第二

章

熱

傳

導(dǎo)

方

程

§1

熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的提

1.一均勻細(xì)桿直徑為，假設(shè)它在同一截面上的溫度是相同的，桿的表面和周圍介質(zhì)發(fā)生熱交換，服從于規(guī)律

又假設(shè)桿的密度為，比熱為，熱傳導(dǎo)系數(shù)為，試導(dǎo)出此時溫度滿足的方程。

解：引坐標(biāo)系：以桿的對稱軸為軸，此時桿為溫度。記桿的截面面積為。由假設(shè)，在任意時刻到內(nèi)流入截面坐標(biāo)為到一小段細(xì)桿的熱量為

桿表面和周圍介質(zhì)發(fā)生熱交換，可看作一個“被動”的熱源。由假設(shè)，在時刻到在截面為到一小段中產(chǎn)生的熱量為

又在時刻到在截面為到這一小段內(nèi)由于溫度變化所需的熱量為

由熱量守恒原理得：

消去，再令，得精確的關(guān)系：

或

其中

2.試直接推導(dǎo)擴散過程所滿足的微分方程。

解：在擴散介質(zhì)中任取一閉曲面，其包圍的區(qū)域

為，則從時刻到流入此閉曲面的溶質(zhì)，由，其中為擴散系數(shù)，得

濃度由變到所需之溶質(zhì)為

兩者應(yīng)該相等，由奧、高公式得：

其中叫做孔積系數(shù)=孔隙體積。一般情形。由于的任意性即得方程：

3.砼(混凝土)內(nèi)部儲藏著熱量，稱為水化熱，在它澆筑后逐漸放出，放熱速度和它所儲藏的水化熱成正比。以表示它在單位體積中所儲的熱量，為初始時刻所儲的熱量，則，其中為常數(shù)。又假設(shè)砼的比熱為，密度為，熱傳導(dǎo)系數(shù)為，求它在澆后溫度滿足的方程。

解：

可將水化熱視為一熱源。由及得。由假設(shè)，放熱速度為

它就是單位時間所產(chǎn)生的熱量，因此，由原書71頁，(1.7)式得

4.設(shè)一均勻的導(dǎo)線處在周圍為常數(shù)溫度的介質(zhì)中，試證:在常電流作用下導(dǎo)線的溫度滿足微分方程

其中及分別表示導(dǎo)體的電流強度及電阻系數(shù)，表示橫截面的周長，表示橫截面面積，而表示導(dǎo)線對于介質(zhì)的熱交換系數(shù)。

解：問題可視為有熱源的桿的熱傳導(dǎo)問題。因此由原71頁(1.7)及(1.8)式知方程取形式為

其中為單位體積單位時間所產(chǎn)生的熱量。

由常電流所產(chǎn)生的為。因為單位長度的電阻為，因此電流作功為

乘上功熱當(dāng)量得單位長度產(chǎn)生的熱量為其中0.24為功熱當(dāng)量。

因此單位體積時間所產(chǎn)生的熱量為

由常溫度的熱交換所產(chǎn)生的(視為“被動”的熱源)，從本節(jié)第一題看出為

其中為細(xì)桿直徑，故有，代入得

因熱源可迭加，故有。將所得代入即得所求：

5*.設(shè)物體表面的絕對溫度為，此時它向外界輻射出去的熱量依斯忒---波耳茲曼(Stefan-Boltzman)定律正比于，即

今假設(shè)物體和周圍介質(zhì)之間只有輻射而沒有熱傳導(dǎo)，又假設(shè)物體周圍介質(zhì)的絕對溫度為已

知函數(shù),問此時該物體熱傳§導(dǎo)問題的邊界條件應(yīng)如何敘述？

解：由假設(shè)，邊界只有輻射的熱量交換，輻射出去的熱量為輻射進(jìn)來的熱量為因此由熱量的傳導(dǎo)定律得邊界條件為：

§2

混合問題的分離變量法

1．用分離變量法求下列定解問題的解：

解：設(shè)代入方程及邊值得

求非零解得

對應(yīng)Ｔ為

因此得

由初始值得

因此

故解為

２．用分離變量法求解熱傳導(dǎo)方程的混合問題

解：設(shè)代入方程及邊值得

求非零解得

n=1,2,……

對應(yīng)Ｔ為

故解為

由始值得

因此

所以

３．如果有一長度為的均勻的細(xì)棒，其周圍以及兩端處均勻等到為絕熱，初

始溫度分布為問以后時刻的溫度分布如何？且證明當(dāng)?shù)扔诔?shù)時，恒有。

解：即解定解問題

設(shè)代入方程及邊值得

求非零解：

當(dāng)時，通解為

由邊值得

因故相當(dāng)于

視為未知數(shù)，此為一齊次線性代數(shù)方程組，要非零，必需不同為零，即

此齊次線性代數(shù)方程組要有非零解，由代數(shù)知必需有

但

因為單調(diào)增函數(shù)之故。因此沒有非零解。

當(dāng)時，通解為

由邊值得

即可任意，故為一非零解。

當(dāng)時，通解為

由邊值得

因故相當(dāng)于

要非零，必需因此必需即

這時對應(yīng)

因取正整數(shù)與負(fù)整數(shù)對應(yīng)一樣，故可取

對應(yīng)于解T得

對應(yīng)于解T得

由迭加性質(zhì)，解為

由始值得

因此

所以

當(dāng)時，所以

4．在區(qū)域中求解如下的定解問題

其中均為常數(shù)，均為已知函數(shù)。

[提示：作變量代換]

解：按提示，引，則滿足

由分離變量法滿足方程及邊值條件的解為

再由始值得

故

因此

5．長度為的均勻細(xì)桿的初始溫度為，端點保持常溫，而在和側(cè)面上，熱量可以發(fā)散到到周圍的介質(zhì)中去，介質(zhì)的溫度取為，此時桿上的溫度分布函數(shù)滿足下述定解問題：

試求出

解：引使?jié)M足齊次方程及齊次邊值，代入方程及邊值，計算后得要滿足：的通解為

由邊值

又

得

解之得

因此

這時滿足：

設(shè)代入方程及邊值條件得

求非零解時，才有非零解。這時通解為

由邊值得

要，即有非零解，必須

即

令

得

它有無窮可數(shù)多個正根，設(shè)其為得

對應(yīng)T為

因此

其中滿足方程

再由始值得

所以

應(yīng)用滿足的方程，計算可得

又

所以

得

最后得

其中滿足

另一解法：設(shè)使?jié)M足為此取

代入邊值得

解之得

因而

這時，滿足

按非齊次方程分離變量法，有

其中為對應(yīng)齊次方程的特征函數(shù)，由前一解知為

即

代入方程得

由于是完備正交函數(shù)系，因此可將

展成的級數(shù)，即

由正交性得

又

所以

將此級數(shù)代入等式右端得滿足的方程為

由始值得

有

解的方程，其通解為

＇

由

得

即有解

因此

6.半徑為a的半圓形平板，其表面絕熱，在板的圓周邊界上保持常溫，而在直徑邊

界上保持常溫，圓板穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布。

解：引入極坐標(biāo)，求穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布化為解定解問題

（拉普斯方程在極坐標(biāo)系下形式的推導(dǎo)見第三章習(xí)題3），其中引入的邊界條件為有限時，叫做自然邊界條件。它是從實際情況而引入的。再引則

滿足

設(shè)代入方程得

乘以再移項得

右邊為r函數(shù)，左邊為函數(shù)，要恒等必須為一常數(shù)記為，分開寫出即得

再由齊次邊值得

由以前的討論知

對應(yīng)R滿足方程

這是尤拉方程，設(shè)代入得

即

為兩個線性無關(guān)的特解，因此通解為

由自然邊界條件有限知

在處要有限，因此必需由迭加性質(zhì)知

滿足方程及齊次邊值和自然邊界條件，再由

得

因此

所以

§

柯

西

問

題

1．求下述函數(shù)的富里埃變換：

(1)

(2)

(a

0)

(3)

(a

0,k為自然數(shù))

解：(1)

=

（柯西定理）

=

或者

=

積分得

又

=

故

C=

所以

F[]=2I(P)=

(2)

=+

或

==

=2

(3)

F[

]=

因

=

=

=

所以

2．證明當(dāng)f(x)在內(nèi)絕對可積時，F(xiàn)(f)為連續(xù)函數(shù)。

證：因?qū)θ魏螌崝?shù)p有

即關(guān)于p

絕對一致收斂，因而可以在積分下取極限，故g(p)關(guān)于p

為連續(xù)函數(shù)。

3．用富里埃變換求解三維熱傳導(dǎo)方程的柯西問題

：

解：令

對問題作富里埃變換得

解之得

因

=

再由卷積定理得

4.證明（3.20）所表示的函數(shù)滿足非齊次方程(3.15)以及初始條件（3.16）。

證：要證

滿足定解問題

原書85頁上已證解的表達(dá)式中第一項滿足

因此只需證第二項滿足

如第一項，第二項關(guān)于的被積函數(shù)滿足

若記第二項為被積函數(shù)為即

故有

即

顯然得證。

5．求解熱傳導(dǎo)方程（3.22）的柯西問題，已知

（1）

(2)

(3)

用延拓法求解半有界直線上熱傳導(dǎo)方程（3.22）,假設(shè)

解：

（1）sinx有界，故

=

=

(2)

1+x無界，但表達(dá)式

仍收斂，且滿足方程。因此

=

易驗它也滿初始條件。

（3）由解的公式

知，只需開拓使之對任何x值有意義即可。為此，將積分分為兩個與，再在第一個中用來替換就得

由邊界條件得

要此式成立，只需

即作奇開拓，由此得解公式為

6．證明函數(shù)

對于變量滿足方程

對于變量滿足方程

證：驗證即可。因

同理

所以

仿此

所以

7．證明如果分別是下列兩個問題的解。

則是定解問題的解。

證：

驗證即可。因

所以

又

8．導(dǎo)出下列熱傳導(dǎo)方程柯西問題解的表達(dá)式

解：由上題，只需分別求出

及的解，然后再相乘迭加即得。但

所以

9．驗證二維熱傳導(dǎo)方程柯西問題

解的表達(dá)式為

證：由第6題知函數(shù)滿足方程，故只需證明可在積

分號下求導(dǎo)二次即可。為此只需證明在積分號下求導(dǎo)后所得的積分是一致收斂的。

對x求導(dǎo)一次得

對有限的即和，下列積分

是絕對且一致收斂的。因為對充分大的，每個積分

都是絕對且一致收斂的。絕對性可從充分大后被積函數(shù)不變號看出，一致性可從充分性判別法找出優(yōu)函數(shù)來。如第三個積分的優(yōu)函數(shù)為

且

收斂。

因，故

右端為一致收斂積分的乘積，仍為一致收斂積分。因而為絕對一致收斂的積分。從而有，對討論是類似的。從而證明表達(dá)式滿足方程。

再證滿足始值。任取一點，將

寫成因而

對任給，取如此之大，使

再由的連續(xù)性，可找到使當(dāng)，都小于時，有

所以

因此

即有

§4

極值原理，定解問題的解的唯一性和穩(wěn)定性

1．若方程的解在矩形R的側(cè)邊及上不超

過B，又在底邊上不超過M，證明此時在矩形R內(nèi)滿足不等式：

由此推出上述混合問題的唯一性與穩(wěn)定性。

證：令，則滿足，在R的邊界上

再由熱傳導(dǎo)方程的極值原理知在R內(nèi)有

故

唯一性：若為混合問題的兩個解，則滿足

由上估計得

推出

即

解是唯一的。

穩(wěn)定性：若混合問題的兩個解在滿足即，則

滿足估計

因此對任何滿足，解是穩(wěn)定的2．

利用證明熱傳導(dǎo)方程極值原理的方法，證明滿足方程的函數(shù)在界閉區(qū)域上的最大值不會超過它在境界上的最大值。

證：反證法。以表在上的最大值，表在的邊界上的最大值。若定理不成立，則。因而，在內(nèi)有一點使。

作函數(shù)

其中為的直徑。在上

而

故也在R內(nèi)一點上取到其最大值，因而在該點處有：

即，另一方面，所以

矛盾。故假設(shè)不成立。證畢