2020屆1月市一模數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】先解不等式得集合B，再根據(jù)交集定義求結(jié)果.【詳解】

故選：B

【點睛】

本題考查一元二次不等式以及交集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2．命題，則為（）

A．，B．，C．，D．，【答案】A

【解析】根據(jù)全稱命題的否定直接判斷選擇.【詳解】，：，故選：A

【點睛】

本題考查全稱命題的否定，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.3．已知，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】

由，則.故選：C

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，屬于基礎(chǔ)題.4．已知均為單位向量，若夾角為，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】先求數(shù)量積，再求模的平方，最后得結(jié)果.【詳解】

故選：D

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積以及向量的模，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5．若實數(shù)x，y滿足不等式組，則的最大值為（）

A．4

B．

C．-6

D．6

【答案】A

【解析】先作可行域，再根據(jù)目標函數(shù)所表示的直線，結(jié)合圖象確定最優(yōu)解，代入得結(jié)果.【詳解】

作可行域如圖，則直線過點時取最大值4,故選：A

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6．函數(shù)，則下列選項正確的是（）

A．當(dāng)時，取得最大值

B．在區(qū)間單調(diào)遞增

C．在區(qū)間單調(diào)遞減

D．的一個對稱軸為

【答案】C

【解析】利用二倍角公式以及輔助角公式化簡，再根據(jù)正弦三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，對于A，當(dāng)時，而，故A錯誤；

對于B，令，求得

當(dāng)時，則，故B錯誤；

對于C，令，求得

當(dāng)時，則，故C正確；

對于D，令，求得，當(dāng)時，當(dāng)時，故D錯誤；

故選：C

【點睛】

本題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，需熟記公式與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7．已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷三個數(shù)大小.【詳解】

故選：D

【點睛】

本題考查利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.8．已知a，b為兩條不同的直線，，為三個不同的平面，則下列說法中正確的是（）

①若，則

②若，則

③若，則

④若，則

A．①③

B．②③

C．①②③

D．②③④

【答案】B

【解析】根據(jù)線面位置關(guān)系逐一判斷，即可選擇.【詳解】

若，a可以和兩個相交平面的交線平行,這樣也能保證，；

若，則；

若，則；

若，則或；

故選：B

【點睛】

本題考查線面有關(guān)命題判斷，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.9．新高考的改革方案開始實施后，某地學(xué)生需要從化學(xué)，生物，政治，地理四門學(xué)科中選課，每名同學(xué)都要選擇其中的兩門課程.已知甲同學(xué)選了化學(xué)，乙與甲沒有相同的課程，丙與甲恰有一門課相同，丁與丙也沒有相同課程.則以下說法正確的是（）

A．丙沒有選化學(xué)

B．丁沒有選化學(xué)

C．乙丁可以兩門課都相同

D．這四個人里恰有2個人選化學(xué)

【答案】D

【解析】根據(jù)題意合理推理，并作出合理的假設(shè)，最終得出正確結(jié)論．

【詳解】

根據(jù)題意可得，∵甲選擇了化學(xué)，乙與甲沒有相同課程，∴乙必定沒選化學(xué)；

又∵丙與甲有一門課相同，假設(shè)丙選擇了化學(xué)，而丁與丙無相同課程，則丁一定沒選化學(xué)；

若丙沒選化學(xué)，又∵丁與丙無相同課程，則丁必定選擇了化學(xué)．

綜上，必定有甲，丙或甲，丁這兩種情況下選擇化學(xué)，故可判斷A，B不正確，D正確。

假設(shè)乙丁可以兩門課都相同，由上面分析可知，乙丁都沒有選擇化學(xué)，只能從其它三科中選兩科。不妨假設(shè)選的是生物、政治，則甲選的是化學(xué)和地理，而丙和甲共同選擇了化學(xué)，另一門課丙只能從生物、政治中選一科，這樣與“丁與丙也沒有相同課程”矛盾，故假設(shè)不成立，因此C不正確。

【點睛】

本題主要考查學(xué)生的邏輯推理能力。

10．已知正項等比數(shù)列，滿足，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)以及等比中項即可求解.【詳解】

由可得，所以，所以.故選：B

【點睛】

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，需熟記性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11．已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線與，若點A，B為直線上關(guān)于原點對稱的不同兩點，點M為直線上一點，且，則雙曲線C的離心率為（）

A．1

B．

C．2

D．

【答案】C

【解析】先求漸近線方程，再設(shè)坐標，根據(jù)斜率公式化簡條件，即得離心率.【詳解】

漸近線方程為，不妨設(shè)

則可設(shè)

因此

故選：C

【點睛】

本題考查雙曲線漸近線以及離心率，考查基本分析求解能力，屬中檔題.12．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）

A．20

B．18

C．16

D．14

【答案】C

【解析】先解，再作圖，結(jié)合圖象確定交點個數(shù)，即得零點個數(shù).【詳解】

或

根據(jù)函數(shù)解析式以及偶函數(shù)性質(zhì)作圖象，零點個數(shù)為,故選：C

【點睛】

本題考查函數(shù)零點以及函數(shù)綜合性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想方法以及綜合分析求解能力，屬中檔題.二、填空題

13．橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓C上，已知，則________.【答案】

【解析】根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】

由橢圓，則，所以

根據(jù)橢圓的定義可得，故答案為：

【點睛】

本題主要考查橢圓的定義，需掌握橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題.14．已知四張卡片上分別標有數(shù)字2，2，3，3，隨機取出兩張卡片，數(shù)字相同的概率為________.【答案】

【解析】根據(jù)題意可知抽取兩張數(shù)字相同的2種，總共的抽法張隨機抽兩張，由組合可得抽法共，由此可求概率.【詳解】

由題意可得抽取兩張數(shù)字相同的2種，抽法共，.故答案為：

【點睛】

本題主要考查的組合問題，考查學(xué)生的邏輯分析能力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，.數(shù)列中，.則________.【答案】

【解析】先根據(jù)條件解得等差數(shù)列公差與首項，即得；再根據(jù)解得通項公式，即得，最后求積得結(jié)果.【詳解】

設(shè)等差數(shù)列公差為，則由，得，因為，所以

故答案為：

【點睛】

本題考查等差數(shù)列通項公式以及由遞推關(guān)系求通項公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16．在四面體ABCD中，若，則當(dāng)四面體ABCD的體積最大時，其外接球的表面積為________.【答案】

【解析】先根據(jù)底面ACD面積為定值，確定四面體ABCD的體積最大時，平面,再確定外接球球心位置，解得球半徑，代入球的表面積公式得結(jié)果.【詳解】

因為，所以底面ACD面積為定值，因此當(dāng)平面時，四面體ABCD的體積最大.設(shè)外接圓圓心為,則四面體ABCD的外接球的球心滿足,且，因此外接球的半徑滿足

從而外接球的表面積為

故答案為：

【點睛】

本題考查四面體外接球的表面積，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題

17．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求A及a；

（2）若，求b，c.【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）由正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式即可求解a；根據(jù)二倍角公式可求角A

（2）由（1）以及余弦定理即可求解.【詳解】

（1），即，解得；

由，則，所以，故.（2）由正弦定理可得，且

可得，又，所以，解得，.【點睛】

本題考查了正余弦定理以及二倍角公式、兩角和的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.18．如圖，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，.平面平面ABD，點E與點D在平面ABC的同側(cè)，且，.點F為AD中點，連接EF.（1）求證：平面ABC；

（2）求證：平面平面ABD.【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】（1）取的中點，連接，可證出，由線面平行的判定定理即可證出；

（2）首先證出平面ABD，再由（1）可證得平面ABD，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出.【詳解】

（1）

取的中點，連接，點F為AD中點，且，且，四邊形為平行四邊形，,又因為平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.（2）由（1）點為的中點，且為等邊三角形，所以，又因為.平面平面ABD，所以平面ABC，所以,又，所以平面ABD，又，所以平面ABD，平面AED，平面平面ABD.【點睛】

本題主要考查了線面平行的判定定理、面面垂直的判斷定理，要證線面平行需先證“線線平行”；要證面面垂直需先證線面垂直，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.19．“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)的平臺是由中宣部主管，以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺.某單位共有黨員200人（男女各100人），從2019年1月1日起在“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)的平臺學(xué)習(xí).現(xiàn)統(tǒng)計他們的學(xué)習(xí)積分，得到如下男黨員的頻率分布表和女黨員的頻率分布直方圖.女黨員

男黨員

積分

（單位：千）

人數(shù)

（單位：人）

（1）已知女黨員中積分不低于6千分的有72人，求圖中a與b的值；

（2）估算女黨員學(xué)習(xí)積分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）和女黨員學(xué)習(xí)積分的中位數(shù)（精確到0.1千分）；

（3）若將學(xué)習(xí)積分不低于8千分的黨員視為學(xué)習(xí)帶頭人，完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有95%把握認為該單位的學(xué)習(xí)帶頭人與性別有關(guān)?

男黨員

女黨員

合計

帶頭人

非帶頭人

合計

200

相關(guān)公式即數(shù)據(jù)：.0.100

0.050

0.010

k

2.706

3.841

6.635

【答案】（1）；（2）平均數(shù)：；中位數(shù)：

（3）沒有95%把握認為該單位的學(xué)習(xí)帶頭人與性別有關(guān).【解析】（1）由頻率分布直方圖小矩形的面積為頻率即可求解.（2）根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形面積小矩形底邊中點的橫坐標之和；設(shè)中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可知中位數(shù)在上，使小矩形面積為即可求解.（3）根據(jù)列聯(lián)表以及獨立性檢驗即可判斷.【詳解】

（1）由女黨員中積分不低于6千分的有72人，則低于6千分的有人，解得，解得，故；.（2）由頻率分布直方圖可知：

平均數(shù).設(shè)中位數(shù)為，在與上的頻率為，解得，綜上所述，平均數(shù)：；中位數(shù)：

（3）列聯(lián)表如下：

男黨員

女黨員

合計

帶頭人

非帶頭人

128

合計

200

故沒有95%把握認為該單位的學(xué)習(xí)帶頭人與性別有關(guān).【點睛】

本題主要考查頻率分布圖、列聯(lián)表以及獨立性檢驗，屬于中檔題.20．已知拋物線的焦點為F，點，點B在拋物線C上，且滿足（O為坐標原點）.（1）求拋物線C的方程；

（2）過焦點F任作兩條相互垂直的直線l與，直線l與拋物線C交于P，Q兩點，直線與拋物線C交于M，N兩點，的面積記為，的面積記為，求證：為定值.【答案】（1）（2）見解析

【解析】（1）先根據(jù)條件解得B點坐標，代入拋物線方程解得，即得結(jié)果；

（2）先設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理以及弦長公式求得與，最后代入化簡得結(jié)果.【詳解】

（1）設(shè)

因為點B在拋物線C上，（2）由題意得直線l的斜率存在且不為零，設(shè)，代入得，所以

因此，同理可得

因此

【點睛】

本題考查拋物線方程以及直線與拋物線位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）若函數(shù)有兩個極值點時，求a的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間：；單調(diào)遞減區(qū)間：；極小值為

（2）

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可求出單調(diào)區(qū)間以及極值.（2）求出的導(dǎo)函數(shù)，使導(dǎo)函數(shù)有兩個根，采用分離參數(shù)法，結(jié)合（1）中的值域即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】

（1）由，則，令，則，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

故函數(shù)的極小值為.綜上所述，單調(diào)遞增區(qū)間：；單調(diào)遞減區(qū)間：；極小值為

（2）由，則，若有兩個極值點，則有兩個根

即有兩解，即，即與有兩個交點，由（1）可知在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以.若與有兩個交點，則.【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用以及由函數(shù)的極值點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化、化歸思想，屬于中檔題.22．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線，直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；

（2）若點，求的值.【答案】（1），（2）

【解析】（1）根據(jù)將曲線C極坐標方程化為直角坐標方程，利用消元法化直線l的參數(shù)方程為普通方程

（2）先化直線l的參數(shù)方程為標準式，再代入曲線C方程，最后根據(jù)參數(shù)幾何意義求解

【詳解】

（1）

（2）

代入得

【點睛】

本題考查極坐標方程化直角坐標方程、參數(shù)方程化普通方程以及直線參數(shù)方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.23．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）

【解析】（1）根據(jù)絕對值定義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集得結(jié)果；

（2）先化簡不等式，再根據(jù)絕對值三角不等式性質(zhì)求最值，即得結(jié)果.【詳解】

（1）

或或

或或

即不等式的解集為.（2）

【點睛】

本題考查絕對值定義以及絕對值三角不等式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.