2023衡水名師原創(chuàng)數(shù)學(xué)專題卷

考試時(shí)間：120分鐘

滿分：150分

說(shuō)明：請(qǐng)將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。

在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）

1.在下列圖象中，函數(shù)的圖象可能是（）

A.B.C.D.2.函數(shù)的圖象可能為（）

A．

B．

C．

D．

3.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)分析函數(shù)的圖像的特征，如函數(shù)的圖像大致是（）

A．

B．

C．

D．

4.函數(shù)的圖象大致為（）

A.B.C.D.5.已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象（）

A．

B．

C．

D．

6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A．

B．2

C．1

D．0

7.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.8.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A.B.C.D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。）

9.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

指數(shù)

0-50

51-100

101-150

151-200

201-300

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

下圖是某市12月1日～20日指數(shù)變化趨勢(shì)

下列敘述正確的是（）

A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B．這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占

C．該市12月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好

D．總體來(lái)說(shuō)，該市12月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

10.若函數(shù),其中,其.則函數(shù)在同一坐標(biāo)系的大致圖象可能是（）

A.B.C.D.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則

B.曲線與直線相切

C.若為增函數(shù)，則a的取值范圍為

D.在R上最多有3個(gè)零點(diǎn)

12.設(shè)函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是（）

A.b的值為-2

B.c的值為1

C.a的值無(wú)法確定

D.第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

）

13.已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的跟則________.14.函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：_________

15.用二分法求方程在上的近似解,取中點(diǎn),則下一個(gè)有根區(qū)間為_(kāi)________.16.已知函數(shù)

（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若有且僅有3個(gè)負(fù)整數(shù)，使得，，則的最小值是________.四、解答題（本題共6小題，共70分。

）

17.（本題滿分10分）已知函數(shù)，（且），．

（1）求函數(shù)和的解析式；

（2）在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象；

（3）如果，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍

18.（本題滿分12分）畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，并比較兩者在上的大小關(guān)系.19.（本題滿分12分）已知二次函數(shù)，且是函數(shù)的零點(diǎn).（1）求解析式，并解不等式;

（2）若求函數(shù)的值域.20.（本題滿分12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21.（本題滿分12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22.（本題滿分12分）由歷年市場(chǎng)行情知，從11月1日起的30天內(nèi)，某商品每件的銷售價(jià)格（元）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系是，日銷售量

(件)與時(shí)間t

(天)的函數(shù)關(guān)系是

.（1）設(shè)該商品的日銷售額為y元，請(qǐng)寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式；

（商品的日銷售額=該商品每件的銷售價(jià)格×日銷售量）

（2）求該商品的日銷售額的最大值，并指出哪一天的銷售額最大？

參考答案及解析

1.答案：D

解析：由函數(shù)的概念可知，任意一個(gè)自變量的值對(duì)應(yīng)因變量的唯一的值，∴可作直線從左向右在定義域內(nèi)移動(dòng)，看直線與曲線圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是否唯一，顯然，A，B，C均不滿足，而D滿足，故選D

2.答案：A

解析：．根據(jù)題意，圖數(shù)

有，即函數(shù)為奇函數(shù)，排除B、D

C．在區(qū)間上，有，且,則，排除C

故選：A．

3.答案：A

解析：,故函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除BD；

又，故排除C.故選：A.4.答案：A

解析：解法一

令，顯然，為奇函數(shù)，排除C，D，由，排除B，故選A.解法二

令，由，故選A.5.答案：A

解析：由函數(shù)的圖象知：，∴函數(shù)在定義域R上是減函數(shù)，∴選項(xiàng)不正確，,∴B選項(xiàng)不正確

綜上所述，答案選擇：A

6.答案：B

解析：畫出函數(shù)的圖像可得其圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)

7.答案：B

解析：函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于與,有兩個(gè)不同的交點(diǎn)?,恒過(guò),設(shè)與相切時(shí)切點(diǎn)為,因?yàn)?所以,解得,此時(shí)切線斜率為有函數(shù)圖像可知：函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是

?故選B.8.答案：B

解析：由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)不同根，畫出函數(shù)與的圖象如圖：

要使函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，且，即∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是．

故選：B．

9.答案：ABD

解析：A.20天中AQI指數(shù)值有10個(gè)低于100，10個(gè)高于100，其中位數(shù)略高于100，A正確；

B.20天中AQI指數(shù)值高于150的天數(shù)為4，即占總天數(shù)的，B正確；

C.該市10月的前4天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好，從第5天到第15天，空氣質(zhì)量越來(lái)越差，C錯(cuò)誤；

D.總體來(lái)說(shuō)，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量要好些，D正確。

10.答案：AD

解析：由題意知是指數(shù)函數(shù),是對(duì)數(shù)函數(shù),且是一個(gè)偶函數(shù),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,在上遞減,此時(shí)A選項(xiàng)符合題意,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,此時(shí)D選項(xiàng)符合題意,故選AD.11.答案：ACD

解析：因?yàn)閷?duì)于任意，都有，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確.，令，得，因?yàn)?，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即曲線的所有切線的斜率都不可能為，故B錯(cuò)誤.若為增函數(shù)，則，即，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故C正確.令，得或.設(shè)，則，令，則.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，從而單調(diào)遞增.又因?yàn)閷?duì)于任意，都有，所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則直線與最多有2個(gè)交點(diǎn)，所以在R上最多有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選ACD.12.答案：ABC

解析：作出函數(shù)的大致圖像如圖所示,由圖可得關(guān)于x的方程的根有兩個(gè)或三個(gè)(時(shí)有三個(gè),時(shí)有兩個(gè)),所以關(guān)于t的方程只能有一個(gè)根(若有兩個(gè)根,則關(guān)于x的方程有四個(gè)或五個(gè)根),由根與系數(shù)的關(guān)系得，得,所以A,B正確;不妨設(shè),令,可得得值分別為1,2,3,則,由,得,故a的值無(wú)法確定,所以C正確,D錯(cuò)誤.故選ABC.13.答案：-8

解析：∵定義在上的奇函數(shù)滿足,又∵是奇函數(shù),∴,∴

函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱且,由知,∴

函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)。

又∵在區(qū)間上是增函數(shù),∴在區(qū)間上也是增函數(shù),如圖所示,那么方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根不妨設(shè),由對(duì)稱性知.14.答案：

解析：

∵函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)與的圖象如下，結(jié)合圖象知，當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，相切時(shí)成立，故；

故；

故；

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為

故答案為：

15.答案：

解析：令.,.因?yàn)?故，所以下一個(gè)有根區(qū)間是.16.答案：

解析：由可得．

令，是極小值點(diǎn)，的圖象如圖所示．

顯然，當(dāng)時(shí)滿足的負(fù)整數(shù)x有無(wú)數(shù)個(gè)，因此．

此時(shí)必須滿足，即，解得．

故答案為：．

17.答案：（1），所以，所以，（2）

（3）

解析：

18.答案：函數(shù)與的圖象如圖所示.根據(jù)圖象易得：

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.解析：

19.答案：（1）是的零點(diǎn)的兩根為

解不等式的或，不等式的解集為

(2)

又的值域?yàn)?/p>

解析：

20.答案：（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，則，則時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則，記，則.由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.實(shí)數(shù)m的取值范圍為.解析：

21.答案：（1）解：由題意得

①當(dāng)時(shí)，令，則；令，則，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，則或，（?。┊?dāng)時(shí)，令，則或；令，則，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，則或；令，則，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）由1得當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值，∵，∴此時(shí)不符合題意；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴此時(shí)不符合題意；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

∴的處取得極大值，∵，∴此時(shí)不符合題意；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，（?。┊?dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，∵，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，∴此時(shí)符合題意；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴在上沒(méi)有零點(diǎn)，此時(shí)不符合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解析：

22.答案：（1）設(shè)日銷售額為y元，則，所以．

即：

（2）．

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

故所求日銷售金額的最大值為900元，11月10日日銷售金額最大

解析：2023衡水名師原創(chuàng)數(shù)學(xué)專題卷

說(shuō)明：請(qǐng)將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。

在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）

1.已知，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

2.已知,則（）

A.B.C.D.3.（）

A.B.C.D.4.（）

A.B.C.D.5.已知,且,則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.C.D.6.已知,則（）

A.B.C.D.7.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，則（）

A.B.C.D.8.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則（）。

A.6

B.5

C.4

D.3

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。）

9.下列各式中，值為的是（）

A.B.C.D.10.在中，,則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.C.D.11.下列說(shuō)法正確的有（）

A.在中，B.在中，若，則為等腰三角形

C.中，是的充要條件

D.在中，若，則

12.在中，角的對(duì)邊分別為，下列結(jié)論中正確的選項(xiàng)有（）

A.若，則

B.若，則可能為等腰三角形或直角三角形

C.若，則定為直角三角形

D.若且該三角形有兩解，則的取值范圍是

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

）

13.已知，則________.14.計(jì)算________.15.在中，角的對(duì)邊分別為，且角為銳角，則面積的最大值為_(kāi)________.16.已知中,角的對(duì)邊分別為,若,則_______.四、解答題（本題共6小題，共70分。

）

17.（本題滿分10分）已知.(1)求的值;

(2)已知,且角的終邊是由角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,求的值.18.（本題滿分12分）在中，求：

（1）的值；

（2）的值.19.（本題滿分12分）已知，求的值.20.（本題滿分12分）在中,角的對(duì)邊分別為。

(1)若,求的值；

(2)若,求的值。

21.（本題滿分12分）在平面四邊形中。

(1)求；

(2)若,求。

22.（本題滿分12分）在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且。

(1)求角的大??；

(2)若,角的平分線,求的值。

參考答案及解析

1.答案：D

解析：，.，故選：D

2.答案：B

解析：由，得,又，所以,所以,故選B.3.答案：B

解析：，故選B.4.答案：A

解析：

.5.答案：A

解析：,由,得,則,又,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以即,故選A.6.答案：D

解析：由,得

則,故，故選D

7.答案：A

解析：由題意，∴由正弦定理得，即解得

8.答案：A

解析：由題意及正弦定理得，所以由余弦定理得,化簡(jiǎn)得。

9.答案：CD

解析：因?yàn)?，所以A不正確；

因?yàn)?，所以B不正確；

因?yàn)?，所以C正確；

因?yàn)?，所以D正確.故選：CD.10.答案：BD

解析：因?yàn)?所以,B正確.因?yàn)?所以.因?yàn)?所以,所以角A為銳角,所以,A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確.11.答案：AC

解析：由正弦定理

可得：

即成立，故選項(xiàng)A正確；

由可得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

在中，由正弦定理可得，則是的充要條件，故選項(xiàng)C正確；

在中，若，則或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.12.答案：ABCD

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，由正弦定理得，故A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由于，由于是三角形的內(nèi)角，所以或，即或，所以可能為等腰三角形或直角三角形，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，由以及正弦定理得，即，所以，由于，所以，所以，故定為直角三角形.故C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，且該三角形有兩解，所以，即，也即，故D選項(xiàng)正確.故選：ABCD.13.答案：

解析：因?yàn)椋?，?14.答案：

解析：

15.答案：

解析：在中，，由正弦定理得，由，可得，即，∵角為銳角，由余弦定理得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，面積的最大值為

16.答案：6

解析：由及正弦定理,得.設(shè),則.由余弦定理,得.整理,得,即,解得或(舍去).所以.17.答案：(1)解法一

由題意得,故,所以,所以.解法二

由題意得,故,所以.(2)由題意得，所以.由1知，所以,即.因?yàn)?，所?又,所以,所以,所以.解析：

18.答案：（1），為三角形的一個(gè)內(nèi)角

由得

又

.（2）由（1）和

解析：

19.答案：將條件式兩邊平方得

.因?yàn)椋?/p>

所以原式，這道題的關(guān)鍵就是第一步平方，因?yàn)樗笫阶又谐霈F(xiàn)了二倍角，只能通過(guò)升次和倍角公式才能得到所以用平方來(lái)升次.解析：

20.答案：(1)因?yàn)?由余弦定理得，即。所以。

(2)因?yàn)?由正弦定理,得,所以。

從而,即,故。

因?yàn)?所以,從而。

因此。

解析：

21.答案：(1)在中,由正弦定理得。

由題設(shè)知，所以。

由題設(shè)知，所以。

(2)由題設(shè)及(1)知,。

在中,由余弦定理得。

所以。

解析：

22.答案：(1)由及正弦定理得，,。

又。

(2)在中，角的平分線,由正弦定理得,。。

由余弦定理得,。

解析：