第一篇：三十二中學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì)(正弦 )

《銳角三角函數(shù)》第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

──正弦函數(shù) 三十二中學(xué)

一． 教學(xué)內(nèi)容及內(nèi)容解析

內(nèi)容：直角三角形中邊角關(guān)系之一正弦的意義及應(yīng)用

內(nèi)容解析：本章內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直角三角形的邊，角性質(zhì)以及學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)及反比例函數(shù)之后，學(xué)生對(duì)函數(shù)有了一定的理解，在此基礎(chǔ)上，本節(jié)主要學(xué)習(xí)正弦函數(shù)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)變化與對(duì)應(yīng)的函數(shù)思想，通過正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)，逐步建立三角函數(shù)的概念，對(duì)余弦函數(shù)，正切函數(shù)的學(xué)習(xí)，起到良好的開端作用。二．教學(xué)目標(biāo)及目標(biāo)解析

（一）教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：

1、理解銳角正弦的意義，并能運(yùn)用sinA表示直角三角形中兩邊的比.2、能根據(jù)正弦概念正確進(jìn)行計(jì)算.過程與方法：

1、經(jīng)歷探索直角三角形中的邊與角的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的演繹推理能力.情感態(tài)度價(jià)值觀：

1、在主動(dòng)參與探索概念的過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和合作交流、探究發(fā)現(xiàn)的意識(shí).2、培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣以及使學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，建立自信心.重點(diǎn)：理解認(rèn)識(shí)正弦（sinA）概念，能用正弦概念進(jìn)行簡單的計(jì)算.難點(diǎn)：1）、引導(dǎo)學(xué)生比較、分析并得出：對(duì)任意給定銳角，它的對(duì)邊與斜邊的比值是固定值.2）、正弦概念的理解.（二）目標(biāo)解析：

從生活實(shí)際入手，結(jié)合多媒體直觀演示，并通過系列探究活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生合作交流，作圖、猜想論證，配合由淺入深的練習(xí)，使學(xué)生不但知道對(duì)任意給定銳角，它的對(duì)邊與斜邊的比值是固定值，而且加以論證并會(huì)運(yùn)用.三．教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生對(duì)函數(shù)意義的理解參差不齊，因此由特殊到一般的過程中，會(huì)有 難點(diǎn)出現(xiàn)，這可以通過相似形的性質(zhì)進(jìn)行拓展與延伸，理解在直角三角形中，不管三角形的大小如何變化，只要角的大小不變，它們對(duì)邊與斜邊的比值就不變，只有角的大小變了，它的比值才變。四．教學(xué)支持條件分析

利用多媒體引入實(shí)際問題，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。五．教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.教法學(xué)法：

本節(jié)采用“探究——推理——發(fā)現(xiàn)”模式.教師的教法突出活動(dòng)的組織設(shè)計(jì)與方法的引導(dǎo).學(xué)生的學(xué)法突出探究、推理與發(fā)現(xiàn).2.課前準(zhǔn)備：

教具：多媒體、課件、三角板.學(xué)具：三角板等作圖工具.3．教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)

（一）：創(chuàng)設(shè)情境、引入新知 教師活動(dòng)

電腦展示教材引例.問題 為了綠化荒山，市綠化辦打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？

提出問題：你能將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題嗎？

學(xué)生活動(dòng)：熟悉背景，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題.同時(shí)思考、探求解決問題的途徑和方法.設(shè)計(jì)意圖：引發(fā)學(xué)生興趣.培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)并將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力；

環(huán)節(jié)

（二）：探求新知，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 1.解決問題

從實(shí)際問題中抽象出圖中的Rt△ABC

(1)你能用數(shù)學(xué)語言來表述這個(gè)實(shí)際問題嗎？與同伴交流.教師活動(dòng)：多媒體課件出示問題； 學(xué)生活動(dòng)：組織語言與同伴交流.設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的意識(shí)，提高數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.(2)出示學(xué)生總結(jié)并完善后的數(shù)學(xué)問題：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB.（3）在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？ 教師活動(dòng)1：出示問題.2：觀察學(xué)生解決問題的表現(xiàn)，適時(shí)引導(dǎo).學(xué)生活動(dòng)：應(yīng)用舊知解決問題.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)在直角三角形中，當(dāng)銳角的大小確定后，銳角的對(duì)邊與斜邊之比也隨之確定。

（4）歸納：在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于.教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的語言組織.學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立思考，得出結(jié)論.設(shè)計(jì)意圖：(1)讓學(xué)生從這一情景中得知我們研究的重點(diǎn)不再是“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”，把注意力轉(zhuǎn)移到“直角三角形中，30°角的對(duì)邊與斜邊的比值是(2)培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，為下一環(huán)節(jié)順利進(jìn)行奠定基礎(chǔ).”.2.類比思考

如圖，任意畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比你能得出什么結(jié)論？

，教師活動(dòng)：出示問題；觀察學(xué)生的反應(yīng)，師生共同討論.學(xué)生活動(dòng)：思考、解決問題.設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般的過渡，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)在直角三角形中，當(dāng)銳角確定后，銳角的對(duì)邊與斜邊之比也隨之確定。

3.歸納猜想（1）在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于45°，那么不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于.（2）猜想：在直角三角形中，當(dāng)銳角A 的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，它的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值.教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的語言歸納猜想.學(xué)生活動(dòng)：思考、交流、語言表達(dá).設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用類比思想思考問題

環(huán)節(jié)

（三）：證明猜想，形成概念 1．證明猜想.教師活動(dòng)：出示猜想，觀察學(xué)生的思考方向，引導(dǎo)學(xué)生找到證明猜想的方法.（出示探究）任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90.∠A＝∠A'＝α，那么有什么關(guān)系．你能解釋一下嗎？

與

學(xué)生活動(dòng)：思考、尋找方法并驗(yàn)證.設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的論證意識(shí)，提高學(xué)生自己設(shè)計(jì)探究活動(dòng)的能力；通過證明認(rèn)識(shí)到“在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值”的結(jié)論，從而引出“正弦”的概念，突出重點(diǎn).2．形成概念

正弦的概念及表示

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即

注意：正弦的三種表示：sinA（省去角的符號(hào)）、sin39°、sin∠DEF.教師活動(dòng)：課件給出概念，解釋并強(qiáng)調(diào)正弦的符號(hào)、符號(hào)所表示的意義、正弦的表示方法.學(xué)生活動(dòng)：理解正弦的概念以及正弦的表示.設(shè)計(jì)意圖：概念的引入已是水到渠成，讓學(xué)生在一系列的問題解決中，經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)概念形成的一般研究過程.環(huán)節(jié)

（四）：理解概念、應(yīng)用提升

1、概念辨析

教師活動(dòng)：出示判斷是非題

（1）sinA表示“sin”乘以“A”.（）

(2)如圖，sinA=（m）（）

（3）在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，sinA的值也擴(kuò)大100倍

（4）如圖，∠A=30°，則sinA=

.（）

第（2）題

第（4）題

學(xué)生活動(dòng)：思考，理解概念.設(shè)計(jì)意圖：（1）通過判斷是非加深學(xué)生對(duì)正弦概念的理解，進(jìn)一步的滲透了函數(shù)思想.(2)通過是非判斷引導(dǎo)學(xué)生注意：

①sinA不是 sin與A的乘積，而是一個(gè)整體.②sinA 是線段之間的一個(gè)比值，沒有單位.③一個(gè)角的正弦值與邊的大小無關(guān)，只與角的大小有關(guān)，銳角一旦確定，正弦值隨之確定.2、例題講解

例1 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．

教師活動(dòng)：課件出示例1，引導(dǎo)學(xué)生相互口述解題方法后，派代表詳細(xì)敘述，同時(shí)出示詳細(xì)解題過程（板書）.學(xué)生活動(dòng)：分析、思考解題的方法，小組交流討論，互相評(píng)議，組織語言敘述解題的過程.設(shè)計(jì)意圖：

(1)鞏固正弦的概念，形成能力.(2)規(guī)范學(xué)生的解題格式，為學(xué)生完全獨(dú)立的解決問題盡可能的排除了障礙.3、鞏固新知

（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，sinA= A.B.3 C.D.，則AC的長是（）

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，sinA=.，求AB、BC的長.教師活動(dòng)：課件出示練習(xí)學(xué)生活動(dòng)：分析、獨(dú)立思考，設(shè)計(jì)意圖：

(1)為學(xué)生提供自主探究的空間，學(xué)生既能獨(dú)立思考，又能相互合作，在交流中學(xué)生解決問題的能力得到了提升.(2)體現(xiàn)了“實(shí)際——理論——實(shí)際”的過程，幫助學(xué)生形成從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，得出結(jié)論，再用來解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思路。

環(huán)節(jié)

（五）：自我評(píng)價(jià)、總結(jié)反思 問題1：本節(jié)課你有哪些收獲？ 教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生思考回答.學(xué)生活動(dòng)：回顧、思考、組織語言回答.設(shè)計(jì)意圖：

(1)引導(dǎo)學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)過程，加強(qiáng)反思，提煉以及將知識(shí)納入自己的知識(shí)結(jié)構(gòu).(2)幫助學(xué)生提煉本節(jié)課的重要知識(shí)點(diǎn)和必須要掌握的技能----在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值.在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA.問題2：你還有什么困惑嗎？ 教師活動(dòng)：出示問題.學(xué)生活動(dòng)：思考、組織語言說感受、困惑.設(shè)計(jì)意圖：引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的思考.六．目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)

1、對(duì)于自己還存在的疑惑利用業(yè)余時(shí)間查閱書籍

2、教材習(xí)題（僅求正弦值）.3、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）若AC=4，AB=5，求sinA、sinB。（2）若AC=5，AB=12，求sinA、sinB（3）若BC=m，AC= n，求sinB.設(shè)計(jì)意圖：

(1)學(xué)生通過目標(biāo)檢測，進(jìn)一步理解銳角正弦的意義，并能運(yùn)用sinA表示直角三角形中兩邊的比.能根據(jù)正弦概念正確進(jìn)行計(jì)算.(2)培養(yǎng)學(xué)生自我認(rèn)同，自我發(fā)現(xiàn)、自我反饋的能力。

第二篇：正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容: 正弦定理

2.解析: 《正弦定理》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5中第一章《解三角形》的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比較系統(tǒng)地研究了解三角形這個(gè)課題?！墩叶ɡ怼肪o跟必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）之后，可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想所學(xué)知識(shí)，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積連同三角形、三角函數(shù)的其他知識(shí)作為工具，推導(dǎo)出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎(chǔ)，又是學(xué)生了解向量的工具性和知識(shí)間的相互聯(lián)系的的開端，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形的求解、體會(huì)事物是相互聯(lián)系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和自主、合作、探究能力。

二、目標(biāo)及其解析

目標(biāo)：（1）正弦定理的發(fā)現(xiàn)；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡單應(yīng)用。解析：先通過直角三角形找出三邊與三角的關(guān)系，再依次對(duì)銳角三角形與鈍角三角形進(jìn)行探

討，歸納總結(jié)出正弦定理，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用。

三、教學(xué)問題診斷分析

正弦定理是三角形邊角關(guān)系中最常見、最重要的兩個(gè)定理之一，它準(zhǔn)確反映了三角形中各邊與它所對(duì)角的正弦的關(guān)系，對(duì)于它的形式、內(nèi)容、證明方法和應(yīng)用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學(xué)生綜合運(yùn)用正弦定理和內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識(shí)解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用問題，這些知識(shí)的掌握，有助于培養(yǎng)分析問題和解決問題能力，所以一向?yàn)閿?shù)學(xué)教育所重視。

四、教學(xué)支持條件分析

學(xué)生在初中已學(xué)過有關(guān)直角三角形的一些知識(shí)和有關(guān)任意三角形的一些知識(shí)，學(xué)生在高中已學(xué)過必修4（包括三角函數(shù)與平面向量），學(xué)生已具備初步的數(shù)學(xué)建模能力，會(huì)從簡單的實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型完成教學(xué)目標(biāo)，是切實(shí)可行的。

五、教學(xué)過程

（一）教學(xué)基本流程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

①在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數(shù)量關(guān)系？ 學(xué)生容易想到三角函數(shù)式子：（可能還有余弦、正

a切的式子）bc sinC?1sinA?sinB?c b c

②這三個(gè)式子中都含有哪個(gè)邊長？

c

學(xué)生馬上看到，是c邊，因?yàn)?sinC?1?B C a c③那么通過這三個(gè)式子，邊長c有幾種表示方法？

abc ??

sinAsinBsinC

④得到的這個(gè)等式，說明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關(guān)系？（各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等）⑥此關(guān)系式能不能推廣到任意三角形？

設(shè)計(jì)意圖: 以舊引新, 打破學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài), 刺激學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)根據(jù)問題情境進(jìn)行自我組織, 促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展.從直角三角形邊角關(guān)系切入, 符合從特殊到一般的思維過程.（二）探究正弦定理

abc

?

?猜想：在任意的△ABC中, 各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等, 即：

sinAsinBsinC

設(shè)計(jì)意圖:鼓勵(lì)學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家的思維方式和思維過程, 大膽拓廣, 主動(dòng)投入數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程,發(fā)展創(chuàng)造性思維能力.三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，對(duì)于直角三角形，我們前面已經(jīng)推導(dǎo)出這個(gè)關(guān)系式是成立的，那么我們現(xiàn)在是否需要分情況來證明此關(guān)系式？ 設(shè)計(jì)意圖:及時(shí)總結(jié)，使方向更明確，并培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)

①那么能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來求證？ ——可以構(gòu)造直角三角形

②如何構(gòu)造直角三角形？

——作高線（例如：作CD⊥AB，則出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形）

ab

?③將欲證的連等式分成兩個(gè)等式證明，若先證明，sinAsinB

那么如何將A、B、a、b聯(lián)系起來？

——在兩個(gè)直角三角形Rt△BCD與Rt△ACD中，CD是公共邊： 在Rt△BCD中，CD= asinB，在Rt△ACD中，CD= bsinA

ab

??asinB?bsinA?

sinAsinBbcsinB ?sinC？ ——作高線AE⊥BC，同理可證.設(shè)計(jì)意圖:把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題, 引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決新的問題.c?

??若△ABC為鈍角三角形，同理可證明：

sinAsinBsinC

（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，AC＝2620m，C 求AB.(精確到1米)

解：B＝180o－A－C＝ 180o－ 48.57o －101.87o ＝29.56o0

abc

bc由?得c?bsinC?2620?sin48.57?3982 sinBsinCsinBsin29.560

abc

???2R sinAsinBsinC

正弦定理推論（1）a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC

abc

B?正弦定理推論（2）sinA?，sin,sinC?

2R2R2R

正弦定理：

解決類型：（1）已知三角形的任意兩角與一邊，可求出另外一角和兩邊；

（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，可求出另外一邊和兩角。

（四）目標(biāo)檢測

1．一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30和45，如果45角所對(duì)的邊長為8，那么30角所對(duì)邊的長是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

（五）小結(jié)

(1)在這節(jié)課中，學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

正弦定理及其發(fā)現(xiàn)和證明，正弦定理的初步應(yīng)用

(2)正弦定理如何表述？ a?b?c

sinAsinBsinC

（3）表達(dá)式反映了什么？

指出了任意三角形中，各邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式

學(xué)案

1．1正弦定理

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）正弦定理的發(fā)現(xiàn)；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡單應(yīng)用。

二、問題與例題

問題１：在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數(shù)量關(guān)系？ 問題２：這三個(gè)式子中都含有哪個(gè)邊長？？

問題３：那么通過這三個(gè)式子，邊長c有幾種表示方法？？

問題4：得到的這個(gè)等式，說明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關(guān)系？ 問題5：那么能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來求證？ 例１.（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，CAC＝2620m，求AB.(精確到1米)

三、目標(biāo)檢測

1．一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30和45，如果45角所對(duì)的邊長為8，那么30角所對(duì)邊的長是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

配餐作業(yè)

一、基礎(chǔ)題(A組)

1、在△ABC中，若a=，b=，A=300, 則c等于（）A、2B、C、25或D、以上結(jié)果都不對(duì) 2．在△ABC中，一定成立的等式是()A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.asinB=bsinAD.acosB=bcosA 3.若

sinAcosBcosC

??則△ABC為abc

A．等邊三角形C．有一個(gè)內(nèi)角為30°的直角三角形

（）

B．等腰三角形

D．有一個(gè)內(nèi)角為30°的等腰三角形

4.△ABC中,∠A、∠B的對(duì)邊分別為a,b，且∠A=60°,a?（）A．有一個(gè)解B．有兩個(gè)解C．無解5.在△ABC中，a＝26,b?4,那么滿足條件的△ABC

D．不能確定，b＝22，B＝45°，則A等于6.在△ABC中，若c?2，C?60?，a?

3，則A? 3

二、鞏固題(B組)

7.在△ABC中，B=1350，C=150，a=5，則此三角形的最大邊長為 8.在銳角△ABC中，已知A?2B，則的9.在△ABC中，已知tanA?

a

取值范圍是． b

1，tanB?，則其最長邊與最短邊的比為． 2

310.已知銳角三角形的三邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是．

三、提高題(C組)

11．在△ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b

12△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，試判斷△ABC的形狀。

13．為了測量上海東方明珠的高度，某人站在A處測得塔尖的仰角為75.5，前進(jìn)38.5m后，到達(dá)B處測得塔尖的仰角為80.0.試計(jì)算東方明珠塔的高度（精確到1m）.?

?

第三篇：《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

2010級(jí)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論專業(yè)華娜學(xué)號(hào)201002101146

一、教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，也是三角形理論中的一個(gè)重要內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，知識(shí)儲(chǔ)備已足夠。它是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù)，也是解決實(shí)際生活中許多測量問題的工具。因此熟練掌握正弦定理能為接下來學(xué)習(xí)解三角形打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，并能在實(shí)際應(yīng)用中靈活變通。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有知識(shí)水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：理解并掌握正弦定理的證明，運(yùn)用正弦定理解三角形。

能力目標(biāo)：探索正弦定理的證明過程，用歸納法得出結(jié)論，并能掌握多種證明方

法。

情感目標(biāo)：通過推導(dǎo)得出正弦定理，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)公式的整潔對(duì)稱美和數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷

解的個(gè)數(shù)。

四、教法分析

依據(jù)本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)，學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，本節(jié)知識(shí)遵循以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想，采用與學(xué)生共同探索的教學(xué)方法，命題教學(xué)的發(fā)生型模式，以問題實(shí)際為參照對(duì)象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，讓學(xué)生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化，并且運(yùn)用例題和習(xí)題來強(qiáng)化內(nèi)容的掌握，突破重難點(diǎn)。即指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法。學(xué)生采用自主式、合作式、探討式的學(xué)習(xí)方法，這樣能使學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和探究精神。

五、教學(xué)過程

本節(jié)知識(shí)教學(xué)采用發(fā)生型模式：

1、問題情境

有一個(gè)旅游景點(diǎn)，為了吸引更多的游客，想在風(fēng)景區(qū)兩座相鄰的山之間搭建一條觀光索道。已知一座山A到山腳C的上面斜距離是1500米，在山腳測得兩座山頂之間的夾角是450，在另一座山頂B

300。求需要建多長的索道？

可將問題數(shù)學(xué)符號(hào)化，抽象成數(shù)學(xué)圖形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

此題可運(yùn)用做輔助線BC邊上的高來間接求解得出。

提問：有沒有根據(jù)已提供的數(shù)據(jù)，直接一步就能解出來的方法？

思考：我們知道，在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系。那我們能不能得到關(guān)于邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？

2、歸納命題

我們從特殊的三角形

在如圖Rt三角形ABC

a

?

sinA, c

bc

?sin

B

.?c.所以，asinA

?

bsinB

又sinC?1,所以

csinC

asinA

?

bsinB

?

.在直角三角形中，得出這一關(guān)系。那么，對(duì)于一般的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？

3、命題證明

首先考慮銳角三角形，要找到邊與角正弦之間的關(guān)系，就要找到橋梁，那就是構(gòu)造出直角三角形——作高線。

A

作AB上的高CD,根據(jù)三角函數(shù)的定義，CD?asinB,CD?bsinA ,所以，asinB?bsinA.同理，在?ABC中，bsinB

?

csinC

.于是在銳角三角形中，asinA

?

bsinB

?

csinC

也成立。

當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上等式仍然成立嗎？

C

DAcB

由學(xué)生類比銳角三角形的證明方法，同樣可以得出。于是，從以上的討論和探究，得出定理：

正弦定理（laws of sines）在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

asinA

?

?

siBnb

csCin

分析此關(guān)系式的形式和結(jié)構(gòu)，一方面便于學(xué)生理解和識(shí)記，另一方面，讓學(xué)生去

感受數(shù)學(xué)的間接美和對(duì)稱美。

正弦定理描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。我們把三角形的三邊和三個(gè)角叫做三角形的元素，已知幾個(gè)元素求其他元素的過程叫解三角形。

分析正弦定理的應(yīng)用范圍，定理形式可知，如果已知三角形的兩角和一邊，或者已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，都可以解出這個(gè)三角形。

4、命題應(yīng)用

講解書本上兩個(gè)例題：

例1 在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。例2 在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角精確到10，邊長精確到1cm）。

例1簡單，結(jié)果為唯一解。

總結(jié)：如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對(duì)邊，都可利用正弦定理來解三角形。

例2較難，使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。

要求學(xué)生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形。

接著回到課堂引入未解決的實(shí)際問題。

在△ABC中，已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

B

A

在已經(jīng)學(xué)習(xí)過正弦定理和例1例2的運(yùn)用之后，此題就顯得非常簡單。接著，課堂練習(xí)，讓學(xué)習(xí)自己運(yùn)用正弦定理解題。

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）：（1）A=45°，C=30°，c=10cm（2）A=60°，B=45°，c=20cm

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）：（1）a=20cm，b=11cm，B=30°（2）c=54cm，b=39cm，C=115°

學(xué)生板演，老師巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，并解答。

5、形成命題域、命題系

開始我們運(yùn)用分類討論平面幾何三角形的情況證明了正弦定理。那么正弦定理的證明還有沒有其他的證法？學(xué)生可以自主思考，也可以合作探究。

學(xué)生思考出來就更好，如果沒有思考出來，提示兩種方法（1）幾何法，作三角形的外接圓；（2）向量法。

先讓學(xué)生思考。結(jié)束后，重點(diǎn)和學(xué)生一起討論幾何法，作外接圓的證法。一方面是讓學(xué)生體會(huì)到證明方法的多樣，進(jìn)行發(fā)散性思維，但更主要的是為了得出

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R。即得正弦定理中這一比值等于外接圓半徑的2C

倍的結(jié)

論，讓學(xué)生能更深刻地理解到這一定理的，也方便以后的解題。而提到的向量法，則讓學(xué)生課后自己思考，可以查閱資料證明。

六、課堂小結(jié)與反思

這節(jié)課我們學(xué)到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的適應(yīng)范圍？正弦定理的證明方法？）

1、我們從直角、銳角、鈍角三類三角形出發(fā)，運(yùn)用分類的方法通過猜想、證明得到了正弦定理

asinA

?

bsinB

?

csinC，它揭示了任意三角形邊和其所對(duì)的角的正弦值的關(guān)系。

2、運(yùn)用正弦定理解決了我們所要解決的實(shí)際問題。在解三角形中，若已知兩角和一邊，或者已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角可以用正弦定理來解決。但在第二種情況下，運(yùn)用正弦定理需要考慮多解的情況。

3、正弦定理的證明還可以運(yùn)用向量法和作三角形的外接圓來證明。其中通過作外接圓可以得到

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R.這是對(duì)正弦定理的補(bǔ)充。

七、作業(yè)布置

教材第10頁，習(xí)題1.1，A組第一題、第二題。

第四篇：正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

茂名市實(shí)驗(yàn)中學(xué)張衛(wèi)兵

一、教學(xué)目標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能：通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

2、過程與方法：讓學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，結(jié)合初中學(xué)習(xí)過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理；讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問題的過程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索性與創(chuàng)造性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲并培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和樂于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運(yùn)用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

難點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)并證明過程以及已知兩邊以及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判斷。

三、教學(xué)基本流程

1、創(chuàng)設(shè)問題情境，引出問題：在三角形中，已知兩角以及一邊，如何求出另外一邊；

2、結(jié)合初中學(xué)習(xí)過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理；

3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的類型；

4、應(yīng)用正弦定理解三角形。

四、教學(xué)情境設(shè)計(jì)

五、教學(xué)研究

1、新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生在自主探究的過程中提高數(shù)學(xué)思維能力。本設(shè)計(jì)從生活中的實(shí)際問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)了一系列數(shù)學(xué)問題情境來引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、思考，讓學(xué)生在“疑問”、“好奇”、“解難”中探究學(xué)習(xí)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生了的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維。

2、新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重“過程”，要使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程成為在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行“再創(chuàng)造”過程。本設(shè)計(jì)展示了一個(gè)先從特殊的直角三角形中正弦的定義出發(fā)探索?A的正弦與?B的正弦的關(guān)系從而發(fā)現(xiàn)正弦定理，再將一般的三角形與直角三角形聯(lián)系起來（在一般的三角形中構(gòu)造直角三角形）進(jìn)而在一般的三角形發(fā)現(xiàn)正弦定理的過程，使學(xué)生不但體會(huì)到探索新知的方法而且體驗(yàn)到了發(fā)現(xiàn)的樂趣，起到了良好的教學(xué)效果。

3、新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。本設(shè)計(jì)以一個(gè)實(shí)際問題出發(fā)引入正弦定理并讓學(xué)生在練習(xí)3中解決這一問題，這不但使學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)的作用，而且使學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力得到了進(jìn)一步的提高。

第五篇：正弦定理 教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

郭來華

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修5）》（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問題。

本節(jié)課是“正弦定理”教學(xué)的第一課時(shí)，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且通過對(duì)定理的探究，能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識(shí)框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。

三、設(shè)計(jì)思想

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的?！边@個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來理解就是：知識(shí)不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：通過對(duì)任意三角形的邊與其對(duì)角的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。

2、過程與方法：讓學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：在平等的教學(xué)氛圍中，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo) 難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）設(shè)置情境

利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d?1km。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處，請(qǐng)你確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案。已知船在靜水中的速度v1?5km/h，水流速度v1?3km/h?！驹O(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于

（二）提出問題

師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們設(shè)身處地地考慮有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個(gè)問題通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問題：

1、船應(yīng)開往B處還是C處？

2、船從A開到B、C分別需要多少時(shí)間？

3、船從A到B、C的距離分別是多少？

4、船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？

5、船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？

【設(shè)計(jì)意圖】通過小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時(shí)空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。

師：誰能幫大家講解，應(yīng)該怎樣解決上述問題？

大家經(jīng)過討論達(dá)成如下共識(shí)：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問

A圖 1BC生活”的思想意識(shí)，同時(shí)情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。題4，問題4與問題5是兩個(gè)相關(guān)問題。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題4和5。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角?：

|v|?|v1|?|v2|?|v1||v2|?35, 22BDEC5?3?4，22v1vFAv2圖 2sin?? 用計(jì)算器可求得??37?

BDv1vv2AF圖 3EC船從A開往C的情況如圖3，|AD|?|v1|?5，|DE|?|AF|?|v2|?3，易求得?AED??EAF?45?，還需求?DAE及v，我還不知道怎樣解這兩個(gè)問題。

師：請(qǐng)大家思考，這兩個(gè)問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？ 部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。

【設(shè)計(jì)意圖】將問題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對(duì)問題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。

師：請(qǐng)大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問題？ 生3：不知道。

師：圖2的情形大家都會(huì)解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點(diǎn)？

生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。但圖2中?ADE是直角三角形，而圖3中?ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。

師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過教師的問題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，同時(shí)為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。

生5：能，過點(diǎn)D作DG?AE于點(diǎn)G（如圖4），?|DG|?|v1|sin?DAG?|DE|sin?AED|AG|?|v1|cos?DAGBDv1vAGv2EC，|EG|?|DE|cos?AED

F圖 4?sin?DAG?|DE|sin?AED|v1|?3sin45?5?3210

|v|?|AG|?|GE|????

師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個(gè)直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個(gè)三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】通過教師對(duì)學(xué)生的肯定評(píng)價(jià)，創(chuàng)造一個(gè)教與學(xué)的和諧環(huán)境，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使緊接著的問題能更好地得到學(xué)生的認(rèn)同，又有利于學(xué)生和教師的共同成長。

（三）解決問題

1、正弦定理的引入

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時(shí)，是怎樣處理的？ 眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法?？梢砸灾苯侨切螢樘乩仍谥苯侨切沃性囂揭幌?。

師：如果一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對(duì)于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)直角三角形進(jìn)行研究，尋找一般三角形的各邊及其對(duì)角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同研究。

（1）學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)生的研究。

（2）展示學(xué)生研究的結(jié)果。

【設(shè)計(jì)意圖】教師參與學(xué)生之間的研究，增進(jìn)師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導(dǎo)與觀察，及時(shí)掌握學(xué)生研究的情況，為展示學(xué)生的研究結(jié)論做準(zhǔn)備；同時(shí)通過展示研究結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的成功感及學(xué)習(xí)的信心。

師：請(qǐng)說出你研究的結(jié)論？ 生7：asinA?bsinB?csinC

師：你是怎樣想出來的？

生7：因?yàn)樵谥苯侨切沃?，它們的比值都等于斜邊c。

師：有沒有其它的研究結(jié)論？（根據(jù)實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進(jìn)一步深入研究。）

師：asinA?bsinB?csinC對(duì)一般三角形是否成立呢？

眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

師：這是個(gè)好主意。那么生9：成立。師：對(duì)任意三角形

asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC對(duì)等邊三角形是否成立呢？

是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫板》做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，??

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問題的能力。

2、正弦定理的探究（1）實(shí)驗(yàn)探究正弦定理

師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個(gè)比值的變化情況。

結(jié)論：asinA?bsinB?csinC對(duì)于任意三角形都成立。

【設(shè)計(jì)意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性。

師：利用上述結(jié)論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗(yàn)與生5的計(jì)算結(jié)果是否一致。

生10：（通過計(jì)算）與生5的結(jié)果相同。

師：如果上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊?！钡膯栴}就簡單多了。

【設(shè)計(jì)意圖】與情境設(shè)置中的問題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。

（2）點(diǎn)明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究

師：既然是定理，則需要證明，請(qǐng)同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：

直角三角形——已驗(yàn)證； 銳角三角形——課堂探究； 鈍角三角形——課后證明。

【設(shè)計(jì)意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時(shí)，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時(shí)間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。師：請(qǐng)你（生11）到講臺(tái)上，講講你的證明思路？

生11：（走上講臺(tái)），設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD?csinB?bsinC，所以

bsinB?csinCAcabB，同理可得

asinA?bsinBCD圖 5 銳角三角形

師：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的。注意： csinB?bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個(gè)簡捷的證明方法！

【設(shè)計(jì)意圖】點(diǎn)明此證法的實(shí)質(zhì)是找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時(shí)適時(shí)對(duì)學(xué)生作出合情的評(píng)價(jià)。

師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？ 學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：

證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是?ABC的三條高。則有

AD?b?sin?ACB，BE?c?sin?BACCF?a?sin?ABCAFcaD圖 6 EbCB。

b?c?sin?BAC?c12c?a?sin?ABC12?S?ABC??a12a?b?sin?ACB??bsin?ABC?

Asin?BACsin?ACB

cB

a證法三：如圖7，設(shè)BD?2r是?ABC外接圓的直徑，則?BAD?90?，?ACB??ADB

?BD?2r

sin?ADBab??2r同理可證：sin?BACsin?ABC?sin?ACB??asin?BAC?bsin?ABC?csin?ACBccb

D

C圖 7 三角形外接圓

【設(shè)計(jì)意圖】在證明正弦定理的同時(shí)，將兩邊及其夾角的三角形面積公式 及asinA?bsinB?csinC?2r一并牽出，使知識(shí)的產(chǎn)生自然合理。

????????、BC、CA間有什么關(guān)系？ 師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？

????師：任意?ABC中，三個(gè)向量AB?????????????生12：AB?BC?CA?0

?????????????師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由AB?BC?CA?0轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？

??????????????????????????師：在AB?BC?CA兩邊同乘以向量j,有(AB?BC?CA)?j?0,這里的向量??j可否任意？又如何選擇向量j?

?生14：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量j與三個(gè)向量中的一????個(gè)向量（如向量BC）垂直，而且使三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。生13：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請(qǐng)大家具體試一下，看還有什么問題？

教師參與學(xué)生的小組研究，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)向量的夾角，最后讓學(xué)生通過小組代表作完成了如下證明。

?????證法四：如圖8，設(shè)非零向量j與向量BC垂直。

?????????????因?yàn)锳B?BC?CA?0，?????????????所以(AB?BC?CA)?j?0 ??????????即AB?j?CA?j?0 B????????????????????|AB|?|j|?cos?AB,j??|CA|?|j|?cos?CA,j??0 ??c?|j|?cos(90??B)?b?|j|?cos(90??C)?0 ??c?|j|?(?sinB)?b?|j|?sinC?0

Ac?jbaC圖 8 向量所以bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時(shí)間給學(xué)生思考）

??????????師：AB?j?CA?j?0有什么幾何意義？

????????????????????生15：把AB?j?CA?j?0移項(xiàng)可得CA?j?BA?j?????????義可知CA與BA在j方向上的投影相等。，由向量數(shù)量積的幾何意生16：我還有一種證法

????????證法五：如圖9，作AD?BC，則AB與AC在????????????????????AD方向上的投影相等,即AB?AD?AC?AD

?????????????????|AB|?|AD|?cos(90??B)?|AC|?|AD|?cos(90??C)C

?c?sinB?b?sin 師：請(qǐng)你到講臺(tái)來給大家講一講。（學(xué)生16上臺(tái)板書自己的證明方法。）

AcBDabC圖 9 向量故bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！

【設(shè)計(jì)意圖】利用向量法來證明幾何問題，學(xué)生相對(duì)比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設(shè)計(jì)一些遞進(jìn)式的問題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。

（四）小結(jié)

師：本節(jié)課我們是從實(shí)際問題出發(fā)，通過猜想、實(shí)驗(yàn)，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，利用了幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。

（五）作業(yè)

1、回顧本節(jié)課的整個(gè)研究過程，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過程；

2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？

3、思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？

4、當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，證明正弦定理。

【設(shè)計(jì)意圖】為保證學(xué)生有充足的時(shí)間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時(shí)間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。

七、教學(xué)反思

為了使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。我想到了“情境——問題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版）第二章習(xí)題2.5 B組第二題，我將其加工成一個(gè)具有實(shí)際意義的決策型問題）；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題，逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題4與5時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。解決這兩個(gè)問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。

總之，整個(gè)過程讓學(xué)生通過自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。