第一篇：高中數(shù)學(xué)中的對稱問題小結(jié)

對稱問題

一、要點梳理

1.對稱問題的核心是點關(guān)于點的中心對稱和點關(guān)于直線的軸對稱，要充分利用轉(zhuǎn)化的思想將問題轉(zhuǎn)化為這兩類對稱中的一種加以處理.2.解決最值問題最常用的方法是目標(biāo)函數(shù)法和幾何法。3.求對稱曲線的常用思想方法：代入轉(zhuǎn)移法

4.許多問題中都隱含著對稱性，要注意挖掘、充分利用對稱變換來解決，如角平分線、線段中垂線、光線反射等

二、基礎(chǔ)練習(xí)

1、已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對稱，則圓C的方程為

（）A.(x＋1)2＋y2＝

1B.x2＋y2＝1

C.x2＋(y＋1)2＝1

D.x2＋(y－1)2＝1

2、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲線曲線

（）A.關(guān)于x軸對稱但不關(guān)于y軸對稱

B.關(guān)于y軸對稱但不關(guān)于x軸對稱 C.關(guān)于原點對稱

D.以上都不對

3、函數(shù)y＝－ex的圖象

（）A.與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對稱

B.與y＝ex的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱

C.與y?e的圖象關(guān)于y軸對稱

D.與y?e的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱

4、曲線x2＋4y2＝4關(guān)于點M（3，5）對稱的曲線方程為___________.5、光線從點A（-3，4）發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過y軸反射，光線經(jīng)過點B（-2，6），求射入y軸后的反射線的方程。

變式：已知直線l1: x+my+5=0和直線l2:x+ny+P=0，則l1、l2關(guān)于y軸對稱的充要條件是（）A、?x?x5p?

mnB、p=-5

C、m=-n且p=-5

D、11??且p=-5 mn6.直線2x?3y?6?0交x、y軸于A、B兩點，試在直線y??x上求一點P，使P1A?P1B最小，則P點的坐標(biāo)是_______ 思考、已知函數(shù)f(x)?13x?x2?x的圖象C上存在一定點P滿足：若過點P的直線l與曲線C交于不同于P的3兩點M(x1,y1),N(x2,y2)，且恒有y1?y2為定值y0，則y0的值為（）A.?12

4B.?

C.?

D.?2 3337、已知點M（3，5），在直線：x?2y?2?0和y軸上各找一點P和Q，使?MPQ的周長最小。

x2y2??1的焦點為焦點作橢圓。問：點P在何處時，8、在直線l:x?y?9?0上任取一點P，過點P且以橢圓

123所作橢圓的長軸最短？并求具有最短長軸的橢圓的方程。

9、已知長方形的四個頂點A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1

10、已知拋物線y=ax2－1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求實數(shù)a的取值范圍.x2y2變式：已知橢圓方程為試確定實數(shù)m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關(guān)于直線y?4x?m??1，43對稱。

11、已知函數(shù)f(x)?lnx(0?x?1)1?x（1）在函數(shù)y?f(x)的圖象上是否存在一點（m,n），使得y?f(x)的圖象關(guān)于（m,n）對稱？（2）令g(x)?f(1?x11)，是否存在這樣的實數(shù)b，使得任意的a∈[,]時，對任意的x∈(0,??)，不等式2?x43g(x)?x?ax2?b恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由.12、已知拋物線C:y2?4x，過M(m,0)的直線l與C相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點.（Ⅰ）若m=3，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（Ⅱ）若m?0，且存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，求m的取值范圍.（Ⅲ）若m?0，記A關(guān)于x軸的對稱點為A1，求證：直線A1B過定點.13、設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點在拋物線y?2x上，l是AB的垂直平分線．（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍．

214、已知函數(shù)f（x）=(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設(shè)g（x）=f(x)+13x?x2?ax?b的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2.3m是[2,??]上的增函數(shù)。x?

1（i）求實數(shù)m的最大值；

(ii)當(dāng)m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

參考解答：

1、C；

2、C；

3、D；

4、（x－6）2+4（y－10）2=4；

5、解：?A（-3，4）關(guān)于x軸的對稱點A1（-3，-4）在經(jīng)x軸反射的光線上；A1（-3，-4）關(guān)于y軸的對稱點A2（3，-4）在經(jīng)過射入y軸的反射的光線上，∴kA2B=

6?4??2

?2?3∴所求直線方程為 y?6??2(x?2)，即2x?y?2?0 變式、C；

6、(0,0)； 思考、B；解析： ?f(x)?13111x?x2?x?(x3?3x2?3x?1?1)?(x?1)3? 3333111?f(x)??(x?1)3從而f(x)的圖像關(guān)于定點(?1,?)對稱，333112所以點P為(?1,?)，y1?y2?y0?2(?)??

3337、解：可求得點M關(guān)于l的對稱點為M1（5，1），點M關(guān)于y軸的對稱點為M2（-3，5），則

?MPQ的周長就是M2Q?QP?PM1，連M2M1，則直線M2M1與y軸及直線x?2y?2?0的交點P、Q即為所求。

直線M1M2的方程為x?2y?7?0，直線M1M2與y軸的交點坐標(biāo)為Q(0,)，由方程組?72?x?2y?2?059597 得交點P(,)，∴點P(,)、Q(0,)即為所求。

24242?x?2y?7?08、略

9、解：設(shè)P1B=x，∠P1P0B=θ，則CP1=1－x，P3PB∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均為θ，∴tanθ=1=x.P0BCP1?x1?x1又tanθ=1==x，∴CP2==－1.CPCP2xx2而tanθ=

D(0,1)P2C(2,1)P1B(2,0)A P0P4P3D=P2DDP3DP31==x，∴DP3=x（3－）=3x－1.11x2?(?1)3?xx又tanθ=AP31?(3x?1)2?3x2?3x2===x，∴AP4==－3.AP4AP4AP4xx依題設(shè)1> xx42512>tanθ>.2510、解法一：設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩相異點為P（x1，y1）、Q（x2，y2），線段PQ的中點為M（x0，y0），?y?x?b，設(shè)直線PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點存在，所以方程組?有兩組不同的實數(shù)解，即得方程 2?y?ax?1ax2－x－（1+b）=0.① 判別式Δ=1+4a（1+b）＞0.②

x1?x211=，y0=x0+b=+b.2a2a21113∵M(jìn)∈l，∴0=x0+y0=++b，即b=－，代入②解得a＞.a42a2a解法二：設(shè)同解法一，由題意得 由①得x0=?y1?ax12?1，?y?ax2?1，2?2?y1?y2?1，?x?x?12?y1?y2x1?x2??0.??22①②③ ④將①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得

1?x?x??12a，由二元均值不等式易得2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.?12?x12?x22??2?.aa?將⑤⑥代入上式得2（－1a2解法三：同解法二，由①－②，得y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.y?y2∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）=1=1.x1?x2x1?x21=.∵M(jìn)（x0，y0）∈l，2a2111∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，從而PQ的中點M的坐標(biāo)為（，－）.2a2a2a∴x0=∵M(jìn)在拋物線內(nèi)部，∴a（+

213）＞（）2，解得a＞.aa41132）－（－）－1＜0.解得a＞.（舍去a＜0，為什么?）

42a2a變式：解法一：該問題等價于存在直線y??中點落在直線y?4x?m上。

1x?n，使得這直線與橢圓有兩個不同的交點P、Q，線段PQ的4?x2y2??4?3?122由?消去y得13x?8nx?16n?48?0 ?y??1x?n?4?∵直線與橢圓有兩個不同交點。

∴??64n2?4?13(16n2?48)?0??由韋達(dá)定理得：x1?x2?1313 ① ?n?228n124n，y1?y2??(x1?x2)?2n?。13413 4n12n,)又M在直線y?4x?m上 1313124n4n?4??m，∴m??n ② ∴131313故PQ中點為M(由①②知?213213 ?m?1313解法二：設(shè)A(x1,y2)、B(x2,y2)是橢圓上關(guān)于直線y?4x?m對稱的相異的兩點，x12y12x22y22AB中點為M(x0,y0)。則??1,??1，4343由點差法得y0?3x0，代入y0?4x0?m解得，M點坐標(biāo)為(?m,?3m)。而M是AB中點，∴M點在橢圓內(nèi)部。

m29m2213213∴。??1。解得??m?43131311、【解析】（1）若存在一點（m，n），使得y =f(x)的圖象關(guān)于點（m，n）對稱，則f(x+m)+f(m－x)=2n

x?mm?xm2?x2即ln ?ln?ln1?x?m1?m?x(1?m)2?x2當(dāng)m?11?在y=f(x)的圖像上，,n?0時f(x+m)+f(m－x)=2n 且?,0??2?2?1?，使得y=f(x)的圖像關(guān)于?1?對稱。所以在y=f(x)的圖像上存在一點??,0??,0??2??2?1?x（2）g?x?=ln2?x?ln?x?1?(x＞－1), 構(gòu)造函數(shù)F?x?=ln?1?x??x?ax，1?x1?2?x1??2ax?x?1??1?2ax?2ax?x?112a??則F??x???2ax?1??，x?1x?1x?12

因為x?0,a∈[,]所以x?1?0,2ax?0, 1143 11?1),?F(x)在(0,?1)上是減函數(shù)； 2a2a11?1,??),?F(x)在(?1,??)上是增函數(shù)； 若F?(x)?0，則x∈(2a2a11111?1時,F(x)取最小值，即F(x)min?F(?1)=ln??1?a(?1)2 所以當(dāng)x?2a2a2a2a2a11111??1??a?1=ln??a

=ln2a2a4a2a4a若F?(x)?0，則x∈(0,記h(a)?ln11111111??a,又h?(a)?2a?(?2)?2?1?2??1?(?2)2, 2a4aa4a2a4a4a

11113∈[3，4]所以h?(a)?0,即h(a)在[,]上為增函數(shù)，所以h(a)min?h()?ln2?

44a433所以若使F(x)?b恒成立，只需b?ln2?.4311所以存在這樣的實數(shù)b?ln2?,使得對a∈[,]，對任意的x∈(0,??)時，443因為不等式ln（1+x）＞x-ax2+b恒成立.12、（Ⅰ）解：由題意，直線l的方程為y?x?3，由??y?x?3?y?4x

2得

y2?4y?12?0?y1??2,y2?6，故A?1,?2?,B?9,6?

以AB為直徑的圓的圓心為AB中點?5,2?，半徑為

AB?42 2?圓的方程為:?x?5???y?2??32.?????????（Ⅱ）解：設(shè)A, B兩點坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2), MB??AM(??0).22?????????則AM?(m?x1,?y1),MB?(x2?m,y2)，所以 ??x2?m??(m?x1)

○

1y???y?21

因為點A, B在拋物線C上, 2

所以y12=4x1,y22

=4x2，○

由○1○2，消去x2,y1,y2得?x1?m.若此直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，則|OM|2?|MB|?|AM|，2即|OM|2??|AM|?|AM|，所以m2??[(x1?m)2?y1]，因為y12=4x1，?x1?m，所以m2?m[(x1?m)2?4x1]，x12整理得x1?(3m?4)x1?m2?0，○

因為存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，所以關(guān)于x1的方程○3有正根，因為方程○3的兩根之積為m2>0, 所以只可能有兩個正根，?3m?4?0?

所以?m2?0，解得m?4.???(3m?4)2?4m2?0? 故當(dāng)m?4時，存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列.（Ⅲ）定點位N(-m,0)。

13、解：（Ⅰ）F?l?|FA|?|FB|?A,B兩點到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等．

∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y1?0,y2?0,依題意y1,y2不同時為0，2∴上述條件等價于y1?y2?x12?x2?(x1?x2)(x1?x2)?0;

∵x1?x2，∴上述條件等價于

x1?x2?0.即當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2?0時，l經(jīng)過拋物線的焦點F． 另解：（Ⅰ）∵拋物線y?2x2，即x?2y11,?p?，∴焦點為F(0,)

248（1）直線l的斜率不存在時，顯然有x1?x2?0

（2）直線l的斜率存在時，設(shè)為k，截距為b

即直線l：y=kx+b

由已知得：

?y?y?222??1?k?x1x2?b?2x2?2x1?k?x1x2?b

?2?222????22?y1y2??1??2x1?2x2??1??kx1?x2x1?x2k??

?22x1?x2?b??k???x1x2 ?x2?x2??1?b?0?b?1 2??12441?x1?x2??2k??即l的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點F(0,)

所以當(dāng)且僅當(dāng)

18x?x12=0時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F

（II）設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y?2x?b； 過點A、B的直線方程可寫為y??所以x1,x2滿足方程2x?21x?m，211x?m?0,得x1?x2??； 2411.A，B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式???8m?0, 即m??432設(shè)AB的中點N的坐標(biāo)為(x0,y0)，則x0?1111(x1?x2??,y0??x0?m??m.28216由N?l,得115519?m???b,于是b??m???.1641616323232即得l在y軸上截距的取值范圍為（9,??）．

法二:y1=2x1, y2=2x2, 相減得2

2y1?y21?2(x1?x2)?4x0,即??4x0, x1?x221192x0??,y0???b, 中點在拋物線內(nèi)必y0?2x0 得b?843214、解：（Ⅰ）由f'(x)?x2?2x?a及題設(shè)得??f'(0)?3?a?3即?。

b??2?f(0)??2?（Ⅱ）（?。┯蒰(x)?13mm2x?x2?3x?2?

得g'(x)?x?2x?3?。23x?1(x?1)?g(x)是[2,??)上的增函數(shù)，?g'(x)?0在[2,??)上恒成立，即x?2x?3?2m?0在[2,??)上恒成立。

(x?1)2m?0在[1,??)上恒成立 t設(shè)(x?1)2?t。?x?[2,??),?t?[1,??)，即不等式t?2?當(dāng)m?0時，不等式t?2?m?0在[1,??)上恒成立。tm當(dāng)m?0時，設(shè)y?t?2?，t?[1,??)

tmm因為y'?1?2?0，所以函數(shù)y?t?2?在[1,??)上單調(diào)遞增，因此ymin?3?m。

tt?ymin?0,?3?m?0，即m?3。又m?0，故0?m?3。

綜上，m的最大值為3。

1331x?x2?3x?2?，其圖像關(guān)于點Q(1,)成中心對稱。3x?131332證明如下：?g(x)?x?x?3x?2?

3x?113183?g(2?x)?(2?x)3?(2?x)2?3(2?x)?2???x3?x2?3x??

32?x?1331?x2因此，g(x)?g(2?x)?。

32上式表明，若點A(x,y)為函數(shù)g(x)在圖像上的任意一點，則點B(2?x,?y)也一定在函數(shù)g(x)的圖像上。

31而線段AB中點恒為點Q(1,)，由此即知函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點Q成中心對稱。

3（ⅱ）由（?。┑胓(x)?

第二篇：高中數(shù)學(xué)對稱問題

關(guān)于印發(fā)《許傳智書記在固原調(diào)研時的講話》的通知

各縣（區(qū)）紀(jì)委、監(jiān)察局，市直各部門單位紀(jì)委（紀(jì)工委），市紀(jì)委派駐紀(jì)檢組：

11月10日-11日，自治區(qū)黨委常委、紀(jì)委書記許傳智一行在固原市進(jìn)行調(diào)研，并召開座談會作了重要講話，對我市經(jīng)濟社會發(fā)展及黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗工作取得的成績給予肯定，對做好今后工作提出了四點要求，具有很強的針對性和指導(dǎo)性?，F(xiàn)將許傳智書記的講話，印發(fā)給你們，請認(rèn)真學(xué)習(xí)，深刻領(lǐng)會，并以講話精神為指導(dǎo)，全力推進(jìn)當(dāng)前各項工作落實，認(rèn)真謀劃好明年工作。

中共固原市紀(jì)委辦公室

2016年11月18日

在固原市調(diào)研時的講話

（2 01 6年11月11日）

許傳智

同志們：

這次來固原市調(diào)研，主要是了解情況，聽聽大家的意見。兩天來，我們先后到西吉縣、原州區(qū)看了一些點、走訪了一些干部群眾，看到固原市經(jīng)濟社會發(fā)展和黨風(fēng)廉政建設(shè)取得的成效，很受鼓舞。剛才紀(jì)崢同志、納冰同志介紹了情況，幾位縣（區(qū)）紀(jì)委的同志作了很好的發(fā)言。通過實地參觀和座談交流，感覺大家對當(dāng)前黨風(fēng)廉政建設(shè)的一些重要問題認(rèn)識到位、思考比較深入，對中央政策理解和自治區(qū)黨委要求的把握也比較準(zhǔn)確，今年各項工作都抓得很實在，有以下幾個方面的特點：

一是黨員干部干事創(chuàng)業(yè)的勁頭很足，經(jīng)濟社會發(fā)展取得了顯著成效。固原市是國家集中連片扶貧開發(fā)重點地區(qū)，也是我區(qū)扶貧攻堅的主戰(zhàn)場，經(jīng)濟基礎(chǔ)差，底子薄，生態(tài)環(huán)境脆弱，基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)相對滯后。近年來，在固原市委、政府的正確領(lǐng)導(dǎo)下，廣大干部群眾解放思想，攻堅克難，用足用活中央和自治區(qū)相關(guān)政策，經(jīng)濟保持了平穩(wěn)較快增長，一些工作很有特色。比如，在扶貧攻堅方面，實施?1+21+x?精準(zhǔn)扶貧規(guī)劃，統(tǒng)籌推進(jìn)金融扶貧、產(chǎn)業(yè)扶貧、智力扶貧和社會扶貧，工作做得實，效果比較好。在產(chǎn)業(yè)發(fā)展方面，發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)有思路，有措施．通過抓基地，抓科技，抓龍頭，抓市場，促進(jìn)了農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)提質(zhì)增效，農(nóng)民增收。發(fā)展全域旅游規(guī)劃起點高，通過開發(fā)旅游環(huán)線，發(fā)展鄉(xiāng)村游、農(nóng)家樂、把旅游業(yè)發(fā)展和農(nóng)民增收致富有機結(jié)合起來，打造了?天高云淡六盤山?品牌。在改革方面，深化農(nóng)村綜合改革，行政審批制度改革，城市管理體制改革，財政和投融資體制改革，優(yōu)化了發(fā)展環(huán)境，方便了群眾辦事。從前三季度主要經(jīng)濟指標(biāo)看，固原市完成地區(qū)生產(chǎn)總值149.8億元，同比增長8.1%；固定資產(chǎn)投資259.6億元，增長18.9%；地方公共財政預(yù)算收入125億元，增長14.9%；城鎮(zhèn)居民人均可支配收入16494.9元，增長7%；農(nóng)民人均可支配收入4766.4元，增長6.7%，各項指標(biāo)均保持了較快增長。取得這樣的成績來之不易，展現(xiàn)了全市各級黨政組織和廣大黨員干部良好的精神風(fēng)貌和干事創(chuàng)業(yè)的勁頭。

二是市委認(rèn)真落實全面從嚴(yán)治黨主體責(zé)任，措施有力，效果明顯。市委在推進(jìn)經(jīng)濟社會發(fā)展的同時，高度重視黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗工作，加強組織領(lǐng)導(dǎo)，協(xié)調(diào)各方力量，健全工作機構(gòu)，完善配套制度。紀(jì)崢書記認(rèn)真履行?第一責(zé)任人?的職責(zé)，重要工作親自部署，重大問題親自過問、重點環(huán)節(jié)親自協(xié)調(diào)，重要案件親自督辦，領(lǐng)導(dǎo)和支持紀(jì)檢監(jiān)察機關(guān)的工作，在紀(jì)律作風(fēng)建設(shè)、懲治腐敗、反腐敗體制機制創(chuàng)新等方面親自謀劃、全力推動，營造了良好氛圍。比如，制定的《固原市加強基層黨風(fēng)廉政建設(shè)的實施意見》《落實黨風(fēng)廉政建沒主體責(zé)任和監(jiān)督責(zé)任實施意見》《固原市黨風(fēng)廉政建設(shè)巡察工作辦法》，細(xì)化黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗工作任務(wù)和措施；再比如，加強對落實?兩個責(zé)任?情況的監(jiān)督檢查，積極探索對各級領(lǐng)導(dǎo)干部在實施重點項目中不作為、慢作為、亂作為問題監(jiān)督，進(jìn)一步壓實了管黨治黨政治責(zé)任。

三是市紀(jì)委切實履行監(jiān)督責(zé)任，工作有不少特色和亮點。市紀(jì)委結(jié)合實際，不斷創(chuàng)新工作理念、思路、做法，發(fā)揮了專門監(jiān)督機關(guān)的作用，出臺了一些好制度，形成了一些特色亮點工作。比如，在壓實責(zé)任方面，建立?三級同述??三級包抓?制度（?三級同述?即市縣鄉(xiāng)三級黨組織主要負(fù)責(zé)人述廉述責(zé)。?三級包抓?即市縣鄉(xiāng)三級紀(jì)委班子成員聯(lián)系包抓黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗工作），逐級壓實了責(zé)任。在紀(jì)律審查方面，建立交叉撿查、交叉審查、交叉審理和鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）紀(jì)委片區(qū)協(xié)作辦案的?三交叉?機制，提高了紀(jì)律審查的效率和質(zhì)量。在治理群眾身邊的?四風(fēng)?和腐敗問題方面，堅持用縣委權(quán)力公開透明運行促黨務(wù)公開、權(quán)責(zé)清單制落實促政務(wù)公開、村監(jiān)會制度完善促村務(wù)公開、讓權(quán)力處于監(jiān)督之中。探索提出扶貧惠農(nóng)資金?三級審核、三級備案、一個平臺?（?三級審核?即對扶貧資金發(fā)放村組初審、鄉(xiāng)鎮(zhèn)復(fù)審、涉農(nóng)部門終審；?三級備案?即對扶貧資金發(fā)放情況縣（區(qū)）相關(guān)涉農(nóng)部門進(jìn)行一級備案，鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）進(jìn)行二級備案，村組進(jìn)行三級備案；?一個平臺?即涉農(nóng)惠農(nóng)資金監(jiān)管信息平臺），運用?制度+科技?的手段，讓扶貧惠農(nóng)資金陽光操作，效果比較好。

這些成績的取得來之不易，希望固原市繼續(xù)保持力度，鼓足干勁，深入持久地抓下去，使全市干部作風(fēng)有新轉(zhuǎn)變，政治生態(tài)不斷凈化，發(fā)展環(huán)境進(jìn)一步優(yōu)化，推動全市黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗工作不斷邁上新臺階。下面，我講幾點意見，供大家參考。

第一，要在學(xué)習(xí)貫徹十八屆六中全會精神上取得新成效。黨的十八屆六中全會，是在全面深化改革、決勝全面小康的關(guān)鍵時刻，召開的一次十分重要的會議。這次全會，中央專門安排中央紀(jì)委委員、各?。▍^(qū)、市)紀(jì)委書記全程列席。通過列席全會，我有四點突出感受：一是意義重大。這次全會專題研究全面從嚴(yán)治黨，這是黨中央著眼于?四個全面?戰(zhàn)略布局作出的戰(zhàn)略決策、整體設(shè)計，是黨中央治國理政方略的漸次展開、深度推進(jìn)，在我們黨的建設(shè)歷史上具有里程碑式的意義。二是討論充分。全會期間，大家用3天的時間進(jìn)行了認(rèn)真的討論，人人發(fā)言，充分交流，深化了認(rèn)識、統(tǒng)一了思想。我感到，這次全會既是一個總結(jié)、部署和推進(jìn)全面從嚴(yán)治黨的動員會，也是一次對黨的高級干部進(jìn)行集中教育的培訓(xùn)會。三是成果豐碩。主要體現(xiàn)在三個方面：第一，明確了總書記在全黨的領(lǐng)導(dǎo)核心地位。全會正式提出?以習(xí)近平同志為核心的黨中央?，確立習(xí)近平同志為全黨的領(lǐng)導(dǎo)核心，這是歷史的選擇、全黨的選擇、人民的選擇。第二，確立了新形勢下黨內(nèi)政治生活的標(biāo)準(zhǔn)、要求和規(guī)范。這次全會審議通過的《關(guān)于新形勢下黨內(nèi)政治生活的若干準(zhǔn)則》列出了12條，每一條都是針對當(dāng)前黨內(nèi)政治生活存在的突出問題提出來的，具有很強的針對性和可操作性。第三，標(biāo)志著黨內(nèi)監(jiān)督制度框架基本形成。這次全會審議通過的《黨內(nèi)監(jiān)督條例》，與《廉潔自律準(zhǔn)則》《新形勢下黨內(nèi)政治生活若干準(zhǔn)則》以及《紀(jì)律處分條例》《問責(zé)條例》《巡視工作條例》一道，構(gòu)成了黨內(nèi)監(jiān)督主要制度框架。學(xué)習(xí)貫徹六中全會精神是當(dāng)前重要政治任務(wù)，紀(jì)檢監(jiān)察機關(guān)必須學(xué)深一點、悟透一點，貫徹落實好。要注意把握好四個方面：一是要帶頭履行主體責(zé)任。作為紀(jì)委書記、紀(jì)檢組長都肩負(fù)監(jiān)督責(zé)任，同時也都是部門單位的?主官?，也要擔(dān)負(fù)起主體責(zé)任?！蛾P(guān)于新形勢下黨內(nèi)政治生活的若干準(zhǔn)則》 《中國共產(chǎn)黨黨內(nèi)監(jiān)督條例》把黨內(nèi)監(jiān)督的幾個責(zé)任都明確下來了，大家要好好研究一下，把各項要求變成可操作性的具體措施，把目標(biāo)任務(wù)變成實實在在的工作內(nèi)容，把主體責(zé)任真正扛起來。二是要帶頭嚴(yán)肅黨內(nèi)政治生活。嚴(yán)肅黨內(nèi)政治生活是黨的建設(shè)的法寶，也是錘煉黨性的熔爐、純潔黨性的凈化器?？倳浽谌罕娐肪€教育實踐活動總結(jié)大會上強調(diào)，黨要管黨要從黨內(nèi)政治生活管起，從嚴(yán)治黨要從黨內(nèi)政治生活嚴(yán)起。新形勢下加強和改進(jìn)黨內(nèi)政治生活、重點是各級領(lǐng)導(dǎo)機關(guān)和領(lǐng)導(dǎo)干部。紀(jì)檢監(jiān)察機關(guān)的領(lǐng)導(dǎo)干部更要把自己擺進(jìn)去，以黨章為根本遵循，堅持黨的政治路線、思想路線、組織路線、群眾路線，著力增強黨內(nèi)政治生活的政治性、時代性、原則性、戰(zhàn)斗性，切實解決黨內(nèi)政治生活庸俗化、平淡化、隨意化的問題，營造生動活潑的政治局面。三是要帶頭加強黨內(nèi)監(jiān)督。作為黨內(nèi)監(jiān)督專責(zé)機關(guān)，要以貫徹《條例》為契機，堅持把紀(jì)律挺在前頭，真正把監(jiān)督意識豎立起來、強起來。黨內(nèi)監(jiān)督?jīng)]有禁區(qū)、沒有例外。要把信任激勵同嚴(yán)格監(jiān)督結(jié)合起來，切實做到有權(quán)必有責(zé)、有責(zé)要擔(dān)當(dāng)、用權(quán)受監(jiān)督、失責(zé)必追究。貫徹《準(zhǔn)則》《條例》、黨委（黨組）要切實擔(dān)負(fù)起主體責(zé)任，書記是第一責(zé)任人，要抓好班子，帶好隊伍。各級領(lǐng)導(dǎo)干部率先垂范、以身作則，帶頭以普通黨員身份參加黨的組織生活，帶頭開展批評與自我批評，帶頭執(zhí)行各項紀(jì)律規(guī)定，帶頭弘揚黨的優(yōu)良傳統(tǒng)作風(fēng)，帶頭接受監(jiān)督，發(fā)揮表率作用。四是要帶頭學(xué)習(xí)貫徹。紀(jì)檢監(jiān)察干部要做到全員培訓(xùn)，重點是縣處級以上領(lǐng)導(dǎo)干部，但是全體黨員干部都要學(xué)習(xí)。中心組、黨支部要有計劃分專題討論、進(jìn)行交流，把各種學(xué)習(xí)形式結(jié)合起來，真正吃透精神，務(wù)求內(nèi)化于心、外化于行。同時，要結(jié)合工作實際深入思考明年如何更好地開展監(jiān)督執(zhí)紀(jì)問責(zé)工作，推動全區(qū)黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗工作深入開展。

第二，要在實踐運用好監(jiān)督執(zhí)紀(jì)“四種形態(tài)”上進(jìn)行新探索。監(jiān)督執(zhí)紀(jì)?四種形態(tài)?是從黨的歷史和從嚴(yán)治黨實踐中總結(jié)出來的，體現(xiàn)了懲前毖后、治病教人的一貫方針。實踐好?四種形態(tài)?，要求在執(zhí)行紀(jì)律上更加細(xì)化、更加嚴(yán)格。有的同志說，?四種形態(tài)?寬嚴(yán)不太好把握。其實這個寬嚴(yán)的把握，就是要根據(jù)當(dāng)?shù)氐恼紊鷳B(tài)來衡量．根本原則就是用最堅決的態(tài)度減少腐敗存量，用最果斷的措施遏制腐敗增量，重點抓好三個方面：一是保持執(zhí)紀(jì)審查力度不減、節(jié)奏不變。要在紀(jì)律審查中彰顯堅定不移反對腐敗的決心和意志，以零容忍態(tài)度抓關(guān)鍵少數(shù)，突出執(zhí)紀(jì)重點，越往后處理越嚴(yán)，不斷釋放全面從嚴(yán)治黨強烈信號。同時，要在審查中體現(xiàn)組織關(guān)懷，善于做思想政治工作，讓嚴(yán)重違紀(jì)涉嫌違法的人迷途知返、洗心革面，重建對黨的忠誠和信任，保證所查的每一起案件都能經(jīng)得起歷史的檢驗。二是要在運用第一種形態(tài)上多下功夫。越到基層，熟人越多，拉下臉來越不容易。但是第一種形態(tài)不落實，監(jiān)督執(zhí)紀(jì)?四種形態(tài)?、管黨治黨、把紀(jì)律和規(guī)矩挺在前面就落不到實處。因此要注重開展談話提醒、函詢誡勉工作。對反映比較籠統(tǒng)的問題線索，要本著對同志高度負(fù)責(zé)的態(tài)度，及時約談本人，要求其寫出情況說明。對反映不實的予以澄清，對如實說明且反映問題并不嚴(yán)重的給予了結(jié)，讓同志放下包袱。對于談話函詢，重點把握以下三點：第一，是?四個可以談?：反映的違紀(jì)問題具有一般性、比較輕微，或者經(jīng)研判是道聽途說或主觀臆斷的；已退出現(xiàn)職、反映的問題時間久遠(yuǎn)的；經(jīng)初核未發(fā)現(xiàn)重大違紀(jì)問題，但不宜直接了結(jié)的；反映個人勤政方面的，可以談話函詢。第二，是?四個不宜談?：權(quán)錢交易等涉嫌產(chǎn)重違紀(jì)違法的問題；問題具體、可查性強的；問題反映集中、群眾反映強烈的；十八大后不收斂不收手、頂風(fēng)違紀(jì)的，不宜談話函詢。第三，是?四個優(yōu)先談?：初次反映且問題輕微的：反映新提任的領(lǐng)導(dǎo)干部思想工作作風(fēng)的；擬提拔使用或發(fā)展?jié)摿^大的干部，且反映問題比較籠統(tǒng)的；所處崗位或從事的工作本身矛盾突出，反映的是改革過程中容易遇到的一般性問題，可以優(yōu)先開展談話函詢。要通過談話函詢，使管黨治黨從只盯少數(shù)人向管住大多數(shù)轉(zhuǎn)變，增強黨的觀念和紀(jì)律意識，心有敬畏、行有所止。三是要把關(guān)鍵在黨，這是一個政治方向、政治要求和政治立場的司題。在黨的所有紀(jì)律中，政治紀(jì)律排在第—位。不管違反哪方面的紀(jì)律，發(fā)展到一定程度，都會在群眾中和黨內(nèi)造成惡劣影響，最終都會侵蝕黨的執(zhí)政基礎(chǔ)，說到底都是破壞政治紀(jì)律。遼寧拉票賄選案，嚴(yán)重到了什么程度？一個連續(xù)五屆當(dāng)選的農(nóng)民代表，動用目己的積蓄，向自己的親戚借錢去賄選，不拉票就選不上。拉票賄選，賄選肯定是觸犯刑律了；拉票，在六大紀(jì)律中歸類在組織紀(jì)律里面，但是這難道不是政治問題嗎？所以加強紀(jì)律建設(shè)，水遠(yuǎn)要把嚴(yán)明政治紀(jì)律和政治規(guī)矩放在首位。第三，要在查處和糾正發(fā)生在群眾身邊的腐敗問題上實現(xiàn)新進(jìn)展。近年來，中央高度重視扶貧工作，總書記來寧夏第一站考察的是固原，提到最多的是扶貧。固原市作為我區(qū)扶貧攻堅主戰(zhàn)場，投資數(shù)額大，專項資金多，涉及領(lǐng)域廣，管好用好扶貧資金責(zé)任重大。從監(jiān)督檢查和群眾反映看．現(xiàn)在基層截留、挪用、侵吞、擠占扶貧資金、惠農(nóng)惠民資金的問題屢禁不止，中飽私囊、優(yōu)親厚友等?微腐敗?易發(fā)多發(fā)。希望固原市要用嚴(yán)格的制度、嚴(yán)肅的紀(jì)律、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓芾?，把每一筆扶貧資金管好、用好，確保資金安全、項目安全、干部安全。一要推動全面從嚴(yán)治黨向基層延伸。縣（區(qū)）、鄉(xiāng)鎮(zhèn)都要結(jié)合實際，制定落實?兩個責(zé)任?清單，明確具體內(nèi)容和責(zé)任人，把責(zé)任逐級壓緊壓實，要加強對黨風(fēng)廉政建設(shè)落實情況的巡察，重點督導(dǎo)?兩個責(zé)任?落實、基層不正之風(fēng)和腐敗問題整治查處情況。強化問責(zé)追究力度，對落實?兩個責(zé)任?不力的，嚴(yán)肅問責(zé)追責(zé)，公開曝光。二要嚴(yán)格責(zé)任狠抓落實。各級紀(jì)檢監(jiān)察機關(guān)要加強對?五個堅持?(堅持精準(zhǔn)識別、堅持產(chǎn)業(yè)帶動、堅持綜合施策、堅持補齊短板、堅持自力更）貫徹落實情況的監(jiān)督檢查，重點督促發(fā)改、財政、扶貧、農(nóng)牧、林業(yè)等部門加強對扶貧攻堅資金分配、管理、使用等環(huán)節(jié)的監(jiān)管。對貫徹執(zhí)行不力，甚至欺上瞞下、弄虛作假的單位和個人要嚴(yán)肅問責(zé)，以鐵的紀(jì)律保證脫貧攻堅各項決策部署落實到基層。三是嚴(yán)肅查處群眾反映強烈的扶貧領(lǐng)域腐敗問題。嚴(yán)肅查處在扶貧項目管理、資金使用中以權(quán)謀私、欺上瞞下、盤剝克扣、貪污侵占以及暗箱操作、索賄受賄等?雁過拔毛?式腐敗問題，保證每一分錢都真正用到扶貧項目上、用到貧困群眾身上，確保脫貧攻堅取得實效。加大點名道姓通報曝光力度，釋放強烈信，形成持續(xù)震懾，切實維護群眾利益。

第四，要在鞏固深化成果上要有新提升。本屆以來，黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗工作既有大量的經(jīng)驗值得總結(jié)提煉，又有很多工作成果需要固化完善，我們要認(rèn)真做好這方面的工作，為下一屆深入推進(jìn)黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗工作奠定良好基礎(chǔ)。一是要抓總結(jié)。十八大以來，我們在黨中央和自治區(qū)黨委的堅強領(lǐng)導(dǎo)下，圍繞?遏制腐敗蔓延勢頭，糾正‘四風(fēng)’、防止反彈?的目標(biāo)，調(diào)整理念思路，轉(zhuǎn)變工作職能，改革體制機制，創(chuàng)新方式方法，做了很多工作，積累了很多經(jīng)驗，取得了一系列成果，這些經(jīng)驗和成果來之不易，大家要認(rèn)真回顧、全面梳理、系統(tǒng)總結(jié)，并借鑒運用到今后的工作中去。二是要抓鞏固。十八大以來的黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗工作雖然取得了顯著成效，但很多工作成果還不穩(wěn)固，根基還不牢靠。比如主體責(zé)任沒有完全落地生根、?四風(fēng)?問題樹倒根在、派駐機構(gòu)工作機制還不健全等等，都需要我們繼續(xù)保持鍥而不舍的精神，在堅持中深化、在深化中堅持、不斷鞏固工作成效。三是要抓提升。隨著黨風(fēng)廉政建設(shè)和反腐敗斗爭的不斷深入，要求我們各級紀(jì)檢監(jiān)察機關(guān)加緊跟上黨中央、中央紀(jì)委步伐，落實好全面從嚴(yán)治黨要求，把紀(jì)律挺在前面、實踐?四種形態(tài)?，推動各項工作從?管少數(shù)?向‘管多數(shù)?、從聚焦懲貪治腐向營造風(fēng)清氣正政治生態(tài)轉(zhuǎn)變，取得良好的效果。同時，要抓好換屆工作。目前，縣上已經(jīng)換屆結(jié)束，市上即將換屆。市委、紀(jì)委班子換屆考察工作雖然完成，但后續(xù)的工作任務(wù)還不少，要嚴(yán)格按照要求，做好思想政治工作，確保換屆工作平穩(wěn)順利進(jìn)行，要進(jìn)一步嚴(yán)明換屆紀(jì)律，對拉票賄選、跑官要官、買官賣官、跑風(fēng)漏氣、說情打招呼等問題，要保持高壓態(tài)勢，發(fā)現(xiàn)一起、嚴(yán)肅查處一起，及時通報、公開曝光。對領(lǐng)導(dǎo)不力，失職失責(zé)，導(dǎo)致?lián)Q屆紀(jì)律松弛渙散、出現(xiàn)非組織活動的，要嚴(yán)肅追究黨委、黨委主要負(fù)責(zé)人和相關(guān)部門負(fù)責(zé)人的責(zé)任。

第三篇：對稱美在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用（精選）

對稱美在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用

摘要:數(shù)學(xué)形式和結(jié)構(gòu)的對稱性,數(shù)學(xué)命題關(guān)系中的對偶性都是對稱美的自然表現(xiàn).在數(shù)學(xué)解題方面,對稱方法往往使問題解決的過程簡捷明快.因?qū)ΨQ和諧,它喚起人們探索的興趣,人們長去研究它,數(shù)學(xué)方法是一門科學(xué)又是一門藝術(shù),因此研究數(shù)學(xué)中的對稱美與對稱性原理解題是有價值的課題.關(guān)鍵詞: 對稱性﹑數(shù)學(xué)美﹑對偶式﹑對稱性原理

Ⅰ.對稱美及對稱性原理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的用途舉例

<1>.利用對稱性,預(yù)測問題結(jié)果

當(dāng)人們面臨一個課題或解一道數(shù)學(xué)難題時,往往先對結(jié)果作一大致的估量或預(yù)測而不是先用于計算或論證,有些數(shù)學(xué)問題可以根據(jù)其對稱性,先預(yù)測結(jié)果,再進(jìn)行證明.例1.已知x,y,z∈R﹢,且x+y+z=1求函數(shù)f(x,y,z)=

4x?1+y?1?4z?1的最大值

分析直接求最大值,無從下手,觀察變量x,y,z可知:它們在條件及函數(shù)f(x,y,z)中均具有對稱性,可預(yù)測當(dāng)x=y=z=時函數(shù)取最大值.此時,函數(shù)f(x,y,z)的值為4??1?4??1?4??1?21 從而4x?1+4y?1?4z?1?21

只需進(jìn)一步檢測預(yù)測結(jié)果的正確性,將求最值題轉(zhuǎn)化為證明題,降低了原題的難度.13131313

上不等式通過基本不等式<2>.運用對稱性,誘發(fā)解題靈感

x2?y2?z2x?y?z

不難證得 ?

有些數(shù)學(xué)問題,用對稱的眼光去觀察﹑審視,通過形﹑式的補美造成對稱或采用對稱變換調(diào)整元素之間的關(guān)系,往往能誘發(fā)解題靈感,簡化解題過程.例2.若a,b,c表示三角形三邊之長,求證:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)?3abc

分析本題關(guān)于a,b,c是對稱的,這就啟發(fā)我們將3abc移到左平分給三個加項,即需證:

[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc] ?0 由對稱性,我們只需變換上式左邊中的某一項,如 a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)

=a(a-b)(c-a)

于是, 左邊其余兩項顯然為:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)

又因為關(guān)于a,b,c對稱,故不妨假設(shè)a ?b ?c

此時, c(c-a)(b-c)?0

而a(a-b)(c-a)+a(a-b)(c-a)=(a-b)[c(a-b)-(a2-b2)] =(a-b)2[c-(a+b)] ?0

從而原不等式獲證

<3>.洞察對稱性,巧妙轉(zhuǎn)化問題

對于一些數(shù)學(xué)問題,若能洞察到問題所具有的對稱性,往往可將 題巧妙轉(zhuǎn)化,使問題解題思路簡捷﹑化難為易﹑避繁就簡.例3.自點A(-3,3)發(fā)出光線h射到x到軸上,被x軸反射,其反射光

線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線h所在的直線方程

分析 :本題解法頗多,若能運用對稱的思想,巧妙轉(zhuǎn)化問題,不難發(fā)現(xiàn)原命題即為:”求過點A(-3,3)且與⊙c(x-2)2+(y-2)2=1對稱的圓

⊙c1相切的直線方程”如圖,這樣的轉(zhuǎn)化不但明確了解題 思路,而且簡化了解題計算量,設(shè)直線h的方程y-3=k(x+3)則根據(jù)⊙c1的圓心C’(2,-2)到直線h的方程的距離等于⊙c1的半徑1,可求出k=-,從而求出直線方程

'3

'

<4>.剖析對稱性,合理準(zhǔn)確選擇

數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵階段------領(lǐng)悟階段,發(fā)現(xiàn)常常是作出選擇,就是要拋棄不合適的方案,保留合適的方案,而支配這種選擇的就是數(shù)學(xué)美感,而對稱美感往往扮演著重要角色 例4.已知:△ABC的內(nèi)界圓與外切圓的半徑分比別為r和R,則r和R比值等于()

ABCABC

cosB.4sinsincos

222222

ABCABC

C.4sinsinsinD.4coscossin

222222

A.4sincos

分析三角形的邊a,b,c或角A,B,C對r和R的影響是相同的, r和R不可能對三角形的某一條邊或某個角有選擇或特別偏重,因此在比值

r的表達(dá)式中,必有邊a,b,c或角A,B,C的輪換對稱,因此C是正確的 R

怎樣預(yù)見數(shù)學(xué)研究成果?如果我們對未來結(jié)果一無所知,那么只有憑感覺判制,數(shù)學(xué)中的對稱美感,是我們必須信任的向?qū)?Ⅱ.對稱與非對稱的聯(lián)系

尋求對稱不是解題的唯一途徑,具體問題具體分析才是出路,下面對對稱與非對稱作一辨證分析 <1>.非對稱向?qū)ΨQ轉(zhuǎn)化

對稱的形式容易被感知與理解,均衡協(xié)調(diào)的結(jié)構(gòu)往往能理順?biāo)悸?反之則會干擾思考,這就要求我們使凌亂的非對稱的形式轉(zhuǎn)化為對稱和諧的結(jié)構(gòu).(1)根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)及需要,對原式添加某些項,使其形成對稱局面,促使問題求解.例1.設(shè)a

n(x,y,z,t)可以取多少不同的值?

評析:如將n(x,y,z,t)再添上兩項(x-z)2和(y-t)2則 n(x,y,z,t)+(x-z)2+(y-t)2就轉(zhuǎn)化為關(guān)于x,y,z,t的全對稱式,故 n(x,y,z,t)的不同值僅依賴于(x-z)2+(y-t)2=(x2+y2+z2+t2)-2(xz+yt)的不同取值,而上式右端第一項(x2+y2+z2+t2)又是全對稱的,因此,n取不同的值僅依賴于xz+yt,而它恰有三種不同的值 ab+cd,ac+bd ,ad+bc,事實上(ab+cd)–(ac+bd)=a(b-c)+d(c-b)=(b-c)(a-d)>0

∴ab+cd>ac+bd

同理ac+bd>ad+bc

即n(x,y,z,t)可取三種不同值

(2).根據(jù)式子外部特征及某些性質(zhì),引進(jìn)一個新的對稱的式子,與原式

配合求解,所引進(jìn)的新的式子稱為對偶式

例2.設(shè)a,b∈R+,且??1, 求證:對每一個自然數(shù)n有(a+b)n-an-bn≧22n-22n-1

12n?1

證設(shè)d1=(a+b)n-an-bn =Cnan?1b?Cnan?2b2????????Cnabn?1

1n?2n?1

令d2= d1=Cnabn?1????????Cnan?2b2?Cnan?1b

1a1b

d1+ d2=2 d1=

n?1n?1n?2222n?1n?1

Cn(ab?ab)?Cn(ab?ab????????Cn(ab?ab)

12n?1

?2anbn(Cn?Cn????????Cn)由題設(shè)可知 ab ?4, 于是 2 d1?24n(2n?2)即d1?2n(2n?2)?22n?22n?1 <2>.對稱-------非對稱---------對稱的辨證關(guān)系

方法上的對稱,形式上的對稱,確實能為我們獲取信息打開通道,但是沒有一個極美的東西是在調(diào)和中有著某種”奇異”有的時候抓 住某種”奇異”更能簡潔明快的求解.例3.在△ABC中求證sin?sinsin

A2

B2

C1? 28

12n?1

評析: 這里的約束條件A+B+C=∏,將C視為常量(＂奇異＂),此時

CA

為常量, sin為變量,它們地位不同,(打破和諧性),問題轉(zhuǎn)化

ABsi?sin為求的最大值,因為 22A?BA?B1A?B1AB1

sin?sin=(cos?cos)?cos?sinC當(dāng)且僅22222222

sin

當(dāng)A=B時取最大值,同理固定B角,A=C時取最大值,固定A角, B=C時取最大值,呈現(xiàn)出和諧之感,因此只有當(dāng)A=B=C=

?

時 3

sin

ABC1

?sinsin=(最大)2228

例4.在△ABC中,求sin3A?sin3B?sin3C最大值

分析點評:本例形式上與上例3極為相似,用同樣的方法展開

sin3A?sin3B?sin3C?2sin

3(A?B)3(A?B)

?cos?sin3C 223(A?B)?2sin?sin3C(這里運用放縮法,與上例解法

不對稱)

3(A?B)3(A?B)3(A?B)

?2sin?cos 2223(A?B)3(A?B)

?[1?cos] =2sin

=2sin

此時sin

3(A?B)

可正可負(fù)(又與上例解法不對稱),不妨設(shè)A?B?C之2

后雖然破壞了A,B,C的對稱結(jié)構(gòu).(他們有大小之別)但為我們解題開拓了思路.∵A?B?C∴0?上式=

3(A?B)

?? 2

第四篇：對稱問題

高一數(shù)學(xué)學(xué)案

對稱問題

課時：2編寫人：鄒晨霞審核人：李志榮編號：39

一．學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會求一個點關(guān)于一點、一條直線的對稱點的坐標(biāo)；

2.會求一條直線關(guān)于一個點、一條直線的對稱直線.二．問題導(dǎo)學(xué)

問題1：點關(guān)于點對稱

例1.已知點A(5,8)，B(4，1)，試求A點 關(guān)于B點的對稱點C的坐標(biāo)。

問題2：直線關(guān)于點對稱

例2.求直線l1 : 3x-y-4=0關(guān)于點P(2,-1)對稱的直線l2的方程。

問題3：點關(guān)于線對稱

例:3：求點P(－4,2)關(guān)于直線l的對稱點P′的坐標(biāo)．

(1)l：2x－y＋1＝0(2)l：x－y＋1＝0

練習(xí)：一束平行光線從原點O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點P(－4,3)，求反射光線所在直線的方程．

1尖草坪一中

高一數(shù)學(xué)學(xué)案

問題3：直線關(guān)于直線對稱

例4：求直線x-2y-1=0關(guān)于直線x+y-1=0對稱的直線方程.問題4：對稱與最值

例5：已知點A??3,5?，B?2,15?，試在直線l：3x?4y?4?0上找一點P，使(1)PA?PB 最小，并求出最小值.(2)PB?PA最大，并求出最大值.三：達(dá)標(biāo)檢測

1.直線y?2x關(guān)于x軸對稱的直線方程為A.y??xB.y?xC.y??2xD.y?2x 22

2.已知直線l：x?y?1?0，l1：2x?y?2?0.若直線l2與l1關(guān)于l對 稱，則l2的方程為A.x?2y?1?0B.x?2y?1?0C.x?y?1?0D.x?2y?1?0

3.直線y?

4.直線2x?3y?6?0關(guān)于點?1,?1?對稱的直線方程是 1x關(guān)于直線x?1對稱的直線方程是2

A.3x?2y?2?0B.2x?3y?7?0

C.3x?2y?12?0D.2x?3y?8?0

5.已知點A的坐標(biāo)為(-4,4),直線l的方程為3x+y-2=0,求：

(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；

(2)直線l關(guān)于點A的對稱直線l的方程./

2尖草坪一中

第五篇：2017最新函數(shù)圖像的對稱問題(小結(jié))

解填空題常用到的幾個公式

1． AB和平面M所成的角為?，AC在平面M內(nèi)，AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成的角是?，設(shè)∠BAC=?,則cos??cos?cos?

2． 在二面角M?l?N的面M內(nèi)，有直角三角形ABC,斜邊BC在棱上，若A在平面內(nèi)N的射影為D,且∠ACD=?1，∠ABD=?2，二面角為?，則sin2??sin2?1?sin2?2

x2y23． 設(shè)F1,F2為橢圓2?2?1（a>b>0）的焦點，M是橢圓上一點，若∠F1MF2=?

ab則S?F1MF2=b2tan?2，b?1?e

2.ax2y24． 設(shè)F1,F2為雙曲線2?2?1（a>b>0）的焦點，M是雙曲線上一點，若∠F1MF2=?,ab則S?F1MF2=b2cot?2，b?e2?1.ax2y25．已知橢圓2?2?1（a>b>0）上一點，F(xiàn)1,F2為左右兩焦點，∠PF1F2=?，ab∠P F2F1=?，則e?c?acos???2.???cos2x2y2x2y26.設(shè)直線y?kx?b與橢圓2?2?1(雙曲線2?2?1)相交于不同的兩點

ababb2x0b2x0A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0),則k??2(k?2).ay0ay07.過拋物線y2?2px(p?0)的焦點F作傾斜角為 ?的直線交拋物線于A,B兩點，則線段AB?2Psin2?

函數(shù)圖像的對稱問題(小結(jié))函數(shù)問題的對稱性問題是函數(shù)性質(zhì)的一個重要方面，也是歷年高考熱點問題之一，除了常見的自身對稱（奇偶函數(shù)的對稱性），兩函數(shù)圖像對稱（原函數(shù)與反函數(shù)的對稱性）以外，函數(shù)圖象的對稱性還有一些圖像關(guān)于點對稱和關(guān)于直線對稱的兩類問題，在這里，兩函．．?dāng)?shù)圖象關(guān)于某直線對稱或關(guān)于某點成中心對稱與函數(shù)自身的對稱軸或?qū)ΨQ中心是有本質(zhì)區(qū)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．別的，注意不要把它們相混淆。造成解題失誤，下面就這些問題給出一般結(jié)論，希望對同學(xué)們有幫助。

一、同一個函數(shù)圖象關(guān)于直線的對稱 結(jié)論1：設(shè)a,b均為常數(shù)，函數(shù)y?f(x)對一切數(shù)學(xué)x都滿足f(a?x)?f(b?x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x?a?b對稱。2推論1：在直角坐標(biāo)系中，滿足f(a?x)?f(a?x)的函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱（其中a為常數(shù)）

推論2：在直角坐標(biāo)系中，滿足f(a?x)?f(x?a)的函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0對稱。例1 已知函數(shù)的定義域為

R，且對于一切實數(shù)

x

滿足，當(dāng)x?[2,7]時，f(x)?(x?2)2 f(x?2)?f(2?x),f(x?7)?f(7?x),，當(dāng)x?[16,20]時，求函數(shù)g(x)?2x?f(x)的表達(dá)式。

解：由

f(x?2)?f(2?x),f(x?7)?f(7?x)知，函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于直線x=2和x=7

對

稱，且

有f(x)?f[(x?2)?2]?f[2?(x?2)]?f(4?x)?f[7?(3?x)]?f[7?(x?3)]?f(x?10)?f(x?10)?f(x)

當(dāng)x?[16,17]時，x?10?[6,7]，此時f(x)?f(x?10)?(x?10?2)2?(x?12)2； 當(dāng)x?(17,20]時，x?20?(?3,0),4?(x?20)?[4,7]，?f(x)?f(x?20)?f[4?(x?20)]?[4?(x?20)?2]2?(x?22)2，2??2x?(x?12)(16?x?17)g(x)=?

2??2x?(x?22)(17?x?20)

二、兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線的對稱

結(jié)論2：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y?f(a?x)與函數(shù)y?f(b?x)的圖象關(guān)于直線x?b?a對稱（其中a，b均為常數(shù)）2推論1：在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y?f(a?x)與函數(shù)y?f(a?x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱。推論2：在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y?f(a?x)與函數(shù)y?f(x?a)的圖象關(guān)于直線x=a對稱（其中a為常數(shù)）。例2 設(shè)函數(shù)f(x)?2x?1,g(x)?21?x，則它們的圖象（）

A．關(guān)于原點中心對稱

B．關(guān)于直線x=0對稱 C．關(guān)于直線x=1對稱

D．既不成中心對稱也不成軸對稱

解析：由推論1知，這兩個函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=0，即y軸，故應(yīng)選B。

三、同一個函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱

結(jié)論3：設(shè)a，b均為常數(shù)，函數(shù)y?f(x)對一切實數(shù)x都滿足f(a?x)?f(a?x)?2b，則函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱圖形。例2 已知函數(shù)y?f(x)滿足f(x)?f(?x)?2002，求f?1(x)?f?1(2002?x)的值。

解：由已知，在等式f(a?x)?f(a?x)?2b中，令a=0，2b=2002，則函數(shù)y?f(x)關(guān)于點(0,1001)對稱，根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)y?f?1(x)關(guān)于點(1001,0)對稱。?f?1(x?1001)?f?1(1001?x)?0

將上式中的x用x－1001換，得f?1(x)?f?1(2002?x)=0。

b?ac,)2

2四、兩個函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱

結(jié)論4：設(shè)a，b，c均為常數(shù)，則函數(shù) y?f(a?x)與y?c?f(b?x)關(guān)于點(成中心對稱圖形。

例4 已知函數(shù)y?f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，那么y?f(6?x)與y??f(x?4)的圖象（）

A．關(guān)于直線x=5對稱

B．關(guān)于直線x=1對稱

C．關(guān)于點(5,0)對稱

D．關(guān)于點(1,0)對稱

解析：由題意，已知式變形為?y?f(x?4)，?y??f(6?x)，則有a=4，b=6，c=0。

由結(jié)論4知，y?f(6?x)與y??f(x?4)關(guān)于點((1,0)對稱，故應(yīng)選擇D。

6?40,)成中心對稱，即關(guān)于點