(shù)中學(xué)過(guò)二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板書(shū)）Ax＋By＋C＝0 我們現(xiàn)在來(lái)看一次這幾種學(xué)過(guò)的特殊形式，它們經(jīng)過(guò)一些變形，比如說(shuō)去分母、移項(xiàng)、合并，這樣一些變形步驟。能不能最后都化成這個(gè)統(tǒng)一的形式呢？比如說(shuō)y＝kx＋b，?xayb＝1，這些我們最終都可以吧它們變成這種形式。剩下的兩種形式的變形留給同學(xué)們課下自己去完成。那么在學(xué)習(xí)這些直線(xiàn)的特殊形式的時(shí)候，應(yīng)該說(shuō)各有其特點(diǎn)，但是也有些不足。在使用的過(guò)程中有些局限性。比如說(shuō)點(diǎn)斜式和斜截式它們的斜率都必須存在，兩點(diǎn)式適用于適用于斜率存在且不為0的直線(xiàn)，截距式適用于橫縱截距都存在且不為0的直線(xiàn).那么我們現(xiàn)在想一想有沒(méi)有另外一種形式，可以綜合他們各自的一些特點(diǎn)，也就是這些方程最后化成一個(gè)統(tǒng)一的形式。能不能代表平面直角坐標(biāo)系中的直線(xiàn)。要解決這些問(wèn)題呢，要分兩個(gè)方面進(jìn)行討論。

1.直線(xiàn)和二元一次方程的關(guān)系

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線(xiàn)，都有一個(gè)表示這條直線(xiàn)的關(guān)于x，y的二元一次方程.一個(gè)方面：是不是平面上的任意直線(xiàn)，表示它的方程都可以寫(xiě)成Ax＋By＋C＝0的形式，剛才大家做了一些練習(xí)，當(dāng)然這只是特殊形式，是不是所有的直線(xiàn)都可以寫(xiě)成這種形式呢？直線(xiàn)按斜率來(lái)分類(lèi)可以分幾類(lèi)？斜率存在和斜率不存在。這兩類(lèi)是不是都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式。當(dāng)傾斜角不等于90°是斜率存在，直線(xiàn)方程可以寫(xiě)成y＝kx＋b的形式。可以轉(zhuǎn)化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=k B=-1 C=b。當(dāng)傾斜角等于90°斜率不存在，直線(xiàn)方程可以寫(xiě)成x=x0的形式?？梢赞D(zhuǎn)化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我們就把它分為這兩種情況，當(dāng)斜率存在的時(shí)候我們一般把它設(shè)成一個(gè)簡(jiǎn)單的斜截式，斜截式經(jīng)過(guò)變形就可以化成一般的形式。而對(duì)于斜率不存在的時(shí)候，它的方程形式就是x=x0直線(xiàn)方程也可以轉(zhuǎn)化成這樣的一個(gè)形式。那么由此可以下這樣一個(gè)結(jié)論：平面上的任意的一條直線(xiàn)，表示它的方程最后都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程的形式。剛才我們從這個(gè)角度考慮，就是直線(xiàn)都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程，現(xiàn)在我們反過(guò)來(lái)看，是不是任意的一個(gè)二元一次方程最終在直角坐標(biāo)系下都能夠表示直線(xiàn)。

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線(xiàn).因?yàn)閤，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時(shí)為0，在B≠0和B＝0的兩種情況下，二元一次方程可分別化成直線(xiàn)的斜截式方程y＝－示與y軸平行或重合的直線(xiàn)方程x＝－

ACx?和表BBC.A也就是說(shuō)Ax＋By＋C＝0（A，B不同時(shí)為零）大家想想如果AB都等于零這個(gè)直線(xiàn)方程就沒(méi)了?，F(xiàn)在我們考慮一下，這個(gè)方程能不能經(jīng)過(guò)一些適當(dāng)?shù)淖冃?，變成我們熟悉的形式，而確定它就是一個(gè)在平面直角坐標(biāo)系中就是一條直線(xiàn)呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y軸上的截距。二元一次方程通過(guò)變形在直角坐標(biāo)系下都表示一條直線(xiàn)。那么我們從兩個(gè)方面在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線(xiàn)，都有一個(gè)表示這條直線(xiàn)的關(guān)于x，y的二元一次方程.在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程都表示一條直線(xiàn).根據(jù)上述結(jié)論，我們可以得到直線(xiàn)方程的一般式.我們就把代數(shù)中的二元一次方程定義為直線(xiàn)的一般式方程。

定義：我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同時(shí)為0）叫做直線(xiàn)的一般式方程。我們?cè)趯W(xué)習(xí)前面直線(xiàn)的幾種特殊形式的方程，一眼就可以看出這條直線(xiàn)的某些特點(diǎn)，比如說(shuō)點(diǎn)斜式就可以看出它的斜率還有過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，還有兩點(diǎn)式可以看出它過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)。那么我們?cè)趺赐ㄟ^(guò)直線(xiàn)的一般式方程觀(guān)察直線(xiàn)的一些特點(diǎn)呢？比如說(shuō)A=0表示什么樣一條直線(xiàn)？y=-平行于x軸的直線(xiàn)，也有可能與x軸重合。如果要平行于y軸這個(gè)系數(shù)要滿(mǎn)足什么樣的條件？如果旦旦是c等于零，通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。假如AB都不等于零它的斜率我們?cè)趺纯闯鰜?lái)？這些直線(xiàn)的特點(diǎn)我們要能掌握住。我們對(duì)直線(xiàn)的一般式方程有了一定的了解。直線(xiàn)的一般式方程和和那幾種特殊的形式之間有一個(gè)互相的轉(zhuǎn)化，那么我們來(lái)看一個(gè)例子，通過(guò)一些轉(zhuǎn)化來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

［例1］已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，－４），斜率為－

4，求直線(xiàn)的點(diǎn)斜式和一般式方程.3分析：本題中的直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式可直接代入點(diǎn)斜式得到，主要讓學(xué)生體會(huì)由點(diǎn)斜式向一般式的轉(zhuǎn)化，把握直線(xiàn)方程一般式的特點(diǎn).解：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同學(xué)們?cè)谝院蠼忸}時(shí)，可能求直線(xiàn)方程的時(shí)候，求出不一定是一般式，可能是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等等，如題目沒(méi)有特殊要求我們都要把各種形式化成一般式。對(duì)于直線(xiàn)方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項(xiàng)，含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列.

第三篇：11.1直線(xiàn)方程教案

11．1（２）直線(xiàn)方程（點(diǎn)法向式）

一、教學(xué)目標(biāo)

在理解直線(xiàn)方程的意義，掌握直線(xiàn)的點(diǎn)方向式方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究點(diǎn)法向式方程；學(xué)會(huì)分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，形成探究能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

本節(jié)的重點(diǎn)是直線(xiàn)的點(diǎn)法向式方程的推導(dǎo)及應(yīng)用。在上一堂課的基礎(chǔ)上，通過(guò)向量垂直的充要條件（對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式）推導(dǎo)出直線(xiàn)的點(diǎn)法向式方程。

本節(jié)的難點(diǎn)是通過(guò)對(duì)直線(xiàn)與二元一次方程關(guān)系的分析，初步認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)與方程的關(guān)系并體會(huì)解析幾何的基本思想！從而培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法對(duì)平面直線(xiàn)（和以后的圓錐曲線(xiàn)）的研究能力。

三、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)上一堂課的教學(xué)內(nèi)容 講授新課

（一）點(diǎn)法向式方程

1、概念引入

從上一堂課的教學(xué)中，我們知道，在平面上過(guò)一已知點(diǎn)P，且與某一方向平行的直線(xiàn)l是惟一確定的．同樣在平面上過(guò)一已知點(diǎn)P，且與某一方向垂直的直線(xiàn)l也是惟一確定的。

2、概念形成 直線(xiàn)的點(diǎn)法向式方程

在平面上過(guò)一已知點(diǎn)P，且與某一方向垂直的直線(xiàn)l是惟一確定的。建立直角坐標(biāo)平面，設(shè)P的坐標(biāo)是(x0,y0)，方向用非零向量n?(a,b)表示。那么如何根據(jù)條件求出直線(xiàn)l的方程呢？ 直線(xiàn)的點(diǎn)法向式方程的推導(dǎo)

設(shè)直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y)，由直線(xiàn)垂直于非零向量n，故PQ?n.根據(jù)PQ?n的充要條件知PQ?n?0，即：a(x?x0)?b(y?y0)?0⑤；反之，若(x1,y1)為方程⑤的任意一解，即a(x1?x0)?b(y1?y0)?0，記(x1,y1)為坐標(biāo)的點(diǎn)為Q1，可知PQ1?n，即Q1在直線(xiàn)l上。綜上，根據(jù)直線(xiàn)方程的定義知，方程⑤是直線(xiàn)l的方程，直線(xiàn)l是方程①的直線(xiàn)。

我們把方程a(x?x0)?b(y?y0)?0叫做直線(xiàn)l的點(diǎn)法向式方程，非零向量n叫做直線(xiàn)l的法向量。

3、例題解析

第四篇：11.1直線(xiàn)方程教案

11．1（1）直線(xiàn)方程（點(diǎn)方向式）

一、教學(xué)目標(biāo)

理解直線(xiàn)方程的意義，掌握直線(xiàn)的點(diǎn)方向式方程；加強(qiáng)分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和探究能力的培養(yǎng)；體驗(yàn)探究新事物的過(guò)程，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)

1.理解直線(xiàn)的方向向量概念

2.能根據(jù)已知條件求出直線(xiàn)的點(diǎn)方向式方程 3.理解直線(xiàn)方程的解與直線(xiàn)上點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系

4.通過(guò)建立直線(xiàn)的點(diǎn)方向式方程，體會(huì)使用向量可簡(jiǎn)化推到過(guò)程且有明確的幾何意義 難點(diǎn)

理解直線(xiàn)方程的定義。通過(guò)推導(dǎo)直線(xiàn)的點(diǎn)方向式方程，從中體會(huì)向量知識(shí)的應(yīng)用和坐標(biāo)法的含義。通過(guò)對(duì)直線(xiàn)與二元一次方程關(guān)系的分析，初步認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)與方程的關(guān)系并體會(huì)解析幾何的基本思想。從而培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法對(duì)平面直線(xiàn)（和以后的圓錐曲線(xiàn)）的研究能力。

三、教學(xué)過(guò)程 回顧

在初中平面幾何里，我們定性的研究直線(xiàn)的平行，垂直或直線(xiàn)相交所成角是否相等。在函數(shù)教學(xué)中，直線(xiàn)是一次函數(shù)的圖像。在本章中，我們進(jìn)一步用定量的方法來(lái)研究直線(xiàn)。講授新課

（一）直線(xiàn)方程

定義：對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)l，如果存在一個(gè)方程f(x,y)?0，滿(mǎn)足（1）直線(xiàn)l上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿(mǎn)足方程f(x,y)?0；（2）以方程f(x,y)?0的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線(xiàn)l上。那么我們把方程f(x,y)?0叫做直線(xiàn)l的方程。

從上述定義可見(jiàn)，滿(mǎn)足（1）、（2），直線(xiàn)l上的點(diǎn)的集合與方程f(x,y)?0的解的集合就建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)與其坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

第五篇：直線(xiàn)與方程教案

平面解析幾何 第一講 直線(xiàn)方程 知識(shí)歸納：

一、直線(xiàn)的傾斜角與斜率

1、確定直線(xiàn)的幾何要素是：直線(xiàn)上兩不同的點(diǎn)或直線(xiàn)上一點(diǎn)和直線(xiàn)的方向兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的條件

注意：表示直線(xiàn)方向的有：直線(xiàn)的傾斜角（斜率）、直線(xiàn)的方向向量、直線(xiàn)的法向量

2、直線(xiàn)的傾斜角：當(dāng)直線(xiàn)l 與x 軸相交時(shí)，我們?nèi) 軸作為基準(zhǔn)，x 軸正向與直線(xiàn)l 向上方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)l 的傾斜角。

注意：①?gòu)挠眠\(yùn)動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，直線(xiàn)的傾斜角是由x 軸繞交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到與直線(xiàn)重合時(shí)所成的角；

②規(guī)定：直線(xiàn)與x 軸平行或重合時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為00 ③直線(xiàn)傾斜角α的取值范圍是：00≤α<1800

④在同一直角坐標(biāo)系下，任何一條直線(xiàn)都有傾斜角且唯一，傾斜程度相同的直線(xiàn)，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線(xiàn)，其傾斜角不相等。

3、直線(xiàn)的斜率：傾斜角不是900的直線(xiàn)，它的傾斜角α的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，即k =tan α(α≠900)。它從另一個(gè)方面反映了直線(xiàn)的傾斜程度。注意：一條直線(xiàn)必有一個(gè)確定的傾斜角，但不一定有斜率，當(dāng)α=00時(shí)，k =0；當(dāng)00<α<1800時(shí)，k >0；當(dāng)α=900時(shí)，k 不存在，當(dāng)900<α<1800時(shí)，k <0。即：斜率的取值范圍為k ∈R 例

1、給出下列命題：①若直線(xiàn)傾斜角為α，則直線(xiàn)斜率為tan α；②若直線(xiàn)傾斜角為tan α，則直線(xiàn)的傾斜角為α； ③直線(xiàn)的傾斜角越大，它的斜率越大；④直線(xiàn)的斜率越大，其傾斜角越大；⑤直線(xiàn)的傾斜角的正切值叫做直線(xiàn)的斜率。其中正確命題的序號(hào)為 例

2、已知直線(xiàn)的傾斜角為α，且sin α=4，求直線(xiàn)的斜率k 5

4、直線(xiàn)斜率的坐標(biāo)公式

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P 的直線(xiàn)的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)x 1-x 2 注意：①斜率公式與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x)12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特別地：當(dāng)y 1=y 2, x 1≠x 2時(shí)，k =0；此時(shí)直線(xiàn)平行于x 軸或與x 軸重合；當(dāng)y 1≠y 2, x 1=x 2時(shí)，k 不存在，此時(shí)

直線(xiàn)的傾斜角為900，直線(xiàn)與y 軸平行或重合。

例

3、已知點(diǎn)P(2,1),Q(m ,-3)，求直線(xiàn)P , Q 的斜率并判斷傾斜角的范圍。

例

4、（三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題）已知A(-3,-5), B(1,3), C(5,11)三點(diǎn)，證明這三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上 例

5、（最值問(wèn)題）已知實(shí)數(shù)x , y，滿(mǎn)足2x +y =8，當(dāng)2≤x ≤8時(shí)，求y 的最大值和最小值 x

5、直線(xiàn)的方向向量：已知P 是直線(xiàn)l 上的兩點(diǎn)，直線(xiàn)上的向量PP 及與它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)12稱(chēng)為直線(xiàn)的方向向量。直線(xiàn)PP 與x 軸不垂直時(shí)，x 1≠x 2，此時(shí)，向量12的坐標(biāo)是

1也是直線(xiàn)PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 為直線(xiàn)PP 的斜率(x 2-x 1, y 2-y 1)，即（1，k）12x 2-x 1

6、直線(xiàn)的法向量：如果向量n 與直線(xiàn)l 垂直，則稱(chēng)向量n 為直線(xiàn)l 的法向量。

二、直線(xiàn)的方程

1、定義：一般地，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線(xiàn)上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這是，這個(gè)方程就叫做這條直線(xiàn)的方程，這條直線(xiàn)叫做這個(gè)方程的直線(xiàn)。

2、直線(xiàn)方程的幾種形式（1）點(diǎn)斜式：

問(wèn)題：若直線(xiàn)l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為k，求直線(xiàn)l 的方程。0(x 0, y 0)解析：設(shè)點(diǎn)P(x , y)是直線(xiàn)l 上不同于點(diǎn)P 的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式，得k =y-y 0，可化為0 x-x 0、斜率為k 的直線(xiàn)l 的方程。y-y 0=k(x-x 0)，即為過(guò)點(diǎn)P 0 方程y-y 0=k(x-x 0)是由直線(xiàn)上一點(diǎn)及其斜率確定的，把這個(gè)方程叫做直線(xiàn)的點(diǎn)斜式的方程，簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)斜式。注意：①k =y-y 0與y-y 0=k(x-x 0)是不同的，前者表示直線(xiàn)上缺少一個(gè)點(diǎn)x ≠x 0，后者才是整條直線(xiàn)； x-x 0 ②當(dāng)直線(xiàn)l 的傾斜角為00時(shí)，tan 00=0，即k =0，這時(shí)直線(xiàn)l 的方程為y =y 0 ③當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為900時(shí)，直線(xiàn)l 斜率不存在，這時(shí)直線(xiàn)l 與y 軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 軸的直線(xiàn)。④經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，可分為兩類(lèi)情況： 0(x 0, y 0)ⅰ、斜率為k 的直線(xiàn)，方程為y-y 0=k(x-x 0)ⅱ、斜率不存在的直線(xiàn)，方程為x-x 0=0或?qū)憺閤 =x 0 例

6、根據(jù)條件寫(xiě)出下列各題中的直線(xiàn)的方程

①經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，傾斜角α=450，②經(jīng)過(guò)點(diǎn)P , 2)，斜率為2 ③經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)，且與x 軸平行 1(-2,3)1(1④經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-3)，且與x 軸垂直（2）斜截式：

問(wèn)題：已知直線(xiàn)l 的斜率是k，與y 軸的交點(diǎn)是P(0,b)，代入直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，得直線(xiàn)l 的方程y-b =k(x-0)，也就是y =kx +b，我們稱(chēng)b 是直線(xiàn)l 在y 軸上的截距。

這個(gè)方程是由直線(xiàn)l 的斜率k 和它在y 軸上的截距確定的，所以叫做直線(xiàn)的斜截式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)斜截式。注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 軸的直線(xiàn)

③斜截式方程和一次函數(shù)的解析式相同，都是y =kx +b，但有區(qū)別：當(dāng)斜率不為0時(shí)，y =kx +b 是一次函數(shù)，當(dāng)k =0時(shí)，y =b 不是一次函數(shù)；一次函數(shù)y =kx +b（k =0）必是一條直線(xiàn)的斜截式方程。例7、求傾斜角是直線(xiàn)y =+1的傾斜角的1，且在y 軸上的截距為-5的直線(xiàn)的方程。4（3）兩點(diǎn)式：

問(wèn)題：已知直線(xiàn)l 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)，求直線(xiàn)l 的方程 解析：因?yàn)橹本€(xiàn)l 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，)所以它的斜率k =y 2-y 1，代入點(diǎn)斜式，得 x 2-x 1 y-y 1= y 2-y 1(x-x 1)，當(dāng)y 2≠y 1時(shí)，方程可以寫(xiě)成y-y 1=x-x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 這個(gè)方程是由直線(xiàn)上兩點(diǎn)確定的，所以叫做直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式。注意：①方程y-y =y 2-y 1(x-x)與方程y-y 1=x-x 1比較，后者比前者表示直線(xiàn)的范圍更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直線(xiàn)，后者除此外，還不能表示斜率為0的直線(xiàn)；局限性：不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)。②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)。例

8、已知點(diǎn)A(-5, 0)，B(3,-3)，求直線(xiàn)AB 的方程

例

9、一條光線(xiàn)從點(diǎn)A(3,2)出發(fā)，經(jīng)x 軸反射，通過(guò)點(diǎn)B(-1, 6)，求入射光線(xiàn)和反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程（4）截距式：

問(wèn)題：已知直線(xiàn)l 與x 軸的交點(diǎn)為(a , 0)，與y 軸的交點(diǎn)為(0,b)，其中a ≠0, b ≠0，求直線(xiàn)l 的方程。解析：因?yàn)橹本€(xiàn)l 經(jīng)過(guò)A(a , 0)和B(0,b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得如果直線(xiàn)與x 軸的交點(diǎn)為(a , 0)，則稱(chēng)a 為直線(xiàn)在x 軸上的截距。

以上直線(xiàn)方程是由直線(xiàn)在x 軸和y 軸上的截距確定的，所以叫做直線(xiàn)的截距式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示與坐標(biāo)軸平行（重合）的直線(xiàn)，還不能表示過(guò)原點(diǎn)的直 a b y-0x-a，即為x +y =1 = b-00-a a b 線(xiàn)。

例

10、過(guò)兩點(diǎn)A(-1,1)，B(3,9)的直線(xiàn)在x 軸上的截距為（5）一般式方程：

以上幾種形式的直線(xiàn)方程都是二元一次方程，即平面上任何一條直線(xiàn)都可以用一個(gè)關(guān)于x y 的二元一次方程表示； 而關(guān)于x y 的二元一次方程，它都表示一條直線(xiàn)。因此我們把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同時(shí)為0)叫做直線(xiàn)的一般式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)一般式。

注意：①直線(xiàn)的一般式方程能表示所有直線(xiàn)的方程，這是其他形式的方程所不具備的。②直線(xiàn)的一般式方程成立的條件是A,B 不同時(shí)為0。

③雖然直線(xiàn)的一般式有三個(gè)系數(shù)，但是只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求直線(xiàn)的方程，若A ≠0, 則方程可化為x +B y +C =0;若B ≠0，則方程可化為A x +y +C =0，即y =-A x-C;A A B B B B 若A =0，B ≠0時(shí)，方程化為y =-C , 它表示與x 軸平行或重合的直線(xiàn)； B 若A ≠0，B =0時(shí)，方程化為x =-C，它表示一條與y 軸平行或重合的直線(xiàn)； A 若ABC ≠0時(shí)，則方程可化為 x-A + 因此只需要兩個(gè)條件即可。y =1-B ④直線(xiàn)方程的其他形式都可以轉(zhuǎn)化為一般式，因此在解題時(shí)若沒(méi)有特殊說(shuō)明，應(yīng)把最后結(jié)果互為直線(xiàn)的一般式 例

11、設(shè)直線(xiàn)l 的方程為(m-2m-3)x +(2m +m-1)y =2m-6，根據(jù)下列條件分別確定m 的值（1）l 在x 軸上的截距為-3（2）l 的斜率是-1（6）點(diǎn)向式：

問(wèn)題：設(shè)直線(xiàn)l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，v =(a , b)是它的一個(gè)方向向量，求直線(xiàn)l 的方程 0(x 0, y 0)解析:設(shè)P(x , y)是直線(xiàn)l 上的任意一點(diǎn)，則向量P 與v 共線(xiàn)，根據(jù)向量共線(xiàn)的充要條件，存在唯一實(shí)數(shù)t，0P x =x 0+at ①，使P，即(x-x 0, y-y 0)=t(a , b)，所以?方程組①稱(chēng)為直線(xiàn)的參數(shù)式方程。0P =tv ? ?y =y 0+bt 2 2 如果直線(xiàn)l 與坐標(biāo)軸不平行，則ab ≠0，于是可得 x-x 0y-y 0 =t , =t，消去參數(shù)t，得到直線(xiàn)l 的普通方程 a b x-x 0y-y 0 這個(gè)方程稱(chēng)為直線(xiàn)l 的點(diǎn)向式方程，a , b 叫做直線(xiàn)l 的方向數(shù)。= a b 思考：若給出直線(xiàn)的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線(xiàn)的方向向量？（7）點(diǎn)法式：

問(wèn)題：設(shè)直線(xiàn)l 有法向量n =(A , B)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求直線(xiàn)l 的方程 0(x 0, y 0)解析：設(shè)P(x , y)是直線(xiàn)l 上的任意一點(diǎn)，則有P，即P 0P ⊥n 0P ?n =0 因?yàn)镻P 0=(x-x 0, y-y 0)，n =(A , B)，所以有A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 這個(gè)方向是由直線(xiàn)l 上一點(diǎn)P 及直線(xiàn)l 的法向量n 確定的，稱(chēng)為直線(xiàn)l 的點(diǎn)法式。0(x 0, y 0)思考：若給出直線(xiàn)的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線(xiàn)的法向量？

三、直線(xiàn)的位置關(guān)系（同一平面上的直線(xiàn)）

1、平行與垂直（1）兩條直線(xiàn)平行的判定

①當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來(lái)研究直線(xiàn)平行的判定

設(shè)兩條直線(xiàn)分別為，則l 1, l 2的傾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此時(shí)b 1≠b 2；反之也成立。所以有l(wèi) 1//l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2 ②當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率都不存在時(shí)，二者的傾斜角均為900，若不重合，則它們也是平行直線(xiàn) 注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線(xiàn)的一般式時(shí)，有如下結(jié)論： 設(shè)兩條直線(xiàn)分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1不為0）或l 1//l 2?A（可用直線(xiàn)的方向向量或法向量解釋?zhuān)?B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知點(diǎn)A(2,2)和直線(xiàn)l ：3x +4y-20=0，求過(guò)點(diǎn)A 和直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)。（引出平行直線(xiàn)系方程）（2）兩條直線(xiàn)垂直的判定

①當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來(lái)研究直線(xiàn)平行的判定 設(shè)兩條直線(xiàn)分別為，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 則得直線(xiàn)l 1的方向向量為：a =(1, k 1)l 2的方向向量為：b =(1, k 2)，所以有l(wèi) 1⊥l 2?a ⊥b ?a ?b =0?1?1+k 1?k 2=0 即l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1 注意： 或用兩條直線(xiàn)的傾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1)=-=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2?A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1，得到k 1?k 2=-1 tan α1

②兩條直線(xiàn)中，一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零，則兩條直線(xiàn)垂直。由①②得，兩條直線(xiàn)垂直的判定就可敘述為：一般地，l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1或一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零。

注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線(xiàn)的一般式時(shí)，有如下結(jié)論： 設(shè)兩條直線(xiàn)分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知兩直線(xiàn)l 1：x +my +6=0，l 2：(m-2)x +3y +2m =0，當(dāng)m 為何值時(shí)，直線(xiàn)l 1與l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知長(zhǎng)方形ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個(gè)頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)

例

16、求證：不論m 為取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)(2m 2-1)x +(m 2-1)y =m 2-5總通過(guò)某一定點(diǎn) =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2?A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求與直線(xiàn)3x +4y +1=0垂直且過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線(xiàn)方程（引出垂直直線(xiàn)系方程）)例

17、已知直線(xiàn)ax-y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1)時(shí)，y >0恒成立，求a 的取值范圍； 16 時(shí)，恒有y >0，求x 的取值范圍

四、到角、夾角（1）到角公式

定義：兩條直線(xiàn)l 1和l 2相交構(gòu)成四個(gè)角，他們是兩對(duì)對(duì)頂角，為了區(qū)別這些角，我們把直線(xiàn)l 1繞交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與l 2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做l 1到l 2的角，如圖，直線(xiàn)l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：設(shè)已知直線(xiàn)方程分別是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1?k 2=0，即k 1?k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1?k 2≠0，設(shè)l

1、l 2的傾斜角分別為α1, α2，則tan α1=k 1, tan α2=k 2 由圖1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1)由圖2）的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1)1-0 于是tan θ=tan(α2-α1)= tan α2-tan α1k-k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2（2）夾角公式

定義：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以當(dāng)l 1與l 2相交但不垂直時(shí)，在θ和π-θ中有且只有一個(gè)角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線(xiàn)的夾角，記夾角為α，則tan α=當(dāng)直線(xiàn)l 1⊥l 2時(shí)，直線(xiàn)l 1與l 2的夾角為 k 2-k 1，即為夾角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直線(xiàn)l 1的方程是x-2y-2=0，底邊所在直線(xiàn)l 2的方程是x +y-1=0，點(diǎn)(-2,0)在另一腰上，求這條腰所在直線(xiàn)l 3的方程

五、兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)：

1、設(shè)兩條直線(xiàn)分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 則l 1與l 2是否有交點(diǎn)，只需看方程組

?A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ? ?A 2x +B 2y +C 2=0 若方程組有唯一解，則這兩條直線(xiàn)相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)； 若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行； 若方程組有無(wú)窮多解，則兩直線(xiàn)重合

例

19、求經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)2x-3y-3=0和x +y +2=0的交點(diǎn)且與直線(xiàn)3x +y-1=0平行的直線(xiàn)方程。經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)l 1:A 1x +B 1y +C 1=0與l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為其中λ是待定系數(shù)，在這個(gè)方程中，無(wú)論λ取什么實(shí)數(shù)，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直線(xiàn)l 2。

2、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A(a，b)關(guān)于P , y 0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B（m，n），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b，即B（2x 0-a , 2y 0-b）。

（2）點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A(x 0, y 0)關(guān)于直線(xiàn)l :Ax +By +C =0（A、B 不同時(shí)為0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

A '(x 1, y 1)，則有AA ’的中點(diǎn)在l 上且直線(xiàn)AA ’與已知直線(xiàn)l 垂直。

（3）直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)，一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)解決，若已知直線(xiàn)l 1與對(duì)稱(chēng)軸l 相交，則交點(diǎn)必在與l 1對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交點(diǎn)的已知點(diǎn)P 1關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P 2，那么經(jīng)過(guò)交點(diǎn)及點(diǎn)

P 2的直線(xiàn)就是l 2；若直線(xiàn)l 1與對(duì)稱(chēng)軸l平行，則在l 1上任取兩不同點(diǎn)P

1、P 2，求其關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸l 的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)P

1、P 2，過(guò)P

1、P 2的直線(xiàn)就是l 2。

例題20、已知直線(xiàn)l :x +y-1=0，試求①點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l 的對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)；②直線(xiàn)l 1:y =2x +3關(guān)于直線(xiàn) ' ' ' ' l 的對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程。例題21、求函數(shù)y =

六、兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離 +的最小值。

P（1）兩點(diǎn)間的距離：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)則

（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離: l 已知點(diǎn)P，求點(diǎn)P 0(x 0, y 0)，直線(xiàn)l :Ax +By +C =0（A、B 不同時(shí)為0）0到直線(xiàn)的距離。解法一：如圖，作P 0Q ⊥l 于點(diǎn)Q，設(shè)Q(x 1, y 1)，若A,B ≠O, 則由k 1=-A B(, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1)，?Ax +By +C =0 ?

B ?B y-y =(x-x)從而直線(xiàn)P 的方程為，解方程組Q y-y =(x-x 0)得0000?A ?A ?B 2x 0-ABy 0-AC x =??1A 2+B 2 ?2 ?y =A y 0-ABx 0-BC 1??A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易驗(yàn)證當(dāng)A=0或B=0時(shí)，上式仍然成立。

l 解法二：如圖，設(shè)A ≠0,B ≠0，則直線(xiàn)l 與x 軸和y 軸都相交，過(guò)點(diǎn)P 0分別作x 軸和y 軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)

于R 和S，則直線(xiàn)P 0R 的方程為y =y 0，R 的坐標(biāo)為（-By 0+C , y 0）； A x ,-直線(xiàn)P 0S 的方程為x =x 0，S 的坐標(biāo)為（-0 Ax 0+C），B 于是有P 0R =-Ax 0+By 0+C By 0+C-x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P-y 0= , RS =0S =-B B 0+By 0+C。

=d，由三角形面積公式可得d ?RS =P 設(shè)PQ 00R ?P 0S.于是得d = 因此，點(diǎn)P 0(x 0, y 0)到直線(xiàn)l :Ax +By +C = 0的距離d =上式仍成立。注意: P 0R ?P 0S RS = 容易驗(yàn)證，當(dāng)A=0或B=0時(shí)，①若給出的方程不是一般式，則應(yīng)先把方程化為一般式，再利用公式求距離； ②點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是點(diǎn)到直線(xiàn)上的點(diǎn)的最短距離；

③若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為0，但距離公式仍然成立，因?yàn)榇藭r(shí)Ax 0+By 0+C =0。（3）兩平行線(xiàn)間的距離。

定義；兩條平行直線(xiàn)間的距離是指夾在兩條平行直線(xiàn)間公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，即一條直線(xiàn)上的點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離。

兩條平行直線(xiàn)l 1:Ax +By +C 1=0與l 2:Ax +By +C 2= 0的距離公式d = 推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)P 則P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距離

0(x 0, y 0)為直線(xiàn)l 1:Ax +By +C 1=0上任意一點(diǎn)，0為d =，又因?yàn)镻 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：應(yīng)用此公式時(shí)，要把兩直線(xiàn)化為一般式，且x、y 的系數(shù)分別相等。

例題

22、求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)與B(-,0)的直線(xiàn)上一點(diǎn)C（5，n）到直線(xiàn)x +y =1的距離。例題

23、求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2）且到原點(diǎn)的距離等于1 的直線(xiàn)方程。例題

24、已知三角形ABC 中，點(diǎn)A（1，1），B（m）（1

例題

25、求過(guò)點(diǎn)P（1，2）且與A（2，3），B(4,-5)兩點(diǎn)距離相等的直線(xiàn)方程。作業(yè)：

1、設(shè)θ∈(52 π 2 , π)，則直線(xiàn)x cos θ+y sin θ+1=0的傾斜角α為（）(B)θ(C)θ+(A)θ-π 2 π 2(D)π-θ

2、設(shè)P（x，y）是曲線(xiàn)C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一點(diǎn)，則 y 的取值范圍是()x A ．[-3, 3] B ．(-∞,-3]?*, +∞)C ．[-3, ] D ．(-∞,-]?*, +∞)3333

3、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直線(xiàn)l 過(guò)點(diǎn)A(1，1)且與線(xiàn)段MN 相交，則直線(xiàn)l 的斜率k 的取值范圍是 3 或k ≤－4 4 3 B.－4≤k ≤ 4 33 C.≤k ≤4D.－≤k ≤4 44

4．過(guò)點(diǎn)P（6，－2）且在x 軸上的截距比在y 軸上的截距大1的直線(xiàn)的方程是 A ．2x +3y-6=0 C ．x-y +3=0 B ．2x +3y-6=0或3x +4y-12=0 D ．x +2y-2=0或2x +3y-6=0

5、若直線(xiàn)l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2, 則直線(xiàn)l 的條數(shù)為(A)1(B)2(C)3(D)4

6、如圖所示，直線(xiàn)l 1：ax －y ＋b=0與l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b)的圖象只可能是()

7、若三點(diǎn)A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一條直線(xiàn)上, 則有()(A)a=3,b=5(B)b=a+1(C)2a－b=3(D)a－2b=3

8、直線(xiàn)l 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(－1, －1), 則它的傾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直線(xiàn)l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0與直線(xiàn)l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，則方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2）2 =0,(λ1≠0)表示（）+λ22

A.過(guò)l 1與l 2交點(diǎn)的一切直線(xiàn) B.過(guò)l 1與l 2的交點(diǎn)，但不包括l 1可包括l 2的一切直線(xiàn) C.過(guò)l 1與l 2的交點(diǎn)，但包括l 1不包括l 2的一切直線(xiàn) D.過(guò)l 1與l 2的交點(diǎn)，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直線(xiàn) 10.方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直線(xiàn)()A.恒過(guò)定點(diǎn)(－2,3)B.恒過(guò)定點(diǎn)(2，3)C.恒過(guò)點(diǎn)(－2,3)和點(diǎn)(2，3)D.都是平行

11、過(guò)點(diǎn)(-1，)且與直線(xiàn)3x-y +1=0的夾角為 π 的直線(xiàn)方程是（）6 A、x-3y +4=0 B、x +1=0或x +3y-2=0 C、x+1=0或x-y +4=0 D、y =或x +3y-2=0

12、直線(xiàn)x cos α+3y +2=0的傾斜角的取值范圍是_________。

13、直線(xiàn)l 的方向向量為（-1，2），直線(xiàn)l 的傾斜角為

14、已知直線(xiàn)L 過(guò)P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），則直線(xiàn)L 的方程為。

15、已知點(diǎn)M(a , b)在直線(xiàn)3x +4y = 15上，則

16、△ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直線(xiàn)的方程;（2）BC 邊上中線(xiàn)AD 所在直線(xiàn)的方程;（3）BC 邊的垂直平分線(xiàn)DE 的方程.17、求到兩直線(xiàn)l 1： 3x +4y-5=0和 l 2：6x +8y-9=0距離相等的點(diǎn)P(x , y)滿(mǎn)足的方程