2019-2020學年市第一中學高一上學期期中數(shù)學試題

一、單選題

1．已知集合，則

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】試題分析：集合，而，所以，故選C.【考點】

集合的運算

【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進行處理.2．以下函數(shù)在R上為減函數(shù)的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】逐一分析選項，得到正確答案.【詳解】

A.的定義域是，且在是減函數(shù)，故不正確；

B.的定義域是，函數(shù)在和時單調(diào)遞減函數(shù)，故不正確；

C.在上單調(diào)遞減，故正確；

D.在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故不正確.故選：C

【點睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題型.3．若是函數(shù)的零點，則所在的一個區(qū)間是（）

A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，3)

D．(3，4)

【答案】B

【解析】根據(jù)零點存在性定理，判斷區(qū)間端點的函數(shù)值，若，可知零點必在此區(qū)間.【詳解】

是減函數(shù)，且，，零點所在區(qū)間是.故選：B

【點睛】

本題考查零點存在性定理，屬于簡單題型，當，若滿足，則存在，使.4．若函數(shù)的定義域為[－2，2]，則的值域為（）

A．[－1，7]

B．[0，7]

C．[－2，7]

D．[－2，0]

【答案】C

【解析】判斷函數(shù)在的單調(diào)性，得到函數(shù)的值域.【詳解】

函數(shù)，函數(shù)的對稱軸是，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當時，可知，時，函數(shù)取得最小值-2，當時，函數(shù)取得最大值7，函數(shù)的值域是.故選：C

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的值域的求法，屬于簡單題型.5．已知函數(shù)f(x)＝那么f?的值為()

A．27

B．

C．－27

D．－

【答案】B

【解析】利用分段函數(shù)先求f（）的值，然后在求出f?的值．

【詳解】

f?＝log2＝log22－3＝－3，f?＝f(－3)＝3－3＝.【點睛】

本題主要考查分段函數(shù)求值以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基本運算，屬基礎(chǔ)題．

6．若偶函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，則（）

A．f（-1.5）＜f（-1）＜f（2）

B．f（-1）＜f（-1.5）＜f（2）

C．f（2）＜f（-1）＜f（-1.5）

D．f（2）＜f（-1.5）＜f（-1）

【答案】D

【解析】根據(jù)單調(diào)性可得，結(jié)合奇偶性可得結(jié)果.【詳解】

在上是增函數(shù)，又，又為偶函數(shù)，故選D．

【點睛】

在比較，，的大小時，首先應(yīng)該根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將，，通過等值變形將自變量置于同一個單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小．

7．若=log20.5，b=20.5，c=0.52，則，b，c三個數(shù)的大小關(guān)系是（）

A．＜b＜c

B．b＜c＜

C．＜c＜b

D．c＜＜b

【答案】C

【解析】a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，則a＜c＜b，故選：C．

8．若時，在同一坐標系中，函數(shù)與的圖像大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】【詳解】

解析過程略

9．若函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，則的取值范圍（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】在上是增函數(shù),對稱軸

即.故選D．

點晴：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性問題，常見題型有：（1）直接求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).求解這類問題的關(guān)鍵是：（1）首先確定二次函數(shù)圖象的開口方向；（2）根據(jù)題目要求研究二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系,要注意題目中的要求和給定的區(qū)間.10．函數(shù)的定義域為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解對數(shù)不等式得答案．

【詳解】

由log2x-1≥0，解得x≥2．

∴函數(shù)的定義域為[2，+∞）．

故選：A．

【點睛】

本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．

11．設(shè)是上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上遞減，則的解集是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f

（2）=0，則函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（-2）=-f（2）=0，當x＞0時，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，當x＜0時，若f（x）＞0，必有x＜-2，即f（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）；

故答案選：C．

點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，注意奇函數(shù)的在對稱區(qū)間上的單調(diào)性的性質(zhì)；對于解抽象函數(shù)的不等式問題或者有解析式，但是直接解不等式非常麻煩的問題，可以考慮研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等，以及函數(shù)零點等，直接根據(jù)這些性質(zhì)得到不等式的解集。

12．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有兩個不同的根，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】：①當x≥4時，是減函數(shù)，且1＜f（x）≤2；②當x＜4時，f（x）=log2x在（0，4）上是增函數(shù)，且f（x）＜f（4）=2；且關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個不同的根可化為函數(shù)f（x）與y=k有兩個不同的交點；作出函數(shù)的圖象如下：

故實數(shù)k的取值范圍是（1，2）；

故選：D．

點睛：本題考查根的存在性和個數(shù)的判斷，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，原問題等價于于函數(shù)f（x）與函數(shù)y=k的圖象有兩個不同的交點，在同一個坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象可得答案．

二、填空題

13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，則______．

【答案】

【解析】由題意知，從而代入函數(shù)解析式求解即可．

【詳解】

函數(shù)是奇函數(shù)，故答案為：．

【點睛】

本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題．

14．已知，則的值為_______。

【答案】2

【解析】直接把已知方程兩邊同時平方即得的值.【詳解】

把已知方程兩邊同時平方得故答案為：2

【點睛】

本題主要考查指數(shù)冪的運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.15．函數(shù)的圖像恒過定點，且點在冪函數(shù)的圖像上，則__________．

【答案】9

【解析】當，即時，點定點的坐標是，冪函數(shù)圖象過點，解得，冪函數(shù)為，則，故答案為.16．函數(shù)的值域為________.【答案】

【解析】首先換元，設(shè)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的值域.【詳解】

設(shè)，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值0，當時，函數(shù)取得最大值9.故答案為：

【點睛】

本題考查換元法，以及二次函數(shù)的值域，屬于簡單題型.三、解答題

17．求值：（1）

（2）2log310＋log30.81

【答案】（1）（2）4

【解析】試題分析：（1）利用分數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)運算即可;(2)利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得結(jié)果.試題解析：

(1)，(2)2log310＋log30.81=

18．集合，集合．

（）求，．

（）若全集，求．

【答案】（），或;（）

【解析】由題意集合，利用絕對值不等式及一元一次不等式解出集合A，B；

（1）直接利用交集，并集的運算法則求出A∩B．A∪B；

（2）求出A的補集，然后求解(CUA)∩B，即可．

【詳解】

（），即，得或，故或，又，得，或．

（）或，，∴(．

【點睛】

本題是基礎(chǔ)題，考查一次、二次不等式的解法，集合的基本運算，解題時可以借助數(shù)軸解答．

19．如圖所示，動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是36m。

（1）把每間熊貓居室的面積s（單位：）表示為寬x（單位：m）的函數(shù)，求函數(shù)的解析式，并寫出定義域；

（2）當寬為多少時才能使所建造的每間熊貓居室面積最大？每間熊貓居室最大面積是多少？

【答案】（1），定義域：；

（2）當寬為6時，每間熊貓居室的最大面積是54

【解析】（1）寬為，長為，求面積；（2）根據(jù)（1）可知，定義域：，求二次函數(shù)給定區(qū)間的最值.【詳解】

（1）寬為，長為，函數(shù)的定義域需滿足

.，定義域：

（2），當時，面積取得最大值108，每間熊貓居室的最大面積是.所以，當寬為6時，每間熊貓居室的最大面積是54.【點睛】

本題考查二次函數(shù)的實際問題，意在考查抽象，概括，應(yīng)用和計算能力，屬于簡單題型.20．已知a，b常數(shù)，且，，方程有兩個相等的實根.（1）求函數(shù)的表達式；

（2）若，判斷的奇偶性.【答案】（1）

；（2）奇函數(shù).【解析】（1），因為有兩個相等的實根，所以，并且，解方程求解；（2）先求，再根據(jù)定義判斷函數(shù)奇偶性.【詳解】

（1）

有兩個相等的實數(shù)根，則，解得，，；

（2）

函數(shù)的定義域是，是奇函數(shù).【點睛】

本題考查二次函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于簡單題型.21．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，（1）求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象．

（2）根據(jù)圖象寫出的單調(diào)區(qū)間和值域．

【答案】(1),圖見解析

(2)

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的值域為

【解析】【詳解】試題分析：解：（1）由，當，又函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)的解析式為

（2）由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的值域為

【考點】函數(shù)奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的運用

點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用對稱性作圖，并能加以結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)來求解最值。屬于基礎(chǔ)題。

22．已知函數(shù)，且時，總有成立．

求a的值；

判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

求在上的值域．

【答案】（1）；

（2）見解析；

(3)

.【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求a的值；

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義即可求在上的值域．

試題解析：，即，．

函數(shù)為R上的減函數(shù)，的定義域為R，任取，且，.．

即

函數(shù)為R上的減函數(shù)．

由知，函數(shù)在上的為減函數(shù)，即，即函數(shù)的值域為.點晴：證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性.