第一篇：基于APOS理論的函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

一、概念同化教學(xué)與APOS 理論

高中新課程實(shí)行已經(jīng)有四年多了，然而目前，相當(dāng)多教師仍然采取傳統(tǒng)的概念同化教學(xué)方式，其教學(xué)步驟為[1]：(1)揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號(hào);(2)對(duì)概念進(jìn)行特殊分類(lèi)，揭示概念的外延;(3)鞏固概念，利用概念的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的識(shí)別活動(dòng);(4)概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問(wèn)題，并建立所學(xué)概念與其它概念間的聯(lián)系。

這種教學(xué)方式有其精妙之處，但是過(guò)快的抽象過(guò)程只能有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。事實(shí)上，概念的同化教學(xué)對(duì)幫助學(xué)生構(gòu)建良好的概念圖式、原理圖式，作用十分有限。因?yàn)樾睦硪饬x是不能傳授的，必需由學(xué)生自我構(gòu)建，不能由教師代替學(xué)生操作、思考、體驗(yàn)。

美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家 Ed.Dubinsky認(rèn)為：一個(gè)人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的，更確切地說(shuō),人們透過(guò)心智結(jié)構(gòu)(mental structure)使所學(xué)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義。如果一個(gè)人對(duì)于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個(gè)概念。反之，如果他無(wú)法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要建構(gòu)心智結(jié)構(gòu)，這一建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷以下4個(gè)階段[2]：

二、基于APOS理論的函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

從數(shù)學(xué)教育的研究?jī)?nèi)容來(lái)看，關(guān)于代數(shù)內(nèi)容已經(jīng)逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心了[3]。函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一。函數(shù)概念本身不好理解。國(guó)外關(guān)于函數(shù)教學(xué)的研究表明了這一點(diǎn)斯法德調(diào)查了60 名16 歲和18 歲的學(xué)生，結(jié)論是大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為函數(shù)的概念是個(gè)過(guò)程而不是靜止的結(jié)構(gòu)。中國(guó)學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)的研究，見(jiàn)文獻(xiàn)[4].可見(jiàn)，函數(shù)確實(shí)成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一。函數(shù)的教學(xué)在我國(guó)設(shè)置成螺旋式的教學(xué)，初中是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)。例如，對(duì)于函數(shù)

如果用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去看它，就不好解釋?zhuān)@得牽強(qiáng)。但如果用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來(lái)解釋?zhuān)褪肿匀?。筆者在浙江省義烏市第三中學(xué)陳向陽(yáng)老師設(shè)計(jì)的《函數(shù)的概念》基礎(chǔ)上進(jìn)行思考，嘗試用APOS理論來(lái)設(shè)計(jì)高中函數(shù)概念的教學(xué)。

(一)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引出課題

教師提出問(wèn)題1：

我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，它是如何定義的呢?在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些函數(shù)?(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上出示投影)

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些具體的函數(shù)，那么為什么還要學(xué)習(xí)函數(shù)呢?先請(qǐng)同學(xué)們思考下面的問(wèn)題：

問(wèn)題2：由上述定義你能判斷y=1是否表示一個(gè)函數(shù)?函數(shù)y=x與函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)嗎?

學(xué)生思考、討論后，教師點(diǎn)撥：僅用上述函數(shù)概念很難回答這些問(wèn)題，我們需要從新的角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)概念。

(二)生活實(shí)例演示，操作練習(xí)[活動(dòng)(A)]

問(wèn)題3：下圖中哪幾個(gè)圖像與下述三件事分別吻合得最好?請(qǐng)你為剩下的那個(gè)圖像寫(xiě)出一件事.(1)我離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本可能忘在家里了，于是停下來(lái)找，沒(méi)找到，就返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué);

(2)我騎著車(chē)一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間;

(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來(lái)為了趕時(shí)間開(kāi)始加速.活動(dòng)小結(jié)：每一個(gè)時(shí)刻，按照?qǐng)D像，都有唯一確定的距離與它對(duì)應(yīng)。

(三)借助信息技術(shù)，討論歸納[過(guò)程(P)]

師：(實(shí)例1)演示動(dòng)畫(huà)，用《幾何畫(huà)板》動(dòng)態(tài)地顯示炮彈高度關(guān)于炮彈發(fā)射時(shí)間的函數(shù)。啟發(fā)學(xué)生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系：在的變化范圍內(nèi)，任給一個(gè)，按照給定的解析式，都有唯一的一個(gè)高度與之相對(duì)應(yīng)。

生：用計(jì)算器計(jì)算，然后用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系。

師：(實(shí)例2)引導(dǎo)學(xué)生看圖，并啟發(fā)：在的變化范圍內(nèi)，任給一個(gè)t，按照給定的圖象，都有唯一的一個(gè)臭氧空洞面積與之相對(duì)應(yīng)。

生：動(dòng)手測(cè)量，然后用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系。

師生：(實(shí)例3)共同讀表，然后用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系。

(四)從特殊到一般，引出函數(shù)概念[對(duì)象(O)]

問(wèn)題4：分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例，它們有什么共同特點(diǎn)?

生：分組討論三個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)，然后歸納出函數(shù)定義，并在全班交流。

師生：由學(xué)生概括，教師補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生歸納出三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系均可描述為：

對(duì)于數(shù)集中的每一個(gè)，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集中都有唯一確定的與它對(duì)應(yīng)，記作

教師強(qiáng)調(diào)指出僅僅是數(shù)學(xué)符號(hào)。為了更好地理解函數(shù)符號(hào)的含義，教師提出下一個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題5：一定就是函數(shù)的解析式嗎?

師生：函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的方法。

問(wèn)題6：函數(shù)能否看做是兩個(gè)集合之間的一種對(duì)應(yīng)呢?如果能，怎樣給函數(shù)重新下一個(gè)定義呢?(在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師歸納總結(jié))

補(bǔ)充練習(xí)：下列圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是()

例1.已知函數(shù)，(1)求函數(shù)、的定義域;

(2)求的值;

(3)當(dāng)時(shí)，求的值。

(4)求

(5)求

讓學(xué)生思考，并提問(wèn)個(gè)別學(xué)生。

師問(wèn)：怎樣求函數(shù)的定義域?

追問(wèn)：與有何區(qū)別與聯(lián)系? 點(diǎn)撥：表示當(dāng)自變量時(shí)函數(shù)的值，是一個(gè)常量，而是自變量的函數(shù)，它是一個(gè)變量，是的一個(gè)特殊值。

追問(wèn)：如何求，又如何求一般情況的?

具體地，可以將2帶入函數(shù)求出具體值，再代入求出函數(shù)值。

對(duì)于抽象的，應(yīng)該將看成一個(gè)整體，帶入的解析式，求出的解析式。

問(wèn)題7：函數(shù)的三要素是什么?

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則。在函數(shù)的三要素中，當(dāng)其中的兩要素已確定時(shí)，則第三個(gè)要素也就隨之確定了。如當(dāng)函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)法則已確定，則函數(shù)的值域也就確定了。

追問(wèn)：如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同?

以學(xué)生已解決的問(wèn)題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再次引發(fā)學(xué)生在構(gòu)建自身基礎(chǔ)上的再創(chuàng)造，并通過(guò)獨(dú)立思考后的討論，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問(wèn)題、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流溝通的能力。

例2.下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)相等?

(1)

(2)

(3)

(4)

師問(wèn)：判斷函數(shù)相等的依據(jù)是什么?

變式：若改(2)為呢?

思考：你能舉出一些函數(shù)相等的具體例子嗎?

啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、交流，教師歸納總結(jié)出函數(shù)的要點(diǎn)：

1.函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)非空數(shù)集到非空數(shù)集的對(duì)應(yīng);

2.函數(shù)的核心是對(duì)應(yīng)法則，通常用記號(hào)表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，在不同的函數(shù)中，的具體含義不一樣。函數(shù)記號(hào)表明，對(duì)于定義域的任意一個(gè)在對(duì)應(yīng)法則的作用下，即在中可得唯一的.當(dāng)在定義域中取一個(gè)確定的，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為.集合中并非所有的元素在定義域中都有元素和它對(duì)應(yīng);值域;

3.函數(shù)符號(hào)

的說(shuō)明：

(1)即為是的函數(shù)的符號(hào)表示;(2)不一定能用解析式表示;(3)與是不同的，通常，表示函數(shù)

當(dāng)時(shí)的函數(shù)值;(4)在同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)函數(shù)時(shí)，常用不同符號(hào)表示不同的函數(shù)，除用符號(hào)外，還常用、、等符號(hào)來(lái)表示。

4.定義域是函數(shù)的重要組成部分，如與是不同的兩個(gè)函數(shù)。

(五)借助熟悉的函數(shù)，加深對(duì)函數(shù)概念的理解[圖式(S)]

問(wèn)題8：集合A(A=R)到集合B(B=R)的對(duì)應(yīng)：

: AB，使得集合B中的元素與集合A中的元素對(duì)應(yīng)，如何表示這個(gè)函數(shù)?定義域和值域各是什么?函數(shù)呢?函數(shù)呢?

教師演示動(dòng)畫(huà)，用《幾何畫(huà)板》顯示這三種函數(shù)的動(dòng)態(tài)圖象，啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，并請(qǐng)同學(xué)們思考之后填寫(xiě)下表：

函數(shù)

一次函數(shù)

反比例函數(shù)

二次函數(shù)

對(duì)應(yīng)關(guān)系

a＞0 a＜0

定義域

值域

用函數(shù)的定義去解釋學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，使得對(duì)函數(shù)的描述性定義上升到集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)的定義。同時(shí)利用信息技術(shù)工具畫(huà)出函數(shù)的圖象，是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)與形結(jié)合在理解函數(shù)中的作用，更好地幫助理解上述函數(shù)的三個(gè)要素，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，進(jìn)一步挖掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的聯(lián)系。明確定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是決定函數(shù)的三要素，這是一個(gè)整體，以此更好地培養(yǎng)學(xué)生深層次思考問(wèn)題的習(xí)慣。

(六)再創(chuàng)情境，引導(dǎo)探究函數(shù)概念的新認(rèn)識(shí)[圖式(S)]

問(wèn)題9：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義(即初中課本函數(shù)的定義)的異同點(diǎn)，你對(duì)函數(shù)有什么新的認(rèn)識(shí)?

學(xué)生思考、討論，教師點(diǎn)撥：函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實(shí)質(zhì)上是一致的，兩個(gè)定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個(gè)定義中的對(duì)應(yīng)法則實(shí)際上也一樣，只不過(guò)敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義的對(duì)應(yīng)法則是從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)。

問(wèn)題10：學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，反思對(duì)問(wèn)題2的解答，重新思考問(wèn)題2，談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)。教師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，以形求數(shù)。

師生：是函數(shù);與不是同一個(gè)函數(shù)。

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題2進(jìn)行反思和總結(jié)，并將之一般化，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生反思問(wèn)題、總結(jié)歸納的習(xí)慣和善于運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的能力。

(七)舉例應(yīng)用，深化目標(biāo)[圖式(S)]

例3.已知函數(shù)

(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象;(2)求的值;(3)你從(2)中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?(4)求函數(shù)的值域。

為了讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般的思想方法，同時(shí)也后面研究函數(shù)的性質(zhì)(奇函數(shù))作準(zhǔn)備。

教師引導(dǎo)學(xué)生解決此題的關(guān)鍵點(diǎn)，并進(jìn)行變式：

變式1：已知，① 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域;

② 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域。

變式2：已知，① 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域;② 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域。

變式3：(1)已知，求的值。(2)已知，求函數(shù).變式4：已知，求①的解析式;②

的解析式;③的解析式。

以一個(gè)問(wèn)題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現(xiàn)梯度，使不同程度的學(xué)生都有發(fā)展。通過(guò)一組精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈來(lái)引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的能力，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)。借助三個(gè)變式層層深入，是理論到實(shí)踐的升華，使概念深化、強(qiáng)化、類(lèi)化的作用與含義印入心底，得到再次認(rèn)同，初步掌握與應(yīng)用能力也就自然形成了。

(八)練習(xí)交流，反饋鞏固

以學(xué)生回答、板演的形式進(jìn)行課堂練習(xí)，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動(dòng)，以教師、學(xué)生相互交流來(lái)鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)。(九)學(xué)生歸納小結(jié)，教師評(píng)價(jià)

以同桌之間一人小結(jié)一人傾聽(tīng)的方式，以四人為一小組進(jìn)行小組討論，對(duì)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行自主小結(jié)，教師及時(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)：1.函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點(diǎn);2.集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別;3.函數(shù)的三要素;4.數(shù)形結(jié)合的思想。

三、幾點(diǎn)啟示

APOS理論對(duì)學(xué)生的函數(shù)概念的理解作出了分層分析，可以預(yù)測(cè)學(xué)生已經(jīng)在多大程度上對(duì)性質(zhì)作出了心理建構(gòu)，從而推知學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的掌握起點(diǎn)。基于APOS理論的理念設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)性質(zhì)教學(xué)，實(shí)質(zhì)是以學(xué)生為主體的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有利于學(xué)生理解函數(shù)的概念。

教學(xué)中教師要關(guān)注數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，更重要的是要關(guān)注課堂上學(xué)生的掌握概念的思維狀況，將數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生探究活動(dòng)有機(jī)結(jié)合，要求教師要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生親身創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。數(shù)學(xué)教師要意識(shí)到：一個(gè)數(shù)學(xué)概念由過(guò)程到對(duì)象的建立, 有時(shí)既困難又漫長(zhǎng), 需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù),循序漸進(jìn),螺旋上升, 直至學(xué)生真正理解,對(duì)象的建立要注意簡(jiǎn)練的文字形式和符號(hào)表示,使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀結(jié)構(gòu)形象。

學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)不是一蹴而就的，這就要要教師在教學(xué)過(guò)程中整體處理教材，把握教學(xué)的度，結(jié)合具體的問(wèn)題有意識(shí)地在各個(gè)階段的學(xué)習(xí)過(guò)程中，幫助學(xué)生逐步形成函數(shù)完整的知識(shí)鏈。在往后的教學(xué)中要注意學(xué)生對(duì)知識(shí)的圖式的建立, 即加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系和應(yīng)用,如在講解具體的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時(shí)，可以以具體函數(shù)為載體，在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行研究，體現(xiàn)了具體──抽象──具體的過(guò)程，是函數(shù)概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應(yīng)用后，可以與函數(shù)相結(jié)合，進(jìn)行對(duì)比，從而加深對(duì)函數(shù)概念的理解，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)知識(shí)的心理圖式。

當(dāng)然，APOS 理論的四個(gè)階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中, 也不是每一課都必須遍歷四個(gè)階段, 它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時(shí)期,并不局限于某一堂課。比如，函數(shù)圖式的形成是需要一個(gè)長(zhǎng)期實(shí)踐與反思。有些學(xué)生需要在接觸了大量的具體的函數(shù)模型以后，甚至在學(xué)習(xí)了函數(shù)的復(fù)合、微分、積分以后，才能漸漸地實(shí)現(xiàn)從過(guò)程到對(duì)象的理解，再由對(duì)象到圖式的發(fā)展。作為老師，我們應(yīng)該理解學(xué)生的實(shí)際，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，也是允許學(xué)生有折返的現(xiàn)象。

第二篇：基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

銳角三角函數(shù)概念基于APOS理論教學(xué)設(shè)計(jì)

張?jiān)菩?/p>

上課開(kāi)始，出示兩個(gè)傾斜角不同的斜面（圖

1、圖2）.圖1

圖2 操作階段: AB

物體在兩個(gè)不同傾斜角的斜面上前進(jìn)的距離都是a，圖1中的角A為600，圖2中的角B為300，觀察和測(cè)量各自對(duì)邊的值.繼續(xù)操作.在角A（圖

3、圖4）邊上任意取一點(diǎn)B，作BC?AC，垂足為點(diǎn)C，計(jì)算BCACBC、、的值，并將所得的結(jié)果與其他同學(xué)所得的結(jié)果做比較.ABABACBBAABDC

AC

CE

圖3

圖4

圖5 通過(guò)上面兩個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生從特殊的角度中去計(jì)算出線段的比值，為三角函數(shù)概念做鋪墊.其中活動(dòng)1是學(xué)生最熟悉的特殊角30，活動(dòng)2是非特殊角50，要通過(guò)度量再計(jì)算，通過(guò)比較得到相等的結(jié)論.讓學(xué)生初步感悟到這三個(gè)比值與點(diǎn)B的位置無(wú)關(guān)，那么與什么有關(guān)呢？

程序階段: 一般地問(wèn)，若圖3和圖4中的兩個(gè)AB相等，那么

00BCACBC、、還相等嗎？ ABABAC很容易得到結(jié)果——不相等.目的是讓學(xué)生體會(huì)到比值與角度有關(guān).然后就可以進(jìn)入程序性的思考.如圖5，B、D是??一邊上的任意兩點(diǎn)，作BC?AC，垂足為點(diǎn)C，DE?AE,垂足為點(diǎn)E,判斷比值

BCDEACAEBCDE與、與、與是否相等，并說(shuō)ADADABABACAE明理由.通過(guò)相似三角形很容易得到它們的比值都相等.本活動(dòng)的目的是讓學(xué)生確認(rèn)這三個(gè)比值與角度有關(guān).隨著角度的變化，比值也變化，所以根據(jù)函數(shù)的概念就可以得到這三個(gè)比值是角度的函數(shù)，而這個(gè)函數(shù)就是三角函數(shù)，水到渠成地得出三級(jí)哦啊函數(shù)的概念.通過(guò)上述三個(gè)活動(dòng)，學(xué)生就初步內(nèi)化為三角函數(shù)的這個(gè)“程序”，形成了三角函數(shù)的特征：一是三角函數(shù)是比值；二是三角函數(shù)的值與角度有關(guān).對(duì)象階段: 這時(shí)，三角比，例如正弦，符號(hào)sin，成為獨(dú)立的對(duì)象.我們可以離開(kāi)程序直接進(jìn)行運(yùn)算，例如sinA?cos(900?A)，sin2A?cos2A?1，等等.在運(yùn)算過(guò)程中，正弦、余弦都是獨(dú)立的對(duì)象，不再有三角比的過(guò)程了.圖式階段: 這是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過(guò)程，在以后高中階段通過(guò)對(duì)三角函數(shù)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)后，三角函數(shù)在腦海里儲(chǔ)備的是正弦、余弦、正切、余切等的總稱，它們的圖像，彼此間的恒等變換，與“波”的關(guān)系等，那是一個(gè)豐富的有組織的結(jié)構(gòu).這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)是按照完全A—P—O—S的順序來(lái)進(jìn)行的，但是在有些概念教學(xué)過(guò)程中，我們有“開(kāi)門(mén)見(jiàn)山”的教學(xué)設(shè)計(jì)，所以對(duì)于概念性知識(shí)的教學(xué)我們也可以試著用O—A—P—S的順序來(lái)進(jìn)行.也就是說(shuō)，首先把三角比當(dāng)做一個(gè)“對(duì)象”出示，然后再慢慢通過(guò)操作加以理解.下面是一個(gè)新的設(shè)計(jì).上課開(kāi)始時(shí)，出示本節(jié)課的題目：銳角三角函數(shù).問(wèn)題1：本節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)研究“銳角三角函數(shù)”，請(qǐng)問(wèn)在這個(gè)課題中，你對(duì)什么，內(nèi)容比較熟悉？

學(xué)生：銳角、三角、函數(shù).（學(xué)生說(shuō)的三角是指三角形）.問(wèn)題2：我們學(xué)過(guò)的函數(shù)有哪些？

學(xué)生：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)共4個(gè).問(wèn)題3：函數(shù)的定義是什么？

學(xué)生：在某一變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x，y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)y是x的函數(shù).以上的目的是為后面引出三角函數(shù)的概念做鋪墊.教師：三角函數(shù)是初中學(xué)習(xí)的第五個(gè)函數(shù)，它到底是什么？具有那些性質(zhì)？有怎樣的應(yīng)用？現(xiàn)在我們開(kāi)始學(xué)習(xí)研究.這樣做的目的是提示學(xué)生就進(jìn)行聯(lián)想類(lèi)比.原來(lái)學(xué)過(guò)的有四種函數(shù)，現(xiàn)在的三角函數(shù)布置會(huì)是什么？從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，到最后學(xué)習(xí)完成，就成了學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程.在操作階段，我們也可以有另外的設(shè)計(jì)面BC上，梯子在墻面上的投影為BC，向上的折扣率

?3?:如圖6，現(xiàn)有一梯子DE斜靠在一豎直的墻

CE是DE在豎直方向上的折扣率，我們把豎直方DECE成為?EDC的正弦函數(shù).然后進(jìn)行相關(guān)的符號(hào)、書(shū)寫(xiě)的介紹.DEBEADC

圖6

折扣概念是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，由此入手，更能使學(xué)生接受新知識(shí).既然正弦函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)折扣率，正如商品打折，打幾折，就是原商品的價(jià)格乘以零點(diǎn)幾.因?yàn)檎劭勐实娜≈捣秶窃?~1之間，所以銳角的正弦函數(shù)的取值范圍也在0~1之間.x.當(dāng)折扣確定時(shí)，商品的實(shí)際價(jià)格與原10價(jià)格就有了正比例的關(guān)系.同樣在圖6的Rt?CDE中，DE相當(dāng)于商品的原價(jià)，CE相當(dāng)于

CECE?sin?EDC.商品打折后的實(shí)際價(jià)格，即sin?EDC，相當(dāng)于折扣率，就有

DEDE商品打幾折（x折），那就是商品的原價(jià)乘以我們是先給出的對(duì)象，這樣可以使學(xué)生一目了然地了解本節(jié)課的重點(diǎn)，然后再由針對(duì)性的進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，亦即活動(dòng)，通過(guò)活動(dòng)來(lái)達(dá)到程序的境界，最終深刻理解銳角三角函數(shù)的概念，形成自己的圖式.

第三篇：基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)：銳角三角函數(shù)概念

145413 霍思達(dá) 摘要：APOS理論是近年來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論.他將數(shù)學(xué)概念的建立分為四個(gè)階段：Action,Process,Object,Scheme，并用于指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐.早期APOS理論只是被用在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，現(xiàn)在該理論正逐步地滲透于我們的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中.本文首先談了對(duì)APOS理論的認(rèn)識(shí)，然后通過(guò)銳角三角函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試了一下APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：APOS理論；數(shù)學(xué)概念；教學(xué)設(shè)計(jì)；銳角三角函數(shù)

任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都應(yīng)該致力于對(duì)“學(xué)生是如何學(xué)數(shù)學(xué)的”及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)”的理解，而不僅僅是陳述一些事實(shí).基于這樣的考慮，杜賓斯基等人建立了APOS理論—一個(gè)可以促進(jìn)我們有效教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理論.從20世紀(jì)90年代起，APOS理論就被介紹到我國(guó)的數(shù)學(xué)教育界，它是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而建立的教學(xué)理論，因此，對(duì)這樣的理論進(jìn)行深入的研究是十分有意義的.我國(guó)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)大多采用“屬+種差”的概念同化方式進(jìn)行，這種教學(xué)過(guò)程雖然簡(jiǎn)明，但卻忽視了許多數(shù)學(xué)概念具有過(guò)程—對(duì)象的雙重性.近年來(lái)，相關(guān)學(xué)者的研究結(jié)果表明，將APOS理論應(yīng)用到我們的概念教學(xué)中可以彌補(bǔ)我們一以前那種概念教學(xué)方式的缺點(diǎn).什么是APOS理論？

APOS理論是20世紀(jì)80年代末至90年代初由美國(guó)的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論.杜賓斯基認(rèn)為，一個(gè)人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的.更確切地說(shuō)，人們透過(guò)心智結(jié)構(gòu)（mental structure）使所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義.如果一個(gè)人對(duì)于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個(gè)概念.相反的，如果一個(gè)人無(wú)法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的.因此，教學(xué)的目的就在于如何幫助學(xué)生建立適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu).杜賓斯基等人認(rèn)為，APOS理論可以看做是對(duì)皮亞杰的“反思性抽象（reflective abstraction）”的擴(kuò)展.APOS理論的一個(gè)基本假設(shè)是：數(shù)學(xué)知識(shí)是個(gè)體在解決所感知到的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中獲得的，在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體依序建構(gòu)了心理活動(dòng)（actions）、程序（processes）和對(duì)象（objects），最終組織成用以理解問(wèn)題情境的圖式結(jié)構(gòu)（schemas）.根據(jù)APOS理論，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷以下的四個(gè)階段?2??1?：

活動(dòng)（actions）階段.“活動(dòng)”是指?jìng)€(gè)體通過(guò)一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象.例如在理解函數(shù)概念時(shí)需要活動(dòng)或操作，對(duì)于y?x2，需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對(duì)應(yīng)：2?4;3?9;4?16;5?25;??通過(guò)操作活動(dòng)理解函數(shù)的意義.程序（processes）階段.當(dāng)“活動(dòng)”經(jīng)過(guò)多次重復(fù)而被個(gè)體熟悉后，就可以內(nèi)化為一種稱之為“程序（processes）”的心理操作.有了這種“程序”，個(gè)體就可以想象這個(gè)“活動(dòng)”，而不需要通過(guò)外部的刺激；他可以在頭腦中實(shí)施這個(gè)程序，而不需要具體操作；進(jìn)而，他還可以對(duì)這個(gè)程序進(jìn)行逆轉(zhuǎn)以及與其他程序進(jìn)行組合.例如把上述例子中的操作活動(dòng)綜合為一個(gè)函數(shù)過(guò)程.一般地有x?x2;其他的各種函數(shù)也可以概括為一般的對(duì)應(yīng)過(guò)程x?f(x).對(duì)象（objects）階段.當(dāng)個(gè)體能夠把“程序”作為一個(gè)整體進(jìn)行操作時(shí)，這一程序就變成了一種心理“對(duì)象（objects）”.接著上面的例子，然后可以把函數(shù)過(guò)程當(dāng)作一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象來(lái)處理，比如函數(shù)的加減乘除、符合運(yùn)算等.在表達(dá)式f(x)?g(x)中，函數(shù)f(x)和g(x)都是作為一個(gè)整體對(duì)象出現(xiàn)的.最后是“圖式（或者說(shuō)圖式結(jié)構(gòu)，schema）”.一個(gè)數(shù)學(xué)概念的“圖式”是指由相應(yīng)的“活動(dòng)”、“程序”、“對(duì)象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架，它可以用以解決與這個(gè)概念相關(guān)的問(wèn)題.按照杜賓斯基的解釋?zhuān)鲜鏊膫€(gè)成分中，“活動(dòng)”、“程序”和“對(duì)象”也可以看作是數(shù)學(xué)知識(shí)的三種狀態(tài)，而“圖式”則是由這三種知識(shí)構(gòu)成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)（cottrill,et al.,1996）.此外，上述四種成分的排列雖然在理論上具有一種等級(jí)結(jié)構(gòu)，也就是說(shuō)，一般情況下前一成分的建構(gòu)是后一成分的基礎(chǔ)，但實(shí)際上，個(gè)體對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解并不一定遵循這種線性的途徑.例如函數(shù)函數(shù)概念，學(xué)習(xí)者一開(kāi)始的“活動(dòng)”是把函數(shù)看作一個(gè)簡(jiǎn)單的公式，其中含有一些可以運(yùn)算和賦值的字母變量；隨后，函數(shù)被看作是一種可以“輸入—輸出”的機(jī)器（函數(shù)機(jī)），于是得到了初步的“程序”.但是當(dāng)學(xué)生遇到更為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，往往又回到了“活動(dòng)”階段，并在“活動(dòng)”的基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步完善了函數(shù)“程序”.如此經(jīng)過(guò)多個(gè)循環(huán)之后，學(xué)生才最終形成明確而完整的函數(shù)“對(duì)象”

?4?.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度分析，APOS理論的四個(gè)學(xué)習(xí)層次是合理的，反應(yīng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程中真實(shí)的思維活動(dòng).其中的“活動(dòng)階段”是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過(guò)“活動(dòng)”讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系.“程序階段”是學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過(guò)程，學(xué)生在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì);“對(duì)象階段”是通過(guò)前面的抽象認(rèn)識(shí)到了概念本質(zhì)，對(duì)其賦予形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中一次為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng)；“圖式階段”的形成是要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)一步完善，起初的圖式包含反應(yīng)概念的特例、抽象過(guò)程、定義及符號(hào)，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心智結(jié)構(gòu).銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

上課開(kāi)始，出示兩個(gè)傾斜角不同的斜面（圖

1、圖2）.圖1

圖2 AB操作階段: 物體在兩個(gè)不同傾斜角的斜面上前進(jìn)的距離都是a，圖1中的角A為60，圖2中的角B為30，觀察和測(cè)量各自對(duì)邊的值.繼續(xù)操作.在角A（圖

3、圖4）邊上任意取一點(diǎn)B，作BC?AC，垂足為點(diǎn)C，計(jì)算00BCACBC、、的值，并將所得的結(jié)果與其他同學(xué)所得的結(jié)果做比較.ABABACBBAABDCACCE

圖3

圖4

圖5 通過(guò)上面兩個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生從特殊的角度中去計(jì)算出線段的比值，為三角函數(shù)概念做鋪墊.其中活動(dòng)1是學(xué)生最熟悉的特殊角30，活動(dòng)2是非特殊角50，要通過(guò)度量再計(jì)算，通過(guò)比較得到相等的結(jié)論.讓學(xué)生初步感悟到這三個(gè)比值與點(diǎn)B的位置無(wú)關(guān)，那么與什么有關(guān)呢？

程序階段: 一般地問(wèn)，若圖3和圖4中的兩個(gè)AB相等，那么

00BCACBC、、還相等嗎？ ABABAC很容易得到結(jié)果——不相等.目的是讓學(xué)生體會(huì)到比值與角度有關(guān).然后就可以進(jìn)入程序性的思考.如圖5，B、D是??一邊上的任意兩點(diǎn)，作BC?AC，垂足為點(diǎn)C，DE?AE,垂足為點(diǎn)E,判斷比值

BCDEACAEBCDE與、與、與是否相等，并說(shuō)ADADABABACAE明理由.通過(guò)相似三角形很容易得到它們的比值都相等.本活動(dòng)的目的是讓學(xué)生確認(rèn)這三個(gè)比值與角度有關(guān).隨著角度的變化，比值也變化，所以根據(jù)函數(shù)的概念就可以得到這三個(gè)比值是角度的函數(shù)，而這個(gè)函數(shù)就是三角函數(shù)，水到渠成地得出三級(jí)哦啊函數(shù)的概念.通過(guò)上述三個(gè)活動(dòng)，學(xué)生就初步內(nèi)化為三角函數(shù)的這個(gè)“程序”，形成了三角函數(shù)的特征：一是三角函數(shù)是比值；二是三角函數(shù)的值與角度有關(guān).對(duì)象階段: 這時(shí)，三角比，例如正弦，符號(hào)sin，成為獨(dú)立的對(duì)象.我們可以離開(kāi)程序直接進(jìn)行運(yùn)算，例如sinA?cos(900?A)，sinA?cosA?1，等等.在運(yùn)算過(guò)程中，正弦、余弦都是獨(dú)立的對(duì)象，不再有三角比的過(guò)程了.圖式階段: 這是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過(guò)程，在以后高中階段通過(guò)對(duì)三角函數(shù)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)后，三角函數(shù)在腦海里儲(chǔ)備的是正弦、余弦、正切、余切等的總稱，它們的圖像，彼此間的恒等變換，與“波”的關(guān)系等，那是一個(gè)豐富的有組織的結(jié)構(gòu).這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)是按照完全A—P—O—S的順序來(lái)進(jìn)行的，但是在有些概念教學(xué)過(guò)程中，我們有“開(kāi)門(mén)見(jiàn)山”的教學(xué)設(shè)計(jì)，所以對(duì)于概念性知識(shí)的教學(xué)我們也可以試著用O—A—P—S的順序來(lái)進(jìn)行.也就是說(shuō)，首先把三角比當(dāng)做一個(gè)“對(duì)象”出示，然后再慢慢通過(guò)操作

22加以理解.下面是一個(gè)新的設(shè)計(jì).上課開(kāi)始時(shí)，出示本節(jié)課的題目：銳角三角函數(shù).問(wèn)題1：本節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)研究“銳角三角函數(shù)”，請(qǐng)問(wèn)在這個(gè)課題中，你對(duì)什么，內(nèi)容比較熟悉？

學(xué)生：銳角、三角、函數(shù).（學(xué)生說(shuō)的三角是指三角形）.問(wèn)題2：我們學(xué)過(guò)的函數(shù)有哪些？

學(xué)生：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)共4個(gè).問(wèn)題3：函數(shù)的定義是什么？

學(xué)生：在某一變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x，y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)y是x的函數(shù).以上的目的是為后面引出三角函數(shù)的概念做鋪墊.教師：三角函數(shù)是初中學(xué)習(xí)的第五個(gè)函數(shù)，它到底是什么？具有那些性質(zhì)？有怎樣的應(yīng)用？現(xiàn)在我們開(kāi)始學(xué)習(xí)研究.這樣做的目的是提示學(xué)生就進(jìn)行聯(lián)想類(lèi)比.原來(lái)學(xué)過(guò)的有四種函數(shù)，現(xiàn)在的三角函數(shù)布置會(huì)是什么？從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，到最后學(xué)習(xí)完成，就成了學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程.在操作階段，我們也可以有另外的設(shè)計(jì)面BC上，梯子在墻面上的投影為BC，向上的折扣率

?3?:如圖6，現(xiàn)有一梯子DE斜靠在一豎直的墻

CE是DE在豎直方向上的折扣率，我們把豎直方DECE成為?EDC的正弦函數(shù).然后進(jìn)行相關(guān)的符號(hào)、書(shū)寫(xiě)的介紹.DEBEADC

圖6

折扣概念是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，由此入手，更能使學(xué)生接受新知識(shí).既然正弦函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)折扣率，正如商品打折，打幾折，就是原商品的價(jià)格乘以零點(diǎn)幾.因?yàn)檎劭勐实娜≈捣秶窃?~1之間，所以銳角的正弦函數(shù)的取值范圍也在0~1之間.x.當(dāng)折扣確定時(shí)，商品的實(shí)際價(jià)格與原10價(jià)格就有了正比例的關(guān)系.同樣在圖6的Rt?CDE中，DE相當(dāng)于商品的原價(jià)，CE相當(dāng)于

CECE?sin?EDC.商品打折后的實(shí)際價(jià)格，即sin?EDC，相當(dāng)于折扣率，就有

DEDE商品打幾折（x折），那就是商品的原價(jià)乘以我們是先給出的對(duì)象，這樣可以使學(xué)生一目了然地了解本節(jié)課的重點(diǎn)，然后再由針對(duì)性的進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，亦即活動(dòng)，通過(guò)活動(dòng)來(lái)達(dá)到程序的境界，最終深刻理解銳角三角函數(shù)的概念，形成自己的圖式.3 小結(jié)

張景中院士把學(xué)數(shù)學(xué)比做吃核桃，作為教師需要研究的是如何砸核桃，讓學(xué)生吃到核桃.數(shù)學(xué)概念有其本身的特點(diǎn)，許多數(shù)學(xué)概念具有二重性，既表現(xiàn)為一種過(guò)程操作，又表現(xiàn)為一種對(duì)象、結(jié)構(gòu)，所以在實(shí)際學(xué)習(xí)理解的過(guò)程中應(yīng)根據(jù)其具體的特點(diǎn)需要靈活地改變認(rèn)識(shí)的角度—有時(shí)要將某個(gè)概念當(dāng)做有操作步驟的過(guò)程，有時(shí)又需要把它作為一個(gè)整體性的固定的對(duì)象，做出最有效的教學(xué)設(shè)計(jì).APOS理論是適應(yīng)數(shù)學(xué)概念特點(diǎn)的教學(xué)理論，對(duì)其在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用不必拘泥于固定的模式，領(lǐng)會(huì)其精髓，合理地將其運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中制定出最有效的教學(xué)策略才是最重要的.[參考文獻(xiàn)]

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.10.[2]張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論 [M].高等教育出版社，2003.4.[3]王繼光，龔輝.APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）,2011（11）：13-14 [4]濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對(duì)函數(shù)概念的理解[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（5）:48-50.

第四篇：函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)的概念

一．教材分析

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，且貫穿在中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，只有對(duì)概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應(yīng)用。本課中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解的程度會(huì)直接影響數(shù)學(xué)其它知識(shí)的學(xué)習(xí)，結(jié)合教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與學(xué)生的認(rèn)知水平，函數(shù)的第一課應(yīng)以函數(shù)概念的理解為中心進(jìn)行教學(xué)。

二、學(xué)情分析

從學(xué)生知識(shí)層面看：學(xué)生在初中初步探討了函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)高一 “集合”的學(xué)習(xí)，對(duì)集合思想的認(rèn)識(shí)也日漸提高，為重新定義函數(shù)提供了知識(shí)保證。

從學(xué)生能力層面看：通過(guò)以前的學(xué)習(xí)，學(xué)生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具備了學(xué)習(xí)函數(shù)概念的基本能力。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：讓學(xué)生理解構(gòu)成函數(shù)的三要素、函數(shù)概念的本質(zhì)、抽象的函數(shù)符號(hào)f(x)的意義。

過(guò)程與方法：在教師設(shè)置的問(wèn)題引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)交流，反饋精講、當(dāng)堂訓(xùn)練，經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過(guò)程，滲透歸納推理的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。

情感態(tài)度價(jià)值觀：在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)和交流，體驗(yàn)獲得成功的樂(lè)趣，建立自信心。

四、教學(xué)難重點(diǎn) 重點(diǎn)：理解函數(shù)的概念；

難點(diǎn)：概念的形成過(guò)程及理解函數(shù)符號(hào)y = f(x)的含義。

[重難點(diǎn)確立的依據(jù)]：函數(shù)的概念抽象性都比較強(qiáng)，要求學(xué)生的理性認(rèn)識(shí)的能力也比較高，對(duì)于剛剛升入高中不久的學(xué)生來(lái)說(shuō)不易理解。而且由于函數(shù)在高考中可以以低、中、高擋題出現(xiàn)，所以近年來(lái)高考有一種“函數(shù)熱”的趨勢(shì)，所以本節(jié)的重點(diǎn)難點(diǎn)必然落在和函數(shù)的概念及函數(shù)符號(hào)的理解與運(yùn)用上。

從多個(gè)角度創(chuàng)設(shè)多個(gè)問(wèn)題情境，組織學(xué)生圍繞重點(diǎn)自主思考，讓學(xué)生自主、合作探索,體會(huì)函數(shù)概念的本質(zhì)從而突破難點(diǎn)。

五、教法與學(xué)法選擇

充分尊重學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生在教師設(shè)置的問(wèn)題的引導(dǎo)下、通過(guò)自主學(xué)習(xí)等環(huán)節(jié)自主構(gòu)建知識(shí)體系，自主發(fā)展數(shù)學(xué)思維，教師采用問(wèn)題教學(xué)法、探究教學(xué)法、交流討論法等多種學(xué)習(xí)方法，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 引入

現(xiàn)實(shí)世界是充滿變化的，函數(shù)是描述變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，也是數(shù)學(xué)的基本概念，也是基本思想，另外函數(shù)的概念也是不斷發(fā)展的。引出課題

問(wèn)題提出

1.請(qǐng)回憶在初中我們學(xué)過(guò)那些函數(shù)？（學(xué)生回答老師補(bǔ)充）

2、回憶初中函數(shù)的定義是什么? 一般地,設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y,如果給定一個(gè)x值,相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值,那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量,y是因變量。

知識(shí)探究一 函數(shù)

給定兩個(gè)非空的數(shù)集A，B，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫做定義在集合A上的函數(shù)記作f：A→B 或y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，與x值相對(duì)應(yīng)的f(x)值叫做函數(shù)值.x的取值范圍稱為定義域，函數(shù)值f(x)的取值范圍稱為值域.定義理解一——y=f(x)1.x是自變量，它是法則所施加的對(duì)象。

2.f是對(duì)應(yīng)法則，它可以是解析式，可以是表格，也可以是圖像。

3.y=f(x)表示y是x的函數(shù)，不是f與x的乘積。f(x)只是函數(shù)值，f才是函數(shù)，（）表示f對(duì)自變量x作用。

定義理解二——唯一確定

通過(guò)三個(gè)例子和學(xué)生共同總結(jié)出：

1.函數(shù)中每個(gè)x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以是一對(duì)一，也可以是多對(duì)一，但不能是一對(duì)多，即y是唯一確定的

2.A中元素不能剩，B中元素可以剩下。

定義理解三——定義域值域

根據(jù)定義，函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集A，B間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

自變量的集合A叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.例如：A={0,1,2}，B={0,2,4,5}，f：A→B f(x)=2x

定義域?yàn)閧0,1,2}，值域?yàn)閧0,2,4} 從而共同探究出：值域是集合B的子集

函數(shù)的三要素：

定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域；

函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定； 定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則兩個(gè)函數(shù)相等.f(x)=3x+1與f(t)=3t+1是同一個(gè)函數(shù).x2f(x)=x與f(x)=不是同一個(gè)函數(shù).x然后和學(xué)生共同探究常見(jiàn)的已學(xué)函數(shù)的定義域和值域：

知識(shí)探究二 區(qū)間

(設(shè)a, b為實(shí)數(shù),且a

（1）{x|x ≤-1或5 ≤ x<6}（2）{x|x ≥9}（3）{x|1

(5){x|x≥0且x≠1}

練習(xí)作業(yè)：把常見(jiàn)的函數(shù)的定義域和值域用區(qū)間表示.七、小結(jié)

1.用集合的語(yǔ)言描述函數(shù)的概念 2.函數(shù)的三要素 3.用區(qū)間表示數(shù)集

八、作業(yè)

1.P28 練習(xí)1,2 2.P34習(xí)題2-1A組：1,2

第五篇：函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

《函數(shù)的概念》的教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)Ⅰ必修本（A版）》的第一章1.2.1函 數(shù)的概念。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，它貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終，從初一字母表示數(shù)開(kāi)始引進(jìn)了變量，使數(shù)學(xué)從靜止的數(shù)的計(jì)算變成量的變化，而且變量之間也是相互聯(lián)系、相互依存、相互制約的，變量間的這種依存性就引出了函數(shù)。在初中已初步探討了函數(shù)概念、函數(shù)關(guān)系的表示法以及函數(shù)圖象的繪制。到了高一再次學(xué)習(xí)函數(shù)，是對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)，是利用集合與對(duì)應(yīng)的思想來(lái)理解函數(shù)的定義，從而加深對(duì)函數(shù)概念的理解。函數(shù)與數(shù)學(xué)中的其他知識(shí)緊密聯(lián)系，與方程、不等式等知識(shí)都互相關(guān)聯(lián)、互相轉(zhuǎn)化。函數(shù)的學(xué)習(xí)也是今后繼續(xù)研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在中學(xué)不僅學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象等知識(shí)，尤為重要的是函數(shù)的思想要更廣泛地滲透到數(shù)學(xué)研究的全過(guò)程。

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，起著承上啟下的作用。函數(shù)又是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的樞紐，特別在應(yīng)用意識(shí)日益加深的今天，函數(shù)的實(shí)質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關(guān)系。因此對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)，既有著不可替代的重要位置，又有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。本節(jié)的內(nèi)容較多，分二課時(shí)。本課時(shí)的內(nèi)容為：函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素、簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域及值域的求法、區(qū)間表示等。（第二課時(shí)內(nèi)容為：函數(shù)概念的復(fù)習(xí)、較復(fù)雜函數(shù)的定義域及值域的求法、分段函數(shù)、函數(shù)圖象等）

【學(xué)情分析】

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已經(jīng)在初中學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，并且知道可以用函數(shù)描述變量之間的依賴關(guān)系。然而，函數(shù)概念本身的表述較為抽象，學(xué)生對(duì)于動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的認(rèn)識(shí)尚為薄弱，對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)缺乏一定的認(rèn)識(shí)，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象與性質(zhì)造成了一定的難度。初中是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)。由于數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性，學(xué)生因此會(huì)望而卻步，從而影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。高一學(xué)生雖然在初中已接觸了函數(shù)的概念，但在重新學(xué)習(xí)它時(shí)還是存在一定的障礙，其中一個(gè)原因就是對(duì)新引進(jìn)的函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”不甚其解。教師應(yīng)在教學(xué)中有意識(shí)地挖掘函數(shù)符號(hào)的審美因素，以美啟真。在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該給學(xué)生提供實(shí)踐動(dòng)手的機(jī)會(huì)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、計(jì)算、思考，從而理解問(wèn)題的本質(zhì)，歸納總結(jié)出結(jié)論?！窘虒W(xué)目標(biāo)】

1、正確理解函數(shù)的概念，能用集合和對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)；

2、理解函數(shù)的三要素及函數(shù)符號(hào)的深刻含義；會(huì)解決一些相關(guān)簡(jiǎn)單問(wèn)題；

3、滲透從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的邏輯思維能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】函數(shù)的概念及的理解與深化。的理解?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】函數(shù)的概念及函數(shù)符號(hào)【教學(xué)方法】

本節(jié)課采用“問(wèn)題啟發(fā)式”教學(xué)方法：本節(jié)課是概念課,結(jié)合初中所學(xué)，根據(jù)學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，我采取問(wèn)題啟發(fā)式的教學(xué)法；以問(wèn)題串為主線，通過(guò)設(shè)置多個(gè)具體問(wèn)題情景，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中兩個(gè)變量的關(guān)系，讓學(xué)生歸納、概括出函數(shù)概念的本質(zhì),也通過(guò)問(wèn)題的處理加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念的理解，這也符合建構(gòu)主義的教學(xué)理論?！窘虒W(xué)過(guò)程】

一、回顧舊知，引出課題。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)初中函數(shù)概念的復(fù)習(xí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)初中函數(shù)概念是從變量變化的觀點(diǎn)出發(fā)的，為后面學(xué)習(xí)和理解高中函數(shù)概念與初中概念區(qū)別做必要的準(zhǔn)備。

問(wèn)題3：由上述定義你能判斷“y＝1”是否表示一個(gè)函數(shù)？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)已有概念但不太容易回答的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，有著承上啟下的作用。既是對(duì)初中已學(xué)的函數(shù)概念的進(jìn)一步深入，又是為下一步用集合語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的本質(zhì)做好伏筆。

二、觀察分析、探索新知。

實(shí)例一、一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)26s落到地面擊中目標(biāo)．炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規(guī)律是：h＝130t-5。

問(wèn)題4：t的范圍是什么？h的范圍是什么？分別用集合表示出來(lái)。

問(wèn)題5：對(duì)于集合A中的每一個(gè)t值按照?qǐng)D象所示是否在集合B中都有唯一的h值與它對(duì)應(yīng)?

實(shí)例

二、如圖下表是2015年11月16日，深證指數(shù)合肥百貨從9：30開(kāi)盤(pán)到11：30收盤(pán)每股價(jià)格波動(dòng)圖像

問(wèn)題6：(1)時(shí)間和指數(shù)的變化范圍可以分別用集合A、B表示出來(lái)嗎？

(2)對(duì)于集合A中的每一個(gè) t 值按照?qǐng)D象所示是否在B中都有唯一的價(jià)格指數(shù)S值與它對(duì)應(yīng)?

實(shí)例三：國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國(guó)家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高．表1—

中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間（年）變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來(lái)，我國(guó)城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化

問(wèn)題7：請(qǐng)仿照實(shí)例一、二，描述恩格爾系數(shù)和時(shí)間的關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)三個(gè)不同形式的實(shí)例和問(wèn)題4、5、6、7的提出及幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)地顯示炮彈高度h關(guān)于炮彈發(fā)射時(shí)間t的函數(shù)來(lái)啟發(fā)學(xué)生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述變量之間的依賴關(guān)系：對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)x，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y與它對(duì)應(yīng)，記作f：A→B。

三、形成概念、深化理解

函數(shù)概念：

設(shè)是AB、是非空的數(shù)集，如果按某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→

為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f（x）。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集。請(qǐng)同學(xué)們勾畫(huà)出概念中的關(guān)鍵詞，通過(guò)交流得出以下幾點(diǎn)： ①非空的數(shù)集； ② 確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ③任意性與唯一性。

利用用《幾何畫(huà)板》顯示這三種函數(shù)的動(dòng)態(tài)圖象，啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，并請(qǐng)同學(xué)們思考之后填寫(xiě)下表：

【設(shè)計(jì)意圖】在前面三個(gè)實(shí)例的基礎(chǔ)上深化理解符號(hào)y＝f（x），f（a）f（x）與的區(qū)別與聯(lián)系，同時(shí)利用信息技術(shù)工具畫(huà)出函數(shù)的圖象，是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)”與“形”結(jié)合在理解函數(shù)中的作用，更好地幫助理解上述函數(shù)的三個(gè)要素，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，進(jìn)一步挖掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的聯(lián)系。明確定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是決定函數(shù)的三要素，這是一個(gè)整體，以此更好地培養(yǎng)學(xué)生深層次思考問(wèn)題的習(xí)慣。

問(wèn)題10:函數(shù)定義中有哪幾個(gè)要素?

三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，缺一不可。

四、知識(shí)應(yīng)用，深化目標(biāo)。

【設(shè)計(jì)意圖】例題的處理以學(xué)生回答、板演的形式進(jìn)行，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動(dòng)，以教師、學(xué)生相互交流來(lái)鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)。利用課堂練習(xí)鞏固所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容、數(shù)學(xué)

思想和方法，以求達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。

五、課堂小結(jié)，教師評(píng)價(jià)。

學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行自主小結(jié)，教師及時(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)： 1．函數(shù)的概念； 2．函數(shù)的三要素； 3．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想；

【設(shè)計(jì)意圖】再現(xiàn)課堂，小結(jié)提升，有助于學(xué)生明確重點(diǎn)。

六、作業(yè)布置

課本Ｐ24，習(xí)題1.2 A組，第 1、3、4 題。

作業(yè)補(bǔ)充：求下列函數(shù)的定義