2020屆市高級(jí)中學(xué)高三1月調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1．已知復(fù)數(shù)與為共軛復(fù)數(shù)，其中，為虛數(shù)單位，則（）

A．1

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由共軛復(fù)數(shù)的概念可以得到，解方程即可得到，進(jìn)而可以求出.【詳解】

由題意得，解得，則，.故答案為D.【點(diǎn)睛】

本題考查了共軛復(fù)數(shù)的知識(shí)，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．

2．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】求出直線與的交點(diǎn)，即可得到答案。

【詳解】

由題意，解得，故.故答案為A.【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集，兩直線的交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題。

3．已知單位向量的夾角為，且，若向量，則（）

A．9

B．10

C．3

D．

【答案】C

【解析】先由夾角正切值得余弦值，然后利用數(shù)量積公式得到，再利用向量模的公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】

向量夾角，由可得，向量為單位向量即,可得，則，故選：C.【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.4．下列說(shuō)法正確的是（）

A．若命題均為真命題，則命題為真命題

B．“若，則”的否命題是“若”

C．在，“”是“”的充要條件

D．命題“”的否定為“”

【答案】D

【解析】利用復(fù)合命題的真假四種命題的逆否關(guān)系以及命題的否定，充要條件判斷選項(xiàng)的正誤即可．

【詳解】

對(duì)于A：若命題p，￢q均為真命題，則q是假命題，所以命題p∧q為假命題，所以A不正確；

對(duì)于B：“若，則”的否命題是“若，則”，所以B不正確；

對(duì)于C：在△ABC中，“”?“A+B=”?“A=-B”?sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要條件，所以C不正確；

對(duì)于D：命題p：“?x0∈R，x02-x0-5＞0”的否定為￢p：“?x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正確．

故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及充要條件，四種命題的逆否關(guān)系，命題的否定等知識(shí)，是基本知識(shí)的考查．

5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式，列出方程組，求出，由此能求出的值。

【詳解】

正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，易知時(shí)不成立，所以.，解得，．

故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的運(yùn)用，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題。

6．已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】對(duì)進(jìn)行變形，得到，令，即的整數(shù)個(gè)數(shù)為3，再由的函數(shù)圖像和的函數(shù)圖像，寫出限制條件，得到答案

【詳解】，即

設(shè)，其中時(shí)，時(shí)，即符合要求，所以時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，為極小值.有三個(gè)整數(shù)解，則還有一個(gè)整數(shù)解為或者是

①當(dāng)解集包含時(shí)，時(shí)，所以需要滿足即，解得

②當(dāng)解集包含時(shí)，需要滿足即

整理得，而，所以無(wú)解集，即該情況不成立.綜上所述，由①②得，的范圍為

故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，兩個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系與解析式大小之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，題目較綜合，考查內(nèi)容比較多，屬于難題.7．已知程序框圖如圖，則輸出i的值為

A．7

B．9

C．11

D．13

【答案】D

【解析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，可得答案．

【詳解】

當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件，故，當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件，故，當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件，故，當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件，故，當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件，故，當(dāng)時(shí)，不滿足退出循環(huán)的條件，故，當(dāng)時(shí)，滿足退出循環(huán)的條件，故輸出

故選

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答。

8．曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為，則外接圓面積的最小值為

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】設(shè)直線l與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，聯(lián)立直線y＝x求得A的坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圓的半徑，進(jìn)而得到所求面積的最小值．

【詳解】

設(shè)直線l與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．

則直線l方程為，即，可求直線l與y＝x的交點(diǎn)為A（），與y軸的交點(diǎn)為，在△OAB中，當(dāng)且僅當(dāng)2＝2時(shí)取等號(hào)．

由正弦定理可得△OAB得外接圓半徑為，則△OAB外接圓面積，故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查正弦定理的運(yùn)用，基本不等式的運(yùn)用：求最值，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

9．已知為實(shí)數(shù)，若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由求出a,然后解不等式即可得到答案.【詳解】，則

又則，解得a=-2,解得,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

故選：B.【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，是基礎(chǔ)題．

10．定義在上的函數(shù)，且，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和最接近下列哪個(gè)數(shù)（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，∵g（x）=，∴g（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱．

分別作出函數(shù)f（x），g（x）在[﹣5，9]上的圖象，由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，設(shè)8個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大為x1，x2，x3，x4，x5，x6，且這8個(gè)交點(diǎn)接近點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，則（x1+x8）=2，x1+x8=4，所以若x1+x2+x3+x4+x5+x6

=4（x1+x8）=4×4=16，但是不都是對(duì)稱的，由圖象可知，x1+

x8＞4，x2+x7＞4，第五個(gè)交點(diǎn)為空心的，跟等于3∴x1+x2+x4+x5+x6

最接近14．

故選A．

點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值和零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用；對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，它和方程的根的問(wèn)題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題是同一個(gè)問(wèn)題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)非常函數(shù)，注意讓非常函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)單一些。注意函數(shù)的圖像畫的要準(zhǔn)確一些。

11．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形，是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于的小路．已知某人從沿走到用了2分鐘，從沿著走到用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長(zhǎng)度為

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】試題分析：設(shè)該扇形的半徑為r米，連接CO．

由題意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，即，解得（米）．

【考點(diǎn)】1．扇形面積公式；2．余弦定理求三角形邊長(zhǎng)

12．是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)，均有，已知當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．的圖象關(guān)于對(duì)稱

B．有最大值1

C．在上有5個(gè)零點(diǎn)

D．當(dāng)時(shí)，【答案】C

【解析】∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)?x∈R，均有f（x+2）=f（x），故函數(shù)的周期為2，則f（x）的圖象關(guān)于（1，0）點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；f（x）∈（-1，1），無(wú)最大值，故B錯(cuò)誤；整數(shù)均為函數(shù)的零點(diǎn)，故f（x）在[-1，3]上有5個(gè)零點(diǎn)，故C正確；當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，x-2∈[0，1），則f（x）=f（x-2）=2x-2-1，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）=0，故D錯(cuò)誤；

故選C.點(diǎn)睛:本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,已知對(duì)稱中心,周期能推出另一個(gè)對(duì)稱中心,根據(jù)某區(qū)間上的解析式,結(jié)合周期性,對(duì)稱性可以得到一個(gè)周期中的函數(shù)圖象,從而關(guān)于最值,零點(diǎn)等問(wèn)題都可以解決.二、填空題

13．在中，已知，若，則周長(zhǎng)的取值范圍為__________．

【答案】

【解析】由題中條件先求出，然后由余弦定理可得，利用基本不等式可得到，再由三角形中兩邊之和大于第三邊可得，從而可得到的取值范圍，即周長(zhǎng)的范圍。

【詳解】

由題意，即，可化為，即，因?yàn)?，所以，即，設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，由余弦定理得，因?yàn)?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），所以，即，又因?yàn)?，所以，故，則，又因?yàn)?，所以，?故周長(zhǎng)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，利用基本不等式求最值，三角形的性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，及計(jì)算能力，屬于中檔題。

14．曲線在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為______________；

【答案】

【解析】通過(guò)求導(dǎo)得切線斜率，再由點(diǎn)斜式可得切線方程.【詳解】，則，故．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，,則______.【答案】10

【解析】根據(jù)等比數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)列方程解得結(jié)果.【詳解】

由題意得，成等比數(shù)列，則，所以,或90，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以>，因此.【點(diǎn)睛】

在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.16．已知且,則______。

【答案】1

【解析】整理得：

由此得到，問(wèn)題得解。

【詳解】

因?yàn)?，所以，整理得：，又，所以，所以，所?/p>

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩角和的正弦公式及兩角差的余弦公式，考查計(jì)算能力，還考查了三角恒等式，屬于基礎(chǔ)題。

三、解答題

17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．

求；

若，且面積，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得tanA=，結(jié)合范圍A∈（0，π），可求A的值．

（2）由已知利用三角形的面積公式可求c的值，進(jìn)而可求b的值，根據(jù)余弦定理可得a的值．

【詳解】

（1）∵，∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，可得：cosA=sinA，可得：tanA=，∵A∈（0，π），∴A=

（2）∵，且△ABC面積=bcsinA=2c×c×，∴解得：c=2，b=4，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

18．在中，.(1)

求角的大小；

(2)若，垂足為，且，求面積的最小值.【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由，兩邊平方，整理可得，即，從而可得；（2）在直角與直角中中，，從而可得，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可得面積的最小值.試題解析：（1）由，兩邊平方，即，得到，即。

所以

.（2）在直角中，在直角中，又，所以，所以，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，從而

.19．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，三邊成等比數(shù)列，且面積為1，在等差數(shù)列中，公差為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的取值范圍.【答案】（1），（2）

【解析】（1）由，解得從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法得到前項(xiàng)和，從而得到的取值范圍.【詳解】

解：（1）∵，，∴，.（2）∵，∴

∵是關(guān)于n的增函數(shù)，∴.【點(diǎn)睛】

裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：

(1)；（2）；

（3）；（4）

；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.20．某地?cái)M規(guī)劃種植一批芍藥，為了美觀，將種植區(qū)域（區(qū)域Ⅰ）設(shè)計(jì)成半徑為的扇形，中心角．為方便觀賞，增加收入，在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)（區(qū)域Ⅱ）和休閑區(qū)（區(qū)域Ⅲ），并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴(kuò)建成正方形，其中點(diǎn)，分別在邊和上．已知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10萬(wàn)元、20萬(wàn)元、20萬(wàn)元．

（1）要使觀賞區(qū)的年收入不低于5萬(wàn)元，求的最大值；

（2）試問(wèn)：當(dāng)為多少時(shí)，年總收入最大？

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由，，所以與全等.可得，根據(jù)面積公式，可求得觀賞區(qū)的面積為，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬(wàn)元，則要求，解不等式即可求出結(jié)果.（2）由題意可得種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設(shè)年總收入為萬(wàn)元，則，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【詳解】

（1）∵，，所以與全等.所以，觀賞區(qū)的面積為，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬(wàn)元，則要求，即，結(jié)合可知，則的最大值為.（2）種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設(shè)年總收入為萬(wàn)元，則，其中，求導(dǎo)可得.當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)年總收入最大.【點(diǎn)睛】

題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及導(dǎo)數(shù)在求最值的應(yīng)用.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)求函數(shù)的最小值；

(2)若函數(shù)在上恒成立求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)4.(2)

.【解析】試題分析：

（Ⅰ）結(jié)合題意利用基本不等式求解即可．（Ⅱ）由題意得在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)的最值后可得結(jié)論．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．

（Ⅱ）由題意得在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，又，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．

22．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)

時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得，又，所以，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得極值；

（2）由，得。因此分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

試題解析：

（1）∵，∴，因?yàn)?，所以，?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：

0

0

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

由表可得當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為.（2）由（1）得。

∵，∴.①

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減

又因?yàn)?/p>

所以在（0,1）和（1,2）上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以上有兩個(gè)零點(diǎn)。

②

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增，又因?yàn)?/p>

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，所以在上有且只有只有一個(gè)零點(diǎn).綜上：

當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的方法

研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)。