第一篇：利用導(dǎo)數(shù)比較大小(教學(xué)反思)

利用導(dǎo)數(shù)比較大?。ń虒W(xué)反思）

本節(jié)課重點探討了構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值比較大小的方法，旨在解決比較函數(shù)大小，證明不等式，討論兩函數(shù)圖像關(guān)系等問題。由于本節(jié)課的教學(xué)對像是高三文科平行班的學(xué)生，他們的計算能力，分析問題的能力都很薄弱，要求學(xué)生在高考中遇到導(dǎo)數(shù)大題時盡量拿到第一個問的分，因而每個例題及練習(xí)的難度都適中。本節(jié)課共有五個教學(xué)環(huán)節(jié)，下面分四個方面進行反思。

一、備課

雖然準備了很久，但在一些細節(jié)上還是存在疏忽。比如對與例1的提法上改為：當x?(?1,??)時，比較ln(1?x)與x的大小關(guān)系。這樣更清晰明了。

二、引入

本節(jié)課是以一個例題進行引入，忽略了學(xué)生基礎(chǔ)薄弱這一特點。應(yīng)先復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值）等知識，這樣大部分學(xué)生在解題過程可能會輕松一些。

三、例題練習(xí)。

例題的設(shè)計形式多樣，但都體現(xiàn)了利用導(dǎo)數(shù)比較大小這一中心主題，能讓學(xué)生從多個角度體會本節(jié)課的作用。在講解每一個例題之前都要給學(xué)生足夠的時間思考，從而引導(dǎo)學(xué)生分析問題，進而自行解決例題。充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主，老師做引導(dǎo)的教學(xué)規(guī)律。并叫學(xué)生板演，及時指出學(xué)生存在的問題，能讓學(xué)生充分吸收、消化本節(jié)課的主要內(nèi)容。但是這樣有些費時，導(dǎo)致了本節(jié)課沒有很好的掌握時間，拖堂了4分鐘。以后上課中要找準切入點，讓課堂更高效、更省時。

四、小結(jié)

在上課時應(yīng)該留足夠的時間引導(dǎo)學(xué)生進行小節(jié)。培養(yǎng)學(xué)生口頭表達能力以及歸納概括能力。避免小結(jié)成為課堂教學(xué)的走過場，真正實現(xiàn)小結(jié)的畫龍點晴的作用。由于本節(jié)課在時間的控制上做得不好，只由老師經(jīng)行了簡單的總結(jié)，而沒有讓學(xué)生發(fā)揮，小結(jié)沒有做到位。

在以后的教學(xué)中要多聽老教師的課，學(xué)習(xí)他們精湛的教學(xué)方法。磨練自己掌控整個課堂教學(xué)的能力。在課堂上對學(xué)生的評價要及時與準確，更為重要的是情感上的鼓勵與認同，并且也可以上學(xué)生對這節(jié)課進行評價與自我評價。例如在整節(jié)課講完之后，讓學(xué)生闡述自己所認為的難點，用與發(fā)現(xiàn)學(xué)生不清處的問題和知識。也可以及時發(fā)現(xiàn)自己在教學(xué)過程中的不足。高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中，內(nèi)容多，范圍廣，題量大，善于總結(jié)和反思對學(xué)生的學(xué)和老師的教都頗有益處。不足之處請各位老師多批評指導(dǎo)。

第二篇：比較大小教學(xué)反思

比較大小教學(xué)反思

《比較大小》是在學(xué)生已經(jīng)知道100以內(nèi)數(shù)的順序和數(shù)的組成的基礎(chǔ)上展開的。本節(jié)課的教學(xué)需要學(xué)生掌握比較兩個數(shù)的大小的一般方法，準確地比較數(shù)的大小。同時，100以內(nèi)數(shù)的大小比較方法也是為以后學(xué)習(xí)1000以內(nèi)數(shù)的大小比較做鋪墊的。所以在教學(xué)設(shè)計中，特意比教材的內(nèi)容多加了一個根據(jù)位數(shù)比較大小的環(huán)節(jié)，這樣利于學(xué)生連貫的學(xué)習(xí)數(shù)大小比較的方法。另外，本節(jié)課在教學(xué)中還力求體現(xiàn)以下幾點：

1、我在備課時設(shè)計鋪墊復(fù)習(xí)，情境切入新課。通過復(fù)習(xí)使學(xué)生對數(shù)的順序和組成等相關(guān)知識得到強化，為新知的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

2、結(jié)合季節(jié)，創(chuàng)設(shè)羊羊們摘果子的教學(xué)情境，將例題設(shè)計改成美羊羊和懶羊羊誰摘的多的小爭吵，引出要求解決的問題，調(diào)動了學(xué)習(xí)的興趣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的趣味性。讓學(xué)生從熟悉的生活實際中感受數(shù)學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用。

3、鼓勵學(xué)生獨立思考、合作交流。在比較兩個數(shù)大小的之前，給予學(xué)生思考的空間，先和同桌交流想法，再反饋，總結(jié)出比較方法后，再同桌互說，加強對比較方法的理解。

4、注重對學(xué)生表達能力的培養(yǎng)，一年級學(xué)生的語言表達能力不成熟、不完整，在教學(xué)過程中我有意識地引導(dǎo)學(xué)生把話說完整，注重培養(yǎng)學(xué)生的表達能力，從而使學(xué)生的語言表達能力有所提高。

本節(jié)課，雖然順利地完成了教學(xué)任務(wù)。但是，也存在一些不足的地方：

一、板書不夠細致

在例題教學(xué)中，各個羊羊摘的果子數(shù)若能圖文結(jié)合對應(yīng)著呈現(xiàn)在黑板上的話，孩子比較起來會更清晰。

二、練習(xí)樣式不夠豐富

練習(xí)環(huán)節(jié)的設(shè)計樣式不夠豐富，要是在練習(xí)設(shè)計方面能多形式點，就更鞏固學(xué)生所學(xué)的知識和激起學(xué)習(xí)興趣。

在今后的教學(xué)中，我還要加深對鞏固練習(xí)的研究，一定要做到精而全，達到預(yù)期效果，備課更加細致，讓每一節(jié)課上得更精彩。

第三篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x?[0,+???？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo)。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個

函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當x??0,??時，證明不等式sinx?x成立。證明：設(shè)f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當x?(0,?)時，sinx?x成立。

點評：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時若F(a)?0,由減函數(shù)的定義可知，x?(a,b)時，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習(xí)：1.當x?0時，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設(shè)f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當x?0時，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調(diào)遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調(diào)遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時，ex222.證明:當x?1時,有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對固定看作常數(shù),并選取輔助函

lnxln(x?1)數(shù)f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調(diào)減函數(shù)即可.lnx證明: 作輔助函數(shù)f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因為 1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內(nèi)恒有f'(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內(nèi)嚴格遞減.又因為1?x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導(dǎo)數(shù)知識證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點函數(shù)值與0的關(guān)系，其實質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現(xiàn)作差以后

21?x)求導(dǎo)得不容易化簡.如果對ln(1,這樣就能對它進行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設(shè) f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調(diào)遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。

第四篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

沒分都沒人答埃。覺得可以就給個好評!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導(dǎo)，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

F(a)=a-a^

2F'(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點的值0，求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點有最大值0，知sinx

再證x-x3/6

對于函數(shù)x-x3/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導(dǎo)數(shù)得

1-x2/2-cosx如果它<0那么這個函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點的值是最大值了。

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時，x2/2+cosx-1值為0

再次對它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點有最大值0

x2/2-cosx-1<0x>0

所以x-x3/6-sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0

得x-x3/6

利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f'(x)=1-2x

當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1

第五篇：談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

數(shù)學(xué)組

鄒黎華

在高考試題中，不等式的證明往往與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的內(nèi)容綜合，屬于在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現(xiàn)對理性思維的考查，特別是利用高中新增內(nèi)容的導(dǎo)數(shù)來證明不等式，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點。本文通過一些實例，來說明利用導(dǎo)數(shù)增證明不等式的基本方法。

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)

分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo)。

且limf(x)?0?f(0)?x?0

由f'(x)?1?1x

可得：當x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?

1即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx

評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個

函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

x1111'

證明：設(shè)函數(shù)f(x)?ln(1?x)，則f(x)??2ln(1?x)??

xx1?xx1x'?ln(1?x)] 即：f(x)?2[x1?xx?1,ln(1?x)?ln3?1 因為：x?2,0?1?x即要證所以：f(x)?0，所以f(x)在[2,??)是減函數(shù)，而m?n 所以f(m)?f(n)，即n''11ln(1?m)?ln(1?n)； mnm從而：(1?m)?(1?n)。

評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。

例3．（2004年全國卷理工22題）已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx,設(shè)0?a?b

證明：0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2 2證明：設(shè)g(x)?xlnx,g'(x)?lnx?1 設(shè)F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)2則F'(x)?g'(x)?2[g(a?xa?x)]?lnx?ln22

當0?x?a時，F(xiàn)'(x)?0，當x?a時，F(xiàn)'(x)?0 因此，F(xiàn)（x）

在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,??)內(nèi)為增函數(shù)，于是在x?a 時，F(xiàn)（x）有最小值F(a)?0又b?a，所以0?g(a)?g(b)?2g(a?b)2設(shè)G(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2，則G'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x)2當x?0時，G'(x)?0，因此G（x）在區(qū)間(0,??)內(nèi)為減函數(shù)； 因為G(a)?0，b?a，所以G(b)?0，即：g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2。2評注：本題在設(shè)輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點設(shè)為自變量，范例中選用右

端點，讀者不妨設(shè)為左端點試一試，就更能體會到其中的奧妙了。

通過以上例題，我們可以體會到用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的基本要領(lǐng)和它的簡捷?？傊?，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，因此，希望同學(xué)門能認真對待，并通過適當?shù)木毩?xí)掌握它。