第一篇：幾何直觀的課程背景及實踐策略探究

幾何直觀的課程背景及實踐策略探究

溯源：追溯幾何直觀的形成歷史，探討幾何直觀概念內(nèi)涵，并與相關(guān)概念進(jìn)行對比、辨析，有助于我們更好地了解幾何直觀的內(nèi)涵及課程背景，把握幾何直觀的教育教學(xué)價值。幾何直觀的內(nèi)涵、表現(xiàn)形式及教育價值 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 秦德生

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》(以下簡稱2011年版課標(biāo))的十個核心概念之一，也是新增加的核心詞匯。幾何直觀在內(nèi)容、意義和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對幾何圖形本身的研究范疇。正如弗萊登塔爾所說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”本文基于幾何課程要求試圖追溯幾何直觀的形成歷史，探討幾何直觀的內(nèi)涵及其與相關(guān)概念之間的聯(lián)系，闡釋幾何直觀的表現(xiàn)形式，挖掘培養(yǎng)幾何直觀能力的教育價值。

一、幾何直觀形成的歷史溯源

1952年，我國首次制訂的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱提出，小學(xué)“算術(shù)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)和發(fā)展兒童的邏輯思維能力”，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該“發(fā)展學(xué)生生動的空間想象力，發(fā)展學(xué)生邏輯的思維力和判斷力”。1963年，根據(jù)華羅庚、關(guān)肇直等專家的意見，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的能力培養(yǎng)任務(wù)修改為培養(yǎng)“計算能力、邏輯推理能力和空間想象力”（即傳統(tǒng)的三大能力）。1988年，九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱將能力培養(yǎng)任務(wù)改為“培養(yǎng)運算能力、發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念”。2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》提出“豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認(rèn)識，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”。2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。人們通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計算等方法認(rèn)識和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認(rèn)識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求。”2011年版課標(biāo)把幾何直觀作為十個核心概念之一，并明確指出幾何直觀的含義，闡明其教育價值。由我國幾何課程基本要求可以看出，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，幾何直觀的建立和發(fā)展是一個歷史演變過程。

二、幾何直觀與相關(guān)概念辨析 1.直觀與幾何直觀

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握”；西方哲學(xué)家通常認(rèn)為，“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認(rèn)識”；心理學(xué)家認(rèn)為，“直觀是從感覺到的具體對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的能力”。蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)。徐利治先生認(rèn)為，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。從數(shù)學(xué)、哲學(xué)、心理學(xué)等視角可以看出，直觀一般有兩種：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)。由此可見，直觀是一種感知，是形象思維和抽象思維的中介，是客觀世界不同事物的居間聯(lián)系環(huán)節(jié)。

2011年版課標(biāo)指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！睋Q句話說，幾何直觀就是借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。2.空間觀念與幾何直觀

從研究對象來分析，空間觀念不僅涉及“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”，而且涉及“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，描述圖形的運動和變化，依據(jù)語言的描述畫出圖形等”，而幾何直觀是憑借圖形對幾乎所有的數(shù)學(xué)研究對象進(jìn)行思考的能力?？梢?，幾何直觀與空間觀念有重疊又各有側(cè)重。從思維角度來看，幾何直觀具有思維的跳躍性，而空間觀念具有思維的連貫性。從能力分析角度看，空間觀念傾向于即使脫離了背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力，幾何直觀更強調(diào)借助一定的直觀背景條件進(jìn)行整體把握的能力。3.幾何直覺與幾何直觀

直觀與直覺非常相似。所謂直覺，《辭?！返慕忉屖恰耙话阒覆唤?jīng)過邏輯推理認(rèn)識真理的能力”，而《中國大百科全書》的解釋是“一種不經(jīng)過分析、推理的認(rèn)識過程而直接快速地進(jìn)行判斷的認(rèn)識能力。直覺是不經(jīng)過邏輯的、有意識的推理而識別或了解事物的能力”。從哲學(xué)認(rèn)識論的視角看，直覺可以分為經(jīng)驗直覺、知性直覺和理性直覺。幾何直覺無須推理就能直接對事物及其關(guān)系作出迅速的識別和理解，屬于學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)對象的感性認(rèn)識，有很大程度上的猜測成分和朦朧的整體把握，不僅有“經(jīng)驗直覺”的成分，而且有“知性直覺”和“理性直覺”的成分。幾何直觀是學(xué)習(xí)者建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上，對于數(shù)學(xué)對象的幾何屬性（或與幾何屬性密切相關(guān)的一些屬性）的整體把握和直接判斷的能力，既有相對豐富的經(jīng)驗積累，也有經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的理性概括和升華，幾何直觀的“整體把握”往往帶有明顯的邏輯成分。4.空間想象能力與幾何直觀能力

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，空間想象力指的是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象的能力。麥吉認(rèn)為，空間想象力包括“在心理上操作、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)或逆轉(zhuǎn)形象刺激物的能力”。朱文芳認(rèn)為“空間想象能力是完成空間認(rèn)知任務(wù)的橋梁，空間思維能力起著決定性的核心作用”。心理學(xué)家通常認(rèn)為，想象以表象為基本材料，但不是表象的簡單再現(xiàn)，是指“在頭腦中對已有表象進(jìn)行加工、改造、重新組合形成新形象的心理過程”。因此，空間想象能力是指脫離背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力。幾何直觀是在有背景的條件下進(jìn)行，想象是沒有背景的；幾何中的推理證明始終在利用幾何直觀，再想象圖形。

三、幾何直觀的表現(xiàn)形式 康德認(rèn)為，直觀分為經(jīng)驗直觀和純粹直觀?？追舱堋⑹穼幹姓J(rèn)為，在中小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何直觀具體表現(xiàn)為四種形式，即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀和替代物直觀。

筆者認(rèn)為，幾何直觀具有創(chuàng)造性和工具性，其目的是利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題。因此，從數(shù)學(xué)功能看，幾何直觀可以分為實物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示。

實物直觀演示是指借助與研究對象有一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，進(jìn)行簡捷、形象的思考和判斷。實物直觀演示既可以是實際存在物，如球體、柱體、錐體、長方形、平行四邊形、梯形、圓、橢圓等；也可以借助計算機、七巧板、木棒等輔助的實物直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作等活動，感受和探索圖形的特征，積累圖形與幾何的活動經(jīng)驗，建立初步的空間觀念。一旦借助實物直觀演示用圖形把一個問題描述清楚，就有可能使這個問題變得直觀、簡單。圖形直觀操作是指對實物的動手操作或圖形運動操作進(jìn)行幾何直觀探索。直觀操作分為兩類：一類是實物的動手操作，包括折紙、展開、折疊、切截、拼擺、密鋪等操作活動，能幫學(xué)生積累豐富的幾何事實，獲得對簡單幾何體和平面圖形的直觀經(jīng)驗；另一類是圖形的運動操作（如平移、旋轉(zhuǎn)、反射等運動），如“點動成線”“線動成面”“面動成體”，半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)可以形成球體，矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為錐體等。借助圖形直觀操作可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、尋找解決問題的思路。因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等具體的感知過程，培養(yǎng)他們借助圖形思考的能力。

圖形直觀表示是指借助明確的幾何圖形來描述和分析數(shù)學(xué)問題。圖形直觀表示是一種表征方式，是一種工具符號，主要分為兩類：一類是“形形表示”，如借助三視圖、網(wǎng)格、直角坐標(biāo)系等圖形工具探索、描述和分析幾何問題；另一類“數(shù)形表示”，利用幾何圖形直觀探索、描述和分析幾何以外的其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題，如利用數(shù)軸研究數(shù)系、方程的根，利用直觀圖分析數(shù)據(jù)，構(gòu)造圖形研究代數(shù)式、函數(shù)，利用單位圓研究三角函數(shù)等。借助圖形直觀表示圖形可以幫助表述一些結(jié)果，可以幫助記憶一些結(jié)果。

四、幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值 1.幾何直觀能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，在數(shù)學(xué)研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用。從創(chuàng)造力來看，直觀能引出數(shù)學(xué)發(fā)明，能決定理論的形式和研究方向；從數(shù)學(xué)證明上看，直觀常常提供證明的思路和技巧，有時嚴(yán)格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴(yán)格化和數(shù)學(xué)加工。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題變成幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)?。在大多?shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的。如，利用平面圖形認(rèn)識分?jǐn)?shù)的乘法，借助韋恩圖計算“重疊應(yīng)用問題”等。所謂的“看”是一種直接判斷，是

建立在長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中保護(hù)學(xué)生先天的幾何直觀的潛質(zhì)，培養(yǎng)和不斷提高學(xué)生的幾何直觀水平，就成為數(shù)學(xué)教育的一個重要的價值追求。2.幾何直觀能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)

幾何直觀在數(shù)學(xué)中無處不在。數(shù)學(xué)家依賴直觀推動對數(shù)學(xué)的思考，加強對數(shù)學(xué)的理解。幾何直觀不僅是一切幾何學(xué)的基礎(chǔ)，而且貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。正如美國數(shù)學(xué)家阿蒂亞所言：“在幾何中，視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)中有序思維占主導(dǎo)地位。所以，幾何首先用到的是最直接的形象思維，用形象思維洞察?！睅缀沃庇^能利用圖形生動形象地描述數(shù)學(xué)問題，直觀地反映分析問題的思路，是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。例如，借助地圖理解比例，利用直觀圖理解正方形邊長和面積的關(guān)系，借助數(shù)軸認(rèn)識小數(shù)的意義，借助“線路圖”理解行程問題，借助網(wǎng)絡(luò)圖理解單元知識等。著名數(shù)學(xué)家拉格朗日曾經(jīng)說過：“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但當(dāng)這兩門學(xué)科結(jié)合成伴侶時，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完美。”因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要挖掘教材資源，利用信息技術(shù)工具，展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界，設(shè)計“借助幾何直觀進(jìn)行思考”的典型案例；要注意讓學(xué)生經(jīng)歷動手操作、圖形制作的過程，培養(yǎng)學(xué)生用幾何直觀描述、分析問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力，文字語言、符號語言和圖形語言相互轉(zhuǎn)化的能力，為學(xué)生使用幾何直觀理解數(shù)學(xué)提供保障。

3.幾何直觀能夠培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方式

數(shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的“直觀—形式—直觀”模式，是一般科學(xué)概念發(fā)展的“具體—抽象—具體”模式的特殊表現(xiàn)形式。幾何直觀具有原始的創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)經(jīng)過形式化而趨于完美，又通過直觀化而返璞歸真，這正是數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證過程。正是形式化與直觀化之間的矛盾運動推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展以及科學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該借助幾何直觀、幾何解釋啟迪學(xué)生思路，利用直觀背景或者幾何直觀幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，為學(xué)生創(chuàng)造主動思考的機會。例如，借助數(shù)軸認(rèn)識小數(shù)的意義，利用直觀圖理解異分母分?jǐn)?shù)加減法先通分的必要性，能使學(xué)生借助直觀圖，從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，使學(xué)生從非形式化的、算法的直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀?？梢?，直觀本身不是目的，而是手段。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，用圖形說話、用圖形描述問題、用圖形討論問題等，就是為了形成生動表象并借以形成概念、發(fā)展規(guī)律，促進(jìn)抽象思維的發(fā)展。4.幾何直觀能夠幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)美，不僅美在抽象簡約，也美在直觀多姿，而幾何直觀能夠充分凸顯其結(jié)構(gòu)美。例如，利用直觀感悟圓的對稱美、理解圓的基本結(jié)構(gòu)和性質(zhì)；利用直觀了解分形幾何的奇異美；利用幾何直觀讓學(xué)生感悟、發(fā)現(xiàn)美，如借助正方形或三角形計算1+3+5+7+9+……，利用直觀理解直柱體體積公式的統(tǒng)一美，感受數(shù)學(xué)的普遍聯(lián)系。所以，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)，而且可以將幾何美的直觀、對稱、奇異、統(tǒng)一等特征融入整個教學(xué)過程中，使學(xué)生在美的享受中發(fā)現(xiàn)知識、理解知識，在潛移默化中感受數(shù)學(xué)美。

第二篇：空間觀念的形成策略和幾何直觀

空間觀念的形成策略和幾何直觀、推理能力的提高策略研究與實踐經(jīng)驗交流

小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中對空間觀念、幾何直觀、推理能力給出了如下的解釋和要求。

空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。在我教學(xué)中有幾點淺薄的感受：

一、多讓學(xué)生主動參與動手實踐獲取對圖形的直觀認(rèn)識

什么叫直觀，直是直接，觀是看，簡單得不能再簡單地說，就是直接看，只許看不許摸行嗎？課堂不是參觀，當(dāng)然不可以。學(xué)習(xí)直觀幾何，就像書上所說采用學(xué)生喜愛的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等具體、實際的活動方式，引導(dǎo)學(xué)生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實驗，把視覺、聽覺、觸覺、動覺等協(xié)同起來，強有力地促進(jìn)心理活動的內(nèi)化，也可以說成是刺激，從而使學(xué)生掌握圖形特征，形成空間觀念。

在空間與圖形的教學(xué)中，抽象推理、邏輯演繹、嚴(yán)格證明的方式要不要？必要的時候也可以適當(dāng)運用，但鑒于中學(xué)生實際的思維水平及認(rèn)知能力，動手操作、實踐探索似乎更能適應(yīng)學(xué)生“空間與圖形”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)。正如課程標(biāo)準(zhǔn)所言，應(yīng)注重使學(xué)生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大??；應(yīng)注重通過觀察物體、制作模型、設(shè)計圖案等活動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。因此，在教學(xué)中，應(yīng)注重使學(xué)生探索現(xiàn)實世界中有關(guān)空間與圖形的問題：應(yīng)注重使學(xué)生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認(rèn)識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及變換??”讓學(xué)生主動參與動手實踐獲取對圖形的最基本的直觀認(rèn)識。而且，“讓學(xué)生在主動參與中獲取對圖形的認(rèn)識”也是空間與圖形教學(xué)的重點。因此，在實際教學(xué)中要注重從學(xué)生已有出發(fā)，以直觀和動手操作為基本手段，注重引導(dǎo)學(xué)生把生活中對圖形的感受與有關(guān)知識建立聯(lián)系，在學(xué)生積極主動的參與學(xué)習(xí)中并動手實踐。

二、以直觀為立足點，展開想象。

幾何中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿幾何教學(xué)的始終，在幾何教學(xué)中占有很重要的地位。幾何中的轉(zhuǎn)化主要是空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化是解決幾何問題的常用方法之一，通過“割”或“補”可化復(fù)雜圖形為已熟知的簡單幾何圖形，從而較快地找到解決問題的突破口。我們可以將數(shù)學(xué)方法傳遞給學(xué)生，而數(shù)學(xué)眼光卻無法傳遞，故應(yīng)著重把握好對數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，這樣有利于學(xué)生主動探索解決問題的方法，體會解決問題的策略，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。

整個新知識的教學(xué)，教者充分尊重學(xué)生的主體地位，學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的全過程，采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證等方法認(rèn)識和探索幾何圖形及其性質(zhì)。讓學(xué)生經(jīng)歷了“大膽想象——操作轉(zhuǎn)化——驗證猜想”這一過程，讓學(xué)生在理解公式推導(dǎo)的過程中以長方形面積計算為基礎(chǔ)，以圖形間內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知向已知轉(zhuǎn)化為基本方法開展學(xué)習(xí)，學(xué)會解決問題。借助于經(jīng)驗、觀察或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進(jìn)行交流的能力、以及幾何直觀能力，從而建立起人對自身體驗與外物體驗的對應(yīng)關(guān)系。

三、讓學(xué)生在自主構(gòu)建空間觀念

打個比方說，就像我們給學(xué)生一堆積木，提出目標(biāo)和要求后，讓學(xué)生發(fā)揮自己的能力去自由搭建。學(xué)生會搭建出復(fù)古的、傳統(tǒng)的、時尚的、現(xiàn)代的，或者說是超時代的物品等。也有點像玩七巧板的意味，老師的指導(dǎo)只是根據(jù)老師的要求和學(xué)生的具體需要，老師要求拼數(shù)學(xué)，學(xué)生可以拼任何一個數(shù)字，當(dāng)遇到困難時，老師要給予不同的指導(dǎo)。

建構(gòu)思想不能簡單的說成“以學(xué)促教”，在自主建構(gòu)的教學(xué)活動中，教師的活動更傾向于“助學(xué)、導(dǎo)學(xué)”的學(xué)習(xí)管理。相比較而言，傳統(tǒng)教學(xué)也好，新課程理念也好，甚至于“自主建構(gòu)”，說得通俗明白一點，就是課堂教學(xué)中老師和學(xué)生，“教”和“學(xué)”在份量、時間、空間上多少的轉(zhuǎn)變過程。

另外，物有本未，事有終始，自主建構(gòu)要想達(dá)到教育的本源，達(dá)到教育的理想境地，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，教師真正成為有一定學(xué)習(xí)管理權(quán)的服務(wù)者，尚需時日。作為老師，時不我待。

四、注重了師生互動、生生互動

新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，在課堂教學(xué)中主張以學(xué)生為主體，注重師生互動和生生互動。師生應(yīng)該互有問答，學(xué)生與學(xué)生之間要互有問答。在課堂中，我始終面向全體學(xué)生，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，通過教學(xué)中師生之間、同學(xué)之間的互動關(guān)系，產(chǎn)生教與學(xué)之間的共鳴。

第三篇：幾何直觀：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的視角探究

幾何直觀小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的視角探究

幾何直觀不斷加強是幾何課程未來發(fā)展的趨勢與方向，從小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)角度來說，可以更加寬泛地對幾何直觀中的圖形進(jìn)行理解，這對數(shù)學(xué)關(guān)系的變現(xiàn)有不可替代的重要作用。從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的角度對幾何直觀進(jìn)行探究，這對我國教育教學(xué)事業(yè)的發(fā)展有極其重要的作用與意義。

一、幾何直觀的含義與概念

義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對幾何直觀及其含義做出明確界定，在實際對圖形進(jìn)行描述與分析的過程中對圖形進(jìn)行利用就是指幾何直觀，在實際對幾何直觀利用的同時可促使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題實現(xiàn)向簡明形象的轉(zhuǎn)化。這對解決問題思路的探索有極大的促進(jìn)作用，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著不可替代的重要作用。

1.幾何直觀基于“圖形與幾何”而又超越“圖形與幾何”

幾何直觀可以說是新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心概念，針對某一課程來說是一種核心價值。幾何內(nèi)容具有較高的教育價值，不僅可對學(xué)生的邏輯推理能力進(jìn)行培養(yǎng)，同時也可促使學(xué)生的直觀思考能力得到大幅度提升。

在實際對圖形與幾何進(jìn)行學(xué)學(xué)時需要在對實物或者圖形觀察的基礎(chǔ)上促使思考以及想象表象的形成，幾何的直觀因素都是在上述過程中被涵蓋。數(shù)與形是多數(shù)數(shù)學(xué)概念的方面特征，只有從上述兩個方面對其進(jìn)行掌握才能在真正意義上實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的了解。利用圖形思考以及想象問題可以說是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力。因此在實際對數(shù)學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)時需要對學(xué)生的幾何直觀能力進(jìn)行重點培養(yǎng)。

2.更加寬泛的對圖形進(jìn)行理解

利用圖形對數(shù)學(xué)進(jìn)行思考可以說是幾何直觀的實質(zhì)，因此在實際對圖形進(jìn)行理解時可從更加寬泛的范圍進(jìn)行。在利于思考和理解的基礎(chǔ)上可不受幾何圖形的限制。在實際對問題進(jìn)行解決時可利用倒推策略，在表達(dá)時需要將數(shù)量變化的過程作為主要依據(jù)，在此基礎(chǔ)上對其進(jìn)行倒推。

在教學(xué)達(dá)到一定基礎(chǔ)與階段的同時，學(xué)生可通過想象對圖形進(jìn)行思考，學(xué)生在對圖形進(jìn)行比劃也是一種輔助手段。因此不能為了直觀而進(jìn)行直觀，這對幾何直觀來說有一種反作用。只要學(xué)生可對順暢思考這一要求進(jìn)行滿足，就可不必強制性的要求學(xué)生對圖形進(jìn)行刻畫。

二、對幾何直觀的應(yīng)用

1.在主動嘗試中對幾何直觀價值進(jìn)行感受

超越知識的技能層面可對核心概念進(jìn)行直觀體現(xiàn)，數(shù)學(xué)的意識、感受以及能力也是在這一過程中得到培養(yǎng)。所以說幾何顯性與知識點之間存在一定的聯(lián)系，但呈現(xiàn)出一定的不顯性。幾何直觀在義務(wù)教育范圍內(nèi)時間較短，這也是導(dǎo)致義務(wù)教育階段幾何直觀設(shè)置呈現(xiàn)出層次不豐富現(xiàn)象的主要原因。

教師在實際開展教育教學(xué)的過程中應(yīng)該鼓勵學(xué)生在解決與分析問題時應(yīng)該對圖形進(jìn)行利用，并且利用圖示對數(shù)學(xué)經(jīng)驗進(jìn)行積累與學(xué)習(xí)。在對幾何直觀進(jìn)行積極嘗試的基礎(chǔ)上對幾何的直觀價值進(jìn)行主動感受。在經(jīng)歷幾何直觀的過程中學(xué)生主要作為參與者存在，幾何直觀的價值與意義可在這一過程中得到最大限度的發(fā)揮。

2.顯性學(xué)習(xí)和氛圍感受相結(jié)合

要達(dá)成“感受幾何直觀價值”的教學(xué)目標(biāo)，總得依托一定的內(nèi)容載體。這樣的載體，可以有兩條途徑，一是有計劃有目的的顯性學(xué)習(xí)，二是讓學(xué)生在良好的課程氛圍中感受。幾何直觀包含畫圖策略與技能的一面，所以，幾何直觀的課程實施應(yīng)該可以設(shè)立一個明線脈絡(luò)。其一，在低年級可以實施“實物圖―示意圖（直條圖）―線段圖”的過渡遞進(jìn)，不少教師已經(jīng)具有很好的經(jīng)驗。實物圖的圖示過程就是描繪的過程，包含了太多的直觀成分，孩子還沒有學(xué)會只保留思考對象的量方面的屬性。這個過程雖然不是我們教學(xué)要追求的，但確實是小學(xué)生真實的幾何直觀的起點階段。

3.處理好幾何直觀過程與幾何直觀結(jié)果間的關(guān)系

幾何直觀，既是個體具有的相關(guān)技能與能力，表現(xiàn)出結(jié)果屬性，也是利用圖形描述問題、思考問題的過程，表現(xiàn)出過程屬性。比起幾何直觀的結(jié)果來，我們更要重視幾何直觀的過程。其緣故在于其一，對于學(xué)習(xí)目標(biāo)來說，“感受”本身就是描述過程目標(biāo)的行為動詞；其二，對于學(xué)習(xí)者來說，幾何圖形并不必然具有直觀意義。如果學(xué)生不把握幾何圖形本身的特征，不領(lǐng)悟圖形本身具有的數(shù)學(xué)模型意義的話，圖形就不具有讓數(shù)學(xué)思考變得有形可視的直觀作用。

隨著學(xué)習(xí)的推進(jìn)，學(xué)生對圖形性質(zhì)的認(rèn)識層次提高了，對其他知識理性認(rèn)識的層次提高了，都應(yīng)該在相應(yīng)的層次上接觸和體會更為簡練與精準(zhǔn)的幾何直觀方式。比如從示意圖到線段圖（一個單位的線段可以表示任意數(shù)量），從線段圖表示數(shù)量關(guān)系到用面積圖表示數(shù)量關(guān)系，從線段圖到韋恩圖，等等。

幾何的方式方法滲透在數(shù)學(xué)的各個方面，因此，教師要具有較好的幾何直觀課程意識，在其他知識的學(xué)習(xí)過程中，在各種教學(xué)細(xì)節(jié)的處理中，善于挖掘和捕捉幾何直觀的資源?？梢赃@樣說，幾何直觀的有效培養(yǎng)，離不開長期一以貫之自然貼切的滲透。

第四篇：關(guān)于幾何直觀的思考

關(guān)于幾何直觀的思考

作者：秦德生，? 文章來源：《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005年第10期 [摘要] 隨著數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育中的一個關(guān)注問題。本文從幾何課程基本要求的演變出發(fā)，探討幾何直觀的概念以及與相關(guān)概念的辨析，追溯幾何直觀的哲學(xué)基礎(chǔ)，提倡“直觀型”的課程設(shè)計，挖掘幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀；課程標(biāo)準(zhǔn)；哲學(xué)基礎(chǔ)；教育價值

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育界都在關(guān)注數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1][2]的制訂與實施，關(guān)注數(shù)學(xué)課程改革，而幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對幾何圖形本身的研究意義。正如弗萊登塔爾所說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”這也與康德的“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的”觀念是相同的。隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]提出培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，幾何直觀成為數(shù)學(xué)教育中的一個關(guān)注問題；經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌l(fā)展，相信對幾何直觀的研究能夠成為數(shù)學(xué)教育的核心問題。

在此，筆者試圖從幾何課程基本要求的演變出發(fā)，探討幾何直觀的概念以及與相關(guān)概念辨析，追溯幾何直觀的哲學(xué)基礎(chǔ)，挖掘幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值?，F(xiàn)將自己的一些想法就正于各位同行專家．

1．我國對幾何課程基本要求的演變

我國解放后首次制定(1952年)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提出，小學(xué)“算術(shù)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)和發(fā)展兒童的邏輯思維”，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)“發(fā)展學(xué)生生動的空間想像力,發(fā)展學(xué)生邏輯的思維力和判斷力”[3]。以后的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在能力培養(yǎng)方面的要求一直是“通過數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和空間想像力”。1963年根據(jù)華羅庚、關(guān)肇直等專家的意見，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的能力培養(yǎng)任務(wù)修改為“計算能力、邏輯推理能力和空間想像力”(傳統(tǒng)的三大能力)。1978年的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，又增加了“培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力”。1988年的九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，能力培養(yǎng)任務(wù)改為“培養(yǎng)運算能力，發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念”,這種要求一直持續(xù)至今?！读x務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

(征求意見稿，2000年)在發(fā)展性領(lǐng)域中，明確提出能力培養(yǎng)任務(wù)是思維能力的培養(yǎng)，“應(yīng)使學(xué)生在定量思維、空間觀念、合情推理的演繹論證等方面獲得發(fā)展”。2000年3月頒布的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》中指出，要“培養(yǎng)初步的思維能力和空間觀念”。

2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》[1]提出“豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認(rèn)識，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”[1]．2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]指出：“幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。人們通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計算等方法認(rèn)識和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認(rèn)識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進(jìn)行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求?！盵2] 從我國幾何課程基本要求的演變來看，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，對幾何教學(xué)的要求不盡相同，那么，什么是幾何直觀，它與直覺、空間觀念、空間想像能力等名詞之間有聯(lián)系或者區(qū)別么？我們來進(jìn)一步探討。

2．幾何直觀概念的內(nèi)涵及典型觀點辨析 2.1 什么是直觀

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握”[4]；而西方哲學(xué)家通常認(rèn)為“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認(rèn)識”；心理學(xué)家則認(rèn)為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力”。

蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)[5]。

徐利治先生提出，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知[6]。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應(yīng)關(guān)系。

他們從數(shù)學(xué)、哲學(xué)、心理學(xué)等角度給直觀包括幾何直觀下了定義，但我們認(rèn)為直觀一般有兩種：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)，2

可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。

2.2 直觀與直覺

直觀與知覺在英文中都是單詞Intuition，但二者并不是完全相同，直覺不等于直觀。

從研究對象來看直覺的對象不一定是可視的對象，直觀的對象一定是可視的。從過程來看，直觀與個人的經(jīng)驗、經(jīng)歷有關(guān)，直觀有層次性，直觀是從一個層次看到更深刻的層次或本質(zhì)；在同一個層次不是直觀而是直覺，直覺是有原因與結(jié)果的關(guān)聯(lián)，是一個平面上的，屬于同一個層次。從功能來看，直觀是用來發(fā)現(xiàn)定理的，而直覺用來證明定理的。

2.3 直觀與想象

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,空間想像力“指的是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象的能力。麥吉(Megee,1979)認(rèn)為，空間想像力包括“在心理上操作、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)或逆轉(zhuǎn)形象刺激物的能力”，朱文芳認(rèn)為“空間想像能力是完成空間認(rèn)知任務(wù)的橋梁,空間思維能力起著決定性的核心作用”[7]。心理學(xué)家通常認(rèn)為,想像(imagination)以表象為基本材料,但不是表象的簡單再現(xiàn)，是指“在頭腦中對已有表象進(jìn)行加工、改造、重新組合形成新形象的心理過程”。

我們認(rèn)為，空間想象能力是指脫離背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力。直觀是在有背景的條件下進(jìn)行，想象是沒有背景的；幾何中的推理證明始終在利用幾何直觀，在想象圖形。

所以，我們建議：普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對幾何目標(biāo)的敘述修改為“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和借助幾何直觀進(jìn)行推理論證的能力，從而培養(yǎng)運用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及空間想象能力，是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求。”這樣敘述應(yīng)該更恰當(dāng)和準(zhǔn)確。

3．幾何直觀的哲學(xué)分析 3.1 直觀主義

直觀化，本來是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的直觀主義流派，出于數(shù)學(xué)概念和方法的“可信性”考慮而提出的基本主張，其中心內(nèi)容是“存在必須是被構(gòu)造”?？梢姅?shù)學(xué)中的直觀主義就是哲學(xué)中的康德主義，主張數(shù)學(xué)的概念由人類理性構(gòu)造而成。數(shù)學(xué)對象的構(gòu)造就是人們先驗地在直觀中畫出與概念相應(yīng)的圖形，所以構(gòu)造數(shù)學(xué)對象 3

需要非經(jīng)驗的直觀。人們在這種純粹直觀中構(gòu)造出一個具體的圖形，這一圖形能夠代表所有與某概念相應(yīng)的圖形，這說明人們在純直觀中構(gòu)造的圖形具有與概念相同的普遍意義，因此在幾何直觀中構(gòu)造出了具體的圖形就是構(gòu)造出了相應(yīng)的概念與數(shù)學(xué)實體。

笛卡兒認(rèn)為，直觀是純粹理性的，但作為理性的東西并不能完全擺脫或無視某些經(jīng)驗，可見這二者是矛盾的，直觀的確定性與與非邏輯性相矛盾，直觀不能保證普遍原理的確定性，直觀具有發(fā)現(xiàn)真理功能，但不能兼?zhèn)渥C明真理、確保真理可靠性的功能。

3.2 幾何直觀的歷史性

畢達(dá)哥拉斯時代,人們的數(shù)學(xué)直觀里浸透了整數(shù)是萬物本質(zhì)的哲理；非歐幾何產(chǎn)生以前,人類的數(shù)學(xué)直觀里有著歐氏公理是先驗不變的真理的觀念；非標(biāo)準(zhǔn)分析又使一度失去了對無窮小的直觀在更抽象的層次上恢復(fù)；而今計算機造成的外移動的超立體的圖象,又對我們關(guān)于高維空間的抽象直觀充實了具體感性。所以數(shù)學(xué)直觀是歷史概念，數(shù)學(xué)直觀在每個歷史時期,其抽象性和直觀性都具有不同的內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)中的抽象性帶有理論和哲學(xué)色彩，幾何直觀帶有經(jīng)驗、思想和感情因素。復(fù)數(shù)的引入，是因邏輯上的需要而直接引進(jìn)的“理想元素”，被賦予某種實際意義后，以幾何直觀解釋為中介，同現(xiàn)實世界建立了間接聯(lián)系，從而提高了它的可信性。復(fù)數(shù)，在它被引入后的最初兩個半世紀(jì)中一直“給人虛無縹緲的感覺”，直至維塞爾、高斯等人相繼對它作出了幾何解釋與代數(shù)解釋，把它與平面向量a+bi或數(shù)偶 對應(yīng)，才“幫助人們直觀地理解它的真實意義”，并取得了實際應(yīng)用．所以，它不僅被數(shù)學(xué)理論所決定，并隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展而發(fā)展，而且它也避免不了當(dāng)時人類整個文化情境對個人心理上的影響。直觀是隨著人類理性的進(jìn)步而進(jìn)步的。換言之,幾何直觀的建立和發(fā)展是一個歷史過程。它并不是一個從古到今就一直存在著的永恒的人類用來認(rèn)識數(shù)學(xué)現(xiàn)象的中性框架，幾何直觀是一種進(jìn)化的產(chǎn)物，可以進(jìn)行更高層次的創(chuàng)造性活動。因此一個人在不同年齡階段所表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)直觀能力可以看作是整個人類在這方面歷史發(fā)展過程的縮影。

3.3 直觀與形式的統(tǒng)一

數(shù)學(xué)作為一門精確科學(xué)，其研究活動必須以量和質(zhì)、形式和內(nèi)容的分離為前 4

提，把前者從自然界的普遍聯(lián)系中抽取出來，加以抽象，在不斷形式化的過程中實現(xiàn)它的精確性，這個過程就是數(shù)學(xué)化，換言之，就是數(shù)學(xué)抽象發(fā)展與現(xiàn)實世界的緊密結(jié)合，它既可以描述具體問題的數(shù)學(xué)模型，也可以反映各種層次的數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的更高層次抽象．?dāng)?shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的“直觀——形式——直觀”模式，是一般科學(xué)概念發(fā)展的“具體——抽象——具體”模式的特殊表現(xiàn)形式，它深刻地反映了數(shù)學(xué)活動的基本矛盾，數(shù)學(xué)通過形式化而實現(xiàn)精確性，又因為形式化而減弱客觀性，直觀化具有原始的創(chuàng)造性，它的歷史性決定不允許完全客觀的有理化．

直觀與形式之間矛盾的解決，只有在形式化和直觀化的矛盾運動中才可能實現(xiàn)，正是二者之間的矛盾推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展以及科學(xué)的發(fā)展。從創(chuàng)造力來看，直觀能引出數(shù)學(xué)的發(fā)明,直觀能決定理論的形式和研究方向；從在數(shù)學(xué)證明上看,直觀常常提供證明的思路和技巧,有時嚴(yán)格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴(yán)格化和數(shù)學(xué)加工。數(shù)學(xué)直觀的世界與因果感覺的世界是對立的，數(shù)學(xué)思維不能完全形式化，數(shù)學(xué)思想是獨立于語言的形式之外，但數(shù)學(xué)又必須通過形式來表達(dá)，使其嚴(yán)格化。因此，數(shù)學(xué)經(jīng)過形式化而趨于完美，又通過直觀化而返樸歸真，這正是數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證過程。

4．幾何直觀的課程設(shè)計

課程設(shè)計已經(jīng)走向多流派、多元化。而強調(diào)知識之間有機地融合、依賴幾何直觀的“直觀型”課程成為數(shù)學(xué)課程設(shè)計的主流之一。我國新課程已經(jīng)把幾何直觀看作是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的線索之一。從函數(shù)的圖象教學(xué)、三角函數(shù)的單位圓、到導(dǎo)數(shù)的圖象判斷；從不等式的直觀解釋到線性規(guī)劃的區(qū)域刻畫，此外，還有數(shù)系擴(kuò)充中復(fù)數(shù)、概率統(tǒng)計中的直觀圖以及向量的使用等等。幾何課程設(shè)計更離不開幾何直觀?？梢?，幾何直觀是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的有效工具。因此，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，同時也學(xué)會數(shù)學(xué)的一種思考方式和學(xué)習(xí)方式。

當(dāng)然，我們也要注意不能用幾何直觀來代替證明、注意幾何直觀帶來的認(rèn)識上的片面性。例如，對指數(shù)函數(shù) 與直線 的關(guān)系的認(rèn)識，因為教材中通常都是以2或10為底來給出指數(shù)函數(shù)的圖形，在這兩種情況下，指數(shù)函數(shù) 的圖形都在直線 的上方，于是，便認(rèn)為指數(shù)函數(shù) 的圖形都在直線 的上方。教學(xué)中應(yīng)避免這 5

種因特殊賦值和特殊位置的幾何直觀得到的結(jié)果所帶來的對有關(guān)概念和結(jié)論本質(zhì)認(rèn)識的片面性和錯誤判斷。[2] 5．幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，幾何在數(shù)學(xué)研究中起著其實、聯(lián)絡(luò)、理解、甚至提供方法的作用，而幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)家依賴直觀來推動對數(shù)學(xué)的思考，數(shù)學(xué)教育家們依賴直觀來加強對數(shù)學(xué)的理解。直觀推動了數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展。而數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數(shù)學(xué)對象為基礎(chǔ)進(jìn)行理性重建，從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。

首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)ВS著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計算機圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

其次，幾何直觀是認(rèn)識論問題，是認(rèn)識的基礎(chǔ), 有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機會，揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。

最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的問題，那么如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、如何更好地發(fā)揮幾何直觀性的教學(xué)價值，是每個數(shù)學(xué)教育工作者都應(yīng)該深思的問題。

[參考文獻(xiàn)] [1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M]，北京師范大學(xué)出版社，2001.[2]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M]，人民教育出版社，2003.[3]建國以來中小學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱匯編(1949—1985)》[M],國家教委編印,1986.[4]M.克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M]，第四冊.上海：上?？萍汲霭嫔?，1979.[5]蔣文蔚.幾何直觀思維在科學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的作用[J]，數(shù)學(xué)教育學(xué)報.1997(4)[6]徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗[J],數(shù)學(xué)通報，2000(5)[7]朱文芳.關(guān)于義務(wù)教育階段對空間能力培養(yǎng)的思考[J],課程·教材·教法.2001(3)[8]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）解讀[M].江蘇教育出版社，2004.[9]史寧中.關(guān)于數(shù)學(xué)的反思[J],東北師大學(xué)報(哲學(xué)社會科學(xué)版), 1997(2)[10]M.阿蒂亞.數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性[M].南京：江蘇教育出版社，1995.

第五篇：淺議小學(xué)數(shù)學(xué)低年級直觀幾何教學(xué)的若干策略

淺議小學(xué)數(shù)學(xué)低年級直觀幾何教學(xué)的若干策略

上海市三新學(xué)校 侯琦

【摘要】

“圖形與幾何”學(xué)習(xí)領(lǐng)域是小學(xué)數(shù)學(xué)基本教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力是該領(lǐng)域的重要目標(biāo)?！秶抑行W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》首次提出在義務(wù)教育階段應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，凸顯了幾何直觀在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的地位和作用，彰顯了幾何直觀的教學(xué)價值。對于剛接觸圖形與幾何的低年級學(xué)生來說，直觀幾何的教學(xué)對其空間觀念的發(fā)展和幾何直觀能力的培養(yǎng)起著重要作用。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)通過有效的教學(xué)手段和活動來實現(xiàn)低年級直觀幾何教學(xué)的目標(biāo)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】低年級 直觀幾何 空間觀念 策略。

《國家中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版》提出：“幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要作用?！闭n程標(biāo)準(zhǔn)首次提出在義務(wù)教育階段應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，凸顯了幾何直觀在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的地位和作用，彰顯了幾何直觀的教學(xué)價值。既然幾何直觀作用如此之大，那么對于剛接觸幾何的孩子來說，怎樣才能培養(yǎng)和發(fā)展幾何直觀呢？

新課標(biāo)中對于第一學(xué)段“數(shù)學(xué)思考”的目標(biāo)要求是：發(fā)展空間觀念。空間觀念是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；能夠想象出空間物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；依據(jù)語言描述畫出圖形。

幾何直觀能力的形成和空間觀念的發(fā)展有密切的關(guān)系，空間觀念的發(fā)展也是低年級幾何直觀的重要教學(xué)價值之一。那么如何通過有效的教學(xué)手段和學(xué)生的活動來實現(xiàn)這些目標(biāo)呢？基于新課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合自身的教學(xué)實踐，我從以下幾個方面來談?wù)勛约旱淖龇ǎ?/p>

一、利用感性經(jīng)驗，豐富學(xué)生對空間觀念的認(rèn)識。

《國家中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對第一學(xué)段要求“能通過實物和模型辨認(rèn)長方體、正方體、圓柱和球等幾何體“。我們的學(xué)生在小時候就開始接觸各種形狀的物體，他們具有較多的關(guān)于形狀感知方面的早期經(jīng)驗，這些現(xiàn)實生活中豐富的原型是發(fā) 展學(xué)生空間觀念的寶貴資源。作為教師，應(yīng)該看到這一資源，并在教學(xué)中合理地使用，重視挖掘利于教學(xué)實施的潛在經(jīng)驗基礎(chǔ)。

例如在學(xué)習(xí)《物體的形狀》和《物體的表面》這兩個內(nèi)容時，就可以利用學(xué)生的已有生活經(jīng)驗。日常生活中孩子們玩的積木中有許多正方體、長方體和圓柱體；他們見到的樓房、磚頭、紙盒、書等更是給了他們長方體、正方體的形象；他們從小玩的皮球給了他們球的直觀形象。通過觀察這些實物，學(xué)生對物體的形狀有了直觀的認(rèn)識，使學(xué)生能夠在抽象的物體形狀概念與具體的物質(zhì)實體之間建立有意義的聯(lián)系。又如，在學(xué)習(xí)周長這個內(nèi)容時，教師安排了一項課前活動：繞著操場跑一圈，使學(xué)生在感性認(rèn)識和體驗后引出“周長”的概念。這是一個使學(xué)生的思維經(jīng)歷從具象到抽象的提升過程，也是低年級學(xué)生認(rèn)識物體形狀的最重要的價值所在。

方向的認(rèn)識既是人們?nèi)粘Ｉ畹闹匾?jīng)驗和常識，也是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形與位置的基礎(chǔ)，對發(fā)展空間觀念起著重要作用。在教學(xué)《東南西北》一課時，學(xué)生在日常生活中雖然積累了一些辨別方向的經(jīng)驗和策略，但這些經(jīng)驗和策略往往是零散模糊的，于是在上課前我就布置學(xué)生觀察早上的太陽在學(xué)校的哪個方位升起？在上課時首先提問學(xué)生觀察的結(jié)果，然后讓學(xué)生用小手指一指，并且讓學(xué)生說出太陽升起的方向有什么物體，以此來確定東方在教室的哪一邊，之后學(xué)生閉上眼睛想一想前邊與后邊分別是什么方向，左邊與右邊又是什么方向？學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗，經(jīng)過獨立思考，多數(shù)學(xué)生辨認(rèn)出了四個方向，這時我又讓四個同學(xué)進(jìn)行演示，四位同學(xué)站成十字形，向東的同學(xué)身上帶“東”字，其他同學(xué)觀察，得到“東與西相對，南與北相對”。通過這些活動，學(xué)生獲得了一定的感性認(rèn)識，培養(yǎng)了他們位置、方向的空間觀念。

低年級學(xué)生的思維以直觀形象為主，他們對圖形的認(rèn)識在很大程度上依賴于對豐富的實物原型的直覺觀察。因此在直觀幾何的教學(xué)中，教師應(yīng)遵循兒童認(rèn)識事物的規(guī)律，結(jié)合學(xué)生的生活實際，組織學(xué)生通過對現(xiàn)實空間中實物的形狀、大小及其所處方位的感知，積累豐富的幾何事實，以幫助學(xué)生理解現(xiàn)實的三維世界，形成初步的空間觀念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識的興趣。

二、引導(dǎo)自主探索，加深學(xué)生對空間觀念的體驗。

直觀幾何是一種經(jīng)驗幾何或?qū)嶒瀻缀?，是可看、可感、可操作的。因此，學(xué)生獲得幾何知識并形成空間觀念，更多的是借助他們的自主探索。特別是對于低年級學(xué)生的實際思維水平及認(rèn)知能力，觀察比較、動手操作、實踐探索更能適應(yīng)學(xué)生“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)。正如《國家中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也較多地使用“通過觀察、操作，認(rèn)識??”等表述，現(xiàn)行教材根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)精神和學(xué)生的認(rèn)知特點，設(shè)計了大量的觀察、操作、思考等數(shù)學(xué)活動材料，為學(xué)生提供充分動手操作的課程資源，讓學(xué)生通過觀察、實踐加深對幾何形體特征的認(rèn)識和理解，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念。

第一，通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)幾何特征。

觀察是學(xué)生獲得空間和圖形知識的主要途徑之一，全方位、多角度的觀察是促使學(xué)生建立和發(fā)展“空間觀念”的主要途徑之一。例如，在《從不同方向觀察物體》這一課上教師設(shè)計了兩個探究活動：各人眼中的杯子和各人眼中的積木圖。通過探究一中的看一看、畫一畫、想一想和探究二中的猜一猜、連一連、闖一闖，讓學(xué)生充分體驗觀察物體的過程。而在具體的觀察過程中，通過本位觀察、換位觀察與全面觀察三個活動環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了一個從靜態(tài)到動態(tài)、從片面到全面的觀察方法，培養(yǎng)了學(xué)生初步的空間觀念，并發(fā)展他們的空間想象能力和觀察能力。又如：在《銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形》這一課的教學(xué)中，教師準(zhǔn)備了6個三角形，讓學(xué)生先觀察每個三角形各個角的特點，分別有幾個銳角、幾個直角以及幾個鈍角填入表格中，再進(jìn)行對比，從而歸納出三類三角形。通過這種不完全歸納法，學(xué)生能抓住三類三角形的本質(zhì)區(qū)別，在頭腦中有了比較清晰的輪廓，在比較中有助于發(fā)現(xiàn)各幾何圖形的特征。

在幾何教學(xué)的課堂上，學(xué)生獲取知識的重要手段就是觀察，而觀察中的交流則是幫助學(xué)生從感性的直觀認(rèn)識發(fā)展到初步的理性認(rèn)識的重要途徑。這里的交流方式有很多種，包括師生交流、生生交流、還有師班交流等多種方式，每種方式都有其適合使用的時候。我在教學(xué)“物體的形狀”中認(rèn)識長方體時，先讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的長方體實物，小組合作，摸一摸，看一看，比一比，小組交流說說這些物體的相同之處。這一步的小組交流是讓孩子們將圖形基本特征的模糊認(rèn)識口頭與同伴敘述，并在敘述交流的過程中，碰撞出思維的火花，開始形成對圖形基本特征的一些理性認(rèn)識。學(xué)生小組討論結(jié)束后，我采用了師生交流的方式，即老師與若干學(xué)生一對一的交流，其他學(xué)生則在一旁聆聽，在這次交流活動中，我開始引導(dǎo)學(xué)生初步建立圖形的基本特征。在得出圖形的所有特征后，我采用了師班交流的方式，引導(dǎo)學(xué)生集體說出圖形的基本特征，并且逐個板書，既對圖形的特征進(jìn)行了總結(jié)，又進(jìn)一步加深了學(xué)生對于長方體的認(rèn)識。

第二，通過動手操作，提升學(xué)生對空間觀念的理解。

空間觀念的形成，光靠觀察其實還是不夠的，老師還必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動手操作，讓他們在體驗中感受、理解。例如：在《物體的形狀》中，借助學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，動口、動眼、動手，初步感知和體會長方形、正方形、三角形、圓，形成一定的表象。通過各種方法，讓學(xué)生在課堂上活躍起來。如：讓學(xué)生從“體”上找“面”，并把畫下來，剪下來，讓他們在這一活動中，充分感知到“長方形、正方形、圓、三角形”的特征。學(xué)生始終處于高度興奮狀態(tài)，爭著回答這些圖形的特征。又如：《長方體與正方體的初步認(rèn)識》這一課中，組織學(xué)生摸一摸物體有多少個面，多少條棱，多少個頂點，每個面都是什么形狀，折一折，看一看長方體和正方體的表面是什么樣的，量一量每條邊有多長等，通過多種活動充分調(diào)動學(xué)生的視覺、觸覺、聽覺等多種感官，形成了一個清晰的感知，提升學(xué)生對空間觀念的理解。

第三，通過問題解決，實現(xiàn)學(xué)生對空間觀念的應(yīng)用。

發(fā)展空間觀念不能靠紙上談兵，必須以學(xué)生自己的空間感覺和體驗為基礎(chǔ)。此外，通過解決實際問題可以加深學(xué)生對幾何體的感知，發(fā)展空間觀念。如待學(xué)生學(xué)習(xí)了面積和面積單位這部分內(nèi)容后，針對學(xué)生對面積單位認(rèn)識不夠的情況，我設(shè)置了一節(jié)練習(xí)課，設(shè)計了“想一想、填一填”“剪一剪、算一算”、“動手圍一圍”的活動，使學(xué)生進(jìn)一步理解面積單位的意義。

學(xué)生的空間觀念具有較強的抽象性。由于低年級的學(xué)生年齡小，抽象思維能力很差，且空間觀念并不是一朝一夕就可以形成的，這就要求我們教師在實際教學(xué)中充分調(diào)動學(xué)生的各種感官，根據(jù)具體的教學(xué)目標(biāo)，營造輕松的學(xué)習(xí)氛圍，給予充分的時空，采用更有效的措施，引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作，通過自主探索，空間觀念在頭腦中的形成才是豐滿的，也只有經(jīng)歷這樣一個過程，學(xué)生的知識建構(gòu)才能從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗”，由感性的理解上升到理性的高度，最終發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

三、嘗試幾何推理，實現(xiàn)學(xué)生對空間觀念的發(fā)展。

直觀與推理是“圖形與幾何”學(xué)習(xí)中的兩個重要方面。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，對于空間觀念的發(fā)展也有一定的促進(jìn)作用。低年級圖形與幾何部分，幾何推理在教學(xué)中主要體現(xiàn)在以下幾個活動中：

第一，在觀察中思考。例如：認(rèn)識三角形，可以出示形狀不同的（直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形）大小不同的、方位不同的甚至顏色和用料不同的各種三角形，然后學(xué)生在觀察中悟出：像這樣的三條邊圍成的封閉圖形叫三角形，與其他的因素都沒有關(guān)系。在促使學(xué)生“空間觀念”形成的過程中，要注意給學(xué)生思考的空間。如在觀察茶壺的活動中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較深入的思考，例如:為什么同組同學(xué)觀察同一物體，會看到不一樣的結(jié)果？為什么改變位置后，物體的形狀不一樣了？通過這些問題，讓孩 子進(jìn)行比較本質(zhì)的探討，總結(jié)出較為科學(xué)的結(jié)論。

第二，在對比中判斷。這種方式可以幫助學(xué)生從相似的圖形中精確的辨別出圖形的本質(zhì)，印象更加清晰。例如：在教學(xué)三角形和四邊形時就可以出示這樣的圖形來對比判斷，最后總結(jié)出三角形和四邊形的概念和特征。

第三，在想象中推理。有時多為學(xué)生創(chuàng)造想象的時間和空間，可能會有意想不到的效果。例如在教學(xué)《觀察物體》時，讓學(xué)生在小組內(nèi)觀察茶壺，又讓學(xué)生猜一猜小組內(nèi)其他同學(xué)看到的茶壺是什么樣的。并且在想象完后，走到該同學(xué)的位置觀察一下，在這個活動學(xué)生的想象能力得到了培養(yǎng)。再如學(xué)習(xí)“面積單位”，在認(rèn)識1平方分米時，可以引導(dǎo)學(xué)生通過“看書自學(xué)---觀察教具---動手裁剪---閉眼想象”來建立1平方分米的表象。在這樣設(shè)置的情境中，學(xué)生利用空間想象進(jìn)行幾何推理，發(fā)展空間觀念。

第四，在活動中思考。在教授《左與右》這堂課時，老師很好地組織學(xué)生進(jìn)行模擬活動，如：照鏡子、握握手等，真正體會左右的相對性。又如，教學(xué)《七巧板》活動課時，老師先請學(xué)生選擇七巧板中的兩塊，拼成一個正方形，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)：用兩塊完全一樣的三角形能拼成一個正方形，而且要把三角形中同樣長的兩條邊（最長邊）拼在一起。再讓學(xué)生思考：用兩塊完全一樣的三角形，還能拼成什么圖形？學(xué)生通過自主操作，找到了一種或幾種答案，再組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，分享同伴的想法，互相學(xué)習(xí)、啟發(fā)。最后老師趁熱打鐵地追問：“你能有次序地一下子拼出正方形、三角形和平行四邊形嗎？與你的小伙伴一起，想想有什么好辦法？”學(xué)生們立刻行動起來，在嘗試操作、小組討論中，他們發(fā)現(xiàn)，只要按住1個三角形，讓另一個三角形移動（平移或旋轉(zhuǎn)）就行了。在合作交流中，學(xué)生真正加深了對圖形變換的理解，學(xué)會了有序思考的方法，學(xué)生的空間觀念也自然得到了進(jìn)一步發(fā)展。

綜上所述，空間觀念的發(fā)展對于幾何直觀的發(fā)展具有重要的促進(jìn)作用，并構(gòu)成幾何直觀形成的重要基礎(chǔ)，而幾何直觀的發(fā)展對于空間觀念具有重要的強化作用。作為幾何學(xué)習(xí)的重要目的，無論是幾何直觀，還是空間觀念，都應(yīng)深深融入幾何學(xué)習(xí)的活動中，而這些學(xué)習(xí)與學(xué)生親身參與的幾何活動交織在一起。將觀察、操作、想象、推理、表達(dá)進(jìn)行有機的結(jié)合，有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念，進(jìn)而培養(yǎng)幾何直觀能力。這樣的過程對低年級圖形與幾何的教學(xué)有重要作用，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)：

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