第一篇：小升初數(shù)學(xué)易錯(cuò)題及答案解析2017
小升初數(shù)學(xué)易錯(cuò)題及答案解析2017
一、填空題
1、一種鹽水的含鹽率是20%,鹽與水的比是(1：5)。
2、生產(chǎn)同樣多的零件，小張用了4小時(shí)，小李用了6小時(shí)，小張和小李工作效率的最簡(jiǎn)比是(3：2)。
【解析：將這批零件看作單位“1”，則小張的工作效率為：1÷4=1/4 小李的工作效率為：1÷6=1/6 兩人的工作效率比為：1/4：1/6，化簡(jiǎn)后就是3：2】
3、從甲地到乙地，客車要行駛4時(shí)，貨車要行駛5時(shí)，客車的速度與貨車的速度比是(5：4)，貨車的速度比客車慢(20)%。
【解析：求速度比的方法同第2題。貨車的速度比客車慢((5-4)÷5=20%)】 4、100克糖溶在水里，制成的糖水的含糖率為12.5%,如果再加200克水，這時(shí)糖與糖水的比是(1：10)。
【解析：此題關(guān)鍵是要先算出原來(lái)的糖水是多少克：100÷12.5%=800(克)。再求加水后糖與糖水的比：100：(800+200)=100：1000=1：10】
5、若從六(1)班調(diào)全班人數(shù)的1/10到六(2)班，則兩班人數(shù)相等，原來(lái)六(1)班與六(2)班的人數(shù)比是(5：4)。
【解析：用方程來(lái)解答：設(shè)六(1)人數(shù)有a人，六(2)班人數(shù)有b人。根據(jù)題意列出方程后并求解：
通過(guò)解方程得出a與b的比為10：8，即六(1)班與六(2)班的人數(shù)為10：8，化簡(jiǎn)后為5：4?！?/p>
6、把甲隊(duì)人數(shù)的1/4調(diào)入乙隊(duì)，這時(shí)兩隊(duì)人數(shù)相等，甲隊(duì)與乙隊(duì)原人數(shù)的比為(2：1)。
【解析：方法同第5題?！?/p>
7、六(1)班今天到校40人，請(qǐng)病假的5人，該班的出勤率是(88.9%)。
【解析：用到校人數(shù)就是出勤人數(shù)。出勤人數(shù)÷全班人數(shù)×100%=出勤率。40÷(40+5)×100%≈88.9%】
8、把一個(gè)半徑是10cm的圓拼成接成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形后，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是(62.8cm)，面積是(228cm2)。
【解析：拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就是這個(gè)半徑為10cm的圓的周長(zhǎng)：3.14×10×2=62.8cm;根據(jù)周長(zhǎng)先算出長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和：62.8÷2=31.4cm，假設(shè)一條長(zhǎng)為20cm，則一條寬就為11.4(只要一條長(zhǎng)與一條寬加起來(lái)等于31.4即可。)，那么面積就是：20×11.4=228平方厘米?！?/p>
9、兩個(gè)數(shù)的差相當(dāng)于被減數(shù)的40%，減數(shù)與差的比是(3：2)。
【解析：方法參考第5題?！?/p>
10、(12.6)米比9米多40%【9×(1+40%)=12.6】 , 9米比(20)少55%【9÷(1-55%)=20】，200千克比160千克多(25)%【(200-160)÷160=25%】;160千克比200千克少(20)% 【(200-160)÷200=20%】;16米比(6.4)米多它的60%【16×(1-60%)=6.4 注意：“它”是指16。】;()比32少30%【32×(1-30%)=22.4】。
【解析：本題主要是考查單位“1”(總量)、對(duì)應(yīng)量、對(duì)應(yīng)分率之間的關(guān)系。單位“1”(總量)×對(duì)應(yīng)分率=對(duì)應(yīng)量】
11、鐘面上時(shí)針的長(zhǎng)1dm,一晝夜時(shí)針掃過(guò)的面積是(31.4dm2)。
【解析：時(shí)針的長(zhǎng)就是圓的半徑，“一晝夜時(shí)針掃過(guò)的面積”就是指半徑為1dm的圓的面積(“一晝夜”指24小時(shí)，時(shí)針走了24小時(shí)就是一周)?！?/p>
12、一根水管，第一次截去全長(zhǎng)的1/4,第二次截去余下的2/3，兩次共截去全長(zhǎng)的(3/4)。
【解析：1/4+(1-1/4)×2/3=3/4】
13、某種皮衣價(jià)格為1650元，打八折出售可盈利10%。那么若以1650元出售，可盈利(450)元。
【解析：本題關(guān)鍵是要先算出進(jìn)價(jià)，原題中的“10%”是針對(duì)進(jìn)價(jià)的。設(shè)皮衣的進(jìn)價(jià)為x元。(1+10%)x=1650*80% 解得：x=1200。以1650元出售，可盈利：1650-1200=450(元)】
14、正方形邊長(zhǎng)增加10%,它的面積增加(21)%。
【解析：{[1×(1+10%)]2-1}÷1=21%】
二、判斷題
1、某商品先提價(jià)5%,后又降階5%，這件商品的現(xiàn)價(jià)與原價(jià)相等。(×)
【解析：錯(cuò)。兩個(gè)5%的單位“1”不一樣。1×(1+5%)×(1-5%)=0.9975 值小于1表示現(xiàn)價(jià)比原價(jià)少，值大于1表示多。】
2、在含鹽20%的鹽水中加入同樣多的鹽和水后，鹽水的含鹽率不變。(×)
【解析：錯(cuò)。用假設(shè)法來(lái)驗(yàn)證：假設(shè)鹽是20克，水是80克，則含鹽就是20%。如果分別同時(shí)加入10克鹽和水，那么這時(shí)含鹽率就是：(20+10)÷(20+10+80+10)×100%=25%，含鹽率變大了。】
3、如果甲數(shù)比乙數(shù)多25%,那么乙數(shù)就比甲數(shù)少25%。(×)
【解析：錯(cuò)。兩個(gè)25%相對(duì)的單位1不同。應(yīng)該是：甲數(shù)比乙數(shù)多25%，乙數(shù)就比甲數(shù)少20%。25%÷(1+25%)=20%】
4、半徑是2厘米的圓，它的周長(zhǎng)和面積相等。(×)
【解析：錯(cuò)。只能說(shuō)在數(shù)值上相等，但是萬(wàn)物都有單位，周長(zhǎng)單位是1維的，面積單位是2維的，怎么可能相等呢?簡(jiǎn)單地說(shuō)，周長(zhǎng)和面積單位不一樣，也不可能互化，所以周長(zhǎng)和面積不可能相等。】
5、直徑相等的兩個(gè)圓，面積不一定相等。(×)
【解析：錯(cuò)，是一定相等。直徑相等就表示半徑也會(huì)相等，而半徑?jīng)Q定了圓的大小，只要圓的半徑相等，它們的大小就會(huì)相等，即面積也一定相等。】
6、比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘或除以同一個(gè)數(shù)，比值大小不變。(×)
【解析：錯(cuò)。0必須除外。0是不能作為除數(shù)的?！?/p>
三、選擇題
1、數(shù)學(xué)小組共有20名學(xué)生，則男、女人數(shù)的比不可能是(A)。
A.5︰1 B.4︰1 C.3︰1 D.1︰1
【解析：A。20的因數(shù)有:1、2、4、5、10、20,而5+1=6,6不是20的因數(shù);所以不可能是5:1。】
2、如圖，陰影部分的面積相當(dāng)于甲圓面積的1/6，相當(dāng)于乙圓面積的1/5，那么乙與甲兩個(gè)圓的面積比是(C)。
A、6︰1 B、5︰1 C、5︰6 D、6︰5
3、一杯牛奶，牛奶與水的比是1︰4，喝掉一半后，牛奶與水的比是(A)。
A、1︰4 B、1︰2 C、1︰8 D、無(wú)法確定
【解析：A。喝掉一半后,濃度不變,牛奶與水的比還是1:4。驗(yàn)證：(1-1×1/2)：(4-4×1/2)=1：4】
4、利息與本金相比(A)
A、利息大于本金 B、利息小于本金 C、利息不一定小于本金
【解析：C。利率表示利息與本金的比率;利息可能小于本金,也可能大于本金;所以利息不一定小于本金?！?/p>
四、解決問(wèn)題
1、A、B兩地相距408km，客車和貨車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，3小時(shí)后相遇，已知客車和貨車的速度比是9:8，客車每時(shí)比貨車每時(shí)快多少千米?
解：設(shè)客車速度為9x，貨車速度為8x，根據(jù)題意列方程：
(9x+8x)×3=408
17x*3=408
x=408/51
x=8
所以客車每小時(shí)比貨車快：9x-8x=x=8(千米)
2、東崗小學(xué)組織學(xué)生收集樹(shù)種，五年級(jí)收集的樹(shù)種占總質(zhì)量的40%，六年級(jí)收集的樹(shù)種占總質(zhì)量的50%，五年級(jí)收集的樹(shù)種比六年級(jí)少20千克。五六年級(jí)一共收集樹(shù)種多少千克?
20÷(50%-40%)=200(千克)
3、一件商品按20%的利潤(rùn)定價(jià)，然后又按8折出售，結(jié)果虧了64元，這件商品的成本是多少元?
解：設(shè)這件商品的成本是 x 元
x64=1.2x × 0.8
x64表示現(xiàn)價(jià)，(1 + 20%)x表示定價(jià)，[(1 + 20%)x] ×80% 表示打8折后的售價(jià)，即現(xiàn)價(jià)?！?/p>
4、將一根384cm的鐵絲焊成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高的比是3:2:1的長(zhǎng)方體模型。這個(gè)模型的長(zhǎng)、寬、高各是多少厘米?表面積是多少平方厘米?
先算出一條長(zhǎng)、一條寬、一條高的和：
384÷4=96cm;
再計(jì)算長(zhǎng)寬高各是多少：
長(zhǎng)：96÷(3+2+1)×3=48cm
寬：96÷(3+2+1)×2=32cm
高：96÷(3+2+1)×1=16cm;
表面積：
(48×36+48×16+36×16)×2=3072(cm2)
5、一塊長(zhǎng)方形土地，周長(zhǎng)是160m，長(zhǎng)和寬的比是5:3，這塊長(zhǎng)方形土地的面積是多少平方米?
長(zhǎng)：160÷2÷(5+3)×5=50m
寬：160÷2÷(5+3)×3=30m
面積：50×30=1500(m2)
6、李明和張華參加賽跑，李明跑到中點(diǎn)時(shí)，張華跑了全程的40%,此時(shí)兩人相距80米，你知道賽程多少米嗎?
分析：把整個(gè)賽程看作單位“1”，那么80米對(duì)應(yīng)的分率是(50%-40%)，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用對(duì)應(yīng)量除以對(duì)應(yīng)的分率即可.解答：
80÷(50%-40%)
=80÷10%
=800(米)
答：這個(gè)賽程長(zhǎng)800米。
點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是找單位“1”，然后用對(duì)應(yīng)量除以對(duì)應(yīng)的分率解決問(wèn)題。
第二篇：2020小升初數(shù)學(xué)易錯(cuò)題集錦
小升初數(shù)學(xué)易錯(cuò)題集（附答案解析）
一．選擇題（共
小題）
1.甲數(shù)比乙數(shù)多
20%，那么甲乙兩數(shù)的比是（）
A．6：5B．5：6
C．1：20
D．無(wú)法確定
2.一種藥水的藥液和水的比是
1：200，現(xiàn)有藥液
克，應(yīng)加水
（）千克．
A．3.75
B．1500
C．3750
D．15
3.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)時(shí)一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的高和底面直徑的比是（）
A．1：2B．1：πC．π：1
4.甲、乙兩車間原有人數(shù)的比為
4：3，甲車間調(diào)
人到乙車間后，甲、乙兩車間的人數(shù)變?yōu)?/p>
2：3，甲車間原有人數(shù)是（）
A．18
人
B．35
人
C．40
人
D．144
人
5.含鹽率是
10%的鹽水中，鹽和水的比是（B）
A．1：11
B．1：10
C．1：9
6.從學(xué)校到電影院，小王要走
分鐘，小紅要走
分鐘．小王與小紅的速度比是（A）
A．5：4B．4：5
C．5：9
D．不能確定
7.某校男老師與女老師人數(shù)的比是
3：5．以下說(shuō)法不正確的是（）
A．男老師是女老師人數(shù)的B.女老師占全校教師人數(shù)的62.5%
C.男老師比女老師人數(shù)少全校教師人數(shù)的40%
D．女教師比男教師人數(shù)多
8.甲數(shù)和乙數(shù)的比是
2：3，乙數(shù)和丙數(shù)的比是
2：5，甲數(shù)和丙數(shù)的比是（）
A．2：5B．3：5
C．4：15
9.把
a：10（a≠0）的后項(xiàng)增加
20，要使比值不變，前項(xiàng)應(yīng)（）
A．增加
B．增加
a
C．?dāng)U大
倍
D．增加
倍
10．3：11的前項(xiàng)加上
6，后項(xiàng)應(yīng)（）比值不變．
A．加上
B．乘
C．加上
11.打一稿件，甲單獨(dú)打需要
小時(shí)，乙單獨(dú)打需要
小時(shí)，甲、乙兩人的工作效率比是（）
A．3：1B．1：2
C．2：1
12.一個(gè)圓柱體，如果把它的高截短
3cm，它的表面積減少
94.2cm2．這個(gè)圓柱體積減少（）cm3．
A．30
B．31.4
C．235.5
D．94.2
13.一個(gè)圓柱的底面半徑和高都擴(kuò)大
倍，體積擴(kuò)大（）倍．
A．3
B．9
C．27
14.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱底面周長(zhǎng)與高的比是（）
A．1：4π
B．1：2
C．1：1
D．2：π
15.把一個(gè)圓柱體的側(cè)面展開(kāi)得到一個(gè)長(zhǎng)
分米，寬為
分米的長(zhǎng)方
形，這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是（）平方分米．
A．12
B．50.24
C．150.72
D．12.56
16.把
米長(zhǎng)的圓柱形木棒鋸成三段，表面積增加了
平方分米，原來(lái)木棒的體積是（）立方分米．
A．6
B．40
C．80
D．60
17.一根圓柱形輸油管，內(nèi)直徑是
2dm，油在管內(nèi)的流速是
4dm/s，則一分鐘流過(guò)的油是（）
A．62.8dm3
B．25.12dm3
C．753.6dm3
D．12.56dm3
18.一個(gè)棱長(zhǎng)
分米的正方體木塊削成一個(gè)最大的圓柱體，削去的體積是（）立方分米．
A．50.24
B．100.48
C．64
D．13.76
19.一根長(zhǎng)
1.5
米圓柱木料，把它截成4
段，表面積增加了
平方厘米，原來(lái)木料的體積是（）立方厘米．
A．450
B．600
C．6
二．填空題（共
小題）
20.男生和女生的人數(shù)比是
4：5，表示男生比女生少．
．（判斷對(duì)錯(cuò)）
21.一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體的體積相等，它們底面的比是
3：4，圓柱體的高是
厘米，圓錐的高是
厘米．
22．=15：
=
÷10=
%
23.菜市場(chǎng)有黃瓜
150
千克，黃瓜重量和西紅柿重量的比是
3：5，黃
瓜重量比西紅柿少
千克．
24.一個(gè)圓柱，底面半徑是
分米，高是直徑的1.5
倍，這個(gè)圓柱的側(cè)面積是
平方分米．
25.兩個(gè)等高的圓柱，底面半徑比為
2：3，它們的體積之和為
立方厘米，它們的體積相差
立方厘米．
26.一個(gè)高
厘米的圓柱體，如果把它的高截短
厘米，它的表面積
減少
94.2
平方厘米．這個(gè)圓柱體積是
立方厘米．
27.一個(gè)圓柱體底面半徑是
分米，圓柱側(cè)面積是
62.8
平方分米，這個(gè)圓柱體的體積是
立方分米．
28.如果
8a=10b，那么
a：b=
：，a
與b
成比例．
三．應(yīng)用題（共
小題）
29.小倩家來(lái)了三位小客人，小倩拿出裝有
1200mL的牛奶倒入下面的杯子中，小倩和客人每人一杯夠嗎？
30.一個(gè)圓柱形的汽油桶底面直徑是
分米，高
分米．現(xiàn)裝滿汽油，如果每升汽油重
0.85
千克，這個(gè)油桶的汽油共多少千克？
31.一段長(zhǎng)
米的圓柱形木頭，如果把它鋸成3
段，表面積增加
平方厘米，原來(lái)木頭的體積是多少立方厘米？
32.如圖，一個(gè)圓柱高
厘米，如果它的高增加
厘米，那么它的表
面積將增加
25.12
平方厘米，原來(lái)圓柱的側(cè)面積是多少平方厘米？
33.一個(gè)圓柱形水杯的容積是
3.6
升，底面積是
1.2
平方分米，裝了杯水，水面離杯口高多少分米？
34.一個(gè)等腰三角形，一個(gè)底角和頂角的度數(shù)比是
5：2，一個(gè)底角和頂角分別是多少度？
35.商店有一些蘋果，其中大蘋果與小蘋果的單價(jià)比是
3：2，質(zhì)量比是
4：7．售完這些蘋果后，共賣得
1560
元，求大蘋果一共賣了多少錢？
四．解答題（共
小題）
36.倉(cāng)庫(kù)有一批貨物，運(yùn)走的貨物與剩下的貨物的重量比為
2：7，如果又運(yùn)走
噸，那么剩下的貨物只有倉(cāng)庫(kù)原有貨物的，倉(cāng)庫(kù)原有貨物多少噸？
37.求未知數(shù)
x．
x﹣x﹣=；
：6=；
=．
38.解方程：
5.6÷70%x=5%；；
3.2×2.5
﹣75%x=2．
39.在一個(gè)底面半徑是
厘米的圓柱形容器中裝滿了水．水中浸沒(méi)一
個(gè)底面半徑是
厘米的圓錐形鐵錐，當(dāng)鐵錐被取出后，容器中水面就
下降了
1.5
厘米，求鐵錐的高．
40.在比例尺是
1：4000000的地圖上，量得甲、乙兩地相距
厘米，兩列火車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出、甲車每小時(shí)行
千米，乙
車每小時(shí)行
千米，幾小時(shí)后相遇？
參考答案與試題解析
一．選擇題（共
小題）
1.甲數(shù)比乙數(shù)多
20%，那么甲乙兩數(shù)的比是（）
A．6：5B．5：6
C．1：20
D．無(wú)法確定
【分析】根據(jù)“甲數(shù)比乙數(shù)多
20%”，知道
20%的單位“1”是乙數(shù)，即甲數(shù)是乙數(shù)的（1+20%），由此即可得出甲數(shù)與乙數(shù)的比，再根據(jù)比的基本性質(zhì)：即比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)數(shù)（0
除外）
比值不變，化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：（1+20%）：1
=1.2：1
=（1.2×10）：（1×10）
=12：10
=（12÷2）：（10÷2）
=6：5；
答：甲乙兩數(shù)的比是
6：5．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵是找準(zhǔn)單位“1”，找出甲、乙數(shù)的對(duì)應(yīng)量，寫出對(duì)應(yīng)的比，化簡(jiǎn)即可．
2.一種藥水的藥液和水的比是
1：200，現(xiàn)有藥液
克，應(yīng)加水
（）千克．
A．3.75
B．1500
C．3750
D．15
【分析】根據(jù)比的意義可知，用
份的藥粉就要加
200
份的水，所以
水的用量是藥粉的200÷1=200
倍．據(jù)此可求出應(yīng)加水的重量．據(jù)此解答．
【解答】解：75×（200÷1）
=75×200
=15000（克）
15000（克）=15（千克）
答：應(yīng)加水
千克．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題的重點(diǎn)是根據(jù)比的意義求出水的量是藥粉的多少倍，再
根據(jù)乘法的意義列式解答．注意本題的單位不相同，最后要把克化成千克．
3.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)時(shí)一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的高和底面直徑的比
是
（）
A．1：2B．1：πC．π：1
【分析】因?yàn)椤皥A柱的側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓
柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高”并結(jié)合題意可得：圓柱的底面周長(zhǎng)等于圓柱的高，設(shè)圓柱的底面直徑是
d，根據(jù)“圓的周長(zhǎng)=π
d”求出圓柱的底面周長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)題意進(jìn)行比即可．
【解答】解：設(shè)圓柱的底面直徑為
d，則：
πd：d
=π：1；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題應(yīng)明確：圓柱的側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)正方形，即圓柱的底面周長(zhǎng)等于圓柱的高，進(jìn)而解答即可．
4.甲、乙兩車間原有人數(shù)的比為
4：3，甲車間調(diào)
人到乙車間后，甲、乙兩車間的人數(shù)變?yōu)?/p>
2：3，甲車間原有人數(shù)是（）
A．18
人
B．35
人
C．40
人
D．144
人
【分析】由題意可知，甲車間原有人數(shù)占兩車間人數(shù)的，調(diào)
人到乙車間后占兩車間人數(shù)的，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用
除以這兩個(gè)分率之差就是兩車間的總?cè)藬?shù)；再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，即可求
出甲兩車間原來(lái)有多少人．
【解答】解：12÷（﹣）×
=12÷（﹣）×
=12÷
×
=70×
=40（人）；
答：甲車間原有人數(shù)是
人．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題是考查比的應(yīng)用，關(guān)鍵是把比轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，再根據(jù)分?jǐn)?shù)
乘、除法的意義即可解答．
5.含鹽率是
10%的鹽水中，鹽和水的比是（）
A．1：11
B．1：10
C．1：9
【分析】含鹽為
10%的鹽水中，鹽占鹽水的10%，則水占鹽水的（1
﹣10%），求鹽和水質(zhì)量的比，用
10%：（1﹣10%），化為最簡(jiǎn)整數(shù)比即可．
【解答】解：10%：（1﹣10%），=10%：90%，=1：9；
答：鹽和水的比是
1：9；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比的意義，應(yīng)明確鹽占鹽水的10%，則水占鹽水的（1﹣10%），進(jìn)而進(jìn)行比即可．
6.從學(xué)校到電影院，小王要走
分鐘，小紅要走
分鐘．小王與小紅的速度比是（）
A．5：4B．4：5
C．5：9
D．不能確定
【分析】把從學(xué)校到電影院的路程看成單位“1”，小王要走
分鐘，小王的速度就是，小紅要走
分鐘，小紅的速度就是，用小王的速度比上小紅的速度，再化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：
：
=
：
=4：5
答：小王與小紅的速度比是
4：5．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】解決本題先把路程看成單位“1”，分別表示出兩人的速度，再作比化簡(jiǎn)即可求解．
7.某校男老師與女老師人數(shù)的比是
3：5．以下說(shuō)法不正確的是（）
A．男老師是女老師人數(shù)的B.女老師占全校教師人數(shù)的62.5%
C.男老師比女老師人數(shù)少全校教師人數(shù)的40%
D．女教師比男教師人數(shù)多
【分析】根據(jù)男老師與女老師人數(shù)的比是
3：5，男教師的人數(shù)用
表示，女教師的人數(shù)用
表示，那么全校人數(shù)可以表示為：3+5=8，由此即可解答判斷．
【解答】解：A、男老師與女老師人數(shù)的：3÷5=，B、女老師占全校人數(shù)的：5÷8×100%=62.5，C、男老師比女老師少全校人數(shù)的：（5﹣3）÷8×100%=25%，D、女老師比男老師人數(shù)多：（5﹣3）÷3=
．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比在實(shí)際問(wèn)題中的靈活應(yīng)用，注意找準(zhǔn)單位“1”．
8.甲數(shù)和乙數(shù)的比是
2：3，乙數(shù)和丙數(shù)的比是
2：5，甲數(shù)和丙數(shù)的比是（）
A．2：5B．3：5
C．4：15
【分析】因?yàn)?/p>
和
4的最小公倍數(shù)是
12，所以根據(jù)比的基本性質(zhì)得出2：3=4：6，2：5=6：15，由此得出甲和丙的比．
【解答】解：因?yàn)?/p>
2：3=4：6，2：5=6：15，所以甲數(shù)和丙數(shù)的比是
4：15
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要是利用比的基本性質(zhì)解答．
9.把
a：10（a≠0）的后項(xiàng)增加
20，要使比值不變，前項(xiàng)應(yīng)（）
A．增加
B．增加
a
C．?dāng)U大
倍
D．增加
倍
【分析】根據(jù)
a：10的后項(xiàng)增加
20，可知比的后項(xiàng)由
變成30，相當(dāng)于后項(xiàng)乘
3；根據(jù)比的性質(zhì)，要使比值不變，前項(xiàng)也應(yīng)該乘
3，由
a
變成3a，也可以認(rèn)為是前項(xiàng)加上
2a；據(jù)此進(jìn)行選擇．
【解答】解：根據(jù)
a：10的后項(xiàng)增加
20，可知比的后項(xiàng)由
變成30，相當(dāng)于后項(xiàng)乘
3；
根據(jù)比的性質(zhì)，要使比值不變，前項(xiàng)也應(yīng)該乘
3，由
a
變成3a，也可以認(rèn)為是前項(xiàng)加上
2a．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查比的性質(zhì)的運(yùn)用，比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0
除外），比值才不變．
10．3：11的前項(xiàng)加上
6，后項(xiàng)應(yīng)（）比值不變．
A．加上
B．乘
C．加上
【分析】根據(jù)
3：11的前項(xiàng)加上
6，可知比的前項(xiàng)由
變成9，相當(dāng)于前項(xiàng)乘
3；根據(jù)比的性質(zhì)，要使比值不變，后項(xiàng)也應(yīng)該乘
3，由
變成33，也可以認(rèn)為是后項(xiàng)加上
22；據(jù)此進(jìn)行選擇．
【解答】解：3：11
比的前項(xiàng)加上
6，由
變成6，相當(dāng)于前項(xiàng)乘
3；
要使比值不變，后項(xiàng)也應(yīng)該乘
3，由
變成33，相當(dāng)于后項(xiàng)加上：
33﹣11=22；
所以后項(xiàng)應(yīng)該乘
或加上
22；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查比的性質(zhì)的運(yùn)用，比的前項(xiàng)和后項(xiàng)只有同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0
除外），比值才不變．
11.打一稿件，甲單獨(dú)打需要
小時(shí)，乙單獨(dú)打需要
小時(shí)，甲、乙兩人的工作效率比是（）
A．3：1B．1：2
C．2：1
【分析】把工作總量看作單位“1”，根據(jù)“工作總量÷工作時(shí)間=工作效率”分別求出甲和乙的工作效率，進(jìn)而根據(jù)題意，進(jìn)行比即可．
【解答】解：（1÷8）：（1÷4）
=
：
=（×8）：（×8）
=1：2，答：甲、乙兩人的工作效率比是
1：2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題用到的知識(shí)點(diǎn)：（1）比的意義；（2）工作總量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系．
12.一個(gè)圓柱體，如果把它的高截短
3cm，它的表面積減少
94.2cm2．這個(gè)圓柱體積減少（）cm3．
A．30
B．31.4
C．235.5
D．94.2
【分析】根據(jù)題意知道
94.2
平方厘米就是截去部分的側(cè)面積，由此根據(jù)側(cè)面積公式
S=Ch=2πrh，知道
r=S÷2π÷h，由此再根據(jù)圓柱的體積計(jì)算方法，用減少的側(cè)面積×半徑÷2
就是這個(gè)圓柱體積減少的體積．
【解答】解：半徑：94.2÷（2×3.14）÷3
=94.2÷6.28÷3
=15÷3
=5（厘米）
體積：94.2×5÷2
=471÷2
=235.5（立方厘米）
答：這個(gè)圓柱體積減少
235.5
立方厘米．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是知道
94.2
平方厘米就是截去部分的側(cè)面積，由此再根據(jù)相應(yīng)的公式解決問(wèn)題．
13.一個(gè)圓柱的底面半徑和高都擴(kuò)大
倍，體積擴(kuò)大（）倍．
A．3
B．9
C．27
【分析】根據(jù)圓柱的體積公式：v=πr2h，再根據(jù)因數(shù)與積的變化規(guī)律，積擴(kuò)大的倍數(shù)等于因數(shù)擴(kuò)大倍數(shù)的乘積，據(jù)此解答．
【解答】解：圓柱的底面半徑擴(kuò)大
倍，底面積就擴(kuò)大
倍，圓柱的高也擴(kuò)大
倍，所以圓柱的體積擴(kuò)大
9×3=27
倍．
答：圓柱的體積擴(kuò)大
倍．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的目的是理解掌握?qǐng)A柱的體積公式，以及因數(shù)與積的變化規(guī)律．
14.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱底面周長(zhǎng)與高的比
是
（）
A．1：4π
B．1：2
C．1：1
D．2：π
【分析】由圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖的特點(diǎn)可知：圓柱的側(cè)面沿高展開(kāi)后，是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高，再由“一
個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)正方形”可知，圓柱的高與底面周長(zhǎng)相等，從而可以求出它們的比．
【解答】解：由題意可知：圓柱的高與底面周長(zhǎng)相等，則圓柱的底面周長(zhǎng)：高=1：1；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的主要依據(jù)是：圓柱的側(cè)面沿高展開(kāi)后，是一個(gè)長(zhǎng)
方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高．
15.把一個(gè)圓柱體的側(cè)面展開(kāi)得到一個(gè)長(zhǎng)
分米，寬為
分米的長(zhǎng)方形，這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是（）平方分米．
A．12
B．50.24
C．150.72
D．12.56
【分析】根據(jù)圓柱體的側(cè)面展開(kāi)后，得到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)，寬是圓柱的高，再依據(jù)圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高，解答即可．
【解答】解：4×3=12（分米）
答：這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是
平方分米．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】解答本題時(shí)，依據(jù)側(cè)面積公式代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可解答，關(guān)
鍵是理解長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)，寬是圓柱的高．
16.把
米長(zhǎng)的圓柱形木棒鋸成三段，表面積增加了
平方分米，原來(lái)木棒的體積是（）立方分米．
A．6
B．40
C．80
D．60
【分析】根據(jù)題意可知：把這根圓木鋸成三段，表面積增加了
平方
分米，表面積增加的是
個(gè)截面（底面）的面積，由此可以求出底面積，再根據(jù)圓柱的體積公式：v=sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可．
【解答】解：2
米=20
分米，12÷4×20
=3×20
=60（立方分米），答：原來(lái)木棒的體積是
立方分米．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查圓柱體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式，重點(diǎn)是求出圓柱的底面積．
17.一根圓柱形輸油管，內(nèi)直徑是
2dm，油在管內(nèi)的流速是
4dm/s，則一分鐘流過(guò)的油是（）
A．62.8dm3
B．25.12dm3
C．753.6dm3
D．12.56dm3
【分析】根據(jù)圓柱的體積公式：v=sh，油在管內(nèi)的流速相當(dāng)于圓柱的高，1
分=60
秒，把數(shù)據(jù)代入公式求出一秒流過(guò)油的體積再乘
60，據(jù)此解答即可．
【解答】解：3.14×（2÷2）2×4×60
=3.14×1×4×60
=12.56×60
=753.6（立方分米），答：一分鐘流過(guò)的油是
753.6
立方分米．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查圓柱的體積公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是
熟記公式，注意：時(shí)間單位相鄰單位之間的進(jìn)率及換算．
18.一個(gè)棱長(zhǎng)
分米的正方體木塊削成一個(gè)最大的圓柱體，削去的體積是（）立方分米．
A．50.24
B．100.48
C．64
D．13.76
【分析】把一個(gè)棱長(zhǎng)
分米的正方體木塊削成一個(gè)最大的圓柱體，這個(gè)最大圓柱的底面直徑和高都等于正方體的棱長(zhǎng)，根據(jù)正方體的體積
公式：v=a3，圓柱的體積公式：v=sh，把數(shù)據(jù)分別代入公式求出它們的體積差即可．
【解答】解：4×4×4﹣3.14×（4÷2）2×4
=16×4﹣3.14×4×4
=64﹣50.24
=13.76（立方分米）
答：削求的體積是
13.76
立方分米．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正方體的體積公式、圓柱的體積公式的靈活運(yùn)
用，關(guān)鍵是熟記公式．
19.一根長(zhǎng)
1.5
米圓柱木料，把它截成4
段，表面積增加了
平方厘米，原來(lái)木料的體積是（）立方厘米．
A．450
B．600
C．6
【分析】把這根圓木截成4
段，需要截
次，每截一次增加兩個(gè)截面，因此表面積增加的24
平方厘米是
個(gè)截面的面積，由此可以求出圓柱的底面積，再根據(jù)圓柱的體積公式：v=sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答．
【解答】解：1.5
米=150
厘米，24÷6×150
=4×150
=600（立方厘米），答：原來(lái)木料的體積是
600
立方厘米．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查圓柱體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是求出圓柱的底面積．
二．填空題（共
小題）
20.男生和女生的人數(shù)比是
4：5，表示男生比女生少．
√
．（判斷對(duì)錯(cuò)）
【分析】“男生和女生的人數(shù)比是
4：5”，可把男生的人數(shù)看作
份數(shù)，女生的人數(shù)看作
份數(shù)，先求出男生比女生少的份數(shù)，進(jìn)而除以單位“1”的量女生的人數(shù)，就是男生比女生少的幾分之幾，再判斷得解．
【解答】解：男生的人數(shù)看作
份數(shù)，女生的人數(shù)看作
份數(shù)，那么
（5﹣4）÷5=1
．
答：男生比女生少
．
故答案為：√．
【點(diǎn)評(píng)】解決此題關(guān)鍵是把比看作份數(shù)，進(jìn)而根據(jù)求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)
數(shù)多或少幾分之幾的方法解答．
21.一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體的體積相等，它們底面的比是
3：4，圓柱體的高是
厘米，圓錐的高是
厘米．
【分析】根據(jù)圓柱的體積公式：V=Sh，圓錐的體積公式：V=
Sh，設(shè)
圓柱的底面積為
3，圓錐的底面積為
4，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可．
【解答】解：設(shè)圓柱的底面積為
3，圓錐的底面積為
4，圓柱的體積：3×8=24（立方厘米），24÷
÷4
=24×3÷4
=18（厘米），答：圓錐的高是
厘米．
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記
公式．
22．=15：
=
÷10=
%
【分析】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)比與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，=3：5，再根據(jù)比的基本性質(zhì)，比的前、后項(xiàng)都乘
就是
15：25；根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，=3÷5，再根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)、除數(shù)都乘
就是
÷10；把
0.6的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，添上百分號(hào)就是
60%．
【解答】解：
=15：25=6÷10=60%
故答案為：25，6，60．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查除式、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比之間的關(guān)系
及轉(zhuǎn)化，利用它們之間的關(guān)系和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．
23.菜市場(chǎng)有黃瓜
150
千克，黃瓜重量和西紅柿重量的比是
3：5，黃瓜重量比西紅柿少
千克．
【分析】由黃瓜重量和西紅柿重量的比是
3：5，可知黃瓜
份，西紅柿
份，知道黃瓜的重量，求出一份，求得西紅柿的重量，再減去黃瓜的重量解決問(wèn)題．
【解答】解：150÷3×5﹣150；
=250﹣150
=100（千克）
答：黃瓜重量比西紅柿少
千克．
故答案為：100．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵先求得一份，進(jìn)一步根據(jù)問(wèn)題靈活選擇合適的方法解決問(wèn)題．
24.一個(gè)圓柱，底面半徑是
分米，高是直徑的1.5
倍，這個(gè)圓柱的側(cè)面積是
169.56
平方分米．
【分析】先根據(jù)：d=2r
求出直徑，然后根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，用乘法求出高，進(jìn)而根據(jù)圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可．
【解答】解：2×3.14×3×（3×2×1.5）
=18.84×9
=169.56（平方分米）
答：這個(gè)圓柱的側(cè)面積是
169.56
平方分米．
故答案為：169.56．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查圓柱的側(cè)面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公
式．
25.兩個(gè)等高的圓柱，底面半徑比為
2：3，它們的體積之和為
立方厘米，它們的體積相差
立方厘米．
【分析】圓柱的體積=底面積×高，若兩個(gè)圓柱的高相等，則其底面積的比就等于體積之比，又因圓的面積比等于其半徑的平方比，因而可
以求出兩個(gè)圓柱的體積之比，進(jìn)而就能求出兩個(gè)圓柱的體積，也就能
求出它們的體積之差．
【解答】解：據(jù)分析可知：兩個(gè)圓柱的體積之比為
22：32=4：9，則兩個(gè)圓柱的體積分別為：
65×=20（立方厘米），65﹣20=45（立方厘米），45﹣20=25（立方厘米）；
答：它們的體積差是
立方厘米．
故答案為：25．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題關(guān)鍵是明白：若兩個(gè)圓柱的高相等，則其底面積的比就等于體積之比，圓的面積比等于其半徑的平方比，從而問(wèn)題得解．
26.一個(gè)高
厘米的圓柱體，如果把它的高截短
厘米，它的表面積減少
94.2
平方厘米．這個(gè)圓柱體積是
785
立方厘米．
【分析】由題意知，截去的部分是一個(gè)高為
厘米的圓柱體，并且表
面積減少了
94.2
平方厘米，其實(shí)減少的面積就是截去部分的側(cè)面積，由此可求出圓柱體的底面周長(zhǎng)，進(jìn)一步可求出底面半徑，再利用
V=sh
求出體積即可．
【解答】解：94.2÷3=31.4（厘米）；
31.4÷3.14÷2=5（厘米）；
3.14×52×10，=3.14×250，=785（立方厘米）；
答：這個(gè)圓柱體積是
785
立方厘米．
故答案為：785．
【點(diǎn)評(píng)】此題是復(fù)雜的圓柱體積的計(jì)算，要明白：沿高截去一段后，表面積減少的部分就是截去部分的側(cè)面積．
27.一個(gè)圓柱體底面半徑是
分米，圓柱側(cè)面積是
62.8
平方分米，這個(gè)圓柱體的體積是
62.8
立方分米．
【分析】本題知道了圓柱側(cè)面積是
62.8
平方分米，可利用“圓柱側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高”求出高是多少分米，再利用圓柱的體積公式求出體
積即可．
【解答】解：62.8÷2÷3.14÷2
=10÷2
=5（分米）
3.14×22×5
=3.14×4×5
=62.8（立方分米）
答：這個(gè)圓柱體的體積是
62.8
立方分米．
故答案為：62.8．
【點(diǎn)評(píng)】此題是考查圓柱的體積計(jì)算，可利用圓柱的體積公式列式解
答．
28.如果
8a=10b，那么
a：b=
：
4，a
與b
成正
比例．
【分析】（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把
8a=10b
改寫成比例的形式，使
a
和
做比例的外項(xiàng)，b
和
做比例的內(nèi)項(xiàng)即可；
（2）先求出a：b的比值，再根據(jù)a
和
b
對(duì)應(yīng)的比值一定，符合正比例的意義，判斷
a
和
b
成正比例關(guān)系．
【解答】解：（1）因?yàn)?/p>
8a=10b，使
a
和
做比例的外項(xiàng)，b
和
做比例的內(nèi)項(xiàng)，所以
a：b=10：8=5：4；
（2）因?yàn)?/p>
a：b=5：4=，是
a
和
b
對(duì)應(yīng)的比值一定，符合正比例的意義，所以
a
和b
成正比例．
故答案為：5，4，正．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是比例基本性質(zhì)的逆運(yùn)用，要注意：相乘的兩個(gè)數(shù)要做外項(xiàng)就都做外項(xiàng)，要做內(nèi)項(xiàng)就都做內(nèi)項(xiàng)；也考查了判斷兩
個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成什么比例，三．應(yīng)用題（共
小題）
29.小倩家來(lái)了三位小客人，小倩拿出裝有
1200mL的牛奶倒入下面的杯子中，小倩和客人每人一杯夠嗎？
【分析】根據(jù)題意，可利用圓柱的體積公式計(jì)算出每個(gè)杯子的容積，然后再乘
計(jì)算出
杯的容積，最后再和
1200ml
進(jìn)行比較即可．
【解答】解：4
杯的容積：
3.14×（6÷2）2×10×4
=3.14×9×10×4
=1130.4（立方厘米）
1130.4
立方厘米=1130.4
毫升
1130.4＜1200
答：小倩和客人每人一杯夠．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是圓柱體體積公式的應(yīng)用．
30.一個(gè)圓柱形的汽油桶底面直徑是
分米，高
分米．現(xiàn)裝滿汽油，如果每升汽油重
0.85
千克，這個(gè)油桶的汽油共多少千克？
【分析】首先根據(jù)圓柱的體積公式：v=sh，把數(shù)據(jù)代入公式求出油桶內(nèi)汽油的體積，然后用汽油的體積乘每升油的質(zhì)量即可．
【解答】解：1
升=1
立方分米，3.14×（8÷2）2×5×0.85
=3.14×16×5×0.85
=50.24×5×0.85
=251.2×0.85
=213.52（千克），答：這個(gè)油桶的汽油共
213.52
千克．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查圓柱的體積公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是
熟記公式．注意：容積單位與體積單位之間的換算．
31.一段長(zhǎng)
米的圓柱形木頭，如果把它鋸成3
段，表面積增加
平方厘米，原來(lái)木頭的體積是多少立方厘米？
【分析】截成相等的3
段后，表面積就增加了
個(gè)長(zhǎng)方體的底面的面
積，根據(jù)題干中增加的表面積
平方厘米，先求出長(zhǎng)方體的底面積，再利用長(zhǎng)方體的體積公式即可解決問(wèn)題．
【解答】解：4
米=400
厘米20÷4×400
=5×400
=2000（立方厘米）
答：這塊木料原來(lái)的體積是
2000
立方厘米．
【點(diǎn)評(píng)】抓住長(zhǎng)方體的切割特點(diǎn)，根據(jù)增加的表面積求出長(zhǎng)方體的底
面積，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．
32.如圖，一個(gè)圓柱高
厘米，如果它的高增加
厘米，那么它的表
面積將增加
25.12
平方厘米，原來(lái)圓柱的側(cè)面積是多少平方厘米？
【分析】根據(jù)題干，增加的25.12
平方厘米就是這個(gè)圓柱上高為
厘米的側(cè)面積，據(jù)此利用側(cè)面積÷高即可求出這個(gè)圓柱的底面周長(zhǎng)，然后再運(yùn)用圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高計(jì)算即可解答問(wèn)題．
【解答】解：圓柱的底面圓的周長(zhǎng)：25.12÷2=12.56（厘米）
原來(lái)圓柱的側(cè)面積：12.56×8=100.48（平方厘米）
答：原來(lái)圓柱的側(cè)面積是
100.48
平方厘米．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題關(guān)鍵是根據(jù)增加的表面積求出這個(gè)圓柱的底面周長(zhǎng)，再利用圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可解答問(wèn)題．
33.一個(gè)圓柱形水杯的容積是
3.6
升，底面積是
1.2
平方分米，裝了
杯水，水面離杯口高多少分米？
【分析】已知容積是
3.6
升，底面積是
1.2
平方分米，由圓柱體積公式，那么圓柱的高為
3.6÷1.2=3（分米），因?yàn)檠b了
杯水，則水面高為圓柱高的（1﹣），據(jù)此即可解答．
【解答】解：3.6÷1.2×（1﹣）
=3×
=0.75（分米）
答：水面離杯口高
0.75
分米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓柱的實(shí)際應(yīng)用，掌握?qǐng)A柱體體積公式，是解
答此題的關(guān)鍵．
34.一個(gè)等腰三角形，一個(gè)底角和頂角的度數(shù)比是
5：2，一個(gè)底角和頂角分別是多少度？
【分析】因?yàn)榈妊切蝺蓚€(gè)底角相等，所以這個(gè)等腰三角形三個(gè)角
度數(shù)的比為
2：5：5，又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角度數(shù)和是
180
度，根據(jù)按比例分配的方法，分別求出三個(gè)角的度數(shù)即可．
【解答】解：這個(gè)等腰三角形三個(gè)角度數(shù)的比為
2：5：5，2+5+5=12（份），180×=30（度），180×=75（度），答：底角為
度，頂角
度．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查按比例分配應(yīng)用題的特點(diǎn)：已知兩個(gè)數(shù)的比（三個(gè)數(shù)的比），兩個(gè)數(shù)的和（三個(gè)數(shù)的和），求這兩個(gè)數(shù)（三個(gè)數(shù)），用按比例分配解答．
35.商店有一些蘋果，其中大蘋果與小蘋果的單價(jià)比是
3：2，質(zhì)量比是
4：7．售完這些蘋果后，共賣得
1560
元，求大蘋果一共賣了多少錢？
【分析】根據(jù)“大蘋果與小蘋果的單價(jià)比是
3：2，質(zhì)量比是
4：7．”可得大蘋果與小蘋果的總價(jià)比是（3×4）：（2×7）=6：7，然后把
1560元按
6：7
分配，即大蘋果占總價(jià)的，然后用乘法解答即可．
【解答】解：大蘋果與小蘋果的總價(jià)比是：（3×4）：（2×7）=6：7，1560×
=1560×
=720（元）
答：大蘋果一共賣了
720
元錢．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了按比例分配應(yīng)用題，有一定的難度，關(guān)鍵是根據(jù)
“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”求出大蘋果與小蘋果的總價(jià)比．
四．解答題（共
小題）
36.倉(cāng)庫(kù)有一批貨物，運(yùn)走的貨物與剩下的貨物的重量比為
2：7，如果又運(yùn)走
噸，那么剩下的貨物只有倉(cāng)庫(kù)原有貨物的，倉(cāng)庫(kù)原有貨
物多少噸？
【分析】把倉(cāng)庫(kù)原有貨物看作單位“1”，運(yùn)走的貨物與剩下的貨物的重量比為
2：7，也就是運(yùn)剩余貨物占總重量的=，又運(yùn)走
噸，剩下的貨物只有倉(cāng)庫(kù)原有貨物的，先求出第二次剩余貨物重量比運(yùn)走第一次后剩余貨物占的分率，也就是
噸占貨物重量的分率，依據(jù)分?jǐn)?shù)除法意義即可解答．
【解答】解：2+7=9
64÷（﹣）
=64
=288（噸）
答：倉(cāng)庫(kù)原有貨物
288
噸．
【點(diǎn)評(píng)】分?jǐn)?shù)除法意義是解答本題的依據(jù)，關(guān)鍵是求出
噸占貨物重量的分率．
37.求未知數(shù)
x．
x﹣x﹣=；
：6=；
=．
【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再等式的基本性質(zhì)方程的兩邊同時(shí)加上，再方程兩邊同時(shí)除以
來(lái)解；
（2）
根據(jù)比例的基本性質(zhì)“兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積”，把原式轉(zhuǎn)化為
6x﹣6=×5，再根據(jù)等式的基本性質(zhì)，方程的兩邊同時(shí)加上
6，再方程的兩邊同時(shí)除以
來(lái)解；
（3）
根據(jù)比例的基本性質(zhì)“兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積”，把原式轉(zhuǎn)化為
1.2x=7.5×0.4，再根據(jù)等式的基本性質(zhì)，方程的兩邊同時(shí)除以
1.2
來(lái)解．
【解答】解：（1）x﹣x﹣=
x=2.5；
（2）
：6=
6x﹣6=
×5
6x﹣6+6=6+6
6x÷6=12÷6
x=2；
（3）
=
1.2x=7.5×0.4
1.2x÷1.2=7.5×0.4÷1.2
x=2.5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用等式的基本性質(zhì)解方程，即“方程的兩邊同時(shí)加上或減去相同的數(shù)，同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0
除外），等式仍
然成立”；以及比例的基本性質(zhì)“兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積”．
38.解方程：
5.6÷70%x=5%；；
3.2×2.5
﹣75%x=2．
【分析】①依據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)乘
0.7x，再同時(shí)除以
0.035
求解；
②解比例，根據(jù)比例的性質(zhì)先把比例式轉(zhuǎn)化成兩外項(xiàng)積等于兩內(nèi)項(xiàng)積的形式，就是已學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)易方程，再化簡(jiǎn)方程得
4x=120，依據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以
求解；
③先計(jì)算左邊，依據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)加
0.75x，再同時(shí)減去2，再同時(shí)除以
0.75
求解．
【解答】解：①5.6÷70%x=5%
5.6÷0.7x=0.05
5.6÷0.7x×0.7x=0.05×0.7x
0.035x=5.6
0.035x÷0.035=5.6÷0.035
x=160
②x：
=0.3x+12
x=
×（0.3x+12）
7x=10×（0.3x+12）
7x=3x+120
7x﹣3x=3x+120﹣3x
4x=120
4x÷4=120÷4
x=30
③3.2×2.5﹣75%x=2
8﹣0.75x=2
8﹣0.75x+0.75x=2+0.75x
2+0.75x﹣2=8﹣2
0.75x÷0.75=6÷0.75
x=8
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程，即等式兩邊同加上或同減去、同乘上或同除以一個(gè)數(shù)（0
除外），兩邊仍相等，同時(shí)注意“=”上下要對(duì)齊．
39.在一個(gè)底面半徑是
厘米的圓柱形容器中裝滿了水．水中浸沒(méi)一
個(gè)底面半徑是
厘米的圓錐形鐵錐，當(dāng)鐵錐被取出后，容器中水面就
下降了
1.5
厘米，求鐵錐的高．
【分析】水面下降
1.5
厘米的體積，就是這個(gè)圓錐的體積，由此利用圓
柱的體積公式先求出高度
1.5
厘米的水的體積，即圓錐的體積，再利用圓錐的高=體積×3÷底面積，代入數(shù)據(jù)即可解答
【解答】解：下降
1.5
厘米的水的體積即圓錐的體積為：
3.14×62×1.5
=3.14×36×1.5
=169.56（立方厘米）
所
以
圓
錐的高
為
：
169.56×3÷（3.14×22）
=508.68÷12.56
=40.5（厘米）
答：鐵錐的高是
40.5
厘米．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓柱與圓錐的體積公式的靈活應(yīng)用，這里根據(jù)下
降的水的體積求得圓錐鉛錘的體積是本題的關(guān)鍵．
40.在比例尺是
1：4000000的地圖上，量得甲、乙兩地相距
厘米，兩列火車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出、甲車每小時(shí)行
千米，乙
車每小時(shí)行
千米，幾小時(shí)后相遇？
【分析】這道題是已知比例尺、圖上距離，求實(shí)際距離，根據(jù)圖上距
離÷比例尺=實(shí)際距離列式求得實(shí)際距離，再根據(jù)“路程÷速度之和=
相遇時(shí)間”，即可解答．
【解答】解：20÷，=20×4000000，=80000000（厘米）；
80000000
厘米=800
千米；
800÷（55+45），=800÷100，=8（小時(shí)）；
答：8
小時(shí)相遇．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查比例尺、圖上距離、實(shí)際距離三者之間的數(shù)量
關(guān)系：比例尺=圖上距離÷實(shí)際距離，靈活變形列式解決問(wèn)題．
第三篇：中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題集錦及答案
初中數(shù)學(xué)選擇、填空、簡(jiǎn)答題
易錯(cuò)題集錦及答案
一、選擇題
1、A、B是數(shù)軸上原點(diǎn)兩旁的點(diǎn)，則它們表示的兩個(gè)有理數(shù)是（C）
A、互為相反數(shù)
B、絕對(duì)值相等
C、是符號(hào)不同的數(shù)
D、都是負(fù)數(shù)
2、有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|a-b|-|a+b|的結(jié)果是（A）
A、2a
B、2b
C、2a-2b
D、2a+b3、輪船順流航行時(shí)m千米/小時(shí)，逆流航行時(shí)(m-6)千米/小時(shí)，則水流速度（B）
A、2千米/小時(shí)
B、3千米/小時(shí)
C、6千米/小時(shí)
D、不能確定
4、方程2x+3y=20的正整數(shù)解有（B）
A、1個(gè)
B、3個(gè)
C、4個(gè)
D、無(wú)數(shù)個(gè)
5、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（C）
A、兩點(diǎn)確定一條直線
B、線段是直線的一部分
C、一條直線是一個(gè)平角
D、把線段向兩邊延長(zhǎng)即是直線
6、函數(shù)y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的圖象與x軸的交點(diǎn)情況是
（C)
A、當(dāng)m≠3時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)
B、時(shí)，有兩個(gè)交
C、當(dāng)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)
D、不論m為何值，均無(wú)交點(diǎn)
7、如果兩圓的半徑分別為R和r（R>r），圓心距為d，且(d-r)2=R2，則兩圓的位置關(guān)系是（B）
A、內(nèi)切
B、外切
C、內(nèi)切或外切
D、不能確定
8、在數(shù)軸上表示有理數(shù)a、b、c的小點(diǎn)分別是A、B、C且b A B C D9、有理數(shù)中，絕對(duì)值最小的數(shù)是（C） A、-1 B、1 C、0 D、不存在10、的倒數(shù)的相反數(shù)是（A） A、-2 B、2 C、- D、11、若|x|=x，則-x一定是（B） A、正數(shù) B、非負(fù)數(shù) C、負(fù)數(shù) D、非正數(shù) 12、兩個(gè)有理數(shù)的和除以這兩個(gè)有理數(shù)的積，其商為0，則這兩個(gè)有理數(shù)為（C） A、互為相反數(shù) B、互為倒數(shù) C、互為相反數(shù)且不為0 D、有一個(gè)為013、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為x，寬為2，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為（C） A、2x B、2(x-2) C、x-4 D、2·(x-2)/214、“比x的相反數(shù)大3的數(shù)”可表示為（C） A、-x-3 B、-(x+3) C、3-x D、x+315、如果0 A、a2比a大 B、a2比a小 C、a2與a相等 D、a2與a的大小不能確定 16、數(shù)軸上，A點(diǎn)表示-1，現(xiàn)在A開(kāi)始移動(dòng)，先向左移動(dòng)3個(gè)單位，再向右移動(dòng)9個(gè)單位，又向左移動(dòng)5個(gè)單位，這時(shí)，A點(diǎn)表示的數(shù)是（B） A、-1 B、0 C、1 D、817、線段AB=4cm，延長(zhǎng)AB到C，使BC=AB再延長(zhǎng)BA到D，使AD=AB，則線段CD的長(zhǎng)為（A） A、12cm B、10cm C、8cm D、4cm18、的相反數(shù)是（B） A、B、C、D、19、方程x(x-1)(x-2)=x的根是（D） A、x1=1,x2=2 B、x1=0,x2=1,x3=2 C、x1=,x2= D、x1=0，x2=,x3= 20、解方程時(shí)，若設(shè)，則原方程可化為（B） A、3y2+5y-4=0 B、3y2+5y-10=0 C、3y2+5y-2=0 D、3y2+5y+2=021、方程x2+1=2|x|有（B） A、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；B、兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；C、三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；D、沒(méi)有實(shí)數(shù)根 22、一次函數(shù)y=2(x-4)在y軸上的截距為（C） A、-4 B、4 C、-8 D、823、解關(guān)于x的不等式，正確的結(jié)論是（C） A、無(wú)解 B、解為全體實(shí)數(shù) C、當(dāng)a>0時(shí)無(wú)解 D、當(dāng)a<0時(shí)無(wú)解 24、反比例函數(shù)，當(dāng)x≤3時(shí)，y的取值范圍是（C） A、y≤ B、y≥ C、y≥或y<0 D、0 A、0.2 B、±0.2 C、D、± 26、李明騎車上學(xué)，一開(kāi)始以某一速度行駛，途中車子發(fā)生故障，只好停車修理，車修好后，因怕耽誤時(shí)間，于時(shí)就加快了車速，在下列給出的四個(gè)函數(shù)示意圖象，符合以上情況的是（D） A B C D27、若一數(shù)組x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)為，方差為s2，則另一數(shù)組kx1,kx2,kx3,…,kxn的平均數(shù)與方差分別是（A） A、k,k2s2 B、,s2 C、k,ks2 D、k2,ks228、若關(guān)于x的方程有解，則a的取值范圍是（B） A、a≠1 B、a≠-1 C、a≠2 D、a≠±129、下列圖形中既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（A） A、線段 B、正三角形 C、平行四邊形 D、等腰梯形 30、已知，下列各式中不成立的是（C） A、B、C、D、ad=bc31、一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不相等，則它的最小角不大于（D） A、300 B、450 C、550 D、60032、已知三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)到它的三邊距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)是（C） A、三角形的外心 B、三角形的重心 C、三角形的內(nèi)心 D、三角形的垂心 33、下列三角形中是直角三角形的個(gè)數(shù)有（B） ①三邊長(zhǎng)分別為:1:2的三角形 ②三邊長(zhǎng)之比為1:2:3的三角形 ③三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為3:4:5的三角形 ④一邊上的中線等于該邊一半的三角形 A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè) 34、如圖，設(shè)AB=1，S△OAB=cm2，則弧AB長(zhǎng)為（A） A、cm B、cm C、cm D、cm35、平行四邊形的一邊長(zhǎng)為5cm，則它的兩條對(duì)角線長(zhǎng)可以是（D） A、4cm,6cm B、4cm,3cm C、2cm,12cm D、4cm,8cm36、如圖，△ABC與△BDE都是正三角形，且AB A、AE=CD B、AE>CD C、AE>CD D、無(wú)法確定 37、順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，則原四邊形必是（A） A、矩形 B、梯形 C、兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形 D、兩條對(duì)角線相等的四邊形 38、在圓O中，弧AB=2CD，那么弦AB和弦CD的關(guān)系是（C） A、AB=2CD B、AB>2CD C、AB<2CD D、AB與CD不可能相等 39、在等邊三角形ABC外有一點(diǎn)D，滿足AD=AC，則∠BDC的度數(shù)為（D） A、300 B、600 C、1500 D、300或150040、△ABC的三邊a、b、c滿足a≤b≤c，△ABC的周長(zhǎng)為18，則（C） A、a≤6 B、b<6 C、c>6 D、a、b、c中有一個(gè)等于641、如圖，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=1，BC=2，則下列說(shuō)法正確的是（C） A、∠B=300 B、斜邊上的中線長(zhǎng)為1 C、斜邊上的高線長(zhǎng)為 D、該三角形外接圓的半徑為142、如圖，把直角三角形紙片沿過(guò)頂點(diǎn)B的直線BE（BE交CA于E）折疊，直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上，如果折疊后得到等腰三角形EBA，那么下列結(jié)論中（1）∠A=300 （2）點(diǎn)C與AB的中點(diǎn)重合（3）點(diǎn)E到AB的距離等于CE的長(zhǎng)，正確的個(gè)數(shù)是（D） A、0 B、1 C、2 D、343、不等式的解是（C） A、x> B、x>- C、x< D、x<- 44、已知一元二次方程(m-1)x2-4mx+4m-2=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（B） A、m≤1 B、m≥且m≠1 C、m≥1 D、-1 A B C D46、在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上，到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)有（B） A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、無(wú)數(shù)個(gè) 47、若點(diǎn)（-2，y1）、（-1，y2）、（1，y3）在反比例函數(shù)的圖像上，則下列結(jié)論中正確的是（D） A、y1>y2>y3 B、y1 C、y2>y1>y3 D、y3>y1>y248、下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（B） A、B、C、D、49、下列計(jì)算哪個(gè)是正確的（D） A、B、C、D、50、把（a不限定為正數(shù)）化簡(jiǎn)，結(jié)果為（B） A、B、C、- D、- 51、若a+|a|=0，則等于（A） A、2-2a B、2a-2 C、-2 D、252、已知，則的值（C） A、1 B、± C、D、- 53、設(shè)a、b是方程x2-12x+9=0的兩個(gè)根，則等于（C） A、18 B、C、D、± 54、下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（B） ①等邊三角形都相似 ②直角三角形都相似 ③等腰三角形都相似④銳角三角形都相似 ⑤等腰三角形都全等 ⑥有一個(gè)角相等的等腰三角形相似⑦有一個(gè)鈍角相等的兩個(gè)等腰三角形相似 ⑧全等三角形相似 A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè) 二、填空題 1、如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定是_____非正數(shù)____。 2、a是有理數(shù)，且a的平方等于a的立方，則a是__0或1_。 3、已知有理數(shù)a、b滿足(a+2)2+|2b-6|=0，則a-b=___-5___。 4、已知a-b=1,b+c=2,則2a+2c+1=___7____。 5、當(dāng)x___≥3____時(shí)，|3-x|=x-3。 6、從3點(diǎn)到3點(diǎn)30分，分針轉(zhuǎn)了__180____度，時(shí)針轉(zhuǎn)了___15____度。 7、某種商品的標(biāo)價(jià)為120元，若以標(biāo)價(jià)的90%出售，仍相對(duì)進(jìn)價(jià)獲利20%，則該商品的進(jìn)價(jià)為_(kāi)_90___元。 8、為使某項(xiàng)工程提前20天完成，需將原來(lái)的工作效率提高25%，則原計(jì)劃完成的天數(shù)__100___天。 9、因式分解：-4x2+y2=，x2-x-6= 10、計(jì)算：a6÷a2=______，(-2)-4=______，-22=__-4____ 11、如果某商品降價(jià)x%后的售價(jià)為a元，那么該商品的原價(jià)為 12、已知A、B、C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)B表示1，點(diǎn)C表示-3，AB=2，則AC的長(zhǎng)度是____2或6_____。 13、甲乙兩人合作一項(xiàng)工作a時(shí)完成，已知這項(xiàng)工作甲獨(dú)做需要b時(shí)完成，則乙獨(dú)做完成這項(xiàng)工作所需時(shí)間為 14、已知(-3)2=a2，則a=_______。 15、P點(diǎn)表示有理數(shù)2，那么在數(shù)軸上到P點(diǎn)的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù)是_5或1_。 16、a、b為實(shí)數(shù)，且滿足ab+a+b-1=0，a2b+ab2+6=0，則a2-b2=________。 17、已知一次函數(shù)y=(m2-4)x+1-m的圖象在y軸上的截距與一次函數(shù)y=(m2-2)x+m2-3的圖象在y軸上的截距互為相反數(shù)，則m=___-1____。 18、關(guān)于x的方程(m2-1)x2+2(m+1)x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是____。 19、關(guān)于x的方程(m-2)x2-2x+1=0有解，那么m的取值范圍是____________。 20、已知方程x2+(4-2m)x+m2-5=0的兩根之積是兩根之和的2倍，則m=____1或3___。 21、函數(shù)y=x2+(m+2)x+m+5與x軸的正半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是___。 22、若拋物線y=x2+x-1與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_ 23、關(guān)于x的方程x2+(t-2)x+5-t=0的兩個(gè)根都大于2，則t的取值范圍是_______ 24、函數(shù)y=(2m2-5m-3)x的圖象是雙曲線，則m=_______0________。 25、已知方程組的兩個(gè)解為和，且x1,x2是兩個(gè)不等的正數(shù)，則a的取值范圍是_____。 26、半徑為5cm的圓O中，弦AB//弦CD，又AB=6cm，CD=8cm，則AB和CD兩弦的距離為_(kāi)_1或7__ 27、已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，過(guò)點(diǎn)C引直徑AB的垂線，垂足是D，點(diǎn)D分這條直徑成2：3的兩部分，若圓O的半徑為5cm，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)__。 28、兩圓相交于A、B，半徑分別為2cm和cm，公共弦長(zhǎng)為2cm，則=___1050____。 29、在圓O的平面上取一點(diǎn)P作圓O的割線，交圓O于A、B，已知PA=2，PB=3，PO=4，則圓O的半徑為_(kāi)____。 30、內(nèi)切兩圓的半徑分別是9cm和R，它們的圓心距是4cm，那么R=__13或5_cm。 31、相切兩圓的半徑分別為10cm和8cm，則圓心距為_(kāi)_18或2_cm。 32、過(guò)圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，C為圓周上除切點(diǎn)A、B外的任意點(diǎn)，若。 33、圓O的割線PAB，交圓O于A、B，PA=4，PB=7，PO=8，則圓O的半徑是___6___。 34、已知兩圓半徑分別為x2-5x+3=0的兩個(gè)根，圓心距為3，則兩圓位置關(guān)系為_(kāi)___內(nèi)含_____。 35、已知點(diǎn)O到直線l上一點(diǎn)P的距離為3cm，圓O的半徑為3cm，則直線l與圓的位置關(guān)系是____相切___。 36、ABC中，AC=4，BC=3，一正方形內(nèi)接于ABC中，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__1__。 37、雙曲線上一點(diǎn)P，分別過(guò)P作x軸，y軸的垂線，垂足為A、B，矩形OAPB的面積為2，則k=____。 38、圓的弦長(zhǎng)等于它的半徑，那么這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是___300___。 39、在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離等于5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)共有_____2_____個(gè)。 40、比-2.1大而比1小的整數(shù)共有___3___個(gè)。 41、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：1-2+3-4+5-6+…+119-120=___-60__。 42、若<-1，則a取值范圍是__-1< a <__0___.43、小于2的整數(shù)有_無(wú)數(shù)___個(gè)。 44、已知關(guān)于x的一元二次方程4x-a=2x+5的解是x=1，則a=____-3______。 45、一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)余角的3倍，則這個(gè)角的大小是____450______。 46、一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的3倍還多2cm，如果設(shè)寬為xcm，那么長(zhǎng)方形長(zhǎng)是___3X+2___cm，如果設(shè)長(zhǎng)為xcm，那么長(zhǎng)方形的寬是______cm。 47、如果|a|=2，那么3a-5=__-11或1___。 48、冰箱售價(jià)2000元/臺(tái)，國(guó)慶節(jié)開(kāi)始季節(jié)性降低20%，則售價(jià)為_(kāi)_1600____元/臺(tái)。到來(lái)年五一節(jié)又季節(jié)性漲價(jià)20%，則售價(jià)為_(kāi)__2400___元/臺(tái)。 49、__不是__分?jǐn)?shù)（填“是”或“不是”） 50、的算術(shù)平方根是_2_____。 51、當(dāng)m=__0____時(shí)，有意義。 52、若|x+2|=-2，則x=_。 53、化簡(jiǎn)=_____。 54、化簡(jiǎn)=______。 55、使等式成立的條件是_____ 56、用計(jì)算器計(jì)算程序?yàn)?/p> – 2·4÷3 =的結(jié)果為_(kāi)___-0.8___。 57、計(jì)算=__________。 58、若方程kx2-x+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)，則k的取值范圍__ 59、分式的值為零，則x=___-3____。 60、已知函數(shù)y=是反比例函數(shù)，則m=__-1___。 61、若方程x2-4x+m=0與方程x2-x-2m=0有一個(gè)根相同，那么m的值等于___3_或0___。 62、已知不等式(a+b)x+(2a-3b)<0的解為x>3，則不等式(a-3b)x+(b-2a)>0的解是__。 63、正比例函數(shù)y=kx的自變量增加3，函數(shù)值就相應(yīng)減少1，則k的值為_(kāi)____。 64、直線y=kx+b過(guò)點(diǎn)P（3，2），且它交x軸，y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，若OA+OB=12，則此直線的解析式是_____。 65、已知直角三角形的兩邊分別為3cm和4cm，則該三角形的第三邊長(zhǎng)為_(kāi)__5或_______。 66、已知正三角形一邊上的高線長(zhǎng)為1，則正三角形外接圓的半徑為_(kāi)_________。 67、已知等腰三角形的一外角等于1000，則該三角形的頂角等于____800或200____。 68、等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)為3和7，則該三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)___17______。 69、已知點(diǎn)A到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為5，且A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)相反，則A點(diǎn)坐標(biāo)是___。 70、矩形面積為，其對(duì)角線與一邊的夾角為300，則從此矩形中能截出最大正方形的面積為_(kāi)_16________。 71、已知梯形上、下底長(zhǎng)分別為6，8，一腰長(zhǎng)為7，則另一腰a的范圍是__；若這腰為奇數(shù)，則此梯形為_(kāi)等腰_梯形。 72、在坐標(biāo)為5cm的圓中，弦AB的長(zhǎng)等于5cm，那么弦AB所對(duì)的圓周角為_(kāi)_300或1500__。 73、已知圓O的直徑AB為2cm，過(guò)點(diǎn)A有兩條弦AC=cm，AD=cm，那么∠CAD=__150或750__。 74、已知圓O的半徑為5cm，AB、CD是圓O的兩條弦，若AB=6cm，CD=8cm，則AB、CD兩條弦之間的距離為_(kāi)_1或7__。 75、圓錐的底面周長(zhǎng)為10cm，側(cè)面積不超過(guò)20cm2，那么圓錐面積S(cm2)和它的母線l(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_，其中l(wèi)的取值范圍是__。 76、如果圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的軸截面的頂角是__60___度。 77、如圖，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，∠A=300，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，則CE:AC=___1：4__。 78、為了搞活經(jīng)濟(jì)，商場(chǎng)將一種商品按標(biāo)價(jià)9折出售，仍可獲取利潤(rùn)10%。 79、若商品的標(biāo)價(jià)為330元，那么該商品的進(jìn)貨價(jià)為_(kāi)__270元____。 79、分解因式4x4-9=____。 80、化簡(jiǎn)=___。 81、若a2=2，則a=__；若，則a=____。 82、已知a、b是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a2+b2=4，則k=_0____。 83、以和為根的一元二次方程是___。 84、方程有增根，則k的值為_(kāi)_-1___。 85、函數(shù)y=-2x2的圖像可由函數(shù)y=-2x2+4x+3的圖像經(jīng)怎樣平移得到？向左移1個(gè)單位，向下移5個(gè)單位 86、二次函數(shù)y=x2-x+1與坐標(biāo)軸有__1___個(gè)交點(diǎn)。 87、二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2和1，且通過(guò)點(diǎn) （2，4），則其函數(shù)解析式為_(kāi)____。 88、6與4的比例中項(xiàng)為_(kāi)_________。 89、若，則k=_______。 90、把一個(gè)圖形按1:6的比例縮小，那么縮小后的圖形與原圖形的面積比為_(kāi)__1：36_____。 91、如圖，△ABC中，AD為BC上的中線，F(xiàn)為AC上的點(diǎn)，BF交AD于E，且AF:FC=3:5，則AE:ED=___6：5_______。 92、兩圓半徑分別是5cm,3cm，如果兩圓相交，且公共弦長(zhǎng)為6cm，那么兩圓的圓心距為 _7或1__cm。 93、已知cot14032’=3.858，2‘修正值為0.009，則cot14030’=_3.867__。 94、已知平行四邊形一內(nèi)角為600，與之相鄰的兩邊為2cm和3cm，則其面積為_(kāi)__cm2。 95、Rt△ABC中，∠C=Rt∠，BC=6，AC=8，則以C為圓心，為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系是_相切__。 96、已知圓內(nèi)兩弦AB、CD交于點(diǎn)P，且PA=2，AB=7，PD=3，則CD=_______。 97、如圖，圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條割線PAB和PCD，若PA=2，AB=3，PD=4，則PC=__。 98、已知圓O1與圓O2內(nèi)切，O1O2=5cm，圓O1的半徑為7cm，則圓O2的半徑為_(kāi)_2或12____。 99、已知半徑為2cm的兩個(gè)圓外切，則和這兩個(gè)圓相切，且半徑為4cm的圓有__5___個(gè)。 100、已知圓O1與圓O2相切，半徑分別為3cm,5cm，這兩個(gè)圓的圓心距為_(kāi)8或2__cm。 101、圓O的半徑為5cm，則長(zhǎng)為8cm的弦的中點(diǎn)的軌跡是以_O為圓心，3為半徑的一個(gè)圓。 102、矩形木板長(zhǎng)10cm，寬8cm，現(xiàn)把長(zhǎng)、寬各鋸去xcm，則鋸后木板的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)___。 103、如圖，已知D、E和F、G分別在△ABC的AB、AC上，DF//EG//BC，AD:DE:EB=1:2:3，則S梯形DEGF:S梯形EBCG=_8：27___。 104、如果拋物線y=x2-(k-1)x-k-1與x軸交于A、B，與y軸交于C，那么△ABC面積的最小值是__0____。 105、關(guān)于x的方程x2+(m-5)x+1-m=0，當(dāng)m滿足時(shí)，一個(gè)根小于0，另一個(gè)根大于3。 106、如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果 AB上的點(diǎn)P使△PAD∽△PBC，那么這樣的點(diǎn)有__3____個(gè)。 107、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，CD⊥AB于D，AB=16，CD=6，則AC-BC=__8___。 108、△ABC中，AC=6，AB=8，D為AC上一點(diǎn)，AD=2，在AB上取一點(diǎn)E，使△ADE∽△ABC相似，則AE=_______。 109、圓O中，內(nèi)接正三角形，正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比為_(kāi)_________。 110、△ABC內(nèi)接于圓O，OD⊥BC于D，∠BOD=380，則∠A=_380___。 111、若2x2-ax+a+4=0有且只有一個(gè)正根，則=_______。 112、已知拋物線y=2x2-6x+m的圖像不在x軸下方，則m的取值范圍是________。 113、已知兩圓外切，大圓半徑為5，兩圓外公切線互相垂直，則外公切線長(zhǎng)為_(kāi)_。 114、a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，已知a2-4ac+3c2=0，b2-4bc+3c2=0，則△ABC是直角三角形。 三、解答題 1、若方程4x2-2(m+1)x+m=0的兩根是ABC兩銳角A、B的正弦值，求m的值。 解得： （舍） 2、解方程： 3、解方程組 4、解方程(x2-2x+2)(x2-2x-7)+8=05、一艘船以25千米/時(shí)的速度向正北方向航行，在A處看燈塔S在船的北偏東300，2小時(shí)后航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東450，求燈塔S到B處的距離。 6、如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=300，AB=5cm，AD=3cm，E為CD上的一個(gè)點(diǎn)，且BE=2cm，求點(diǎn)A到直線BE的距離。 7、如圖，直線AT切圓O于點(diǎn)A，過(guò)A引AT的垂線，交圓O于B，BT交圓O于C，連結(jié)AC，求證：AC2=BC·CT。 8、如圖，在△ABC中，E是內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于D，求證：DE=DB=DC。 高考數(shù)學(xué)高頻易錯(cuò)題舉例解析 高中數(shù)學(xué)中有許多題目，求解的思路不難，但解題時(shí)，對(duì)某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略。也就是在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，沒(méi)有注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文通過(guò)幾個(gè)例子，剖析致錯(cuò)原因，希望能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。加強(qiáng)思維的嚴(yán)密性訓(xùn)練。 ● 忽視等價(jià)性變形，導(dǎo)致錯(cuò)誤。 ?，但 與 不等價(jià)。 【例1】已知f(x) = ax +，若求的范圍。 錯(cuò)誤解法 由條件得 ②×2－① ①×2－②得 +得 錯(cuò)誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的。當(dāng)取最大（小）值時(shí)，不一定取最大（?。┲担蚨麄€(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。 正確解法 由題意有,解得： 把和的范圍代入得 在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問(wèn)題。 ●忽視隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。 【例2】 (1) 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值是 思路分析 本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得： 有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。 原方程有兩個(gè)實(shí)根，∴ T 當(dāng)時(shí)，的最小值是8； 當(dāng)時(shí)，的最小值是18。 這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。 (2) 已知(x+2)2+ =1,求x2+y2的取值范圍。 錯(cuò)解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，∴當(dāng)x=－時(shí)，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范圍是(－∞,]。 分析 沒(méi)有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。 事實(shí)上，由于(x+2)2+ =1 T (x+2)2=1－ ≤1 T －3≤x≤－1，從而當(dāng)x=－1時(shí)x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范圍是[1,]。 注意有界性：偶次方x2≥0，三角函數(shù)－1≤sinx≤1，指數(shù)函數(shù)ax>0，圓錐曲線有界性等。 ●忽視不等式中等號(hào)成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。 【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。 錯(cuò)解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。 事實(shí)上，原式= a2+b2+++4=（a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4 = (1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)，∴(a +)2 + (b +)2的最小值是。 ●不進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致錯(cuò)誤 【例4】(1)已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求 錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 顯然，當(dāng)時(shí)。 錯(cuò)誤原因：沒(méi)有注意公式成立的條件是。 因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：。 (2)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。 錯(cuò)誤解法 將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 ① 因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得，解之得 錯(cuò)誤分析 （如圖2－2－1；2－2－2）顯然，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。 x y O 圖2－2－2 x y O 圖2－2－1 要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。 當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得 因此，當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。 思考題：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線，(1) 有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；(4)沒(méi)有公共點(diǎn)。 ●以偏概全，導(dǎo)致錯(cuò)誤 以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問(wèn)題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。 【例5】(1)設(shè)等比數(shù)列的全項(xiàng)和為.若，求數(shù)列的公比.錯(cuò)誤解法。 錯(cuò)誤分析 在錯(cuò)解中，由，時(shí)，應(yīng)有。 在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。 正確解法 若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意 T T,即因?yàn)?，所以所以解?/p> 說(shuō)明 此題為1996年全國(guó)高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。 (2)求過(guò)點(diǎn)的直線，使它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)。 錯(cuò)誤解法 設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為，消去得整理得 直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線為 錯(cuò)誤分析 此處解法共有三處錯(cuò)誤： 第一，設(shè)所求直線為時(shí)，沒(méi)有考慮與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。 第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒(méi)有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。 第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即而上述解法沒(méi)作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。 正確解法 ①當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線相切。 ②當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。 ③一般地，設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線為,則，令解得k =,∴ 所求直線為 綜上，滿足條件的直線為： 《章節(jié)易錯(cuò)訓(xùn)練題》 1、已知集合M = {直線}，N = {圓}，則M∩N中元素個(gè)數(shù)是 A(集合元素的確定性) (A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或22、已知A =，若A∩R* = F，則實(shí)數(shù)t集合T = ___。(空集) 3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是C(等號(hào)) (A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －1 (D) －1 （A） （B） （C） （D） 5、若不等式x2－logax<0在(0,)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A(等號(hào)) (A) [,1) (B) (1,+ ￥) (C) (,1) (D) (,1)∪(1,2) 6、若不等式(－1)na +對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A(等號(hào)) (A) [－2，) (B) (－2，) (C) [－3，) (D) (－3，) 7、已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足：；當(dāng)時(shí)，；對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、都有。證明：為奇函數(shù)。(特殊與一般關(guān)系) 8、已知函數(shù)f(x) =，則函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是_____。遞減區(qū)間(－￥，－1)和(－1，+￥) （單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間） 9、函數(shù)y =的單調(diào)遞增區(qū)間是________。[－，－1）（定義域） 10、已知函數(shù)f (x)=，f (x)的反函數(shù)f －1(x)=。 （漏反函數(shù)定義域即原函數(shù)值域） 11、函數(shù) f (x) = log (x + a x + 2) 值域?yàn)?/p> R，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是D(正確使用△≥0和△<0) (A) (－2,2) (B) [－2,2] (C) (－￥,－2)∪(2,+￥) (D) (－￥,－2]∪[2,+￥) 12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值為B(隱含條件) （A）2 （B） （C） （D）013、函數(shù)y=的值域是________。(－∞,)∪(,1)∪(1,+∞) （定義域） 14、函數(shù)y = sin x (1 + tan x tan)的最小正周期是 C （定義域） (A) (B) p (C) 2p (D) 315、已知 f (x) 是周期為 2的奇函數(shù)，當(dāng) x ? [0,1) 時(shí)，f (x) = x，則 f (log 23) = D(對(duì)數(shù)運(yùn)算) (A) (B) (C) － (D) － 16、已知函數(shù)在處取得極值。 （1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值； （2）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程。(2004天津) （求極值或最值推理判斷不充分(建議列表)；求過(guò)點(diǎn)切線方程，不判斷點(diǎn)是否在曲線上。） 17、已知tan (a－)= － 則tan a = ；= 。、（化齊次式） 18、若 sin 2a + sin 2b －2 sin a = 0，則cos 2a + cos 2b的最小值是 __ 。(隱含條件) 19、已知sinq + cosq =，q ? (0，p)，則cotq = _______。－(隱含條件) 20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分別表示它的三條邊和三條邊所對(duì)的角，若a =2、、，則∠B = B(隱含條件) （A） （B） （C） （D） 21、已知a>0,b>0,a+b=1，則(a +)2 + (b +)2的最小值是_______。(三相等) 22、已知x ≠ kp (k ? Z)，函數(shù)y = sin2x +的最小值是______。5（三相等） 23、求的最小值。 錯(cuò)解1 錯(cuò)解2 錯(cuò)誤分析 在解法1中，的充要條件是 即這是自相矛盾的。 在解法2中，的充要條件是 這是不可能的。 正確解法1 其中，當(dāng) 正 確 解 法2 取正常數(shù)，易得 其中“”取“＝”的充要條件是 因此，當(dāng) 24、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，則an = ________。2n－1(認(rèn)清項(xiàng)數(shù)) 25、已知 －9、a1、a2、－1 四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，－9、b1、b2、b3、－1 五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則 b2 (a2－a1) = A(符號(hào)) (A) －8 (B) (C) － (D) 26、已知 {an} 是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，判斷Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列嗎？ 當(dāng)q = －1，k為偶數(shù)時(shí)，Sk = 0，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比數(shù)列； 當(dāng)q≠－1或q = －1且k為奇數(shù)時(shí)，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列。 （忽視公比q = －1） 27、已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，f(an)－f(an－1) = k(an－an－1)(n = 2,3,┄)，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)。（1）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)時(shí)，求。(2004天津) （等比數(shù)列中的0和1，正確分類討論） 28、不等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立的實(shí)數(shù)m的取值集合是________。{3}(隱含條件) 29、i是虛數(shù)單位，的虛部為（）C(概念不清) (A) －1 (B) －i (C) －3 (D) －3 i30、實(shí)數(shù)，使方程至少有一個(gè)實(shí)根。 錯(cuò)誤解法 方程至少有一個(gè)實(shí)根，T 或 錯(cuò)誤分析 實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。 正確解法 設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，則 由于都是實(shí)數(shù)，,解得 31、和a = (3,－4)平行的單位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的單位向量是_________。 (，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解) 32、將函數(shù)y= 4x－8的圖象L按向量a平移到L/，L/的函數(shù)表達(dá)式為y= 4x，則向量a=______。 a = (h，4h+8) (其中h ? R)(漏解) 33、已知 ||＝1，||＝，若//，求·。 ①若，共向，則 ·＝||?||＝，②若，異向，則·＝－||?||＝－。(漏解) 34、在正三棱錐A－BCD中，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，若BC = a，則正三棱錐A－BCD的體積為_(kāi)___________。a3 (隱含條件) 35、在直二面角 a－AB－b的棱 AB 上取一點(diǎn) P，過(guò) P 分別在a、b 兩個(gè)平面內(nèi)作與棱成45°的斜線 PC、PD，那么∠CPD的大小為D(漏解) (A) 45° (B) 60° (C) 120° (D) 60° 或 120° 36、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。 （1）證明PA//平面EDB； （2）證明PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津) (條件不充分(漏PA ? 平面EDB，平面PDC，DE∩EF = E等)；運(yùn)算錯(cuò)誤，銳角鈍角不分。) 37、若方程 + y = 1表示橢圓，則m的范圍是_______。(0，1)∪(1，+ ￥)(漏解) 38、已知橢圓 + y = 1的離心率為，則 m的值為 ____ 。4 或 (漏解) 39、橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn) B 與兩焦點(diǎn) F1、F2 組成的三角形的周長(zhǎng)為 + 2且∠F1BF2 =，則橢圓的方程是 。+ y = 1或x + = 1(漏解) 40、橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程； （3）設(shè)（），過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明。(2004天津) (設(shè)方程時(shí)漏條件a>，誤認(rèn)短軸是b = 2；要分析直線PQ斜率是否存在(有時(shí)也可以設(shè)為x = ky + b)先；對(duì)一元二次方程要先看二次項(xiàng)系數(shù)為0否，再考慮△>0，后韋達(dá)定理。) 41、求與軸相切于右側(cè)，并與⊙也相切的圓的圓心的軌跡方程。 錯(cuò)誤解法 如圖3－2－1所示，已知⊙C的方程為 設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且⊙P與軸相切于M點(diǎn)，與⊙C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得，即，化簡(jiǎn)得 錯(cuò)誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒(méi)有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是y2 = 12x(x>0)和。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問(wèn)題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。 O · 圖3－2－242、（如圖3－2－2），具有公共軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面和所成的二面角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。 錯(cuò)誤解法 依題意，可知曲線是拋物線，在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 因?yàn)槎娼堑扔?，且所?/p> 設(shè)焦點(diǎn)在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，從而 所以所以點(diǎn)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線，開(kāi)口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是 錯(cuò)誤分析 上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為F是射影(曲線)的焦點(diǎn)，其次，沒(méi)有證明默認(rèn)C/在a 內(nèi)的射影(曲線)是一條拋物線。 O · 圖3－2－3 M N H 正確解法 在內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn) （如圖3－2－3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設(shè)，則 因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以 即所求射影的方程為 數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。 二、選擇題： 1．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（） A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D向左平移 錯(cuò)誤分析:審題不仔細(xì),把目標(biāo)函數(shù)搞錯(cuò)是此題最容易犯的錯(cuò)誤.答案: B 2．函數(shù)的最小正周期為 （） A B C D 錯(cuò)誤分析:將函數(shù)解析式化為后得到周期,而忽視了定義域的限制,導(dǎo)致出錯(cuò).答案: B 3．曲線y=2sin(x+cos(x-)和直線y=在y軸右側(cè)的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依次記為P1、P2、P3……，則|P2P4|等于 （） A．p B．2p C．3p D．4p 正確答案：A 錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)該解析式不能變形，化簡(jiǎn)為Asin(x+)的形式，從而借助函數(shù)圖象和函數(shù)的周期性求出|P2P|。 4．下列四個(gè)函數(shù)y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以點(diǎn)(,0)為中心對(duì)稱的三角函數(shù)有（）個(gè) A．1 B．2 C．3 D．4 正確答案：D 錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性和平移變換未能熟練掌握。 5．函數(shù)y=Asin(wx+j)(w>0,A10)的圖象與函數(shù)y=Acos(wx+j)(w>0,A10)的圖象在區(qū)間(x0,x0+)上（） A．至少有兩個(gè)交點(diǎn) B．至多有兩個(gè)交點(diǎn) C．至多有一個(gè)交點(diǎn) D．至少有一個(gè)交點(diǎn) 正確答案：C 錯(cuò)因：學(xué)生不能采用取特殊值和數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解題。 6．在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，則DC的大小應(yīng)為（） A． B． C．或 D．或 正確答案：A 錯(cuò)因：學(xué)生求DC有兩解后不代入檢驗(yàn)。 7．已知tana tanb是方程x2+3x+4=0的兩根，若a，b?(-)，則a+b=（） A． B．或- C．-或 D．- 正確答案：D 錯(cuò)因：學(xué)生不能準(zhǔn)確限制角的范圍。 8．若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)的取值為（） A.1 B.區(qū)間（0，1） C.D.不能確定 解一：設(shè)點(diǎn)，則此點(diǎn)滿足 解得或 即 選A 解二：用賦值法，令 同樣有 選A 說(shuō)明：此題極易認(rèn)為答案A最不可能，怎么能會(huì)與無(wú)關(guān)呢？其實(shí)這是我們忽略了一個(gè)隱含條件，導(dǎo)致了錯(cuò)選為C或D。 9．在中，則的大小為（） A.B.C.D.解：由平方相加得 若 則 又 選A 說(shuō)明：此題極易錯(cuò)選為，條件比較隱蔽，不易發(fā)現(xiàn)。這里提示我們要注意對(duì)題目條件的挖掘。 10．中,、、C對(duì)應(yīng)邊分別為、、.若，,且此三角形有兩解,則的取值范圍為 （） A.B.C.D.正確答案：A 錯(cuò)因：不知利用數(shù)形結(jié)合尋找突破口。 11．已知函數(shù) y=sin(x+)與直線y＝的交點(diǎn)中距離最近的兩點(diǎn)距離為，那么此函數(shù)的周期是（） A B C D 正確答案：B 錯(cuò)因：不會(huì)利用范圍快速解題。 12．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是………………………… （） A.B.C.D.正確答案：C 錯(cuò)因：不注意內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性。 13．已知且，這下列各式中成立的是（） A.B.C.D.正確答案(D) 錯(cuò)因:難以抓住三角函數(shù)的單調(diào)性。 14．函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是（） 正確答案A 錯(cuò)因：沒(méi)能觀察表達(dá)式的整體構(gòu)造，盲目化簡(jiǎn)導(dǎo)致表達(dá)式變繁而無(wú)法繼續(xù)化簡(jiǎn)。 15．ω是正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，那么（） A． B． C． D． 正確答案A 錯(cuò)因：大部分學(xué)生無(wú)法從正面解決，即使解對(duì)也是利用的特殊值法。 16．在(0，2π)內(nèi)，使cosx＞sinx＞tanx的成立的x的取值范圍是 （） A、() B、() C、（） D、() 正確答案：C 17．設(shè)，若在上關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則為 A、或 B、C、D、不確定 正確答案：A 18．△ABC中，已知cosA=，sinB=，則cosC的值為（） A、B、C、或 D、答案：A 點(diǎn)評(píng)：易誤選C。忽略對(duì)題中隱含條件的挖掘。 19．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為（） A、B、C、或 D、或 答案：A 點(diǎn)評(píng)：易誤選C，忽略A+B的范圍。 20．設(shè)cos1000=k，則tan800是（） A、B、C、D、答案：B 點(diǎn)評(píng)：誤選C，忽略三角函數(shù)符號(hào)的選擇。 21．已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（），則角的最小值為（）。 A、B、C、D、正解：D，而 所以，角的終邊在第四象限，所以選D，誤解：,選B 22．將函數(shù)的圖像向右移個(gè)單位后，再作關(guān)于軸的對(duì)稱變換得到的函數(shù)的圖像，則可以是（）。 A、B、C、D、正解：B,作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換得,然后向左平移個(gè)單位得函數(shù) 可得 誤解：未想到逆推，或在某一步驟時(shí)未逆推，最終導(dǎo)致錯(cuò)解。 23．A，B，C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則ABC是（） A、鈍角三角形 B、銳角三角形 C、等腰三角形 D、等邊三角形 正解：A 由韋達(dá)定理得： 在中，是鈍角，是鈍角三角形。 24．曲線為參數(shù)）上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（）。 A、B、C、1 D、正解：D。 由于所表示的曲線是圓，又由其對(duì)稱性，可考慮的情況，即 則∴ 誤解：計(jì)算錯(cuò)誤所致。 25．在銳角⊿ABC中，若，則的取值范圍為（） A、B、C、D、錯(cuò)解: B.錯(cuò)因:只注意到而未注意也必須為正.正解: A.26．已知，（），則 （C） A、B、C、D、錯(cuò)解：A 錯(cuò)因：忽略，而不解出 正解：C 27．先將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱變換，則所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為 （） A．y=sin(－2x+) B． y=sin(－2x－) C．y=sin(－2x+) D． y=sin(－2x－) 錯(cuò)解：B 錯(cuò)因：將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，寫成了 正解：D 28．如果，那么的取值范圍是（） A．，B．，C．，D．，錯(cuò)解: D． 錯(cuò)因:只注意到定義域,而忽視解集中包含.正解: B． 29．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（） A、（） B、C、D、答案：D 錯(cuò)解：B 錯(cuò)因：沒(méi)有考慮根號(hào)里的表達(dá)式非負(fù)。 30．已知的取值范圍是（） A、B、C、D、答案：A設(shè)，可得sin2x sin2y=2t,由。 錯(cuò)解：B、C 錯(cuò)因：將由 選B，相減時(shí)選C，沒(méi)有考慮上述兩種情況均須滿足。 31．在銳角ABC中，若C=2B，則的范圍是（） A、（0，2） B、C、D、答案：C 錯(cuò)解：B 錯(cuò)因：沒(méi)有精確角B的范圍 32．函數(shù) （） A、3 B、5 C、7 D、9 正確答案：B 錯(cuò)誤原因：在畫圖時(shí)，0＜＜時(shí)，＞意識(shí)性較差。 33．在△ABC中，則∠C的大小為 （） A、30° B、150° C、30°或150° D、60°或150° 正確答案：A 錯(cuò)誤原因：易選C，無(wú)討論意識(shí)，事實(shí)上如果C=150°則A=30°∴，∴＜＜6和題設(shè)矛盾 34．（） A、B、C、D、正確答案：C 錯(cuò)誤原因：利用周期函數(shù)的定義求周期，這往往是容易忽視的，本題直接檢驗(yàn)得 35．（） A、B、C、D、正確答案：B 錯(cuò)誤原因：忽視三角函數(shù)定義域?qū)χ芷诘挠绊憽?/p> 36．已知奇函數(shù)等調(diào)減函數(shù)，又α，β為銳角三角形內(nèi)角，則（） A、f(cosα)＞ f(cosβ) B、f(sinα)＞ f(sinβ) C、f(sinα)＜f(cosβ) D、f(sinα)＞ f(cosβ) 正確答案：（C） 錯(cuò)誤原因：綜合運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的能力不強(qiáng)。 37．設(shè)那么ω的取值范圍為（） A、B、C、D、正確答案：(B) 錯(cuò)誤原因：對(duì)三角函數(shù)的周期和單調(diào)性之間的關(guān)系搞不清楚。 二填空題： 1．已知方程（a為大于1的常數(shù)）的兩根為，且、，則的值是_________________.錯(cuò)誤分析：忽略了隱含限制是方程的兩個(gè)負(fù)根，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正確解法：，是方程的兩個(gè)負(fù)根 又 即 由===可得 答案: .2．已知,則的取值范圍是_______________.錯(cuò)誤分析:由得代入中,化為關(guān)于的二次函數(shù)在上的范圍,而忽視了的隱含限制,導(dǎo)致錯(cuò)誤.答案: .略解: 由得 將（1）代入得=.3．若,且,則_______________.錯(cuò)誤分析:直接由,及求的值代入求得兩解,忽略隱含限制出錯(cuò).答案: .4．函數(shù)的最大值為3，最小值為2，則______，_______。 解：若 則 若 則 說(shuō)明：此題容易誤認(rèn)為，而漏掉一種情況。這里提醒我們考慮問(wèn)題要周全。 5．若Sin cos，則α角的終邊在第_____象限。 正確答案：四 錯(cuò)誤原因：注意角的范圍，從而限制α的范圍。 6．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為_(kāi)________.正確答案： 錯(cuò)因：看不出是兩角和的正切公式的變形。 7．函數(shù)的值域是 ． 正確答案： 8．若函數(shù)的最大值是1，最小值是，則函數(shù)的最大值是 ．正確答案：5 9．定義運(yùn)算為:例如，,則函數(shù)f(x)=的值域?yàn)?/p> ．正確答案： 10．若，α是第二象限角，則=__________ 答案：5 點(diǎn)評(píng)：易忽略的范圍，由得=5或。 11．設(shè)ω>0，函數(shù)f(x)=2sinωx在上為增函數(shù)，那么ω的取值范圍是_____ 答案：0<ω≤ 點(diǎn)評(píng)： 12．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos(A－B)=，則cosC=__________ 答案： 點(diǎn)評(píng)：未能有效地運(yùn)用條件構(gòu)造三角形運(yùn)用方程思想實(shí)施轉(zhuǎn)化。 13．在中，已知，b，c是角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊，則①若，則在R上是增函數(shù)；②若，則ABC是；③的最小值為；④若，則A=B；⑤若，則，其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是_____。 正解：錯(cuò)誤命題③⑤。 ① ②。 ③ 顯然。 ④ (舍)。 ⑤ 錯(cuò)誤命題是③⑤。 誤解：③④⑤中未考慮，④中未檢驗(yàn)。 14．已知，且為銳角，則的值為_(kāi)____。 正解：，令得代入已知，可得 誤解：通過(guò)計(jì)算求得計(jì)算錯(cuò)誤.15．給出四個(gè)命題：①存在實(shí)數(shù)，使；②存在實(shí)數(shù)，使；③是偶函數(shù)；④是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程；⑤若是第一象限角，且，則。其中所有的正確命題的序號(hào)是_____。 正解：③④ ① 不成立。 ② 不成立。 ③ 是偶函數(shù)，成立。 ④ 將代入得,是對(duì)稱軸，成立。 ⑤ 若，但，不成立。 誤解：①②沒(méi)有對(duì)題目所給形式進(jìn)行化簡(jiǎn)，直接計(jì)算，不易找出錯(cuò)誤。 ⑤沒(méi)有注意到第一象限角的特點(diǎn)，可能會(huì)認(rèn)為是的角，從而根據(jù)做出了錯(cuò)誤的判斷。 16．函數(shù)的最小正周期是 錯(cuò)解： 錯(cuò)因：與函數(shù)的最小正周期的混淆。 正解： 17．設(shè)=tan成立，則的取值范圍是_______________ 錯(cuò)解： 錯(cuò)因：由tan不考慮tan不存在的情況。 正解： 18．①函數(shù)在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)。 ②若是第一象限角，且。 ③函數(shù)一定是奇函數(shù)。 ④函數(shù)的最小正周期為。 上述四個(gè)命題中，正確的命題是 ④ 錯(cuò)解：①② 錯(cuò)因：忽視函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù) 正解：④ 19函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開(kāi)_____________。 錯(cuò)解： 錯(cuò)因：令后忽視,從而 正解： 20．若2sin2α的取值范圍是 錯(cuò)解： 錯(cuò)因：由其中，得錯(cuò)誤結(jié)果；由 得或結(jié)合（1）式得正確結(jié)果。 正解：[0,] 21.關(guān)于函數(shù)有下列命題，y=f(x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱 y=f(x)的表達(dá)式可改寫為 y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 由必是的整數(shù)倍。其中正確命題的序號(hào)是。 答案： 錯(cuò)解： 錯(cuò)因：忽視f(x)的周期是，相鄰兩零點(diǎn)的距離為。 22．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。 答案： 錯(cuò)解： 錯(cuò)因：忽視這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)。 23．。 正確答案： 錯(cuò)誤原因：兩角和的正切公式使用比較呆板。 24．是。 正確答案： 錯(cuò)誤原因：如何求三角函數(shù)的值域，方向性不明確 三、解答題： 1．已知定義在區(qū)間[-p，] 上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x= -對(duì)稱，當(dāng)x?[-，]時(shí)，函數(shù)f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,- (1)求函數(shù)y=f(x)在[-p，]的表達(dá)式； (2)求方程f(x)=的解。 解：(1)由圖象知A=1，T=4()=2p，w= 在x?[-，]時(shí) 將(，1)代入f(x)得 f()=sin(+j)=1 ∵- ∴j= ∴在[-，]時(shí) f(x)=sin(x+) ∴y=f(x)關(guān)于直線x=-對(duì)稱 ∴在[-p，-]時(shí) f(x)=-sinx 綜上f(x)= (2)f(x)= 在區(qū)間[-，]內(nèi) 可得x1= x2= ∵y=f(x)關(guān)于x= 對(duì)稱 ∴x3=- x4= ∴f(x)=的解為x?{-,-,-,} 2．求函數(shù)的相位和初相。 解： 原函數(shù)的相位為，初相為 說(shuō)明：部分同學(xué)可能看不懂題目的意思，不知道什么是相位，而無(wú)從下手。應(yīng)將所給函數(shù)式變形為的形式（注意必須是正弦）。 3．若，求的取值范圍。 解：令，則有 說(shuō)明：此題極易只用方程組（1）中的一個(gè)條件，從而得出或。原因是忽視了正弦函數(shù)的有界性。另外不等式組（2）的求解中，容易讓兩式相減，這樣做也是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮墒街械牡忍?hào)成立的條件不一定相同。這兩點(diǎn)應(yīng)引起我們的重視。 4．求函數(shù)的定義域。 解：由題意有 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是 說(shuō)明：可能會(huì)有部分同學(xué)認(rèn)為不等式組（*）兩者沒(méi)有公共部分，所以定義域?yàn)榭占蚴菦](méi)有正確理解弧度與實(shí)數(shù)的關(guān)系，總認(rèn)為二者格格不入，事實(shí)上弧度也是實(shí)數(shù)。 ．已知，求的最小值及最大值。 解： 令 則 而對(duì)稱軸為 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，說(shuō)明：此題易認(rèn)為時(shí)，最大值不存在，這是忽略了條件不在正弦函數(shù)的值域之內(nèi)。 6．若，求函數(shù)的最大值。 解： 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)，等號(hào)成立 說(shuō)明：此題容易這樣做：，但此時(shí)等號(hào)成立的條件是，這樣的是不存在的。這是忽略了利用不等式求極值時(shí)要平均分析的原則。 7．求函數(shù)的最小正周期。 解：函數(shù)的定義域要滿足兩個(gè)條件； 要有意義且，且 當(dāng)原函數(shù)式變?yōu)闀r(shí)，此時(shí)定義域?yàn)?/p> 顯然作了這樣的變換之后，定義域擴(kuò)大了，兩式并不等價(jià) 所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的圖象： 而原函數(shù)的圖象與的圖象大致相同 只是在上圖中去掉所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 從去掉的幾個(gè)零值點(diǎn)看，原函數(shù)的周期應(yīng)為 說(shuō)明：此題極易由的周期是而得出原函數(shù)的周期也是，這是錯(cuò)誤的，原因正如上所述。那么是不是說(shuō)非等價(jià)變換周期就不同呢？也不一定，如1993年高考題：函數(shù)的最小正周期是（）。A.B.C.D.。此題就可以由的周期為而得原函數(shù)的周期也是。但這個(gè)解法并不嚴(yán)密，最好是先求定義域，再畫出圖象，通過(guò)空點(diǎn)來(lái)觀察，從而求得周期。 8．已知Sinα= Sinβ=，且α，β為銳角，求α+β的值。 正確答案：α+β= 錯(cuò)誤原因：要挖掘特征數(shù)值來(lái)縮小角的范圍 9．求函數(shù)y=Sin(—3x)的單調(diào)增區(qū)間： 正確答案：增區(qū)間[]（） 錯(cuò)誤原因：忽視t=—3x為減函數(shù) 10．求函數(shù)y=的最小正周期 正確答案：最小正周期π 錯(cuò)誤原因：忽略對(duì)函數(shù)定義域的討論。 11．已知Sinx+Siny=，求Siny—cos2x的最大值。 正確答案： 錯(cuò)誤原因：挖掘隱含條件 12．（本小題滿分12分） 設(shè),已知時(shí)有最小值-8。 (1)、求與的值。（2）求滿足的的集合A。 錯(cuò)解：，當(dāng)時(shí)，得 錯(cuò)因：沒(méi)有注意到應(yīng)是時(shí)，取最大值。 正解：，當(dāng)時(shí)，得 13．求函數(shù)的值域 答案：原函數(shù)可化為設(shè)則則，當(dāng) 錯(cuò)解： 錯(cuò)因：不考慮換元后新元t的范圍。 14．已知函數(shù)f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）當(dāng)f(x)=0有實(shí)數(shù)解時(shí)，求a的取值范圍；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范圍。 解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－)2－ ∴當(dāng)sinx=時(shí)，amin=，當(dāng)sinx=－1時(shí)，amax=2，∴a∈[，2]為所求 （2）由1≤f(x)≤得 ∵ u1=sin2x－sinx++4≥4 u2=sin2x－sinx+1=≤3 ∴ 3≤a≤4 點(diǎn)評(píng)：本題的易錯(cuò)點(diǎn)是盲目運(yùn)用“△”判別式。 15．已知函數(shù)≤≤是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。 正解：由是偶函數(shù)，得 故 對(duì)任意x都成立，且 依題設(shè)0≤≤，由的圖像關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得 取 又，得 當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。 當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。 當(dāng)≥2時(shí)，在上不是單調(diào)函數(shù)。 所以，綜合得或。 誤解：①常見(jiàn)錯(cuò)誤是未對(duì)K進(jìn)行討論，最后只得一解。 ②對(duì)題目條件在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，不進(jìn)行討論，故對(duì)≥不能排除。 補(bǔ)充習(xí)題： 1．右圖是某市有關(guān)部門根據(jù)對(duì)某地干部的月 收入情況調(diào)查后畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數(shù)為4000.請(qǐng)根據(jù)該圖提 供的信息解答下列問(wèn)題：（圖中每組包括左端 點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在） （1）求樣本中月收入在的人數(shù)； （2）為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須從樣本的各組中按月收入再用分層抽樣方法抽出人作進(jìn)一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？ （3）試估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).解：（1）∵月收入在的頻率為，且有4000人 ∴樣本的容量 月收入在的頻率為 月收入在的頻率為 月收入在的頻率為 ∴月收入在的頻率為； ∴樣本中月收入在的人數(shù)為： （2）∵月收入在的人數(shù)為：，∴再?gòu)娜擞梅謱映闃臃椒ǔ槌鋈?，則月收入在的這段應(yīng)抽取 （人） （3）由（１）知月收入在的頻率為： ∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：（元） 2．先后隨機(jī)投擲2枚正方體骰子，其中表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)． （1）求點(diǎn)在直線上的概率； （2）求點(diǎn)滿足的概率． 解：（1）每顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都有種情況，所以基本事件總數(shù)為個(gè).記“點(diǎn)在直線上”為事件，有5個(gè)基本事件：，（2）記“點(diǎn)滿足”為事件，則事件有個(gè)基本事件: 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 3．某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組；第二組，…，第五組．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）若成績(jī)大于或等于14秒且小于16秒 認(rèn)為良好，求該班在這次百米測(cè)試中 成績(jī)良好的人數(shù)； （2）設(shè)、表示該班某兩位同學(xué)的百米 測(cè)試成績(jī)，且已知.求事件“”的概率.解：（1）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為：（人） 所以該班成績(jī)良好的人數(shù)為27人.（2）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，設(shè)為、、； 成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，設(shè)為、、、.若時(shí)，有3種情況； 若時(shí)，有6種情況； 若分別在和內(nèi)時(shí)，A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共有12種情況.所以基本事件總數(shù)為21種，事件“”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有12種.∴（）.4．已知點(diǎn),.(1) 若,求的值; (2) 若其中為坐標(biāo)原點(diǎn),求的值.解：(1)，.,.化簡(jiǎn)得.（若則,上式不成立），.(2),...5.已知函數(shù).（1）求的最小正周期； （2）用五點(diǎn)法畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象； （3）若，求函數(shù)的最大值和最小值； （4）若，求的值.解：（1）∵＝． ∴ 函數(shù)的最小正周期． （2）列表： 描點(diǎn)，連線，得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（3）∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值2.當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)有最小值1． （4）由已知得，得.∵，∴.∴.∴.∴ .6．已知向量.（1）求.（2）若，且的值.解：（1），.（2）.由，得.由，得..7.在△ABC中，.(1) 求角C的大小; (2) 若△ABC最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為，求△ABC最短邊的長(zhǎng).解：（1），∴．，∴． （2）∵,∴邊最長(zhǎng)，即． ∵，∴角最小，邊為最短邊． 由 且，解得． 由正弦定理得，得． ∴最短邊的長(zhǎng)． 8．如圖（1），是等腰直角三角形，、分別為、的中點(diǎn)，將沿折起，使在平面上的射影恰為的中點(diǎn)，得到圖（2）． （1）求證：； （2）求三棱錐的體積． 解：（1）證法一：在中，是等腰直角的中位線，在四棱錐中，，平面，又平面,證法二：同證法一得，平面，又平面,（2）在直角梯形中，,． 垂直平分，． ∴ ． 三棱錐的體積為． 9．如圖，一簡(jiǎn)單組合體的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC． （1）證明：平面ACD平面； （2）若，，試求該簡(jiǎn)單組合體的體積V． （１）證明：∵ DC平面ABC,平面ABC ∴． ∵AB是圓O的直徑 ∴且 ∴平面ADC． ∵四邊形DCBE為平行四邊形 ∴DE//BC ∴平面ADC ∵平面ADE ∴平面ACD平面 （2）解法１：所求簡(jiǎn)單組合體的體積： ∵，∴,∴ ∴該簡(jiǎn)單幾何體的體積 解法２：將該簡(jiǎn)單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱 如圖∵，∴,∴= = A B C P M 10．如圖所示幾何體中，平面PAC⊥平面，PA = PC,，，若該幾何體左視圖（側(cè)視圖）的面積為． （1）求證：PA⊥BC； （2）畫出該幾何體的主視圖并求其面積S； （3）求出多面體的體積V． 主視方向方向 解：（1），BC=2，，∴，∵平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面=AC,∴BC⊥平面PAC ∵PA平面PAC，∴PA⊥BC.（2）該幾何體的主視圖如下： ∵PA = PC，取AC的中點(diǎn)D，連接PD，則PD⊥AC，又平面PAC⊥平面，則PD⊥平面ABC，∴幾何體左視圖的面積===． ∴PD=，并易知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∴主視圖的面積是上、下底邊長(zhǎng)分別為1和2，PD的長(zhǎng)為高的直角梯形的面積，∴S= （3）取PC的中點(diǎn)N，連接AN，由是邊長(zhǎng)為1的正三角形，可知AN⊥PC，由（1）BC⊥平面PAC，可知AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM，∴AN是四棱錐A—PCBM的高且AN=，由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC，可知四邊形PCBM是上、下底邊長(zhǎng)分別為1和2，PC的長(zhǎng)1為高的直角梯形，其面積． ． 11．制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？ 解：設(shè)投資人分別用萬(wàn)元、萬(wàn)元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知 目標(biāo)函數(shù).上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域.作直線，并作平行于的一組直線，R，與可行域相交，其中一條直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)，且與直線的距離最大，這里點(diǎn)是直線和的交點(diǎn).解方程組解得 此時(shí)（萬(wàn)元），∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.答：投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大.12.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，在橢圓上，且 .(1)求橢圓方程； (2)若直線過(guò)圓的圓心，交橢圓于兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程.解:(1)，，.所以橢圓.(2)設(shè)，即 又因圓的方程為,所以 (-3,1),又因關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為的中點(diǎn)，，.，即.13．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意N，都有為常數(shù)，且.（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列； （2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足 N，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）由已知 ① 得 ② ②-①得，即對(duì)任意N都成立.∵為常數(shù)，且，∴，即數(shù)列為等比數(shù)列.（2）當(dāng)時(shí)，得，從而.由（1）知，∵，∴，即.∴為等差數(shù)列.∴.∴.14．已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和中，成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，若≤對(duì)一切N恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值． 解：（1）若，則顯然，不構(gòu)成等差數(shù)列.∴，當(dāng)時(shí)，由，成等差數(shù)列得 ∴，∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴＝ ＝ 由≤ 得≤ ∴≥ 又≤ ∴的最小值為 B組 15．設(shè)數(shù)列滿足其中為實(shí)數(shù)，且 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）設(shè)，,求數(shù)列的前項(xiàng)和； （3）若對(duì)任意成立，證明； (1) 法1：，當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.，即 .當(dāng)時(shí)，仍滿足上式.數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .法2：由題設(shè)得：當(dāng)時(shí) .時(shí)，也滿足上式.數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .(2) 由（1）得 (3) 由（1）知 若，則 由對(duì)任意成立，知.下面證，用反證法 假設(shè)，，即 恒成立 （＊） 為常數(shù)，（＊）式對(duì)不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，.16．已知數(shù)列中，為正實(shí)數(shù)，N.（1）若，求的取值范圍； （2）是否存在正實(shí)數(shù)，使對(duì)任意N都成立，若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）∵N，∴.∴.∵，∴，解得.（2）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使對(duì)任意N都成立，則，對(duì)任意N都成立.∴，∴，∴，又 .即.故取，即，有，這與矛盾； 因此，不存在正實(shí)數(shù)，使對(duì)任意N都成立.17.已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過(guò)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn).（Ⅰ）求點(diǎn)坐標(biāo)； （Ⅱ）求證直線的斜率為定值； （Ⅲ）求面積的最大值.解：（1）由題可得，設(shè) 則，∴，∵點(diǎn)在曲線上，則，∴，從而，得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，則BP的直線方程為：.由得，設(shè)，則，同理可得，則，.所以：AB的斜率為定值.（3）設(shè)AB的直線方程：.由，得，由，得 P到AB的距離為，則 .當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào) ∴三角形PAB面積的最大值為． 18．已知函數(shù)和．其中． （1）若函數(shù)與的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在軸上，求的值； （2）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當(dāng)時(shí)，． 解：（1）設(shè)函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），∵點(diǎn)（，0）也在函數(shù)的圖像上，∴． 而，∴． （2）由題意可知．,∴,∴當(dāng)時(shí)，即． 又,∴<0,∴,綜上可知，． 19．在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）; （2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.解: （1）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos= 由余弦定理得BC= 所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.（2）解法1： 如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin 所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d= 所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.解法2: 如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.從而 在中，由正弦定理得，AQ= 由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.過(guò)點(diǎn)E作EP BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.在Rt中，PE=QE·sin = 所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.20．某地區(qū)有荒山2200畝，從2002年開(kāi)始每年年初在荒山上植樹(shù)造林，第一年植樹(shù)100畝，以后每年比上一年多植樹(shù)50畝． （1）若所植樹(shù)全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？ （2）右圖是某同學(xué)設(shè)計(jì)的解決問(wèn)題（１）的程序框圖，則框圖中ｐ，ｑ，ｒ處應(yīng)填上什么條件？ （3）若每畝所植樹(shù)苗木材量為2立方米，每年樹(shù)木木材量的自然增長(zhǎng)率 為20％，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？ （精確到１立方米,） 解：（1）設(shè)植樹(shù)ｎ年后可將荒山全部綠化，記第ｎ年初植樹(shù)量為，依題意知數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，則即 ∵ ∴ ∴到2009年初植樹(shù)后可以將荒山全部綠化． （２）ｐ處填,ｑ處填，（或ｐ處填，ｑ處填） ｒ處填．(或) （３）2002年初木材量為，到2009年底木材量增加為,2003年初木材量為，到2009年底木材量增加為,…… 2009年初木材量為，到2009年底木材量增加為.則到2009年底木材總量 ----------① ---------② ②-①得 ∴ｍ2 答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060ｍ2 1、同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有（）和（）兩種情況2、2008年8月8日是星期五，2009年元旦是星期（） 3、4男2女6個(gè)人站在一排合影留念，要求2個(gè)女的緊挨著排在正中間，有（）種不同排法 4、直線比線段長(zhǎng)對(duì)嗎？ 5、在喜迎北京奧運(yùn)圣火的活動(dòng)中，某校排成了30人一行的正方形方陣迎接，這個(gè)方陣共有多少人？最外兩層有多少人？ 6、一種壓路機(jī)滾筒是個(gè)圓柱體，長(zhǎng)1.5米，橫截面的直徑是1.2米,按每分種滾動(dòng)25周計(jì)算,每小時(shí)可壓路多少平方米? 7、一個(gè)正方形的棱長(zhǎng)為a米，它的棱長(zhǎng)總和是（）分米，底面積是（）平方米，表面積是（）平方米，體積是（）立方分米。 7、陳師傅家有一塊長(zhǎng)6.28分米，寬4分米的白鐵皮,他想做一個(gè)高4分米、容積最大的圓柱形無(wú)蓋水桶。可是商店里沒(méi)有圓形的白鐵皮，只能根據(jù)需要先剪下一塊長(zhǎng)方形正方形的白鐵皮，再剪成圓形。（！）你認(rèn)為陳師傅應(yīng)該剪下怎樣的一塊白鐵皮最合理？寫出你的理由。 （2）做成的水桶最多可裝水多少千克？（每立方分米水重1千克） 8、一批水果從產(chǎn)地發(fā)出時(shí)重9000千克，這種水果的含水量度為99%。運(yùn)到當(dāng)?shù)劁N售時(shí)，由于水份蒸發(fā)，含水量降為98.5%?，F(xiàn)在這批水果重多少千克？ 9、比例尺是圖是距離與實(shí)際距離的比值對(duì)嗎？ 10、把一個(gè)長(zhǎng)方形商品包裝箱用繩扎成“十”字形，需要繩子的長(zhǎng)度至少是這個(gè)包裝箱的棱長(zhǎng)總和的長(zhǎng)度對(duì)嗎？ 11、甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，5小時(shí)后相遇，相遇后又行了4小時(shí)到達(dá)B地，乙還要多少小時(shí)到達(dá)A地？ 12、一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，已經(jīng)行了12千米，這時(shí)離中點(diǎn)還有全程的1/5，甲、乙兩地相距多少千米？ 13、甲、乙兩人做一批零件，做完時(shí)，乙做了3/5。如果甲獨(dú)做要20天，乙獨(dú)做要多少天？ 14、有鹽水若干千克，第1次加入一定量的水后，鹽水濃度為3%，第2次加入同樣多的水后，鹽水濃度為2%，第3次加入同樣多的水后，鹽水濃度是多少？ （答案：③48人，⑤228人⑥8478⑧6000千克⑾25/4小時(shí)（12）40千米（13）40/3天（14）1.5%）第四篇：高考數(shù)學(xué)高頻易錯(cuò)題舉例解析
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