第一篇：函數(shù)的零點教學(xué)反思

一、教學(xué)設(shè)計反思

課題從學(xué)生熟悉的小引例入手，難度不大，思路不唯一。問題1與問題2進(jìn)一步澄清概念，為下邊的立體做好基礎(chǔ)準(zhǔn)備。例1是基礎(chǔ)題目，運算簡單；例2是數(shù)形結(jié)合，借助圖象研究函數(shù)的交點，利用函數(shù)方程思想解方程；對于例3的設(shè)計，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決，為此設(shè)置了一系列的問題串，層層深入，步步引導(dǎo)，使學(xué)生不知不覺中提升解決問題的能力。

教學(xué)過程中有學(xué)生的板書，有提問，有交流，有小組討論，有個人成果展示，充分調(diào)動了學(xué)生的主動性，主動思考；課堂氣氛很活躍，課堂效果很好。

二、存在問題反思

在例2的處理過程中，學(xué)生板演，應(yīng)該找更普通的同學(xué)，而不是一下把問題解決了或者不具有一般性的解題思路。例題3的變式中，實際可以把問題的難度增加，提升學(xué)生思維的深度，但限于時間與學(xué)情的問題，沒有做進(jìn)一步的難度提升。

三、改進(jìn)措施反思

1、應(yīng)該更加充分的體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，再多給學(xué)生思考的時間

2、板演的同學(xué)應(yīng)該更具有一般性，不能直接做對，或者做錯

3、在今后的教學(xué)中多加反思，能夠?qū)虒W(xué)內(nèi)容有深刻的把握和合理的設(shè)計

4、對不同程度的學(xué)生要具有良好的課堂駕馭能力和現(xiàn)代化的教育方式

第二篇：函數(shù)零點教學(xué)設(shè)計

一、【教案背景】

1、課題：函數(shù)的零點

2、教材版本：蘇教版數(shù)學(xué)必修

（一）第二章2.5.1函數(shù)的零點

3、課時：1課時

二、【教學(xué)分析】 教材內(nèi)容分析：

本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點的概念、函數(shù)零點存在性判定。

函數(shù)的零點,是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要概念,從函數(shù)值與自變量對應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實數(shù)x;從方程的角度看,即為相應(yīng)方程f（x）=0的實數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點就是函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標(biāo).函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結(jié)點,它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起。

本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課，因此教學(xué)時應(yīng)當(dāng)站在函數(shù)應(yīng)用的高度，從函數(shù)與其他知識的聯(lián)系的角度來引入較為適宜。教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能

（1）能利用二次函數(shù)的圖象與判別式的符號，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)。

（2）了解函數(shù)零點與相應(yīng)方程的根的聯(lián)系，掌握零點存在的判定條件。

2、過程與方法

（1）通過觀察例題的圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值之積的特點，找到連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判斷方法。

（2）滲透算法思想，運用算法解決問題，為后面系統(tǒng)學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備。

3、情感、態(tài)度與價值觀

在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價值，培養(yǎng)學(xué)生在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義和價值，發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識，體會函數(shù)知識的核心作用．體驗數(shù)學(xué)內(nèi)在美,激發(fā)學(xué)習(xí)熱情,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和科學(xué)精神。教學(xué)重點： 零點的概念及零點存在性判定。

教學(xué)難點： 探究判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法。教學(xué)方法：

問題是課堂教學(xué)的靈魂，以問題為主線貫穿始終；以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，以能力發(fā)展為目標(biāo)，精心設(shè)計引導(dǎo)性問題，從學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律出發(fā)進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，利用課件，動畫等引導(dǎo)學(xué)生對問題的思考，運用學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組合作探究的教學(xué)方式。

三、【教學(xué)過程】

（一）、問題情境

（1）畫出二次函數(shù)的圖象,并寫出圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。

說明：通過學(xué)生熟悉的二次函數(shù)圖象入手，讓學(xué)生體會二次函數(shù)圖象與x軸交點的數(shù)值與方程根的對應(yīng)關(guān)系，方程的實數(shù)根就是的函數(shù)值為0時自變量x的值,建立初步的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想。（課件展示函數(shù)圖象）

（2）畫出二次函數(shù)、與的圖象,并寫出圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。

說明：通過兩小題讓學(xué)生認(rèn)識到當(dāng)二次函數(shù)的圖象在x軸上方時，與之對應(yīng)的方程無解，當(dāng)二次函數(shù)的圖象恰好與x軸相交時，與之對應(yīng)的方程有相等的實數(shù)根，建立初步的函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想。

提出二次函數(shù)零點的概念（我們把使二次函數(shù)的值為0的實數(shù)x稱為二次函數(shù)的零點）。

（二）、合作探究

探究二次函數(shù)的零點、二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的實數(shù)根之間的關(guān)系？

Δ>0 Δ=0 Δ<0

方程根的的圖象的零點

說明：小組合作探究，由學(xué)生回答，教師對答案給予鼓勵性的評價。通過完成以上問題,讓學(xué)生體會從具體到一般函數(shù)圖象與x軸交點與相應(yīng)方程根的關(guān)系。如果學(xué)生有困難，教師可作一下點撥,結(jié)合二次函數(shù)的圖象,推廣到一般函數(shù)零點的定義。板書課題:函數(shù)的零點

（三）、意義建構(gòu)

函數(shù)的零點概念：我們把使函數(shù)的值為0的實數(shù)稱為函數(shù)的零點（zeropoint）。

注：（1）零點不是點。

等價關(guān)系

函數(shù)y=f(x)的零點

方程f(x)=0實數(shù)根（數(shù)）

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)（形）

有了上述的關(guān)系，就可用函數(shù)的觀點看待方程，方程的根即函數(shù)的零點，可以把解方程的問題互化為思考函數(shù)圖象與x軸的交點問題。這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)。

說明：通過對概念的陳述，讓學(xué)生了解函數(shù)零點的概念及性質(zhì)，對函數(shù)零點的概念有了完整的認(rèn)識，達(dá)到質(zhì)的飛躍。

（四）、數(shù)學(xué)運用

例1：求下列函數(shù)的零點,并畫出下列函數(shù)的簡圖。①

② ③ ④

⑤

（師用展示臺展示學(xué)生的作圖，指出優(yōu)缺點）

說明：求函數(shù)零點，體現(xiàn)函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化的思想。本題的五個小題都簡單，主要考察學(xué)生零點概念的掌握情況，題目包含了我們從初中到目前已經(jīng)學(xué)過的常見函數(shù)，目的讓學(xué)生通過及時練習(xí)加強(qiáng)對函數(shù)零點的的認(rèn)識。

通過畫簡圖，了解圖象的變化形式，要注意體現(xiàn)零點性質(zhì)的應(yīng)用。為下面學(xué)習(xí)根的存在條件奠定基礎(chǔ)。

例2 求證：二次函數(shù)有兩個不同的零點。

說明：可讓學(xué)生充分討論例2的解法，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維，第一，從數(shù)的角度，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化方程問題，體現(xiàn)“函數(shù)與方程”思想.第二，從形的角度，圖象與x軸有兩個不同的交點。幾何畫板演示畫圖象過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)函數(shù)圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產(chǎn)生了交點，圖象穿過x軸這是一種幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來描述呢？用屏幕顯示刺函數(shù)圖象，多次播放拋物線穿過x軸的畫面。板書證明過程

證明：設(shè),則 f(1)=－2<0。

因為它的圖象是一條開口向上的拋物線（不間斷），這表明此圖象一定穿過x軸，所以函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點。因此，二次函數(shù)有兩個不同的零點。

從上面的解答知道，此函數(shù)有兩個零點是。

問題（1）你能說明此函數(shù)在哪個區(qū)間[a，b]上存在零點（）嗎？ 問題（2）如何判斷一個函數(shù)在區(qū)間（a，b）上是否存在零點？

讓學(xué)生自己思考、發(fā)言得到的結(jié)論，教師整理后得到函數(shù)零點的存在性判定。

如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，且，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點。

教師給出這個結(jié)論，組織學(xué)生對下面問題進(jìn)行討論。通過討論認(rèn)識問題的本質(zhì)，升華對零點存在性判定的理解。

（1）若f(a)·f(b)<0,函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上就存在零點嗎？

（2）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)會是只有一個零點么?

（3）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)就一定沒有零點么？

（4）在什么條件下，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上可存在唯一零點？

（5）如果是二次函數(shù)y＝f(x)的零點，且，那么f(a)·f(b)<0一定成立嗎？

為了幫助大家更好體會該結(jié)論，我們把它設(shè)計成流程圖。

說明：設(shè)置成流程圖，既直觀、清晰，又為學(xué)生將來學(xué)習(xí)算法奠定基礎(chǔ)。算法的特殊表示符號，學(xué)生不知道，師生共同完成即可。

例3．求證：函數(shù)在區(qū)間(－2，－1)上存在零點．

說明: 學(xué)生完成過程中，教師巡視，展臺展示優(yōu)秀作品及步驟有問題者，達(dá)到糾正錯誤及解題規(guī)范化。

（五）、歸納總結(jié)

說明:這個環(huán)節(jié),學(xué)生主動總結(jié)本節(jié)課學(xué)到的知識,將本節(jié)課所講的知識點系統(tǒng)整理，為后面的函數(shù)零點的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

（六）、反饋練習(xí)

(1)函數(shù)f(x)＝2x2－5x＋2的零點是

；

(2)二次函數(shù)y＝2x2＋px＋15的一個零點是－3，則另一個零點是

；(3)若函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍；

(4)已知函數(shù)f(x)的圖象是不間斷的，有如下的x,f(x)對應(yīng)值表：

那么函數(shù)在區(qū)間[1，6]上的零點至少有

個；(5)在二次函數(shù)中，ac<0,則其零點的個數(shù)為

；

說明:本環(huán)節(jié)用時5分鐘,考完后小組互換,立即批改.發(fā)現(xiàn)問題立即糾正,再通過課后作業(yè)加以鞏固.對做的好的及時給予表揚。

（七）、作業(yè)布置

1、完成蘇教版必修1第76頁練習(xí)1、2。

2、①有2個零點;②3個零點;③4個零點.四、【板書設(shè)計】

屏幕

函數(shù)的零點

一、函數(shù)零點的定義：我們把使函數(shù)的值為0的實數(shù)稱為函數(shù)的零點（零點不是點）.二、方程的根與函數(shù)零點之間的等價關(guān)系

函數(shù)y=f(x)有零點

方程f(x)=0有實數(shù)根（數(shù)）

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點（形）零點存在性判定

例1

例2

五、【教學(xué)反思】

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家斯托利亞說過:“積極的教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)活動(思維活動)的教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)活動的結(jié)束—數(shù)學(xué)知識的教學(xué)?！狈此肌昂瘮?shù)的零點”的課堂教學(xué)，本人覺得類似這樣的數(shù)學(xué)概念、原理的教學(xué)，教學(xué)設(shè)計應(yīng)特別重視“過程性”，教學(xué)過程應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)“參與性”，要讓學(xué)生“參與”到教學(xué)過程中去.唯有學(xué)生的過程參與，才能較好地激發(fā)其主動性，確立其主體地位.吸引學(xué)生“參與”，關(guān)鍵招數(shù)之一是對教材進(jìn)行“問題化”處理，用問題去引領(lǐng)學(xué)生探究。學(xué)生“參與”到教學(xué)過程中來，就是要參與知識建構(gòu)、參與思維訓(xùn)練、參與方法提煉。

本課中，圍繞教學(xué)目標(biāo)知識生成的過程，設(shè)計了若干問題，以問題為中心，以學(xué)生為主體，讓他們親身經(jīng)歷，體驗函數(shù)的零點知識的建構(gòu)過程，函數(shù)零點存在性結(jié)論的探求，體現(xiàn)了本節(jié)課設(shè)計的基本理念:過程性、問題性和主體性。

第三篇：“方程的根與函數(shù)的零點”教學(xué)反思

《方程的根與函數(shù)的零點》教學(xué)反思

巴里坤縣第三中學(xué)教師 李曉瑩

本節(jié)是在學(xué)習(xí)了前兩章函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來判斷方程的根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與對應(yīng)方程的根的關(guān)系以及掌握函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法；為下節(jié)“二分法求方程的近似解”和后續(xù)學(xué)習(xí)的算法提供基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的作用，非常重要。表面上看，這一內(nèi)容的教學(xué)并不困難，但要讓學(xué)生真正理解，在教學(xué)設(shè)計和難點突破上需要下足夠的功夫，教學(xué)過程中還需要妥善處理其中的一些問題。所以，我在教法上，以問題為紐帶，用問題引出內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生積極主動地進(jìn)行探索；同時向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法；滲透問題意識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力以及采用“提出問題——引導(dǎo)探究——得出結(jié)論——講練結(jié)合”的教與學(xué)模式。本節(jié)課借助多媒體手段創(chuàng)設(shè)問題情境，指導(dǎo)學(xué)生研究式學(xué)習(xí)和體驗式學(xué)習(xí)．如，函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系是這節(jié)課的一個重點，為了突破這一重點，在教學(xué)中利用多媒體教學(xué)，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，準(zhǔn)確、直觀、易于學(xué)生理解，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，調(diào)動了學(xué)生主動參與教學(xué)的積極性，使他們進(jìn)行自主探究與合作交流，親身體驗知識的形成過程，變靜態(tài)教學(xué)為動態(tài)教學(xué)。

一、新課的引入

本堂課是用對實際問題的探討來引入函數(shù)的零點，通過這樣一個問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由直觀過渡到抽象，更符合學(xué)生的認(rèn)知過程，在評課的時候，這一點也獲得了聽課老師的一致好評。再復(fù)習(xí)鞏固一元一次方程和一元二次方程的解法，由學(xué)生已掌握的知識入手，創(chuàng)設(shè)熟悉環(huán)境，引導(dǎo)進(jìn)入本課狀態(tài)。接著讓學(xué)生在原有二次函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)上，使其知識得到自然的發(fā)生發(fā)展。理解了像二次函數(shù)這樣簡單的函數(shù)的零點，再來理解其他復(fù)雜的函數(shù)的零點就會容易一些。圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題，并且，利用了教材中的方程提出了下列問題：方程x2－2x－3＝0是否有實根？你是怎樣判斷的？結(jié)果，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，快速解決了問題。由此看來，這堂課一開始引入熟悉的例子，最能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并讓其認(rèn)識到學(xué)習(xí)函數(shù)的零點的必要性。

二、重難點的突破

零點存在性定理是本節(jié)課的難點和重點，教學(xué)設(shè)計的好壞直接關(guān)系到學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果。因此，從“一個函數(shù)是否有零點，就是看它的圖象與x軸是否有交點。那么，我們又如何判定一個函數(shù)的圖象與x軸是否有交點呢？”的提問入手，引出零點存在條件的探究。給出6個問題：問題 1、2是學(xué)生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，問題3、4是方程的根和函數(shù)圖象與x軸的交點之間有何聯(lián)系與區(qū)別，問題5、6上升到抽象連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)一定有零點的條件。引導(dǎo)學(xué)生一邊畫草圖，一邊思考，總結(jié)規(guī)律：函數(shù)圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產(chǎn)生了交點。要判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)是否有零點（教材對于函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有零點，只研究函數(shù)f(x)的圖象穿過x軸的情況），應(yīng)該先觀察函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)f(b)<0。從課后了解到，學(xué)生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)是否有零點，教學(xué)卻沒有對證明的必要性展開討論。忽略了在研究函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有幾個零點時，應(yīng)該先觀察函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)有幾個交點，再進(jìn)行證明。所以，在課后向?qū)W生提出如何判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有幾個零點時，就有學(xué)生認(rèn)為，只需看函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)有幾個交點即可。這樣看來，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識證明的必要性。我們也可以作出一些特殊函數(shù)在不同區(qū)間范圍的圖象，讓學(xué)生通過觀察對比得到認(rèn)識。這6個問題設(shè)計精巧，層層遞進(jìn)，引發(fā)了學(xué)生積極思考、探索與交流，將教學(xué)推向高潮。如此尋求函數(shù)零點存在的條件，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，讓學(xué)生在具體的例題中概括出共同的本質(zhì)特征，得出一般性的結(jié)論，使學(xué)生思維發(fā)生碰撞，既弄懂了問題又使數(shù)學(xué)方法得到提升。

三、教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，突出思想方法

首先要通過把握教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)來設(shè)計教學(xué)框架，然后根據(jù)教學(xué)框架來考慮需要突出的思想方法。本節(jié)課按照下列主線來展開教學(xué)：

（一）如何引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的問題簡單化，并學(xué)會從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)由特殊到一般地思考問題。

教材設(shè)置函數(shù)的零點這一內(nèi)容的目的，就是為了體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)。所以，教學(xué)一開始就從學(xué)生熟悉的知識點入手，用方程的求解出發(fā)展開討論，然后引導(dǎo)學(xué)生體會其中的思想方法。例當(dāng)學(xué)生陷入困境時，再逐步提出下面的問題進(jìn)行引導(dǎo)：

1．當(dāng)遇到一個復(fù)雜的問題，我們一般應(yīng)該怎么辦？

以此來引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的問題簡單化，尋找類似的簡單問題的解決方法。2．以前我們?nèi)绾闻袛嘁粋€方程是否有實根，這對研究這個方程是否有幫助？

以此來引導(dǎo)學(xué)生從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，將解決簡單方程的方法遷移到不能求解的方程中去，學(xué)會從特殊到一般的思維方法。

3．除了用判別式可以判斷一元二次方程根的情況，還有其他的方法嗎？

以此來引導(dǎo)學(xué)生建立方程與函數(shù)的聯(lián)系，滲透函數(shù)與方程的思想方法，并培養(yǎng)其從不同角度思考問題的習(xí)慣。

（二）怎樣突出數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)形結(jié)合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數(shù)”一章的始終，學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)，已基本形成數(shù)形結(jié)合的思想方法，所以本節(jié)教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生主動運用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題為目的。在建立方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系時，函數(shù)圖象起到了關(guān)鍵的橋梁作用，充分體現(xiàn)了它與方程的根以及函數(shù)零點之間的數(shù)形結(jié)合的關(guān)系。由學(xué)生作出函數(shù)圖象，讓學(xué)生回答方程的根與函數(shù)圖象和x軸的交點有何關(guān)系，然后學(xué)生自己總結(jié)出方程的根、函數(shù)圖象和x軸的交點、函數(shù)的零點之間的關(guān)系。這樣的教學(xué)，在一定程度上也能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法。在這種能夠體現(xiàn)思想方法的關(guān)鍵地方，教師要舍得花時間，要讓學(xué)生由方程自覺地聯(lián)想到相應(yīng)的函數(shù)，主動地建立方程的根與函數(shù)圖象間的關(guān)系，提升數(shù)形結(jié)合思想方法的層次，增強(qiáng)函數(shù)應(yīng)用的意識。

（三）如何從直觀到抽象

教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有零點的一種條件。如何讓學(xué)生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學(xué)難點需要處理：

1．如何引導(dǎo)學(xué)生用f(a)f(b)<0來說明函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有零點？

教材是先從函數(shù)圖象出發(fā)，讓學(xué)生通過觀察函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)是否與x軸有交點，來認(rèn)識函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)是否有零點。這是一個直觀認(rèn)識的過程，對學(xué)生來說并不困難。然后再讓學(xué)生認(rèn)識，f(a)f(b)<0則函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸有交點。不過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學(xué)生來說是有困難的。教學(xué)的關(guān)鍵在于，如何引導(dǎo)學(xué)生由函數(shù)f(x)的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯(lián)想到f(a)f(b)<0。

2．如何引導(dǎo)學(xué)生判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)的零點個數(shù)？

（1）要判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)的零點個數(shù)，可先觀察函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸有幾個交點，再進(jìn)行證明。

當(dāng)觀察到函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸的交點個數(shù)后，可以在（a，b）內(nèi)分別選取每個交點周圍的一個區(qū)間，然后說明函數(shù)分別在各個區(qū)間只有一個零點。這樣，就將判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在各個區(qū)間內(nèi)分別只有一個零點。由于f(a)f(b)<0只能說明函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有零點，而不能說明f(x)在（a，b）內(nèi)有幾個零點，這就要求函數(shù)在每個交點周圍所選取的區(qū)間上的圖象在直觀上要單調(diào)，并且要證明函數(shù)f(x)在該區(qū)間上單調(diào)。

（2）要證明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點需要一個循序漸進(jìn)的過程

證明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點，是一個從圖象的直觀到抽象的代數(shù)證明的理性思維過程。從學(xué)生現(xiàn)有的知識積累來看，目前教學(xué)應(yīng)立足從圖象直觀來認(rèn)識，對于易于用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的函數(shù)，可要求學(xué)生進(jìn)行代數(shù)證明。待學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之后，再統(tǒng)一要求學(xué)生對所有的函數(shù)都進(jìn)行代數(shù)證明。所以，學(xué)生對這一問題的認(rèn)識有一個循序漸進(jìn)的過程，教師對這一問題的教學(xué)需要分階段提出不同層次的要求，關(guān)鍵是把握好教學(xué)的度。

本課的實際教學(xué)中還存在著不足: 1.在探究新知識時試圖給學(xué)生講授一點關(guān)于方程的解的數(shù)學(xué)史知識，但時間問題，最終舍棄了；

2.想自在的調(diào)控課堂而不盡得。我所期望的課堂是學(xué)生既自主又合作，既數(shù)學(xué)又生活的。這需要對數(shù)學(xué)史與知識點較透徹的理解，這需要語言表達(dá)的精確，這些都是我的不足。3.在課件制作方面還是存在不足，水平不夠高，有待提高。4.在板書方面，板塊意識有了，也算工整，但是字跡不夠美觀。

本節(jié)課零點的引入部分可以簡化改進(jìn)，使之更趨合理，零點存在性定理引入部分略顯生硬，應(yīng)該有更藝術(shù)的方式。高一學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，常表現(xiàn)出不適，主要是數(shù)形結(jié)合與抽象思維尚不能勝任。具體表現(xiàn)為將函數(shù)孤立起來，認(rèn)識不到函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的核心地位。函數(shù)與方程相聯(lián)系的觀點的建立，函數(shù)應(yīng)用的意識的初步樹立，應(yīng)該是本節(jié)課必須承載的重要任務(wù)。在這一任務(wù)的達(dá)成度方面，本課還需更突出。另外，課堂上教師怎樣引導(dǎo)學(xué)生也是值得我深思的一個問題，還有少講多引方面也是我今后教學(xué)中努力的方向。

《方程的根與函數(shù)的零點》教學(xué)反思

巴里坤縣第三中學(xué)教師

李曉瑩

第四篇：“方程的根與函數(shù)的零點”教學(xué)反思

“方程的根與函數(shù)的零點”教學(xué)反思

王巧香

方程的根與函數(shù)的零點是高中課程標(biāo)準(zhǔn)新增的內(nèi)容，表面上看，這一內(nèi)容的教學(xué)并不困難，但要讓學(xué)生能夠真正理解，教學(xué)還需要妥善處理其中的一些問題。最近，在浙江紹興聽了這一內(nèi)容的兩堂新授課，使用教材都是人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書·數(shù)學(xué)1（必修）》，課后又與部分學(xué)生進(jìn)行了交流?？偟膩碚f，教學(xué)效果都不甚理想，暴露出了一些共同的問題，看來具有一定的代表性。下面就兩堂課共同存在的問題，談一點看法。

一、首先要讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)函數(shù)的零點的必要性

教材是利用一元二次方程的例子來引入函數(shù)的零點。這樣處理，主要是想讓學(xué)生在原有二次函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)上，使其知識得到自然的發(fā)生發(fā)展。理解了像二次函數(shù)這樣簡單的函數(shù)的零點，再來理解其他復(fù)雜的函數(shù)的零點就會容易一些。但在教學(xué)時，就不能照本宣科。

這兩堂課的教學(xué)都和教材一樣，也是利用一個一元二次方程來引入，圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題。并且，兩位教師都利用了教材中的方程提出了下列問題：

方程x2－2x－3＝0是否有實根？你是怎樣判斷的？

結(jié)果，學(xué)生的反應(yīng)都很平淡，大多數(shù)人對這個問題都不感興趣。課后學(xué)生認(rèn)為，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，老師沒必要再問那么簡單的問題了。由此看來，這堂課一開始就應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)函數(shù)的零點的必要性。教師所選擇的例子，最好是學(xué)生用已學(xué)方法不能求解的方程，這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并讓其認(rèn)識到學(xué)習(xí)函數(shù)的零點的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出來，讓學(xué)生思考：

方程lnx＋2x－6＝0是否有實根？為什么？

在學(xué)生對上述問題一籌莫展時，再回到一元二次方程上，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究方程的根。這堂課的頭開好了，整堂課就活了。二、一元二次方程根的存在是否由其判別式?jīng)Q定

當(dāng)教師問到一元二次方程x2－2x－3＝0是否有實根時，兩個班的學(xué)生很快就用根的判別式作出了判斷，沒有一位學(xué)生用方程相應(yīng)的函數(shù)圖象進(jìn)行分析。于是，教師又引導(dǎo)學(xué)生作出一元二次方程相應(yīng)的函數(shù)的圖象，并建立方程的根與函數(shù)圖象和x軸交點的聯(lián)系。值得注意的是，在上述活動中，學(xué)生認(rèn)為，因為一元二次方程根的判別式的大小有三種情況，所以一元二次方程相應(yīng)的函數(shù)圖象和x軸的交點就有三種情況。教師不僅對此默認(rèn)，還在研究了一元二次方程與其函數(shù)圖象的關(guān)系后總結(jié)到，雖然我們可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在，但對于沒有判別式的其他方程就可以根據(jù)相應(yīng)的函數(shù)圖象來判斷了。

看來，師生們對一元二次方程根存在的本質(zhì)原因都不清楚，都誤以為是其判別式的大小。如果通過建立一元二次方程與其相應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系，沒有揭露出方程根存在的本質(zhì)原因是相應(yīng)函數(shù)的零點的存在，那么就會導(dǎo)致學(xué)生對引入函數(shù)零點的必要性缺乏深刻的認(rèn)識，以為結(jié)合函數(shù)圖象并利用f(a)?f(b)的值與0的關(guān)系判斷方程根的存在只是其中的一種方法或技巧，而認(rèn)識不到其一般性和本質(zhì)性。所以，教學(xué)在研究一元二次方程與其相應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系時，關(guān)鍵要以函數(shù)圖象為紐帶，建立一元二次方程的根與相應(yīng)函數(shù)零點之間的關(guān)系，讓學(xué)生理解方程根存在的本質(zhì)以及判斷方程根存在的一般方法。這樣，才能將所得到的判斷方程根存在的方法推廣到一般情況，并使學(xué)生對方程根存在的認(rèn)識不僅僅停留在判別式或函數(shù)圖象上。

三、根據(jù)圖象能否判斷函數(shù)是否有零點以及零點的個數(shù) 盡管兩堂課教師都談到，要判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)是否有零點（教材對于函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有零點，只研究函數(shù)f(x)的圖象穿過x軸的情況），應(yīng)該先觀察函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)?f(b)<0。但是，教學(xué)卻沒有對證明的必要性展開討論。結(jié)果，從課后了解到，學(xué)生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)是否有零點，至于證明只是數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格要求而已。同樣，兩堂課在研究函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有幾個零點時，教師也是這樣告訴學(xué)生，應(yīng)該先觀察函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)有幾個交點，再進(jìn)行證明，依然沒有說明證明的必要性。所以，在課后向?qū)W生提出如何判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有幾個零點時，就有學(xué)生認(rèn)為，只需看函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)有幾個交點即可。

看來，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識證明的必要性。例如，我們可以作出一些特殊函數(shù)在不同區(qū)間范圍的圖象，讓學(xué)生通過觀察對比得到認(rèn)識。

如圖1，是計算機(jī)所作的某個函數(shù)的圖象。可以讓學(xué)生根據(jù)圖象思考，該函數(shù)是否有零點？

在學(xué)生作出判斷后，再逐步將原點附近的圖象放大，得到該函數(shù)在其他較小區(qū)間范圍的多個圖象（圖2（1）、（2））。然后再問學(xué)生，該函數(shù)究竟有沒有零點？

如圖3，是計算機(jī)所作的又一個函數(shù)的圖象?？梢宰寣W(xué)生根據(jù)圖象思考，該函數(shù)有幾個零點？

在學(xué)生作出判斷后，再逐步將原點附近的圖象放大，得到該函數(shù)在其他較小區(qū)間范圍的多個圖象（圖4（1）、（2））。此時再問學(xué)生，該函數(shù)究竟有幾個零點？

結(jié)合上述例子，要讓學(xué)生知道，我們所作的函數(shù)圖象只能反映函數(shù)一個局部的情況，如果根據(jù)一個圖象就作出判斷可能就會片面。這樣，學(xué)生自然就會認(rèn)識到證明的必要性了。

四、教學(xué)要把握內(nèi)容結(jié)構(gòu)，突出思想方法

教師首先要通過把握教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)來設(shè)計教學(xué)框架，然后根據(jù)教學(xué)框架來考慮需要突出的思想方法。本節(jié)課可以按照下列主線來展開教學(xué)：

兩位教師對教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)的把握還不到位，課堂教學(xué)比較凌亂，對上述三塊內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想方法也沒能抓住，主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

（一）如何引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的問題簡單化，并學(xué)會從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)由特殊到一般地思考問題 教材設(shè)置函數(shù)的零點這一內(nèi)容的目的，就是為了體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)。所以，教學(xué)一開始就應(yīng)該從學(xué)生用已學(xué)方法不能求解的方程出發(fā)展開討論，然后引導(dǎo)學(xué)生體會其中的思想方法。例如，可以像前面一樣先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有實根？為什么？當(dāng)學(xué)生陷入困境時，教師再逐步提出下面的問題進(jìn)行引導(dǎo)：

1．當(dāng)遇到一個復(fù)雜的問題，我們一般應(yīng)該怎么辦？

以此來引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的問題簡單化，尋找類似的簡單問題的解決方法。2．以前我們?nèi)绾闻袛嘁粋€方程是否有實根，這對研究這個方程是否有幫助？ 以此來引導(dǎo)學(xué)生從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，將解決簡單方程的方法遷移到不能求解的方程中去，學(xué)會從特殊到一般的思維方法。

3．除了用判別式可以判斷一元二次方程根的情況，還有其他的方法嗎？

以此來引導(dǎo)學(xué)生建立方程與函數(shù)的聯(lián)系，滲透函數(shù)與方程的思想方法，并培養(yǎng)其從不同角度思考問題的習(xí)慣。

遺憾的是，兩位老師都是直接從一元二次方程出發(fā)展開討論，學(xué)生就錯過了上述這些思想方法的訓(xùn)練。

（二）怎樣突出數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)形結(jié)合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數(shù)I”一章的始終，學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)，已基本形成數(shù)形結(jié)合的思想方法，所以本節(jié)教學(xué)應(yīng)該以培養(yǎng)學(xué)生主動運用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題為目的。但是，在兩堂課中，教師卻沒有留給學(xué)生主動運用數(shù)形結(jié)合思想方法的空間。

在建立方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系時，函數(shù)圖象起到了關(guān)鍵的橋梁作用，充分體現(xiàn)了它與方程的根以及函數(shù)零點之間的數(shù)形結(jié)合的關(guān)系。但是，兩位教師卻沒有留給學(xué)生足夠的時間去主動搭建函數(shù)圖象這一橋梁，而是由教師作出函數(shù)圖象，讓學(xué)生回答方程的根與函數(shù)圖象和x軸的交點有何關(guān)系，然后老師再給出方程的根、函數(shù)圖象和x軸的交點、函數(shù)的零點之間的關(guān)系。這樣的教學(xué)，雖然一定程度上也能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，但體現(xiàn)的思想層次卻很低。在這種能夠體現(xiàn)思想方法的關(guān)鍵地方，教師要舍得花時間，要讓學(xué)生由方程自覺地聯(lián)想到相應(yīng)的函數(shù)，主動地建立方程的根與函數(shù)圖象間的關(guān)系，提升數(shù)形結(jié)合思想方法的層次，增強(qiáng)函數(shù)應(yīng)用的意識。

（三）如何從直觀到抽象

教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有零點的一種條件。如何讓學(xué)生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學(xué)難點需要處理：

1．如何引導(dǎo)學(xué)生用f(a)?f(b)<0來說明函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有零點

教材是先從函數(shù)圖象出發(fā)，讓學(xué)生通過觀察函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)是否與x軸有交點，來認(rèn)識函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)是否有零點。這是一個直觀認(rèn)識的過程，對學(xué)生來說并不困難。然后再讓學(xué)生認(rèn)識，f(a)?f(b)<0則函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸有交點。不過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學(xué)生來說是有困難的。教學(xué)的關(guān)鍵在于，如何引導(dǎo)學(xué)生由函數(shù)f(x)的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯(lián)想到f(a)?f(b)<0。為此，我們不妨可以通過下列問題來啟發(fā)學(xué)生：

（1）我們看到，當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象穿過x軸時，函數(shù)f(x)的圖象就與x軸產(chǎn)生了交點。如果不作出函數(shù)f(x)的圖象，你又如何判斷函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點？

（2）函數(shù)f(x)的圖象穿過x軸這是幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來描述呢？

（3）函數(shù)f(x)的圖象穿過x軸其實就是穿過與x軸的交點周圍的部分，比如（a，b）。在區(qū)間（a，b）內(nèi)，如何用代數(shù)形式來描述呢？

（4）如果函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點為（c，0），那么函數(shù)f(x)分別在區(qū)間（a，c）和區(qū)間（c，b）上的值各有什么特點？這對我們用代數(shù)形式進(jìn)行描述有何幫助？

2．如何引導(dǎo)學(xué)生判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)的零點個數(shù)

要判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)的零點個數(shù)，可先觀察函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸有幾個交點，再進(jìn)行證明。這同樣是一個從直觀到抽象的過程，教學(xué)需要處理好下列兩個問題：

（1）如何引導(dǎo)學(xué)生說明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點 當(dāng)觀察到函數(shù)f(x)的圖象在（a，b）內(nèi)與x軸的交點個數(shù)后，可以在（a，b）內(nèi)分別選取每個交點周圍的一個區(qū)間，然后說明函數(shù)分別在各個區(qū)間只有一個零點。這樣，就將判斷函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在各個區(qū)間內(nèi)分別只有一個零點。由于f(a)?f(b)<0只能說明函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有零點，而不能說明f(x)在（a，b）內(nèi)有幾個零點，這就要求函數(shù)在每個交點周圍所選取的區(qū)間上的圖象在直觀上要單調(diào)，并且要證明函數(shù)f(x)在該區(qū)間上單調(diào)。但教學(xué)的難點正在于此，如何引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的單調(diào)性來說明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點？我們可以設(shè)計下列教學(xué)環(huán)節(jié)來幫助學(xué)生認(rèn)識：

① 可以先給出一些只有一個零點的函數(shù)圖象（圖5）；

②讓學(xué)生通過觀察這些圖象，歸納出這些函數(shù)具有的共同性質(zhì)；

③當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)分別在交點周圍的一個區(qū)間上都單調(diào)后，再讓學(xué)生思考，為什么函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)就只有一個零點？

經(jīng)過上述從直觀到抽象的過程，學(xué)生才會真正認(rèn)識到，為什么可以利用函數(shù)的單調(diào)性來說明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點。

（2）要證明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點需要一個循序漸進(jìn)的過程

證明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)只有一個零點，是一個從圖象的直觀到抽象的代數(shù)證明的理性思維過程。從學(xué)生現(xiàn)有的知識積累來看，目前教學(xué)應(yīng)立足從圖象直觀來認(rèn)識，對于易于用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的函數(shù)，可要求學(xué)生進(jìn)行代數(shù)證明。待學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之后，再統(tǒng)一要求學(xué)生對所有的函數(shù)都進(jìn)行代數(shù)證明。所以，學(xué)生對這一問題的認(rèn)識有一個循序漸進(jìn)的過程，教師對這一問題的教學(xué)需要分階段提出不同層次的要求，關(guān)鍵是把握好教學(xué)的度。

從兩堂課的教學(xué)情況來看，兩位教師都沒能抓住上述內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想方法來設(shè)計教學(xué)，而是直接將結(jié)論灌輸給學(xué)生，讓學(xué)生失去了合適的思維訓(xùn)練和思想方法提升的機(jī)會。

方程的根與函數(shù)的零點是高中課程標(biāo)準(zhǔn)新增的內(nèi)容，第一次教學(xué)就要取得成功的確不易?？磥?，像這些中學(xué)新增內(nèi)容的教學(xué)，需要一個不斷實踐以及實踐后的反思的過程，在實踐與反思的過程中，不僅要妥善解決上述問題，還要不斷地發(fā)現(xiàn)和解決新的問題，這樣，教學(xué)效果才會逐步得到改善。

第五篇：方程的根與函數(shù)的零點教學(xué)反思

方程的根與函數(shù)的零點教學(xué)反思

通過本節(jié)課的教學(xué)實踐，我感覺學(xué)生對方程和函數(shù)之間的關(guān)系有了進(jìn)一步的理解，通過對具體函數(shù)與方程之間關(guān)系的分析到對一般函數(shù)和方程之間關(guān)系的分析，使學(xué)生真正理解了方程的根、函數(shù)的圖像與軸交點的橫坐標(biāo)和函數(shù)的零點是一個值在不同環(huán)境下的不同稱呼，更使學(xué)生能夠利用不同的方法判斷函數(shù)的零點。通過生活實例讓學(xué)生自主探究出函數(shù)零點存在的判定條件，突破本節(jié)課的難點，并能利用存在定理判斷函數(shù)在區(qū)間是否有零點及零售的個數(shù)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，是自然的。這樣基本達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生在自己思考或討論或探究問題的過程中基本能得到正確的結(jié)果，對問題的解決能力有所提高。

存在的問題是，本節(jié)課因為教學(xué)容量過大，時間過緊，結(jié)束部分處理的比較倉促；在學(xué)生探究討論部分，教師干預(yù)過多，留給學(xué)生思考的空間及時間稍顯不足；在板書環(huán)節(jié)由于對黑板的不適應(yīng)導(dǎo)致板書不夠美觀，感到很遺憾。