一、考點(diǎn)分析：二次函數(shù)與三角形的綜合解答題一般涉及到這樣幾個(gè)方面：1.三角形面積最值問題

2.特殊三角形的存在問題包括等腰等邊和直角三角形。這類題目一般出現(xiàn)在壓軸題最后兩道上，對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用要求比較高。

一解決此類題目的基本步驟與思路

1.抓住目標(biāo)三角形，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)

2.根據(jù)所設(shè)未知數(shù)去表示三角形的底和高，一般常用割補(bǔ)法去求解三角形的面積從而得出面積的關(guān)系式

3.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值.4.特殊三角形問題首先要畫出三角形的大概形狀，分類討論的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪兩條邊為要，直角三角形需要搞清楚哪個(gè)角作為直角都需要我們?nèi)シ诸愑懻摗?/p>

注意事項(xiàng)：1.簡(jiǎn)單的直角三角形可以直接利用底乘高進(jìn)行面積的表示2.復(fù)雜的利用“補(bǔ)”的方法構(gòu)造矩形或者大三角形，整體減去部分的思想3.利用“割”的方法時(shí)，一般選用橫割或者豎割，也就是做坐標(biāo)軸的垂線。4.利用點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度時(shí)注意要用大的減去小的。

5.圍繞不同的直角進(jìn)行分類討論，注意檢驗(yàn)答案是否符合要求。6.在勾股定理計(jì)算復(fù)雜的情況下，靈活的構(gòu)造K字形相似去處理。

二、二次函數(shù)問題中三角形面積最值問題

（一）例題演示

1.如圖，已知拋物線(a為常數(shù)，且a＞0)與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)P為直線BD下方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PD、PB,求△PBD面積的最大值．

D

B

O

A

y

x

C

解答：(1)拋物線令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．

∵直線經(jīng)過點(diǎn)B(4，0)，∴，解得，∴直線BD解析式為：

當(dāng)x＝－5時(shí)，y＝3，∴D(－5，3)

∵點(diǎn)D(－5，)在拋物線上，∴，∴．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．

(2)設(shè)P(m,)

∴

∴△BPD面積的最大值為．

【試題精煉】

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且．

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并用含a的式子表示直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）點(diǎn)E為直線l下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的面積的最大值為時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

H

F

解答：1）A（－1，0）

∵CD＝4AC，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4

∴，∴.∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋a

（2）過點(diǎn)E作EH∥y軸，交直線l于點(diǎn)H

設(shè)E（x，ax

2－2ax－3a），則H（x，ax＋a）.∴

∴.∴△ADE的面積的最大值為，∴，解得.∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.【中考鏈接】

3.如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函數(shù)解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1和3，∴S=DM?BE+DM?OE=DM（BE+OE）=DM?OB=××3=

=（m﹣）2+

∵0＜m＜3，∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值，最大值為；

二、二次函數(shù)問題中直角三角形問題

（一）例題演示

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：（1）依題意得：，解得，∴拋物線解析式為.把B（，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，得，解得，∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；

（2）設(shè)P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；

②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.綜上所述P的坐標(biāo)為（，）或（，4）或（，）或（，）．

【試題精煉】

如圖，二次函數(shù)（其中a，m是常數(shù)，且a>0，m>0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，－3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD．過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代數(shù)式表示a；

（2）)求證：為定值；

（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，連接CF，以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為－3m.【解析】

試題分析：（1）將C點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)，CD∥AB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，由△ADM∽△AEN,對(duì)應(yīng)邊成比例，將求的比轉(zhuǎn)化成求比，結(jié)果不含m即為定值.（3）連接FC并延長(zhǎng)，與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)G..過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根據(jù)同角的同一個(gè)三角函數(shù)相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根據(jù)勾股定理逆定理判斷以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，直接得點(diǎn)G的橫坐標(biāo).試題解析：解：（1）將C（0，-3）代入函數(shù)表達(dá)式得，∴.（2）證明：如答圖1，過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m，－3）．

∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．

∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x,）,∴,∴x=4m.∴為定值.（3）存在，如答圖2，連接FC并延長(zhǎng)，與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)G.由題意得：二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-4），過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“

由勾股定理得，GF=，AD=

∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．

∴以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為－3m.考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.定值和直角三角形存在性問題；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.二次函數(shù)的性質(zhì)；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性質(zhì)；7.銳角三角函數(shù)定義.【中考鏈接】

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC斜靠在兩坐標(biāo)軸上放在第二象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，0）．B點(diǎn)在拋物線y＝x2＋x－2的圖像上，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－3．

(1)求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式．

(2)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC

為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解答：（1）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0），∴BD=CO=1．

∵B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,1）

設(shè)BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則有，解得

∴BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=x．

（2）①若以為AC直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，如圖所示，作CP1⊥AC，因?yàn)锽C⊥AC，所以點(diǎn)P1為直線BC與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn)，即點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為-。又因?yàn)橹本€BC的解析式為y=x，所以將代入可得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(-,-)。

②若以為AC直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P2，使AP2⊥AC，如圖所示，過點(diǎn)A作AP2∥BC，因?yàn)锽C的解析式為y=x，設(shè)直線AP2的解析式為y=x+d。直線交對(duì)稱軸直線于點(diǎn)P2，即點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)為-。因?yàn)镺D=3，OC=1，所以O(shè)A=CD=2，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)。將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線AP2，所以直線的解析式為2y=x+2，所以點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-,)。

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為P1

(-,-)、P2(-,)。

三、二次函數(shù)問題中等腰等邊三角形問題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=-x2+bx的圖像過點(diǎn)A(4,0),頂點(diǎn)為B，連接AB、BO.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若C是BO的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB上，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)為B′，當(dāng)△OCB′為等邊三角形時(shí)，求BQ的長(zhǎng)度；

(3)若點(diǎn)D在線段BO上，OD=2BD，點(diǎn)E、F在△OAB的邊上，且滿足△DOF與△DEF全等，求點(diǎn)E的坐標(biāo).解答：(1)將A(4,0)代入y=-x2+bx得，-×42+b×4=0,解得b=2,所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x；

(3)

①當(dāng)點(diǎn)F在OB上時(shí)，如圖，當(dāng)且僅當(dāng)DE∥OA，即點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)△DOF≌△FED，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(4,0)；

②點(diǎn)F在OA時(shí)，如圖DF⊥OA，當(dāng)OF=EF時(shí)△DOF≌△DEF，由于OD=2BD，所以點(diǎn)D坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)F坐標(biāo)為(，0)，點(diǎn)E坐標(biāo)為(，0)；

綜上滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0)、(，0)、(2+，2-)．

2.如圖1，已知的三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，二次函數(shù)y

=

ax2

+

bx+c恰好經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1，若點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥，交于點(diǎn)Q，連接CP，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是二次函數(shù)圖像上的一動(dòng)點(diǎn)，若

構(gòu)成以為斜邊的等腰直角三角形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．

解答：

(1)．

3分

(2)設(shè)點(diǎn)()，則AP=t+1，BP=3?t，三角形的面積為6．

∵，∴．

∴，∴

5分

又∵．

∴．

8分

∴t=1時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)．

9分

(3)

所有滿足條件的點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為．

12分