第一篇：導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計

一、《利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題》教學(xué)設(shè)計

激趣入境：

問題：試說出函數(shù)f?x??x2?2x?3的零點(diǎn)

設(shè)計意圖：引出零點(diǎn)的概念，并由簡單問題使學(xué)生回憶函數(shù)零點(diǎn)、方程根、函數(shù)圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系，為基本概念、思想轉(zhuǎn)化做知識性的必要鋪墊。

本環(huán)節(jié)由學(xué)生集體作答，問題簡單，都能給出答案 函數(shù)零點(diǎn)的等價轉(zhuǎn)化：

1、函數(shù)y?f?x?的零點(diǎn)?方程f?x??0的根?函數(shù)y?f?x?的圖象與x軸（即y?0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

2、推廣：函數(shù)h?x??f?x??g?x?的零點(diǎn)

?方程_________________即_________________的根；

?函數(shù)_________________和_________________的圖象的________________ 例如：

函數(shù)h?x??x?lnx的零點(diǎn)

?方程_________________即_________________的根；

?函數(shù)_________________和_________________的圖象的________________

設(shè)計意圖：由問題的表面認(rèn)識升華為理論層面，先給基本的轉(zhuǎn)化思想，然后再推廣到一般情況，為使學(xué)生靈活應(yīng)用和轉(zhuǎn)化打好基礎(chǔ)。例題的給出使學(xué)生對剛剛理解的轉(zhuǎn)化有立竿見影的認(rèn)識，并起到夯基釋義的作用。

此環(huán)節(jié)由教師提問，學(xué)生單獨(dú)作答，在推廣時學(xué)生遇到了一些問題，由其他學(xué)生補(bǔ)充回答，直到答案完整。

二、導(dǎo)引體驗、合作探究：

例

1、已知函數(shù)f?x??x?3x?1，求f?x?的極值并畫出函數(shù)的草圖 3設(shè)計意圖：由學(xué)生在課前完成，即能復(fù)習(xí)前幾節(jié)的知識重點(diǎn)，同時為引出本節(jié)課的課題做好知識上的準(zhǔn)備

此題學(xué)生在課前完成，在此環(huán)節(jié)由某學(xué)生提前寫黑板上，由教師和學(xué)生共同核對、檢查，強(qiáng)調(diào)書寫格式和畫圖注意的問題

問題

1、根據(jù)圖象說出圖象與x軸有幾個交點(diǎn)？與y?1，y??3，y?2，y??4呢？ __________________________________________________________________

問題

2、若函數(shù)圖象與y?m有三個不同交點(diǎn)，則m的范圍是什么？有兩個交點(diǎn)和一個交點(diǎn)呢？

__________________________________________________________________ 問題

3、若方程f?x??m?0有三個不等實(shí)根，則m的范圍是什么？若是有三個零點(diǎn)呢？ g?x??f??x?m___________________________________________________________________ 設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點(diǎn)，在例一的基礎(chǔ)上并結(jié)合幾何畫板，問題一讓學(xué)生對照圖像觀察定直線和定圖像的交點(diǎn)個數(shù)情況，數(shù)形結(jié)合，顯而易見，學(xué)生很容易接受，問題2要求學(xué)生逆向思維去考慮動直線和定圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，幾何畫板動態(tài)展示動直線的運(yùn)動過程，從而直觀觀察出圖象與動直線的交點(diǎn)個數(shù)以及相關(guān)的要素即與極大值和極小值有關(guān)，問題迎刃而解，問題3回歸本節(jié)課的課題，使學(xué)生們清楚研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題實(shí)際上等價于研究函數(shù)的零點(diǎn)問題和方程根的問題。

此環(huán)節(jié)由教師提問，在教師用幾何畫板投影圖象的過程中，由學(xué)生看圖完成作答，此處是本節(jié)課難點(diǎn)也是重點(diǎn)，但經(jīng)過設(shè)計學(xué)生基本能接受并回答出。達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、32已知函數(shù)f?x??x?3x?1，若直線y?m與y?f(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

設(shè)計意圖：檢測學(xué)生對基本思想的落實(shí)情況，夯實(shí)基礎(chǔ)，并為后邊的變式及拓展延伸做好準(zhǔn)備。

本環(huán)節(jié)由學(xué)生自己完成，并找學(xué)生上黑板板書，在學(xué)生完成的過程中與學(xué)生交流，了解學(xué)生的完成情況與存在的問題，適當(dāng)提示和指導(dǎo)

32變式

1、已知函數(shù)f?x??x?3x?x?1，若直線y?x?m與曲線y?f?x?的圖象有三個不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

32變式

2、已知函數(shù)f?x??x?3x?x?1，若直線y?x?m與曲線y?f?x?的圖象在?1??,3?上有三個不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。??2?設(shè)計意圖：層層遞進(jìn)，逐步加深，變式1是為強(qiáng)化三種問題的轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生從正確的思考方向出發(fā)，先由函數(shù)圖像交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像和平行于x軸的動直線的交點(diǎn)問題，在此歸納出解決此類問題的步驟即：轉(zhuǎn)化、求導(dǎo)找極值、畫圖、看圖取范圍，變式2在變式一的基礎(chǔ)上限定定義域，為學(xué)生指出問題的解決不僅和極值有關(guān)還和端點(diǎn)值有關(guān)

本環(huán)節(jié)采用提問式，因為是對例1的變形，所以轉(zhuǎn)化之后與例一一致，對變式2采取數(shù)形結(jié)合的方法依然借助幾何畫板來挖掘本題所注意的問題 達(dá)標(biāo)訓(xùn)練

2、已知函數(shù)f?x???

1312x?x?2x，若關(guān)于x的方程 322

?1?f?x??x3?2x2?x?m?0在區(qū)間?,2?上恰有兩不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的范圍。

?2?設(shè)計意圖：舉一反三，夯基落實(shí)，強(qiáng)化對變式的理解和解決方法 由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)引導(dǎo)

三、拓展延伸：

已知函數(shù)f?x???x2?8x與函數(shù)g?x??6lnx?m的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求m的范圍。

設(shè)計意圖：在函數(shù)形式上改變，引進(jìn)對數(shù)函數(shù)，既是對本節(jié)課的總結(jié)，也能拓展學(xué)生思維，開拓學(xué)生的視野，完善學(xué)生的思維方法。

為學(xué)生點(diǎn)出需要注意的問題，讓學(xué)生課后自己完成

四、小結(jié)歸納、（1）數(shù)形結(jié)合的思想

（2）函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題或方程根的個數(shù)問題最終轉(zhuǎn)化為平行與x軸的直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題。

設(shè)計意圖：總結(jié)本節(jié)課的知識重點(diǎn)，理清知識脈絡(luò)，使學(xué)生在整體對本節(jié)課有全面的認(rèn)識。

五、作業(yè)

學(xué)案：

第二篇：函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計

一、【教案背景】

1、課題：函數(shù)的零點(diǎn)

2、教材版本：蘇教版數(shù)學(xué)必修

（一）第二章2.5.1函數(shù)的零點(diǎn)

3、課時：1課時

二、【教學(xué)分析】 教材內(nèi)容分析：

本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)存在性判定。

函數(shù)的零點(diǎn),是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要概念,從函數(shù)值與自變量對應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實(shí)數(shù)x;從方程的角度看,即為相應(yīng)方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個鏈結(jié)點(diǎn),它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起。

本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課，因此教學(xué)時應(yīng)當(dāng)站在函數(shù)應(yīng)用的高度，從函數(shù)與其他知識的聯(lián)系的角度來引入較為適宜。教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能

（1）能利用二次函數(shù)的圖象與判別式的符號，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)。

（2）了解函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的聯(lián)系，掌握零點(diǎn)存在的判定條件。

2、過程與方法

（1）通過觀察例題的圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值之積的特點(diǎn)，找到連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點(diǎn)的判斷方法。

（2）滲透算法思想，運(yùn)用算法解決問題，為后面系統(tǒng)學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備。

3、情感、態(tài)度與價值觀

在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價值，培養(yǎng)學(xué)生在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義和價值，發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識，體會函數(shù)知識的核心作用．體驗數(shù)學(xué)內(nèi)在美,激發(fā)學(xué)習(xí)熱情,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和科學(xué)精神。教學(xué)重點(diǎn)： 零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)存在性判定。

教學(xué)難點(diǎn)： 探究判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)和所在區(qū)間的方法。教學(xué)方法：

問題是課堂教學(xué)的靈魂，以問題為主線貫穿始終；以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，以能力發(fā)展為目標(biāo)，精心設(shè)計引導(dǎo)性問題，從學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律出發(fā)進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，利用課件，動畫等引導(dǎo)學(xué)生對問題的思考，運(yùn)用學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組合作探究的教學(xué)方式。

三、【教學(xué)過程】

（一）、問題情境

（1）畫出二次函數(shù)的圖象,并寫出圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

說明：通過學(xué)生熟悉的二次函數(shù)圖象入手，讓學(xué)生體會二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的數(shù)值與方程根的對應(yīng)關(guān)系，方程的實(shí)數(shù)根就是的函數(shù)值為0時自變量x的值,建立初步的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想。（課件展示函數(shù)圖象）

（2）畫出二次函數(shù)、與的圖象,并寫出圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

說明：通過兩小題讓學(xué)生認(rèn)識到當(dāng)二次函數(shù)的圖象在x軸上方時，與之對應(yīng)的方程無解，當(dāng)二次函數(shù)的圖象恰好與x軸相交時，與之對應(yīng)的方程有相等的實(shí)數(shù)根，建立初步的函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想。

提出二次函數(shù)零點(diǎn)的概念（我們把使二次函數(shù)的值為0的實(shí)數(shù)x稱為二次函數(shù)的零點(diǎn)）。

（二）、合作探究

探究二次函數(shù)的零點(diǎn)、二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系？

Δ>0 Δ=0 Δ<0

方程根的的圖象的零點(diǎn)

說明：小組合作探究，由學(xué)生回答，教師對答案給予鼓勵性的評價。通過完成以上問題,讓學(xué)生體會從具體到一般函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系。如果學(xué)生有困難，教師可作一下點(diǎn)撥,結(jié)合二次函數(shù)的圖象,推廣到一般函數(shù)零點(diǎn)的定義。板書課題:函數(shù)的零點(diǎn)

（三）、意義建構(gòu)

函數(shù)的零點(diǎn)概念：我們把使函數(shù)的值為0的實(shí)數(shù)稱為函數(shù)的零點(diǎn)（zeropoint）。

注：（1）零點(diǎn)不是點(diǎn)。

等價關(guān)系

函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)

方程f(x)=0實(shí)數(shù)根（數(shù)）

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（形）

有了上述的關(guān)系，就可用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程，方程的根即函數(shù)的零點(diǎn)，可以把解方程的問題互化為思考函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題。這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)。

說明：通過對概念的陳述，讓學(xué)生了解函數(shù)零點(diǎn)的概念及性質(zhì)，對函數(shù)零點(diǎn)的概念有了完整的認(rèn)識，達(dá)到質(zhì)的飛躍。

（四）、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1：求下列函數(shù)的零點(diǎn),并畫出下列函數(shù)的簡圖。①

② ③ ④

⑤

（師用展示臺展示學(xué)生的作圖，指出優(yōu)缺點(diǎn)）

說明：求函數(shù)零點(diǎn)，體現(xiàn)函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化的思想。本題的五個小題都簡單，主要考察學(xué)生零點(diǎn)概念的掌握情況，題目包含了我們從初中到目前已經(jīng)學(xué)過的常見函數(shù)，目的讓學(xué)生通過及時練習(xí)加強(qiáng)對函數(shù)零點(diǎn)的的認(rèn)識。

通過畫簡圖，了解圖象的變化形式，要注意體現(xiàn)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用。為下面學(xué)習(xí)根的存在條件奠定基礎(chǔ)。

例2 求證：二次函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)。

說明：可讓學(xué)生充分討論例2的解法，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維，第一，從數(shù)的角度，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化方程問題，體現(xiàn)“函數(shù)與方程”思想.第二，從形的角度，圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)。幾何畫板演示畫圖象過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)函數(shù)圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產(chǎn)生了交點(diǎn)，圖象穿過x軸這是一種幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來描述呢？用屏幕顯示刺函數(shù)圖象，多次播放拋物線穿過x軸的畫面。板書證明過程

證明：設(shè),則 f(1)=－2<0。

因為它的圖象是一條開口向上的拋物線（不間斷），這表明此圖象一定穿過x軸，所以函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)。因此，二次函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)。

從上面的解答知道，此函數(shù)有兩個零點(diǎn)是。

問題（1）你能說明此函數(shù)在哪個區(qū)間[a，b]上存在零點(diǎn)（）嗎？ 問題（2）如何判斷一個函數(shù)在區(qū)間（a，b）上是否存在零點(diǎn)？

讓學(xué)生自己思考、發(fā)言得到的結(jié)論，教師整理后得到函數(shù)零點(diǎn)的存在性判定。

如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，且，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。

教師給出這個結(jié)論，組織學(xué)生對下面問題進(jìn)行討論。通過討論認(rèn)識問題的本質(zhì)，升華對零點(diǎn)存在性判定的理解。

（1）若f(a)·f(b)<0,函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上就存在零點(diǎn)嗎？

（2）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)會是只有一個零點(diǎn)么?

（3）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)就一定沒有零點(diǎn)么？

（4）在什么條件下，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上可存在唯一零點(diǎn)？

（5）如果是二次函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，且，那么f(a)·f(b)<0一定成立嗎？

為了幫助大家更好體會該結(jié)論，我們把它設(shè)計成流程圖。

說明：設(shè)置成流程圖，既直觀、清晰，又為學(xué)生將來學(xué)習(xí)算法奠定基礎(chǔ)。算法的特殊表示符號，學(xué)生不知道，師生共同完成即可。

例3．求證：函數(shù)在區(qū)間(－2，－1)上存在零點(diǎn)．

說明: 學(xué)生完成過程中，教師巡視，展臺展示優(yōu)秀作品及步驟有問題者，達(dá)到糾正錯誤及解題規(guī)范化。

（五）、歸納總結(jié)

說明:這個環(huán)節(jié),學(xué)生主動總結(jié)本節(jié)課學(xué)到的知識,將本節(jié)課所講的知識點(diǎn)系統(tǒng)整理，為后面的函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

（六）、反饋練習(xí)

(1)函數(shù)f(x)＝2x2－5x＋2的零點(diǎn)是

；

(2)二次函數(shù)y＝2x2＋px＋15的一個零點(diǎn)是－3，則另一個零點(diǎn)是

；(3)若函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(4)已知函數(shù)f(x)的圖象是不間斷的，有如下的x,f(x)對應(yīng)值表：

那么函數(shù)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有

個；(5)在二次函數(shù)中，ac<0,則其零點(diǎn)的個數(shù)為

；

說明:本環(huán)節(jié)用時5分鐘,考完后小組互換,立即批改.發(fā)現(xiàn)問題立即糾正,再通過課后作業(yè)加以鞏固.對做的好的及時給予表揚(yáng)。

（七）、作業(yè)布置

1、完成蘇教版必修1第76頁練習(xí)1、2。

2、①有2個零點(diǎn);②3個零點(diǎn);③4個零點(diǎn).四、【板書設(shè)計】

屏幕

函數(shù)的零點(diǎn)

一、函數(shù)零點(diǎn)的定義：我們把使函數(shù)的值為0的實(shí)數(shù)稱為函數(shù)的零點(diǎn)（零點(diǎn)不是點(diǎn)）.二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的等價關(guān)系

函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根（數(shù)）

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)（形）零點(diǎn)存在性判定

例1

例2

五、【教學(xué)反思】

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家斯托利亞說過:“積極的教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)活動(思維活動)的教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)活動的結(jié)束—數(shù)學(xué)知識的教學(xué)?！狈此肌昂瘮?shù)的零點(diǎn)”的課堂教學(xué)，本人覺得類似這樣的數(shù)學(xué)概念、原理的教學(xué)，教學(xué)設(shè)計應(yīng)特別重視“過程性”，教學(xué)過程應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)“參與性”，要讓學(xué)生“參與”到教學(xué)過程中去.唯有學(xué)生的過程參與，才能較好地激發(fā)其主動性，確立其主體地位.吸引學(xué)生“參與”，關(guān)鍵招數(shù)之一是對教材進(jìn)行“問題化”處理，用問題去引領(lǐng)學(xué)生探究。學(xué)生“參與”到教學(xué)過程中來，就是要參與知識建構(gòu)、參與思維訓(xùn)練、參與方法提煉。

本課中，圍繞教學(xué)目標(biāo)知識生成的過程，設(shè)計了若干問題，以問題為中心，以學(xué)生為主體，讓他們親身經(jīng)歷，體驗函數(shù)的零點(diǎn)知識的建構(gòu)過程，函數(shù)零點(diǎn)存在性結(jié)論的探求，體現(xiàn)了本節(jié)課設(shè)計的基本理念:過程性、問題性和主體性。

第三篇：導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計

《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識與技能目標(biāo)：掌握導(dǎo)數(shù)的概念，并能夠利用導(dǎo)數(shù)的定義計算導(dǎo)數(shù).（2）過程與方法目標(biāo)：通過引入導(dǎo)數(shù)的概念這一過程，讓學(xué)生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領(lǐng)悟極限思想；提高類比歸納、抽象概括的思維能力．

（3）情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

通過合作與交流，讓學(xué)生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的熱愛，養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．

2.教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義和利用定義如何計算導(dǎo)數(shù)． 難點(diǎn)：對導(dǎo)數(shù)概念的理解．

3.教學(xué)方法

1.教法：引導(dǎo)式教學(xué)法

在提出問題的背景下，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間，指導(dǎo)學(xué)生類比探究形成導(dǎo)數(shù)概念的形成．

2.教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)

4.教學(xué)過程

（一）情境引入

導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過程中建立起來的。

17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題：

一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個十分盛行的研究課題，早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

CBCBAA

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線運(yùn)動的速度問題。對于直線運(yùn)動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運(yùn)動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。

三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構(gòu)成的角——牛頭角（圖3中AB弧與AC構(gòu)成的角）和弓形角（圖4中AB與ACB弧所構(gòu)成的角）即有過很多爭議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線

所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲線在交點(diǎn)處的切線。(二)探索新知

問題1 已知：勻加速直線運(yùn)動方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。

問題解決：設(shè)t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at，t?[0,T]，求：物體在t0時2v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時刻t0的瞬時速度。

問題2已知：曲線y?f(x)上點(diǎn)M(x0,y0)，求：M點(diǎn)處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設(shè)曲線C及曲線C上的一點(diǎn)M，如圖，在M外C上另外取一點(diǎn)N，作割線MN，當(dāng)N沿著C趨近點(diǎn)M時，如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點(diǎn)N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??為點(diǎn)M處的切線的斜率。

導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，則稱函數(shù)

x?x0

f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)。

即 f'(x0)?（2）

也可記作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價定義：

設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，可等價表達(dá)成為以下幾種形式：

f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù)，記作f?'(x0)。

?左導(dǎo)數(shù)

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。

（三）知識鞏固

2例題1 求f(x)?x在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線問題時，要熟悉導(dǎo)數(shù)的定義，并能通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解決一般問題

例題2設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

證

'f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運(yùn)用，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

附注：判斷一個函數(shù)在某點(diǎn)處是否可導(dǎo)，只需要考慮該點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)是否相等即可。

（四）應(yīng)用提高 求曲線y?x在點(diǎn)（－1，－1）處的切線方程為(A)x?2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本概念，在經(jīng)歷探究導(dǎo)數(shù)概念的過程中，讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)的形成，并對導(dǎo)數(shù)的幾何意義有較深刻的認(rèn)識。

本節(jié)課中所用數(shù)學(xué)思想方法：逼近、類比、特殊到一般。

（六）作業(yè)布置

1．已知f'(1)?2012，計算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計算函數(shù)f(x)??2x?3在點(diǎn)（1，1）處切線的方程。2

第四篇：常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計

幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計

一、課題引入

情境一：我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，物理意義是運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數(shù)y?f(x)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？ 問題1：導(dǎo)數(shù)是用什么來定義的？（平均變化率的極限）

問題2：平均變化率的極限如何計算？（求增量，求比值，取極限）

問題3：以上求導(dǎo)數(shù)的過程用起來是否方便？我們有沒有必要?dú)w結(jié)一下公式便于以后的運(yùn)算？ 情境二：

1.利用定義求出函數(shù)①y?c的導(dǎo)數(shù)

2.若y?c表示速度關(guān)于時間的函數(shù)，則y??0可以如何解釋？如何描述物體的運(yùn)動狀態(tài)？ 我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，物理意義是運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數(shù)y?f(x)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？

由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但這種方法在運(yùn)算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從這一節(jié)課開始我們將研究比較簡捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們先求幾個常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 二．新課講授

1．函數(shù)y?f(x)?c的導(dǎo)數(shù) 知識點(diǎn)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因為?yf(x??x)?f(x)c?c???0 ?x?x?x?y?lim0?0 所以y??lim?x?0?x?x?0y??0表示函數(shù)y?c圖像（圖1.2-1）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0．若y?c表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y??0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)． 2．函數(shù)y?f(x)?x的導(dǎo)數(shù)

?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1 因為?x?x?x?y?lim1?1 所以y??lim?x?0?x?x?0y??1表示函數(shù)y?x圖像（圖1.2-2）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為1．若y?x表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y??1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運(yùn)動． 練習(xí)：在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)y?2x,y?3x,y?4x的圖象，求出它們的導(dǎo)數(shù)。

（1）從圖象上看，它們的導(dǎo)數(shù)分別表示什么?（2）這三個函數(shù)，哪一個增加得最快，哪一個增加的最慢？（3）函數(shù)y?kx?k?0?增（減）的快慢與什么有關(guān)？

3．函數(shù)y?f(x)?x2的導(dǎo)數(shù)

?yf(x??x)?f(x)(x??x)2?x2??因為 ?x?x?xx2?2x?x?(?x)2?x2??2x??x

?x所以y??lim?y?lim(2x??x)?2x

?x?0?x?x?0y??2x表示函數(shù)y?x2圖像（圖1.2-3）上點(diǎn)(x,y)處的切線的斜率都為2x，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時變化率來看，表明：當(dāng)x?0時，隨著x的增加，函數(shù)y?x2減少得越來越慢；當(dāng)x?0時，隨著x的增加，函數(shù)y?x2增加得越來越快．若y?x表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y??2x可以解釋為某物體做變速運(yùn)動，它在時刻x的瞬時速度為2x． 4．函數(shù)y?f(x)?21的導(dǎo)數(shù) x11??yf(x??x)?f(x)x??xx因為 ???x?x?x?x?(x??x)1??2

x(x??x)?xx?x??x?y11?lim(?2)??2

?x?0?x?x?0x?x??xx1練習(xí)作出函數(shù)y?的圖象，根據(jù)圖象，描述它的變化情況，并求出其在點(diǎn)（1，1）處的切x所以y??lim線方程

5．函數(shù)y?f?x??x的導(dǎo)數(shù)

x??x?x

?x因為?yf(x??x)?f?x????x?x

=?x??x?x?xx??x?x1x??x?x ???x??x?x??

=所以y??lim?y11 ?lim??x?0?x?x?0x??x?x2xnn?16.推廣：若f?x??x?n?Q?，則f?(x)?nx

練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）y?x3（2）y?1 x2（3）y?三．例題講解 3x（4）y?x2x

3例1．曲線y?x上哪一點(diǎn)的切線與直線y?3x?1平行？

解：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為所求，則 它的切線斜率為k?3，∵f?(x)?3x，∴3x0?3，x0??1，∴P(1,1)或P(?1,?1)．

例2．證明：曲線xy?1上的任何一點(diǎn)P(x0,y0)(x0?0)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是一個常數(shù)． 解：由xy?1，得y?∴y??()???221，x1x1，x2

∴k?f?(x0)??1，2x0過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為

y?y0??1(x?x0)，2x02，x0令x?0得y?令y?0得x?2x0，∴過P(x0,y0)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積

S?12??2x0?2是一個常數(shù)． 2x0四．課時小結(jié)

C??0，xn

五、作業(yè) ????nx?n?Q? n?

1六、板書設(shè)計

七、教學(xué)反思

第五篇：案例 零點(diǎn)定理的教學(xué)設(shè)計

過程與方法是這樣體現(xiàn)的！

一、開放的情境更易于引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)

根據(jù)高中學(xué)生的認(rèn)知水平，開發(fā)利用教材的探索性內(nèi)涵，創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計了能啟發(fā)學(xué)生思維的“溫度連續(xù)變化”情境，引導(dǎo)學(xué)生得出本節(jié)課的重要結(jié)論：零點(diǎn)附近兩側(cè)的圖象特征及代數(shù)特征（函數(shù)值異號）。這一片段的課堂教學(xué)實(shí)錄如下：

問題1 圖1是某地從0點(diǎn)到12點(diǎn)的氣溫變化圖，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請將圖形補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖象。這段時間內(nèi)，是否一定有某時刻的氣溫為0度？為什么？

師：在補(bǔ)充圖象的時候請考慮：圖象與x軸是否一定相交。師：有哪位同學(xué)得到與x軸不相交的圖象嗎？（所有同學(xué)都搖頭表示不能畫出）師：困難在哪？為什么畫不出？

生丁：因為氣溫的變化連續(xù)不斷，而且有兩個已知的溫度是一正一負(fù)。師：很好，因為這兩個原因使得圖象與x軸一定相交。那么，交點(diǎn)可能會在哪兒？

生眾：0到12之間。

師：氣溫變化圖其實(shí)也是一個函數(shù)的圖象，它與x軸的交點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了函數(shù)存在零點(diǎn)的一種判斷方法。

師：函數(shù)存在零點(diǎn)的關(guān)鍵是什么？

生眾：函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的；一個點(diǎn)在x軸下方，一個點(diǎn)在x軸上方。

從上述過程可見，通過 “問答”式這種形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，實(shí)踐證明效果較好。但對高中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個充滿價值判斷的過程，最有效的是有引導(dǎo)又不受干擾的思考，屬于學(xué)生自己的獨(dú)立思考。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)”，我們認(rèn)為：讓學(xué)生以研究者的身份通過動手做來解決這一問題，先做后說，也許效果會更好。鑒于此，我們對這一教學(xué)片段重新進(jìn)行了設(shè)計，把如下的修改問題作為學(xué)生深度思考的一個源題：

問題2 圖1是某地從0點(diǎn)到12點(diǎn)的氣溫變化圖，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請用二種不同的方法將圖形補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖象。這段時間內(nèi)，是否一定有某時刻的氣溫為0度？為什么？

在課外活動中將印有這個題目的紙張發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生通過研究設(shè)計出二種不同的連結(jié)方法。

上述的圖形連接問題起點(diǎn)低，直觀性強(qiáng)，簡單而內(nèi)涵豐富，且結(jié)論開放，符合高中學(xué)生喜歡動手的特點(diǎn)，適合不同層次學(xué)生進(jìn)行探究。并在動態(tài)生成中很自然地“更新”了學(xué)習(xí)方式：讓學(xué)生從“聽”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式，改變成在教師的指導(dǎo)下“做”數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)。

二、“預(yù)設(shè)”與“生成”結(jié)合的課堂更精彩

原問題給學(xué)生一個圖，學(xué)生會用最方便直接的方法進(jìn)行連接（一條直線段），在轉(zhuǎn)換了情境問題后，一次就給學(xué)生二個相同的圖形，要求進(jìn)行不同的連接，設(shè)計第二個圖的連接有的學(xué)生會面臨困難，教師適時提示：“請大家再試著畫畫看”，“獨(dú)立思考幾分鐘”，以更好地激發(fā)學(xué)生的探究欲，在嘗試畫圖和反復(fù)的思索中，—種、兩種、三種??沒有預(yù)設(shè)的連接方法接踵而至，學(xué)生在畫圖過程中，不拘一格大膽思考，使課堂出現(xiàn)“生成”的精彩。學(xué)生是聰明的，無窮的遐想和個性化理解給不同的學(xué)生帶來了不同的收獲（下面僅列舉一部分成果，課堂上用實(shí)物投影展示）。

1．讓學(xué)生在表述結(jié)果中進(jìn)行數(shù)學(xué)交流

教師先從連接線的幾何和數(shù)量特性著手，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行課堂交流。學(xué)生畫出的圖形是五花八門的：

(1)用線段連接（如圖2、3等）。

(2)用曲線段連接，學(xué)生給出了很多連接方法，如圖4、5、6、7等都是學(xué)生給出的。

學(xué)生畫出的圖形為課堂教學(xué)提供了豐富的資源，其中包括在區(qū)間(a，b)內(nèi)有單一零點(diǎn)的函數(shù)是單調(diào)的、不單調(diào)的、有多個交點(diǎn)的等。而且也還有因為沒有注意到條件要求而畫錯的圖形（如圖5），這有利于糾正部分學(xué)生對函數(shù)概念理解的偏差。

實(shí)踐證明，每一個學(xué)生都希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者。學(xué)生從這一問題的研究出發(fā)，放飛想象，上述這道教師眼里簡單的畫圖題，僅僅在幾分鐘里，學(xué)生通過觀察、猜想、嘗試，就探索出了這么多種不同的畫法，有助于加深對本節(jié)課所學(xué)知識的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累大量的素材，逐步學(xué)會思考。

2．課堂研究中的動態(tài)生成是靈動的教學(xué)資源

構(gòu)建動態(tài)生成的課堂必須把學(xué)生置于教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和核心地位，讓學(xué)生充分地開展自主學(xué)習(xí)，課堂才能煥發(fā)出勃勃生機(jī)，呈現(xiàn)出一道優(yōu)美、流動的風(fēng)景線，才能使課堂真正為學(xué)生的發(fā)展服務(wù)。在課堂上要及時合理地捕捉學(xué)生研究得到的動態(tài)生成，讓它多一些真實(shí)的美麗，多一些有效的精彩。

（1）學(xué)生畫出的圖形，蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)資源。從圖象與x軸交點(diǎn)（即零點(diǎn)）的個數(shù)看，可以構(gòu)造出任意有限個零點(diǎn)的連接圖。那么，是否存在有無限個零點(diǎn)的連接圖？有的學(xué)生經(jīng)過思考后提出：將線段設(shè)置為與x軸重合，如圖8，其圖象是不間斷的，顯然該函數(shù)的零點(diǎn)為一個區(qū)間，有無限多個。

給學(xué)生幾分鐘的思考時間，給學(xué)生“靈機(jī)一動”、“茅塞頓開”的機(jī)會，就可能出現(xiàn)“柳暗花明”“出人意料”的結(jié)果，進(jìn)而極大地激發(fā)學(xué)生的探究欲望，并充分享受發(fā)現(xiàn)的喜悅。

（2）從這些圖形零點(diǎn)附近圖象的代數(shù)特征看，可分成四種情形：函數(shù)值異號（+－；－+）；函數(shù)值同號（++；－－），這樣可把學(xué)生引向本節(jié)課的重要結(jié)論的研究。

（3）前面學(xué)生研究出的連接圖，還可用來協(xié)助解決二節(jié)觀摩課中提出的一系列問題，加深學(xué)生對本課內(nèi)容的理解，如：

問題1 若問題2 若，函數(shù)，函數(shù)

在區(qū)間在區(qū)間

上一定沒有零點(diǎn)嗎？ 上只有一個零點(diǎn)嗎？ 內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)？ 問題3 能否增加條件，使得函數(shù)在區(qū)間是否一定有f(a)f(b)<0? 問題4 若在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在[a，b]上有一個零點(diǎn)，問題5 若在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)上零點(diǎn)個數(shù)一定是有限個嗎? 老師在教學(xué)中的做法是：（在《幾何畫板》直接展示函數(shù)的圖象，不給出函數(shù)解析式，如圖9。引導(dǎo)學(xué)生改變區(qū)間的端點(diǎn)，通過觀察，驗證問題1、2。

師：所以零點(diǎn)存在性定理可以判斷當(dāng)條件滿足時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)，但不能確定零點(diǎn)的個數(shù)。

師：能否增加條件，使得函數(shù)在區(qū)間生眾：單調(diào)性。

師：具體說，可以增加這樣的條件：函數(shù)在區(qū)間這里我們利用圖7就能回答這幾個問題。

這樣的生成，讓平淡的課堂變得趣味無窮，讓平常的課堂情節(jié)變得迭宕起伏，不僅將學(xué)生在畫圖過程中動態(tài)生成的信息轉(zhuǎn)化為有效的教學(xué)資源，并在動態(tài)中促

內(nèi)為單調(diào)函數(shù)。

內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)？ 使學(xué)習(xí)內(nèi)容不斷生成，知識不斷建構(gòu)并得到內(nèi)化，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為激情與智慧綜合的生成過程的課堂教學(xué)。

古今中外凡有重大成就的人，在其攀登科學(xué)高峰的征途中，都會給思考留有一定時間。據(jù)說愛因斯坦狹義相對論的建立，經(jīng)過了“十年的沉思”。他說：“學(xué)習(xí)知識要善于思考、思考、再思考，我就是靠這個學(xué)習(xí)方法成為科學(xué)家的。”許多教師在課堂教學(xué)中，由于沒有抓住教學(xué)內(nèi)容的核心，往往堆積了大量細(xì)枝末節(jié)問題，教師講得多，給學(xué)生思考的時間少，甚至不給學(xué)生思考機(jī)會，導(dǎo)致學(xué)生思維能力得不到培養(yǎng)。因此，教學(xué)設(shè)計時應(yīng)給學(xué)生預(yù)留更多的思考時間和空間。學(xué)習(xí)的效果最終取決于學(xué)生是否真正參與到學(xué)習(xí)活動中，是否積極主動地思考。如果學(xué)生能學(xué)會思考和研究，這比什么目標(biāo)都有意義。

（浙江省衢州市教研室 李世杰）

（摘錄自人民教育出版社網(wǎng)站：精彩的生成來自學(xué)生的自主研究）