第一篇：圓錐曲線題型總結(jié)

圓錐曲線題型

與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題等，在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中經(jīng)常見(jiàn)到，為了讓同學(xué)們對(duì)這方面的知識(shí)有一個(gè)比較系統(tǒng)的了解，本文系統(tǒng)闡述一下“與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題”．

一、重、難、疑點(diǎn)分析

1．重點(diǎn)：圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題．

2．難點(diǎn)：雙圓錐曲線的相交問(wèn)題．(應(yīng)當(dāng)提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判別式，還要結(jié)合圖形分析．)3．疑點(diǎn)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題．(解決辦法：因?yàn)檫@類問(wèn)題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過(guò)一些例題予以示范．)

二、題型展示

1．圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法

設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：

(2)若弦AB過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=|AF|+|BF|．

例1 過(guò)拋物線y??14x的焦點(diǎn)作傾斜角為?的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，旦

2|AB|=8，求傾斜角?．

分析一：由弦長(zhǎng)公式易解．解答為：

∵

拋物線方程為x2=-4y，∴焦點(diǎn)為(0，-1)．

設(shè)直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．

將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． 由|AB|=8得:8?1?k2???4k?2或??3?4?4?1???4? ∴k??1

又有tan???1得:???4.p2,BF??y2?p2分析二:利用焦半徑關(guān)系.∵AF??y1?

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結(jié)果，可由同學(xué)們自己試試完成．

2．與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)的問(wèn)題

在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍．

例2已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值． 解一：將x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由點(diǎn)(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．

當(dāng)y=0時(shí)，(x2+y2)min=0．

解二：分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關(guān)于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．

令x+y=u，則有x=u-y,代入x2+4(y-1)2=4得：5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0． ∴1?5?u?1?5

當(dāng)u?1?5時(shí),y?1?55??0,2?;當(dāng)u?1?5時(shí),y?1?55??0,2?

∴?x?y?max?1?5;?x?y?min?1?5

3．與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題

它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法．

例3.在拋物線x2＝4y上有兩點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：(1)A、B和這拋物線的焦點(diǎn)三點(diǎn)共線；(2)

1AF?1BF為定值.證明：(1)∵拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)，準(zhǔn)線方程為y=-1．

∴ A、B到準(zhǔn)線的距離分別d1＝y(tǒng)1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．

由拋物線的定義：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三點(diǎn)共線．(2)如圖2－46，設(shè)∠AFK=θ．

∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴AF?又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴BF?21?sin?21?sin?

小結(jié):與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題解決的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì).4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問(wèn)題 直線與圓錐曲線相交問(wèn)題，一般可用兩個(gè)方程聯(lián)立后，用△≥0來(lái)處理．但用△≥0來(lái)判斷雙圓錐曲線相交問(wèn)題是不可靠的．解決這類問(wèn)題：方法1，由“△≥0”與直觀圖形相結(jié)合；方法2，由“△≥0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法3，轉(zhuǎn)換參數(shù)法(以后再講)． 例4 已知曲線C1:x?2?y?a?22 ?1及C2:y?x?1有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2可得：y=2(1-a)y+a-4=0．

∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴a?如圖2－47，可知：

5222.橢圓中心?0,a?,半軸長(zhǎng)a??交時(shí),a?1?2.2?a?522,拋物線頂點(diǎn)為?0,1?,所以當(dāng)圓錐曲線在下方相切或相綜上所述,當(dāng)1?時(shí), 曲線C1與C2相交.5．利用共線向量解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問(wèn)題 例5.已知橢圓xa22?yb22?1(a?b?0)的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，向量AB與OM是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F1QF2 的取值范圍；

解：（1）∵F1(?c,0),則xM??c,yM?b2a，∴kOM??2b2ac。

∵kAB??ba,OM與AB是共線向量，∴?bac??ba，∴b=c,故e?22。

（2）設(shè)F1Q?r1,F2Q?r2,?F1QF2??,?r1?r2?2a,F1F2?2c，r1?r2?4c2r1r2222cos???(r1?r2)?2r1r2?4c2r1r222?a2r1r2?1?(a22r1?r2?1?0)2當(dāng)且僅當(dāng)r1?r2時(shí)，cosθ=0，∴θ?[0,?2]。

由于共線向量與解析幾何中平行線、三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點(diǎn)共線等相關(guān)的問(wèn)題均可在向量共線的新情景下設(shè)計(jì)問(wèn)題。求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題.6.利用向量的數(shù)量積解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問(wèn)題

例6.橢圓x29?y24?1的焦點(diǎn)為F1,F2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1P F2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是___。

解：由橢圓x29?y24?1的知焦點(diǎn)為F1（－5,0）F2（5,0）.設(shè)橢圓上的點(diǎn)可設(shè)為P（3cos?,2sin?）.??F1PF2為鈍角 ?????????（?∴ PF1?PF2?

5?3cos?,?2sin?)?(5?3cos?,?2sin?)

=9cos2?－5＋4sin2?=5 cos2?－1<0 解得：?55?cos??55 ∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是（?3535）.,55解決與角有關(guān)的一類問(wèn)題，總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為負(fù)值，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式，簡(jiǎn)潔明了.

第二篇：高考圓錐曲線題型歸類總結(jié)50

高考圓錐曲線題型歸類總結(jié)50 高考圓錐曲線的七種題型；題型一：定義的應(yīng)用；

1、圓錐曲線的定義：；（1）橢圓；（2）橢圓；（3）橢圓；

2、定義的應(yīng)用；（1）尋找符合條件的等量關(guān)系；（2）等價(jià)轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合；

3、定義的適用條件：；典型例題；例

1、動(dòng)圓M與圓C1:(x+1)+y=36內(nèi)切,；例

2、方程；題型二：圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程；

1、橢圓：由

2、雙曲線：由，分母的大小決高考圓錐曲線的七種題型

題型一：定義的應(yīng)用

1、圓錐曲線的定義：（1）橢圓（2）橢圓（3）橢圓

2、定義的應(yīng)用

（1）尋找符合條件的等量關(guān)系（2）等價(jià)轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合

3、定義的適用條件： 典型例題

例

1、動(dòng)圓M與圓C1:(x+1)+y=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)+y=4外切,求圓心M的軌跡方程。

例

2、方程

題型二：圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：

1、橢圓：由

2、雙曲線：由，分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上； 表示的曲線是 2222

3、拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。典型例題 x2y2 例

1、已知方程??1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 m?12?m x2y2 ??1的曲線： 例

2、k為何值時(shí),方程9?k5?k(1)是橢圓;(2)是雙曲線.題型三：圓錐曲線焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題

1、橢圓焦點(diǎn)三角形面積S?btan2? 2 ；雙曲線焦點(diǎn)三角形面積S?bcot2? 2

2、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解

3、m?n,m?n,mn,m2?n2四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用； 典型例題

22xy例

1、橢圓22?，求1(a?b?0)上一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)FFPF?1，2的張角∠F12?ab 證：△F1PF2的面積為btan2?。2 例

2、已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且

．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法

1、a,b,c三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的值；，2、a,b,c三者知道任意兩個(gè)或三個(gè)的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的最值或范圍；

3、注重?cái)?shù)形結(jié)合思想不等式解法 典型例題 x2y2 例

1、已知F1、F2是雙曲線2?2?1（a?0,b?0）的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正ab 三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A.4?2 B.?1 C.?1 D.?1 2 x2y2 例

2、雙曲線2?2?1（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,ab 則雙曲線離心率的取值范圍為 A.(1,3)B.?1,3? C.(3,+?)D.?3,??? x2y2 例

3、橢圓G：2?2?1(a?b?0)的兩焦點(diǎn)為F1(?c,0),F2(c,0)，橢圓上存在 ab 點(diǎn)M使F1M?F2M?0.求橢圓離心率e的取值范圍； ?? x2y2 例

4、已知雙曲線2?2?1(a?0,b?0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60?的直線 ab 與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,??)（D）(2,??)題型五：點(diǎn)、直線與圓錐的位置關(guān)系判斷

1、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 x2y2 點(diǎn)在橢圓內(nèi)?2?2?1 ab x2y2 點(diǎn)在橢圓上?2?2?1 ab x2y2 點(diǎn)在橢圓外?2?2?1 ab

2、直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題： ?>0?相交

?=0?相切（需要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況）?<0?相離

3、弦長(zhǎng)公式： AB??k2x1?x2??k2(x1?x2)??k2? a AB??111? y?y??(y?y)??1212222kkka

4、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：

1、偉達(dá)定理：

2、點(diǎn)差法：

（1）帶點(diǎn)進(jìn)圓錐曲線方程，做差化簡(jiǎn)

（2）得到中點(diǎn)坐標(biāo)比值與直線斜率的等式關(guān)系 典型例題

例

1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB被點(diǎn)M(3,-1)平分,求直線AB的方程.例

2、已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓與直線L:x+y=1交于A,B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|=22，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC的斜率為2/2，求橢圓的方程。

題型六：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：

1、求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；

2、求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系； 例

1、如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線 的距離之和等于4，求P的軌跡方程．

（2）待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。

例

2、如線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過(guò)A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為(3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

例

3、由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=60，則動(dòng)點(diǎn)0P的軌跡方程為

例

4、點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線 例

5、一動(dòng)圓與兩圓⊙M： 的軌跡為

(4)代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)

在某已知曲線上，則可先用跡方程: 例

6、如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線則M的軌跡方程為_(kāi)_________(5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 慮將

例

7、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，依賴于另一動(dòng)點(diǎn) 的代數(shù)式表示的變化而變化，并且，再將又和⊙N：都外切，則動(dòng)圓圓心的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_______ 代入已知曲線得要求的軌均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。程是

題型七：（直線與圓錐曲線常規(guī)解題方法）

一、設(shè)直線與方程；（提醒：①設(shè)直線時(shí)分斜率存在與；

二、設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪觯?/p>

三、聯(lián)立方程組；；

四、消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線；

五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：；①“以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)0”（提醒：需討論K是；?OA?OB?K1?K2??1?；②“點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題”；?“直角、銳角、鈍角問(wèn)題

一、設(shè)直線與方程；（提醒：①設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；②設(shè)為y=kx+b與x=my+n的區(qū)別）

二、設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊?即“設(shè)而不求”）

三、聯(lián)立方程組；

四、消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡(jiǎn)單）

五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：

①“以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)0”（提醒：需討論K是否存在）?OA?OB ?K1?K2??1 ?OA?OB?0 ? x1x2?y1y2?0 ②“點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題”

?“直角、銳角、鈍角問(wèn)題” ?“向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問(wèn)題” ?x1x2?y1y2>0；

③“等角、角平分、角互補(bǔ)問(wèn)題” ?斜率關(guān)系（K1?K2?0或K1?K2）； ④“共線問(wèn)題”

（如：AQ??QB ?數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）；（如：A、O、B三點(diǎn)共線?直線OA與OB斜率相等）； ⑤“點(diǎn)、線對(duì)稱問(wèn)題” ?坐標(biāo)與斜率關(guān)系； ⑥“弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題”

?轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長(zhǎng)公式問(wèn)題（提醒：注意兩個(gè)面積公式的合理選擇）；

六、化簡(jiǎn)與計(jì)算；

七、細(xì)節(jié)問(wèn)題不忽略；

①判別式是否已經(jīng)考慮；②拋物線問(wèn)題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會(huì)出現(xiàn)0.基本解題思想：

1、“常規(guī)求值”問(wèn)題：需要找等式，“求范圍”問(wèn)題需要找不等式；

2、“是否存在”問(wèn)題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無(wú)解；

3、證明定值問(wèn)題的方法：⑴常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來(lái)，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無(wú)

關(guān)；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。

4、處理定點(diǎn)問(wèn)題的方法：⑴常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明

5、求最值問(wèn)題時(shí)：將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；

6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)；

7、思路問(wèn)題：大多數(shù)問(wèn)題只要忠實(shí)、準(zhǔn)確地將題目每個(gè)條件和要求表達(dá)出來(lái)，即可自然而然產(chǎn)生思路。

典型例題：

例

1、已知點(diǎn)F?0,1?，直線l：y??1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且QP?QF?FP?FQ．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）已知圓M過(guò)定點(diǎn)D?0,2?，圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)DA?l1，DB?l2，求

例

2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為 線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過(guò)Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上 運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程； l1l2?的最大值． l2l1(2)過(guò)D點(diǎn)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè) 求λ的取值范圍.DM=λ，DN x2y2 例

3、設(shè)F1、F2分別是橢圓C：2?2?1(a?b?0)的左右焦點(diǎn)。ab（1）設(shè)橢圓C 上點(diǎn)到兩點(diǎn)F1、F2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段KF1的中點(diǎn)B的軌跡方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線

PM，PN 的斜率都存在，并記為kPM，kPN，試探究kPM?KPN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。

例

4、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線l:y?kx?m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

例

5、已知橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2在y 軸上，短軸長(zhǎng)為，P是橢圓在第一 2 ?象限弧上一點(diǎn)，且PF1?PF2?1，過(guò)P作關(guān)于直線F1P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓

于A、B兩點(diǎn)。（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證直線AB的斜率為定值； 典型例題： 例

1、由①、②解得，x?a?2． 不妨設(shè)A?a?2,0?，B?a?2,0?，∴ l1? l2?．

l1l2l12?l222∴???l2l1l1l2 ? ? ③ l1l2?? ? l2l1 當(dāng)a? 0時(shí)，由③得，當(dāng)且僅當(dāng)a?? 當(dāng)a?0時(shí)，由③得，l1l2?? 2． l2l1 故當(dāng)a??l1l2?的最大值為 l 2l1 例

2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222；設(shè)其長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=；x22；∴曲線C的方程為+y=1.；(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,；x2222；代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=；Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞；DMx13；?.由圖可知=λDNx25；20k?；x?x??122??1? ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222?12?2＞|AB|=4.∴曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)其長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=5,c=2,b=1.x22 ∴曲線C的方程為+y=1.5(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2, x2222 代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=0.5 Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞ 2 2 2 DMx13 ?.由圖可知=λ DNx25 20k? x?x??122??1?5k由韋達(dá)定理得? 15?x?x? 12?1?5k2? 將x1=λx2代入得 ?400k222 ?(1??)x2??(1?5k2)2 ? ??x2?15 2?1?5k2?(1??)2400k280兩式相除得 ??2?15(1?5k)3(5?)k2 3151208016 ?k2?,?0?2?,?5?2?,即4?? 1533kk?533(2?5)k(1??)216DM1?4??,0,?解得???3 ?3DN3 ① ② ??? x1DM?,M在D、N中間，∴λ＜1 x2DN 又∵當(dāng)k不存在時(shí)，顯然λ=綜合得：1/3 ≤λ＜1.DM1 ?(此時(shí)直線l與y軸重合)DN3 例

3、解：（1）由于點(diǎn)? 2 2 ?1b2 得2a=4, ?2分 x2y2 ??1橢圓C的方程為 43x2y2??1把K的坐標(biāo)代入橢圓43，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(?1,0),(1,0)??4分

（2）設(shè)KF1的中點(diǎn)為B（x, y）則點(diǎn)K(2x?1,2y)?5分(2x?1)2(2y)2 ??1中得 43 ?7分 12y2 ?1線段KF1的中點(diǎn)B的軌跡方程為(x?)?2 4 設(shè)M(x0,y0)N(?x0,?y0), ?8分

（3）過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 p(x,y), x02y02x2y2 M,N,P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得2?2?12?2?1 ??10分 ababb2y?y0y?y0y2?y02 =?2 ???13分 kPM?KPN=??2 2 ax?x0x?x0x?x0 故：kPM?KPN的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，同時(shí)與直線L無(wú)關(guān)，??14分 x2y2 ??1．（5分）例

4、解：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為43（Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，?y?kx?m，?222 聯(lián)立?x2y2得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，?1.?? 43? ? ???64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，則? 8mk? x?x??，?122 3?4k? ?4(m2?3).?x1?x2? 3?4k2? 3(m2?4k2)又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?，2 3?4k 2 2 0)，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)D(2，?kADkBD??1，即 y1y 2??1，x1?2x2?2 3(m2?4k2)4(m2?3)16mk ???4?0，?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，? 3?4k23?4k23?4k2 ?9m2?16mk?4k2?0． 解得：m1??2k，m2?? 2k22，且均滿足3?4k?m?0，7

1、當(dāng)m1??2k時(shí)，l的方程為y?k(x?2)，直線過(guò)定點(diǎn)(2，0)，與已知矛盾；當(dāng)m2??

2、2k2??2?? 時(shí)，l的方程為y?k?x??，直線過(guò)定點(diǎn)?，0?． 77??7?? 所以，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為?，0?．（14分）?2 ?7?? y2x2 ??1例

5、解（1）F1F2(0,，設(shè)P(x0,y0)(x0?0,y0?0)42。

??22則PF1?PF2?x0?(2?y0)?1 1?(?x0y0),PF2?(?x0,y0), ?PF 222 x0y04?y02 ?1.?x0? ?點(diǎn)P(x0,y0)在曲線上，則? 2422 4?y02 ?(2?y0)? 1，得y0?P 的坐標(biāo)為 從而2（2）由（1）知PF1//x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為k(k?0)，?y?k(x?1)? 則PB 的直線方程為：y?k(x?1)由?x2y2得 ?1?? ?24(2?k2)x2?2kk)x?k)2?4?0 2k(k?k2??2 ?1?設(shè)B(xB,y B),則xB? 22 2?k2?kx?x? 同理可得xA?，則AB(xA?1)?k(x1 yA?yB??kB? 所以：AB 的斜率kAB? 8k 2 2?k yA?yB ? xA?xB sin? 4例

6、解：（1）由23?1|OF|?|FP|?sin?,得|OF|?|FP|?43,由cos??tsin?，2 分

得tan??4.3分 t ?4?t?43?1?tan?[0,?] ∴夾角?的取值范圍是（?? ,）??643（2）設(shè)P(x0,y0),則(x0?c,y0),?(c,0).?OF?FP?(x0?c,y0)?(c,0)?(x0?c)c?t?1)c2 ?1???S?OFP?|OF|?|y0|?y0?2?x08分

?|OP|?10分 ∴當(dāng)且僅當(dāng)3c? 4,即c?2時(shí),|OP|取最小值26,此時(shí),OP?(23,?23)c ?? 3(2,23)?(0,1)?(2,3)33 或?(2,?23)?(0,1)?(2,?1)12分 橢圓長(zhǎng)軸 2a?(2?2)2?(3?0)2?(2?2)2?(3?0)2?8 ?a?4,b2?12 或2a?(2?2)2?(?1?0)2?(2?2)2?(?1?0)2?1??a? 1?21? ,b? 22 x2y2 ??1.或x2?y2?1 14分 故所求橢圓方程為 16129?1?2 2

第三篇：完美版圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

圓錐曲線的方程與性質(zhì)

1．橢圓

（1）橢圓概念

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。

（2）橢圓的性質(zhì)

①范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說(shuō)明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；

②對(duì)稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱。若同時(shí)以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；

③頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。

所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。

同時(shí)，線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為和，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。

由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，，且，即；

④離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比叫橢圓的離心率?！撸?，且越接近，就越接近，從而就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。

2．雙曲線

（1）雙曲線的概念

平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（）。

注意：①式中是差的絕對(duì)值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支；時(shí)為雙曲線的另一支（含的一支）；②當(dāng)時(shí)，表示兩條射線；③當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形；④兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。

（2）雙曲線的性質(zhì)

①范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。

②對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。

③頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里，對(duì)稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn)。

令，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒(méi)有交點(diǎn)。

1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。

2）實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。

④漸近線：注意到開(kāi)課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。

⑤等軸雙曲線：

1）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；

2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：

；（2）漸近線互相垂直。

注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。

3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為：，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。

⑥注意與的區(qū)別：三個(gè)量中不同（互換）相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。

3．拋物線

（1）拋物線的概念

平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。

方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是；

（2）拋物線的性質(zhì)

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：

標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

焦點(diǎn)坐標(biāo)

準(zhǔn)線方程

范圍

對(duì)稱性

軸

軸

軸

軸

頂點(diǎn)

離心率

說(shuō)明：（1）通徑：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱中心，沒(méi)有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識(shí)點(diǎn)梳理

一、方程的曲線：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。

點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y

0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0。

兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點(diǎn)P0(x0,y0)是C1，C2的交點(diǎn){方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線就沒(méi)有交點(diǎn)。

二、圓：

1、定義：點(diǎn)集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點(diǎn)O為圓心，定長(zhǎng)r為半徑.2、方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2

(2)一般方程：①當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=

②當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);

③當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí)，方程不表示任何圖形.（3）

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點(diǎn)M在圓C內(nèi)，｜MC｜=r點(diǎn)M在圓C上，｜MC｜＞r點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中｜MC｜=。

（4）

直線和圓的位置關(guān)系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離沒(méi)有公共點(diǎn)。

②直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判定。

三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：

平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之

比是一個(gè)常數(shù)e(e＞0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率。當(dāng)0＜e＜1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e＞1時(shí)，軌跡為雙曲線。

四、橢圓、雙曲線、拋物線：

橢圓

雙曲線

拋物線

定義

1．到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡

2．與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（0

1．到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡

2．與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（e>1）

與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.軌跡條件

點(diǎn)集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F

1F2｜＜2a}.點(diǎn)集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.點(diǎn)集{M｜

｜MF｜=點(diǎn)M到直線l的距離}.圖形

方

程

標(biāo)準(zhǔn)方程

(>0)

(a>0,b>0)

參數(shù)方程

(t為參數(shù))

范圍

─a￡x￡a，─b￡y￡b

|x|

3

a，y?R

x30

中心

原點(diǎn)O（0，0）

原點(diǎn)O（0，0）

頂點(diǎn)

(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)

(a,0),(─a,0)

(0,0)

對(duì)稱軸

x軸，y軸；

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2b

x軸，y軸;

實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.x軸

焦點(diǎn)

F1(c,0),F2(─c,0)

F1(c,0),F2(─c,0)

準(zhǔn)

線

x=±

準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.x=±

準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=-

準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距

2c

（c=）

2c

（c=）

離心率

e=1

【備注1】雙曲線：

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為

.【備注2】拋物線：

（1）拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)，準(zhǔn)線方程x=-，開(kāi)口向右；拋物線=-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-,0)，準(zhǔn)線方程x=，開(kāi)口向左；拋物線=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,)，準(zhǔn)線方程y=-，開(kāi)口向上；

拋物線=-2py（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-），準(zhǔn)線方程y=，開(kāi)口向下.（2）拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離；拋物線=-2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離

（3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=2px(p>0)，則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.（4）已知過(guò)拋物線=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長(zhǎng)=+p或(α為直線AB的傾斜角)，(叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換：

（1）坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程.（2）坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱移軸。

（3）坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是（x,y)，在新坐標(biāo)系x

′O′y′中的坐標(biāo)是.設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則

或

叫做平移(或移軸)公式.（4）

中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見(jiàn)下表：

方

程

焦

點(diǎn)

焦

線

對(duì)稱軸

橢圓

+=1

(±c+h,k)

x=±+h

x=h

y=k

+

=1

(h,±c+k)

y=±+k

x=h

y=k

雙曲線

-=1

(±c+h,k)

x=±+k

x=h

y=k

-=1

(h,±c+h)

y=±+k

x=h

y=k

拋物線

(y-k)2=2p(x-h)

(+h,k)

x=-+h

y=k

(y-k)2=-2p(x-h)

(-+h,k)

x=+h

y=k

(x-h)2=2p(y-k)

(h,+k)

y=-+k

x=h

(x-h)2=-2p(y-k)

(h,-

+k)

y=+k

x=h

六、橢圓的常用結(jié)論：

1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.5.若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是.6.若在橢圓外，則過(guò)作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7.橢圓

(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)

2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.8.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式,(,).9.設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交

P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP

和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.10.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.11.AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。

12.若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是；

【推論】：

1、若在橢圓內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是。橢圓（a＞b＞o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.2、過(guò)橢圓

(a＞0,b＞0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3、若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F

2是焦點(diǎn)，，則.4、設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記，，則有.5、若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)0＜e≤時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).6、P為橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.7、橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8、已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9、過(guò)橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知橢圓（a＞b＞0）,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),則.11、設(shè)P點(diǎn)是橢圓（a＞b＞0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2)

.12、設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，，，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2)

.(3)

.13、已知橢圓（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）

17、橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).七、雙曲線的常用結(jié)論：

1、點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4、以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）

5、若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是.6、若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7、雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)

2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.8、雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,）當(dāng)在右支上時(shí)，,；當(dāng)在左支上時(shí)，,。

9、設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交

P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP

和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.10、過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.11、AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。

12、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.【推論】：

1、雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.2、過(guò)雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3、若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1,F

2是焦點(diǎn)，，則（或）.4、設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記，，則有.5、若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)1＜e≤時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).6、P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.7、雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8、已知雙曲線（b＞a

＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9、過(guò)雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則

.10、已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),則或.11、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2)

.12、設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，，，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2)

.(3)

.13、已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14、過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16、雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).17、雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).八、拋物線的常用結(jié)論：

①頂點(diǎn).②則焦點(diǎn)半徑;則焦點(diǎn)半徑為.③通徑為2p，這是過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的.④（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）.圖形

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線

范圍

對(duì)稱軸

軸

軸

頂點(diǎn)

（0,0）

離心率

焦點(diǎn)

圓錐曲線的性質(zhì)對(duì)比

圓錐曲線

橢圓

雙曲線

拋物線

標(biāo)準(zhǔn)方程

(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

a>b>0

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

a>0,b>0

y^2=2px

p>0

范圍

x∈[-a,a]

y∈[-b,b]

x∈(-∞,-a]∪[a,+∞)

y∈R

x∈[0,+∞)

y∈R

對(duì)稱性

關(guān)于x軸,y軸,原點(diǎn)對(duì)稱

關(guān)于x軸,y軸,原點(diǎn)對(duì)稱

關(guān)于x軸對(duì)稱

頂點(diǎn)

(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)

(a,0),(-a,0)

(0,0)

焦點(diǎn)

(c,0),(-c,0)

【其中c^2=a^2-b^2】

(c,0),(-c,0)

【其中c^2=a^2+b^2】

(p/2,0)

準(zhǔn)線

x=±(a^2)/c

x=±(a^2)/c

x=-p/2

漸近線

——————————

y=±(b/a)x

—————

離心率

e=c/a,e∈(0,1)

e=c/a,e∈(1,+∞)

e=1

焦半徑

∣PF1∣=a+ex

∣PF2∣=a-ex

∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣

∣PF∣=x+p/2

焦準(zhǔn)距

p=(b^2)/c

p=(b^2)/c

p

通徑

(2b^2)/a

(2b^2)/a

2p

參數(shù)方程

x=a·cosθ

y=b·sinθ，θ為參數(shù)

x=a·secθ

y=b·tanθ,θ為參數(shù)

x=2pt^2

y=2pt,t為參數(shù)

過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)

(x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1

(x0,y0)的切線方程

(x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1

y0·y=p(x+x0)

斜率為k的切線方程

y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2]

y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2]

y=kx+p/2k

第四篇：圓錐曲線教案

與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題以及圓錐曲線與圓錐曲線相交問(wèn)題等．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)對(duì)圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用圓錐曲線知識(shí)的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題的教學(xué)，使學(xué)生掌握一些相關(guān)學(xué)科中的類似問(wèn)題的處理方法．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題．

(解決辦法：先介紹基礎(chǔ)知識(shí)，再講解應(yīng)用．)2．難點(diǎn)：雙圓錐曲線的相交問(wèn)題．

(解決辦法：要提醒學(xué)生注意，除了要用一元二次方程的判別式，還要結(jié)合圖形分析．)3．疑點(diǎn)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題．

(解決辦法：因?yàn)檫@類問(wèn)題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過(guò)一些例題予以示范．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

演板、講解、練習(xí)、分析、提問(wèn)．

四、教學(xué)過(guò)程(一)引入

與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問(wèn)題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題等，在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中經(jīng)常見(jiàn)到，為了讓大家對(duì)這方面的知識(shí)有一個(gè)比較系統(tǒng)的了解，今天來(lái)講一下“與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題”．

(二)與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題 1．圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法

設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：

(2)若弦AB過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=|AF|+|BF|．

A、B兩點(diǎn)，旦|AB|=8，求傾斜角α． 分析一：由弦長(zhǎng)公式易解． 由學(xué)生演板完成．解答為：

∵

拋物線方程為x2=-4y，∴焦點(diǎn)為(0，-1)． 設(shè)直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

∴ k=±1．

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結(jié)果，由學(xué)生課外完成．

2．與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)的問(wèn)題

在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍．

例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值． 解(1)：

將x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由點(diǎn)(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：

4(y-1)2≤4

即|y-1|≤1．

∴0≤y≤2．

當(dāng)y=0時(shí)，(x2+y2)min=0． 解(2)：

分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關(guān)于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．

令x+y=u，則有x=u-y．

代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0．

3．與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題

它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法．

例3 在拋物線x2＝4y上有兩點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：

(1)A、B和這拋物線的焦點(diǎn)三點(diǎn)共線；

證明：

(1)∵拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)，準(zhǔn)線方程為y=-1．

∴ A、B到準(zhǔn)線的距離分別d1＝y(tǒng)1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．

由拋物線的定義：

|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三點(diǎn)共線．(2)如圖2－46，設(shè)∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．

小結(jié)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題解決的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)．

4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問(wèn)題

直線與圓錐曲線相交問(wèn)題，一般可用兩個(gè)方程聯(lián)立后，用△≥0來(lái)處理．但用△≥0來(lái)判斷雙圓錐曲線相交問(wèn)題是不可靠的．解決這類問(wèn)題：方法1，由“△≥0”

與直觀圖形相結(jié)合；方法2，由“△≥0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法3，轉(zhuǎn)換參數(shù)法(以后再講)．

實(shí)數(shù)a的取值范圍．

可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如圖2－47，可知：

(三)鞏固練習(xí)(用一小黑板事先寫出．)

2．已知圓(x-1)2+y2=1與拋物線y2=2px有三個(gè)公共點(diǎn)，求P的取值范圍．

頂點(diǎn)．

請(qǐng)三個(gè)學(xué)生演板，其他同學(xué)作課堂練習(xí)，教師巡視．解答為： 1．設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則

2．由兩曲線方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P．

∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范圍為(0，1)．

四個(gè)交點(diǎn)為A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)．

五、布置作業(yè)

1．一條定拋物線C1∶y2=1-x與動(dòng)圓C2∶(x-a)2+y2=1沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的范圍．

2．求拋線y=x2上到直線y=2x-4的距離為最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 3．證明：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)． 作業(yè)答案：

1．當(dāng)x≤1時(shí)，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，離為d，則

似證明．

六、板書設(shè)計(jì)

第五篇：高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全—圓錐曲線

一、考點(diǎn)（限考）概要：

1、橢圓：

（1）軌跡定義：

①定義一：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，兩定點(diǎn)是焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離是焦距，且定長(zhǎng)2a大于焦距2c。用集合表示為：

；

②定義二：在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個(gè)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù)e是離心率。

用集合表示為：

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：

；

注意：當(dāng)沒(méi)有明確焦點(diǎn)在個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個(gè)。

（3）參數(shù)方程：

3、雙曲線：

（1）軌跡定義：

（θ為參數(shù)）；

①定義一：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，兩定點(diǎn)是焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離是焦距。用集合表示為：

②定義二：到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個(gè)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù)e是離心率。

用集合表示為：（2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：

注意：當(dāng)沒(méi)有明確焦點(diǎn)在個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個(gè)。

4、拋物線：

（1）軌跡定義：在平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線，定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線是準(zhǔn)線，定點(diǎn)與定直線間的距離叫焦參數(shù)p。用集合表示為

：

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)：

①焦點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)與方程符號(hào)一致，與準(zhǔn)線方程的符號(hào)相反；

②標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的字母與對(duì)稱軸和準(zhǔn)線方程的字母一致；

③標(biāo)準(zhǔn)方程的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，有別于一元二次函數(shù)的圖像；

二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：

1、平面解析幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)：

2、橢圓各參數(shù)間的關(guān)系請(qǐng)記熟 “六點(diǎn)六線，一個(gè)三角形”，即六點(diǎn)：四個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)；六線：兩條準(zhǔn)線，長(zhǎng)軸短軸，焦點(diǎn)線和垂線PQ；三角形：焦點(diǎn)三角形各性質(zhì)（除切線外）均可在這個(gè)圖中找到。

。則橢圓的

3、橢圓形狀與e的關(guān)系：當(dāng)e→0，c→0，橢圓→圓，直至成為極限位置的圓，則認(rèn)為圓是橢圓在e=0時(shí)的特例。當(dāng)e→1，c→a橢圓變扁，直至成為極限位置的線段也可認(rèn)為是橢圓在e=1時(shí)的特例。

4、利用焦半徑公式計(jì)算焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則弦長(zhǎng)，此時(shí)

這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想。

5、若過(guò)橢圓左（或右）焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB，則

；

6、結(jié)合下圖熟記雙曲線的：“四點(diǎn)八線，一個(gè)三角形”，即：四點(diǎn)：頂點(diǎn)和焦點(diǎn)；八線：實(shí)軸、虛軸、準(zhǔn)線、漸進(jìn)線、焦點(diǎn)弦、垂線PQ。三角形：焦點(diǎn)三角形。

7、雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊。

8、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b。

9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三常數(shù)a、b、c中a、b不同（互換）c相同,它們共用一對(duì)漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)椋?。

10、過(guò)雙曲線點(diǎn)的情況如下：

外一點(diǎn)P（x,y）的直線與雙曲線只有一個(gè)公共（1）P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；

（2）P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；

（3）P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；

（4）P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；

11、結(jié)合圖形熟記拋物線：“兩點(diǎn)兩線，一個(gè)直角梯形”，即：兩點(diǎn)：頂點(diǎn)和焦點(diǎn)；兩線：準(zhǔn)線、焦點(diǎn)弦；梯形：直角梯形ABCD。

12、對(duì)于拋物線上

13、拋物線則有如下結(jié)論： 的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）為AB，且，以簡(jiǎn)化計(jì)算；

，14、過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線；

15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問(wèn)題常用代點(diǎn)相減法：即設(shè) 為曲線上不同的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則可得到弦中點(diǎn)與兩點(diǎn)間關(guān)系：

16、當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，即把直線方程代入曲線方程，消元后，用韋達(dá)定理求相關(guān)參數(shù)（即設(shè)而不求）；二是點(diǎn)差法，即設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后把交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，兩式相減后，再求相關(guān)參數(shù)。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件△＞0是否成立。

5、圓錐曲線：

（1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點(diǎn)集：為定點(diǎn)，d為點(diǎn)P到定直線的l 距離，e為常數(shù)，如圖。，其中F

（2）當(dāng)0＜e＜1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓；當(dāng)e＞1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是拋物線。

（3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的、固有的性質(zhì)，不因?yàn)槲恢玫母淖兌淖儭?/p>

①定性：焦點(diǎn)在與準(zhǔn)線垂直的對(duì)稱軸上

ⅰ橢圓及雙曲線：中心為兩焦點(diǎn)中點(diǎn)，兩準(zhǔn)線關(guān)于中心對(duì)稱；

ⅱ橢圓及雙曲線關(guān)于長(zhǎng)軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸為軸對(duì)稱，關(guān)于中心為中心對(duì)稱；

ⅲ拋物線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心是原點(diǎn)。

②定量：

（4）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及解析量（隨坐標(biāo)改變而變）

以焦點(diǎn)在x軸上的方程為例：

6、曲線與方程：

（1）軌跡法求曲線方程的程序：

①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；

②設(shè)曲線上任一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）M的坐標(biāo)為(x,y)；

③列出符合條件p(M)的方程f(x,y)=0；

④化簡(jiǎn)方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；

⑤證明化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上；

（2）曲線的交點(diǎn)：

由方程組確定，方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有幾個(gè)公共點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，兩條曲線就沒(méi)有公共點(diǎn)。