2020屆市高級(jí)中學(xué)高三1月調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．＝（）

A．﹣1

B．﹣i

C．1

D．i

【答案】A

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到結(jié)果即可.【詳解】

＝

故答案為：A.【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，題目比較簡(jiǎn)單.2．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，公差為d，則“﹣1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】解出關(guān)于d的不等式，結(jié)合充分必要條件的定義，從而求出答案．

【詳解】

∵S22+S52＜26，∴（2+d）2+25（1+2d）2＜26，∴（101d+3）（d+1）＜0，∴﹣1＜d＜﹣，∵﹣1＜d＜0推不出﹣1＜d＜﹣，﹣1＜d＜﹣?﹣1＜d＜0，∴“﹣1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的必要不充分條件．

故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查了充分必要條件，考查解不等式問題，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式，是一道基礎(chǔ)題．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．

3．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若，則

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出和的值即可得到結(jié)論．

【詳解】

是定義在上的偶函數(shù)，，即，則，故選D．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．

4．已知向量的夾角為，且，則（）

A．

B．2

C．

D．84

【答案】C

【解析】先求出，然后由計(jì)算即可。

【詳解】

由題意知，，則，所以.故答案為C.【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積，向量的模，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。

5．設(shè)函數(shù)，則是（）

A．最小正周期為的奇函數(shù)

B．最小正周期為的偶函數(shù)

C．最小正周期為的奇函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)

【答案】D

【解析】函數(shù)，化簡(jiǎn)可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函數(shù)．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期為π的偶函數(shù)．故選D．

6．已知，設(shè)，則的大小關(guān)系是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，分析可得為減函數(shù)，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分析可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

【詳解】

解：根據(jù)題意，，則，則函數(shù)為減函數(shù)，又由，則有，則，故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及應(yīng)用，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，注意分析函數(shù)，的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

7．已知是等差數(shù)列，是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，則

A．2274

B．2074

C．2226

D．2026

【答案】A

【解析】利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，，，解得，．

則．

故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

8．秦九韶是我國(guó)宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入x的值為2，則輸出v的值為

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)程序框圖，進(jìn)行模擬運(yùn)算即可．

【詳解】

一次循環(huán)，，成立，則，第二次循環(huán)，成立，則，第三次循環(huán)，成立，則，第四次循環(huán)，成立，則，第五次循環(huán)，成立，則，第六次循環(huán)，不成立，輸出，故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，了解程序的功能，利用模擬運(yùn)算法是解決本題的關(guān)鍵．

9．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若，，則的面積

A．1

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．

【詳解】，由正弦定理可得，，的面積．

故選C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)

及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解.10．已知，的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列對(duì)的說法正確的是（）

A．最大值為且關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

B．最小值為且在上單調(diào)遞減

C．最大值為且關(guān)于直線對(duì)稱

D．最小值為且在上的值域?yàn)?/p>

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)圖象與性質(zhì)，求出A、T、與的值，寫出函數(shù)的解析式，判斷選項(xiàng)即可.【詳解】,由圖象可知，，所以，又

又，所以，所以，最小值為，則，所以在上的值域?yàn)?，故選D.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.11．函數(shù)的圖象是()

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的定義域，再很據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)性，問題得以解決．

【詳解】

因?yàn)閤﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函數(shù)f（x）=ln（x﹣）的定義域?yàn)椋海ī?，0）∪（1，+∞）．

所以選項(xiàng)A、D不正確．

當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，g（x）=x﹣是增函數(shù)，因?yàn)閥=lnx是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=ln（x-）是增函數(shù)．

故選B．

【點(diǎn)睛】

函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.12．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）.A．0

B．-4

C．-2

D．2

【答案】B

【解析】可先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，先令求出，再令即可求解

【詳解】

由，令得，解得，則，故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)具體導(dǎo)數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題

二、填空題

13．已知向量，則___________.【答案】

【解析】根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】

．

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量夾角的運(yùn)算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關(guān)鍵．

14．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則＝_______．

【答案】1

【解析】由題意可得，公比q≠1，則7，63，相除可得公比q，即得的值．

【詳解】

由題意可得，公比q≠1，∴7，63，相除可得

1+q3＝9，∴q＝2，∴a1＝1．

故答案為：1.【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得q值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

15．已知函數(shù),則滿足的的取值范圍是________．

【答案】.【解析】對(duì)的取值情況分類，把問題轉(zhuǎn)化成具體不等式問題求解。

【詳解】

當(dāng)時(shí)，不等式可化為：，不等式不成立。

當(dāng)時(shí)，等式可化為：，解得：，當(dāng)時(shí)，等式可化為：，解得：，綜上：，故填。

【點(diǎn)睛】

本題考查解不等式問題，分段函數(shù)對(duì)自變量的范圍討論，代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式把問題轉(zhuǎn)化成具體不等式求解。

16．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為______．

【答案】

【解析】利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到單調(diào)減區(qū)間．

【詳解】

解：．

令：，整理得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：．

故答案為．

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查正弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

三、解答題

17．已知設(shè)成立；

指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，如果“”為真，“”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】或．

【解析】先求出真時(shí)的取值范圍，再求出為真時(shí)的取值范圍，利用一真一假求出的取值范圍．

【詳解】

若為真：對(duì)，恒成立，設(shè)，配方得，所以在上的最小值為，所以，解得，所以為真時(shí)：；

若為真：，因?yàn)椤睘檎?，“”為假，所以與一真一假，當(dāng)真假時(shí)，所以，當(dāng)假真時(shí)，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．

【點(diǎn)睛】

對(duì)于“為”真，“”為假的問題，我們一般先求出真時(shí)參數(shù)的范圍，再求出為真時(shí)參數(shù)的范圍，通過真假和假真得到最終的參數(shù)的取值范圍．

18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

（Ⅱ）由題意bn＝，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

【詳解】

（Ⅰ），∴，∴

則

.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,-

=

=

∴

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查了錯(cuò)位相減法求和，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．

19．已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．

（1）求角的值．

（2）若，點(diǎn)在邊上，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)2asin（C）b，再利用三角恒等變換求出A的值；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用余弦定理建立方程組求得AD的長(zhǎng)．

【詳解】

（1）中，∴，∴，∴，∴，∴；

（2）如圖所示，設(shè)，∴；

由余弦定理得，…①，…②

由①②解得，即的長(zhǎng)為．

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換以及解三角形的應(yīng)用問題，是中檔題．

20．已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，求的取值范圍；

(2)若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得方程f（x）=0的根的判別式△＜0，解不等式即可得到范圍；

（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程，判斷f（x）在[﹣1，1]的單調(diào)性，再由零點(diǎn)的定義可得f（1）≤0，f（﹣1）≥0，解不等式即可得到所求范圍．

【詳解】

(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸無交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的根的判別式Δ<0，即16－4(a＋3)<0，解得a>1.故a的取值范圍為a>1.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－4x＋a＋3圖象的對(duì)稱軸是x＝2，所以y＝f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)．

又y＝f(x)在[－1,1]上存在零點(diǎn)，所以,即,解得－8≤a≤0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為－8≤a≤0.【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，考查不等式的解法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．

21．已知函數(shù)

Ⅰ求的最小正周期；

Ⅱ若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的最大值．

【答案】（Ⅰ）最小正周期為（Ⅱ）

【解析】Ⅰ首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期;Ⅱ利用Ⅰ的函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用整體思想和函數(shù)的區(qū)間的子集關(guān)系求出結(jié)果．

【詳解】

Ⅰ函數(shù)，，所以：函數(shù)的最小正周期為．

Ⅱ由于：，令：，解得：，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故：，所以：m的最大值為．

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．

22．已知函數(shù)，．

（1）若是的極值點(diǎn)，求并討論的單調(diào)性；

（2）若時(shí)，求的取值范圍．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合求得，代入導(dǎo)函數(shù)，得到，再由在上單調(diào)遞增，且，可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；（2）由，得，令，利用二次求導(dǎo)可得其最小值，則..的范圍可求．

【詳解】

（1），.因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，可得．

所以，.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，所以時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增．

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）由得，因?yàn)椋?設(shè)，則.令，則，顯然在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以時(shí)，單調(diào)遞減，則，即，所以在內(nèi)單減，從而.所以.【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減；考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合單調(diào)性求出或即得解.