第一篇：關(guān)于幾何直觀的思考

關(guān)于幾何直觀的思考

作者：秦德生，? 文章來源：《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005年第10期 [摘要] 隨著數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育中的一個關(guān)注問題。本文從幾何課程基本要求的演變出發(fā)，探討幾何直觀的概念以及與相關(guān)概念的辨析，追溯幾何直觀的哲學(xué)基礎(chǔ)，提倡“直觀型”的課程設(shè)計，挖掘幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀；課程標(biāo)準(zhǔn)；哲學(xué)基礎(chǔ)；教育價值

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育界都在關(guān)注數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1][2]的制訂與實施，關(guān)注數(shù)學(xué)課程改革，而幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對幾何圖形本身的研究意義。正如弗萊登塔爾所說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！边@也與康德的“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的”觀念是相同的。隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]提出培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幾何直觀成為數(shù)學(xué)教育中的一個關(guān)注問題；經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌l(fā)展，相信對幾何直觀的研究能夠成為數(shù)學(xué)教育的核心問題。

在此，筆者試圖從幾何課程基本要求的演變出發(fā)，探討幾何直觀的概念以及與相關(guān)概念辨析，追溯幾何直觀的哲學(xué)基礎(chǔ)，挖掘幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值?，F(xiàn)將自己的一些想法就正于各位同行專家．

1．我國對幾何課程基本要求的演變

我國解放后首次制定(1952年)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提出，小學(xué)“算術(shù)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)和發(fā)展兒童的邏輯思維”，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)“發(fā)展學(xué)生生動的空間想像力,發(fā)展學(xué)生邏輯的思維力和判斷力”[3]。以后的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在能力培養(yǎng)方面的要求一直是“通過數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和空間想像力”。1963年根據(jù)華羅庚、關(guān)肇直等專家的意見，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的能力培養(yǎng)任務(wù)修改為“計算能力、邏輯推理能力和空間想像力”(傳統(tǒng)的三大能力)。1978年的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，又增加了“培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力”。1988年的九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，能力培養(yǎng)任務(wù)改為“培養(yǎng)運算能力，發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念”,這種要求一直持續(xù)至今。《義務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

(征求意見稿，2000年)在發(fā)展性領(lǐng)域中，明確提出能力培養(yǎng)任務(wù)是思維能力的培養(yǎng)，“應(yīng)使學(xué)生在定量思維、空間觀念、合情推理的演繹論證等方面獲得發(fā)展”。2000年3月頒布的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》中指出，要“培養(yǎng)初步的思維能力和空間觀念”。

2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》[1]提出“豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認(rèn)識，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”[1]．2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]指出：“幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。人們通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計算等方法認(rèn)識和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認(rèn)識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進(jìn)行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求?！盵2] 從我國幾何課程基本要求的演變來看，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，對幾何教學(xué)的要求不盡相同，那么，什么是幾何直觀，它與直覺、空間觀念、空間想像能力等名詞之間有聯(lián)系或者區(qū)別么？我們來進(jìn)一步探討。

2．幾何直觀概念的內(nèi)涵及典型觀點辨析 2.1 什么是直觀

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握”[4]；而西方哲學(xué)家通常認(rèn)為“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認(rèn)識”；心理學(xué)家則認(rèn)為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力”。

蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)[5]。

徐利治先生提出，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知[6]。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應(yīng)關(guān)系。

他們從數(shù)學(xué)、哲學(xué)、心理學(xué)等角度給直觀包括幾何直觀下了定義，但我們認(rèn)為直觀一般有兩種：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)，2

可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。

2.2 直觀與直覺

直觀與知覺在英文中都是單詞Intuition，但二者并不是完全相同，直覺不等于直觀。

從研究對象來看直覺的對象不一定是可視的對象，直觀的對象一定是可視的。從過程來看，直觀與個人的經(jīng)驗、經(jīng)歷有關(guān)，直觀有層次性，直觀是從一個層次看到更深刻的層次或本質(zhì)；在同一個層次不是直觀而是直覺，直覺是有原因與結(jié)果的關(guān)聯(lián)，是一個平面上的，屬于同一個層次。從功能來看，直觀是用來發(fā)現(xiàn)定理的，而直覺用來證明定理的。

2.3 直觀與想象

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,空間想像力“指的是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象的能力。麥吉(Megee,1979)認(rèn)為，空間想像力包括“在心理上操作、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)或逆轉(zhuǎn)形象刺激物的能力”，朱文芳認(rèn)為“空間想像能力是完成空間認(rèn)知任務(wù)的橋梁,空間思維能力起著決定性的核心作用”[7]。心理學(xué)家通常認(rèn)為,想像(imagination)以表象為基本材料,但不是表象的簡單再現(xiàn)，是指“在頭腦中對已有表象進(jìn)行加工、改造、重新組合形成新形象的心理過程”。

我們認(rèn)為，空間想象能力是指脫離背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力。直觀是在有背景的條件下進(jìn)行，想象是沒有背景的；幾何中的推理證明始終在利用幾何直觀，在想象圖形。

所以，我們建議：普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對幾何目標(biāo)的敘述修改為“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和借助幾何直觀進(jìn)行推理論證的能力，從而培養(yǎng)運用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及空間想象能力，是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求?！边@樣敘述應(yīng)該更恰當(dāng)和準(zhǔn)確。

3．幾何直觀的哲學(xué)分析 3.1 直觀主義

直觀化，本來是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的直觀主義流派，出于數(shù)學(xué)概念和方法的“可信性”考慮而提出的基本主張，其中心內(nèi)容是“存在必須是被構(gòu)造”?？梢姅?shù)學(xué)中的直觀主義就是哲學(xué)中的康德主義，主張數(shù)學(xué)的概念由人類理性構(gòu)造而成。數(shù)學(xué)對象的構(gòu)造就是人們先驗地在直觀中畫出與概念相應(yīng)的圖形，所以構(gòu)造數(shù)學(xué)對象 3

需要非經(jīng)驗的直觀。人們在這種純粹直觀中構(gòu)造出一個具體的圖形，這一圖形能夠代表所有與某概念相應(yīng)的圖形，這說明人們在純直觀中構(gòu)造的圖形具有與概念相同的普遍意義，因此在幾何直觀中構(gòu)造出了具體的圖形就是構(gòu)造出了相應(yīng)的概念與數(shù)學(xué)實體。

笛卡兒認(rèn)為，直觀是純粹理性的，但作為理性的東西并不能完全擺脫或無視某些經(jīng)驗，可見這二者是矛盾的，直觀的確定性與與非邏輯性相矛盾，直觀不能保證普遍原理的確定性，直觀具有發(fā)現(xiàn)真理功能，但不能兼?zhèn)渥C明真理、確保真理可靠性的功能。

3.2 幾何直觀的歷史性

畢達(dá)哥拉斯時代,人們的數(shù)學(xué)直觀里浸透了整數(shù)是萬物本質(zhì)的哲理；非歐幾何產(chǎn)生以前,人類的數(shù)學(xué)直觀里有著歐氏公理是先驗不變的真理的觀念；非標(biāo)準(zhǔn)分析又使一度失去了對無窮小的直觀在更抽象的層次上恢復(fù)；而今計算機(jī)造成的外移動的超立體的圖象,又對我們關(guān)于高維空間的抽象直觀充實了具體感性。所以數(shù)學(xué)直觀是歷史概念，數(shù)學(xué)直觀在每個歷史時期,其抽象性和直觀性都具有不同的內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)中的抽象性帶有理論和哲學(xué)色彩，幾何直觀帶有經(jīng)驗、思想和感情因素。復(fù)數(shù)的引入，是因邏輯上的需要而直接引進(jìn)的“理想元素”，被賦予某種實際意義后，以幾何直觀解釋為中介，同現(xiàn)實世界建立了間接聯(lián)系，從而提高了它的可信性。復(fù)數(shù)，在它被引入后的最初兩個半世紀(jì)中一直“給人虛無縹緲的感覺”，直至維塞爾、高斯等人相繼對它作出了幾何解釋與代數(shù)解釋，把它與平面向量a+bi或數(shù)偶 對應(yīng)，才“幫助人們直觀地理解它的真實意義”，并取得了實際應(yīng)用．所以，它不僅被數(shù)學(xué)理論所決定，并隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展而發(fā)展，而且它也避免不了當(dāng)時人類整個文化情境對個人心理上的影響。直觀是隨著人類理性的進(jìn)步而進(jìn)步的。換言之,幾何直觀的建立和發(fā)展是一個歷史過程。它并不是一個從古到今就一直存在著的永恒的人類用來認(rèn)識數(shù)學(xué)現(xiàn)象的中性框架，幾何直觀是一種進(jìn)化的產(chǎn)物，可以進(jìn)行更高層次的創(chuàng)造性活動。因此一個人在不同年齡階段所表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)直觀能力可以看作是整個人類在這方面歷史發(fā)展過程的縮影。

3.3 直觀與形式的統(tǒng)一

數(shù)學(xué)作為一門精確科學(xué)，其研究活動必須以量和質(zhì)、形式和內(nèi)容的分離為前 4

提，把前者從自然界的普遍聯(lián)系中抽取出來，加以抽象，在不斷形式化的過程中實現(xiàn)它的精確性，這個過程就是數(shù)學(xué)化，換言之，就是數(shù)學(xué)抽象發(fā)展與現(xiàn)實世界的緊密結(jié)合，它既可以描述具體問題的數(shù)學(xué)模型，也可以反映各種層次的數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的更高層次抽象．?dāng)?shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的“直觀——形式——直觀”模式，是一般科學(xué)概念發(fā)展的“具體——抽象——具體”模式的特殊表現(xiàn)形式，它深刻地反映了數(shù)學(xué)活動的基本矛盾，數(shù)學(xué)通過形式化而實現(xiàn)精確性，又因為形式化而減弱客觀性，直觀化具有原始的創(chuàng)造性，它的歷史性決定不允許完全客觀的有理化．

直觀與形式之間矛盾的解決，只有在形式化和直觀化的矛盾運動中才可能實現(xiàn)，正是二者之間的矛盾推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展以及科學(xué)的發(fā)展。從創(chuàng)造力來看，直觀能引出數(shù)學(xué)的發(fā)明,直觀能決定理論的形式和研究方向；從在數(shù)學(xué)證明上看,直觀常常提供證明的思路和技巧,有時嚴(yán)格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴(yán)格化和數(shù)學(xué)加工。數(shù)學(xué)直觀的世界與因果感覺的世界是對立的，數(shù)學(xué)思維不能完全形式化，數(shù)學(xué)思想是獨立于語言的形式之外，但數(shù)學(xué)又必須通過形式來表達(dá)，使其嚴(yán)格化。因此，數(shù)學(xué)經(jīng)過形式化而趨于完美，又通過直觀化而返樸歸真，這正是數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證過程。

4．幾何直觀的課程設(shè)計

課程設(shè)計已經(jīng)走向多流派、多元化。而強(qiáng)調(diào)知識之間有機(jī)地融合、依賴幾何直觀的“直觀型”課程成為數(shù)學(xué)課程設(shè)計的主流之一。我國新課程已經(jīng)把幾何直觀看作是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的線索之一。從函數(shù)的圖象教學(xué)、三角函數(shù)的單位圓、到導(dǎo)數(shù)的圖象判斷；從不等式的直觀解釋到線性規(guī)劃的區(qū)域刻畫，此外，還有數(shù)系擴(kuò)充中復(fù)數(shù)、概率統(tǒng)計中的直觀圖以及向量的使用等等。幾何課程設(shè)計更離不開幾何直觀?？梢姡瑤缀沃庇^是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的有效工具。因此，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，同時也學(xué)會數(shù)學(xué)的一種思考方式和學(xué)習(xí)方式。

當(dāng)然，我們也要注意不能用幾何直觀來代替證明、注意幾何直觀帶來的認(rèn)識上的片面性。例如，對指數(shù)函數(shù) 與直線 的關(guān)系的認(rèn)識，因為教材中通常都是以2或10為底來給出指數(shù)函數(shù)的圖形，在這兩種情況下，指數(shù)函數(shù) 的圖形都在直線 的上方，于是，便認(rèn)為指數(shù)函數(shù) 的圖形都在直線 的上方。教學(xué)中應(yīng)避免這 5

種因特殊賦值和特殊位置的幾何直觀得到的結(jié)果所帶來的對有關(guān)概念和結(jié)論本質(zhì)認(rèn)識的片面性和錯誤判斷。[2] 5．幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，幾何在數(shù)學(xué)研究中起著其實、聯(lián)絡(luò)、理解、甚至提供方法的作用，而幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)家依賴直觀來推動對數(shù)學(xué)的思考，數(shù)學(xué)教育家們依賴直觀來加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的理解。直觀推動了數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展。而數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數(shù)學(xué)對象為基礎(chǔ)進(jìn)行理性重建，從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。

首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)ВS著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計算機(jī)圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

其次，幾何直觀是認(rèn)識論問題，是認(rèn)識的基礎(chǔ), 有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機(jī)會，揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。

最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的問題，那么如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、如何更好地發(fā)揮幾何直觀性的教學(xué)價值，是每個數(shù)學(xué)教育工作者都應(yīng)該深思的問題。

[參考文獻(xiàn)] [1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M]，北京師范大學(xué)出版社，2001.[2]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M]，人民教育出版社，2003.[3]建國以來中小學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱匯編(1949—1985)》[M],國家教委編印,1986.[4]M.克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M]，第四冊.上海：上?？萍汲霭嫔纾?979.[5]蔣文蔚.幾何直觀思維在科學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的作用[J]，數(shù)學(xué)教育學(xué)報.1997(4)[6]徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗[J],數(shù)學(xué)通報，2000(5)[7]朱文芳.關(guān)于義務(wù)教育階段對空間能力培養(yǎng)的思考[J],課程·教材·教法.2001(3)[8]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）解讀[M].江蘇教育出版社，2004.[9]史寧中.關(guān)于數(shù)學(xué)的反思[J],東北師大學(xué)報(哲學(xué)社會科學(xué)版), 1997(2)[10]M.阿蒂亞.數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性[M].南京：江蘇教育出版社，1995.

第二篇：培養(yǎng)幾何直觀能力的教學(xué)思考

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》提出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也提出要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力以及借助幾何直觀進(jìn)行推理論證的能力。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的能力。

一、對幾何直觀的本質(zhì)把握

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的直觀是對概念、證明的直接把握”。蔣文蔚先生指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)。（《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》，1997年第4期）徐利治先生提出，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應(yīng)關(guān)系。

這些數(shù)學(xué)家對直觀包括幾何直觀下了定義。綜合這些定義，我們認(rèn)為

一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)。直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。幾何直觀是利用圖形洞察問題本質(zhì)的一種方式，既有形象思維的特點，又有抽象思維的特點。

二、培養(yǎng)幾何直觀能力的教學(xué)方法

在小學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，要先從直觀教學(xué)開始，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用畫圖的策略分析題意，解決簡單的實際問題，逐步上升到能將直觀圖與數(shù)學(xué)語言、符號語言進(jìn)行合情轉(zhuǎn)換，并逐步在解決數(shù)學(xué)問題的過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，感悟數(shù)與形、形與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化。

1．重視直觀感知，突出畫圖策略的教學(xué)。

蘇教版四年級（下冊）《解決問題的策略》主要教學(xué)用畫直觀示意圖的方法解決有關(guān)面積計算的實際問題。在教學(xué)面積計算的問題時，關(guān)鍵要使學(xué)生想到畫圖、正確畫圖、用圖分析和體驗畫圖解決問題的好處。首先可以向?qū)W生呈現(xiàn)純文字的例題，面對比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生想到用畫圖的方法整理條件和問題。接著鼓勵學(xué)生嘗試畫草圖，讓學(xué)生的思維集中于用畫圖來表達(dá)題意，并通過師生交流，進(jìn)一步完善畫出的示意圖，使學(xué)生感受到畫圖能清楚地理解題意。然后借助示意圖分析數(shù)量關(guān)系，明確先求什么，再求什么，列式解答后，要

再結(jié)合算式和圖說說解題思路。最后反思整個解題的過程，突出示意圖對解決這個數(shù)學(xué)問題的重要作用，感受畫圖策略的價值?！霸囈辉嚒焙汀跋胂胱鲎觥钡念}目與例題相比有一定變化，解決這些問題后，要引導(dǎo)學(xué)生思考：“不畫圖能準(zhǔn)確解決這些問題嗎？畫圖時要注意什么？”加深學(xué)生對應(yīng)用畫圖策略價值的直觀體驗。

第三篇：對外漢語教案設(shè)計：幾何直觀教學(xué)法

對外漢語教案設(shè)計：幾何直觀教學(xué)法

教學(xué)目標(biāo)：

使學(xué)生了解“聽說”的概念

教學(xué)流程： 一.1.讓學(xué)生A任意說一句話。

如：“我去學(xué)校?！?2.問學(xué)生B：A說了什么？

B回答：“我去學(xué)校?！?3.問：“我去學(xué)校?！边@句話是誰說的?；兀篈說的 4.問：“我去學(xué)校?！边@句話是誰聽到的?；兀築聽到的 5.問學(xué)生，句子中“我”指誰？

回：A。

對B而言A是用哪個詞指代？ 回：他。

修改句型，去引號，改“我”為“他”。6.可省略A A說：“我去學(xué)校?！?B聽A說：“我去學(xué)校?！?B聽A說他去學(xué)校。B聽說他去學(xué)校。

二.解釋：別人說的話由聽到人轉(zhuǎn)述。三.總結(jié)語法結(jié)構(gòu)：A聽說+ SOV.B聽說+ SOV.四．再給出一系列句子，讓同學(xué)們“用聽”說來轉(zhuǎn)述。

最終使學(xué)生能夠了解并實際運用“聽說”這個詞。

教案來源 儒森對外漢語教師 吳思思

第四篇：幾何直觀學(xué)習(xí)心得

幾何直觀教學(xué)學(xué)習(xí)心得體會 開元小學(xué)韓金玲

9月30日，我們在黃山實驗小學(xué)，在主持人牛向華老師的帶領(lǐng)下，參加了《幾何直觀能力培養(yǎng)》這一教學(xué)研討會。會議開始之前，李鵬主任給我們布置了一個作業(yè)，讓我們寫一寫你認(rèn)為幾何直觀是指哪些方面？你在教學(xué)中是如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力的？剛開始我的概念模糊，錯以為是指幾何圖形的直觀培養(yǎng)，諸如：長方形，正方形，三角形等平面圖形和長方體正方體等立體圖形，直觀體驗和空間能力的培養(yǎng)，所以回答的偏離了本次交流的主題。經(jīng)過不斷的聽課研究，聽取了實驗二小三年級楊清秀老師的《簡單的搭配問題》，開元小學(xué)梁杰老師的《植樹問題》，實驗一小劉元躍老師的《簡單的排列》，王瑩老師的《稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題》，并聽取了夏冬梅，趙紅葉，韓梅老師的專題發(fā)言一下子就豁然開朗了，哦，原來如此。原來，我們已經(jīng)嘗試過不少的運用幾何直觀來解決復(fù)雜問題的實踐，只是理解的一個概念錯誤而已，看來還是研究課標(biāo)不夠??！以后要改變這種只是抄課標(biāo)的學(xué)習(xí)方法，要在研究課標(biāo)方面多下功夫，多寫一些關(guān)于課標(biāo)的自己的實踐方面的問題或思考。我迅速聯(lián)系自己的教學(xué)實踐一下子想到了一年級學(xué)過的比大小、移多補(bǔ)少問題，二年級的倍數(shù)問題，除法問題，不少低年級的難以理解的問題不都是通過圖形直觀的展示出來，再讓孩子們充分理解的嗎？幾何直觀確實幫助孩子們從根本上理解了問題的內(nèi)涵，明白了算理。還有倍數(shù)問題，相遇問題，等等這不都是利用幾何直觀解決比較難的問題嗎？經(jīng)過觀課，聽取主題發(fā)言，我的思路漸漸清晰，并回憶實踐中自己的一些有關(guān)教學(xué)片段。下面我將從三個方面談?wù)勗趨⒓友杏憰囊恍w會：

一、對于幾何直觀的具體含義

幾何直觀是指利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路幫助理解較難的重點。數(shù)學(xué)是抽象的科學(xué)，對于小學(xué)生特別是低年級學(xué)生來說，還是以具象思維為主，如何讓學(xué)生理解抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，需要在學(xué)生心中搭建勾連的橋梁，那就是幾何直觀。但經(jīng)過了解我們也發(fā)現(xiàn)，在實際的學(xué)習(xí)當(dāng)中學(xué)生并不會用圖形幫助自己分析和解決問題，這主要是因為在教學(xué)中老師對此關(guān)注的很少，學(xué)生不習(xí)慣使用，再有即使是直觀圖形的呈現(xiàn)，也不是與生俱來的，需要用具體的例子在對學(xué)生進(jìn)行逐步培養(yǎng)，才能讓學(xué)生真正認(rèn)識到幾何直觀的價值，學(xué)會其中的方法。我對自己的課堂教學(xué)進(jìn)行了反思。我查閱了課標(biāo)中所說的幾何直觀，是借助圖形分析和解決問題中的“圖形”具有更廣泛的含義，幾何直觀并不僅指簡單的圖形直觀。在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何直觀具體表現(xiàn)為如下四種表現(xiàn)形式：一是實物直觀，二是簡約符號直觀，三是圖形直觀，四是替代物直觀。實物直觀。即實物層面的幾何直觀，是指借助與研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，借助其與研究對象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷。簡約符號直觀，即簡約符號層面的幾何直觀，是在實物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象，所形成的、半符號化的直觀。圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。替代物直觀則是一種復(fù)合的幾何直觀，既可以依托簡捷的直觀圖形，又可以依托用語言或?qū)W科表征物所代表的直觀形式，還可以是實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀的復(fù)合物。“替代物直觀”則是在現(xiàn)實模型基礎(chǔ)上的進(jìn)一步抽象，已經(jīng)具備一定的抽象高度。以計數(shù)器為例，與 “小棒”相比，計數(shù)器已經(jīng)將數(shù)位的含義明確表示出來（具有普適性和公共的約定性），而不是某些人的人為規(guī)定。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，促進(jìn)數(shù)學(xué)的理解；通過圖形進(jìn)行觀察，有利于信息回憶和方法的促成；根據(jù)直觀認(rèn)識來研究圖形的性質(zhì)和相關(guān)問題有助于數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)的揭示?？梢哉f，幾何直觀不僅解決“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中存在的問題，并且貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。

二、淺談幾何直觀在教學(xué)中的應(yīng)用

（一）在困惑中產(chǎn)生畫圖的需求，初步培養(yǎng)學(xué)生借助幾何直觀理解和分析問題的意識。新課程強(qiáng)調(diào)：有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)在前，教在后，教只有貼合學(xué)，方能有效。基于此認(rèn)識，我認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)，一定要從學(xué)生的需要與困惑出發(fā)。如果教師以自己的機(jī)械指導(dǎo)過度牽制學(xué)生的自主體驗；如果教師以自己的教學(xué)講解全盤替代學(xué)生的主體思維，那我們培養(yǎng)的學(xué)生多數(shù)會是解題的領(lǐng)袖，而非數(shù)學(xué)思考的領(lǐng)袖！課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)、發(fā)展的場所，做教師的一定要設(shè)法把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生去嘗試、讓學(xué)生去講解，讓學(xué)生由被動的接受變?yōu)橹鲃拥慕?gòu)。例如現(xiàn)在我教學(xué)的二年級乘法口訣的教學(xué)，沒有很多老師給予太多的關(guān)注，能夠熟背口訣是最基本的教學(xué)任務(wù)，有些家長早已讓孩子背的滾瓜爛熟。而我在教學(xué)乘法口訣時，更注重讓學(xué)生理解口訣的意義。我利用圖形來講，我認(rèn)為要把自己的意思說清楚，讓學(xué)生聽明白，孩子需要借助圖形。圖形的直觀，不但幫助學(xué)生理解算式的含義，同時幫助學(xué)生正確的表達(dá)。此時，采用直觀的畫圖的方法已經(jīng)成為學(xué)生自覺的一種需求。所以說如果從低年級開始就注重學(xué)生幾何直觀意識的培養(yǎng)，將有利于學(xué)生掌握更多的解題策略，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，提高學(xué)生解決問題的能力。還有去年教一年級時移多補(bǔ)少問題，也是比較難與理解的知識，通過用畫圖形，來代替實物，讓孩子們更好的理解了解決的思路和方法，很快學(xué)會了解決這類問題的方法。

（二）讓學(xué)生經(jīng)歷幾何直觀呈現(xiàn)的過程，發(fā)揮幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價值。在以往的教學(xué)中，對借助圖形幫助學(xué)生解決問題也是有一定實踐認(rèn)識的。例如以前的相遇問題，就是讓孩子們先示范走一走，再用線段圖畫一畫，還有現(xiàn)在執(zhí)教的二年級上冊《求一個數(shù)的幾倍是多少》的時候，我對教材進(jìn)行了深入的思考，都采用了用線段圖幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系的形式。那么為什么要出現(xiàn)線段圖呢，應(yīng)該怎樣呈現(xiàn)呢，帶著這些問題我對學(xué)生進(jìn)行了前測和訪談。首先學(xué)生看到求一個數(shù)的幾倍的問題，雖然會列式，但是不會解釋為什么要這樣列式，而幾何直觀恰恰能建立起倍的概念和乘法的意思之間的聯(lián)系，其次對于二年級學(xué)生來說，線段圖這種高度抽象的幾何直觀學(xué)生沒有認(rèn)識，完全空白，理解起來有一定的困難。所以說不能忽略學(xué)生的認(rèn)識水平，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷線段圖的形成過程，在潤物無聲的引導(dǎo)之下，初步培養(yǎng)學(xué)生畫圖的能力，為中、高年級的學(xué)習(xí)奠定能力的基礎(chǔ)。從這個設(shè)計中可以看出，由實物抽象出符號，學(xué)生有這個能力，但從符號到線段圖就太過抽象，學(xué)生不好理解。所以我通過直觀演示數(shù)量的增加，讓學(xué)生體會到數(shù)量太多了，用符號一個一個的畫也很麻煩，進(jìn)而想到用一個圖形來表示多個數(shù)量（集合圈），從而初步認(rèn)識了線段圖。就因為學(xué)生有了這樣的經(jīng)歷，所以雖然我們不要求學(xué)生用線段圖來表示數(shù)量關(guān)系，但在學(xué)生解決問題中依然認(rèn)可了線段圖，使用了線段圖，為后面的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

（三）實物拼擺探規(guī)律，恍然大悟表述清

去年，數(shù)的組成的學(xué)習(xí)時，有幾個孩子9的組成不知道，我臨時設(shè)置情境，采用小組動手分一分的形式完成下面的問題。在分的過程中，我讓學(xué)生自己想辦法分一分，并能給把自己組分的過程呈現(xiàn)出來給大家說明白。各小組通過不同的模型操作得出結(jié)果后，到講臺前給大家演示并講解：我請每個組的學(xué)生到黑板上講解自己分的過程，有的小組借助磁力圓片，有的小組直接在黑板上畫圖分析，有的小組用班里的人代表蘋果，都說出了自己分的過程。學(xué)生借助各種模型，直觀形象的感受著數(shù)的組成與加法之間的關(guān)系，“抽象的加減法”不再只是學(xué)生看到眼里，而且是能夠操作出來的，理解在心里的！在這里，幾何直觀操作，幫助學(xué)生理解，并為知識的進(jìn)一步應(yīng)用奠定了能力基礎(chǔ)。

（四）通過幾何直觀探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生充分理解概念 幾何直觀是為更好的數(shù)學(xué)理解而服務(wù)的。我們不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在“形式化的海洋里”。想到以前教過的乘法分配律，有的老師曾說：乘法分配律講著明白，就是不會用，一讓簡算就愛出錯。總是和乘法結(jié)合律混，每天都練習(xí)幾個這樣的簡算，可到考試時還是錯。學(xué)生的困惑成因是什么呢？一是學(xué)生能機(jī)械模仿，但對于ac±bc為什么等于（a±b）×c，四個數(shù)的運算怎么就變成了三個數(shù)的運算，弄不明白，因此解題思路不清晰。二是乘法分配律是老師教給學(xué)生的，不是學(xué)生自主探究得出的，學(xué)生缺少親身經(jīng)歷，因此，對乘法分配律印象不深，憑想當(dāng)然解題。老師講，學(xué)生聽，然后讓學(xué)生記住乘法分配律公式，最后解題，這種傳統(tǒng)的講解式教學(xué)方式已經(jīng)不能讓每一個正常的學(xué)生學(xué)會乘法分配律，所以我們不妨嘗試新的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生借助直觀圖形親自參與到實驗中，讓歸納推理、概括總結(jié)的過程由學(xué)生自己得出，這樣，學(xué)生自己得出的結(jié)論，用起來才能得心應(yīng)手。讓學(xué)生進(jìn)一步觀察等式左右兩邊的算式的特點，并與對應(yīng)的圖形相結(jié)合，再讓學(xué)生說說乘法分配律是什么意思，這時學(xué)生能夠就頭腦中的表象很好的進(jìn)行描述。學(xué)生充分的理解了乘法分配律的含義，運用起來才會得心應(yīng)手。

總之，通過研討會的學(xué)習(xí)，幾何直觀是小學(xué)階段一個重要的數(shù)學(xué)思維，從課標(biāo)出臺到現(xiàn)在，我在課堂中實踐著“借助幾何直觀提高學(xué)生解題能力”的研究，取得了一定的實踐經(jīng)驗，但也存在著一些困惑。我想研究就是如此，不是所有的研究都能解決所有的問題，留在紙上的是思想的足跡，化作動力的是思想的延伸。出現(xiàn)了困惑表示研究的路正在向前伸展。

第五篇：新人教版哪些內(nèi)容體現(xiàn)幾何直觀？

新人教版哪些內(nèi)容體現(xiàn)幾何直觀？

五年級上冊《平行四邊形面積》，通過圖形割補(bǔ)，體現(xiàn)幾何直觀，依據(jù)“等積移補(bǔ)”的思想，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，由長方形面積公式推導(dǎo)出平行四邊形面積公式，依據(jù)“化曲為直”的思想，把圓剪拼成近似的平行四邊形或長方形，把抽象的概念形象具體化，便于學(xué)生理解。這樣通過簡單的觀察、比較和想像，不斷認(rèn)識、了解和把握實物與相應(yīng)的平面圖形之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，在切身感受和體驗中建立空間觀念。這樣的活動學(xué)生接觸多了，二維和三維之間的轉(zhuǎn)換就會越來越靈活自如，空間觀念就可以不斷地生發(fā)并逐步形成。

再如，六年級（下冊）《正比例的意義》，在學(xué)生認(rèn)識正比例的意義后，教材安排了正比例圖像的初步認(rèn)識，借助直觀的圖像，幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識成正比例量的變化規(guī)律，為以后的學(xué)習(xí)作適當(dāng)孕伏。教學(xué)時，根據(jù)例1表中的數(shù)據(jù)，先引導(dǎo)學(xué)生用“描點法”畫出一幅表示正比例關(guān)系的圖像。在描點的過程中，引導(dǎo)學(xué)生把所描出的點與表中的數(shù)據(jù)相對照，讓學(xué)生初步理解圖像上各點所表示的實際意義，即每個點都表示路程和時間的一組相對應(yīng)的數(shù)值。再通過觀察，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)所描出的這些點正好在一條直線上，清楚地認(rèn)識正比例圖像的特點，并借助直觀的圖像進(jìn)一步理解兩種量同時擴(kuò)大或縮小的變化規(guī)律，理解正比例的意義。畫出圖像后，讓學(xué)生根據(jù)圖像來判斷行駛路程和時間，進(jìn)一步認(rèn)識圖像上任意一點所表示的實際意義，初步體會正比例圖像的實際應(yīng)用。通過正比例圖像與正比例關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，加深對正比例意義的理解，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識打下初步的基礎(chǔ)。

六年級下冊《圓柱的認(rèn)識》教師拿著圓柱實物告訴學(xué)生圓柱的各部分名稱，并指出我們研究的圓柱是直圓柱。學(xué)生在淺層面上對圓柱有了了解，有了粗略的印象。讓學(xué)生動手操作，做一個圓柱，在操作中去感悟探究圓柱的本質(zhì)特征。教師利用多媒體的演示從圓柱實物上抽取出圓柱的立體圖形，請學(xué)生指出各部分的名稱及各部分的特征，加以規(guī)范認(rèn)識。在學(xué)生感受收獲的喜悅的同時為學(xué)生后續(xù)再認(rèn)識埋下伏筆。從圓柱實物的感受--從具體操作去體驗思考感悟--抽象出圓柱的本質(zhì)特征與幾何圖形--回到具體的實物。整個教學(xué)過程大膽放手讓學(xué)生在操作作中探究，在探究中操作，教師適時的加以引導(dǎo)既達(dá)到培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的空間觀念、空間想象力；也促進(jìn)學(xué)生的觀察力、思維能力等其它方面能力的發(fā)展。

通過此章節(jié)的培訓(xùn)，使我深刻地知道和理解幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！苯處熢诶斫鈳缀沃庇^的過程中，要注意以下幾個問題：第一，幾何直觀指的是通過“幾何”的手段，達(dá)到“直觀”的目的，實現(xiàn)“描述和分析問題”的目標(biāo)。這里的“幾何”手段主要是指“利用圖形”，“直觀”的目的主要是將“復(fù)雜、抽象的問題變得簡明、形象”。因此，幾何直觀對學(xué)生而言是一種有效的學(xué)習(xí)方法，對教師而言是一種有效的教學(xué)手段，它是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。第二，幾何直觀所利用的“圖形”主要是指點、線、面、體以及由以上四要素組成的其他幾何圖形，在小學(xué)階段主要有正方形、長方形、三角形、平等四邊形、梯形、圓以及線段、直線、射線等。幾何直觀所要描述和分析的問題，不僅可以是生活問題，而且可以是數(shù)學(xué)問題。第三，幾何直觀的意義和價值主要體現(xiàn)在三個方面：一是有助于把復(fù)雜、抽象的問題變得簡明、形象，二是有助于探索解決問題的思路并預(yù)測結(jié)果，三是有助于幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。因此，教師要善于在教學(xué)中利用幾何直觀，將復(fù)雜、抽象的問題變得簡明、形象，幫助學(xué)生探索解決問題的思路，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。如在教學(xué)“數(shù)的認(rèn)識”時，教師要幫助學(xué)生利用圓形、三角形、正方形或長方形等紙片，直觀理解數(shù)量和數(shù)的意義；在教學(xué)“解決復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的問題”時，要善于利用線段圖等描述和分析問題中的數(shù)量關(guān)系；在解決“雞兔同籠”等問題時，要重視通過列表分析解決問題；在探索事件發(fā)生的變化規(guī)律時，要重視利用統(tǒng)計圖表幫助學(xué)生直觀感受事件發(fā)生的變化規(guī)律并預(yù)測結(jié)果；在探索函數(shù)關(guān)系的變化規(guī)律時，要重視利用表格、圖像進(jìn)行描述和分析等。