第一篇：空間觀念的形成策略和幾何直觀

空間觀念的形成策略和幾何直觀、推理能力的提高策略研究與實踐經(jīng)驗交流

小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中對空間觀念、幾何直觀、推理能力給出了如下的解釋和要求。

空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。在我教學(xué)中有幾點淺薄的感受：

一、多讓學(xué)生主動參與動手實踐獲取對圖形的直觀認(rèn)識

什么叫直觀，直是直接，觀是看，簡單得不能再簡單地說，就是直接看，只許看不許摸行嗎？課堂不是參觀，當(dāng)然不可以。學(xué)習(xí)直觀幾何，就像書上所說采用學(xué)生喜愛的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等具體、實際的活動方式，引導(dǎo)學(xué)生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實驗，把視覺、聽覺、觸覺、動覺等協(xié)同起來，強(qiáng)有力地促進(jìn)心理活動的內(nèi)化，也可以說成是刺激，從而使學(xué)生掌握圖形特征，形成空間觀念。

在空間與圖形的教學(xué)中，抽象推理、邏輯演繹、嚴(yán)格證明的方式要不要？必要的時候也可以適當(dāng)運(yùn)用，但鑒于中學(xué)生實際的思維水平及認(rèn)知能力，動手操作、實踐探索似乎更能適應(yīng)學(xué)生“空間與圖形”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)。正如課程標(biāo)準(zhǔn)所言，應(yīng)注重使學(xué)生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大?。粦?yīng)注重通過觀察物體、制作模型、設(shè)計圖案等活動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。因此，在教學(xué)中，應(yīng)注重使學(xué)生探索現(xiàn)實世界中有關(guān)空間與圖形的問題：應(yīng)注重使學(xué)生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及變換??”讓學(xué)生主動參與動手實踐獲取對圖形的最基本的直觀認(rèn)識。而且，“讓學(xué)生在主動參與中獲取對圖形的認(rèn)識”也是空間與圖形教學(xué)的重點。因此，在實際教學(xué)中要注重從學(xué)生已有出發(fā)，以直觀和動手操作為基本手段，注重引導(dǎo)學(xué)生把生活中對圖形的感受與有關(guān)知識建立聯(lián)系，在學(xué)生積極主動的參與學(xué)習(xí)中并動手實踐。

二、以直觀為立足點，展開想象。

幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿幾何教學(xué)的始終，在幾何教學(xué)中占有很重要的地位。幾何中的轉(zhuǎn)化主要是空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化是解決幾何問題的常用方法之一，通過“割”或“補(bǔ)”可化復(fù)雜圖形為已熟知的簡單幾何圖形，從而較快地找到解決問題的突破口。我們可以將數(shù)學(xué)方法傳遞給學(xué)生，而數(shù)學(xué)眼光卻無法傳遞，故應(yīng)著重把握好對數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，這樣有利于學(xué)生主動探索解決問題的方法，體會解決問題的策略，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。

整個新知識的教學(xué)，教者充分尊重學(xué)生的主體地位，學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的全過程，采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證等方法認(rèn)識和探索幾何圖形及其性質(zhì)。讓學(xué)生經(jīng)歷了“大膽想象——操作轉(zhuǎn)化——驗證猜想”這一過程，讓學(xué)生在理解公式推導(dǎo)的過程中以長方形面積計算為基礎(chǔ)，以圖形間內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知向已知轉(zhuǎn)化為基本方法開展學(xué)習(xí)，學(xué)會解決問題。借助于經(jīng)驗、觀察或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、以及幾何直觀能力，從而建立起人對自身體驗與外物體驗的對應(yīng)關(guān)系。

三、讓學(xué)生在自主構(gòu)建空間觀念

打個比方說，就像我們給學(xué)生一堆積木，提出目標(biāo)和要求后，讓學(xué)生發(fā)揮自己的能力去自由搭建。學(xué)生會搭建出復(fù)古的、傳統(tǒng)的、時尚的、現(xiàn)代的，或者說是超時代的物品等。也有點像玩七巧板的意味，老師的指導(dǎo)只是根據(jù)老師的要求和學(xué)生的具體需要，老師要求拼數(shù)學(xué)，學(xué)生可以拼任何一個數(shù)字，當(dāng)遇到困難時，老師要給予不同的指導(dǎo)。

建構(gòu)思想不能簡單的說成“以學(xué)促教”，在自主建構(gòu)的教學(xué)活動中，教師的活動更傾向于“助學(xué)、導(dǎo)學(xué)”的學(xué)習(xí)管理。相比較而言，傳統(tǒng)教學(xué)也好，新課程理念也好，甚至于“自主建構(gòu)”，說得通俗明白一點，就是課堂教學(xué)中老師和學(xué)生，“教”和“學(xué)”在份量、時間、空間上多少的轉(zhuǎn)變過程。

另外，物有本未，事有終始，自主建構(gòu)要想達(dá)到教育的本源，達(dá)到教育的理想境地，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，教師真正成為有一定學(xué)習(xí)管理權(quán)的服務(wù)者，尚需時日。作為老師，時不我待。

四、注重了師生互動、生生互動

新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，在課堂教學(xué)中主張以學(xué)生為主體，注重師生互動和生生互動。師生應(yīng)該互有問答，學(xué)生與學(xué)生之間要互有問答。在課堂中，我始終面向全體學(xué)生，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，通過教學(xué)中師生之間、同學(xué)之間的互動關(guān)系，產(chǎn)生教與學(xué)之間的共鳴。

第二篇：教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀

教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀

寬城三中：張學(xué)民

發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀方法是多種多樣的，只要我們遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，了解學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，依據(jù)學(xué)生的年齡特點，遵循知識的循序漸進(jìn),王老師的文章理論與實踐相結(jié)合，植根于新課標(biāo)，發(fā)自于內(nèi)心深處對教育的理解，值得推薦學(xué)習(xí)！

在空間與圖形的教學(xué)中，抽象推理、邏輯演繹、嚴(yán)格證明的方式要不要？必要的時候也可以適當(dāng)運(yùn)用，但鑒于初中學(xué)生實際的思維水平及認(rèn)知能力，動手操作、實踐探索似乎更能適應(yīng)學(xué)生“空間與圖形”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)。正如課程標(biāo)準(zhǔn)所言，應(yīng)注重使學(xué)生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大??；應(yīng)注重通過觀察物體、制作模型、設(shè)計圖案等活動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

我們的教學(xué)還要立足教材，領(lǐng)著學(xué)生從教材中走出來。教材承載著提升學(xué)生空間觀念的點滴作用，一點一滴雖然微小，但能小中見大、滴水穿石。教材中蘊(yùn)藏著豐富的培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的好時機(jī)，教師要有意識地深入理解教材的每個設(shè)計意圖，并用好這些素材。教師要努力去創(chuàng)造性地使用素材，為學(xué)生的空間觀念乃至各方面數(shù)學(xué)能力的積累創(chuàng)造良好的條件，真正地使數(shù)學(xué)教學(xué)為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積累服務(wù)。

讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中拓展和運(yùn)用新知，培養(yǎng)空間想象力。幾何知識的初步認(rèn)識貫穿在整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，是按由易到難的順序呈現(xiàn)的。平行四邊形面積的計算是在學(xué)生已經(jīng)掌握并能靈活運(yùn)用長方形面積計算公式，理解平行四邊形特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。這部分知識的學(xué)習(xí)運(yùn)用會為學(xué)生學(xué)習(xí)后面的三角形，梯形等平面圖形的面積奠定良好的基礎(chǔ)。因此這節(jié)課的內(nèi)容在整個教材體系中起到承上啟下的作用，是促進(jìn)學(xué)生空間觀念及幾何直觀的發(fā)展，滲透轉(zhuǎn)化、等積變形等數(shù)學(xué)思想方法的重要環(huán)節(jié)。教材提供了兩種提示性的方法：一種是通過數(shù)格子的方法，數(shù)出這個平行四邊形的面積；一種是通過剪與拼的活動，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，然后計算出面積。最后，教材安排了觀察平行四邊形與長方形的關(guān)系，從中推導(dǎo)出計算平行四邊形面積的公式。

本節(jié)課讓學(xué)生簡單記憶公式并不難，難的是讓學(xué)生理解公式。因此，教學(xué)中，通過幾何直觀性的作用，借助于直觀，更好的理解和掌握所學(xué)內(nèi)容的實質(zhì)。讓學(xué)生親自動手剪一剪、拼一拼，并帶著自己的操作經(jīng)歷進(jìn)行小組內(nèi)的討論和交流，經(jīng)歷了知識的形成過程和幾何直觀的發(fā)展。在這個環(huán)節(jié)里注重的是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中動手實踐和自主探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，使學(xué)生在幾何直觀的基礎(chǔ)上對空間觀念得到進(jìn)一步發(fā)展。這樣不僅讓學(xué)生學(xué)到知識，更重要的是對學(xué)生滲透了平移和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析、概括的能力并且訓(xùn)練了學(xué)生學(xué)會用學(xué)到新知解決問題的能力。

1、遵循“滲透——推導(dǎo)——驗證——應(yīng)用”的教學(xué)過程。

理解平行四邊形的面積公式的推導(dǎo)是這節(jié)課的難點。在教學(xué)這一內(nèi)容前，首先通過數(shù)方格這個數(shù)學(xué)活動滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生初步掌握了等積轉(zhuǎn)化的方法，然后讓學(xué)生通過動手剪、拼、量、算等活動后去觀察比較，接著運(yùn)用現(xiàn)代化教學(xué)手段，為學(xué)生架起由具體到抽象的橋梁，使學(xué)生直觀清楚的看到平行四邊形轉(zhuǎn)化長方形的過程，說出拼成長方形和原來平行四邊形之間的關(guān)系，通過推理，歸納出平行四邊形的面積計算公式。這樣的教學(xué)突出了重點，化解了難點。

2、重視學(xué)生動手操作實踐，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。教學(xué)中，通過學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，全面通過幾何直觀的數(shù)學(xué)思維過程，啟迪和發(fā)展學(xué)生思維，將知識發(fā)生、發(fā)展過程與學(xué)生學(xué)習(xí)知識的心理活動統(tǒng)一起來。課堂教學(xué)中充分有效地進(jìn)行思維訓(xùn)練，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，它不僅符合素質(zhì)教育的要求，也符合知識的形成與發(fā)展以及人的認(rèn)知過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的實質(zhì)性價值。

在這節(jié)課中，教師要充分讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)，讓學(xué)生數(shù)方格，讓學(xué)生剪拼，引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)全過程，去主動探求知識，強(qiáng)化學(xué)生參與意識，通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“割補(bǔ)法”把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：長方形的面積與原平行四邊形的面積有什么關(guān)系？長方形的長和寬與平行四邊形底和高有什么關(guān)系？利用討論交流等形式要求學(xué)生把自己操作-轉(zhuǎn)化-推導(dǎo)的過程敘述出來，然后可以充分利用多媒體課件演示，形象、直觀，使學(xué)生得出結(jié)論：因為長方形的面積=長X寬，所以平行四邊形的面積=底×高。通過觀察、交流、討論等形式，發(fā)展學(xué)生思維和表達(dá)能力，讓學(xué)生在理解公式推導(dǎo)的過程中學(xué)會解決問題。這樣教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生解決生活中實際問題的能力都有重要作用。

3、注重師生互動、生生互動

新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，在課堂教學(xué)中主張以學(xué)生為主體，注重師生互動和生生互動。師生應(yīng)該互有問答，學(xué)生與學(xué)生之間要互有問答。在這節(jié)課中，我能始終面向全體學(xué)生，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，通過教學(xué)中師生之間、同學(xué)之間的互動關(guān)系，產(chǎn)生教與學(xué)之間的共鳴。

借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路，可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法；抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機(jī)會；揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。直觀常常提供證明的思路和技巧,有時嚴(yán)格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴(yán)格化和數(shù)學(xué)加工。幾何直觀是認(rèn)識的基礎(chǔ), 有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的問題，如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，還有待于我們進(jìn)一步去研究。只要我們做個有心人，幫助學(xué)生建立起實物與概念間的聯(lián)系，化抽象為具體，就可以促使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，也能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀方法是多種多樣的，只要我們遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，了解學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，依據(jù)學(xué)生的年齡特點，遵循知識的循序漸進(jìn)，刻苦鉆研，就能在幾何教學(xué)中走出一條發(fā)展學(xué)生空間觀念和幾何直觀的創(chuàng)新之路。

第三篇：幾何直觀和空間觀念的差異及教學(xué)側(cè)重點 2

幾何直觀和空間觀念的差異及教學(xué)側(cè)重點

東北師范大學(xué)孔凡哲 東北師范大學(xué)第二附屬小學(xué)王延萍

幾何直觀作為核心名詞，2011年底首次出現(xiàn)在小學(xué)階段（盡管2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》早就明確提出了針對“幾何直觀”的要求“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的?幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求”）；同時，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）以下簡稱首次將幾何直觀與空間觀念、推理能力并列，成為“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心目標(biāo)的三大組成要素。

幾何直觀與推理能力差異是顯而易見的。但是，幾何直觀與空間觀念究竟是什么關(guān)系？在教學(xué)中，如何有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與空間觀念？這些問題都是小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域亟待理清的問題。本文就此闡述。

一、幾何直觀與空間觀念的含義差異分析

正如《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出的，“直觀與推理是圖形與幾何領(lǐng)域的核心目標(biāo)”，其中，“空間觀念”是指“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等”，“幾何直觀”是指“利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。特別地，空間觀念的培養(yǎng)要貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中”。

我們認(rèn)為，“嚴(yán)格意義上講，這是針對幾何直觀的作用的解釋性說明，而不是針對幾何直觀的含義的詮釋”，即不是針對“幾何直觀”的明確定義。對此，我們可以這樣定義幾何直觀：

幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（即空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。

幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化、顯性化，因而，尋找數(shù)學(xué)對象的直觀模型是有效發(fā)揮幾何直觀的重要環(huán)節(jié)之一。

作為“圖形與幾何”的核心名詞，幾何直觀與空間觀念分別從不同的角度涵蓋了幾何學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)，二者有局部的差異，但是，各有側(cè)重。

（一）二者的側(cè)重點非常明顯 幾何直觀通常是在有背景的條件下進(jìn)行的，而借助幾何直觀“看”出來的結(jié)果，往往需要經(jīng)過邏輯推理的驗證。而空間觀念側(cè)重于“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”，“描述圖形的運(yùn)動和變化”，“依據(jù)語言描述畫出圖形”等等，這些活動未必必須憑借看得見、摸得著的真實圖形，而可以憑借語言、頭腦的想象物等等。

不僅如此，幾何直觀側(cè)重利用圖形整體把握問題，而空間觀念側(cè)重于刻畫學(xué)習(xí)者對于空間的感知和把握程度，前者更接近應(yīng)用層面，可以歸為運(yùn)用圖形的能力，后者側(cè)重于幾何學(xué)習(xí)對學(xué)習(xí)者帶來的變化和發(fā)展。

（二）二者觸及的領(lǐng)域各有側(cè)重

幾何直觀側(cè)重于利用圖形整體分析和把握數(shù)學(xué)問題，而這里的問題幾乎涉及數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，而空間觀念大多局限在“圖形與幾何”領(lǐng)域——雖然有時觸及幾何與數(shù)學(xué)的其他分支學(xué)科的交叉領(lǐng)域。

（三）二者在若干局部領(lǐng)域具有交叉性、重疊性

即，對于憑借圖形分析其對應(yīng)的實際物體，二者具有重疊部分，幾何直觀側(cè)重于整體把握問題、分析解決相關(guān)的問題（雖然問題未必都是幾何問題），而空間觀念側(cè)重于看到圖形想到事物，能夠進(jìn)行圖形與其相關(guān)事物之間的轉(zhuǎn)換等。

（四）對于學(xué)生的形象思維的發(fā)展，二者共同發(fā)揮作用

在日常教學(xué)中，我們應(yīng)該幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。幫助學(xué)生逐步形成初步的幾何直觀，感受幾何直觀的作用。

特別地，就整個義務(wù)教育階段而言，推理能力的培養(yǎng)必須以學(xué)生已有的幾何活動經(jīng)驗、幾何直觀為先導(dǎo)，但必須強(qiáng)調(diào)概念或觀念的明確定義，以及幾何量的代數(shù)運(yùn)算。而學(xué)習(xí)的內(nèi)容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實驗幾何的充分學(xué)習(xí)，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達(dá)到知覺性的了解、操作性的了解，進(jìn)而逐步形成幾何推理。當(dāng)然，在小學(xué)階段，推理能力屬于滲透，而不是重點培養(yǎng)，但是，這是整個九年發(fā)展推理能力的必不可少的階段，屬于奠基性工作。

二、幾何直觀與空間觀念的作用、價值的差異分析

幾何直觀屬于直觀感知基礎(chǔ)之上所形成的理性思考所致，是學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)對象的幾何屬性（或與幾何屬性密切相關(guān)的一些屬性）的整體把握和直接判斷的能力；

同時，幾何直觀是學(xué)習(xí)者、研究者對于數(shù)學(xué)對象的全貌和本質(zhì)進(jìn)行的直接把握，這種直接判斷建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上，既有相對豐富的經(jīng)驗積淀，更有經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的理性的概括和升華。

（一）二者都是圖形與幾何領(lǐng)域長期學(xué)習(xí)的積淀所形成的結(jié)果，具有連續(xù)性

1．幾何直觀需要長期的積淀，即利用圖形、采取整體思維的方式把握問題的本質(zhì)，逐漸形成針對幾何圖形（及其等價量）的數(shù)學(xué)直觀。

例如，看到a2+b2，完全下意識地（自覺地）想到直角三角形的兩條直角邊的平方和，它等于斜邊的平方。

2．長期從事圖形與幾何的操作活動，并善于分析幾何活動要素之間的關(guān)系，可以逐步形成空間觀念。同時，空間觀念的發(fā)展具有（兒童發(fā)展的）時節(jié)性，已有的研究表明，義務(wù)教育階段是發(fā)展兒童空間觀念的最佳期，一旦錯過，幾乎無法修復(fù)或者重新發(fā)展。

其實，幾何的啟蒙活動應(yīng)該借助探索、研究、分析、討論生活中的真實形體，充分使用學(xué)生原有的、處在生活經(jīng)驗狀態(tài)的幾何認(rèn)知，熟練地描述與表征周圍的環(huán)境。這些實驗、觀察、探索的活動需要不斷地安排在不同的學(xué)習(xí)層次中，探索形體的要素、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)、找出形體間的關(guān)系，讓學(xué)生透過有趣的操作實踐活動更多地了解幾何世界，促進(jìn)他們幾何思維的發(fā)展。

（二）二者都具有一定的邏輯性

幾何直觀屬于從整體的視角直接把握問題的本質(zhì)，其間需要摒棄大量無關(guān)的次要信息，而把握核心要素之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，其邏輯的成分顯而易見；

與此相對，空間觀念的各個成分幾乎都涉及邏輯成分，無論是實物與其相應(yīng)的圖形之間的邏輯關(guān)系，還是圖形之中的各個要素之間的關(guān)系，無論是二維、三維圖形之間的轉(zhuǎn)換，還是將復(fù)雜的圖形與其基本圖形之間的關(guān)系，無論是根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，還是想象出物體的方位及其相互的位置關(guān)系，無論是描述圖形的運(yùn)動和變化，還是依據(jù)語言的描述畫出圖形，都或多或少地涉及邏輯因素。

（三）二者具有密切的關(guān)聯(lián)性

作為幾何學(xué)習(xí)的重要目的，無論是幾何直觀，還是空間觀念，都深深融入學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)活動之中，而這些學(xué)習(xí)與學(xué)生親身參與的幾何活動交織在一起，在許多情況下幾乎無法嚴(yán)格區(qū)分。雖然空間觀念、幾何直觀都有先天的成分，但是，其實質(zhì)性的發(fā)展都是在后天完成的，同時，二者的發(fā)展相互制約、相互促進(jìn)。

1．空間觀念的發(fā)展對于幾何直觀的發(fā)展具有重要的促進(jìn)作用，并構(gòu)成幾何直觀形成的重要基礎(chǔ)（雖然不是唯一基礎(chǔ)，幾何直觀發(fā)展的另一個重要基礎(chǔ)，就是整體思維方式的形成，這需要適度的抽象水平，能夠撇開無關(guān)要素、單刀直入把握要害。

2．幾何直觀的發(fā)展對于空間觀念具有重要的強(qiáng)化作用。中小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何直觀具體表現(xiàn)為四種基本形式“實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀”。這些不同層面的幾何直觀其實與空間觀念的發(fā)展密切聯(lián)系在一起：

在實物直觀（即實物層面的幾何直觀）階段，學(xué)生借助與研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，以此作為參照物，借助其與研究對象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷（的一種能力），與其同時，學(xué)生也在漸漸地經(jīng)歷圖形抽象的過程，空間觀念的“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”“依據(jù)語言的描述畫出圖形等”等成分不斷發(fā)展。

在簡約符號直觀（即簡約符號層面的幾何直觀）階段，學(xué)生在實物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象而形成半符號化的直觀，諸如行程問題中的線路圖等等，運(yùn)用這種直觀形式，學(xué)生可以很好地“描述物體的方位及其相互之間的位置關(guān)系”“描述物體的運(yùn)動和變化”。

在運(yùn)用圖形直觀的階段，學(xué)生可以采以明確的幾何圖形為載體分析處理相關(guān)的問題，既可以涉及代數(shù)問題，也可以觸及幾何問題。其中，分析圖形的基本要素之間的相關(guān)關(guān)系，是準(zhǔn)確運(yùn)用圖形直觀的關(guān)鍵，這恰恰是空間觀念的重要成分之一。

作為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀的復(fù)合物，替代物直觀是一種復(fù)合的幾何直觀，既可以依托簡捷的直觀圖形，也可能依托用語言或數(shù)學(xué)學(xué)科表征物所代表的直觀形式，對于“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”等等成分的培養(yǎng)具有顯著作用。

（四）二者彼此具有不可替代性

作為“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W習(xí)的重要目標(biāo)，幾何直觀和空間觀念彼此無法替代，幾何直觀側(cè)重于應(yīng)用，而空間觀念側(cè)重于學(xué)習(xí)者對于幾何對象的把握程度。從而，具有良好的幾何直觀（能力）就構(gòu)成檢驗空間觀念的重要指標(biāo)之一（雖然不是唯一指標(biāo)）。

三、幾何直觀與空間觀念的培養(yǎng)側(cè)重點及其典型案例分析

1.空間觀念需要滲透在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的方方面面，而幾何直觀需要滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個領(lǐng)域，特別是，在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合”領(lǐng)域。

例如，通過觀察、操作等活動，進(jìn)一步認(rèn)識三角形、平行四邊形、梯形、長方體、正方體等幾何形體，利用學(xué)生周圍常見的事物，引導(dǎo)學(xué)生感受和探索圖形的特征，豐富圖形與幾何的活動經(jīng)驗，建立初步的空間觀念和幾何直觀。因而，積累幾何活動經(jīng)驗就成為幾何教育的一個更加直接的目標(biāo)和追求。擁有豐富的幾何活動經(jīng)驗并且善于反思的人，他的幾何直觀更有可能達(dá)到更高的水平。

與此相對應(yīng)，借助于恰當(dāng)?shù)膱D形、幾何模型進(jìn)行解釋，能夠啟迪思路，幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，而抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個主動思考的機(jī)會和揭示經(jīng)驗的策略，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。

2.幾何直觀更多地體現(xiàn)在問題解決之中、新知建構(gòu)的過程之中，而空間觀念需要全方位地體現(xiàn)在學(xué)生親身參與幾何活動之中。例如，借鑒俄羅斯L.V.沙雷金和L.N.葉爾岡日耶娃合著的《直觀幾何》中的做法，通過折紙、擺火柴、走迷宮、鑲嵌等操作活動，接觸反射與對稱、拓?fù)浣?jīng)驗、“七橋問題”、單向曲面、六面體的展開、多邊形鋪設(shè)、坐標(biāo)與方位、密碼通訊等課題，讓小學(xué)生用直觀的方法接觸大量的、生動的幾何世界，既可以在問題解決之中體會幾何直觀帶來的美妙，又可以在活動之中發(fā)展空間觀念，開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，體驗了數(shù)學(xué)的魅力和情趣。

3.隨著年級的升高，幾何直觀的層次需要逐級提升，從最初側(cè)重于實物直觀，逐步過渡到符號直觀、圖形直觀。而空間觀念的發(fā)展需要從涵蓋“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”“描述圖形的運(yùn)動和變化”“依據(jù)語言描述畫出圖形”等各個方面，而不可局限在某些方面，比如，從實物到圖形的轉(zhuǎn)換。

（編者注：限于篇幅，例子從略）

4.幾何直觀需要更較高的思維水平，從而，更需要教師在日常教學(xué)中不斷主動地運(yùn)用幾何直觀幫助學(xué)生建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)理解，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的整體思維方式和數(shù)形結(jié)合的意識，并幫助學(xué)生把握往往起核心的那些基本圖形（諸如三角形、正方形等等）。

比如，在統(tǒng)計問題中，可以借助一個圓片代表樣本數(shù)據(jù)1，由此可以很好地理解“移多補(bǔ)少”，進(jìn)而掌握平均數(shù)的概念。這里的“圓片”就是樣本數(shù)據(jù)1的替代物，直觀而形象。而如下的代數(shù)案例也可以很好地體現(xiàn)幾何直觀的作用：

【案例】 新世紀(jì)版3年級上冊 第30～31頁 “去游樂場——兩位數(shù)乘一位數(shù)進(jìn)位乘法”

生1：

生2：我是豎式計算。

（教師在黑板用小棒卡片配合生2講解豎式計算的方法。）

用小棒直觀圖讓孩子理解，4×6=24中的2，要加在十位上，這個2在圖里就代表24中的那兩捆小棒，因為這兩捆小棒要先跟上面那四捆小棒相加，整捆加整捆，所以算十位4×1=4還要加上個位進(jìn)來的2。結(jié)合小棒圖，給孩子一個直觀的感受，孩子更容易理解豎式的算理。

但是，隨著學(xué)齡的增加，我們要有意識地提高學(xué)生幾何直觀的層次和水平，逐步過渡到圖形直觀、符號直觀的層次。

【編者的話】在《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，增加了幾何直觀這一核心詞，本文結(jié)合案例，從理論和實踐兩個方面對幾何直觀與空間觀念的區(qū)別，對幾何直觀與空間觀念的作用、價值的差異進(jìn)行了區(qū)分。難能可貴的是本文還結(jié)合案例對教學(xué)中的幾何直觀與空間觀念的培養(yǎng)側(cè)重點進(jìn)行了分析和說明。無論是從理論的角度，還是教學(xué)實踐的角度，都有很好的指導(dǎo)價值。本文發(fā)表于《新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)》雜志2011年第六期。有刪節(jié)。

第四篇：關(guān)于幾何直觀的思考

關(guān)于幾何直觀的思考

作者：秦德生，? 文章來源：《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005年第10期 [摘要] 隨著數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育中的一個關(guān)注問題。本文從幾何課程基本要求的演變出發(fā)，探討幾何直觀的概念以及與相關(guān)概念的辨析，追溯幾何直觀的哲學(xué)基礎(chǔ)，提倡“直觀型”的課程設(shè)計，挖掘幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀；課程標(biāo)準(zhǔn)；哲學(xué)基礎(chǔ)；教育價值

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育界都在關(guān)注數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1][2]的制訂與實施，關(guān)注數(shù)學(xué)課程改革，而幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對幾何圖形本身的研究意義。正如弗萊登塔爾所說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！边@也與康德的“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的”觀念是相同的。隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]提出培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幾何直觀成為數(shù)學(xué)教育中的一個關(guān)注問題；經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌l(fā)展，相信對幾何直觀的研究能夠成為數(shù)學(xué)教育的核心問題。

在此，筆者試圖從幾何課程基本要求的演變出發(fā)，探討幾何直觀的概念以及與相關(guān)概念辨析，追溯幾何直觀的哲學(xué)基礎(chǔ)，挖掘幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值?，F(xiàn)將自己的一些想法就正于各位同行專家．

1．我國對幾何課程基本要求的演變

我國解放后首次制定(1952年)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提出，小學(xué)“算術(shù)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)和發(fā)展兒童的邏輯思維”，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)“發(fā)展學(xué)生生動的空間想像力,發(fā)展學(xué)生邏輯的思維力和判斷力”[3]。以后的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在能力培養(yǎng)方面的要求一直是“通過數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和空間想像力”。1963年根據(jù)華羅庚、關(guān)肇直等專家的意見，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的能力培養(yǎng)任務(wù)修改為“計算能力、邏輯推理能力和空間想像力”(傳統(tǒng)的三大能力)。1978年的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，又增加了“培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力”。1988年的九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，能力培養(yǎng)任務(wù)改為“培養(yǎng)運(yùn)算能力，發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念”,這種要求一直持續(xù)至今?！读x務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

(征求意見稿，2000年)在發(fā)展性領(lǐng)域中，明確提出能力培養(yǎng)任務(wù)是思維能力的培養(yǎng)，“應(yīng)使學(xué)生在定量思維、空間觀念、合情推理的演繹論證等方面獲得發(fā)展”。2000年3月頒布的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》中指出，要“培養(yǎng)初步的思維能力和空間觀念”。

2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》[1]提出“豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認(rèn)識，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”[1]．2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]指出：“幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。人們通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計算等方法認(rèn)識和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認(rèn)識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求?！盵2] 從我國幾何課程基本要求的演變來看，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，對幾何教學(xué)的要求不盡相同，那么，什么是幾何直觀，它與直覺、空間觀念、空間想像能力等名詞之間有聯(lián)系或者區(qū)別么？我們來進(jìn)一步探討。

2．幾何直觀概念的內(nèi)涵及典型觀點辨析 2.1 什么是直觀

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握”[4]；而西方哲學(xué)家通常認(rèn)為“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認(rèn)識”；心理學(xué)家則認(rèn)為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力”。

蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)[5]。

徐利治先生提出，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知[6]。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應(yīng)關(guān)系。

他們從數(shù)學(xué)、哲學(xué)、心理學(xué)等角度給直觀包括幾何直觀下了定義，但我們認(rèn)為直觀一般有兩種：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)，2

可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。

2.2 直觀與直覺

直觀與知覺在英文中都是單詞Intuition，但二者并不是完全相同，直覺不等于直觀。

從研究對象來看直覺的對象不一定是可視的對象，直觀的對象一定是可視的。從過程來看，直觀與個人的經(jīng)驗、經(jīng)歷有關(guān)，直觀有層次性，直觀是從一個層次看到更深刻的層次或本質(zhì)；在同一個層次不是直觀而是直覺，直覺是有原因與結(jié)果的關(guān)聯(lián)，是一個平面上的，屬于同一個層次。從功能來看，直觀是用來發(fā)現(xiàn)定理的，而直覺用來證明定理的。

2.3 直觀與想象

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,空間想像力“指的是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象的能力。麥吉(Megee,1979)認(rèn)為，空間想像力包括“在心理上操作、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)或逆轉(zhuǎn)形象刺激物的能力”，朱文芳認(rèn)為“空間想像能力是完成空間認(rèn)知任務(wù)的橋梁,空間思維能力起著決定性的核心作用”[7]。心理學(xué)家通常認(rèn)為,想像(imagination)以表象為基本材料,但不是表象的簡單再現(xiàn)，是指“在頭腦中對已有表象進(jìn)行加工、改造、重新組合形成新形象的心理過程”。

我們認(rèn)為，空間想象能力是指脫離背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力。直觀是在有背景的條件下進(jìn)行，想象是沒有背景的；幾何中的推理證明始終在利用幾何直觀，在想象圖形。

所以，我們建議：普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對幾何目標(biāo)的敘述修改為“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和借助幾何直觀進(jìn)行推理論證的能力，從而培養(yǎng)運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及空間想象能力，是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求?！边@樣敘述應(yīng)該更恰當(dāng)和準(zhǔn)確。

3．幾何直觀的哲學(xué)分析 3.1 直觀主義

直觀化，本來是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的直觀主義流派，出于數(shù)學(xué)概念和方法的“可信性”考慮而提出的基本主張，其中心內(nèi)容是“存在必須是被構(gòu)造”?？梢姅?shù)學(xué)中的直觀主義就是哲學(xué)中的康德主義，主張數(shù)學(xué)的概念由人類理性構(gòu)造而成。數(shù)學(xué)對象的構(gòu)造就是人們先驗地在直觀中畫出與概念相應(yīng)的圖形，所以構(gòu)造數(shù)學(xué)對象 3

需要非經(jīng)驗的直觀。人們在這種純粹直觀中構(gòu)造出一個具體的圖形，這一圖形能夠代表所有與某概念相應(yīng)的圖形，這說明人們在純直觀中構(gòu)造的圖形具有與概念相同的普遍意義，因此在幾何直觀中構(gòu)造出了具體的圖形就是構(gòu)造出了相應(yīng)的概念與數(shù)學(xué)實體。

笛卡兒認(rèn)為，直觀是純粹理性的，但作為理性的東西并不能完全擺脫或無視某些經(jīng)驗，可見這二者是矛盾的，直觀的確定性與與非邏輯性相矛盾，直觀不能保證普遍原理的確定性，直觀具有發(fā)現(xiàn)真理功能，但不能兼?zhèn)渥C明真理、確保真理可靠性的功能。

3.2 幾何直觀的歷史性

畢達(dá)哥拉斯時代,人們的數(shù)學(xué)直觀里浸透了整數(shù)是萬物本質(zhì)的哲理；非歐幾何產(chǎn)生以前,人類的數(shù)學(xué)直觀里有著歐氏公理是先驗不變的真理的觀念；非標(biāo)準(zhǔn)分析又使一度失去了對無窮小的直觀在更抽象的層次上恢復(fù)；而今計算機(jī)造成的外移動的超立體的圖象,又對我們關(guān)于高維空間的抽象直觀充實了具體感性。所以數(shù)學(xué)直觀是歷史概念，數(shù)學(xué)直觀在每個歷史時期,其抽象性和直觀性都具有不同的內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)中的抽象性帶有理論和哲學(xué)色彩，幾何直觀帶有經(jīng)驗、思想和感情因素。復(fù)數(shù)的引入，是因邏輯上的需要而直接引進(jìn)的“理想元素”，被賦予某種實際意義后，以幾何直觀解釋為中介，同現(xiàn)實世界建立了間接聯(lián)系，從而提高了它的可信性。復(fù)數(shù)，在它被引入后的最初兩個半世紀(jì)中一直“給人虛無縹緲的感覺”，直至維塞爾、高斯等人相繼對它作出了幾何解釋與代數(shù)解釋，把它與平面向量a+bi或數(shù)偶 對應(yīng)，才“幫助人們直觀地理解它的真實意義”，并取得了實際應(yīng)用．所以，它不僅被數(shù)學(xué)理論所決定，并隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展而發(fā)展，而且它也避免不了當(dāng)時人類整個文化情境對個人心理上的影響。直觀是隨著人類理性的進(jìn)步而進(jìn)步的。換言之,幾何直觀的建立和發(fā)展是一個歷史過程。它并不是一個從古到今就一直存在著的永恒的人類用來認(rèn)識數(shù)學(xué)現(xiàn)象的中性框架，幾何直觀是一種進(jìn)化的產(chǎn)物，可以進(jìn)行更高層次的創(chuàng)造性活動。因此一個人在不同年齡階段所表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)直觀能力可以看作是整個人類在這方面歷史發(fā)展過程的縮影。

3.3 直觀與形式的統(tǒng)一

數(shù)學(xué)作為一門精確科學(xué)，其研究活動必須以量和質(zhì)、形式和內(nèi)容的分離為前 4

提，把前者從自然界的普遍聯(lián)系中抽取出來，加以抽象，在不斷形式化的過程中實現(xiàn)它的精確性，這個過程就是數(shù)學(xué)化，換言之，就是數(shù)學(xué)抽象發(fā)展與現(xiàn)實世界的緊密結(jié)合，它既可以描述具體問題的數(shù)學(xué)模型，也可以反映各種層次的數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的更高層次抽象．?dāng)?shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的“直觀——形式——直觀”模式，是一般科學(xué)概念發(fā)展的“具體——抽象——具體”模式的特殊表現(xiàn)形式，它深刻地反映了數(shù)學(xué)活動的基本矛盾，數(shù)學(xué)通過形式化而實現(xiàn)精確性，又因為形式化而減弱客觀性，直觀化具有原始的創(chuàng)造性，它的歷史性決定不允許完全客觀的有理化．

直觀與形式之間矛盾的解決，只有在形式化和直觀化的矛盾運(yùn)動中才可能實現(xiàn)，正是二者之間的矛盾推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展以及科學(xué)的發(fā)展。從創(chuàng)造力來看，直觀能引出數(shù)學(xué)的發(fā)明,直觀能決定理論的形式和研究方向；從在數(shù)學(xué)證明上看,直觀常常提供證明的思路和技巧,有時嚴(yán)格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴(yán)格化和數(shù)學(xué)加工。數(shù)學(xué)直觀的世界與因果感覺的世界是對立的，數(shù)學(xué)思維不能完全形式化，數(shù)學(xué)思想是獨立于語言的形式之外，但數(shù)學(xué)又必須通過形式來表達(dá)，使其嚴(yán)格化。因此，數(shù)學(xué)經(jīng)過形式化而趨于完美，又通過直觀化而返樸歸真，這正是數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證過程。

4．幾何直觀的課程設(shè)計

課程設(shè)計已經(jīng)走向多流派、多元化。而強(qiáng)調(diào)知識之間有機(jī)地融合、依賴幾何直觀的“直觀型”課程成為數(shù)學(xué)課程設(shè)計的主流之一。我國新課程已經(jīng)把幾何直觀看作是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的線索之一。從函數(shù)的圖象教學(xué)、三角函數(shù)的單位圓、到導(dǎo)數(shù)的圖象判斷；從不等式的直觀解釋到線性規(guī)劃的區(qū)域刻畫，此外，還有數(shù)系擴(kuò)充中復(fù)數(shù)、概率統(tǒng)計中的直觀圖以及向量的使用等等。幾何課程設(shè)計更離不開幾何直觀。可見，幾何直觀是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的有效工具。因此，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，同時也學(xué)會數(shù)學(xué)的一種思考方式和學(xué)習(xí)方式。

當(dāng)然，我們也要注意不能用幾何直觀來代替證明、注意幾何直觀帶來的認(rèn)識上的片面性。例如，對指數(shù)函數(shù) 與直線 的關(guān)系的認(rèn)識，因為教材中通常都是以2或10為底來給出指數(shù)函數(shù)的圖形，在這兩種情況下，指數(shù)函數(shù) 的圖形都在直線 的上方，于是，便認(rèn)為指數(shù)函數(shù) 的圖形都在直線 的上方。教學(xué)中應(yīng)避免這 5

種因特殊賦值和特殊位置的幾何直觀得到的結(jié)果所帶來的對有關(guān)概念和結(jié)論本質(zhì)認(rèn)識的片面性和錯誤判斷。[2] 5．幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，幾何在數(shù)學(xué)研究中起著其實、聯(lián)絡(luò)、理解、甚至提供方法的作用，而幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)家依賴直觀來推動對數(shù)學(xué)的思考，數(shù)學(xué)教育家們依賴直觀來加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的理解。直觀推動了數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展。而數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數(shù)學(xué)對象為基礎(chǔ)進(jìn)行理性重建，從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。

首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)?，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計算機(jī)圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

其次，幾何直觀是認(rèn)識論問題，是認(rèn)識的基礎(chǔ), 有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機(jī)會，揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。

最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的問題，那么如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、如何更好地發(fā)揮幾何直觀性的教學(xué)價值，是每個數(shù)學(xué)教育工作者都應(yīng)該深思的問題。

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第五篇：淺談小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何與空間觀念

淺談小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何與空間觀念

這一次的國培學(xué)習(xí)中，在《解密“圖形與幾何”》這一章節(jié)，講授的專家一直強(qiáng)調(diào)：在小學(xué)階段，要注重學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。下面我結(jié)合平時的教學(xué)，對于如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念說說自己的一些認(rèn)識和做法。

新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)?？臻g觀念就是要求學(xué)生能根據(jù)幾何形體的名稱，再現(xiàn)出它的表象。隨著空間觀念的累積，可以逐步形成空間想象力，這將為以后的學(xué)習(xí)奠定相當(dāng)重要的基礎(chǔ)。如果說幼兒對一些簡單圖形的初步認(rèn)識是在游戲和生活中獲得的，那么小學(xué)生的空間觀念往往是在他們學(xué)習(xí)幾何初步知識的過程中形成的，而且空間觀念的形成又直接幫助他們更好地掌握幾何知識。如何更科學(xué)地實施教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念呢？

一、更新觀念，培養(yǎng)對空間觀念的認(rèn)識

空間觀念和空間想象力，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、掌握計算公式、提高應(yīng)用解題能力不可忽視的素質(zhì)。新課程標(biāo)準(zhǔn)要求培養(yǎng)學(xué)生初步的空間概念。我認(rèn)為，在教學(xué)中，學(xué)生首先要有數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和初步的幾何觀念，但這種能力最初是靠“猜想”來實現(xiàn)的。其實猜想也是一種思維活動，是有目標(biāo)的猜想和判斷。從學(xué)生的學(xué)習(xí)過程來看，猜想應(yīng)該是學(xué)生有效學(xué)習(xí)的良好準(zhǔn)備，它包括新的知識準(zhǔn)備、積極動機(jī)和良好情感。培養(yǎng)學(xué)生的猜想意識，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的猜想，是學(xué)生挖掘新知識和再創(chuàng)新的良好開端。學(xué)習(xí)直觀幾何，就必須采用兒童喜愛的“看一看折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等實際活動的方式，讓他們通過親自觸摸、觀察、測量、作圖和實驗，把視聽覺、觸覺、運(yùn)動覺等協(xié)同利用起來，強(qiáng)有力地促進(jìn)心理活動的內(nèi)化，從而掌握圖形的特征，形成空間觀念。這些實際操作活動應(yīng)該貫穿在幾何初步知識教學(xué)的始終，低年級需要，中高年級也絕不能忽視；認(rèn)識圖形時固然必不可少，學(xué)習(xí)求積公式時，也必須通過學(xué)生自己的實驗，逐步推出。這樣，可使學(xué)生真正知道公式的由來，并促進(jìn)空間觀念的形成。觀察和實驗既是小學(xué)幾何知識的基本教學(xué)方法，低中高年級也要有不同的要求。例如，指導(dǎo)小學(xué)生作圖，低年級可在方格紙上連點成線、畫線段、畫直角；中年級就應(yīng)在方格紙上畫長方形、正方形等；高年級要求利用直尺和三角板直接畫垂線、平行線、長方形和正方形等。這樣，要求逐步提高，能力得到相應(yīng)的培養(yǎng)。

二、觀察思考，提高對空間觀念的認(rèn)識

空間觀念是現(xiàn)實中的物體和幾何體的形狀、大小、位置關(guān)系及其變化的整體把握。從現(xiàn)實中的物體和幾何體出發(fā)，就會涉及把現(xiàn)實中的經(jīng)驗移動到幾何空間中，以此把握幾何空間，在用幾何空間中抽象而成的特征、性質(zhì)來解釋現(xiàn)實空間，在這樣抽象、還原的過程中空間觀念才能建立。例如，在教學(xué)“圓柱體側(cè)面積”這一內(nèi)容時，我引導(dǎo)學(xué)生將準(zhǔn)備好的圓柱體模型側(cè)面剪開，并觀察剪開后的長方形或平行四邊形、正方形各個部分之間與圓柱各部分之間的關(guān)系，從而概括出圓柱的側(cè)面積公式通過這一系列操作觀察思考概括，不僅使學(xué)生理解并掌握了圓柱側(cè)面積公式，而且也增強(qiáng)了學(xué)生的操作意識，提高了學(xué)生變抽象為具體的思考方法，從而提高了對空間觀念的認(rèn)識。

三、動手操作，升華對空間觀念的認(rèn)識。

學(xué)生空間觀念的形成，單靠觀察是不夠的，還需要通過自己動手操作，才會產(chǎn)生穩(wěn)固的認(rèn)識。動手操作是學(xué)生直接獲取經(jīng)驗知識的最好的途徑，它可以啟發(fā)學(xué)生積極參與思考，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣與探索欲望。學(xué)生的動手操作過程其實是學(xué)生手、眼、腦等多種器官協(xié)同合作的過程。它可以調(diào)動學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)過程。通過操作活動，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確地想象出幾何圖形形成現(xiàn)實空間。圖形的形象，能準(zhǔn)確地描述實物或幾何圖形的運(yùn)動和變化，使學(xué)生能進(jìn)一步在大腦中留下空間圖形的形象，從而建立空間觀念。發(fā)展空間觀念能力總是伴隨人的活動而產(chǎn)生和提高的，培養(yǎng)空間觀念的一個重要方法，就是加強(qiáng)空間想象的訓(xùn)練。例如，在教學(xué)正方體有幾個頂點幾個面幾條棱時，首先以小組為單位（要求教師提供學(xué)具）搭一個正方體，學(xué)生紛紛動手，但問題隨即出現(xiàn)了：有些小組搭出了正方體，有些小組搭不出來。我抓住這一機(jī)遇向?qū)W生提問，于是全班同學(xué)開始討論，最后得出結(jié)論：原來不能搭成正方體的小組小棒只有根，搭得不好的正方體雖有根，但長短不一。從而使學(xué)生認(rèn)識到正方體有條棱，每條棱都相等。只有在實踐中探究，才能把握幾何體的特征。

另外，新課程強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的感受和體驗，學(xué)生只有在活動中才能感悟出空間概念的真諦，才能養(yǎng)成良好的習(xí)慣，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和能力。離開空間，離開學(xué)生的活動，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)就成了無根之木，無源之水。所以要給學(xué)生一個活動空間，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、探索、創(chuàng)造。

總之，只要我們能創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣，從生活實際出發(fā)，讓學(xué)生動手操作實踐，注意培養(yǎng)學(xué)生的想象能力，就一定能使學(xué)生的空間觀念得到形成和發(fā)展。