2019-2020學(xué)年第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．的內(nèi)角，的對邊分別為，，已知，，則（）

A．

B．3

C．

D．

【答案】A

【解析】直接利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】

利用余弦定理：

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2．已知等差數(shù)列中，，則（）

A．100

B．99

C．98

D．97

【答案】C

【解析】根據(jù)條件先計(jì)算等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入計(jì)算得到答案.【詳解】，解得

故，故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題型.3．命題“”的否定是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】分析：直接根據(jù)“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，寫出結(jié)果即可.詳解：“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，命題“”的否定是，故選B.點(diǎn)睛：本題考查命題的否定，“全稱量詞”與“存在量詞”正好構(gòu)成了意義相反的表達(dá)，如“對所有的…都成立”與“至少有一個(gè)…不成立”：“都是”與“不都是”等，所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題”的否定一定是“全稱命題”.4．橢圓的焦距為8，且橢圓的長軸長為10，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A．

B．或

C．

D．或

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分析可得、的值，計(jì)算可得的值，分析橢圓的焦點(diǎn)位置，即可得答案．

【詳解】

解：根據(jù)題意，橢圓的焦距為8，長軸長為10，則，即，則，若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，故要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

5．已知，若，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】取特殊值排除選項(xiàng)，再證明選項(xiàng)得到答案.【詳解】

取，則和不成立，排除；

取，不成立，排除；

即

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等關(guān)系式的判斷，通過特殊值法可以快速排除選項(xiàng)，簡化運(yùn)算.6．在中，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)面積公式得到，再利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案.【詳解】

利用余弦定理得到：

正弦定理：

故

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了面積公式，正弦定理，余弦定理，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.7．若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則=（）

A．3

B．7

C．10

D．15

【答案】D

【解析】【詳解】

若q=1可得據(jù)=2≠3，故q≠1，∴，化簡得1-q8=3（1-q4），可得q8-3q4+2=0，解得q4=1或2，q≠1，解得q4=2，．

故選：D．

8．不等式的解集為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】直接解不等式得到答案.【詳解】

解得

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了解不等式，屬于簡單題型.9．已知，滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）

A．-11

B．9

C．17

D．20

【答案】C

【解析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)直線平移得到最大值.【詳解】

畫出可行域和直線，如圖所示：

當(dāng)直線平移經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，有最大值為

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出可行域是解題的關(guān)鍵.10．在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，則的形狀一定是（）

A．直角三角形

B．等邊三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

【答案】A

【解析】利用平方化倍角公式和邊化角公式化簡得到，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理化簡得到，即可確定的形狀。

【詳解】

化簡得

即

即

是直角三角形

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了平方化倍角公式和正弦定理的邊化角公式，在化簡時(shí)，將邊化為角，使邊角混雜變統(tǒng)一，還有三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，這一點(diǎn)往往容易忽略。

11．給出如下四個(gè)命題：

①若“”為假命題，則，均為假命題；

②命題“若，則”的否命題為“若，則”；

③“，”的否定是“，”；

④在中，“”是“”的充要條件.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【解析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，判斷得到答案.【詳解】

①若“”為假命題，則，均為假命題或一真一假，①錯(cuò)誤；

②命題“若，則”的否命題為“若，則”，條件結(jié)論均否定，②正確；

③“，”的否定是“，”

根據(jù)命題否定的定義，③正確；

④在中，“”是“”的充要條件.根據(jù)大角對大邊得到，根據(jù)正弦定理得到，充分性；根據(jù)正弦定理得到，根據(jù)大角對大邊得到，必要性.④正確.故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題的判斷，意在考查學(xué)生的推斷能力.12．已知，在這兩個(gè)實(shí)數(shù)之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，用表示這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和為，進(jìn)而設(shè)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)能求最大值。

【詳解】

設(shè)中間三項(xiàng)為，則，所以，所以后三項(xiàng)的和為，又因?yàn)?，所以可令，所?/p>

故選：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)。

二、填空題

13．若命題“?t∈R，t2-2t-a＜0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

______.【答案】

【解析】【詳解】

命題“?t∈R，t2-2t-a＜0”是假命題，等價(jià)于?t∈R，t2-2t-a≥0是真命題，∴△=4+4a≤0，解得a≤-1．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

故答案為（-∞，-1]．

14．在中，角所對的邊分別為，若，則______．

【答案】

【解析】【詳解】

由正弦定理及可得，又，所以，即,由余弦定理可得，則，應(yīng)填答案

15．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是______.【答案】

【解析】利用均值不等式得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】

正實(shí)數(shù)，則

當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.16．若數(shù)列滿足，則______.【答案】

【解析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和疊乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)果．

【詳解】

解：數(shù)列滿足，①

當(dāng)時(shí)，②

①②得，所以，，所有的式子相乘得，所以

即首項(xiàng)符合通項(xiàng)，故，所以

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，疊乘法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．

三、解答題

17．已知，.設(shè)：函數(shù)在上單調(diào)遞減；：關(guān)于的不等式的解集為.如果“”為真，“”為假，求的取值范圍.【答案】

【解析】將題目分為真假和假真兩種情況，分別計(jì)算得到答案.【詳解】

若為真，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則；

若為真，即關(guān)于的不等式的解集為，則，解得.由“”為真，“”為假，可知，中一真一假.如果真假，則，解得；

如果假真，則，解得.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)命題的真假計(jì)算參數(shù)范圍，確定，為一真一假是解題的關(guān)鍵.18．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，并且，成等差數(shù)列.（1）求的值；

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）

【解析】（1）直接利用已知條件整理得到關(guān)于公比的等式，解之即可求出公比；

（2）利用求出的公比，先求出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，再對數(shù)列采用分組求和即可．

【詳解】

解：（1）由，成等差數(shù)列，得，即，由于，所以，所以或（舍），所以.（2）由（1）知，所以.又，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：

.【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查方程思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用．主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力．

19．如圖，港口在港口的正東120海里處，小島在港口的北偏東的方向，且在港口北偏西的方向上，一艘科學(xué)考察船從港口出發(fā)，沿北偏東的方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口.一艘給養(yǎng)快艇從港口以60海里/小時(shí)的速度駛向小島，在島轉(zhuǎn)運(yùn)補(bǔ)給物資后以相同的航速送往科考船.已知兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給裝船時(shí)間為1小時(shí).（1）求給養(yǎng)快艇從港口到小島的航行時(shí)間；

（2）給養(yǎng)快艇駛離港口后，最少經(jīng)過多少小時(shí)能和科考船相遇？

【答案】（1）快艇從港口到小島的航行時(shí)間為小時(shí)（2）給養(yǎng)快艇駛離港口后，最少經(jīng)過3小時(shí)能和科考船相遇

【解析】（1）給養(yǎng)快艇從港口到小島的航行時(shí)間，已知其速度，則只要求得的路程，再利用路程公式即可求得所需的時(shí)間．

（2）由（1）知，給養(yǎng)快艇從港口駛離2小時(shí)后，從小島出發(fā)與科考船匯合，根據(jù)題意確定各邊長和各角的值，然后由余弦定理解決問題．

【詳解】

（1）由題意知，在中，，所以，于是，而快艇的速度為海里/小時(shí)，所以快艇從港口到小島的航行時(shí)間為小時(shí).（2）由（1）知，給養(yǎng)快艇從港口駛離2小時(shí)后，從小島出發(fā)與科考船匯合.為使航行的時(shí)間最少，快艇從小島駛離后必須按直線方向航行，設(shè)給養(yǎng)快艇駛離港口小時(shí)后恰與科考船在處相遇.在中，而在中，，由余弦定理，得，即，化簡，得，解得或（舍去）.故.即給養(yǎng)快艇駛離港口后，最少經(jīng)過3小時(shí)能和科考船相遇.【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力．余弦定理在解實(shí)際問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，一定要熟練的掌握．

20．已知，且.（1）當(dāng)，分別為何值時(shí)，取得最小值？

（2）當(dāng)，分別為何值時(shí)，取得最小值？

【答案】（1），時(shí)，最?。?），時(shí),最小

【解析】（1）利用均值不等式將等式變換為不等式，計(jì)算得到答案.（2）利用1的代換將轉(zhuǎn)化為，展開利用均值不等式得到答案.【詳解】

（1）因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，所以的最小值為32.（2）由已知得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號.因此的最小值為.【點(diǎn)睛】

本題考查了均值不等式的應(yīng)用，其中1的代換是一個(gè)常用的方法，需要同學(xué)們熟練掌握.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：.【答案】（1），,（2）證明見解析

【解析】（1）代入數(shù)據(jù)計(jì)算，，再利用公式計(jì)算得到答案.（2），利用裂項(xiàng)求和計(jì)算得到答案.【詳解】

（1）因?yàn)?，?/p>

知，又，得，同理，由①知當(dāng)時(shí)，②

①-②得，所以，所以，所以，上式對于也成立，因此.（2）由（1）可知，所以，所以.【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式和方法的靈活運(yùn)用.22．在中，內(nèi)角，的對邊分別是，，且.（Ⅰ）求角的大??；

（Ⅱ）點(diǎn)滿足，且線段，求的最大值.【答案】(1)

(2)6

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理將已知等式中的角化為邊，由此得到間的關(guān)系，然后由余弦定理求得，從而求角的大??；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到間的關(guān)系，然后利用基本不等式即可求得最大值．

試題解析：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，∴，即，又∵，∴，∵，∴．

（Ⅱ）在中由余弦定理知：，∴，∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，所以的最大值為6．