2015全國卷二數(shù)學(xué)

滿分:

班級(jí)：_________??姓名：_________??考號(hào)：_________

一、單選題（共12小題）

1．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

2．若為實(shí)數(shù)，且，則（）

A．-4

B．-3

C．3

D．4

3．根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（）

A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

4．已知，則（）

A．-1

B．?0

C．1

D．2

5．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）

A．5

B．7

C．9

D．11

6．一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

A．

B．

C．

D．

7．已知三點(diǎn)，則外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（）

A．

B．

C．

D．

8．下邊程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的分別為14，18，則輸出的為（）

A．0

B．2

C．4

D．14

9．已知等比數(shù)列滿足，則（）

A．

B．

C．

D．

10．已知是球的球面上兩點(diǎn)，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)。若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（）

A．

B．

C．

D．

11．如圖，長方形的邊，是的中點(diǎn)，點(diǎn)沿著邊，與運(yùn)動(dòng)，記，將動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和表示為的函數(shù)，則的圖象大致為（）

A．

B．

C．

D．

12．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

二、填空題（共4小題）

13.已知函數(shù)?的圖像過點(diǎn)，則=________。

14.若x，y滿足約束條件，則的最大值為_________。

15.已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________。

16.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則__________。

三、解答題（共8小題）

17.△ABC中D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，BD=2DC.（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求.18.某公司為了了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了個(gè)用戶，根據(jù)用戶對其產(chǎn)品的滿意度的評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表。

B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

（Ⅰ）在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過此圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度，（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）

（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度評分分為三個(gè)等級(jí)：

估計(jì)那個(gè)地區(qū)的用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大，說明理由。

19.如圖，長方體中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在?上，過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。

（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法與理由）；

（Ⅱ）求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值。

20.已知橢圓?的離心率為，點(diǎn)在C上．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）直線不經(jīng)過原點(diǎn)O，且不平行于坐標(biāo)軸，與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線的斜率乘積為定值。

21.已知．

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求a的取值范圍.22.如圖O是等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，圓O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)。

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）若AG等于圓O半徑，且，求四邊形EDCF的面積。

23.在直角坐標(biāo)系中，曲線（t為參數(shù)，且），其中，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線

（Ⅰ）求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（Ⅱ）若與

相交于點(diǎn)A，與相交于點(diǎn)B，求最大值．

24.設(shè)?均為正數(shù)，且．證明：

（Ⅰ）若，則；

（Ⅱ）是的充要條件．

答案部分

1.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算

試題解析：

由題意在數(shù)軸上表示出集合與集合，如圖

所以，選A

答案：A

2.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)綜合運(yùn)算

試題解析：

由，得，所以，選D

答案：D

3.考點(diǎn)：變量相關(guān)

試題解析：

對于選項(xiàng)A：從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；

對于選項(xiàng)B：2004﹣2006年二氧化硫排放量越來越多，從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；

對于選項(xiàng)C：從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量

越來越少，故C正確；

對于選項(xiàng)D：2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，而不是與年份正相關(guān)，選D

答案：D

4.考點(diǎn)：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算

試題解析：，選B

答案：B

5.考點(diǎn)：等差數(shù)列

試題解析：

由題意得：，所以

所以，選A

答案：A

6.考點(diǎn)：空間幾何體的表面積與體積

試題解析：

如圖所示截面為，設(shè)邊長為，則截取部分體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，選D

答案：D

7.考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

試題解析：因?yàn)橥饨訄A的圓心在直線的垂直平分線上，即直線上，可設(shè)圓心，由得，解得，圓心坐標(biāo)為

所以圓心到原點(diǎn)的距離，選B

答案：B

8.考點(diǎn)：算法和程序框圖

試題解析：

輸入

第一步成立，執(zhí)行，不成立執(zhí)行

第二步成立，執(zhí)行，成立執(zhí)行，第三步成立，執(zhí)行，成立執(zhí)行

第四步成立，執(zhí)行，成立執(zhí)行

第四步成立，執(zhí)行，不成立執(zhí)行

第五步不成立，輸出.選B

答案：B

9.考點(diǎn)：等比數(shù)列

試題解析：

設(shè)公比為，由題意得，解得：，所以

答案：C

10.考點(diǎn)：空間幾何體的表面積與體積

試題解析：

如圖，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)

故，則球的表面積為，選C．

答案：C

11.考點(diǎn)：函數(shù)模型及其應(yīng)用

試題解析：由已知得，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，；

當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程可以看出，軌跡關(guān)于直線對稱，且，且軌跡非線性，選B

答案：B

12.考點(diǎn)：函數(shù)綜合試題解析：

當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，所以，即，平方得

解得，所求x的取值范圍是．選A．

答案：A

13.考點(diǎn)：函數(shù)及其表示

試題解析：

把代入得：

答案：-2

14.考點(diǎn)：線性規(guī)劃

試題解析：

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．

由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最大．

由，解得，即

將代入目標(biāo)函數(shù)，得即的最大值為．

答案：8

15.考點(diǎn)：雙曲線

試題解析：

設(shè)雙曲線方程為，把點(diǎn)代入，可得，所以

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

故答案為：．

答案：

16.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

試題解析：

因?yàn)椋栽谔幍那芯€斜率為，則曲線在處的切線方程為，即．

由于切線與曲線相切，聯(lián)立得，又兩線相切有一切點(diǎn)，所以有，解得．

故答案為：．

答案：8

17.考點(diǎn)：三角函數(shù)綜合試題解析：（Ⅰ）如圖，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；

（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=．

答案：（Ⅰ）（Ⅱ）

18.考點(diǎn)：頻率分布表與直方圖

試題解析：

（Ⅰ）

通過兩個(gè)地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值，B

地區(qū)的用戶滿意度評分的比較集中，而A地區(qū)的用戶滿意度評分的比較分散．

（Ⅱ）A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大．

記表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”，表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”，由直方圖得P（）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6

得P（）=（0.005+0.02）×10=0.25

∴A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大．

答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

19.考點(diǎn)：立體幾何綜合試題解析：

（Ⅰ）交線圍成的正方形EFGH如圖所示；

（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足為M，則AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．

因?yàn)镋FGH為正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．

因?yàn)殚L方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為．

答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

20.考點(diǎn)：圓錐曲線綜合試題解析：

（1）橢圓C：，（）的離心率，點(diǎn)（2，）在C上，可得，解得，所求橢圓C方程為：

（2）設(shè)直線：，A，B，M，把直線代入可得，故=，=，于是在的斜率為：==，即．

∴直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值．

答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

21.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用

試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，所以，若，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在上無最大值；

當(dāng)時(shí)，在取得最大值，最大值為，∵,∴，令，∵在單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴的取值范圍為

答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（0，1）

22.考點(diǎn)：圓

試題解析：

（Ⅰ）如圖所示，連接，則即.因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，所?因?yàn)槭堑妊切?，所以，所以，所?（Ⅱ）設(shè)的半徑為，.在中，.，解得.在中，.，，是等邊三角形.連接，，.在，..在中，.四邊形的面積為

.答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

23.考點(diǎn)：曲線參數(shù)方程

試題解析：

（Ⅰ）將曲線化為直角坐標(biāo)系方程,.聯(lián)立解得.所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，.（Ⅱ）曲線的極坐標(biāo)方程為，其中.因此的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為.所以.當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.答案：（Ⅰ），（Ⅱ）4

24.考點(diǎn)：不等式證明

試題解析：

（Ⅰ）由題意可得，而，即.（Ⅱ）

答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析