雙曲線上的反向等角與“將軍飲馬”

杜橋?qū)嶒?yàn)中學(xué)

徐君斌

雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)與任意的第三個(gè)點(diǎn)，必能構(gòu)成反向等角的關(guān)系.如圖，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)或時(shí)，能形成橫向的反向等角；

當(dāng)時(shí)，則能形成縱向的反向等角.上述兩圖中，均有，即形成反向等角，或稱為“反射”模型，而初中

數(shù)學(xué)中的“反射”模型，最常見于“將軍飲馬”問題.下面就是本人原創(chuàng)的一系列，反向

等角與“將軍飲馬”相結(jié)合的問題.典型例題

如圖，點(diǎn)(，)在雙曲線上，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線與雙曲線

交于點(diǎn)，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí).①；

②的最小值為；

(2)當(dāng)時(shí)，且保證的值最小.請問點(diǎn)是否定點(diǎn)，若是定點(diǎn)，請求出

該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是定點(diǎn)，請說明理由.例題精析

(1)①；

②的最小值為；

解題后的猜想：

(2)參數(shù)法：

設(shè)的解析式為，其中(，)，(，)，得，則，當(dāng)時(shí)，(即為定點(diǎn)).相似法1：，即，則……

相似法2：，即，……

反向等角法2：，三點(diǎn)共線，則點(diǎn)與重合(即為定點(diǎn)).配套練習(xí)

1.如圖，點(diǎn)(，)在雙曲線上，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線與雙曲線

交于點(diǎn)，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，的最小值為；

(2)當(dāng)時(shí)，且保證的值最小.請問

點(diǎn)是否定點(diǎn)，若是定點(diǎn)，請求出該點(diǎn)坐標(biāo)；

若不是定點(diǎn)，請說明理由.2.如圖，點(diǎn)(，)在雙曲線上，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)(，)在軸

上運(yùn)動(dòng)(且)，過點(diǎn)作軸的垂線，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，的最小值為；

(2)若點(diǎn)從(，)位置出發(fā)向右平移，且要保證的值最小.請問點(diǎn)的運(yùn)

動(dòng)路徑有何特征？

3.如右圖，點(diǎn)(，)，(，)，(，)在軸上運(yùn)動(dòng)(且)，過點(diǎn)

作軸的垂線，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)從(，)位置出發(fā)向右平移，且要保證的值最小，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑大致正確的是（）

4.如圖，點(diǎn)(，)在雙曲線上，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)(，)在軸

上運(yùn)動(dòng)(且)，過點(diǎn)作軸的平行線，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，的最小值為；

(2)若點(diǎn)從(，)位置出發(fā)向右平移，且要保證的值最小.請問點(diǎn)的運(yùn)

動(dòng)路徑有何特征？

5.如圖，點(diǎn)(，)，(，)，(，)在軸上運(yùn)動(dòng)(且)，過點(diǎn)作

軸的平行線，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接.若點(diǎn)從(，)位置出發(fā)

向上平移，且要保證的值最小.(1)點(diǎn)必在某個(gè)函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，則該函數(shù)的圖象應(yīng)該是（）

A.直線

B.射線

C.一段雙曲線

D.一段拋物線

(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的面積變化規(guī)律是（）

A.始終不變

B.不斷增大

C.不斷減小

D.先增大后減小