【課標(biāo)解讀】

初中數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出:教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。

新課程把數(shù)學(xué)思想和方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分，在《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出來，這不僅是課標(biāo)體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對學(xué)生實施創(chuàng)新教育、培訓(xùn)創(chuàng)新思維的重要保證。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。

【解題策略】

初中數(shù)字中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想很多，其中最主要的數(shù)學(xué)思想方法包括轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等

【考點(diǎn)深剖】

★考點(diǎn)一

整體思想

整體思想是指把研究對象的某一部分(或全部)看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。整體是與局部對應(yīng)的，按常規(guī)不容易求某一個(或多個)未知量時，特征，把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一

個整體，從而使問題得到解決。

【典例1】（2018?岳陽）已知a2+2a=1，則3（a2+2a）+2的值為

．

【分析】利用整體思想代入計算即可；

【解答】解：∵a2+2a=1，∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，故答案為5．

★考點(diǎn)二

轉(zhuǎn)化思想問題

轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想就是人們將需要解決的問題，通過演繹、歸納等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一種相對容易解決或已經(jīng)有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決.轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中就是將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹和歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題.【典例2】（2018?連云港）解方程：﹣=0．

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得整式方程，根據(jù)解整式方程，可得答案．

★考點(diǎn)三

數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而，在某種程度上可以說數(shù)學(xué)研究是圍繞著數(shù)與形展開的，初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)”就是代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等符號表達(dá)式，初中數(shù)學(xué)中的“形”就是圖形、圖象、曲線等形象表達(dá)式，數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言“數(shù)”)與直觀的圖象(“形“)結(jié)合起來，數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵就是抓住“數(shù)”與“形”之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，實現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微.”

【典例3】（2018?威海）解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來．

【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，大小小大中間找，可得答案

【解答】解：解不等式①，得x＞﹣4，解不等式②，得x≤2，把不等式①②的解集在數(shù)軸上表示如圖，原不等式組的解集為﹣4＜x≤2．

★考點(diǎn)四

分類討論思想

分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同的種類.分類是以比較為基礎(chǔ)的，它有助于揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識、解訣數(shù)學(xué)問題.在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得

解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類的原則:

(1)

分類中的每一部分是相互獨(dú)立的;

(2)

一飲分類按-一個標(biāo)準(zhǔn);

(3)

分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行.正確的分類必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏.【典例4】（2018?紹興）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：

例1

等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°）

例2

等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度數(shù)，（答案：40°或70°或100°）

張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題：

變式

等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度數(shù)．

（1）請你解答以上的變式題．

（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A=x°，當(dāng)∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍．

【分析】（1）由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確，因此要分類討論；

（2）分兩種情況：①90≤x＜180；②0＜x＜90，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．

（2）分兩種情況：

①當(dāng)90≤x＜180時，∠A只能為頂角，∴∠B的度數(shù)只有一個；

②當(dāng)0＜x＜90時，若∠A為頂角，則∠B=（）°；

若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=（180﹣2x）°；

若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=x°．

當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)．

綜上所述，可知當(dāng)0＜x＜90且x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)．學(xué)科&網(wǎng)

★考點(diǎn)五

函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法分析問題、解訣問題.函數(shù)思想是客觀世界中事物運(yùn)動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的具體反映.函數(shù)與方程思想的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng)，即用變化的觀點(diǎn)和函數(shù)的形式將所研究的數(shù)量關(guān)系表示出來，然后用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，從而使問題獲得解訣.如果函數(shù)的形式用解析式的方式表示，那么就可以將函數(shù)解析式看作方程，并通過解方程和對方程的研究使問題得到解訣，這就是方程思想.【典例5】2018?天門）綠色生態(tài)農(nóng)場生產(chǎn)并銷售某種有機(jī)產(chǎn)品，假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部售出．如圖，線段EF、折線ABCD分別表示該有機(jī)產(chǎn)品每千克的銷售價y1（元）、生產(chǎn)成本y2（元）與產(chǎn)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系．

（1）求該產(chǎn)品銷售價y1（元）與產(chǎn)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）直接寫出生產(chǎn)成本y2（元）與產(chǎn)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，這種產(chǎn)品獲得的利潤最大？最大利潤為多少？

【解答】解：（1）設(shè)y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=kx+b，∵經(jīng)過點(diǎn)（0，168）與（180，60），∴，解得：，∴產(chǎn)品銷售價y1（元）與產(chǎn)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=﹣x+168（0≤x≤180）；

（3）設(shè)產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為W元，①當(dāng)0≤x≤50時，W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=50時，W的值最大，最大值為3400；

②當(dāng)50＜x＜130時，W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840，∴當(dāng)x=110時，W的值最大，最大值為4840；

③當(dāng)130≤x≤180時，W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415，∴當(dāng)x=130時，W的值最大，最大值為4680．

因此當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為110kg時，獲得的利潤最大，最大值為4840元．

★考點(diǎn)六

類比思想

類比思想是數(shù)學(xué)創(chuàng)造型思維中很重要的一種思想方法，它可以幫助學(xué)習(xí)者建立新舊知識聯(lián)系的橋梁，實現(xiàn)知識的正遷移，將已學(xué)過的知識或已掌握的解題方法遷移到陌生的問題中，進(jìn)而使問題得到解決.具體的策略是分析問題有深度→借助新舊知識的關(guān)聯(lián)→合理進(jìn)行知識遷移→運(yùn)用類比的思想→輕松解決疑難問題

【典例6】（2017山東濱州）根據(jù)要求，解答下列問題：

①方程x2﹣2x+1=0的解為；

②方程x2﹣3x+2=0的解為；

③方程x2﹣4x+3=0的解為；

…

（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：

①方程x2﹣9x+8=0的解為

；[來

②關(guān)于x的方程的解為x1=1，x2=n．[

（3）請用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以驗證猜想結(jié)論的正確性．[

【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；

（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解為1和8；②關(guān)于x的方程的解為x1=1，x2=n，則此一元二次方程的二次項系數(shù)為1，則一次項系數(shù)為1和n的和的相反數(shù)，常數(shù)項為1和n的積．

（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判斷猜想結(jié)論的正確．

（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：

①方程x2﹣9x+8=0的解為x1=1，x2=8；

②關(guān)于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解為x1=1，x2=n．

（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+

（x﹣）2=

x﹣=±，所以x1=1，x2=8；

所以猜想正確．

故答案為x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；

【講透練活】

變式1：（2018?玉林）已知ab=a+b+1，則（a﹣1）（b﹣1）=　?。?/p>

【分析】將ab=a+b+1代入原式=ab﹣a﹣b+1合并即可得．

【解答】解：當(dāng)ab=a+b+1時，原式=ab﹣a﹣b+1

=a+b+1﹣a﹣b+1

=2，故答案為：2．學(xué)科&網(wǎng)

變式2：（2018?隨州）已知是關(guān)于x，y的二元一次方程組的一組解，則a+b=　5?。?/p>

【分析】根據(jù)方程組解的定義，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的方程組，求出a、b即可解決問題；

【解答】解：∵是關(guān)于x，y的二元一次方程組的一組解，∴，解得，∴a+b=5，故答案為5．

變式3：（2018?常德）分式方程﹣=0的解為x=

．

變式4：（2018?棗莊）如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y=（n為常數(shù)，且n≠0）的圖象在第二象限交于點(diǎn)C．CD⊥x軸，垂足為D，若OB=2OA=3OD=12．

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）記兩函數(shù)圖象的另一個交點(diǎn)為E，求△CDE的面積；

（3）直接寫出不等式kx+b≤的解集．

【分析】（1）根據(jù)三角形相似，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，可得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；

（2）聯(lián)立解析式，可求交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)數(shù)形結(jié)合，將不等式轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象關(guān)系．

把點(diǎn)A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：

解得：

∴一次函數(shù)解析式為：y=﹣2x+12

（2）當(dāng)﹣=﹣2x+12時，解得

x1=10，x2=﹣4

當(dāng)x=10時，y=﹣8

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（10，﹣8）

∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=

（3）不等式kx+b≤，從函數(shù)圖象上看，表示一次函數(shù)圖象不低于反比例函數(shù)圖象

∴由圖象得，x≥10，或﹣4≤x＜0

變式5：（2017綏化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點(diǎn)D，若AD=BC，則△ABC的頂角的度數(shù)為

．w

【分析】分兩種情況；①BC為腰，②BC為底，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況求解即可．

變式6：（2017貴州安順）如圖甲，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C，P，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)0＜x＜3時，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．

【解答】解：

（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線對稱軸為x=2，P（2，﹣1），設(shè)M（2，t），且C（0，3），∴MC==，MP=|t+1|，PC==2，∵△CPM為等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，①當(dāng)MC=MP時，則有=|t+1|，解得t=，此時M（2，）；

②當(dāng)MC=PC時，則有=2，解得t=﹣1（與P點(diǎn)重合，舍去）或t=7，此時M（2，7）；

③當(dāng)MP=PC時，則有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

（3）如圖，過E作EF⊥x軸，交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，變式7：（2017內(nèi)蒙古赤峰）△OPA和△OQB分別是以O(shè)P、OQ為直角邊的等腰直角三角形，點(diǎn)C、D、E分別是OA、OB、AB的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)∠AOB=90°時如圖1，連接PE、QE，直接寫出EP與EQ的大小關(guān)系；

（2）將△OQB繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠AOB是銳角時如圖2，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請加以說明．

（3）仍將△OQB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠AOB為鈍角時，延長PC、QD交于點(diǎn)G，使△ABG為等邊三角形如圖3，求∠AOB的度數(shù)．

【分析】（1）先判斷出點(diǎn)P，O，Q在同一條直線上，再判斷出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出CE=DQ，PC=DE，進(jìn)而判斷出△EPC≌△QED即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出CQ，GP分別是OB，OA的垂直平分線，進(jìn)而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出結(jié)論．21教育名師原創(chuàng)作品。學(xué)科&網(wǎng)

∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴點(diǎn)E是Rt△PQF的斜邊PF的中點(diǎn)，∴EP=EQ；

（2）成立，證明：∵點(diǎn)C，E分別是OA，AB的中點(diǎn)，∴CE∥OB，CE=OB，∴∠DOC=∠ECA，∵點(diǎn)D是Rt△OQB斜邊中點(diǎn)，∴DQ=OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；