第一篇：作文教案李美銀

《我的理想》作文教學(xué)設(shè)計(jì)

——人教版六年級下學(xué)期第三單元（李美銀）

教學(xué)目標(biāo)：

1.創(chuàng)設(shè)寬松自由的環(huán)境，通過師生相互傾訴自己的理想以及理想背后的故事，繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生傾聽、應(yīng)對和表達(dá)的能力，幫助學(xué)生樹立良好的理想觀。樹立遠(yuǎn)大理想，并為理想而努力。

2.在口語表達(dá)的基礎(chǔ)上進(jìn)行習(xí)作，表達(dá)自己內(nèi)在的真實(shí)體驗(yàn)，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的表達(dá)方法，進(jìn)行有條理的寫作。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1．確定理想要合乎現(xiàn)實(shí)。.注意文章的層次性，找到實(shí)現(xiàn)理想的途徑。

3.具體、生動(dòng)地描述自己的理想，有條理地進(jìn)行表達(dá)。

4.引導(dǎo)學(xué)生對習(xí)作《我的理想》進(jìn)行賞評、修改，讓學(xué)生在活動(dòng)中悟得習(xí)作之法、修改之法，提高習(xí)作能力。

教學(xué)過程：

一、談話導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生表達(dá)興趣。

二、用心暢談理想

1.學(xué)生大聲說自己的理想

2.指名說

3.師：理想雖然沒有好壞、對錯(cuò)、貴賤之分，但是，如果一個(gè)人的理想是崇高的，是對別人有益的，那么，他的人生也就更有意義了。其實(shí)理想也不是一成不變的，很可能會(huì)隨著年齡的增長、環(huán)境的變化而改變。比如：魯迅先生開始他的理想是想當(dāng)一名醫(yī)生，遠(yuǎn)赴日本求醫(yī)。后來，在一次偶然之中，他發(fā)現(xiàn)醫(yī)術(shù)只能救助中國人的身體，而不能醫(yī)治國人麻木的心靈，于是，他決定棄醫(yī)從文，用筆桿子喚醒中國人的靈魂。

4.聽了老師的話你是否要改改自己的理想呢？

三、回憶理想背后真實(shí)的故事

1.孩子們，不管你有什么樣的理想，我想，每一個(gè)理想背后，一定會(huì)有一個(gè)小小的故事。老師小時(shí)侯，非常羨慕教師這個(gè)職業(yè)，夢想有一天也能站在講臺(tái)上。再加上家庭條件很不好，就想早點(diǎn)參加工作。想聽聽老師理想背后的故事嗎？

2..教師讀下水文

3.讓我們在小組中說說你為什么要樹立這樣的理想？自己理想背后都有哪些故事。是因?yàn)槟硞€(gè)人，某一句話，某件事情或某一本書……然后各小組推薦1至2人全班交流。

4.這一樁樁，一件件理想背后的故事將成為我們美好的回憶，有了這一段段故事，就有了一份幸福的期待。.有人說：理想是用來追的，不是用來想的。記得作家巴金曾說過：理想不拋棄苦心追求的人，只要不停止追求，就終有實(shí)現(xiàn)理想的那一天。為了實(shí)現(xiàn)理想，很多人為之付出了艱辛的努力，才終于成功！

四、談?wù)劄閷?shí)現(xiàn)理想應(yīng)如何努力

1．學(xué)生談怎么做才能實(shí)現(xiàn)理想？如：多讀相關(guān)書籍，拓寬自己的知識面；或現(xiàn)在就好好學(xué)習(xí)，為以后的學(xué)習(xí)打下夯實(shí)的基礎(chǔ)……同桌進(jìn)行交流。

2.指名說說。

五、將所想成文

1.師：孩子們，此刻，你的心中一定涌動(dòng)著關(guān)于理想的種種激情，那就請拿好你手中的筆，準(zhǔn)備開始吧！

2.板書結(jié)構(gòu)安排：

是什么（略寫）

我的理想為什么（詳寫）

該怎么（詳寫）

心情和感受（略寫）

3.開始習(xí)作，教師輔導(dǎo)個(gè)別學(xué)生

六、、靜心修改取長補(bǔ)短

1.找你要好的伙伴互改。

2.自己在讀出聲來修改。

七、認(rèn)真謄寫在作文本上

第二篇：李銀畢業(yè)論文

齊 齊 哈 爾 大 學(xué)

畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

題

目

用概率論的方法證明組合恒等式

學(xué)

院

理

學(xué)

院

專業(yè)班級

信息與計(jì)算科學(xué) 082

學(xué)生姓名

李 銀

指導(dǎo)教師

崔 繼 賢

成績

****年**月**日

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

摘要

組合恒等式是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)組成部分，也是組合數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容.本文主要探討如何利用概率方法研究組合恒等式，主要從不同的角度解答同一概率問題，得到同一事件的概率兩種不同的表達(dá)形式，由其相等導(dǎo)出組合恒等式.通過構(gòu)造概率模型，利用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”證明組合恒等式，或者利用古典概率方法證明組合恒等式，也就是在實(shí)際問題中將需要證明的組合恒等式引證出來。對于需要被證明的組合恒等式，將所構(gòu)造概率模型中相關(guān)事件的概率計(jì)算出來以后，從而推導(dǎo)出式子兩端相等。每種論證方法中首先總的介紹這種方法是用的什么思想，然后列舉例子加以論證，使所述問題更加透徹.關(guān)鍵字：組合恒等式；概率模型； 古典概率； 數(shù)字特征

I

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

Abstract Combinatorial identity is an important part and research field of combinatorics.This paper explores using probabilistic method to derive combinatorial identities.We count a probabilistic problem by using different ways to obtain different expresses for the question.We build a probabilistic model on a classical probability to find or prove some identities by constructing the event whose probability equals 1 or 0, that is，the

the equatin will be drawn from the concrete problems.We investigate combinatorial identities using probability properties and numeral characters of a random variable with discrete type.Each method was first demonstrated the general description of what this method is thought, and then held some examples discussed.Keywords: Combinatorial identity;probabilistic model;classical probability;numeral characters

II

目 錄

摘要............................................................................................................................I Abstract........................................................................................................................II 第1章

緒

論..........................................................................錯(cuò)誤！未定義書簽。

1.1引言......................................................................................................................1 1.2課題背景............................................................................錯(cuò)誤！未定義書簽。1.3實(shí)際應(yīng)用方面的價(jià)值..........................................................................................2

1.4本文主要的研究內(nèi)容..........................................................................................3 1.5相關(guān)工作..............................................................................................................3 第2章 運(yùn)用概率論的基本理論證明組合恒等式......................................................4 2.1運(yùn)用完備事件組證明組合恒等式......................................................................4 2.2運(yùn)用全概率公式證明組合恒等式......................................................................7

2.3運(yùn)用概率性質(zhì)證明組合恒等式..........................................................................8 第3章 運(yùn)用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證明組合恒等式............................................11 3.1運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明組合恒等式....................................................11 3.2運(yùn)用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式................................................................18 3.3運(yùn)用等概率法證明組合恒等式........................................................................22 第4章 由概率方法引申出的恒等式證明................................................................26 4.1 級數(shù)恒等式的證明............................................................................................26 4.2 初等恒等式的證明............................................................................................27 4.3級數(shù)組合恒等式的證明....................................................................................27 總結(jié)..............................................................................................................................31 參考文獻(xiàn)......................................................................................................................32 致謝..............................................................................................................................33

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

第1章

緒

論

1.1引言

當(dāng)前，組合恒等式無論是在中學(xué)還是大學(xué)都應(yīng)用廣泛，很多問題都涉及到這方面的解法.在組合數(shù)學(xué)中，有很多類型的組合恒等式.這么多紛繁復(fù)雜的組合恒等式，我們必須尋求一種最簡便的方法使問題得以解決，查閱過很多資料，通過很多證明方法的檢驗(yàn)，我們尋求除了一種組合恒等式的證明方法－組合恒等式的概率方法.對于較為簡單的組合恒等式，我們可以一步就分析出結(jié)果，稍復(fù)雜的需要我們演算一兩步達(dá)到欲求的結(jié)果，但是并不是所有的組合恒等式都是那么的簡單，有的組合恒等式很復(fù)雜，我們要深入了解，就必須通過一步步的證明、深究，證明組合恒等式的方法有很多，譬如有分類法、概率法、求導(dǎo)法等一系列方法證明組合恒等式.本文，我們選用利用概率方法來證明組合恒等式，我主要介紹這幾種方法：構(gòu)造模型法、概率性質(zhì)法、數(shù)字特征法，這些都是前人通過比較發(fā)現(xiàn)的較為好的方法，我們加以更好的應(yīng)用，我們應(yīng)當(dāng)看到組合恒等式與概率二者的結(jié)合，只要把握了這一點(diǎn)，相信就能夠從中受益匪淺，感觸頗多.含有組合數(shù)的恒等式叫做組合恒等式.簡單的組合恒等式的化簡和證明，可以直接運(yùn)用課本所學(xué)的基本組合恒等式.事實(shí)上，許多試題中出現(xiàn)的較復(fù)雜的組合數(shù)計(jì)算或恒等式證明，也往往運(yùn)用這些基本組合恒等式，通過轉(zhuǎn)化，分解為若干個(gè)簡單的組合恒等式而加以解決.我們簡單的介紹四種組合恒等式：二項(xiàng)式組合恒等式、關(guān)于Catalan三角數(shù)的組合恒等式、基于格路模型的組合恒等式、由概率引起的組合恒等式.通過對一些組合恒等式的了解，我們就選用各種概率的方法加以證明它們，達(dá)到一個(gè)比較完善的效果.1.2課題背景

組合數(shù)學(xué)是以離散結(jié)構(gòu)為主要研究對象的一門學(xué)科，它主要研究滿足一定條 件的組態(tài)(一種安排)的存在性、計(jì)數(shù)及構(gòu)造等方面的問題.近幾年，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，組合數(shù)學(xué)得到了迅速的發(fā)展。

概率起源于歐洲國家的一種賭博方式——擲骰子。隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展的迫切需要，概率論在20世紀(jì)迅速地發(fā)展起來?？聽柲缏宸蚴状斡脺y度理論定義了什么是概率。他的公理化方法不僅成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，還使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。

由于其他學(xué)科、技術(shù)的推動(dòng)，概率論得到飛速發(fā)展，理論課題不斷擴(kuò)大與深

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)入，應(yīng)用范圍大大拓寬。俄羅斯的彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派，繼承和發(fā)展了古典概率論之精華，拯救了瀕臨危機(jī)的概率論；變革和制定了一系列研究方法，振興了概率論學(xué)科；提出和創(chuàng)立了概率論新思想，開拓了概率論新領(lǐng)域。由于資料的限制、語言的困難和文化的差異使得國內(nèi)外系統(tǒng)研究彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派概率思想者還甚少，有關(guān)資料相當(dāng)匱乏，一些相關(guān)論述大都出現(xiàn)在綜合性的書籍中，傾向于按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的習(xí)慣給出一般性的解釋，且多為簡要性介紹，讀者難以了解其精髓所在。鑒于彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派在概率論發(fā)展史上的重要地位，本文以概率論思想為主線，通過建立概率模型,對概率思想證明恒等式方面進(jìn)行了簡單的應(yīng)用。

組合數(shù)學(xué)和概率論的產(chǎn)生都可以追溯到十七世紀(jì)，從17世紀(jì)到20世紀(jì)30年代，組合數(shù)學(xué)受到娛樂及數(shù)論、概率論、化學(xué)等學(xué)科的推動(dòng)而迅速發(fā)展，得到了一般的存在定理和計(jì)數(shù)原理，如抽屜原理、容斥原理、波利亞計(jì)數(shù)定理等，還解決了一系列著名而有趣的組合學(xué)問題，如更列問題、家政問題、36軍官問題等，自20世紀(jì)以來，許多理論學(xué)科和應(yīng)用學(xué)科給組合數(shù)學(xué)提出了大量的具有理論和實(shí)際意義的課題，促使了許多新理論的產(chǎn)生，如區(qū)組設(shè)計(jì)、組合算法等，從而解決了一系列理論上的以及與經(jīng)濟(jì)發(fā)展密切相關(guān)的課題。此外證明常見的組合恒等式中概率的方法也有所應(yīng)用。

1.3實(shí)際應(yīng)用方面的價(jià)值

大家都知道，在證明初等恒等式的時(shí)候，如果我們采用初等方法，在一般情況下比較困難，在許多數(shù)學(xué)分支中，有很多的組合恒等式的形式通常不是顯而易見的，證明它們有一定的難度，這就會(huì)使得它們的應(yīng)用受到限制。如果可以對于會(huì)有帶來很多的便利。用概率論的方法去解決一些分析學(xué)中的問題或者證明一些組合恒等式，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的重要方向之一，根據(jù)有關(guān)資料的例子可以看出，運(yùn)用概率論的方法來證明組合恒等式，是值得我們探討的一個(gè)十分有意義的新問題。因?yàn)樵谶\(yùn)用概率論的方法證明組合恒等式時(shí)，它的思維靈活，背景生動(dòng)并且容易理解，表達(dá)方式單間，并且效率高而被許多數(shù)學(xué)家所喜愛。但是要熟練掌握這種證明方法，需要掌握知識的內(nèi)部聯(lián)系，而且必須了解知識的客觀背景，弄清楚知識的來龍去脈，編制知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，抓住問題的主要特征。如果在教學(xué)中利用好這類綜合性解題的良好教材，則可以沖發(fā)揮這種類型題材的應(yīng)用。

在學(xué)習(xí)概率論中，我們首先接觸到得的是古典概型，這些概率模型的特點(diǎn)是所研究的樣本容量中樣本的個(gè)數(shù)是有限的，常利用排列組合方法去解決古典概型中的問題，如分配問題，伯努利概型等。對于一些離散型隨機(jī)變量，也可用排列組合方法進(jìn)行討論，如超幾何分布等。反過來，可以通過構(gòu)造這些特殊的概率模型，利用概率模型的性質(zhì)，如概率函數(shù)的規(guī)范性，可以求解一些用常規(guī)方法難證

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)明的恒等式。有些恒等式用常用的分析方法證明是很不易的，如中學(xué)中的排列組合恒等式、或者更復(fù)雜的恒等式的證明，建立了概率模型后，通過求概率的思想，能很方便地把恒等式證明出來。

1.4本文主要的研究內(nèi)容

本課題研究的內(nèi)容是利用概率論的知識，巧妙地將其與組合恒等式有關(guān)的概率構(gòu)造出來并對其計(jì)算，分析，同時(shí)對組合恒等式加以證明，并由此給出了組合恒等式概率論的方法證明的方法和思路。

用概率論的方法證明組合恒等式的主要思想是在證明組恒等式的時(shí)候，如果我們從概率論的角度去分析它們可以使問題變得簡單，也就是說對于需要被證明的組合恒等式，在構(gòu)造構(gòu)造好概率模型之后，從不同角度的角度考慮其概率或隨機(jī)變量的數(shù)字特征，在運(yùn)用概率論的公式，有關(guān)性質(zhì)，結(jié)論等，將所構(gòu)造的模型相關(guān)事件的概率計(jì)算出來，從而可以推導(dǎo)出需要證明的結(jié)論，從而對于組合恒等式的證明更加即便容易掌握。

1.5相關(guān)工作

用概率論的方法證明一些關(guān)系式或者解決其他一些分析學(xué)中的問題，是概率論的研究方向之一，本篇論文就是這方面應(yīng)用的結(jié)果。關(guān)于組合恒等式的證明我們通常采用的是分析學(xué)的方法，但是用概率論的方法證明一些組合恒等式卻更加的簡便。對于如何使用概率論的方法證明組合恒等式，經(jīng)過本人得仔細(xì)思考，大致總結(jié)了以下幾個(gè)方法：

（1）運(yùn)用完備事件組證明組合恒等式（2）運(yùn)用全概率公式證明組合恒等式

（3）運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明組合恒等式（4）運(yùn)用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式（5）運(yùn)用等概率法證明組合恒等式（6）運(yùn)用概率性質(zhì)證明組合恒等式

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第2章 用概率論的基本理論證明組合恒等式

2.1 運(yùn)用完備事件組證明組合恒等式

這種方法的基本思想是：我們對于一些組合恒等式，可以構(gòu)造出適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，并且選擇出與組合恒等式相關(guān)的隨機(jī)變量，并求出它的分布列

P{??i}?Pi(i?1,2,?,n)?

接著我們再利用完備事件組的性質(zhì)?Pi?1，于是我們便達(dá)到了證明組合和恒等

i?1式的目的。

引理 設(shè){A1,A2,?,An}構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即A1,A2,?,An互斥，nni?Ai?1??，則?P(Ai)?1。[1]

i?1n例

1證明組合恒等式：

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

證明

我們可以利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造成如下概率模型：

假設(shè)盒子里有n副大小不同的手套，現(xiàn)在我們從中隨機(jī)抽取2m只（2m

pk?CpCm?kk2m?2k12m?2k(C2)2m2nC(k?0,1,2,?,m)

m根據(jù)完備事件組的性質(zhì)知道：

n?Pk?0k?1

于是可以得到

?Ck?0kn22(m?k)Cn?k2(m?k)?C2n2m

例

2證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

證明

首先我們將公式變形為

CnCkkn?1?CnCk?1kn?1?1

現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：一批貨物共n?1個(gè)，準(zhǔn)備批發(fā)出廠.若已知其中有一個(gè)是廢品，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽取k個(gè)貨物出來?1?k ?n?1?，問廢品被抽到的概率是多少？抽出k個(gè)貨物中沒有廢品的概率又

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)是多少？

若記事件A1為“抽出k個(gè)貨物中沒有廢品”的事件，那么事件A2?A1就是“抽到k個(gè)貨物中有廢品”的事件，即A1和A2為兩個(gè)對立事件.有

P?A1??CnCkkn?1.P?A2??PA1???C1Cnk1k?1Cn?1.由于A1,A2構(gòu)成完備事件組，所以，有

P?A1??P?A2??1.從而有

成立，即有

Cnk?1?Cnk?Cnk?1 成立.例

3證明組合恒等式

CmCn?CmCn0k1k?1CnkkCn?1?Cnk?1kCn?1?1

???CmCn?CmCm?Cm?n(其中m,n,k?N,k?m,k?n)

k?11k0k證明

現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：設(shè)盒子中有m張紅色卡片和n張白色卡片，每次取出k(k?m?n)張卡片，求得到i(i?m)張卡片的概率。(i?0,1,2,??,k)

記事件Ai為“取得i張紅色卡片和k-i張白色卡片”(i?0,1,2,??,k)則A0?A1???Ak??，且A0,A1,A2,?,Ak互不相容，kk于是

1?P(?)?P(?Ai)?i?0?P(A)

ii?0k又因?yàn)镻(Ai)?CmCnik?ikkCm?n這樣得出

?Ci?0imCmk?i?Cm?n

0k1k?1k?11k0kCn?CmCn???CmCn?CmCm?Cm?n 所以

Cm123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2例

4證明組合恒等式

Cn

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)證明

現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：將n個(gè)箱子排成一列，從紅黑白三種顏色的M張卡片中任取n(n?M)張卡片放到這n個(gè)箱子里，如果n張卡片中恰有一張紅色卡片，則包含的基本事件為n2n?1。

記事件Ai為“恰有n-i張白色卡片”（i?n?1），則這n?i張白色卡片放在n個(gè)箱子里共有Cnn?1種放法，而對于其他i個(gè)箱子只能放1張紅色卡片和i?1張黑色卡片，又有i種方法。所以，事件Ai包含的基本事件數(shù)為iCnn?1 于是

P(Ai)?iCnn2n?1n?1

顯然，A0,A1,A2,?,An互不相容，并且A0?A1???An??

nnin所以

1?P(?)?P(?Ai)?i?1?P(A)??i?1i?1iCnn2n?1n?1

又由于

Cnn?i?Cni

123nn?1?2Cn?3Cn???nCn?n2于是

Cn

例5 證明范德蒙（Vendermonde）恒等式

CnCm?CnCm0k1k?1??CnCm?Cn?mk0k

證明 我們首先來構(gòu)造一個(gè)如下的概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中有n?m張不同的卡片，其中n張紅色卡片m張白色卡片，我們隨機(jī)的從中取出k張卡片并且不放回作為一組。

記隨機(jī)變量?為取出的n張卡片所包含的紅色卡片數(shù)，我們可以容易的計(jì)算出?的分布列為

P{??i}?CnCmkik?iCn?mi?0,1,2,?,min(n,k)

并且由分布列的性質(zhì)我們可以得出

min(n,k)min(n,k)?P{?i?0?i}?1即

?Ci?0inCbk?i?Cn?m

kk1k?1k0k?CnCm??CnCm?Cn?m 但是當(dāng)m?n時(shí) Cnm?0 所以Cn0Cm

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)2.2 運(yùn)用全概率公式證明組合恒等式

引理

設(shè){Bn}為?的一個(gè)有限劃分，即BkBi??（k?i），（k,i?1,2,?,n.）

n?Bk?1k則?A?F?1且P(Bk)?0(k?1,2,?,n)，n，P(A)??P(Bk?1i)P(ABi)成立。

[1]

例

證明組合恒等式

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明

首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

接著我們利用全概率公式，構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)箱子中有n?m張卡片，但是其中有一張黑色卡片，一張白色卡片，現(xiàn)在隨機(jī)從中抽取k張卡片（1?k?n?1）

記事件A為“抽取的k張卡片中含有黑色卡片”

事件A為“抽取的k張卡片中含有白色卡片” 則P(A)?C1CnCkn?10k,由全概率公式：

C1Cnk1k?1P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?Cn?1?C1Cn?1Cnk?11k?2?C1CnCn?1k0k?C1Cn?1Cnk1k?1?Cn?1kk?2Cn?1?Cn?1kk?1Cn?1由于

P?A??P?A??1 從而得出

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

即

Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

如果將上述摸卡片模型稍微需做一下改變，設(shè)箱子中有n?1張卡片，其中僅有一張黑色卡片，其余均為白色卡片，就可以證得組合加法公式：

Cnk?1?Cnk?Cnk?1

如果我們建立如下摸卡片模型：設(shè)箱子里有m張黑色卡片和n張白色卡片，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取k（0?k?m?n）張卡片，仿照此例子，利用伯努利概率公式

Pk?Cnkpkqn?k 我們可以證明組合公式

CmCn?CmCn0k1k?1???CmCn?CmCm?Cm?n

k?11k0k

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)2.3 運(yùn)用概率性質(zhì)證明組合恒等式

我們利用概率的性質(zhì)來證明組合恒等式，這是一種方便的證明方法，而且簡單易懂，通常用“必然事件的概率等于1”和“不可能事件的概率等于0”來證明。

例1 證明組合恒等式 ?Cnk?k?k?0n?112k?2n

證明 我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)一個(gè)人有兩瓶牙簽，每瓶n根，每次用牙簽時(shí)，他在兩瓶中任取一瓶．然后抽出一根，使用若干次后，發(fā)現(xiàn)一瓶牙簽已經(jīng)用完，求另一盒中還有r根牙簽的概率.如果用 A1，A2分別表示甲瓶或者乙瓶中余下r根牙簽.用 Ar 表示一瓶用完，而另一瓶中有r根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一瓶已空時(shí)．這一瓶必定在前面已用過n次，另一瓶余下r根，從而另一瓶已用過n?r次，故共用了2n?r?1次.每次取到甲(乙)瓶的概率是12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ?? =C21n2n?r?1??1???????2??2?2n?rnn?r?12Cn2n?r?1??1???????2??2?nn?r

?1?=C2nn?r???2?

n由于r 的取值必定是1,2,?,n之一，故?Ar為必然事件，即

r?1?n?P??Ar??1，?r?1??1?也就是 ?C2nn?r???2?r?1n2n?r?1

令k?n?r, 則k?0,1,?,n?1，?1?所以 ?Cnk?k???2?k?0n?1n?kn?1?1或?Cn?kkk?012k?2.n例2 證明組合恒等式當(dāng)k?n時(shí)，齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

kkk1?2?n?1??n2?n?1?C?1???Cn?1???????1?Cn?1???1

n?n?n????1n證明 我們建立如下概率模型：

設(shè)有k張卡片，等可能地投入n個(gè)箱子，求每一個(gè)箱子中至少有一張卡片的概率.記事件B為每一箱子中至少有一張卡片

事件Ai為第i個(gè)箱子中沒有卡片（i?1,2,?,n）則 B?A1?A2?A3???An 根據(jù)容斥原理，得

PB?P?A1?A2?A3???An???

?n?P?A???P?A1i?1i1i2?1nni1?Ai2???

??1?n??i1i2?in?1?1i1?i2??in?1kPAi1Ai2?Ain?1???1??n?1P?A1A2?An?

因?yàn)镻?Ai???n?1?knk1????1??（i?1,2,?,n）

n??2????1??(對任意的i1?i2)

n??kPAi1Ai2????n?2?knk依次類推，對任意的i1?i2???in，我們有

PAi1Ai2Ai3?????3????1??n??k

PAi1Ai2?Ain?1?n?1????1??n??kk

n??P?A1A2?An???1??n??于是

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)n?i?1n1?1?P?Ai??Cn?1??n??k ?P?AiAi12?i1i2?1i1?i22?2??Cn?1??n??k

??所以1?2?n?1??n2?n?1?PB?C?1???Cn?1???????1?Cn?1??

n?n?n??????kkk1n從而 P?B??1?P?B?

kkk?1?1?2n?1????n即 P?B??1??Cn?1???Cn2?1???????1?Cnn?1?1??nnn????????????

但是由于k?n ,事件B每一箱子中至少有一張卡片為一不可能事件，故

P(B)?0,從而當(dāng)k?nk時(shí).kk1?2?n?1???? C?1???Cn2?1?????(?1)nCnn?1?1??nnn??????1n?1.1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 例3 證明組合恒等式 Cn證明 我們構(gòu)造如下概率模型：

有一枚均勻的硬幣，我們重復(fù)投擲n次，求它正面向上的次數(shù)的期望。顯然，我們知道?~B(n,)，于是便得出：

2nnn1 E???kp(?i?0?k)??kCi?0kn1n()?2?kCi?0kn2n

而且 ?k???1,第k次試驗(yàn)正面朝上?0,第k次試驗(yàn)反面朝上nnk?1,2,?,n

所以便得到 E(?)?E(??k)?k?1n?i?0E?k?n2

?kC那么

i?0kn2n?n2

1232n?1?2Cn?3Cn???nCn?2n 整理后，得 Cn

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)第3章 運(yùn)用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證明組合恒等式

3.1 運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明組合恒等式

在概率論中，我們可以討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征，并且通過隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望而進(jìn)一步證明一些恒等式。而運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征來證明組合恒等式就是我們依照需要被證明的組合恒等式的特點(diǎn)，然后構(gòu)造出合適的隨機(jī)變量，并且利用隨機(jī)變量的數(shù)字特征的定義，性質(zhì)來證明組合恒等式成立的方法，其中可以利用數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)方差等。利用數(shù)字特征法是證明組合恒等式的一種比較重要的方法，我們在了解了具體概念后就用一系列的例子加以說明并且具體闡述，從而讓我們了解到這種方法是怎樣的一種方法。

引理3.1.1

若隨機(jī)變量?的方差D(?),則D(?)=E(?2)?E2(?)引理3.1.2

伯努利概型設(shè)有服從二項(xiàng)分布

Ai?{??i},i?0,.1,2,?,n(其中0?p?1，n為非負(fù)整數(shù)n[1])，并有

?Ci?ninp(1?p)in?i?1[1]

k例1

證明組合恒等式

?Ck?minCk?Cn2mmn?m

證明

當(dāng)m=1和m=2時(shí)，我們可以用以下證明方法： 設(shè)?~b（n，p），Pk?Cnkpkqn?k(k?0,1,2,?,n),0?p?1且p?q?1

n當(dāng)m=1時(shí)：

E(?)?12n?kCk?0nknpqkn?k?np

令p=，則?kC?n2knk?1n?11n?1，也就是?Ck1Cnk?Cn 2k?1當(dāng)m=2時(shí)：

nE(?)?E[?(??1)??]?E[?(??1)]?E(?)?2?k(k?1)Ck?1knknPqkn?k?np

n根據(jù)公式D(?)=E(?)?E(?)，從而得出npq?12n22?k(k?1)Ck?2?n(n?1)2n?2

令p=，則

?k(k?1)Ck?2kn?n(n?1)2n?2

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)以上兩個(gè)是特例，它的一般性情況證明如下：

運(yùn)用推廣的伯努利概型和多項(xiàng)式分布，我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中有紅黃白三種顏色的卡片若干，每次隨機(jī)抽取一張，取后放回，這樣連續(xù)做n次，p1和p2表示每次抽取紅色卡片與黃色卡片的概率，?1和?2表示每次抽到的紅色卡片與黃色卡片的次數(shù)。于是（?1，?2）服從多項(xiàng)分布，其分布律為

P{?i?i,?j?j}?令p1?14,p2?12n!i!j!(n?i?j)!p1p2(1?p1?p2)ijn?i?j，則聯(lián)合分布率為：

n!i!j!(n?i?j)!?122n?1

P{?i?i,?j?j}?n?m

它的邊緣分布為：P(?2?m)?1?i?0p{?1?i,?12?m} 112n同時(shí)

?2~B(n,),P(?2?m)?Cnm()m()n?m?Cnm222

因?yàn)槎囗?xiàng)分布的邊緣分布是二項(xiàng)分布，從而兩式相等，也就是：

n?m

?Ci?0m?inCm?i?Cn2imn?m

k所以證得原組合恒等式?CniCkm?Cnm2n?m成立。

k?mm?1例2

證明組合恒等式

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

證明

我們利用隨機(jī)變量的數(shù)字特征，構(gòu)造出一下概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中裝有n張白色卡片，m張黑色卡片，一張接一張地將卡片取出，直到取出白色卡片為止，求平均要取多少張卡片。

這是求一個(gè)隨機(jī)變量X的期望值：

記事件{X?i}={取出的前i-1張卡片全是黑色卡片}，?1(X?i)令Xi???0(X?i)?，那么

xi?ixi?

?Xi?0??Xi?0??Xi?x?1??1??0?x

i?1i?x?1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

i?1x?im?!由于Xi非負(fù)，所以EX??E(Xi?0)??P(Xi?1?i)??Ci?1Cmi?1n?m

但是我們可以將EX更簡單的表示形式計(jì)算出來，于是我們假設(shè)已經(jīng)把所有的同時(shí)令X1表示第一張白色卡片之前的黑色卡片n?m張卡片從盒子中取出來了，張數(shù),?,最后Xn?1表示最末一張白色卡片之后的黑色卡片張數(shù)，根據(jù)X1的定義：

X1?X2???Xn?1?m,Ex1?Ex2??Exn?!?m

n!m!(n?m)!在考慮x1,x2,?,xn?1的聯(lián)合分布為P{X1?i1,X2?i2,?,Xn?1?in?1}=中i1,i2,?,in?1是非負(fù)整數(shù)，它們的和為m。，其這是因?yàn)閺暮兄腥〕龅膎?m張卡片一共有(n?m)!種可能方法。而且，取出的先是i1張黑色卡片，接著是一張白色卡片，再接著是i2張黑色卡片，接著又是一張白色卡片等等，很明顯，共有n!m!種可能方式。因此，就可以得到上述式子。

于是我們可以得到：X1,X2,?,Xm?1的聯(lián)合分布是i1,i2,?,in?1的對稱函數(shù)，所以對任意n個(gè)變量求和，所得到的結(jié)果是相同的，于是我們知道xi的邊緣分布相同。從而

EXi?mn?1(i?1,2,?,n?1),EX?[1?Xi]?1?m?1mn?1?n?m?1n?1

于是我們得出

?Ci?1Ci?1i?1n?mm?n?m?1n?1

如果采用分析學(xué)的方法來證明這個(gè)組合恒等式是非常難的，所以我們采用數(shù)字特征法來證明。

nnkn例3

證明組合恒等式

?kCk?1?n2n?1，?kk?12Cn?n(n?1)2kn?2.證明

我們可以考慮下列隨機(jī)變量的數(shù)字特征.設(shè)一名籃球運(yùn)動(dòng)員在條件相同下向同一籃筐投籃n次，每次進(jìn)球的概率為12，考慮“投進(jìn)籃筐次數(shù)”這個(gè)隨機(jī)變量X的數(shù)字特征.?1,第k次投進(jìn)籃筐

記 Xk???0,第k次沒有進(jìn)籃筐

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)則X1、X2、X3、?、Xn獨(dú)立同為二點(diǎn)分布：P?Xi?1??P?Xi?0??（i?1,2,?,n）, 且X?X1?X2???Xn服從二項(xiàng)分布B(n,所以

EX?E(X1?X2???Xn)=?E?Xk??k?1nn1212)

?k?1P?X1?1??n2

D?X??D?X1?X2???Xn??nn?k?1D?Xk??nD?X1??n4

而

E?X??12nn?kP?Xk?0kn?k??12nnn?kCk?1knkn

?

?kCk?1n2?n

2即

?kCk?1?n2n?1

又

E?X???kP?X2k?0?k??12nn?kk?12kCn

E?X2??D?X??E?X?

2?

12nn?kk?12Ckn?n?????

即 4?2?rn2nkCn?n(n?1)2k?12kn?2

例

4證明組合恒等式

?Ck?0kmCnr?k?Cm?n

r證明 考察從由n?m個(gè)大人和n個(gè)孩子組成的家庭隊(duì)伍中選取r?1個(gè)人參加親子比賽的問題.所選r?1個(gè)人中大人的人數(shù)用X 表示，則隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且

P?X?k??Cm?1Cnr?1kr?1?kCm?n?1（k?0,1,?,r?1）

于是

E?X??r?1?kk?0Cm?1CnCrkr?1?k ?r?1m?n?1??m?1??r?1?r?1k?1r?1?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?1?m?1??r?1?kr?kCmCn?r?m?n?1?Cm?nk?0

令

?1,第k個(gè)大人被選中Xk???0,第k個(gè)大人未被選中?

P?Xk?1??r?1m?n?（k?1,2,?,m?1）

r?1m?n?1;E?Xk??P?Xk?1??, k?1,2,?,m?1.齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)?

X?X1?X2???Xm?1

?

E?X???E?X???P?Xkk?1k?1nm?1m?1k?1???r?1??m?1?m?n?1k

例

5證明組合恒等式

?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1m?nm(m?1)

證明 一個(gè)盒子中裝有m張白色卡片n張黑色卡片，我們進(jìn)行連續(xù)不放回地抽取卡片，直至摸到白色卡片時(shí)為止，下面考察取黑色卡片數(shù)的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量?表示取黑色卡片數(shù)

?1,前（i-1）次都是取到的黑色卡?i???0,前（i-1）次至少取到白色卡片n片，第i次也取到黑色卡片一次，或第i次取到白色卡片其中i?1,2，?，n則

????i?1i

又

p??i?1??n(n?1)??n?i?1??m?n??m?n?1???m?n?i?1?

且

E?i?p??i?1? 于是我們得出

nniE????E?i?1???m?n??m?n?1???m?n?i?1?i?1n?n?1???n?i?1?n?m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?3??m?2??m?n???m?2??m?1?nn?n?1?n?n?1??4n?n?1??4?3??m?1??2????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?4??m?n???m?3??m?1?nn?n?1?n?n?1??5n?n?1??4??m?1??3????????m?n??m?n??m?n?1??m?n???m?5??m?n???m?4??m?1?nn?n?1??????m?n??m?n??m?1??nm?1?n?n?1????n?n?1??3?2?n?n?1??3?2?1?化簡時(shí)，每一次只將最后兩項(xiàng)通分?k個(gè)?????????

同時(shí)，???k???黑，黑，?黑，白??????? 其中k?0,1,2,?,n.k?1??k?1?.則p???k??Cnk?m/Cm?n

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)從而

E????k?p??k?0nk?1n?1k?1n?k??kn?K?Ck?1kn?m/?k?1??Ck?1m?n?m?n?Cn?1/?m?n??C?m?n??1k?1k?1n?k?1??1

?Cm?nmn/Cm?n?1n 由E?的唯一性知：nmnm?n?k?1Cn?1/Cm?n?1?k?1knm?1

k整理即得：?Cnk??11/Cm??n?1k?1m?nm?m?1?n.例6

證明組合和恒等式

?k?2k?0k?C2n?k??2n?1??C2n?2nn2n

證明

首先，我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)某人有兩瓶牙簽，每一瓶都有n根，每次用牙簽的時(shí)候，他在兩盒中任取一盒，然后抽出一根適用若干次后，發(fā)現(xiàn)一瓶牙簽已經(jīng)用完，求另一瓶中有k根牙簽的概率。

如果用 A1，A2分別表示甲或乙瓶中余下 k根牙簽.用 Ar 表示一盒用完，而另一盒中有 k根的事件，則Ar?A1?A2.注意到，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一盒已空時(shí)． 這一盒必定在前面已用過 n次，另一盒余下k根，從而另一盒已用過n—k 次，故共用了2 n —k +1 次.每次取到甲(乙)瓶的概率是

12.所以

PAr?P?A1?A2??P?A1??P?A2? ???1??1?

=C2nn?r?????2?2??2?1nn?r?1??1?n?C2n?r?????2?2??2?1nn?r

=C于是我們得出：

n2n?r?1????2?2n?r

p???k??C2n?kn?1?????2?2n?k,k?0,1,2,?,n.下面用不同的方法計(jì)算隨機(jī)變量?的期望值.齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

2n?k根據(jù)定義：E??122n?k?p??k?0nn?k??n?k?Ck?0n2n?k?1?????2?

=?K?2k?0kn?C2n?k

另一方面，設(shè)E??u，由?p???k??1知：

k?0nnnn?u?n??p???k??k?0?K?P??k?0n?1k?0?K??K???n?k??P??k?0n?k???1?????2???n?k??P??2n?k????n?k??Ck?0n?1n?k2n?k???n?k??Ck?0n?1n?1n?k2n?k?1?????2?2n?k??????2n?k??Ck?0n?1k?0n?k?12n?k?1?1????2?2n?k?1?1?????2???2n?k??p??2n?122n?12?k?1??112n?1?p??k?0n?1?k?1??2k?0??k?1??p???k?1??1?p???0????/2

2n?122n移項(xiàng)整理得：E???2n?1??p???0??1?由E?的唯一性知：n?C2n?1

nn122nn?k?0k?2?C2n?k?kn2n?122nC2n?1

整理即得：?k?2k?C2nn?k??2n?1??C2nn?22n

k?0n?1例7 證明組合恒等式 ?k(k?1)(n?k)?2Cn4?1

k?2證明 我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)有n張撲克牌，其中只有3張是K,我們將撲克牌洗一遍之后再從中隨機(jī)不放回抽取，直到抽取到第二張K為止，此時(shí)抽出的紙牌數(shù)為?，求它的期望。

首先我們先需要計(jì)算出?的分布列，按照古典概率的計(jì)算：

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)P(??k)?3!(n?3)!(k?1)(n?k)n!?6(k?1)(n?k)n(n?1)(n?2),k?2,3,?,n?1

然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義我們可以得出：

n?1E???kp(?k?2?k)?k(k?1)(n?k)? ?n(n?1)(n?2)k?26n?1另外，我們假設(shè)從最低下開始一張一張地翻牌，直到抽取到第二張K出現(xiàn)為止，此時(shí)抽出的紙牌數(shù)目為?，由對稱性可知，?與?有相同的分布列，于是也有相同的數(shù)學(xué)期望，即E??E?,而且它們有關(guān)系：????n?1 對這個(gè)式子兩邊求期望：E??E??n?1 所以E??n?12然后將其帶入?式可得

n?1?k(k?1)(n?k)?2C

4n?1k?23.2 運(yùn)用構(gòu)造概率模型證明組合恒等式

運(yùn)用構(gòu)造概率模型證明組合和恒等式大體上分為兩步：

n 第一步，將待證明的組合恒等式改寫為?Pi?1的形式；

i?1 第二步，通過構(gòu)造出合適的概率模型，使得完備事件組Ai(i?1,2,?,n)互斥，n并且?Ai??，同時(shí)P(Ai)?pi(i?1,2,?,n)。

i?1 其中第一步需要掌握靈活的恒等式變形能力，以及敏銳的觀察力，而要完成關(guān)鍵的第二步，必須對于古典概率問題有深刻的理解，還要把握許多的綜合條件，同時(shí)具有豐富的聯(lián)想能力。由于證明中的關(guān)鍵是對隨機(jī)事件概率的逆過程的求解——我們需要由Pk去尋找Ak,故在思考過程中起主導(dǎo)作用的是發(fā)散性思維，創(chuàng)造性思維。

例1 證明組合恒等式 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1 證明 首先我們將公式變形為

CnCk?1kn?1?Cn?1Ck?1kn?1?Cn?1Ckn?1k?1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)接下來，我們構(gòu)造這樣的概率模型：

一個(gè)盒子里裝有n?1張卡片，其中有一張紅色卡片，一張黑色卡片，n?1張白色卡片，現(xiàn)隨機(jī)地從盒子中抽取k張卡片.設(shè)事件A為k張卡片中有紅色卡片的事件，事件A的逆事件記為A.則 P?A??C1CnC1k?1kn?1;

設(shè)事件B為k張卡片中有黑色卡片的事件，事件B的逆事件記為B,由事件間的關(guān)系有

A?A?B?B??AB?AB.從而 P?A??P?AB?AB?

?P?AB??P?AB? 所以 P?A??C1C1Cn?1Ckn?101k?1?C1C1Cn?1CCnkn?100k.k?1k由對立事件和得性質(zhì)P?A??P?A??1.可得

k?1kCn?1?Cn?1Cn?1?Cn?1Cn?1kk?1

從而 Cnk?1?Cnk?1?Cnk??11?Cnk?1

例2 證明組合恒等式 1?Cn?mC1n?11?Cn?m?Cn?m?1C1n?111?C1n?2??Cn?m?C3C2C1C1n?11111?C1m?1C1m?nm.證明 我們首先將公式變形為 CmCn11?CmCn?mCnCn?11111?CmCn?mCn?m?1CnCn?1Cn?2111111???CmCn?m?C3C2C1CnCn?1?Cm?1Cm111111111?1

接下來，我們構(gòu)造這樣的概率模型：

一個(gè)盒子中中裝有n張卡片，其中有m張紅色卡片，現(xiàn)在從中連續(xù)取出卡片并且不放回，求取得紅色卡片的概率。

記事件A為取得紅色卡片，事件Ai為第i次取得紅色卡片 于是我們得到 A=A1??A1A2???A1A2A3?????A1A2?An?m?An?m?1? 由加法公式、乘法公式及條件概率的定義，得

P?A??CmC1n1?Cn?mC1n1?CmC1n?11???Cn?mC1n1?Cn?m?1C1n?11??C1C11m?1?CmC1m1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)顯然，只要逐個(gè)取卡片，早晚是要取得紅色卡片的.即事件A為一必然事件，故P(A)?1.所以1?Cn?mCn?111?Cn?m?Cn?m?1Cn?1?Cn?21111??Cn?m?C3C2C1Cn?1?Cm?1Cm1111111?nm.古典概率與組合數(shù)有著十分密切的聯(lián)系，某些組合式本身或稍加整理，就具有某種明顯的概率意義.例如

CmCn?mCrnkr?k就可視為下面概率問題的解：“某盒中有n個(gè)球，其中有紅球m個(gè)，今從盒中任取 r個(gè)球，求恰有k個(gè)紅球的概率”，基于這一點(diǎn)，對某些組合恒等式，我們可采用古典概率的方法來證明.n?kkn例3 證明組合恒等式 ?CmCr?k?Cm?r?1 ?n?m? ?kk?0n證明 我們構(gòu)造如下古典模型：

一個(gè)城市的道路是經(jīng)緯均勻網(wǎng)狀，李某的家庭住址和上班地點(diǎn)恰好分別處于兩個(gè)交叉點(diǎn).以李某的家庭住址所在的兩條路為坐標(biāo)軸、交叉點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，并使李某的上班地點(diǎn)處于坐標(biāo)系第一象限之中.設(shè)李某的上班地點(diǎn)位于點(diǎn)(m?n?r?1,n).考慮李某從家庭住址到上班地點(diǎn)走過的路最短時(shí)所選擇的路徑問題，（即在以(0,0)、(0,n)、(m?n?r?1,n)、(m?n?r?1,0)為頂點(diǎn)的矩形內(nèi)，李某從住處到單位上班沿與X軸平行的方向行走時(shí)只能向左拐，沿與Y軸平行的方向行走時(shí)只能向右拐）.易知，李某從家庭住址到上班地點(diǎn)走過的路最短所選擇經(jīng)過的路徑共有Cm?r?1種不同方式.n記Ak表示事件“李某經(jīng)過端點(diǎn)為(r,k)和(r?1,k)的路徑數(shù)”

Ak所包含的基本事件個(gè)數(shù)為:從(0,0)點(diǎn)到(r,k)點(diǎn)走過的路徑數(shù)乘以從(r?1,k)點(diǎn)到(m?n?r?1,n)點(diǎn)的路徑條數(shù).n?kkn?k?Cr?kCm?k 即為 Crk?kCm?n?r?1?(r?1)?n?k? P?Ak??Cr?kCm?kCnm?r?1kn?k（k?1,2,?,n）

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)由Ak的定義知，A0、A1、?Ar構(gòu)成一個(gè)完備事件組.?r? ? 1?P?A??k????k?0?n?P?A???kk?0k?0rrCr?kCm?kCnm?r?1kn?k

n?kn上式整理得： ?Crk?kCm?Cm?r?1 ?kk?0令m?n得： Cr0?Cr1???Crn?n?Crn?n?1

n例4 證明組合恒等式 Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

證明 我們構(gòu)造如下古典概率模型：

設(shè)將n張相同的卡片放到r個(gè)不同的盒子中，把這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為一個(gè)向量(x1,x2,?,xr)，其中xi表示被分到第i個(gè)盒子中的卡片數(shù)，于是滿足 x1?x2???xr?n(?)的向量(x1,x2,?,xr)的個(gè)數(shù)。

考慮n張白色卡片與r?1張黑色卡片組成的排列，將每一個(gè)這樣的排列與(?)式按照下面的方式對應(yīng)起來：使x1等于排列中第一張黑色卡片左邊的白色卡片的張數(shù)，x2等于第二張黑色卡片間白色卡片的張數(shù)，如此繼續(xù)到xr，它等于最后一張黑色卡片右邊的白色卡片的張數(shù)。很容易得到n張白色卡片與r?1張黑色卡片的所有排列與方程(?)的全體解一一對應(yīng)，由于排列共有

(n?r?1)!n!(r?1)!n?Cnn?r?1個(gè)，即解也有Cnn?r?1個(gè)，所以得到Cnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

或者還可以如下：我們很明顯看出x1可取0,1,2,?,n的n?1個(gè)值，x2,?,xr可以組成一個(gè)r?1維向量(x2,?,xr)

令A(yù)0：當(dāng)x1=0時(shí)，(x2,?,xr)的解的個(gè)數(shù)為Cnn??rn?

2;?;

An：當(dāng)x1=n時(shí)，(x2,?,xr)的解的個(gè)數(shù)為Cnn?r?2

nn?Ci?0n?in?i?r?2由于 ?P(Ai)?i?0Cn?r?121

n?1

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)所以得到 Cnnn?r?1??Ci?0n?in?i?r?2

r例5 證明組合恒等式 Crr?m??Cj?0jm?j?1

?1r證明 之前的例子我們證明過這樣一個(gè)組合恒等式：Cnr?Cnr??Cn?1 1這個(gè)需要被證明的組合恒等式實(shí)際就是該組合恒等式的推廣，于是我們建立如下古典概率模型：

現(xiàn)在將m?r張卡片從1進(jìn)行編號，并從中抽取r張卡片作為一組，用n來表示1,2,?,n號都被選出而n?1號未被選出的最大值，如1號未被選出那么n?0.若1號選上了而2號未被選上，則n?1，如此等等，令n?i，不同組的卡片數(shù)顯然等于從編號為i?2,i?3,?,i?m的卡片中抽出r?i張卡片的選法總數(shù)。于是

rn?i的組有Cr?im?r?i?1個(gè)，因此總數(shù)Crm?r滿足Crrm?r??Ci?0r?im?r?i?1

我們令j?r?i得 Crr?m??Cj?0jm?j?1

3.3運(yùn)用等概率法證明組合恒等式

我們從不同的角度解答同一個(gè)概率問題，就可以得到同一事件的概率兩種不同的表達(dá)形式，并且由它們相等來證明組合恒等式。在概率問題中，我們往往不能局限在一種思維，其實(shí)可以用多角度的思想去解答，這樣也會(huì)給證明帶來便利。

1nn???Cn?2 例1 證明Cn0?Cn證明 這是一個(gè)重要的組合恒等式, 這里用概率的思想證明.為此我們構(gòu)造如下概率模型：

“某人投籃命中率，現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù)投籃了n次，問投進(jìn)的概率是多

21少？”

記事件Ak為投籃n次投進(jìn)了k次（k?1,2?,n）, 于是問題是求P?A1?A2???An?.由于A1,A2,A3?An兩兩互斥，得

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)P?A1?A2???An???P?A?

kk?1n1??1? =?Cnk??????2??2?k?1nkn?kn??k?1Cn2nk

又因A1?A2???An的對立事件是A1?A2?An，問題可以轉(zhuǎn)化為求1?PA1?A2?An，而 ?? P?A1?A2?An??Cn2n0

Cn2n01?PA1?A2?An?1???

1nn???Cn?2.即Cn0?Cn1例2 證明組合恒等式 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

222證明 根據(jù)組合式的性質(zhì).Cnr?Cnn?r, 原式左邊可變形為：

CnCn?CnCn0n1n?1???CnCn?C2nn0n

兩端同除以C2nn，得：

CnCnC2nn0n?CnCnC2nnkn?1???CnCnC2nnn0?1

我們來觀察上面這個(gè)式子式的概率意義，可以構(gòu)造下面的模型：

“一盒子里有2n張卡片，其中n張白色卡片n張紅色卡片，今從中任取n張卡片，求至少有一張紅色卡片的概率.”

記事件A為抽得的n個(gè)球中至少有一張紅色卡片；

事件Ai為抽得的n個(gè)球中恰有i張紅色卡片

則 P?Ai??CnCnCn2nin?i（i?1,2?,n）

而 A?A1?A2???An 且 Ai?Aj?? ?i?j? 根據(jù)有限可加性，得

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)P?A??P?A1??P?A2????P?An? ?CnCnC2nn1n?1?CnCnC2nn2n?2???CnCnC2nnn0

另一方面 A?{ 抽得的 n 張卡片都是白色卡片 } 而 P?A??CnCnCn2n0n

CnCnC2nn0n于是

P?A??1?PA?1???

所以 CnCnCn2n1n?1?CnCnCn2n2n?2??CnCnCn2nn0?1?CnCnCn0nn2n CnCn?CnCn2001n?1???CnCn?C2n2n01即 ?Cn0???Cn?????Cnn??C2nn

2m例3 證明組合恒等式 ?CniCnm??ii?Cnm?2m

i?0證明 我們構(gòu)造以下概率模型：

設(shè)箱子中有n付大小不同的手套，現(xiàn)在我們隨機(jī)從中取出m只，計(jì)算取出的手套全不配對的概率.把從2n只手套中取出m只不同手套的組合作為樣本點(diǎn)，則樣本點(diǎn)總數(shù)為C2nm.記事件A為取出的m只手套全不配對，接下來計(jì)算P(A).方法一 A發(fā)生要求m只手套必須取自于不同型號種類的手套，而手套的種類有n種，因而m只手套可有n種可供選取，共有Cnm個(gè)選取種數(shù).同時(shí)，在每一

1種類型號的手套中又有“左”、“右”兩只手套可選擇，有C2種取法，這樣，取11??C（出m只手套共有C2m個(gè)）種取法.綜合上述，A的基本事件數(shù)目為Cnm?2m，2則P?A??Cnm?2m/C2mn.方法二 令A(yù)i?取出的m只手套中含有i個(gè)“左”只手套，i?0,1,?m.顯然

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)A??Ai 且 AiAj??（i?j)則 P?A??i?0m?P?A?.又因?yàn)锳中的i只“左”

imii?0手套可有n種“左”手套可供選取，共有Cni種取法.其余另外的m?i只手套全是“右”手套，為了使得取出的m只手套全不配對，那么，這n?i只“右”手套只能在剩下的n?i種型號的手套所對應(yīng)的n?i“右”手套中選取，共有Cnm??ii種取法.于是，由乘法原理可得，Ai的基本事件數(shù)目為CniCnm??ii（i?0,1,2?m）那么

P?Aii??Cim?nCn?i/Cm2n mm由此可得 P?A???P?A?im?ii??CnCn?i/Cm2n

i?0i?0綜合上述可得組合恒等式:

m?Cim?imnCn?i?Cn?2m i?0n例4 證明組合恒等式 ?Cin?iaCb?Cna?b?Cnb

i?1證明 我們構(gòu)造如下的概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中有a張黑色卡片，b張白色卡片，我們現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取

(n?min(a,b))張卡片，求所取的卡片中至少有一張黑色卡片的概率。

記事件A為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片；

事件Ai為任取的n張卡片中至少有一張黑色卡片（i?1,2,?,n）

nn那么A1,A2,?,An是互不相容事件并且?Ai??，則?P(Ai)?1

i?1i?1in?i而

P(AaCbi)?Cn(iC?1,2,?,n)

a?bni?in?CaCnb于是

P(A)??P(A)?i?1in

i?1Ca?b記事件A為任取的n張卡片中沒有黑色卡片

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

n則

P(A)?CbCna?b

Cbnn那么

P(A)?1?P(A)?1?nCa?b

所以我們得到

?Ci?1iaCbn?iCna?b?1?CbCnna?b

n整理可得

?Ci?1iaCbn?i?Ca?b?Cbnn

第4章 由概率論方法引申出的恒等式證明

4.1 級數(shù)恒等式的證明

?例 證明級數(shù)恒等式 ?n?1n(n?1)!?1

證明 我們建立如下概率模型：

設(shè)有一個(gè)盒子，里面裝有黑色卡片和白色卡片，設(shè)其為事件A，其中白色卡片一張，黑色卡片無數(shù)張，則事件A只包含兩個(gè)基本事件摸出為黑色卡片（設(shè)為事件B）和摸出白色卡片（設(shè)為事件C）的隨機(jī)試驗(yàn)，我們進(jìn)行有放回的隨機(jī)抽取卡片，并且為獨(dú)立重復(fù)n次試驗(yàn)，則在第k次試驗(yàn)中，B出現(xiàn)的概率P(k)，不出現(xiàn)的概率為Q(k)，則Q(k)?1?P(k)。

現(xiàn)令T(n)表示在n次獨(dú)立試驗(yàn)中B首次出現(xiàn)在第n次試驗(yàn)中的概率，于是有T(1)?P(1)，T(2)?Q(1)P(2)，??，T(n)?Q(1)Q(2)??Q(n?1)P(n), 令P(N)??T(n)，?(N)??Q(n)，則有P(N)??(N)?1。

n?1n?1NN取P(n)?nn?1，則?(N)??Q(n)??n?1NNn?1NNN1n?1n，N故P(N)??(N)??T(n)??Q(n)??n?1Nn?1n?1（n?1）!???n?11n?1?1

由于N??，lim?1n?1N??n?1?0，所以有?n?1n(n?1)!?1，齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)4.2 初等組合恒等式的證明

例

證明下面兩個(gè)組合恒等式

?1(1)Cnr?Cnr?1?Cnr?1

其中n,r,s,?N

(2)Cns?1?Cn?1?Cn?2????Cs 其中n,r,s,?N sss證明

(1)我們建立如下概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中裝有n張卡片,其中僅有一張紅色卡片，現(xiàn)從盒子中取出r張卡片，則有Cnr種取法。于是我們可將這Cnr種取法分為兩類：一類是包含紅色卡片的，取定了那個(gè)紅色卡片之外，還需在剩下的n?1張卡片中取出r?1張卡片來，?1共有C11Cnr?種取法；另一類是不含紅色卡片，應(yīng)在除去紅色卡片后的n?1張卡片1中取出r張卡片，因此共有C10Cnr?1種取法，并且這兩類取法之和即為取法總數(shù)，即Cnr種取法。所以有

Cn?C1Cn?1?C1Cn?1?Cn?1?Cn?1，故(1)式得證。

下面證(2)式：

對(2)式作變換：令r?s?1有

Cns?1r1r?10rr?1r?Cn?1?Cn?1

s?1ss?1s再令n?n?1有

Cn?1?Cn?2?Cn?2

以此類推…

Cs?2?Cs?1?Cs?1?Cs?Cs?1

s?1sss把上面的式子左右各相加，化簡有 Cn?Cn?1?Cn?2?......?Cs。

s?1s?1s?1sss(2)式得證。

4.3 級數(shù)組合恒等式的證明

例

證明下面的級數(shù)組合恒等式

ki?0(1)?CCimk?in?Ckn?mki?0

(2)?CC?Ciminnn?mki?0

(3)?CnCn?ii(2n)!(n!)2

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

??0當(dāng)1?r?nn?kkr?(?1)C(n?k)?當(dāng)r?n(4)?n!nk?0?n(n?1)?n!當(dāng)r?n+1?2證明

(1)我們構(gòu)造如下概率模型：

設(shè)一個(gè)盒子中有n張白色卡片和m張黑色卡片，我們現(xiàn)從中隨機(jī)地取出k張卡片，考慮取出的k張卡片中有i張白色卡片的事件Ai(i=0，1，?，k)的概率，于是可得

P?Ai???A0,A1，??，AkkkCmCnCik?ikn?m，i?0,1,2??????k，是互不相容的事件，且這k?1個(gè)事件之并是必然事件，即UAi??，則?P(Ai)?P(?)?1，i?0i?0k于是?CmCnkik?iki?0i?0Cn?m?1，即?CmCnik?i?Cn?m.k(2)令k?n，由式(1)可得式(2)；(3)令n?m，由式(2)可得式(3)。(4)欲證此等式，首先引入一個(gè)引理

引理：設(shè)隨機(jī)事件A1，A2,??????,An滿足

P(Ai)?p1,(i?1??n)

P(Ai1Ai2)?p2,(1?i1?i2?n)

P(Ai1Ai2Ai3)?p3,(1?i1?i2?i3?n)

??，P(A1A2??An)?pn，nk?1nk?1則有P(?Ak)??(?1)k?1CnP(k)

（1）

k為了證明本式，我們建立如下概率模型：

從1到n這n個(gè)自然數(shù)中每次任取一數(shù)，有放回地抽取r次，令A(yù)i={取出的r個(gè)

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)數(shù)均不等于i，i?1，2，??，n則

pk?P(Ai1Ai2??????Aik)?(nk?1nk?1n?knk?1),(1?i1?i2????ik?n,k?1,2??n)

n?knr則由(1)式P(?Ak)??(?1)Cn(k)，（2）

nr當(dāng)1?r?n時(shí)，必存在i使得取出的r個(gè)數(shù)均不等于i，因此?Ai是必然事件，于

i?1是，由(2)式有

n?(?1)k?1k?1C(knn?kn_r)?P(?Ai)?1?C，即

?(?1k)?1Cnkn(?k)?，0

rni?10nnk?1① 當(dāng)r?n時(shí)，Ai={取出的n個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)等于i}，i = 1,2,?,n，于是，n?Ai?{取出的n個(gè)數(shù)均不相同}，由[7]知其概率為i?1n!nn，從而有

n!nnni?1ni?1P(UAi)?1?P(?Ai)?1?n

kkr(?k)?n!把上式代入(2)式整理可得

?(?1)Cnnk?0ni?1ni?1② 當(dāng)r?n?1時(shí)，則?Ai?{取出的n?1個(gè)數(shù)恰有兩個(gè)數(shù)相同}，其概率P(?Ai)，n于是得出可知 P(?Ai)?i?1n!nnn?1Cn?1，2n!2P(UA)?1?P?(A?)?1C從而有

iin?1 n?1i?1i?1nnnk?o代入(2)式整理可得?(?1)Cn(n?k)?n!Cn?1?kkr2n(n?1)2n!

③ 當(dāng)r?0時(shí)，考慮隨機(jī)試驗(yàn)：從大于n的自然數(shù)中任取一數(shù)，令A(yù)i={取出的數(shù)大于i}，i =1,?,n，則顯然

pk?P(Ai1Ai2??Aik)?1,(1?i1?i2????ik?n,k?1.2.?.n)

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

kk且?P(UAi)?1?C，代入(1)式整理可得?(?1)Cn?0，k?oi?10nnnnk?o??0當(dāng)1?r?nn?kkr當(dāng)r?n所以有 ?(?1)Cn(n?k)??n!

k?0綜上所述，證明完畢。

??n(n?1)?2n!當(dāng)r?n+130

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

總 結(jié)

本文通過概率理論給出了證明組合恒等式的方法，主要應(yīng)用了概率論中的古典概率，完備事件，互不相容，基本事件總數(shù)等相關(guān)知識。其主要思想是針對所要證明的組合恒等式構(gòu)造出適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，求出該模型中有關(guān)事件的概率。而構(gòu)造概率模型來證明組合恒等式的基本方法是：首先根據(jù)需要被證明的組合恒等式特點(diǎn)建立相對應(yīng)的概率模型；然后在概率模型中分析思考問題。然后根據(jù)概率的一些性質(zhì)，推出應(yīng)有的結(jié)論。組合恒等式的證明方法有很多，而用概率論的方法來證明組合恒等式不僅提供了組合恒等式的不同證明途徑，而且有助于加深我們對概率論基礎(chǔ)知識的理解和掌握。

本文主要研究了如何運(yùn)用概率論的方法證明一些組合恒等式，一共分為三章：

第一章緒論中，簡單介紹了概率論方法研究的背景和發(fā)展?fàn)顩r，自然引出了需要研究的問題；

第二章主要介紹如何運(yùn)用概率論的基本理論來證明組合恒等式； 第三章主要介紹如何運(yùn)用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型；來證明組合恒等式； 第四章針對前面的證明方法進(jìn)行推廣證明一些其他的恒等式，以便于更加深刻理解這種用概率理論證明恒等式的好處。

組合恒等式的證明問題通常需要超高的技巧，有意識的積累一些組合恒等式的證明方法是很有益的。特別是運(yùn)用概率論的方法證明，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ图右哉f明和解釋則非常有助于恒等式的記憶，理解與運(yùn)用。

通過對本文的深入研究，不但使我對于概率論的方法證明組合恒等式有了更深一步了解，而且了解概率論在科學(xué)研究和實(shí)際生活中的很多應(yīng)用，這更堅(jiān)定了我努力研究數(shù)學(xué)知識并將這些知識應(yīng)用于生活中的決心。

齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

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齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)

致 謝

我要感謝我的導(dǎo)師崔繼賢老師，他為人隨和熱情，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)心。在閑聊中他總是能像知心朋友一樣鼓勵(lì)我，在論文的寫作和措辭方面他總會(huì)以“專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)” 嚴(yán)格要求我，從選題定題開始，一直到論文最后的反復(fù)修改，潤色，崔老師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給與我深刻而細(xì)致地指導(dǎo)，幫助我開拓研究思路，熱心點(diǎn)撥，熱忱鼓勵(lì)。正是崔老師的無私幫助與熱忱鼓勵(lì)，我的畢業(yè)論文才能夠得以順利完成，再次謝謝崔老師。

然后還要感謝大學(xué)四年來所有的老師，為我打下數(shù)學(xué)專業(yè)知識的基礎(chǔ)，感謝李學(xué)院和我的母?！R齊哈爾大學(xué)四年來對我的大力栽培。

最后我要感謝我四年的大學(xué)同學(xué)，感謝我的家人和那些永遠(yuǎn)忘不了的朋友，他們的支持與情感，是我永遠(yuǎn)的財(cái)富

第三篇：李銀澤事跡

李銀澤，彝族，中共黨員，1980年12月出生，1999年12月入伍，2003年11月入黨，現(xiàn)任昆明市公安消防支隊(duì)特勤大隊(duì)一中隊(duì)專勤班班長，二級士官。入伍5年來，李銀澤同志始終牢記全心全意為人民服務(wù)的宗旨，正確樹立革命人生觀、價(jià)值觀、世界觀，忠實(shí)履行一名消防戰(zhàn)士的職責(zé)和神圣使命，他一直戰(zhàn)斗在滅火救援保衛(wèi)第一線，把5年最美好的青春年華無私地獻(xiàn)給了昆明消防特勤事業(yè)。5年來，李銀澤同志在艱苦的訓(xùn)練場上摸爬滾打，與肆虐的大火拼殺搏斗，用青春、汗水和熱血保衛(wèi)著春城人民生活的安寧，體驗(yàn)著追求理想的艱辛與幸福，展現(xiàn)著自己人生的價(jià)值。他先后參與了全市及省內(nèi)部分地區(qū)的多起重、特大火災(zāi)撲救以及化學(xué)泄漏、山體滑坡等特殊災(zāi)害事故的處置，屢立戰(zhàn)功，為保衛(wèi)國家經(jīng)濟(jì)建設(shè)和人民群眾生命財(cái)產(chǎn)的安全做出了突出貢獻(xiàn)。在5.12安寧泥磷泄漏火災(zāi)撲救戰(zhàn)斗中，李銀澤再一次深入險(xiǎn)境，勇挑重?fù)?dān)，完成了最危險(xiǎn)、最艱巨的任務(wù)，為部隊(duì)撲救火災(zāi)、處置泄漏作出了突出貢獻(xiàn)，用自己的青春年華在烈火中譜寫出壯麗詩篇。

一、不畏犧牲迎難而上深入險(xiǎn)地偵察堵漏

2005年5月12日凌晨零時(shí)，云南馬龍產(chǎn)業(yè)集團(tuán)股份有限公司安寧分公司儲(chǔ)存有100余噸泥磷物料的4號沉降濃縮槽發(fā)生泄漏事故。泥磷燃燒生成的刺激有毒煙霧籠罩了整個(gè)廠區(qū)，彌漫至附近村莊，情況十分危急，如果泄漏擴(kuò)大，災(zāi)害蔓延，引發(fā)鄰近儲(chǔ)罐事故，后果將更加不堪設(shè)想。關(guān)鍵時(shí)刻，特勤官兵臨危受命，迅速出動(dòng)，苦戰(zhàn)4天3夜，打下硬仗，再顯神威。

李銀澤隨首批出動(dòng)力量于12日4時(shí)50分左右達(dá)到現(xiàn)場，這樣的場面對于他來說也是第一次，許多新同志都有點(diǎn)發(fā)懵，但李銀澤清楚自己是老同志，不能亂了陣腳，一切聽從中隊(duì)指揮員的命令?，F(xiàn)場濃煙滾滾，情況不明，處置事故無從下手。李銀澤整頓好自己帶領(lǐng)的人員，做好個(gè)人防護(hù)主動(dòng)請戰(zhàn)，同副中隊(duì)長一起前往火場深處進(jìn)行偵察。高溫和濃煙讓他們難以靠近，但還是初步了解和熟悉了沉降槽底部泄漏和燃燒的基本情況。李銀澤撤出燃燒區(qū)域，脫下厚重的避火服頭盔，來不及擦去汗水便開始向指揮員匯報(bào)情況，得到燃燒區(qū)域的一些寶貴情況，現(xiàn)場官兵決定首先出水進(jìn)行強(qiáng)攻，力爭先滅火再想辦法堵漏。兩個(gè)小時(shí)過去了，大火滅了又燃，燃了又滅，特勤官兵反復(fù)近戰(zhàn)強(qiáng)攻，然而事與愿違，由于燃燒時(shí)間較長，罐底泄漏更加嚴(yán)重，火勢更加猛烈，強(qiáng)攻方案被迫取消。12日上午，現(xiàn)場情況進(jìn)一步變化，剛成立的指揮部決定由支隊(duì)參謀長和特勤大隊(duì)顏副大隊(duì)長帶領(lǐng)3名士官再次偵察，白天能見度有所好轉(zhuǎn)，偵察組到了罐底泄漏處，正當(dāng)同志們進(jìn)行勘察觀測時(shí)，泄漏口泄漏量瞬間加大。突然，成塊的泥磷落下來，顏華副大隊(duì)長躲閃不及,火團(tuán)濺起的磷水混合物沾染上左腿，不幸被自燃的黃磷燒傷，受傷較重。此時(shí)，李銀澤距離顏華副大隊(duì)長不足1米，下落的火團(tuán)濺起的磷水混合物朝他撲去，他往后用力一蹬，濺起的泥磷正好掉在他的戰(zhàn)斗鞋面上，不論是僥幸，還是身手敏捷，他又一次與危險(xiǎn)擦肩而過。

顏副大隊(duì)長受傷的不幸并沒有使李銀澤在巨大的危險(xiǎn)面前退卻，他毅然領(lǐng)受了堵漏的命令，和戰(zhàn)友穿戴好避火服，準(zhǔn)備好各種可能用到的堵漏器材，來到泄漏罐前待命，一旦局部圍堰成功就增加水槍強(qiáng)攻并掩護(hù)堵漏。等待是需要勇氣和毅力的，剛才那一幕悲壯的場景，仍是如此清晰，歷歷在目，對此，每一個(gè)人都會(huì)害怕、恐懼，心理都會(huì)產(chǎn)生一定的想法……然而李銀澤的目光是那樣的堅(jiān)毅，一旦時(shí)機(jī)成熟，指揮員發(fā)出命令，他會(huì)如猛虎下山一般，毫不猶豫地沖上前去完成那可能付出生命代價(jià)的艱巨任務(wù)！最終，因?yàn)樾孤┝刻?，火勢猛烈，指揮部被迫決定取消堵漏任務(wù)，但當(dāng)零距離接觸泄漏燃燒區(qū)域，犧牲的危險(xiǎn)隨時(shí)迫近時(shí)，李銀澤那種深入險(xiǎn)境，臨危不懼，義無反顧的大無畏精神仍然令在場的官兵無不欽佩。

二、堅(jiān)守陣地獨(dú)當(dāng)一面光榮負(fù)傷堅(jiān)持戰(zhàn)斗

無法近戰(zhàn)達(dá)到速戰(zhàn)速?zèng)Q的目的，特勤官兵只能轉(zhuǎn)入冷卻控制，配合圍堰填埋，處置進(jìn)入僵持階段。李銀澤帶領(lǐng)本班人員把滿腔熱血轉(zhuǎn)化到了周圍的水槍陣地上，對泄漏罐實(shí)施冷卻，掩護(hù)工人進(jìn)行筑堤圍堰?；饒鍪乔ё?nèi)f化的，危險(xiǎn)隨時(shí)會(huì)發(fā)生，由于現(xiàn)場風(fēng)向改變，空氣流動(dòng)加劇，泥磷燃燒迅速，瞬間濃煙滾滾，遮天蔽日，燃燒的泥磷四處飛濺，火勢瞬間增大，李銀澤和戰(zhàn)友占據(jù)的水槍陣地受到威脅。中隊(duì)指揮員“轉(zhuǎn)移水槍陣地，確保冷卻水不見斷”的命令傳來，為避免供水線路受損，他和一名戰(zhàn)友拖著近30米的水帶干線，翻越重重障礙，把水槍陣地轉(zhuǎn)移到上風(fēng)方向的圍堰沙堆上，繼續(xù)戰(zhàn)斗。由于對環(huán)境不熟悉，又要掩護(hù)、協(xié)助戰(zhàn)友，加之能見度太低，李銀澤不慎一腳踩空，側(cè)翻在斜坡上，左腿膝關(guān)節(jié)韌帶嚴(yán)重拉傷。然而，這個(gè)消息卻是在一天后他撤出現(xiàn)場時(shí)才被戰(zhàn)友們發(fā)現(xiàn)。環(huán)境異常艱險(xiǎn)，身體傷痛陣陣，可李銀澤哪里顧得上這些，他控制著水槍變換射流，立體冷卻罐體并撲救外圍火點(diǎn)，在全隊(duì)官兵的連續(xù)奮戰(zhàn)和共同努力下，四個(gè)水槍陣地持續(xù)射水實(shí)施滅火、掩護(hù)和冷卻，持續(xù)射水將近5000噸，確保了圍堰封堵工程順利合圍，將張狂蔓延的火勢死死封在罐底。

很快，暮色降臨，當(dāng)?shù)貧鈮航档?，大量煙氣沉降并籠罩在部隊(duì)宿營地，休整的戰(zhàn)士都戴著防毒口罩席地而眠，李銀澤卻還在忙碌著。身為專勤車駕駛員，他主動(dòng)趕到火場指揮部前，將車載照明燈升起，對指揮部和周圍區(qū)域?qū)嵤┱彰?。只見他一?huì)鉆進(jìn)火場與肆虐的火魔展開殊死搏斗，一會(huì)又利用輪換休息時(shí)間檢查維護(hù)車輛和照明裝備，確保指揮部和處置現(xiàn)場的照明到位，就像一部上足了發(fā)條的機(jī)器，不知疲倦的工作。13日18時(shí)，火勢相對穩(wěn)定，看著雙眼通紅，精疲力竭的李銀澤，大隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)再也不忍心讓他留在火場，命令他返回中隊(duì)休息。直到登車時(shí)，李銀澤緩慢的抬起左腳，舉步為艱，戰(zhàn)友們才發(fā)現(xiàn)他的膝蓋受了傷，這時(shí)，李銀澤已瞞著領(lǐng)導(dǎo)和戰(zhàn)友，帶傷堅(jiān)持戰(zhàn)斗了37個(gè)小時(shí)。在他心中，與國家和人民的利益比起來，這點(diǎn)傷痛算得了什么呢？15日上午，火魔被徹底縛住，勝利的消息傳來，還扎著繃帶的李銀澤盡管沒能親眼看到勝利的場面，但也無比振奮，自己和全隊(duì)?wèi)?zhàn)友又一次經(jīng)歷了血與火的洗禮，成為火場中一面屹立不倒的旗幟！戰(zhàn)斗中的成績并非偶然，在長期的工作、訓(xùn)練中，李銀澤又何嘗不是一根樹立表率、創(chuàng)造一流業(yè)績的標(biāo)桿。

三、戰(zhàn)功赫赫屢獲殊榮刻苦訓(xùn)練勇攀高峰

入伍5年多來，他刻苦訓(xùn)練、積極進(jìn)取，業(yè)務(wù)素質(zhì)不斷提高，各項(xiàng)工作成績突出，所帶班集體更是在全隊(duì)脫穎而出，從業(yè)務(wù)考核到年終評比樣樣拿第一，多次被評為優(yōu)秀班集體。他堅(jiān)持“練為戰(zhàn)”的指導(dǎo)思想，立足本職崗位，苦練精兵，在總隊(duì)、支隊(duì)歷次考核、競賽中屢屢取得優(yōu)異成績。在執(zhí)勤崗位練兵活動(dòng)中，他緊緊瞄準(zhǔn)現(xiàn)代火場的需求，刻苦鉆研訓(xùn)練新法，努力探索高科技器材裝備與人結(jié)合發(fā)揮最佳效果的有效途徑，不斷加強(qiáng)業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)，成為云南省消防部隊(duì)小有名氣的技術(shù)能手，被戰(zhàn)友們譽(yù)為云嶺“特勤尖兵”。他連續(xù)三年參加總隊(duì)、支隊(duì)執(zhí)勤崗位練兵競賽，以優(yōu)異成績獲得“訓(xùn)練標(biāo)兵”、“技術(shù)能手”等稱號，并被榮記“三等功”二次，獲得2002和2003全國執(zhí)勤崗位練兵“先進(jìn)個(gè)人”和“技術(shù)能手”稱號，受到公安部通報(bào)表彰。

去年以來，李銀澤先后參加了宜良中巴車墜河搜救遇難者，昆明南窯下水道搶救5名中毒人員，東川挖掘機(jī)翻車事故搶救被困司機(jī)，碧雞關(guān)水庫打牢溺水民工等大小搶險(xiǎn)救援任務(wù)20余起，舍生忘死，救死扶傷，戰(zhàn)功顯赫。作為“火鳳凰”突擊隊(duì)的主力成員和中隊(duì)特種車駕駛員，李銀澤工作成績一流，模范表率作用突出，成為干部眼中的好士官，戰(zhàn)士眼中的好班長。

第四篇：教案認(rèn)識直角李美霞

《認(rèn)識直角》教案

第二小學(xué)

李美霞

教學(xué)內(nèi)容：認(rèn)識直角P65-66。

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、結(jié)合生活實(shí)例，經(jīng)歷從實(shí)際物體中抽象出直角的過程，直觀認(rèn)識直角，初步發(fā)展空間觀念。

2、結(jié)合操作活動(dòng)，會(huì)借助三角板辨認(rèn)直角、銳角和鈍角。

3、在認(rèn)識直角的過程中，培養(yǎng)與人合作的意識，發(fā)展初步的觀察能力和實(shí)踐能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：初步感知直角的特征；會(huì)畫直角，判斷直角、銳角、鈍角；建立直角的表象。

教具準(zhǔn)備： 三角板、多媒體課件、微課

教學(xué)過程：

一、自學(xué)引導(dǎo)

1、認(rèn)識直角。

談話：前面我們認(rèn)識了角，現(xiàn)在你知道角是由哪幾部分組成嗎？（指名匯報(bào)）

2、談話：看看這個(gè)正方形，你能指出它的角嗎？（指名一生上前指角，指出有4個(gè)同樣的角）

在紙工袋上有幾個(gè)這樣大小的角？三角板上呢？

3、談話：剛才我們找出的這些角都有一個(gè)共同的名稱，叫“直角”。一般我們還要在直角上標(biāo)上一個(gè)符號來表示直角。今天這節(jié)課我們就一起來認(rèn)識直角。

4、小朋友，剛才看了這個(gè)題目，你想知道什么嗎？

5、直角有什么特點(diǎn)？怎樣折一個(gè)直角？怎么畫一個(gè)直角？不是直角的角有名字嗎？怎么去區(qū)分？（自學(xué)課本66頁，解決問題）

二、合作交流

1、小組合作交流自學(xué)中5的問題。比一比大家折的直角看有什么發(fā)現(xiàn)？

2、在我們生活中許多地方都有直角，你能從教室里找到其他的直角嗎？等會(huì)兒要請你來說一說：你找到的直角在哪里，你是怎么知道它是直角的？你能用任意兩塊三角板拼出一個(gè)直角嗎？

3、看微課幫助你解決疑惑問題？

三、展示點(diǎn)撥

1、展示用圓形紙和不規(guī)則紙折角？說說你有什么發(fā)現(xiàn)？（直角都是一樣大小的）

2、展示你用什么方法可以找到數(shù)學(xué)書封面上的直角呢？（學(xué)生匯報(bào)，兩種方法。）

3、指名展示，并說說你是怎么畫的？怎樣驗(yàn)證？

4、師點(diǎn)撥：這個(gè)角比直角（?。?，它也有一個(gè)名稱，叫銳角。那么這個(gè)角比直角（大），名字叫鈍角。看一看你們的三角板上有銳 角和鈍角嗎？誰來指一指？（指名上前指一指）

四、練習(xí)評測

1、想想做做第4題。

下面的角，哪些是直角，哪些是銳角，哪些是鈍角? 學(xué)生獨(dú)立完成，指名匯報(bào)。

2、想想做做第5題。

照下面左圖的樣子標(biāo)出其他各圖形中的直角.學(xué)生獨(dú)立完成，指名展示、匯報(bào)。

3、在下邊的圖形中，你能找到幾個(gè)直角、幾個(gè)銳角和幾個(gè)鈍角？（圖略）

五、總結(jié)

談話：通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

板書設(shè)計(jì)

認(rèn)識直角 直角 銳角 鈍角

第五篇：李銀雪個(gè)人總結(jié)

工 作 總 結(jié)

（白沙鄉(xiāng)黨委委員、副鄉(xiāng)長 李銀雪）

2011年5月10日

近五年來，我始終力求做好本職工作、學(xué)習(xí)黨的理論知識、團(tuán)結(jié)務(wù)實(shí)、開拓創(chuàng)新、堅(jiān)持科學(xué)發(fā)展觀，在同志們的關(guān)心、支持和幫助下，以“服從領(lǐng)導(dǎo)、團(tuán)結(jié)同志、認(rèn)真學(xué)習(xí)、扎實(shí)工作”為準(zhǔn)則，始終堅(jiān)持高標(biāo)準(zhǔn)、嚴(yán)要求，在學(xué)習(xí)、思想和工作等方面取得了一定的成績?，F(xiàn)總結(jié)如下：

一、加強(qiáng)學(xué)習(xí)，提高了自身素質(zhì)

加強(qiáng)學(xué)習(xí)是提高自身素質(zhì)的最好方法，是提高工作水平和能力最重要的途徑。五年來，我始終堅(jiān)持把政治理論學(xué)習(xí)和業(yè)務(wù)知識學(xué)習(xí)作為重要任務(wù)來對待，以積極的態(tài)度和飽滿的熱情學(xué)習(xí)馬克思主義理論、十六、十七大精神，以及各種法律法規(guī)。通過學(xué)習(xí)提高了自身素質(zhì)，加強(qiáng)了黨性修養(yǎng)，增強(qiáng)了公仆意識和宗旨意識，提高了自己的政治敏銳性和鑒別力。

二、拒腐防變，抓好了思想建設(shè)

思想道德素質(zhì)是正確行使黨和人民賦予的權(quán)力，完成黨和人民交給的工作不可缺少的主觀條件。作為一名共產(chǎn)黨員領(lǐng)導(dǎo)干部，本人能夠擺正自己的位臵，認(rèn)清自己的角 色，樹立正確的權(quán)力觀，堅(jiān)持立黨為公，執(zhí)政為民，以飽滿的精神狀態(tài)投入到全心全意為人民服務(wù)中去。我深明“政者、正也”的道理。有一腔浩然正氣，工作才能無所畏懼，在前進(jìn)的路上不搖擺、不迷失、不跌倒。我在平時(shí)工作中注意樹立良好的思想作風(fēng)，做“三個(gè)代表”堅(jiān)定的信仰者、傳播者、實(shí)踐者，時(shí)刻保持正確的政治方向和政治立場，加強(qiáng)廉潔自律，在思想上筑牢拒腐防變的防線，始終保持清醒的頭腦，自尊、自重、自省、自警、自勵(lì)，在任何情況下都耐得住寂寞，守得住清貧，頂?shù)米≌T惑，經(jīng)得住考驗(yàn)，做到一身正氣，一塵不染。在大事大非面前，講黨性原則，是非分明，立場堅(jiān)定，不信謠傳謠，思想上、政治上始終同黨中央保持高度一致。

三、恪盡職守，做好了本職工作

㈠做教師時(shí)（2006年至2007年11月）。認(rèn)真求知悟教，探索素質(zhì)教育真諦，大膽以寓教于樂的開放式教學(xué)方法，與學(xué)生共同吸食語文課本上的人文食糧和掌握語文基礎(chǔ)知識及技能，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)做人、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)生活。2006年所教的小學(xué)六年級取得全鎮(zhèn)同年級第一名、三年級取得全鎮(zhèn)同年級第二名的成績。2007年所教的初中九年級班級語文平均分為74分，所教學(xué)生有1人考取興義八中、2人考取興義一中、4人考取興義五中。很好地完 成了各學(xué)期的教育、教學(xué)任務(wù)。

㈡當(dāng)鄉(xiāng)長助理期間（2007年11月至2009年9月）。調(diào)到白沙后，我及時(shí)進(jìn)入角色，緊緊圍繞鄉(xiāng)黨委、政府的各項(xiàng)中心工作，充分發(fā)揮作為一個(gè)鄉(xiāng)長助理應(yīng)有的參謀助手作用。一是準(zhǔn)確把握工作難點(diǎn)和重點(diǎn)，掌握情況，協(xié)助完善，較好地貫徹好鄉(xiāng)黨委、政府的決策部署。二是緊貼鄉(xiāng)黨委、政府的中心工作，圍繞難點(diǎn)問題，積極調(diào)研苗頭性、傾向性、預(yù)測性的事物和工作，努力為鄉(xiāng)黨委、政府領(lǐng)導(dǎo)決策提供全方位、多領(lǐng)域、多角度的決策意見和建議。一直努力協(xié)助鄉(xiāng)長工作、分管過“整臟治亂”工作、負(fù)責(zé)過黨政辦公室工作、協(xié)助過政法委書記抓黨建和人事工作、兼任過白沙社區(qū)黨支部書記等?！罢K治亂”工作方面，2007、2008全年考核均在全縣前五名以前。黨政辦公室工作方面，一是接待和會(huì)議工作多次得到州縣領(lǐng)導(dǎo)的好評；二是協(xié)調(diào)督辦好全鄉(xiāng)各口工作，使全鄉(xiāng)工作在2008和2009的績效考核中均獲得全縣第一名；三是信訪維穩(wěn)工作扎實(shí)開展，沒有出現(xiàn)群體上訪事件；四是把黨政辦公室的幾位新同志培養(yǎng)成了業(yè)務(wù)骨干。黨建工作方面，積極探索和創(chuàng)新第三批深入學(xué)習(xí)實(shí)踐科學(xué)發(fā)展觀活動(dòng)試點(diǎn)工作方法，為全縣開展該項(xiàng)活動(dòng)提供了經(jīng)驗(yàn)。全面調(diào)研，為白沙社區(qū)做了五至十五年的發(fā)展規(guī)劃。特別 是在負(fù)責(zé)黨政辦公室工作中，我首先盡快熟悉白沙鄉(xiāng)的三定方案和各項(xiàng)規(guī)定，在實(shí)踐中深刻領(lǐng)會(huì)黨政辦的職責(zé)、定位和作用，樹立好大局意識、發(fā)展意識和服務(wù)意識，把握好在領(lǐng)導(dǎo)面前的參謀輔政和部門之間的協(xié)調(diào)服務(wù)的定位以及單位內(nèi)部的工作領(lǐng)班的定位。接著狠抓班子建設(shè)，發(fā)揮團(tuán)隊(duì)精神，我請鄉(xiāng)里懂辦公室工作的領(lǐng)導(dǎo)幫助指導(dǎo)，充分整合黨政辦全體人員力量，形成合力，讓辦文、辦會(huì)、辦事、接待、值班、衛(wèi)生等各項(xiàng)工作的質(zhì)量都得到提高，使鄉(xiāng)黨政班子成員間的分工負(fù)責(zé)、相互支持、相互補(bǔ)位漸成風(fēng)尚，使全鄉(xiāng)各項(xiàng)工作做到忙而不亂、協(xié)調(diào)有序，辦事效率大為提高。

㈢任黨委委員、副鄉(xiāng)長后（2009年9月至今）。根據(jù)班子分工，我分管電力、郵政、電信、民宗、氣象、糧食、供銷等工作，主要在人口與計(jì)生工作中包鐵廠村。各項(xiàng)工作，我都深入群眾進(jìn)行調(diào)研，跑部門協(xié)調(diào)，爭取領(lǐng)導(dǎo)支持。為全鄉(xiāng)多個(gè)自然村寨爭取農(nóng)網(wǎng)改造工程13.5公里，受益群眾247戶1529人；冰災(zāi)、風(fēng)災(zāi)時(shí)多次帶領(lǐng)部門工作人員檢修、搶修通信設(shè)施確保通信盡快暢通；為更好地開展白沙鄉(xiāng)的民族宗教工作，到各個(gè)少數(shù)民族村寨進(jìn)行認(rèn)真調(diào)研，組織撰寫了《白沙鄉(xiāng)民族宗教資源調(diào)研報(bào) 告》；到鐵廠村家家戶戶進(jìn)行人口與計(jì)劃生育的宣傳工作和排查工作，以堅(jiān)定的政治立場和對黨的無比忠誠開展和完成好所包村的計(jì)生工作，集中精力，團(tuán)結(jié)干部職工，以宣傳教育為主，以行政措施為輔，將優(yōu)質(zhì)服務(wù)與落實(shí)節(jié)育措施有機(jī)結(jié)合起來，按對象就是任務(wù)的思路開展工作，落實(shí)男扎術(shù)1例、女扎術(shù)47例（其中二女結(jié)扎術(shù)4例）、上環(huán)術(shù)63例、引產(chǎn)術(shù)4例，征收社會(huì)撫養(yǎng)費(fèi)6.9萬元，超額完成了各季度計(jì)劃生育工作任務(wù)，在全鄉(xiāng)計(jì)生隊(duì)伍中起到了很好的表率作用。

四、存在的不足和今后努力的方向

一是政治理論學(xué)習(xí)，特別是科學(xué)發(fā)展觀的學(xué)習(xí)，還有待進(jìn)一步加強(qiáng)，與新時(shí)期、新任務(wù)的要求還有較大差距；二是綜合協(xié)調(diào)能力還有待進(jìn)一步提高。

在今后的工作中，我要認(rèn)真總結(jié)以往的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，以更高的標(biāo)準(zhǔn)要求自我，不斷提升工作水平，不遺余力地投入到自己的工作中去，不辜負(fù)黨和人民的重托，力爭讓組織放心、人民滿意。