2019-2020學(xué)年市中學(xué)（4+n）高中聯(lián)合體高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．設(shè)，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可

【詳解】，則

故選

【點睛】

本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題。

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，若角α終邊過點P（2，-1），則sin（π-α）的值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα,再由誘導(dǎo)公式即可得答案

【詳解】

解：∵角α終邊過點,∴,∴

∴,故選：A

【點睛】

本題考查已知終邊上一點求三角函數(shù)值,考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題

3．在中，，則為（）

A．直角三角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．等腰三角形

【答案】C

【解析】根據(jù)大邊對大角可知最大內(nèi)角為；利用余弦定理可求得，可知為鈍角，從而得到結(jié)果.【詳解】

最大內(nèi)角為

且

為鈍角三角形

本題正確選項：

【點睛】

本題考查三角形形狀的判斷，關(guān)鍵是能夠通過求解最大角的余弦值確定最大角所處的范圍.4．張丘建算經(jīng)卷上有“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同已知第一天織布6尺，30天共織布540尺，則該女子織布每天增加

A．尺

B．尺

C．尺

D．尺

【答案】C

【解析】利用數(shù)學(xué)文化知識，首先判定數(shù)列為等差數(shù)列，進一步利用等差數(shù)列的通項公式的前n項和公式求出結(jié)果．

【詳解】

由于某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同．

所以織布的數(shù)據(jù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，第一天織的數(shù)據(jù)為，第30天織的數(shù)據(jù)為，則：，解得：，則：，解得：，故選：C．

【點睛】

本題考查的知識要點：數(shù)學(xué)文化知識的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用和前n項和公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．

5．正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線BD1與AC所成的角等于()

A．60°

B．45°

C．30°

D．90°

【答案】D

【解析】通過證明平面，可證得直線與直線垂直，即所成的角為.【詳解】

畫出圖像如下圖所示，連接，由于幾何體為正方體，故，所以平面，所以,即所成的角為.所以選D.【點睛】

本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系，考查正方體的幾何性質(zhì)，還考查了線面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.6．某單位為了落實“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié)能減排的目標(biāo)，先調(diào)查了用電量（單位：度）與氣溫（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程：，則由此估計：當(dāng)氣溫為2℃時，用電量約為（）

（單位：℃）

（單位：度）

A．56度

B．62度

C．64度

D．68度

【答案】A

【解析】由已知可得，再根據(jù)線性回歸方程：過點（10,40），代入運算得，再運算即可得解.【詳解】

由已知有，則線性回歸方程：過點（10,40），代入運算得，即線性回歸方程為：，當(dāng)時，故選A.【點睛】

本題考查了線性回歸方程，重點考查了樣本中心點在回歸方程上，屬基礎(chǔ)題.7．的內(nèi)角的對邊分別為，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】運用正弦定理公式，可以求出另一邊的對角正弦值，最后還要根據(jù)三角形的特點：“大角對大邊”進行合理排除.【詳解】

A.,由所以不存在這樣的三角形.B.,由且所以只有一個角B

C.中，同理也只有一個三角形.D.中此時，所以出現(xiàn)兩個角符合題意，即存在兩個三角形.所以選擇D

【點睛】

在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，記得一定要去判斷是否會出現(xiàn)兩個角.8．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

A．

B．

C．2

D．

【答案】A

【解析】

由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為

高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A．

9．函數(shù)在的圖像大致為

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．

【詳解】

設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．

【點睛】

本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．

10．等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，a4+a6=-6．則當(dāng)Sn取最小值時，n=（）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】A

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡,得到的值,然后根據(jù)a1的值,利用等差數(shù)列的通項公式即可求出公差d的值,根據(jù)a1和d的值寫出等差數(shù)列的通項公式,進而寫出等差數(shù)列的前n項和公式Sn,配方后即可得到Sn取最小值時n的值

【詳解】

由,解得,又,∴,解得d=2,則,∴,∴當(dāng)n=6時，Sn取最小值．

故選：A

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查等差中項的應(yīng)用,考查等差數(shù)列前項和的最小值,考查等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)

11．設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。?/p>

【詳解】

是R的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，故選C．

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．

12．?dāng)?shù)列{an}滿足，則a1a2a3…a10=（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由題,當(dāng)時,得到,與題目中式子相減,即可得到,進而求解

【詳解】

解：n=1時,a1=,∵,∴時，兩式相減可得2n-1an=,∴,n=1時，也滿足

∴,故選：A

【點睛】

本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項,解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項,進而求解

二、填空題

13．若向量，且，則_____

【答案】6

【解析】本題首先可通過題意得出向量以及向量的坐標(biāo)表示和向量與向量之間的關(guān)系，然后通過向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果。

【詳解】

因為，且，所以，解得。

【點睛】

本題考查向量的相關(guān)性質(zhì)，主要考查向量平行的相關(guān)性質(zhì)，若向量，，則有，鍛煉了學(xué)生對于向量公式的使用，是簡單題。

14．已知，則________．

【答案】

【解析】【詳解】

由于，所以，,故答案為.【考點】二倍角的正弦公式

15．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+1，那么它的通項公式為an=______．

【答案】

【解析】當(dāng)n=1時,a1=S1=2；當(dāng)時，檢驗后可得通項公式

【詳解】

解：當(dāng)n=1時,a1=S1=12+1=2；

當(dāng)時，檢驗,當(dāng)時，∴不符合∴，故答案為：

【點睛】

本題考查由與的關(guān)系求通項公式,解此類問題時需注意檢驗

16．如圖，為測量坡高MN，選擇A和另一個山坡的坡頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN=60°，C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點測得∠MCA=60°．已知坡高BC=50米，則坡高MN=______米．

【答案】75

【解析】由題意,可先求出AC的值,從而由正弦定理可求AM的值,在△MNA中,AM=50m,∠MAN=60°,從而可求得MN的值

【詳解】

解：在△ABC中,∠CAB=45°,BC=50m,所以AC=50m,在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,從而∠AMC=45°,由正弦定理得，即,因此AM=50m

在△MNA中,AM=50m,∠MAN=60°,由,得MN=50×=75m

故答案為：75

【點睛】

本題考查正弦定理的應(yīng)用,考查解三角形的實際應(yīng)用,考查運算能力

三、解答題

17．5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動通信網(wǎng)絡(luò)，其峰值理論傳輸速度可達每8秒1GB，比4G網(wǎng)絡(luò)的傳輸速度快數(shù)百倍．舉例來說，一部1G的電影可在8秒之內(nèi)下載完成．隨著5G技術(shù)的誕生，用智能終端分享3D電影、游戲以及超高畫質(zhì)（UHD）節(jié)目的時代正向我們走來．某手機網(wǎng)絡(luò)研發(fā)公司成立一個專業(yè)技術(shù)研發(fā)團隊解決各種技術(shù)問題，其中有數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)，物理專業(yè)畢業(yè)，其它專業(yè)畢業(yè)的各類研發(fā)人員共計1200人．現(xiàn)在公司為提高研發(fā)水平，采用分層抽樣抽取400人按分數(shù)對工作成績進行考核，并整理得如上頻率分布直方圖（每組的頻率視為概率）．

（1）從總體的1200名學(xué)生中隨機抽取1人，估計其分數(shù)小于50的概率；

（2）研發(fā)公司決定對達到某分數(shù)以上的研發(fā)人員進行獎勵，要求獎勵研發(fā)人員的人數(shù)達到30%，請你估計這個分數(shù)的值；

（3）已知樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分，樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員人數(shù)與物理及其它專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)和相等，估計總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)．

【答案】（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.【解析】（1）由題意可知,樣本中隨機抽取一人,分數(shù)小于50的概率是0.1,由此能估計總體中分數(shù)小于50的概率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖,第六組的頻率為0.4,第七組頻率為0.2,由此能求出這個分數(shù)；

（3）樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為240人,從而樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分,從而樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為180人,由此能估計總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)

【詳解】

解：（1）由題意可知,樣本中隨機抽取一人,分數(shù)小于50的概率是,所以估計總體中分數(shù)小于50的概率0.1

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，第六組的頻率為0.04×10=0.4,第七組頻率為0.02×10=0.2,此分數(shù)為

（3）因為樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為400×（0.4+0.2）=240人,所以樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,又因為樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分,所以樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)120÷=180人,故估計總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為：1200×=540人

【點睛】

本題考查概率、頻數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì),考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題．

18．設(shè)等差數(shù)列{an}中，a2=-8，a6=0．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若等比數(shù)列{bn}滿足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

【答案】（1）an=2n-12，n∈N；（2），n∈N.【解析】（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d,運用等差數(shù)列的通項公式,可列方程為,解方程可得首項和公差,進而得到所求通項公式；

（2）等比數(shù)列{bn}的公比設(shè)為q,由（1）可得,可得公比q,再由等比數(shù)列的求和公式求解即可

【詳解】

解：（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，a6=0,可得,解得,則,n∈N

（2）等比數(shù)列{bn}的公比設(shè)為q，由（1）可得，則q==3,所以前n項和Sn=,n∈N

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查等比數(shù)列的通項公式、求和公式,考查方程思想和運算能力

19．在中，角所對的邊分別為，且滿足

.（1）求角的大小；

（2）若的面積為，求的周長.【答案】(1)

.(2).【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合正弦定理邊化角，整理可得：，則.(2)由題意結(jié)合面積公式可得，則的周長為.試題解析：

（1）因為，所以，由正弦定理可得,即，又角為的內(nèi)角，所以，所以，又，所以.（2）由，得，又，所以，所以的周長為.20．如圖所示，四棱錐P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點.(1)求證：AP∥平面BEF；

(2)求證：BE⊥平面PAC.【答案】

(1)

證明見解析

(2)

證明見解析

【解析】（1）連接CE，OF，易知四邊形ABCE是菱形，可得O是AC的中點，利用中位線的概念，可得PA∥OF，從而可證AP∥平面BEF；

（2）通過證明AP⊥BE、BE⊥AC，可證明BE⊥平面PAC

【詳解】

證明：(1)如圖所示，設(shè)AC∩BE＝O，連接OF，EC.由于E為AD的中點，AB＝BC＝AD，AD∥BC，所以AE∥BC，且AE＝AB＝BC，因此，四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點.又F為PC的中點，所以在△PAC中，可得AP∥OF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由題意，知ED∥BC，ED＝BC，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.因為四邊形ABCE為菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，所以BE⊥平面PAC

【點睛】

本題考查了線面平行、垂直的判定，考查了線面垂直的性質(zhì)，在證明線面垂直問題時，注意線線垂直與線面垂直的互化.21．如圖，CM，CN為某公園景觀湖胖的兩條木棧道，∠MCN=120°，現(xiàn)擬在兩條木棧道的A，B處設(shè)置觀景臺，記BC=a，AC=b，AB=c（單位：百米）

（1）若a，b，c成等差數(shù)列，且公差為4，求b的值；

（2）已知AB=12，記∠ABC=θ，試用θ表示觀景路線A-C-B的長，并求觀景路線A-C-B長的最大值．

【答案】（1）10；（2）8.【解析】（1）利用a、b、c成等差數(shù)列,且公差為4,可得,利用余弦定理即可求b的值；

（2）利用正弦定理,求出AC、BC,可得到觀景路線A-C-B為是關(guān)于的函數(shù),求出最大值即可

【詳解】

解：（1）∵a、b、c成等差數(shù)列,且公差為4,∴,∵∠MCN=120°，∴,即°,∴b=10

（2）由題意,在中，則,∴，∴觀景路線A-C-B的長,且,∴θ=30°時,觀景路線A-C-B長的最大值為8

【點睛】

本題考查利用余弦定理求三角形的邊,考查正弦定理的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的最值問題,考查運算能力

22．已知點及圓.（1）若直線過點且被圓截得的線段長為，求的方程；

（2）求過點的圓的弦的中點的軌跡方程.【答案】(1)

或；(2).【解析】試題分析：（1）直線與圓相交時，利用圓的半徑，弦長的一半，圓心到直線的距離構(gòu)成直角三角形的三邊勾股定理求解；（2）求弦的中點的軌跡方程，首先設(shè)出動點坐標(biāo)D（x，y），利用弦的中點與圓心的連線垂直于仙所在的直線得到動點的軌跡方程

試題解析：（1）解法一：如圖所示，AB＝4，D是AB的中點，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2．

設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0．

由點C到直線AB的距離公式：

＝2，得k＝．

k＝時，直線l的方程為3x－4y＋20＝0．

又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0．

∴所求直線的方程為3x－4y＋20＝0或x＝0．

（2）設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D（x，y），則CD⊥PD，即

（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0．

【考點】1．軌跡方程；2．直線與圓相交的相關(guān)問題