2019屆省高三一輪復(fù)習(xí)階段性測(cè)評(píng)（三）數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1．設(shè)集合，,則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】先化簡集合,根據(jù)交集和補(bǔ)集定義,即可求得.【詳解】

∵,化簡可得

∴，∴，故選:C.【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算,在集合運(yùn)算比較復(fù)雜時(shí),可以使用韋恩圖輔助分析問題.2．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)二次根式下表達(dá)式非負(fù)和分?jǐn)?shù)分母不為零,即可求得的定義域.【詳解】

因?yàn)?/p>

根據(jù)二次根式下表達(dá)式非負(fù)和分?jǐn)?shù)分母不為零

故選:B.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解,其中解答中熟記函數(shù)的定義域的概念,以及根據(jù)函數(shù)的解析式有意義進(jìn)行求解,屬于基礎(chǔ)題.3．命題“,”的否命題是（）

A．,B．,C．,D．,【答案】B

【解析】根據(jù)為原命題條件,為原命題結(jié)論,則否命題:若非則非,即可求得答案.【詳解】

根據(jù)為原命題條件,為原命題結(jié)論,則否命題:若非則非

結(jié)合,存在性命題的否定是全稱命題

命題“,”的否命題是:,故選:B.【點(diǎn)睛】

本題考查了否命題,解題關(guān)鍵是理解否命題的定義,屬于基礎(chǔ)題.4．下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)奇函數(shù)滿足,且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.逐個(gè)選項(xiàng)判斷其奇偶性和單調(diào)性即可得出答案.【詳解】

對(duì)于A，故，可得不是奇函數(shù),故A不符合題意;

對(duì)于B，故,可得是奇函數(shù),又,在是減函數(shù),故B不符合題意;

對(duì)于C，故,可得不是奇函數(shù),故C不符合題意;

對(duì)于D，故,可得是奇函數(shù),又在是增函數(shù),故D符合題意

故選:D.【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,熟練掌握函數(shù)單調(diào)性,奇偶性的定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5．已知向量,則下列結(jié)論正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)平面向量共線和平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,逐一判斷即可得到答案.【詳解】

對(duì)于A,故,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C，,不存在實(shí)數(shù)使:,所以不平行于,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D，故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.考查了平面向量共線的坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,熟練掌握向量的基本知識(shí)是解本題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6．在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，,為的前項(xiàng)和,若,則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由,化簡可得,得或,因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù),故符合題意,不符題意舍去,所以數(shù)列為首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得答案.【詳解】,得，或，又各項(xiàng)均為正數(shù),故符合題意,不符題意舍去.，所以數(shù)列為首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列

則，解得，故選:A.【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題

7．“,”是“”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷,即可得出答案.【詳解】

當(dāng),時(shí),能推出.故“,”是“”充分條件

而時(shí),可得或,不能推出,故“,”不是“”必要條件

綜上所述,“,”是“”的充分不必要條件

故選:A.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了充分條件與必要條件的判定,其中熟記充分條件和必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了理解能力與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8．已知實(shí)數(shù),滿足,則下列結(jié)論一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)可知,是減函數(shù),根據(jù),可得,逐項(xiàng)判斷即可求得答案.【詳解】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)可知是減函數(shù)

由,可得

對(duì)于A,令,根據(jù)余弦函數(shù)圖像可知,當(dāng)時(shí),不一定成立,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,因?yàn)?可取，此時(shí)，得,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,因?yàn)?可取，此時(shí)，得,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,因?yàn)槭窃龊瘮?shù),當(dāng),可得,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】

本小題主要考查了不等式的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9．已知函數(shù)，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】因?yàn)?化簡可得:,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,即可求得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知,其減區(qū)間為:，∴

當(dāng)時(shí),函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:A.【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)的圖像可能是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)函數(shù)圖像,判斷出正負(fù)號(hào),結(jié)合二次函數(shù)圖像性質(zhì),即可求得答案.【詳解】

由函數(shù)圖像可知,當(dāng)時(shí),，即

又

漸近線方程為，即

當(dāng)時(shí),，所以,.是二次函數(shù)

對(duì)稱軸:，圖像開口向下.,與軸正半軸相交

綜上所述,只有B符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷參數(shù)的正負(fù)問題.解題關(guān)鍵是根據(jù)所給函數(shù)圖像的特征,結(jié)合特殊點(diǎn),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11．設(shè)函數(shù),在上可導(dǎo),且,則當(dāng)時(shí),有（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】設(shè),因?yàn)?可得,在給定的區(qū)間上是增函數(shù),即可求得答案.【詳解】

設(shè),當(dāng)時(shí),∴

∴在給定的區(qū)間上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),解得:

故選:B.【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,屬于中檔題.12．已知,當(dāng)時(shí),不等式（是整數(shù)）恒成立,則的最大值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因?yàn)?代入,得.當(dāng)時(shí),得,得整數(shù);當(dāng)時(shí),設(shè)可得,所以,即可得到結(jié)果.【詳解】,代入

得

當(dāng)時(shí)成立,得,所以整數(shù).又

可證時(shí)成立,設(shè)，得,，所求的最大值是.故選:B.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式的恒成立問題的求解,其中根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的最小值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力．

二、填空題

13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則________.【答案】

【解析】因?yàn)?，即可求得答?【詳解】，,根據(jù).故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題的解題關(guān)鍵是掌握,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14．如圖,在菱形中，為的中點(diǎn),則的值是________.【答案】

【解析】因?yàn)?即可得出答案.【詳解】

在菱形中,.故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算.解題關(guān)鍵是掌握向量的平方等于向量模的平方,屬于基礎(chǔ)題.15．設(shè),滿足約束條件,則的最大值是________.【答案】

【解析】由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合即可求得的最大值.【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示.由目標(biāo)函數(shù),可化為:

由圖像可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn),在截距最小,此時(shí)取得最大值.由解得:

目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值,代入.故最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃的相關(guān)內(nèi)容,解題關(guān)鍵是根據(jù)約束條件畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合解決問題,屬于中檔題.16．對(duì)于函數(shù),若存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”.給出下列四個(gè)函數(shù):

①;

②;

③;

④.其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”的序號(hào)是________.【答案】②③

【解析】根據(jù)存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”,對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一判斷,即可得到答案.【詳解】

對(duì)于①,是的可等域區(qū)間,但不唯一,故①不成立;

對(duì)于②，且在時(shí)遞減,在時(shí)遞增,若,則,故

又，而,故,故是一個(gè)可等域區(qū)間;

若,則,解得，不合題意,若,則有兩個(gè)非負(fù)解,但此方程的兩解為和,也不合題意,函數(shù)只有一個(gè)等可域區(qū)間,故②成立;

對(duì)于③,函數(shù)的值域是，函數(shù)在上是增函數(shù),考察方程,由于函數(shù)與只有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程只有兩個(gè)解和,此函數(shù)只有一個(gè)等可域區(qū)間,故③成立;

對(duì)于④,函數(shù)在定義域上是增函數(shù),若函數(shù)有等可域區(qū)間,則，但方程無解,故此函數(shù)無可等域區(qū)間,故④不成立.綜上所述,只有②③正確.故答案為:②③.【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的新定義.解題關(guān)鍵是理解所給的函數(shù)新定義:“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題

17．記函數(shù)的定義域?yàn)榧?函數(shù)的定義域?yàn)榧?求:

（1）集合,;

（2）集合,.【答案】（1），（2），【解析】（1）由,可得,即可求得.由

即可得到,即可求得.（2）根據(jù)集合的交集,并集和補(bǔ)集定義,即可求得答案.【詳解】

解：（1）∵，∴

∵，∴.（2），,故

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集,并集和補(bǔ)集運(yùn)算,在集合運(yùn)算比較復(fù)雜時(shí),可以使用數(shù)軸來輔助分析問題,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18．已知等差數(shù)列中，,數(shù)列滿足,.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）

（2），【解析】（1）由，可得:,解得,故,即可求得.（2）因?yàn)?，?根據(jù)數(shù)列求和錯(cuò)位相減法,即可求得.【詳解】

（1）由已知得，解得，故，代入,即

∴.（2）由（1）知,.，.故,【點(diǎn)睛】

本題考查求等差數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列求和.錯(cuò)位相減法求數(shù)列和,適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題型.19．已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且.（1）求角;

（2）若點(diǎn)滿足,且，求的面積.【答案】（1）

（2）

【解析】（1）因?yàn)?根據(jù)正弦定理:,可得,化簡可得,即可求得,進(jìn)而求得角.（2）在中,根據(jù)余弦定理得,可得,結(jié)合已知,即可得到,由三角形面積公式,即可求得答案.【詳解】

（1）∵，∴，∴，即

∵，∴，∴，可得:.（2）在中,根據(jù)余弦定理得，即，∴，∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面積公式,解題關(guān)鍵是利用正弦定理邊化角,再利用和角的正弦公式化簡所給式子,屬于基礎(chǔ)題.20．（B）已知函數(shù)，的圖象如圖所示點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，且線段平行于軸．

（1）證明：；

（2）若為以角為直角的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

說明：請(qǐng)同學(xué)們?cè)冢ˋ）、（B）兩個(gè)小題中任選一題作答

【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）由AC∥y軸，可得x1=x3．代入函數(shù)關(guān)系進(jìn)而證明結(jié)論．（2）由△ABC為以角C為直角的等腰直角三角形，可得|AC|=|BC|，y2=y3．可得x3-x2=，．化簡即可得出．

【詳解】

（B）證明（1）因?yàn)榫€段平行于軸，所以，又，則.（2）由等腰直角三角形，和，且平行于軸，所以，且，又，則，解得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì).21．設(shè)，函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）若，解關(guān)于的不等式.【答案】(1)

;(2)的解集為.【解析】（Ⅰ）代入的值，討論x的取值范圍，根據(jù)x的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性。

（Ⅱ）討論x的取值范圍，去掉中絕對(duì)值，并根據(jù)不同范圍內(nèi)解析式解不等式即可。

【詳解】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，解得，因?yàn)?，所以此時(shí).②當(dāng)時(shí)，解得，因?yàn)?，所以此時(shí).③當(dāng)時(shí)，解得，因?yàn)椋源藭r(shí).綜上可知，的解集為.【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值不等式解法的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分類時(shí)掌握好邊界的選取，屬于中檔題。

22．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;

（2）當(dāng)時(shí),若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值為，無極大值.（2）

【解析】（1）由得,當(dāng),得,即可求得函數(shù)的極值.（2）由題意有恒成立,即恒成立,設(shè),則,求得的最小值,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

（1）由得,令,得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在單調(diào)遞增.函數(shù)存在極小值.其極小值為,無極大值.（2）由題意有恒成立,即恒成立,設(shè),則,設(shè),下面證明有唯一解.易知單調(diào)遞增,且,所以若有零點(diǎn)x,則,令,可得,（※）

注意到,所以方程（※）等價(jià)于,又由（1）可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,又當(dāng)時(shí)，所以方程等價(jià)于方程,設(shè)函數(shù),則單調(diào)遞增,又，所以存在,使得,即方程有唯一解,即,因此方程有唯一解,所以有唯一解.且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增;

所以的最小值為,所以.【點(diǎn)睛】

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.