第一篇：常微分方程答案 第三章
習(xí)題3.1
1.求方程dy?x?y2通過點(diǎn)(0,0)的第三次近似解。dx
解：f?x,y??x?y2，令?0(x)?y0?0，則
?1?x??y0??f?x,?0?x??dx??xdx?x00xx12x 2
?2?x??y0??f?x,?1?x??dx??x0xx0??1?2?1215x?xdx?x?x ????220??2????
?3?x??y0??f?x,?2?x??dxx0x
??x
0 ??1215?2?121518111x?x?x??x?x??dx?x?x?20??2201604400??2??
為所求的第三次近似解。
3.求初值問題
?dy22??x?y,R:x?1?1,y?1,(1)?dx
?y??1??0?的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計。解：因?yàn)閒?x,y??x2?y2，a?b?1，M?maxf?x,y??4，所以?x,y??R
153?b?1h?mi?na??，從而解得存在區(qū)間為x?1?，即??x??。444?M?4
又因?yàn)閒?x,y??x2?y2在R上連續(xù)，且由?f?y?2y?2?L可得f?x,y?在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件，所以Cauchy問題(1)在?53?x??有唯一解44y???x?。
令?0(x)?y0?0，則
?1?x??y0??f?x,?0?x??dx??x2dx?x0?1xx13x?1? ?3
?2?x??y0??x
x02?2?1311xx3x4x7??f?x,?1?x??dx???x???x?1???dx??????142931863?3?????x
M?Lh?1
?誤差為：?2?x????x??
L2?1!24
10.給定積分方程
??x??f?x????K?x,??????d?(*)
a
b
其中f?x?是?a,b?上的已知連續(xù)函數(shù)，K?x,??是a?x?b，a???b上的已知連續(xù)函數(shù)。證明當(dāng)?足夠小時(?是常數(shù))，(*)在?a,b?上存在唯一的連續(xù)解。證明：分四個步驟來證明。
㈠.構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列
?0?x??f?x?
?n?1?x??f?x????K?x,???n???d?,n?0,1,2,?
ab
由f?x?是?a,b?上的連續(xù)函數(shù)可得?0?x?在?a,b?上連續(xù)，故再由K?x,??是
a?x?b，a???b上的連續(xù)函數(shù)可得?1?x?在?a,b?上連續(xù)，由數(shù)學(xué)歸納法易證
?n?x?在?a,b?上連續(xù)。
㈡.證明函數(shù)列??n?x??在?a,b?上一致收斂。
考慮級數(shù)
?0?x?????k?x???k?1?x??,k?1
?
x??a,b?(2)
由
?0?x?????k?x???k?1?x????n?x?
k?1
n
知，??n?x??的一致收斂性與級數(shù)(2)的一致收斂性等價。
令M?maxf?x?，L???b?a?maxK?x,??。由(2)有
a?x?b
a?x?b,a???b
?1?x???0?x????K?x,??f???d?
a
b
???K?x,??f???d?
a
b
??maxK?x,??maxf???
a?x?b,a???b
a???b
?
b
a
d??ML
所以
?2?x???1?x????K?x,????1?????0????d?
a
b
???K?x,???1?????0???d?
a
b
?ML??K?x,??d??ML2
a
b
假設(shè)對正整數(shù)n，有不等式
?n?x???n?1?x??MLn,則
b
x??a,b?(3)
?n?1?x???n?x????K?x,????n?????n?1????d?
a
???K?x,???n?????n?1???d?
a
b
x??a,b?
?ML
n?1
??K?x,??d??MLn,a
b
所以(3)對任意正整數(shù)n都成立。
因?yàn)?MLn為正項(xiàng)級數(shù)，且當(dāng)?足夠小時，n?1?
L???b?a?maxK?x,???1(4)
a?x?b,a???b
故?ML收斂，從而由Weierstrass判別法，級數(shù)???k?x???k?1?x??一致收斂，n
n?1
k?1
??
故級數(shù)(2)一致收斂，所以函數(shù)列??n?x??在?a,b?上一致收斂。
㈢.證明lim?n?x???x?是積分方程(*)在?a,b?上的連續(xù)解。
n??
因?yàn)橛散搴廷婵傻?n?x?在?a,b?上連續(xù)，??n?x??在?a,b?上一致收斂，故
?x?在?a,b?上連續(xù)，且函數(shù)列?K?x,???n?x??在?a,b?上一致收斂，所以對
?n?1?x??f?x????K?x,???n???d?
a
b
兩邊取極限可得
lim?n?1?x??f?x???lim?K?x,???n???d?
n??
n??ab
b
?f?x????K?x,??lim?n???d?
a
n??
從而
?x??f?x????K?x,?????d?
a
b
所以?x?是積分方程(*)在?a,b?上的連續(xù)解。
㈣.證明?x?是積分方程(*)在?a,b?上的唯一解。
設(shè)?x?是積分方程(*)在?a,b?上的另一連續(xù)解，則
?x??f?x????K?x,?????d?
a
b
令g?x???x???x?，則
g?x????K?x,???????????d?
a
b
???K?x,?????????d?
a
b
?max?x???x???K?x,??d?
a?x?b
a
b
?Lmaxg?x?
a?x?b
對?x??a,b?都成立，上式兩邊對x取最大值可得
maxg?x??Lmaxg?x?
a?x?b
a?x?b
如果maxg?x??0，則由上式有
a?x?b
L?1
這與(4)矛盾，故maxg?x??0，即g?x??0，所以?x???x?，從而?x?是積
a?x?b
分方程(*)在?a,b?上的唯一解。證畢。
第二篇：常微分方程實(shí)驗(yàn)報告一
呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系《常微分方程》實(shí)驗(yàn)報告
《常微分方程》實(shí)驗(yàn)報告一
專業(yè)
班級
姓名
學(xué)號
實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)
實(shí)驗(yàn)時間
實(shí)驗(yàn)名稱：向量場、積分曲線作圖實(shí)驗(yàn)?zāi)康模菏煜?shí)驗(yàn)內(nèi)容：
Matlab軟件；掌握畫向量場、積分曲線的命令。
（給出實(shí)驗(yàn)程序與運(yùn)行結(jié)果）呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系《常微分方程》實(shí)驗(yàn)報告
實(shí)驗(yàn)分析：
第三篇：南昌航空大學(xué)常微分方程A卷
南昌航空大學(xué)20XX—20XX學(xué)年第二學(xué)期期末考試
課程名稱：常微分方程
閉卷
A卷120分鐘
題號
一
二
三
四
五
六
合計
滿分
實(shí)得分
評閱人
得分
班級-------------------
學(xué)號--------------
姓名-----------------
重修標(biāo)記
b5E2RGbCAP
一、選擇題<每題2分,共10分）
1、下面是哪個是二階線性微分方程<）.A．
B．
C．
D．
2、函數(shù)是下面哪個微分方程地解<）.A．
B．
C．
D．以上全不是
3、下面哪個矩陣不可能是一個齊次線性微分方程組地解矩陣<）.A．
B．
C．
D．
命題教師<簽字）
試做教師<簽字）
系、室主任<簽字）
4、下面微分方程不能用分離變量法求解地是<）.A．
B．
C．
D．
5、下面哪個函數(shù)不是微分方程地通解<）.A．
B．
C．
D．
評閱人
得分
二、填空題<每題2分,共10分）
1、求滿足地解等價于求積分方程____________
地連續(xù)解.2、方程有只含地積分因子地充要條件是______________.3、已知，是一個二階非齊次線性常微分方程地三個特解,則該方程地通解為_________.4、設(shè)A是實(shí)矩陣,是地基解矩陣,則該方程地一個實(shí)基解矩陣為________.5、與初值問題等價地微分方程組是________.評閱人
得分
三、計算題<第1—5小題每題8分,第6小題10分,共50分）
1、用分離變量法求地通解.2、將化為伯努利方程并求通解.3、判斷是否為恰當(dāng)方程,并求通解.4、求解二階方程.5、求解常系數(shù)線性微分方程.6、求線性微分方程組地基解矩陣.評閱人
得分
四、<12分）設(shè)矩形域，1、給出函數(shù)在R上關(guān)于y滿足利普希茨條件地定義；
2、敘述初值問題解地存在唯一性定理.評閱人
得分
五．<12分）設(shè)是線性微分方程組地基解矩陣,請用常數(shù)變異法求地通解以及滿足初值地特解.評閱人
得分
六．<8分）
六.<6分）已知是地解,請利用降階
法求出該方程地通解.
第四篇：2014年春福師《常微分方程》在線作業(yè)二答案
2014年春福師《常微分方程》在線作業(yè)二 1-5BAABB6-10BAABA 11-15BBBAB16-20ABBAB 21-25BABBB26-30ABAAB 31-35BBBBB36-40BBBAA 41-45BAABB46-50BBBBB
第五篇：常微分方程定性與穩(wěn)定性方法試卷
常微分方程定性與穩(wěn)定性方法試卷
2x1?dx1???2x2,22?dt(1?x1)?1.（20分）討論系統(tǒng) ?dx 零解的穩(wěn)定性。2x2x212????2222?dt(1?x)(1?x11)?
d2xdxdx22m?b??()??x??x?0,mb?0 對2.（20分）證明振動方程 2dtdtdt
任何參數(shù)都不存在閉軌線和奇異閉軌線。
?dx?2xy?P(x,y),??dt?3.（20分）設(shè)有系統(tǒng) dy試分析其軌線??1?y?x2?y2?Q(x,y).??dt的全局結(jié)構(gòu)。
?0?1?104.（20分）設(shè)A=??00??2000?dx00??Ax,x(0)?x0的解，?，求初值問題 dt0?1??10?
并分析其奇點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線的性態(tài)。
?dx3??y??x?x,??dt5.（20分）討論系統(tǒng)?dy 奇點(diǎn)(0,0)鄰域內(nèi)極限環(huán)的??x?y3??dt
分支問題。
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