第一篇：第三章 參數(shù)方程、極坐標(biāo)教案 直線和圓的極坐標(biāo)方程 教案

第三章 參數(shù)方程、極坐標(biāo)教案 直線和圓的極坐標(biāo)方程教案

教學(xué)目標(biāo)

1．理解建立直線和圓的極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是將已知條件表示成ρ與θ之間的關(guān)系式．2．初步掌握求曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用方法和步驟．

3．了解在極坐標(biāo)系內(nèi)，一個(gè)方程只能與一條曲線對應(yīng)，但一條曲線即可與多個(gè)方程對應(yīng)． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

建立直線和圓的極坐標(biāo)方程． 教學(xué)過程

師：前面我們學(xué)習(xí)了極坐標(biāo)系的有關(guān)概念，了解到極坐標(biāo)系是不同于直角坐標(biāo)系的另一種坐標(biāo)系，那么在極坐標(biāo)系下可以解決點(diǎn)的軌跡問題嗎？

問題：求過定圓內(nèi)一定點(diǎn)，且與定圓相切的圓的圓心的軌跡方程．

師：探求軌跡方程的前提是在坐標(biāo)系下，請你據(jù)題設(shè)先合理地建立一個(gè)坐標(biāo)系．(巡視后，選定兩個(gè)做示意圖，(如圖3-8，圖3-9)，畫在黑板上．)

解 設(shè)定圓半徑為R，A(m，0)，軌跡上任一點(diǎn)P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐標(biāo)系下：|ρA|=R-|Oρ|，(兩邊再平方，學(xué)生都感到等式的右邊太繁了．)師：在直角坐標(biāo)系下，求點(diǎn)P的軌跡方程的化簡過程很麻煩．我們看在極坐標(biāo)系下會(huì)如何呢？(2)在極坐標(biāo)系下：在△AOP中

|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ． 化簡整理，得

2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，師：對比兩種解法可知，有些軌跡問題在極坐標(biāo)系下解起來反而簡

坐標(biāo)方程有什么不同呢？這就是今天這節(jié)課的討論內(nèi)容．

一、曲線的極坐標(biāo)方程的概念

師：在直角坐標(biāo)系中，曲線用含有變量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在極坐標(biāo)系中，曲線用含有變量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0來表示，也就是說方程f(ρ，θ)=0應(yīng)稱為極坐標(biāo)方程，如上面問題中的：ρ=

(投影)定義：一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

1．曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

2．以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．

那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．

師：前面的學(xué)習(xí)知道，坐標(biāo)(ρ，θ)只與一個(gè)點(diǎn)M對應(yīng)，但反過來，點(diǎn)M的極坐標(biāo)都不止一個(gè)．推而廣之，曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)有無窮多個(gè)．這無窮多個(gè)極坐標(biāo)都能適合方程f(ρ，θ)=嗎？如曲線ρ=θ上有一點(diǎn)(π，π)，它的另一種形式(-π，0)就不適合ρ=θ方程，這就是說點(diǎn)(π，π)適合方程，但點(diǎn)(π，π)的另一種表示方法(-π，0)就不適合．而(-π，0)不適合方程，它表示的點(diǎn)卻在曲線ρ=θ上．因而在定義曲線的極坐標(biāo)方程時(shí)，會(huì)與曲線的直角坐標(biāo)方程有所不同．

(先讓學(xué)生參照曲線的直角坐標(biāo)方程的定義敘述曲線的極坐標(biāo)方程的定義，再修正，最后打出投影：曲線的極坐標(biāo)方程的定義)曲線的極坐標(biāo)方程定義：

如果極坐標(biāo)系中的曲線C和方程f(ρ，0)=0之間建立了如下關(guān)系：

1．曲線C上任一點(diǎn)的無窮多個(gè)極坐標(biāo)中至少有一個(gè)適合方程f(ρ，θ)=0；

2．坐標(biāo)滿足f(ρ，θ)=0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程． 師：下面我們學(xué)習(xí)最簡單的曲線：直線和圓的極坐標(biāo)方程．

求直線和圓的極坐標(biāo)方程的方法和步驟應(yīng)與求直線和圓的直角坐標(biāo)方程的方法和步驟類似，關(guān)鍵是將已知條件表示成ρ和θ之間的關(guān)系式．

解 設(shè)M(ρ，θ)為射線上任意一點(diǎn)，因?yàn)椤蟲OM=θ，師：過極點(diǎn)的射線的極坐標(biāo)方程的形式你能歸納一下嗎？

生：是．

師：一條曲線可與多個(gè)方程對應(yīng)．這是極坐標(biāo)方程的一個(gè)特點(diǎn)．你能猜想一下過極點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程是什么形式嗎？

學(xué)生討論后，得出：θ=θ0(θ0是傾斜角，ρ∈R)是過極點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．師：把你認(rèn)為在極坐標(biāo)系下，有特殊位置的直線都畫出來．

例2 求適合下列條件的極坐標(biāo)方程：(1)過點(diǎn)A(3，π)并和極軸垂直的直線；

解(1)設(shè)M(ρ，θ)是直線上一點(diǎn)(如圖3-15)，即ρcosθ=-3為所示．

解(2)設(shè)M(ρ，θ)是直線上一點(diǎn)，過M作MN⊥Ox于N，則|MN|是點(diǎn)B到Ox的距離，師：不過極點(diǎn)也不垂直極軸、不平行極軸的直線的極坐標(biāo)方程如何確立呢？

例3 求極坐標(biāo)平面內(nèi)任意位置上的一條直線l的極坐標(biāo)方程(如圖3-17，圖3-18)．

讓學(xué)生根據(jù)以上兩個(gè)圖形討論確定l的元素是什么？

結(jié)論直線l的傾斜角α，極點(diǎn)到直線l的距離|ON|可確定直線l的位置．

解設(shè)直線l與極軸的夾角為α，極點(diǎn)O到直線l的距離為p(極點(diǎn)O到直線l的距離是唯一的定值，故α、p都是常數(shù))．

直線l上任一點(diǎn)M(ρ，θ)，則在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p為直線l的極坐標(biāo)方程．(如圖3-19，圖3-20)

師：直線的極坐標(biāo)方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直線的傾斜角，p是極點(diǎn)到l的距離，當(dāng)α、p取什么值時(shí)，直線的位置是特殊情形呢？

當(dāng)α=π時(shí)，ρsinθ=p，直線平行極軸； 當(dāng)p=0時(shí)，θ=α，是過極點(diǎn)的直線．

師：以上我們研究了極坐標(biāo)系內(nèi)的直線的極坐標(biāo)方程．在極坐標(biāo)系中的圓的方程如何確立呢？如圖3-21：

圓上任一點(diǎn)M(r，θ)，即指θ∈R時(shí)圓上任一點(diǎn)到極點(diǎn)的距離總是r，于是ρ=r是以極點(diǎn)為圓心r為半徑的一個(gè)圓的極坐標(biāo)方程．

師：和在直角坐標(biāo)系中，把x=a和y=b看作是二元方程一樣，θ=θ0及ρ=r也應(yīng)看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出現(xiàn)，說明ρ可取任何非負(fù)實(shí)數(shù)值；同樣，在方程ρ=r中，θ不出現(xiàn)，說明θ可取任何實(shí)數(shù)值．

例4 求圓心是A(a，0)，半徑是a的圓的極坐標(biāo)方程．(讓學(xué)生畫圖，教師巡視參與意見)解設(shè)⊙A交極軸于B，則|OB|=2a，圓上任意一點(diǎn)M(ρ，θ)，則據(jù)直徑上的圓周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圓的極坐標(biāo)方程．如圖3-22．

師：在極坐標(biāo)系下，目前我們理解下面幾種情形下的圓的極坐標(biāo)方程即可． 讓學(xué)生自己得出極坐標(biāo)方程．

圖3-23：ρ=2rcosθ； 圖3-24：ρ=-2rcosθ； 圖3-25：ρ=2rsinθ； 圖3-26：ρ=-2rsinθ．

師：建立直線和圓的極坐標(biāo)方程的步驟與建立直線和圓的直角坐標(biāo)方程的步驟一樣，你能小結(jié)一下嗎？(投影)分4個(gè)步驟：

(1)用(ρ，θ)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件ρ的點(diǎn)M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐標(biāo)表示條件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0為最簡形式．

練習(xí)：分別作出下列極坐標(biāo)方程表示的曲線

(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；

設(shè)計(jì)說明

直線和圓的極坐標(biāo)方程一節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是如何根據(jù)條件列出等式．至于在極坐標(biāo)系中由于點(diǎn)的極坐標(biāo)的多值性，而帶來的曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系中的方程有不同的性質(zhì)，這一點(diǎn)只需學(xué)生了解即可．另外，由于刪除了3種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程，實(shí)際上就降低了對極坐標(biāo)一節(jié)學(xué)習(xí)的難度．所以用一課時(shí)來學(xué)習(xí)曲線的極坐標(biāo)方程只能是在前面學(xué)習(xí)曲線的直角坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)上初步掌握建立極坐標(biāo)方程的方法．為此本節(jié)課圍繞著這一主題進(jìn)行了充分的課堂活動(dòng)，達(dá)到了教學(xué)目的．

第二篇：極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

題型一：極坐標(biāo)（方程）與直角坐標(biāo)（方程）的相互轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程相互轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程相互轉(zhuǎn)化。方法如下：

1、已知直線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）寫出直線與曲線交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).題型二：三個(gè)常用的參數(shù)方程及其應(yīng)用

（1）圓的參數(shù)方程是：

（2）橢圓的參數(shù)方程是：

（3）過定點(diǎn)傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為：

對（3）注意：

點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為，記直線上任意兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則①,②，③

2、在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)，）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，求的取值范圍.3、已知曲線：（參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為．

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)為曲線上的點(diǎn)，求中點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值．

4、已知直線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)）.（1）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求；

（2）若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值.5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)且與直線平行的直線交于兩點(diǎn)，求弦的長．

6、面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ＋)=．l與C交于A、B兩點(diǎn).（Ⅰ）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P(0,－2),求：①

|PA|＋|PB|，②,③,④

題型三：過極點(diǎn)射線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

出現(xiàn)形如：（1）射線：（）；（1）直線：（）

7、在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）直線：（）與圓交于點(diǎn)、，求線段的長．

8、在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足與交于兩點(diǎn)，求的值.9、在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）若直線與曲線有公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．

10、在直角坐標(biāo)系中中，已知曲線經(jīng)過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線交于點(diǎn)，且，求證：為定值，并求出這個(gè)定值．

11、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別是（是參數(shù)）和（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的普通方程和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）射線與曲線的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，求的最大值.

第三篇：直線的參數(shù)方程教案[推薦]

直線的參數(shù)方程

（一）三動(dòng)式學(xué)案 黃建偉

教學(xué)目標(biāo)：

1.聯(lián)系向量等知識(shí)，推導(dǎo)出直線的參數(shù)方程，并進(jìn)行簡單應(yīng)用，體會(huì)直線參數(shù)方程在解決問題中的作用．

2.通過直線參數(shù)方程的推導(dǎo)與應(yīng)用，培養(yǎng)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)動(dòng)與變化、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般的推理等數(shù)學(xué)思想．

3.通過建立直線參數(shù)方程的過程，激發(fā)求知欲，培養(yǎng)積極探索、勇于鉆研 的科學(xué)精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣． 教學(xué)重點(diǎn)：聯(lián)系向量等知識(shí)，寫出直線的參數(shù)方程．

教學(xué)難點(diǎn)：通過向量法，建立參數(shù)t與點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)x,y之間的聯(lián)系．

教學(xué)方式：啟發(fā)、探究、交流與討論.教學(xué)手段：多媒體課件． 教學(xué)過程：

一、課前任務(wù)驅(qū)動(dòng)

1.已知直線l:y?3x?1的傾斜角為?，則tan??______ sin??______;cos??_______ 2．已知直線經(jīng)過點(diǎn) M0(x0,y0)，斜率為k，則直線的方程為__________

??????3.已知向量a?(2,3)，則a=______向量a的單位向量e=________,設(shè)a?te，則t=_______.?????????4已知點(diǎn)M0(x0,y0)，M(x,y)，單位向量e?(cos?,sin?)，向量M0M?te，則 x?_______________

y?___________

5.已知直線l:x?y?1?0與拋物線y?x2交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長度和點(diǎn)M(?1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積．

二、課堂師生互動(dòng)

一、探究直線參數(shù)方程

問題一：經(jīng)過點(diǎn) M0(x0,y0)，傾斜角為????????2??的直線l的普通方程是？請寫出來。問題二：已知直線l上一點(diǎn)M0(x0,y0)，直線l的傾斜角為?，直線上的的動(dòng)點(diǎn)?M(x,y)，設(shè)e為直線l的單位方向向量（單位長度與坐標(biāo)軸的單位長度相同），?那么我們能利用?表示出直線l單位方向向量e嗎？請表示出來。

問題三：根據(jù)向量的共線定理，則存在實(shí)數(shù)t使得????????你能根據(jù)這個(gè)式子將有關(guān)x,y的等式表M0M?te，示出來嗎？請寫出來。

思考以下問題：

直線的參數(shù)方程中哪些是變量？哪些是常量？

???x?2?tcos10練習(xí)1：直線?（t為參數(shù)）的傾斜角是（）???y?1?tsin10A.80 B.170 C.10 D.100

???x?3?tsin20練習(xí)2：直線?（t為參數(shù)）的傾斜角是（）???y?1?tcos20????A.20 B.70 C.110 D.160

練習(xí)3：直線l:x?y?1?0的一個(gè)參數(shù)方程（過點(diǎn)M(?1,2)）是___________ ????

二、探究直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義

?????????x?x0?tcos?問題一：由M0M?te，你能得到直線l的參數(shù)方程?（t為參數(shù)）

?y?y0?tsin?中參數(shù)t的幾何意義嗎？t的取值范圍是多少？

三、探究直線參數(shù)方程參數(shù)的運(yùn)用

（一）探究過程

直線l:x?y?1?0的一個(gè)參數(shù)方程（過點(diǎn)M(?1,2)）是___________(1)當(dāng)y?0時(shí)，對應(yīng)的參數(shù)t1=_______;對應(yīng)的點(diǎn)A為_________.(2)當(dāng)x??2時(shí)，對應(yīng)的參數(shù)t2=______;對應(yīng)的點(diǎn)B為________.(3)AB=___________;t2?t1=____________(4)MAMB=_________;t2t1=__________ 結(jié)論1：

結(jié)論2：

?x?x0?tcos?探究：直線 ?（t為參數(shù)）與曲線y?f(x)交于M1,M2兩點(diǎn)，y?y?tsin?0? 對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2，設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)。（1）曲線的弦M1M2的長是多少？（2）MM1MM2是多少？

（二）例題講練

例1.已知直線l:x?y?1?0與拋物線y?x2交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長度和點(diǎn)M(?1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積．

課堂練習(xí)：

41、已知過點(diǎn)P(2,0)，斜率為的直線和拋物線y2?2x相交于A,B兩點(diǎn)，求

3PAPB的值。

課堂小結(jié)：

1、知識(shí)小結(jié)

2．思想方法小結(jié)

三、課后培育自動(dòng)

1.經(jīng)過點(diǎn)M(1，5)且傾斜角為參數(shù)方程是()1111????x?1?tx?1?tx?1?tx?1?t????????2222A.? B.?C.? D.?

3333?y?5??y?5??y?5??y?5?tttt????2222?????x??2?2t?t為參數(shù)?上與點(diǎn)P??2，2、直線?3?距離等于2的點(diǎn)的坐標(biāo)是.?y?3?2t?的直線，以定點(diǎn)M到動(dòng) 點(diǎn)P的位移t為參數(shù)的3?x?tcos??x?4?2cos?

3、直線?與圓?相切，則??______ ?y?tsin??y?2sin??

4、經(jīng)過點(diǎn)P(?1，2)，傾斜角為 4 的直線 l與圓 x2 +y2 = 9相交于A，B兩點(diǎn)，求PA?PBPA +PB和PAPB的值。

第四篇：極坐標(biāo)參數(shù)方程與幾何證明題型方法歸納(精)

222 cos sin x y x y ρρ

ρθ

?=+?=??=? 極軸

一、極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講

1、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的公式轉(zhuǎn)換:

2、點(diǎn)的極坐標(biāo)含義(, M ρθ: 練習(xí):

(1 在直角坐標(biāo)系中曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 2cos 4sin ρθθ=-，寫出曲線 C 的直角坐標(biāo) 方程.04222=+-+y x y x(2 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中, 點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)為(1,.若以原點(diǎn) O 為極點(diǎn), x 軸正半 軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn) P 的極坐標(biāo)可以是.(2,2(3 k k Z π π-∈

(3在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn) A、B 的極坐標(biāo)分別為 3, 3π?? ???, 4, 6π?? ??? ,則△ AOB(其 中 O 為極點(diǎn)的面積為.提示:1 sin 2 S ab C = =3

(4在極坐標(biāo)系(ρ, θ(0 ≤ θ<2π中,曲線 ρ=2sin θ 與 cos 1p θ=-的交點(diǎn) 的極坐標(biāo)為 ______.3 4 π

提示:這兩條曲線的普通方程分別為 222, 1x y y x +==-.解得 1, 1.x y =-??=?

(5 已 知 直 線 l 的 參 數(shù) 方

程 為 :2, 14x t y t =??

=+?(t 為 參 數(shù) , 圓 C 的 極 坐 標(biāo) 方 程 為

ρθ=,則直線 l 與圓 C 的位置關(guān)系為 相交(6已知直線的極坐標(biāo)方程為(4R π θρ=

∈,它與曲線 12cos 22sin x y α α

=+??=+?(α為參數(shù)相 交于兩點(diǎn) A 和 B ,則(7若直線 12, 23.{x t y t =-=+(t 為參數(shù)與直線 41x ky +=垂直,則常數(shù) k =________.6-=k(8設(shè)直線 1l 的參數(shù)方程為 113x t y t =+??

=+?(t 為參數(shù) ,直線 2l 的方程為 y=3x+4則 1l 與 2l 的 距離為 _______ 【考點(diǎn)定位】本小題考查參數(shù)方程化為普通方程、兩條平行線間的距離,基礎(chǔ)題。解析:由題直線 1l 的普通方程為 023=--y x ,故它與與 2l 的距離為 3|24|=

+。

(9 在極坐標(biāo)系中, 直線 l 的方程為 ρsin θ=3, 則點(diǎn)(2, π/6到直線 l 的距離為.【解析】法 1:畫出極坐標(biāo)系易得答案 2;法 2:化成直角方程 3y = 及直角坐標(biāo) 可得答 案 2.(10在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,直線 l 的參數(shù)方程為(33 R t t y t x ∈?

??-=+=參數(shù) ,圓 C 的參數(shù) 方程為 [] 20(2 sin 2cos 2πθθθ , 參數(shù) ∈??

?+==y x ,則圓 C 的圓心坐標(biāo)為.(0, 2 ,圓心 到直線 l 的距離為 22.(11在極坐標(biāo)系中, P Q , 是曲線 C :4sin ρθ=上任意兩點(diǎn),則線段 PQ 長度的最大值 為.4【解析】最長線段 PQ 即圓 22(2 4x y +-=的直徑.(12曲線 C 的參數(shù)方程是 ??? ????

-=+= 1(3 1(2t t y t t x(t 為參數(shù) ,則曲線 C 的普通方程 是.136 162 2=-y x 提示:1213 x t t y t t ?=+????=-??,平方后相減消去參數(shù) t(13 已知曲線 132 14x t y t ?

=-+???=+?(t 為參數(shù)與曲線 2cos 2sin x y θθ=??=?(θ為參數(shù)的交點(diǎn)為 A , B , ,則 AB =

(14 若直線 :l y kx =與曲線 { 2cos :sin x C y θθ=+=(參 數(shù) ∈θR 有唯一的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù) k =

.二、幾何證明選講

1、與切線有關(guān) 構(gòu)造直角三角形

如圖, AB 是 ⊙ O 的直徑, P 是 AB 延長線上的一點(diǎn), 過 P 作 ⊙ O 的 切 線 , 切 點(diǎn) 為 C , 2=PC , 若

?=∠30CAP ,則 ⊙ O 的直徑 =AB 4.切割線定理

如圖 1所示, 過 O 外一點(diǎn) P 作一條直線與 O 交于 A , B 兩點(diǎn), 已知 PA =2, 點(diǎn) P 到 O 的切線長 PT =4,則弦 AB 的長為 ________.6 弦切角定理 弦切角 ABD=角 C 如圖,直角三角形 ABC 中, ?=∠90B , 4=AB ,以 BC 為直徑的圓交 AC 邊于點(diǎn) D , 2=AD ,則 C ∠的大小為

提示 連接 BD ,在直角三角形 ABD 中可求得 角 ABD=30°,弦切角 ABD=角 C

2、相交弦定理、垂徑定理

如圖 AB , CD 是半徑為 a 的圓 O 的兩條弦,它們相交于 AB 的中點(diǎn) P , PD=23 a ,∠OAP=30°, 則 CP =______.【解析】因?yàn)辄c(diǎn) P 是 AB 的中點(diǎn),由 垂徑定理 知, OP AB ⊥.在 Rt OPA ? 中, cos30BP AP a ===

.由 相交弦定理 知, BP AP CP DP ?=? 2 3 CP a =?,所以 98CP a =.圖 1 A B C 圖 3

N

3、射影定理

2, CD AD DB =? 2BC BD AB =?, 2AC AD AB =? 如 圖 , AB 是 半圓 O 的 直 徑 , C 是 半 圓 O 上 異于 A B , 的 點(diǎn) , C D A B ⊥, 垂 足 為 D , 已

知 2AD =, CB =, 則 CD =

.提示 222(2 6, 12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =??=+?==?=

4、相似比

如圖,在 ABC ?中, DE //BC , EF //CD , 若 3, 2, 1BC DE DF ===,則 AB 的長為 __9 2 _________.5、圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ) 如圖 3,四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙ O , BC 是直徑, MN 與⊙ O 相切 , 切點(diǎn)為 A , MAB ∠35?=, 則 D ∠=.125?

6、圓心角 =2倍圓周角

如圖,點(diǎn) A B C、、是圓 O 上的點(diǎn),且 4AB =, o 30ACB ∠=, 則圓 O 的面積等于 _________.解:連結(jié) OA , OB ,則∠ AOB=2∠ ACB=60O ,所以△ AOB 為正三角形,圓 O 的半徑 r=4AB =,于是,圓 O 的面積等于 πππ1642 2 =?=r 如圖 , 已知△ ABC 內(nèi)接于⊙ O ,點(diǎn) D 在 OC 的 延長線上, AD 切⊙ O 于 A ,若 o 30ABC ∠=, 2=AC , 則 AD 的長為

.提示 連接 OA ,圓心角 AOD=2B=60°, AOC 是等邊三角 形。所以 OA=AC=2,在直角三角形 OAD 中求 AD。

A

第五篇：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用

圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用

以圓錐曲線的焦點(diǎn)（橢圓的左焦點(diǎn)、雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，過極點(diǎn)引相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線的反向延長線為極軸，則圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為??ep，其中e為離心率，p是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。1?ecos?

例

1、過雙曲線x2?y2?4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為105?的直線交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)，則|FP|?|FQ|的值為例

2、拋物線y2?4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上

方的部分交于點(diǎn)A，AK?l，垂足為K，則?AKF的面積是（）

A.4B.3C.43D.8

例

3、中心在原點(diǎn)O的橢圓右焦點(diǎn)為F（3,0），右準(zhǔn)線l的方程為x?12.（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上任取三個(gè)不同的點(diǎn)P1、P2、P3，使?P1FP2??P2FP3??P3FP1,證明：

111為定值，并求出此定值。??|FP1||FP2||FP3|