第一篇：全國第八屆青年數(shù)學教師優(yōu)質課教學設計：任意角的三角函數(shù)3 Word版含答案[精選]

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“任意角的三角函數(shù)”第一課時教學設計

江西省臨川第二中學

蔡磊

一、教學內容解析

1、本節(jié)課是人教A版《數(shù)學4》第一章“三角函數(shù)”中的“任意角的三角函數(shù)（第一課時）”，其重點內容是任意角的三角函數(shù)概念的建構.通過引入直角坐標系，實現(xiàn)用銳角終邊上點的坐標表示銳角的三角函數(shù)值（坐標化）；隨著單位圓的引入（形式優(yōu)化），進而引導學生注意到在單位圓中，銳角?和單位圓上的點有對應關系，因為角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應的關系，從而發(fā)現(xiàn)銳角的弧度數(shù)和單位圓上點的坐標之間形成函數(shù)關系（函數(shù)化）；最終形成任意角的三角函數(shù)的概念（一般化）.之后，通過例題闖關，應用了概念，加強了對概念的理解（概念理解強化）.2、任意角的三角函數(shù)是三角學內容的基礎，是后續(xù)內容學習的思維起點，是整個三角學認知結構的生長點.它的學習既是學科系統(tǒng)內部知識發(fā)展的需要，又是坐標思想、數(shù)形結合思想的載體，更是對函數(shù)概念理解和認識的一次升華.學習過程中的認知沖突，容易激發(fā)學生思維的積極性，有助于探究、創(chuàng)新能力的培養(yǎng).由銳角三角函數(shù)的定義到任意角三角函數(shù)的定義是學生認識上的突破，也是體會特殊到一般思想的良好素材.二、教學目標設置

1、知識與技能：①借助單位圓讓學生認識和理解任意角的三角函數(shù)的定義②讓學生能根據(jù)定義判定三角函數(shù)的符號③讓學生知道公式一，并由此體會三角函數(shù)的周期性特點.2、過程與方法：①通過回憶初中的銳角三角函數(shù)定義，發(fā)現(xiàn)角概念推廣后其局限性，必須尋找其它方式定義；②在形成新的銳角三角函數(shù)定義的過程中領悟坐標法的優(yōu)越性，加深對函數(shù)概念的理解；③由特殊到一般的思想推廣到任意角的三角函數(shù)定義；④通過探究任意角正弦函數(shù)定義，類比得到任意角的余弦函數(shù)和正切函數(shù)，培養(yǎng)學生類比分析的能力；⑤通過對三角函數(shù)值在各個象限符號的確定，培養(yǎng)學生利用規(guī)律解決問題的意識；⑥通過對公式一的學習，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的意識，讓學生體會三角函數(shù)的周期性.3、情感態(tài)度與價值觀：①培養(yǎng)學生在運動變化的過程中認識知識的發(fā)生和發(fā)展，體會知識之間的內在聯(lián)系，感悟知識的整體性；②通過小組合作交流，倡導學生主動參與課堂，培養(yǎng)學生團隊合作的意識；③通過對新知識的探究，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力和理性思維的能力.三、教學重點

1、對任意角的三角函數(shù)定義的理解；

2、正弦、余弦、正切函數(shù)值在各個象限內符號的確定；

3、三角函數(shù)的周期性特點（公式一）.四、教學難點

任意角的三角函數(shù)概念的建構過程.五、學生學情分析

學生在初中學習的銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，以邊的比值為函數(shù)值的函數(shù)，以及高中學習過的函數(shù)的定義和任意角及弧度制，這些是學生學習任意角的三角函數(shù)知識的基礎和依據(jù).本節(jié)課從研究銳角三角函數(shù)的概念出發(fā)，更容易激發(fā)學生學習的熱情，從而催生學生創(chuàng)造性思維.在概念建構的過程中，學生必需經歷由特殊到一般的認識過程以及把新的概念納入到一般函數(shù)的結構之中，這是認知過程的一道坎，又是認知的一次升華.六、教學策略分析

本課采用“引”“探”相結合的方式，將問題以問題串的形式展現(xiàn)，讓學生在憤悱中形成認知沖突，體會、感悟數(shù)學研究的一般思路和方法.課堂中以學生為主體，將學生分成若干小組，使學生全員參與課堂，通過學生之間合作交流，教師間或參與學生的討論，對有困數(shù)學學習資料

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惑的小組或者個別學生進行幫助和引導，培養(yǎng)學生主動探究新知識的能力.此外，為了提高教學效果，使課堂教學更生動形象，利用多媒體課件進行教學.七、教學過程

（一）創(chuàng)設情境，導入新課

（問題1到問題2是溫故知新化過程）

問題1 初中我們在直角三角形中學習過銳角三角函數(shù)，你能回憶出初中銳角的正弦、余弦、正切函數(shù)是怎樣定義的嗎？你能說出它們的自變量是什么，又以什么為函數(shù)值呢？自變量的范圍是什么？

設計意圖：要讓學生體會知識的產生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始，因此對銳角三角函數(shù)的復習是必不可少的.將銳角三角函數(shù)融入學生已有的函數(shù)知識結構中，容易為學生建立起任意角的三角函數(shù)獲取心理邏輯的自然.問題2 在高中，隨著角的概念的推廣和弧度制的引入，角的范圍變成了全體實數(shù)R，那么對于任意角?，比如當?為鈍角時，角? 的“斜邊”這種說法還存在嗎？那么任意角的三角函數(shù)該如何定義呢？

設計意圖：利用角?的變化作為思維的切入點，打破學生已有的認知結構的平衡，感受學習新知識的必要性，即角的范圍擴大了，初中銳角三角函數(shù)的定義也應該與時俱進，這有利于將探究的主動權交給學生.（二）提出問題，探求新知

（問題3到問題5是定義坐標化過程）問題3 中國有句古話說的好，“工欲善其事，必先利其器”.隨著角的概念推廣和弧度制的引入，我們一般借助什么工具來研究角？

設計意圖：依托學生已有的經驗，啟發(fā)學生聯(lián)想，觸發(fā)學生的靈感，為坐標法的實施奠定研究的基礎.問題4 我們先研究哪種角呢？是直接研究任意角的情形還是先研究銳角的情形呢？ 設計意圖：以銳角三角函數(shù)的研究為本節(jié)課知識的“生長點”，這樣的研究符合學生的認知規(guī)律，學生有思考的落腳點，更能夠激發(fā)學生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本節(jié)課任意角三角函數(shù)概念的建構這一教學難點.問題5 對于任意角?都有始邊和終邊.在直角坐標系中，如何放置銳角?可以方便研究？在銳角?的終邊上任取一點P(a,b)，它與原點O的距離為r，你能用點P的坐標及r來表示銳角?的三角函數(shù)嗎？

設計意圖：把銳角?放在直角坐標系下對學生來說比較簡單，構造直角三角形也是一目了然的，這樣可以把復習的初中的銳角三角函數(shù)的定義納入直角坐標系，將邊長的比變成坐標關系，為任意角的三角函數(shù)定義的給出做好鋪墊.提及“始邊”、“終邊”也是為了概念一般化做鋪墊.（問題6到問題7是表達式形式優(yōu)化過程）

問題6 當銳角?確定，如果改變?的終邊上的P點位置，角?的正弦值會發(fā)生改變嗎？ 設計意圖：問正弦值這一種情況，方便師生研究.余弦值和正切值可以類比得到，更方便學生理解（下面有類似問法也是同樣考慮）;由三角形相似，說明在終邊上任意取點不影響三角函數(shù)值.這是為單位圓定義的提出做好鋪墊.問題7 數(shù)學追求“簡潔美”，既然這三個比值與終邊上點P的位置無關，那么當P點選在何處時，sin?和cos?的形式最簡單？ 設計意圖：通過問題的形式過渡，自然得出單位圓的概念.由此便可順勢得出sin?和cos?的簡化形式，體現(xiàn)了數(shù)學的“簡潔美”.同時也明確在單位圓的背景下，銳角和單位圓上P點數(shù)學學習資料

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有對應關系.（問題8到問題10是函數(shù)化過程）

問題8 當銳角?發(fā)生變化時，P點的坐標會發(fā)生相應的改變嗎？（追問）當銳角?確定了，P點的坐標是否唯一確定？（配合動畫演示）（教師板書：任意銳角?（實數(shù)）→唯一實數(shù)b；任意銳角?（實數(shù)）→唯一實數(shù)a.）

設計意圖：初中學生對函數(shù)理解還比較膚淺，這里提出的問題扣準了函數(shù)概念的內涵，突出了變量之間的依賴關系及對應關系，是從一般函數(shù)知識演繹到三角函數(shù)知識的重要環(huán)節(jié)，是準確理解三角函數(shù)概念的關鍵.問題9 你能給這個函數(shù)（任意銳角?（實數(shù)）→唯一實數(shù)b）命名嗎？

設計意圖：只單問一個函數(shù)，可以方便學生思考，也方便師生共同總結，還可以讓學生在自行總結任意角的三角函數(shù)概念時有參照對象.問題10 既然是函數(shù)，你能說出銳角?正弦函數(shù)的自變量嗎？以什么為函數(shù)值呢？ 設計意圖：讓學生能更好的理解銳角三角函數(shù)的定義，同時為總結任意角三角函數(shù)定義打好基礎.（問題11到問題12是特殊到一般化過程）

問題11 我們現(xiàn)在得到的銳角三角函數(shù)的定義和初中所學銳角三角函數(shù)定義有什么區(qū)別？ 設計意圖：加強學生對新的定義方式的理解，讓學生意識到任意角沒有“斜邊”，但是有“始邊”、“終邊”，從而發(fā)現(xiàn)對于任意角，如果始邊放在x軸非負半軸上，其終邊定與單位圓有唯一交點，從而能形成函數(shù)關系.為歸納任意角三角函數(shù)概念掃清心理障礙.問題12 由特殊到一般的思想，你能給任意角的三角函數(shù)下一個定義嗎？（教師在與學生交流中，板書定義）

設計意圖：利用類比、遷移的認知規(guī)律，學生容易給出任意角的三角函數(shù)定義.學生可以意識到銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的特例，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的自然延伸.（三）分析思考，加深理解

（下列問題是概念理解強化過程）

問題13 既然它們是函數(shù)，就要注意其定義域，它是函數(shù)的“生命之域”，那么正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域分別是什么？ 設計意圖：因為角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應的關系，故三角函數(shù)也可以看成實數(shù)為自變量的函數(shù)，強調了其函數(shù)屬性.問題14 當?為銳角時，sin?,cos?,tan?的值都是正數(shù)，當?的終邊落在各個象限時，它們分別取什么符號？

設計意圖：對比銳角三角函數(shù)，讓學生再次回憶任意角三角函數(shù)的定義，培養(yǎng)學生利用規(guī)律解決問題的意識.設置一個閱讀環(huán)節(jié)，讓學生閱讀“三角函數(shù)名稱由來簡史”.設計意圖：通過三角知識簡史的閱讀，讓學生有新奇感，同時提高課堂的數(shù)學文化感，讓學生感知數(shù)學是源于生活的.以此，進一步激發(fā)學生的學習熱情.（四）強化訓練，鞏固雙基 第一關 求5?的正弦、余弦和正切的值.3設計意圖：將例題以闖關的形式呈現(xiàn)，和綜藝節(jié)目設置相似，寓教于樂，能激發(fā)學生的學習熱情；明確已知角的終邊，要求其三角函數(shù)值，可以先求終邊與單位圓的交點坐標，通過運用概念，鞏固對概念的理解.數(shù)學學習資料

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問題15（追問）求11?的正弦、余弦和正切的值.3設計意圖：引起學生發(fā)現(xiàn)這兩個角的終邊是重合的，所以它們與單位圓的交點坐標相同，由任意角三角函數(shù)的定義可知，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等的.讓學生體驗到公式一的作用和三角函數(shù)的周期性.第二關

確定下列三角函數(shù)值的符號：（1）cos260；（2）sin(???4)；

（3）tan(?700?)；

（4）tan3?.第三關

求下列三角函數(shù)值：

9?11?).(1)sin(?1050?)；

(2)cos；

(3)tan(?46設計意圖：判斷三角函數(shù)值的正負符號，是本節(jié)課的教學目標之一，引導學生抓住定義、數(shù)形結合判斷三角函數(shù)值的正負符號，同時應用終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等的這一結論.第四關

已知角?的終邊經過點P0(?3,?4),求角?的正弦，余弦和正切值.P0(?3a,?4a)(a?0),情況又如何？

設計意圖：該點不在單位圓上，與例題1的解法對比；為課后探究“角?終邊上任一點Q(x,y)，求角?的正弦、余弦和正切的值.”這一問題作鋪墊；增加了一個問題，加強了學生對任意角三角函數(shù)定義的理解，同時滲透了分類討論的思想.（五）課堂小結,升華提高

知識與技能：任意角三角函數(shù)的定義（單位圓）；能根據(jù)定義判定三角函數(shù)的符號；公式一（終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等）即三角函數(shù)的周期性特點.思想與方法：坐標法、特殊到一般、數(shù)形結合、類比、轉化、分類討論.設計意圖：讓學生自己總結，教師補充，并且提醒學生知識重要，探究的思想與方法更重要，體現(xiàn)了教學應以學生為主體，教師為主導的新課標理念.（六）作業(yè)布置：

1、課本15頁練習2、3、5.2、假設角?的頂點是直角坐標系的原點，始邊與x軸的非負半軸重合，已知角?終邊上任一點Q(x,y)，求角?的正弦、余弦和正切函數(shù)值.3、通過本節(jié)課學習，你對任意角三角函數(shù)有哪些新的認識？利用定義你能解決哪些問題？你還有哪些不明白的地方？請把它寫下來.設計意圖：體現(xiàn)作業(yè)的多樣性，鼓勵學有余力的同學課后探究，因材施教，多元發(fā)展.教師和學生同唱勵志歌曲《奔跑》，課堂在歌聲中結束.設計意圖：拉近師生關系，也鼓勵學生不畏艱難，在學習過程中保持奔跑的態(tài)度.在數(shù)學課堂也可以滲透品德教育.數(shù)學學習資料

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第二篇：任意角的三角函數(shù)教學設計

《任意角的三角函數(shù)》教學設計

一、教學內容分析

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標準》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領域中具有重要的作用?！墩n程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

二、學生情況分析

本課時研究的是任意角的三角函數(shù)，學生在初中階段曾經研究過銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學過程中要發(fā)展學生的已有認知經驗，發(fā)揮其正遷移。

三、教學目標

知識與技能目標:借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值；能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個象限的符號。

方法與過程目標:在定義的學習及概念同化和精致的過程中培養(yǎng)學生類比、分析以及研究問題的能力。

情感態(tài)度與價值觀: 在定義的學習過程中滲透數(shù)形結合的思想。

四、教學重、難點分析：

重點：理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。難點：引導學生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學生真正理解定義。

五、教學方法與策略：

教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.根據(jù)本節(jié)課內容、高一學生認知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結合”的方法組織教學.六、教具、教學媒體準備：

為了加強學生對三角函數(shù)定義的理解，幫助學生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角三角函數(shù)與它的終邊上點的坐標的關系，構建有利于學生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數(shù)形結合地進行思維．

七、教學過程

（一）教學情景

1．復習銳角三角函數(shù)的定義

問題1：在初中，我們已經學過銳角三角函數(shù)．如圖（課件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的正弦、余弦和正切分別是什么？

設計意圖：幫助學生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．

師生活動：教師提出問題，學生回答． 2．認識任意角三角函數(shù)的定義

問題2：在上節(jié)教科書的學習中，我們已經將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？

設計意圖：引導學生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．

師生活動：在教學中，可以根據(jù)學生的實際情況，利用下列問題引導學生進行思考：

（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數(shù)．

（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？

進一步引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎上，組織學生討論。

（3）如圖2，在平面直角坐標系中，如何定義任意角的三角函數(shù)呢？

（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第I象限又該怎么辦？

問題3：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？

設計意圖：引導學生在定義銳角三角函數(shù)的基礎上，進一步給出任意角三角函數(shù)的定義．

師生活動：由學生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進行整理．

問題4：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 設計意圖：通過利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內容，同時又可幫助學生進一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：學生求出定義域，教師進行整理． 例1：（題目在課件8中）

設計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結合的思想．

3．練習（在課件9中）

設計意圖：通過應用三角函數(shù)的定義，加強對三角函數(shù)概念的理解． 4．小結

問題5：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)．通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經沒有什么關系了．你能再回顧一下任意角三角函數(shù)的定義嗎？

設計意圖：回顧和總結本節(jié)課的主要內容．

八、作業(yè)設計：

教科書P106習題1.2題．

設計意圖：根據(jù)本節(jié)課所涉及到的三角函數(shù)定義應用的幾個方面，從教科書中選擇作業(yè)題．試圖通過作業(yè)，讓學生進一步理解三角函數(shù)的概念，并從中評價學生對三角函數(shù)概念理解的情況．

九、教學反思：

上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：

1.教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設符合學生的認知特點和學生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。

2.情景設計的數(shù)學模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質。

3.通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內在聯(lián)系，在體驗中領悟數(shù)學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數(shù)學的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。這和課程標準的理念是一致的。

第三篇：任意角的三角函數(shù)教學設計

《任意角的三角函數(shù)》第一課時 教學設計

會寧縣第二中學數(shù)學教研組

曹蕊

一、教學內容分析

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標準》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領域中具有重要的作用?！墩n程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

二、學生情況分析

本課時研究的是任意角的三角函數(shù)，學生在初中階段曾經研究過銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學過程中要發(fā)展學生的已有認知經驗，發(fā)揮其正遷移。

三、教學目標

知識與技能目標:借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值；能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個象限的符號。

方法與過程目標:在定義的學習及概念同化和精致的過程中培養(yǎng)學生類比、分析以及研究問題的能力。

情感態(tài)度與價值觀: 在定義的學習過程中滲透數(shù)形結合的思想。

四、教學重、難點分析：

重點：理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。難點：引導學生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學生真正理解定義。

五、教學方法與策略：

教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.根據(jù)本節(jié)課內容、高一學生認知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結合”的方法組織教學.六、教具、教學媒體準備：

為了加強學生對三角函數(shù)定義的理解，幫助學生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點坐標的關系，構建有利于學生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數(shù)形結合地進行思維．

七、教學過程

（一）教學情景

1．復習銳角三角函數(shù)的定義

問題1：在初中，我們已經學過銳角三角函數(shù)．如圖1（課件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，∠O的正弦、余弦和正切分別是什么？

設計意圖：幫助學生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．

師生活動：教師提出問題，學生回答． 2．認識任意角三角函數(shù)的定義

問題2：在上節(jié)教科書的學習中，我們已經將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？

設計意圖：引導學生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．

師生活動：在教學中，可以根據(jù)學生的實際情況，利用下列問題引導學生進行思考：

（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數(shù)．

（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？

進一步引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎上，組織學生討論。

（3）如圖2，在平面直角坐標系中，如何定義任意角θ的三角函數(shù)呢？

（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第I象限又該怎么辦？

問題3：大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？ 設計意圖：為引入單位圓進行鋪墊．

師生活動：教師提出問題后，可組織學生展開討論．在學生不能正確回答時，可啟發(fā)他們思考下列問題：

我們在定義1弧度的角的時候，利用了一個什么圖形？所用的圓與半徑大小有關嗎？用半徑多大的圓定義起來更簡單易懂些？

問題4：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？

設計意圖：引導學生在借助單位圓定義銳角三角函數(shù)的基礎上，進一步給出任意角三角函數(shù)的定義．

師生活動：由學生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進行整理． 例1：（題目在課件中）

設計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結合的思想．

問題5：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 設計意圖：通過利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內容，同時又可幫助學生進一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：學生求出定義域，教師進行整理． 問題6：上述三種函數(shù)的值在各象限的符號會怎樣？

設計意圖：通過定義的應用，讓學生了解三種函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并從中進一步理解三角函數(shù)的概念，體會數(shù)形結合的思想．

師生活動：學生回答，教師整理． 例2：（題目在課件中）

設計意圖：通過問題的解決，熟悉和記憶函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并進一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：在完成本題的基礎上，可視情況改變題目的條件或結論，作變式訓練．

問題7：既然我們知道了三角函數(shù)的函數(shù)值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點旋轉一周，它的大小將會怎樣變化？它所對應的三角函數(shù)值又將怎樣變化？

設計意圖：引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點，以及數(shù)形結合的思想． 師生活動：在教師引導下，由學生討論完成． 例3：（題目在課件中）

設計意圖：將確定函數(shù)值的符號與求函數(shù)值這兩個問題合在一起，通過應用公式一解決問題，讓學生熟悉和記憶公式一，并進一步理解三角函數(shù)的概念．

例

4、例5（題目在課件中）3．練習（在課件中）

設計意圖：通過應用三角函數(shù)的定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)值的符號、公式一，以及求三角函數(shù)值，加強對三角函數(shù)概念的理解．

4．小結

問題8：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)．通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經沒有什么關系了．我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù)，借助直角坐標系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關系，進而利用單位圓上點的坐標或坐標的比值來表示圓心角的三角函數(shù)．你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？

設計意圖：回顧和總結本節(jié)課的主要內容．

八、作業(yè)設計：

教科書P.24習題1.2A組第6、8題．

設計意圖：根據(jù)本節(jié)課所涉及到的三角函數(shù)定義應用的幾個方面，從教科書中選擇作業(yè)題．試圖通過作業(yè)，讓學生進一步理解三角函數(shù)的概念，并從中評價學生對三角函數(shù)概念理解的情況．

九、教學反思：

上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：

1.教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設符合學生的認知特點和學生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。

2.情景設計的數(shù)學模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質。

3.通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內在聯(lián)系，在體驗中領悟數(shù)學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數(shù)學的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。這和課程標準的理念是一致的。

第四篇：任意角的三角函數(shù)教學設計

任意角的三角函數(shù)（1）

一、教學內容分析：

高一年《普通高中課程標準教科書·數(shù)學（必修4）》（人教版A版）第12頁1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時。

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標準》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領域中具有重要的作用。《課程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

在本模塊中，學生將通過實例學習三角函數(shù)及其基本性質，體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用。

二、學生學習情況分析

我們的課堂教學常用“高起點、大容量、快推進”的做法，忽略了知識的發(fā)生發(fā)展過程，以騰出更多的時間對學生加以反復的訓練，無形增加了學生的負擔，泯滅了學生學習的興趣。我們雖然刻意地去改變教學的方式，但仍太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進行《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》(以下簡稱課程標準)的教學設計就很值得思考探索。如何讓學生把對初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識遷移到學習任意角的三角函數(shù)的定義中？

《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)解讀》中在三角函數(shù)的教學中，教師應該關注以下兩點：

第一、根據(jù)學生的生活經驗，創(chuàng)設豐富的情境，例如單調彈簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義。

第二、注重三角函數(shù)模型的運用即運用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象），解決一些實際問題，這也是《課程標準》在三角函內容處理上的一個突出特點。

根據(jù)《課程標準》的指導思想，任意角的三角函數(shù)的教學應該幫助學生解決好兩個問題：

其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數(shù)的模型；

其二：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認識其定義域、函數(shù)值的符號。

三、設計理念：

本節(jié)課通過多媒體信息技術展示摩天輪旋轉及生成的圖像，讓學生感受到數(shù)學來源于生活，數(shù)學應用于生活，激發(fā)同學們學習的樂趣。并通過問題的探究，體驗“數(shù)學是過程的思想”，改變課程實施過程于強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學生學生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。

四、教學目標：

1.借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義；

2.從任意角的三角函數(shù)的定義認識其定義域、函數(shù)值的符號； 3.能初步應用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關的一些簡單問題。

五、教學重點和難點：

1.教學重點：任意角三角函數(shù)的定義. 2.教學難點：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.具體設計如下：

OPA

六、教學過程

第一部分——情景引入

問題1:如圖是一個摩天輪，假設它的中心離地面的高度為ho，它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉動，轉動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的高度h為多少？過了45秒呢？過了t秒呢？

圖1 【設計意圖】：高中學生已經具有豐富的生活經驗和一定的科學知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關的素材，此情景設計應該有助于學生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解。這個數(shù)學模型很好融合初中對三角函數(shù)的定交，也能放在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質。

第二部分——復習回顧銳角三角函數(shù)

讓學生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”

【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運

BNOMPA圖2 H動30秒后到達P點位置，由題意知?AOP?300，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝ho，所以本問題轉變成求PH再次轉變?yōu)榍驪M。

要求PM就是回到初中所學的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)。問題2：銳角?的正弦函數(shù)如何定義？ 【學生自主探究】：學生很容易得到

sin??|MP||MP|??|MP|?Rsin??|PH|?h0?Rsin? |OP|R?h?h0?Rsin?

所以學生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度h為多少？”

Ph1?h0?Rsin300 h2?h0?Rsin450

【教師總結】：t0在銳角的范圍中，OaYMPOMAXh?h0?Rsint0

第三部分——引入新課

問題3：請問t的范圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度h為多少？能不能猜想

Bh?h0?Rsint0？

【分析】：若想做到這一點，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學習任意角的三函數(shù)角函數(shù)。

問題4：如圖建立直角坐標系，設點P(xP,yP)，能你用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角?的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)（余弦、正切）？

【學生自主探究】：sin??|MP|yP? R|OP|cos??|MP|yP|OM|xP，tan?? ??|OP|R|OM|xP問題5：改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？ 【分析】：先由學生回答問題，教師再引導學生選幾個點，計算比值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質證明。

【設計意圖】：讓學生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關系。

通過摩天輪的演示，讓學生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。

問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？

【學生自主探究】：學生通過上面已知知識得到sin??|MP|yP? R|OP|PxyO學生定義好第二象限角后，讓學生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度h？

通過摩天輪知道：

圖3h?h0?Rsin1500?h1?h0?Rsin300

由此得到：sin1500?1 2【設計意圖】：通過這個，讓學生檢驗sin??正確？

問題7：sin??|MP|yP?在第二象限角是否R|OP||MP|在第三象限角或第四象限能成立嗎？ |OP|【設計意圖】：讓學生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學生自己發(fā)現(xiàn)正、負符號的偏差。

（可以讓學生取t?210，從而h?h0?Rsin2100,得到sin2100＝?這與sin??|MP|?|MP|不相符，實際上是sin??）|OP||OP|1，發(fā)現(xiàn)2【教師總結】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內如何計算自已此時離地面的高度，用數(shù)學模型h?h0?Rsint0來表示，當摩天輪轉動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應該用點P的橫坐標來代替|MP|或?|MP|，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。

第三部分——給出任意角三角函數(shù)的定義

如圖3,已知點P(x,y)為角?終邊上的點，點P到頂點O的距離為R，則

ysin??（??R）

Rxcos??（??R）

Ry?tan??（???k?）

x2【分析】：讓學生通過剛才的模型進一步體驗任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離。

問題8：當摩天輪的半徑R＝1時，三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化?！緦W生自主探究】：sin??y，cos??x，tan??y。x教師引導學生進行對比，學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化。

教師進一步給出單位圓的定義 給出下列表格，讓學生自己補充完整。三角函數(shù)

sin? 定義一：|OP|?1

y

定義二：|OP|?R

y Rx Ry x定義域

??R ??R cos?

tan?

x

y x???2?k?

及時歸納總結有利學生對所學知識的鞏固和掌握。第三部分——例題講解

例1.（課本P14例2）已知角?終邊經過點P0(?3,?4)，求角?的正弦、余弦和正切值。

【分析】：讓學生現(xiàn)學現(xiàn)賣，得用上面的定義二就可以得到答案。

5?例2.（課本P14例1）求的正弦、余弦和正

3切值。

【學生自主探究】：讓學生自己思考并獨立完成。然后與課本的解答相對比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難

OMxyP圖4點。

【教師講解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點，關鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點有沒有領會清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離），因此本題的重點之處是如何利用單位圓找到這個點P，如圖4可以知道?POM?很容易得到本題答案。

不妨讓學生取R?|OP|?4，能否也得到點P的坐標，得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學生更深刻體驗三角函數(shù)的定義。

第四部分——鞏固練習練習1.例2變式求

7?的正弦、余弦和正切值。6?13，又點P在第四象限，得到P(,?)，這樣就可以322練習2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內的三角函數(shù)值的符號?獨立完成課本P15的“探究”。

【設計意圖】：練習

1、練習2的設計與例

2、例3銜接，主要目的是幫助學生鞏固三角函數(shù)的本質特征，引導學生從定義出發(fā)利用坐標平面內的點的坐標特征自主探究三角函數(shù)的有關問題的思想方法。并在特殊情形中體會數(shù)形結合的思想方法。

第五部分——小結與作業(yè) 學生自我總結

作業(yè)：P23習題1.2A組 1,2,3

七、教學反思

上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：

1.教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設是學生熟悉的摩天輪，認知過程符合學生的認知特點和學生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。

2.情景設計的數(shù)學模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質。

3.通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內在聯(lián)系，在體驗中領悟數(shù)學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數(shù)學的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。這和課程標準的理念是一致的。

4.《標準》把發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識作為其目標之一, 在教學中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學生創(chuàng)設應用實踐的空間, 促進學生在學習和實踐過程中形成和發(fā)展數(shù)學應用意識,提高學生的直覺猜想、歸納抽象、數(shù)學地提出、分析、解決問題的能力, 發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識,使其上升為一種數(shù)學意識,自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數(shù)學模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗到從數(shù)學的角度運用學過的數(shù)學思想、數(shù)學思維、數(shù)學方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實際問題的策略, 使學生認識到數(shù)學原來就來自身邊的現(xiàn)實世界, 是認識和解決我們生活和工作中問題的有力武器, 同時也獲得了進行數(shù)學探究的切身體驗和能力。增進了他們對數(shù)學的理解和應用數(shù)學的信心。

點評

本節(jié)課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入手，引導學生嘗試探究，逐次深入引出任意角的三角函數(shù)的定義，以問題形式鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計算，結合平位圖直觀作用，使學生經歷了由淺入深，由易到難，清楚展現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的生成過程，加深了對任意角三角函數(shù)的認識。

新課程教材強調了學生的探究能力的培養(yǎng)，但不意味著每個知識點都需要人為創(chuàng)設情景加以探究，現(xiàn)實的教學由于受教學時數(shù)限制，總是希望課堂教學效率高些，任意角的三角函數(shù)的定義是否一定要創(chuàng)設情景讓學生探究？只要讓學生理解有必要引入任意角三角函數(shù)概念，然后直接下定義，從課堂教學效率而言，可能會更好些。

第五篇：全國第八屆青年數(shù)學教師優(yōu)質課教學設計：三函數(shù)角的誘導公式 Word版含答案

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課題：1.3三角函數(shù)的誘導公式(第1課時)授課教師：敦化市實驗中學 張麗梅

教材：人教A版高中數(shù)學必修4 Ⅰ．教學內容解析

本節(jié)課的教學內容是三角函數(shù)的誘導公式中的公式二至公式四，是三角函數(shù)的主要性質。前面學生已經學習了誘導公式一和任意角的三角函數(shù)的定義，在此基礎上繼續(xù)學習公式二至公式四為下節(jié)課研究公式五，公式六以及以后的三角函數(shù)求值、化簡打好基礎。三角函數(shù)的誘導公式是圓的對稱性的“代數(shù)表示”，利用對稱性，讓學生自主發(fā)現(xiàn)終邊分別關于原點或坐標軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關系，使得“數(shù)”與“形”得到緊密結合，成為一個整體.誘導公式的學習和推證過程還體現(xiàn)了三角函數(shù)之間的內部聯(lián)系，是定義的延伸與應用，在本章中起著承上啟下的作用.誘導公式的重要作用是把求任意角的三角函數(shù)值問題轉化為求0°～90°角的三角函數(shù)值.誘導公式的推導過程，體現(xiàn)了“數(shù)形結合”和復雜到簡單的“轉化”的數(shù)學思想方法，反映了從特殊到一般的歸納思維形式．對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學生的思維能力，掌握數(shù)學的思想方法具有積極的作用.本節(jié)課的重點是誘導公式的探究，即利用三角函數(shù)的定義借助單位圓，通過尋找角的終邊的對稱性與角終邊與單位圓交點的對稱性發(fā)現(xiàn)并推導出誘導公式，從而提高對數(shù)學知識之間（圓的對稱性與三角函數(shù)性質）聯(lián)系的認識。

Ⅱ．教學目標設置

1.能借助三角函數(shù)的定義及單位圓的對稱性推導出誘導公式,會利用誘導公式進行簡單的三角函數(shù)式的求值與化簡.2.學生經歷自主探究發(fā)現(xiàn)問題（任意角的三角函數(shù)值與???,???,??的三角函數(shù)值之間的內在聯(lián)系），提出研究方法（利用坐標的對稱關系，從三角函數(shù)的定義得出相應的關系式）并完成推導過程，體會數(shù)形結合及轉化思想的運用.3.在探究活動中，學生通過獨立思考和合作交流，發(fā)展思維，從探索中獲得成功的體驗，感受數(shù)學中結構的對稱美，形式的簡潔美。

Ⅲ．學生學情分析

授課班級學生敦化市實驗中學實驗班學生．

數(shù)學學習資料

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1.學生已有認知基礎

學生已經學習了三角函數(shù)的定義、各象限角的三角函數(shù)值的符號和公式一，這些內容是學生理解、歸納公式二至公式四的基礎，推導公式的關鍵是明確單位圓上對稱點的坐標關系，這一點對于實驗班的學生來說是可以獨立完成的，學生數(shù)學基礎與思維能力較好，具有一定的分析問題和解決問題的能力，初步養(yǎng)成了獨立思考、合作交流的學習習慣．

2.難點及突破策略

難點：

1、如何引導學生從單位圓的對稱性與任意角終邊的對稱性中發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法。

2、怎樣幫助學生理解公式中角?的任意性。

3、怎樣記憶公式二至公式四 突破策略：

1.教師通過復習任意角三角函數(shù)的定義先引入單位圓，引起學生對單位圓這一有效工具的注意，從總體上認識研究的目標與手段．

2.教師利用幾何畫板的演示幫助學生直觀感受?的任意性。

3.通過小組內交流，組間相互補充，展現(xiàn)思維過程后師生共同歸納概括公式的記憶方法。

Ⅳ．教學策略設計

根據(jù)學生已有學習基礎，為提升學生的學習能力，本節(jié)課的教學，采用自主學習方式．通過教師引領學生經歷誘導公式二至四的推導過程，認識研究的目標與策略，在研究的過程中逐漸完善研究的方法與手段。

本節(jié)課學生需探究的問題如下： 給定一個角?:(1)角???的終邊與角?的終邊有什么關系？它們的三角函數(shù)之間有什么關系？(2)角??的終邊與角?的終邊有什么關系？它們的三角函數(shù)之間有什么關系？(3)角???的終邊與角?的終邊有什么關系？它們的三角函數(shù)之間有什么關系？(4)誘導公式一至四的共同特征是什么，怎樣記憶更容易？

Ⅴ．教學過程設計

（一）.創(chuàng)設問題情境

師生活動：教師提問，學生思考、回答，學生口述的同時，教師板書問題的結果。

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問題1：（1）我們是怎樣利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的？

（2）終邊相同角的各三角函數(shù)之間有什么關系？

問題2: sin390°=？ 那sin570°=？

教師引導：由公式一可將sin570°化為sin210°，210°雖然在0°～360°之間可是也不能直接獲得其三角函數(shù)值，能否再把0°～360°間的角的三角函數(shù)值化為我們熟悉的

0°～90°間的角的三角函數(shù)問題呢？如果能，那么任意角三角函數(shù)求值問題都可以化歸成銳角三角函數(shù)求值，特殊的銳角有特殊值，而非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查表最終解決。這節(jié)課我們就來學習和研究解決這類問題的方法.【設計意圖】通過復習舊知，提出的新問題，引導學生進一步思考，為新知識的學習打下基礎，激起學生們的興趣.(二).探索新知，匯報交流

問題3： 你能用我們剛剛復習的方法求出sin210°嗎？

師生活動1：教師提出具體問題，學生獨立思考并回答老師的提問。

師生活動2：教師追問：390°的終邊與銳角30°角的終邊重合，那210°角的終邊與那個銳角的終邊有關系呢？它們的三角函數(shù)間又有怎樣的關系呢？

【設計意圖】教師通過問題引導，從課前提出的具體問題入手，用定義求解學生是可以想到并完成的，但借助學生熟悉的特殊角去建立30°角的終邊與210°角的終邊的位置關系，再轉化為角的終邊與單位圓交點坐標之間的關系需要教師引導，從這個過程中讓學生體會研究此類問題的思路和方法，為下一步研究任意角?和???個三角函數(shù)之間的關系做好鋪墊。

探究一：給定一個角?: 角???的終邊與角?的終邊有什么關系？它們的三角函數(shù)之間有什么關系？ 師生活動：學生進行組內探究，教師走進小組，觀察學生探究的進展，指導組內生生互助，共同完成任務。然后學生代表為全體學生講解研究過程．

經過探索，歸納成公式

------公式 二

數(shù)學學習資料

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【設計意圖】有了30°和210°角各三角函數(shù)關系的推導，學生們對問題3的研究思路和解決問題的方法有一定的認識，在此基礎上引導學生自主推導誘導公式二，讓學生體驗證明猜想的樂趣，凸顯學生學習的主體地位.問題4：公式中的角僅是銳角嗎？

引入的，之后的討論只是用代數(shù)方法換成了一般形式【設計意圖】課前提問的問題是以的角，有些同學肯定會有這樣的疑問，這也是本節(jié)課的一個教學難點，所以這個問題的解決好，就是突破難點的關鍵.師生活動：演示幾何畫板課件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相應的三角函數(shù)值，拖動其終邊上任意點，再讓學生觀察每一象限內三角函數(shù)值的符號和它們之間存在的對稱關系，從而驗證了猜想，使學生更直觀的理解了這個公式． 問題5：你知道探究二：任意角與(-與(-)終邊有怎樣的對稱性嗎？它們的三角函數(shù)之間有什么關系呢？)三角函數(shù)的關系，及

與(－)的三角函數(shù)值的關系．

經過探索，歸納成公式

-------------公式 三

【設計意圖】類比公式二的推導方法，大多數(shù)學生應該能夠完成公式三的推導及證明了，仍然設計以學生分組討論，合作學習的方式來完成探究任務的目的是在活動中借助生生互助，相互交流來培養(yǎng)學生的合作意識，讓學生感受數(shù)學中的對稱美，激發(fā)學生更積極地去尋找規(guī)律、認識規(guī)律.探究三：如果兩角的終邊關于y軸對稱，那么這兩個角之間有什么關系？

它們的三角函數(shù)之間又有什么關系？

----------公式 四

師生活動：教師展示學生的研究成果，學生敘述其研究過程，教師板書公式四。

【設計意圖】借助終邊關于y軸對稱找出兩角的關系要比終邊關于原點，x軸對稱難度找兩角的關系大一點，前面已經有了兩次探究的體驗，研究問題的思路學生已經清楚了，只要能找出終邊關于y軸對稱的兩角的最簡表示形式即?與???，公式四的推導就會水到渠成。數(shù)學學習資料

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在此過程中充分調動學生學習的積極性和激發(fā)學生的參與、探究和體驗的欲望，讓他們既動腦又動手，讓學生體驗數(shù)與形的關系，嘗試自主探究的樂趣.師生活動：教師提問，學生思考并回答問題。

問題6：除了再次利用單位圓的對稱性推導公式三公式四外，你還有其他方法嗎？ 【教學預設】在類比公式二的推導方法完成公式三和公式四的推導及證明（圖形中點的對稱——幾何角度）后繼續(xù)拓展學生的思維，利用?角的任意性結合角的整體代換的思想（代數(shù)角度）由公式二，三可以得到公式四，這也是對剛剛獲取的新公式的一次應用，作為實驗班的學生應該有這樣的想法。另外借助三角函數(shù)線也可以完成這幾組公式的推導，教師作適當點撥，引導有興趣的學生課下繼續(xù)研究。

(三)總結概括新結論

師生活動：教師利用PPT將公式一至公式四一起展示在屏幕上，為總結概括公式的特征和記憶的方法做好準備。

三角函數(shù)的誘導公式 公式一：公式二：公式三：公式四：說明：公式中的指使公式兩邊有意義的任意一個角．

探究四：誘導公式一至四的共同特征，歸納記憶方法 問題7：你能概括一下公式一、二、三、四的共同特征嗎？

師生活動：教師提醒學生從三角函數(shù)名稱和式子的符號兩方面總結概括公式一、二、三、四的特征。的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.公式特點：“函數(shù)名不變，符號看象限”

【設計意圖】訓練學生的概括能力，但是學生未必能總結出十字口訣，教師要適時引導和提醒。

(四)鞏固應用 例1 求下列三角函數(shù)值：

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師生活動：學生板書，教師巡視，糾正錯誤．

（1）；（2）；（3）；（4）

分析：先將不是0～范圍內角的三角函數(shù)，轉化為0～范圍內的角的三角函數(shù)（利用誘導公式一）或先將負角轉化為正角然后再用誘導公式化到～值.范圍內角的三角函數(shù)的解：（1）．

（2）．

（3）（4）

．

=．

【設計意圖】在得到誘導公式后，在此讓學生獨立去實踐解決問題，在實踐中體會誘導公式在解題過程中的應用，使任意一個角都轉化為他們所熟知的銳角，體會從未知到已知的化歸思想，從而為總結出解題的一般步驟奠定基礎.問題8：用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般步驟是什么？（學生大膽說，互相討論后師生共同歸納結論）

(五)課堂小結

問題9 ：通過這節(jié)課的學習，大家有什么收獲嗎？主要提示從以下三方面

（由學生完成）

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【設計意圖】通過提問的形式，引導學生概括歸納已有知識，形成知識體系；深化對誘導公式內涵和實質的理解，挖掘知識形成過程中所體現(xiàn)歸納和轉化的思想方法，培養(yǎng)學生的抽象概括能力．

（六）作業(yè)布置：

1．27頁練習1、2、3（其中1題直接在書上填空）

2、已知cos(75???）?1，求cos(105???)的值3（選做）

3．思考題(預習作業(yè))給定一個角，終邊與角的終邊關于直線

對稱的角與角

有什么關系？它們的三角函數(shù)之間有什么關系？能否證明？

【設計意圖】通過分層次布置作業(yè)，鞏固本課所學知識，檢測運用所學知識解決問題的能力也讓學有余力的同學“吃得飽”，思考題的設置為了下節(jié)課學習公式五、六做預習準備的.教會學生利用所學知識進行數(shù)學學習，這是本節(jié)內容的一個提高與拓展.數(shù)學學習資料