第六章

將軍飲馬

“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。

模型1

定直線與兩定點(diǎn)

模型

作法

結(jié)論

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線異側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小。

連接AB交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。

PA+

PB的最小。

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小。

作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。

PA+PB的最小值為AB′。

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使最大。

連接AB并延長交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最大值為AB。

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使最大。

作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最大值為AB′。

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使最小。

連接AB，作AB的垂直平分線交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最小值為0。

模型實(shí)例

例1．如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E

在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，則PD+PE的最小值為。

例2．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P為CD

上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是多少？

熱搜精練

1．如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊

上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是。

2．如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，），當(dāng)△ABC的周長最短時(shí)，求的值。

3．如圖，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一點(diǎn)，且DM-3，N是AC上的一

動(dòng)點(diǎn)，求的最小值與最大值。

模型2

角到定點(diǎn)

模型

作法

結(jié)論

點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，在OB上找點(diǎn)D，在OA上找點(diǎn)C，使得△PCD周長最小。

分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P“，連接

P′P“，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求。

△PCD周長最小為P′P“。

點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，在OB上找點(diǎn)D，在OA上找點(diǎn)C，使得PD+CD最小。

作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作P′C⊥OA交OB于點(diǎn)C，點(diǎn)C、D即為所求。

PC+CD的最小值為P′C。

點(diǎn)P、Q在∠AOB的內(nèi)部，在OB上找點(diǎn)D，在OA上找點(diǎn)C，使得四邊形PQDC周長最小。

分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、Q′，連接P′Q′，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求。

PC+CD+DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC的周長的最小值為P′Q′+PQ。

模型實(shí)例

例1．如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10，在OA上有一

點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R。若△PQR周長最小，則最小周長是多少？

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1．如圖，∠MON=40°，P為∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，A為OM上的點(diǎn)，B為ON上的點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長取最小值時(shí)：

（1）找到A、B點(diǎn)，保留作圖痕跡；

（2）求此時(shí)∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？

2．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別

找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小，并求此時(shí)∠AMN+∠ANM的度數(shù)。

3．如圖，在軸上找一點(diǎn)C，在軸上找一點(diǎn)D，使AD+CD+BC最小，并

求直線CD的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)。

4．如圖∠MON=20°，A、B分別為射線OM、ON上兩定點(diǎn)，且OA=2，OB=4，點(diǎn)P、Q分別為射線OM、ON上兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段

AQ+PQ+PB的最小值是多少？

模型3

兩定點(diǎn)一定長

模型

作法

結(jié)論

如圖，在直線上找M、N兩

點(diǎn)（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。

將點(diǎn)A向右平移個(gè)單位到A′，作A′關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A“，連接A“B交直線于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移個(gè)單位到M，點(diǎn)M、N即為所求。

AM+MN+NB最小為A“B。

如圖，∥，之間距離為，在，分別找M、N兩點(diǎn)，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小。

將點(diǎn)A向下平移個(gè)單位到A′，連接A′B交直線于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向上平移個(gè)單位到M，點(diǎn)M、N即為所求。

AM+MN+NB的最小值為A′B+。

模型實(shí)例

例1．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點(diǎn)A在軸正半軸上，點(diǎn)C在軸正半軸上，且OA=6，OC=4，D為OC中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在線段

OA上，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，EF=2。當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

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1．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在，軸、軸的正半軸上，A（3，0），B（0，4），D為邊OB的中點(diǎn)。

（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△CDE的周長最小值；

（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=1，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)。

2．村莊A和村莊B位于一條小何的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B

之間的距離最短？