2020屆陜西省漢中市高三第六次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．已知平面向量，且，則（）

A．4

B．1

C．-1

D．-4

【答案】D

【解析】利用平面向量共線定理即可得出．

【詳解】

解：，且，解得．

故選：．

【點睛】

本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

2．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】解不等式求出集合、，再求．

【詳解】

解：

故選：

【點睛】

本題考查了解不等式與交集的運算問題，屬于基礎(chǔ)題．

3．設(shè)，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，代入函數(shù)解析式求解．

【詳解】

解：

故選：

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)的計算題．

4．下列四個命題中，正確命題的個數(shù)是（）個

①若平面平面，且平面平面，則；②若平面平面，直線平面，則；③平面平面，且，點，若直線，則；④直線、為異面直線，且平面，平面，若，則.A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】A

【解析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．

【詳解】

解：

①若平面平面，且平面平面，則與相交或平行，故①錯誤；

②若平面平面，直線平面，則或，故②錯誤；

③當(dāng)點不在平面內(nèi)，滿足時，但與不垂直，故③錯誤；

④直線、為異面直線，且平面，平面，由面面垂直的性質(zhì)得，故④正確．

故選：．

【點睛】

本題主要考查了面面平行的性質(zhì)，以及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，同時考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．

5．下列說法錯誤的是（）

A．“若，則”的逆否命題是“若，則”

B．“”是“”的充分不必要條件

C．“”的否定是“”

D．命題：“在銳角中，”為真命題

【答案】D

【解析】依題意，根據(jù)逆否命題的定義可知選項正確；由得或“”是“”的充分不必要條件，故正確；因為全稱命題命題的否是特稱命題，所以正確；銳角中，，錯誤，故選D.6．若，則的值為（）

A．

B．-1

C．

D．1

【答案】B

【解析】令，利用二倍角公式和同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得的值.【詳解】

令，則，故.故選B.【點睛】

三角函數(shù)的化簡求值問題，可以從四個角度去分析：（1）看函數(shù)名的差異；（2）看結(jié)構(gòu)的差異；（3）看角的差異；（4）看次數(shù)的差異．對應(yīng)的方法是：弦切互化法、輔助角公式（或公式的逆用）、角的分拆與整合（用已知的角表示未知的角）、升冪降冪法．

7．若函數(shù)f(x)與g(x)＝的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則f(4－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A．(－2,2]

B．[0，＋∞)

C．[0,2)

D．(－∞，0]

【答案】C

【解析】【詳解】

由已知得：，則

在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在[0,2)上單調(diào)遞減，于是f(4－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,2)

8．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點O為線段BD的中點，設(shè)點P在直線CC1上，直線OP與B1D1所成的角為，則為（）

A．1

B．

C．

D．變化的值

【答案】A

【解析】證明平面得到，計算得到答案.【詳解】

易知：，故平面，平面，故，故.故選：A.【點睛】

本題考查了異面直線夾角，證明平面是解題的關(guān)鍵.9．已知是上的偶函數(shù)，若將的圖象向右平移一個單位，則得到一個奇函數(shù)的圖象，若，則（）

A．2019

B．1

C．-1

D．-2019

【答案】C

【解析】由題意是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，由此可以得出函數(shù)的周期為4，再由求出，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，從而可得，求出一個周期上的四個函數(shù)的和，即可求出的值．

【詳解】

解：由題意是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，，①，②

由①②得③恒成立，④

由③④得恒成立，函數(shù)的周期是4，下研究函數(shù)一個周期上的函數(shù)的值

由于的圖象向右平移一個單位后，則得到一個奇函數(shù)的圖象即，即，由偶函數(shù)知，由周期性知

由得，由，知，故故有

故選：．

【點睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的運用，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期以及一個周期中函數(shù)值的和，然后根據(jù)周期性求出函數(shù)值的和．

10．設(shè)曲線上任一點處切線斜率為，則函數(shù)的部分圖象可以為

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】∵上任一點處切線斜率為

∴

∴函數(shù)，則該函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，.故選D.點睛：（1）運用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)圖像時，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向；（2）在運用函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化研究.如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)化，周期可實現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實現(xiàn)去，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系.11．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則（）

A．1013

B．1035

C．2037

D．2059

【答案】A

【解析】根據(jù)求出數(shù)列，求出前項和為，即可得到，再用分組求和求得其前項和.【詳解】

解：

當(dāng)時得

當(dāng)時

數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.故選：

【點睛】

本題考查利用求，以及等比數(shù)列的前項和為，屬于基礎(chǔ)題.12．已知拋物線與橢圓有相同的焦點，是兩曲線的公共點，若，則橢圓的離心率為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)兩個曲線的焦點相同,可得.由拋物線定義可得.結(jié)合兩式即可用表示出點坐標(biāo).代入橢圓方程,化簡后根據(jù)齊次式形式即可求得離心率.【詳解】

拋物線與橢圓有相同的焦點,是兩曲線的公共點,所以,即橢圓中的設(shè),由拋物線定義可知

由題意,即

化簡可得

將變形為代入等式可得

則的坐標(biāo)可化為

由點在橢圓上,代入可得,化簡可得

除以可化為即

解得或

因為

所以

故選:D

【點睛】

本題考查了拋物線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的綜合應(yīng)用,共焦點下兩個方程的關(guān)系,齊次式下離心率的求法,屬于中檔題.二、填空題

13．拋物線的準(zhǔn)線方程是____________

【答案】

【解析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】

由，所以，故準(zhǔn)線方程為.【點睛】

本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.14．若，且，則的最小值為______.【答案】4

【解析】由條件利用柯西不等式可得，由此求得的最小值．

【詳解】

解：由于，即，即的最小值為4，故答案為：4．

【點睛】

本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

15．已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則______.【答案】

【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義,并令代入即可解方程組求得.將代入解析式即可求解.【詳解】

函數(shù),分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)

則,因為

則,即

則

所以

故答案為:

【點睛】

本題考查了函數(shù)奇偶性定義及性質(zhì)應(yīng)用,函數(shù)解析式的求法,屬于基礎(chǔ)題.16．定義在區(qū)間上的函數(shù)恰有1個零點，則實數(shù)的取值范圍是____

【答案】或

【解析】分為函數(shù)有一個點零點和兩個零點分類討論，若一個點零點則，若有兩個零點，再分為三種情況求解.【詳解】

（1）若函數(shù)只有一個零點，則，即，此時，函數(shù)只有一個零點，符合題意；

（2）若函數(shù)有兩個零點，且在區(qū)間恰有1個零點，則或或，由得，解得，由得，解得，由得，無解.所以，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，且在區(qū)間恰有1個零點.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或.【點睛】

本題考查函數(shù)零點所在區(qū)間.方法：1、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)按零點個數(shù)分類討論；2、分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題求解.三、解答題

17．設(shè)函數(shù)，.（1）求的值域；

（2）記的內(nèi)角、、的對邊長分別為，若，，求的值.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）利用二倍角公式及兩角和的余弦公式將化簡，變形后可以用三角函數(shù)的有界性求值域．

（2）由求出，利用余弦定理建立關(guān)于的方程求出．

【詳解】

解：（1），∵，∴，∴值域為.（2）由得：.在中，故.在中，由余弦定理得：，∴，∵，解得：.【點睛】

考查利用三角函數(shù)的有界性求值域與利用余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題，18．某廠商調(diào)查甲乙兩種不同型號汽車在10個不同地區(qū)賣場的銷售量（單位：臺），并根據(jù)這10個賣場的銷售情況，得到如圖所示的莖葉圖，為了鼓勵賣場，在同型號汽車的銷售中，該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)的賣場命名為該型號的“星級賣場”.（Ⅰ）求在這10個賣場中，甲型號汽車的“星級賣場”的個數(shù)；

（Ⅱ）若在這10個賣場中，乙型號汽車銷售量的平均數(shù)為26.7，求的概率；

（Ⅲ）若，記乙型號汽車銷售量的方差為，根據(jù)莖葉圖推斷為何值時，達(dá)到最小值（只寫出結(jié)論）.注：方差，其中是，…，的平均數(shù).【答案】（1）5

（2）

（3）

【解析】（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖,代入即可求得甲型號汽車的平均值,即可求得“星級賣場”的個數(shù);

（Ⅱ）根據(jù)乙組數(shù)據(jù)的平均值,可代入求得.由古典概型概率,列舉出所有可能,即可求得符合的概率.（Ⅲ）當(dāng)時,由方差公式可知,當(dāng)?shù)闹翟叫?其方差值越小,即時方差取得最小值.【詳解】

（1）根據(jù)莖葉圖得到甲組數(shù)據(jù)的平均值：

.該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)的賣場命名為該型號的“星級賣場”,在這10個賣場中,甲型號汽車的“星級賣場”的個數(shù)為5個.（2）記事件為“”,乙組數(shù)據(jù)的平均值：,∴,和取值共9種,分別為：，，，，,其的有4種,∴的概率.（3）由題意可知當(dāng)?shù)闹翟叫?其方差值越小

所以時,達(dá)到最小值.【點睛】

本題考查了莖葉圖的簡單應(yīng)用,古典概型概率的求法,方差的性質(zhì)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19．已知拋物線：的焦點為，直線：與拋物線交于，兩點，的延長線與拋物線交于，兩點.（1）若的面積等于3，求的值；

（2）記直線的斜率為，證明：為定值，并求出該定值.【答案】（1）2；（2）證明見解析，2.【解析】（1）設(shè)出拋物線上兩點、的坐標(biāo)，由消去，根據(jù)的面積和根與系數(shù)的關(guān)系即可求出的值；

（2）設(shè)出拋物線上點、，利用向量法和三點共線的知識，求出點與的坐標(biāo)表示，再計算的斜率，即可證明為定值．

【詳解】

解：（1）設(shè)，由得，∴，，解得.（2）設(shè)，則，因為，共線，所以即，解得：（舍）或，所以，同理，故（定值）.【點睛】

本題考查了直線與雙曲線、直線與拋物線的應(yīng)用問題，也考查了弦長公式以及根與系數(shù)的應(yīng)用問題，屬于中檔題．

20．（題文）如圖所示，在四棱錐中，平面，已知．

（1）設(shè)是上一點，證明：平面平面；

（2）若是的中點，求三棱錐的體積．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）由勾股定理可得，又平面平面，又平面平面平面；（2）由是的中點可得．又點到平面的距離等于，可求得，即三棱錐的體積為．

試題解析：（1）在中，又平面平面，又平面

又平面，平面平面，（2）因為是的中點，所以

在四邊形中，由已知可求得，又點到平面的距離等于，所以，即三棱錐的體積為

【考點】1、線面垂直；2、面面垂直；3、錐體的體積．

21．已知函數(shù)在處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）記函數(shù)，設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點，若，證明：.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）由題意求得，根據(jù)，求得，進(jìn)而利用，即可求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）由，求得，根據(jù)是的兩個極值點，轉(zhuǎn)化為方程的兩個根，得出，得到，令，即可證明結(jié)論.試題解析

（1）由題意可得：，可得：；

又，所以；

當(dāng)時，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，單調(diào)遞減；故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2），因為，是的兩個極值點，故，是方程的兩個根，由韋達(dá)定理可知：，可知，又，令，可證在遞增，由，從而可證.【考點】導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用.點睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用的綜合應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，本題的解答中把是的兩個極值點，轉(zhuǎn)化為方程的兩個根，創(chuàng)設(shè)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)）.以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線與，在第一象限分別交于，兩點，為上的動點.求面積的最大值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】(Ⅰ)先求出曲線的普通方程,再把普通方程化為極坐標(biāo)方程.再寫出直線的直角坐標(biāo)方程.（Ⅱ)先求出,再求出以為底邊的的高的最大值為,再求面積的最大值.【詳解】

(Ⅰ)依題意得,曲線的普通方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為．

(Ⅱ)曲線的直角坐標(biāo)方程為,設(shè)，則,即,得或(舍)，則,到的距離為,以為底邊的的高的最大值為,則的面積的最大值為

【點睛】

(1)本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查面積的最值的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）本題的解題的關(guān)鍵是求出.23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的解集；

（2）若的解集包含集合，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，分類去絕對值討論即可；（2）由的解集包含集合，得當(dāng)時，不等式恒成立，然后去絕對值參變分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可.【詳解】

解：（1）當(dāng)時，，上述不等式可化為，或或，解得，或，或，∴或或，∴原不等式的解集為.（2）∵的解集包含集合，∴當(dāng)時，不等式恒成立，即在上恒成立，∴，即，∴，∴在上恒成立，∴，∴，∴的取值范圍是.【點睛】

本題考查了分類討論解絕對值不等式，不等式的恒成立問題，參變分離法是解決恒成立有關(guān)問題的好方法.