2019-2020學年第一中學高二上學期期中數(shù)學（理）試題

一、單選題

1．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，則b=

A．

B．

C．2

D．3

【答案】D

【解析】【詳解】

由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點】

余弦定理

【名師點睛】

本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因,請考生切記！

2．已知等差數(shù)列前9項的和為27，則

A．100

B．99

C．98

D．97

【答案】C

【解析】試題分析：由已知，所以故選C.【考點】等差數(shù)列及其運算

【名師點睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.3．命題“”的否定是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】分析：直接根據(jù)“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，寫出結(jié)果即可.詳解：“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，命題“”的否定是，故選B.點睛：本題考查命題的否定，“全稱量詞”與“存在量詞”正好構(gòu)成了意義相反的表達，如“對所有的…都成立”與“至少有一個…不成立”：“都是”與“不都是”等，所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題”的否定一定是“全稱命題”.4．橢圓的焦距為8，且橢圓的長軸長為10，則該橢圓的標準方程是（）

A．

B．或

C．

D．或

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分析可得、的值，計算可得的值，分析橢圓的焦點位置，即可得答案．

【詳解】

解：根據(jù)題意，橢圓的焦距為8，長軸長為10，則，即，則，若橢圓的焦點在軸上，則其標準方程為，若橢圓的焦點在軸上，則其標準方程為，故要求橢圓的標準方程為或，故選：．

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

5．已知，函數(shù)的最小值是（）

A．5

B．4

C．8

D．6

【答案】D

【解析】試題分析：因為該函數(shù)的單調(diào)性較難求，所以可以考慮用不等式來求最小值，因為，由重要不等式可知，所以，本題正確選項為D.【考點】重要不等式的運用.6．在中，則的值等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】分析：先利用三角形的面積公式求得的值，進而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.詳解：由題意，在中，利用三角形的面積公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故選A.點睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.7．若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則=（）

A．3

B．7

C．10

D．15

【答案】D

【解析】【詳解】

若q=1可得據(jù)=2≠3，故q≠1，∴，化簡得1-q8=3（1-q4），可得q8-3q4+2=0，解得q4=1或2，q≠1，解得q4=2，．

故選：D．

8．設(shè)，是橢圓：的左右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】設(shè)直線與軸交于點，由已知得，由此能求出橢圓的離心率．

【詳解】

解：如圖，設(shè)直線與軸交于點，由已知得，軸，為直線上一點，，橢圓的離心率為．

故選：．

【點睛】

本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．

9．設(shè)，滿足約束條件，目標函數(shù)的最大值為（）

A．5

B．

C．

D．1

【答案】C

【解析】根據(jù)已知中的約束條件，先畫出滿足條件的可行域，進而求出可行域的各角點的坐標，代入目標函數(shù)求出目標函數(shù)的值，比較后可得目標函數(shù)的最大值．

【詳解】

解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，則，目標函數(shù)

．

．

．

故目標函數(shù)的最大值為

故選：．

【點睛】

本題考查的知識點是線性規(guī)劃，其中角點法是求已知約束條件，求目標函數(shù)最優(yōu)解最常用的方法，一定要熟練掌握．

10．在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，則的形狀一定是（）

A．直角三角形

B．等邊三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

【答案】A

【解析】利用平方化倍角公式和邊化角公式化簡得到，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理化簡得到，即可確定的形狀。

【詳解】

化簡得

即

即

是直角三角形

故選A

【點睛】

本題考查了平方化倍角公式和正弦定理的邊化角公式，在化簡時，將邊化為角，使邊角混雜變統(tǒng)一，還有三角形內(nèi)角和定理的運用，這一點往往容易忽略。

11．給出如下四個命題：①若“且”為假命題，則均為假命題；②命題“若，則”的否命題為“若，則”；

③“，則”的否定是“，則”；④在中，“”是“”的充要條件．其中正確的命題的個數(shù)是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【解析】根據(jù)復(fù)合命題真假的判定即可判斷①；根據(jù)否命題可判斷②；根據(jù)含有量詞的否定可判斷③；根據(jù)正弦定理及充分必要條件可判斷④。

【詳解】

根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷，若“且”為假命題，則或至少有一個為假命題，所以①錯誤；

根據(jù)否命題定義，命題“若，則”的否命題為“若，則”為真命題，所以②正確；

根據(jù)含有量詞的否定，“”的否定是“”，所以③正確；

根據(jù)正弦定理，“”“”且“”“”，所以④正確。

綜上，正確的有②③④

所以選C

【點睛】

本題考查了復(fù)合命題真假的判斷、否命題及含有量詞的否定，正弦定理和充分必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。

12．已知，在這兩個實數(shù)之間插入三個實數(shù)，使這五個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個等差數(shù)列后三項和的最大值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，用表示這個等差數(shù)列后三項和為，進而設(shè)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)能求最大值。

【詳解】

設(shè)中間三項為，則，所以，所以后三項的和為，又因為，所以可令，所以

故選：

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)。

二、填空題

13．若命題“?t∈R，t2-2t-a＜0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

______.【答案】

【解析】【詳解】

命題“?t∈R，t2-2t-a＜0”是假命題，等價于?t∈R，t2-2t-a≥0是真命題，∴△=4+4a≤0，解得a≤-1．

∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

故答案為（-∞，-1]．

14．在中，角所對的邊分別為，若，則______．

【答案】

【解析】【詳解】

由正弦定理及可得，又，所以，即,由余弦定理可得，則，應(yīng)填答案

15．若數(shù)列滿足，則______.【答案】

【解析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和疊乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式，進一步利用數(shù)列的通項公式求出結(jié)果．

【詳解】

解：數(shù)列滿足，①

當時，②

①②得，所以，，所有的式子相乘得，所以

即首項符合通項，故，所以

故答案為：

【點睛】

本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，疊乘法的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．

16．若實數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，則的最小值為__________．

【答案】4

【解析】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，則的最小值為4.三、解答題

17．已知數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，并且，成等差數(shù)列.（1）求的值；

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）

【解析】（1）直接利用已知條件整理得到關(guān)于公比的等式，解之即可求出公比；

（2）利用求出的公比，先求出兩個數(shù)列的通項公式，再對數(shù)列采用分組求和即可．

【詳解】

解：（1）由，成等差數(shù)列，得，即，由于，所以，所以或（舍），所以.（2）由（1）知，所以.又，所以數(shù)列的前項和為：

.【點睛】

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查方程思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用．主要考查學生的運算能力．

18．命題：函數(shù)有意義；命題：實數(shù)滿足.（1）當且為真，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）

【解析】（1）若，分別求出，成立的等價條件，利用且為真，求實數(shù)的取值范圍；

（2）利用是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．

【詳解】

解：（1）由得，又，所以.則：，；

若，則：，由，解得，即：.若為真，則，同時為真，即，解得，∴實數(shù)的取值范圍.（2）若是的充分條件，即是的充分條件，∴是的子集.所以，解得.實數(shù)的取值范圍為.【點睛】

本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價性將是的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為是的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵．

19．如圖，港口在港口的正東120海里處，小島在港口的北偏東的方向，且在港口北偏西的方向上，一艘科學考察船從港口出發(fā)，沿北偏東的方向以20海里/小時的速度駛離港口.一艘給養(yǎng)快艇從港口以60海里/小時的速度駛向小島，在島轉(zhuǎn)運補給物資后以相同的航速送往科考船.已知兩船同時出發(fā)，補給裝船時間為1小時.（1）求給養(yǎng)快艇從港口到小島的航行時間；

（2）給養(yǎng)快艇駛離港口后，最少經(jīng)過多少小時能和科考船相遇？

【答案】（1）快艇從港口到小島的航行時間為小時（2）給養(yǎng)快艇駛離港口后，最少經(jīng)過3小時能和科考船相遇

【解析】（1）給養(yǎng)快艇從港口到小島的航行時間，已知其速度，則只要求得的路程，再利用路程公式即可求得所需的時間．

（2）由（1）知，給養(yǎng)快艇從港口駛離2小時后，從小島出發(fā)與科考船匯合，根據(jù)題意確定各邊長和各角的值，然后由余弦定理解決問題．

【詳解】

（1）由題意知，在中，，所以，于是，而快艇的速度為海里/小時，所以快艇從港口到小島的航行時間為小時.（2）由（1）知，給養(yǎng)快艇從港口駛離2小時后，從小島出發(fā)與科考船匯合.為使航行的時間最少，快艇從小島駛離后必須按直線方向航行，設(shè)給養(yǎng)快艇駛離港口小時后恰與科考船在處相遇.在中，而在中，，由余弦定理，得，即，化簡，得，解得或（舍去）.故.即給養(yǎng)快艇駛離港口后，最少經(jīng)過3小時能和科考船相遇.【點睛】

本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，考查學生分析解決問題的能力．余弦定理在解實際問題時有著廣泛的應(yīng)用，一定要熟練的掌握．

20．已知，且.（1）當，分別為何值時，取得最小值？并求出最小值；

（2）當，分別為何值時，取得最小值？并求出最小值.【答案】（1），時，的最小值為32（2），時,.的最小值為

【解析】（1）直接利用基本不等式，可求出，分別為何值時，取得最小值；

（2）變形，利用“1”的代換，即可求出當，分別為何值時，取得最小值

【詳解】

解：（1）因為，且，所以，所以，當且僅當，即，時取等號，于是的最小值為32.（2）由已知得，所以，當且僅當，即，時取等號.因此的最小值為.【點睛】

本題考查利用基本不等式求最值，考查學生變形能力，屬于中檔題．

21．在中，內(nèi)角，的對邊分別是，，且.（1）求角的大?。?/p>

（2）若，與在兩側(cè)，求面積的最大值.【答案】（1）（2）

【解析】（1）由正弦定理和余弦定理，即可求出以及的值；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，由（1）知為等邊三角形，設(shè)邊長為，，則，在中利用正弦、余弦定理將，轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，即可求出面積的最大值。

【詳解】

解：（1）中，由正弦定理及

知，所以，由余弦定理知，所以，所以，又，所以.（2）如圖

令，，則，∴.又，∴，∴.∴

.當?shù)忍柍闪?∴面積的最大值為.【點睛】

本題考查了正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的綜合應(yīng)用問題，體現(xiàn)了邊角轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．

22．設(shè)數(shù)列的前n項和為.滿足，且，設(shè)

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）證明：對一切正整數(shù)n，有.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）由題可得：當時，有，結(jié)合已知方程作差，可得：，兩邊除以，再整理得：，可得，問題得解。

（2）利用（1）可求得：，通過放縮可得：，由此可得：，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可證明原不等式成立。

【詳解】

（1）∵，∴當時，有，兩式相減整理得，則，即，∴，當時，且，則，∴，滿足.∴.故數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，即.（2）由（1）知，∴，則，當時，即，∴.當時，上式也成立.綜上可知，對一切正整數(shù)n，有.【點睛】

本題主要考查了賦值法及化簡、整理能力，還考查了構(gòu)造思想及等比數(shù)列的通項公式，考查了放縮法證明不等式，還考查了等比數(shù)列前項和公式，考查轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于難題。