第一篇：優(yōu)質(zhì)論文-高中數(shù)學(xué)“含參”問(wèn)題方法小結(jié)

高中數(shù)學(xué) “含參”問(wèn)題方法小結(jié)

含參數(shù)（不）等式“恒、能成立”問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也是高考考查的熱點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題可以考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，更能從多個(gè)角度檢查考生的素質(zhì)和能力，這類(lèi)問(wèn)題難度比較大，綜合性強(qiáng)，考生不易得分。

解決此類(lèi)問(wèn)題有一定的規(guī)律性，常見(jiàn)方法有：函數(shù)思想、分離參數(shù)、變換主元、數(shù)形結(jié)合等，其中分離參數(shù)轉(zhuǎn)換自變量是其常用的方法。一．反參為主（即主元法）

對(duì)于給出了參數(shù)范圍的“恒成立”問(wèn)題，常把參數(shù)視為主元，把主元視為已知函數(shù)，即把原題視為參數(shù)的函數(shù)，從函數(shù)角度來(lái)解答。

例1.對(duì)于任意a∈[-1,1]，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x-2a的值恒大于零，求x的取值范圍。

解：由題令g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4)>0對(duì) a∈[-1,1]恒成立。顯然x≠2 ∴g(a)是a的一次函數(shù)，要使g(a)<0在a∈[-1,1]上恒成立，2??g(?1)?0?(x?2)?x?4x?4?0只需?

即? 2??g(1)?0?(2?x)?x?4x?4?0解之得：x<1或x>3 點(diǎn)評(píng)：此題若按分離法做，分離a得(x?2)a?4x?x2需討論比較復(fù)雜

變式：若例1中改為x∈[-1,1]上f(x)>0恒成立，則此題屬于二次函數(shù)區(qū)間定軸動(dòng)題目，對(duì)稱(chēng)軸x??a?4a?4??1,令f(-1)>0

分三種情況：①?22a?4??1,令?<0 ②?1??2a?4?1?1,令f(1)>0 ③?22x?a(x∈R)在[-1,1]上是增函數(shù)。x2?21的兩根為x1,x2，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式x 點(diǎn)評(píng)：此題若用分離法不易解答。

例2．已知函數(shù)f(x)?（1）求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A（2）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)?m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)于任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

2(x2?2)?(2x?a)?2x2(?x2?ax?2)解：（1）f?(x)???0對(duì)x∈[-1,1]恒成立

(x2?2)2(x2?2)2令h(x)??x?ax?2則有?（2）由f(x)?2?h(1)?0??1?a?2?0即??A??a?R|?1?a?1?

h(?1)?0-1-a+2?0??2x?a1?

得：x2?ax?2?0 2x?2x?x1?x2?a∵??a?8?0

∴?

x?x??2?122∴|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?a2?8 ∵-1≤a≤1 ∴1≤|x1?x2|≤3 ①

要使m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)于任意a∈A及t ∈[-1,1]恒成立, 當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對(duì)于任意t ∈[-1,1]恒成立,即m2+tm+1≥0對(duì)于任意t ∈[-1,1]恒成立

g(t)=mt+m2-2, t∈[-1,1]則g(t)≥0對(duì)對(duì)t ∈[-1,1]恒成立②

2??g(?1)?m?m?2?0令?解得：m≥2或m≤-2 2??g(1)?m?m?2?0注：本題含a,t,m三個(gè)參數(shù)，通過(guò)①減少為兩個(gè)參數(shù)t，m，要解決②，以t為主元，利用一次函數(shù)保號(hào)性解決． 二．分離參數(shù)和函數(shù)思想

通過(guò)恒等變形，將參數(shù)與主元分離出來(lái)，使不等式一邊只含參數(shù)，另一邊是與參數(shù)無(wú)關(guān)的主元問(wèn)題，只需求出主元函數(shù)的最值。求主元函數(shù)的最值時(shí)，常用到配方法、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性、三角函數(shù)值域等知識(shí)與方法。

x2?2x?a例1．已知函數(shù)f(x)?，若對(duì)任意x∈[1,+∞）,不等式f(x)>0恒成立，試求實(shí)

x數(shù)a的范圍

x2?2x?a?0 解：∵x∈[1,+∞],要使f(x)>0恒成立，即使

x即x+2x+a>0對(duì)x∈[1,+∞）恒成立

22分離參數(shù)得：a>-(x+2x)=-(x+1)+1

2當(dāng)x∈[1,+∞）時(shí)，g(x)=-(x+1)+1最大值為3?！鄬?shí)數(shù)a取值范圍為：a>-3 點(diǎn)評(píng)：以上解法為分離參數(shù)法，此題若按函數(shù)思想，則f(x)?x?雙勾函數(shù)，需討論，比較復(fù)雜。

例2．（2013高考新課標(biāo)Ⅰ21）已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y＝4x+2（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2時(shí)，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍。

解：（Ⅰ）因?yàn)榍€y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，所以b=d=2；因?yàn)?

a?2，則此函數(shù)為x，故所以，；

；，故，故；（Ⅱ）法一：函數(shù)思想

令令① 若當(dāng)?shù)茫瑒t時(shí)，則，從而當(dāng)，即

在，由題設(shè)可得，故，時(shí)，上最小值為，此時(shí)f(x)≤kg(x)恒成立；

②若，所以f(x)≤kg(x)恒成立

③若，則

.，故f(x)≤kg(x)不恒成立；，故

在上單調(diào)遞增，因?yàn)榫C上所述k的取值范圍為法二：分離參數(shù)法

2由題可得x?4x?2≤2kex(x?1)對(duì)x ∈【-2,+∞)恒成立 ①當(dāng)x??1時(shí),k∈R

x2?4x?2x2?4x?2②當(dāng)-2≤x＜-1時(shí),有k≤ ,令h(x)= xx2e(x?1)2e(x?1)1(2x?4)ex(x?1)?[ex(x?1)?exx](x2?4x?2)?x(x?2)2則h(x)?.=x

2e2x(x?1)22e(x?1)2'∴當(dāng)-2≤x＜-1,h(x)單增, hmin(x)?h(2)?e2 ∴k≤e

2x2?4x?2③當(dāng)x>-1時(shí),有k≥,同②可得 x2e(x?1)當(dāng)x∈(-1,0),h(x)單增,當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí)，h(x)單減 ∴hmax(x)?h(0)?1 ∴綜合①②③可得1≤k ≤e

變式：（10山東理22）已知函數(shù)f(x)?lnx?ax?(Ⅰ)當(dāng)a?21?a?1(a?R).x1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性； 2（Ⅱ）設(shè)g(x)?x2?2bx?4.當(dāng)a?1時(shí)，若對(duì)?x1?(0,2)，?x2??1,2?，使 4f(x1)?g(x2)，求實(shí)數(shù)b取值范圍.解：（Ⅰ）因?yàn)??a1a?1ax2?x?1?a'f(x)?lnx?ax??1,f(x)??a?2?x?(0,??)，2xxxx令 h(x)?ax2?x?1?a,x?(0,??)，①當(dāng)a?單調(diào)遞減； 1'（0，+?）時(shí)，x1?x2,h(x)≥0恒成立，此時(shí)f(x)≤0，函數(shù) f(x)在上2121a1＞0，②當(dāng)0＜a＜時(shí)，?1＞' x?(0,1)時(shí)，h(x)＞0，此時(shí)f(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

x?(1,1?1)時(shí)h(x)＜0，此時(shí)f'(x)＞0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增； a' x?(?1,??)時(shí)，h(x)＞0，此時(shí)f(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 1a ③當(dāng)a＜0時(shí)，由于

1?1＜0，a' x?(0,1)，h(x)＞0,此時(shí)f(x)＜0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減； ' x?(1,??)時(shí)，h(x)＜0，此時(shí)f(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.（Ⅱ）因?yàn)閍=11?(0,)，由（Ⅰ）知，x1=1，x2=3?(0,2)，當(dāng)x?(0,1)時(shí)，f'(x)420，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；?g(x)?min?g(2)?8?4b?0b?(2,??)?1?17?b??,???,當(dāng)2?8?x?(1,2)時(shí)，f'(x)1函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在（0，2）上的最小值為f(1)??。0，2由于“對(duì)任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使f(x1)?g(x2)”等價(jià)于 “g(x)在?1,2?上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值?又g(x)=(x?b)2?4?b2，x1??1,2?，所以 ①當(dāng)b1”（*）21時(shí)，因?yàn)?g(x)?min?g(1)?5?2b0，此時(shí)與（*）矛盾

②當(dāng)b??1,2?時(shí)，因?yàn)?g(x)?min?4?b2?0，同樣與（*）矛盾 ③當(dāng)b?(2,??)時(shí)，因?yàn)?g(x)?min?g(2)?8?4b，解不等式8-4b?綜上，b的取值范圍是?117，可得b?

82?17?,???。?8?點(diǎn)評(píng)：此題第二問(wèn)用的是函數(shù)思想，若用分離參數(shù)法則容易出錯(cuò)

?x2??1,2?，f(x1)?g(x2)，變式1：②?x1?(0,2)，求實(shí)數(shù)b范圍.則fmax（x）≥gxma(x)

③?x1?(0,2)，?x2??1,2?，f(x1)?g(x2)，求實(shí)數(shù)b范圍.則fmin(x)≥gmax(x)④?x1?(0,2)，?x2??1,2?，f(x1)?g(x2)，求實(shí)數(shù)b范圍.則fmax（x）≥gmin(x)⑤若?x??1,2?，f(x)?g(x)，求實(shí)數(shù)b范圍.則令h(x)?f(x)?g(x)，hmin(x)≥0 ⑥若?x??1,2?，f(x)?g(x)，求實(shí)數(shù)b范圍.則令h(x)?f(x)?g(x)，hmax(x)≥0

2x2f(x)?x?1，g(x)?ax?5?2a(a?0)． 變式2：設(shè)（1）求f(x)在x?[0,1]上的值域；

（2）若對(duì)于任意x1?[0,1]，總存在x0?[0,1]，使得g(x0)?f(x1)成立，求a的取值范圍．

三．?dāng)?shù)形結(jié)合

通過(guò)構(gòu)造圖形，從圖形上可以直觀地看出不等式恒成立和能成立需要的條件 例1.設(shè)函數(shù)f(x)?|x?1|?|2x?4|.（1）畫(huà)出f(x)圖像；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)?ax?1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

變式：(2010寧夏24）設(shè)函數(shù)f(x)?2x?4?1，（1）畫(huà)出f(x)圖像；

（2）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范圍。

解：

??2x?5，x?2f(x)???2x?3，x?2則函數(shù)y?f(x)的圖像如圖（Ⅰ）由于所示。

y?ax的圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)（Ⅱ）由函數(shù)y?f(x)與函數(shù)

a?12或a??2時(shí)，函數(shù)y?f(x)與函數(shù)y?ax的圖像有交點(diǎn)。故不等式f(x)?ax的解集非空時(shí)，的取值范圍為

?1???，?2??????，?2?。

第二篇：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問(wèn)題及建議論文

摘要：數(shù)學(xué)是高中課程體系中最基本的科目之一，是其他理科學(xué)習(xí)與運(yùn)算的基礎(chǔ)學(xué)科，因此學(xué)好數(shù)學(xué)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。但是許多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中存在著一些錯(cuò)誤，導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績(jī)得不到提升。本文舉例分析了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中五種常犯的錯(cuò)誤，并針對(duì)這些誤區(qū)提出而一些改進(jìn)措施。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；常犯的錯(cuò)誤；學(xué)習(xí)方法

數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生的邏輯思維有著較高的要求，使得許多學(xué)生在學(xué)習(xí)中不能得心應(yīng)手，存在著許多誤區(qū)。通過(guò)分析學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題，能夠讓學(xué)生明確自身的不足，并在后續(xù)的學(xué)習(xí)中有意識(shí)地去加以改進(jìn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的提高。

一、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中五種常犯的錯(cuò)誤

1）學(xué)習(xí)理念上的不當(dāng)。一方面，由于受到傳統(tǒng)應(yīng)試教育模式的影響，許多學(xué)生片面地認(rèn)為學(xué)習(xí)就是為了取得高分，因此其學(xué)習(xí)目的帶有功利性，僅僅為了在高考中取得較好的成績(jī)而去學(xué)習(xí)，忽視了自身能力的提高。另一方面，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一定的難度，其教學(xué)內(nèi)容具有較強(qiáng)的邏輯性，再加上教師所傳授的知識(shí)有著一定的抽象性，因此對(duì)學(xué)生的能力要求較高。許多學(xué)生很難掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，久而久之就產(chǎn)生了厭學(xué)的心理，消極地面對(duì)學(xué)習(xí)。[1]2）對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不夠牢固。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，有的學(xué)生粗心大意，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)看似是掌握全面了，但仔細(xì)分析卻還有著許多不足。有的學(xué)生自以為是，對(duì)某些原理知識(shí)只停留在“知道”、“了解”的層面上，而不肯再多下點(diǎn)功夫去深入鉆研。其知道了一種題目的解題思路之后，就想當(dāng)然地利用這種解題方式去解答看上去相似但本質(zhì)卻不同的題目，因此其學(xué)習(xí)效果總是不能夠提升。此外，部分學(xué)生還不能明確什么條件下該使用什么樣的公式。其能夠記住大部分的公式，但是對(duì)于如何去應(yīng)用卻是有些茫然，對(duì)公式和其對(duì)應(yīng)的應(yīng)用條件了解的不夠，故而在答題時(shí)只能夠一個(gè)個(gè)公式地去試，這樣不但浪費(fèi)時(shí)間而且還很難解出正確答案。3）缺乏學(xué)習(xí)的自主性。在當(dāng)前素質(zhì)教育的新形勢(shì)下，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力也使綜合素質(zhì)的一個(gè)重要體現(xiàn)。但是由于受到傳統(tǒng)的“以教師為中心”學(xué)習(xí)模式的束縛，學(xué)生的主動(dòng)性受到了壓制，更多的是依賴于教師、依賴于課堂教學(xué)。在學(xué)習(xí)中，只是跟隨教師的思路去機(jī)械地做筆記，而很少主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題，缺乏自主學(xué)習(xí)的能力。[2]4）審題意識(shí)與審題能力較弱。審題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)學(xué)科具有較強(qiáng)的邏輯性，因此在題目的設(shè)置上也對(duì)學(xué)生的思維能力有著較高的要求，在解答題目時(shí)往往需要學(xué)生利用逆向思維、空間思維去從不同的角度來(lái)進(jìn)行解答。

二、改進(jìn)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在錯(cuò)誤的建議

1）明確學(xué)習(xí)目的、端正學(xué)習(xí)態(tài)度。素質(zhì)教育要求培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力，而不僅僅是追求分?jǐn)?shù)的高低，因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)變?cè)械恼J(rèn)知，端正學(xué)習(xí)態(tài)度，消除掉功利心理，注重在學(xué)習(xí)過(guò)程中自身思維能力、創(chuàng)新能力、合作能力的綜合提升，以增強(qiáng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。2）夯實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)化提高。對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握牢固與否，是影響學(xué)生學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的考試也是以基礎(chǔ)知識(shí)為前提進(jìn)行延展與深化。因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中必須夯實(shí)基礎(chǔ)，了解最基本的概念、公式，并掌握公式的應(yīng)用范圍。在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有所掌握之后，學(xué)生還要通過(guò)適當(dāng)?shù)赜?xùn)練來(lái)作進(jìn)一步的強(qiáng)化提升，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)的提高。3）培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力。首先，在上課之前要自行對(duì)將要學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行預(yù)習(xí)，在結(jié)合舊知識(shí)的基礎(chǔ)上加深對(duì)新知識(shí)的認(rèn)知，并勾畫(huà)出難以理解的地方，留待課堂上聽(tīng)老師講授。其次，在課堂上要充分發(fā)揮自身的主觀能動(dòng)性，不僅僅要跟著教師的思路走，還要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入地思考，以加深理解，同時(shí)將自己疑惑的地方標(biāo)記出來(lái)。最后，在課堂結(jié)束之后要對(duì)還存在疑問(wèn)的地方進(jìn)行反思，如果自己得不出答案可以去查找資料、詢問(wèn)教師或者與同學(xué)討論，以培養(yǎng)思維能力。與此同時(shí)，還要自行地進(jìn)行解題訓(xùn)練，針對(duì)知識(shí)構(gòu)成上的薄弱環(huán)節(jié)，對(duì)于相關(guān)的試題進(jìn)行適當(dāng)?shù)鼐毩?xí)，以形成解題思路，提高學(xué)習(xí)的效果。[3]4）培養(yǎng)審題意識(shí)、提高審題能力。審題是答題的首要步驟，審題時(shí)首先要找準(zhǔn)題干中的關(guān)鍵要素，并有意識(shí)地排除干擾條件。其次要認(rèn)真分析題干中的各種條件，有圖表的再結(jié)合圖表作深入探討，并調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)，選取行之有效的解題思路。最后，如果常規(guī)方法行不通，不妨試試從另外的角度出發(fā)，利用逆向思維的方法推出解題要點(diǎn)，再根據(jù)這些要點(diǎn)進(jìn)行解答。例如概率類(lèi)的題型中，一般是需要對(duì)可能出現(xiàn)的多種情況分開(kāi)討論，因此需要讀懂題目的關(guān)鍵要素，并根據(jù)這些要素去思考可能會(huì)出現(xiàn)的情況。

三、結(jié)束語(yǔ)

所有的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)一些誤區(qū)，因此需要加強(qiáng)反思，在老師與同學(xué)的幫助下認(rèn)識(shí)到這些錯(cuò)誤，并采取一些有效的措施來(lái)加以改進(jìn)，這樣才能提升學(xué)習(xí)的效率，同時(shí)還有利于綜合素養(yǎng)的提升。

參考文獻(xiàn):

[1]竺仕芳.激發(fā)興趣,走出誤區(qū)——綜合高中數(shù)學(xué)教學(xué)探索[J].寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào),2003,04:74-76.[2]徐生海.淺談高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的誤區(qū)及建議[J].教育教學(xué)論壇,2014,38:124-125.[3]陽(yáng)潔.淺議高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的誤區(qū)及方法建議[J].新課程(下),2011,01:132.

第三篇：含參二次函數(shù)最值問(wèn)題探討

含參二次函數(shù)最值問(wèn)題探討

甘肅畜牧工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院

張發(fā)榮

733006 二次函數(shù)模型是重要的函數(shù)模型，在北師大版高中《數(shù)學(xué)》新教材中占了大量的篇幅，詳盡介紹了二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．特別是二次函數(shù)的最值問(wèn)題是歷年來(lái)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，而求二次函數(shù)的最值問(wèn)題歸納起來(lái)主要有四種形式：（1）軸定區(qū)間定，（2）軸定區(qū)間動(dòng)，（3）軸動(dòng)區(qū)間定．

（四）軸動(dòng)區(qū)間動(dòng)。一般來(lái)說(shuō)，討論二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，主要看區(qū)間落在二次函數(shù)的哪一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，從而用相應(yīng)的單調(diào)性來(lái)求最值，這種思路體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想方法．下面就新教材，通過(guò)例子具體談?wù)劧魏瘮?shù)最值的幾種求解方法．

一、軸定區(qū)間定

由于這種類(lèi)型的二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是固定的，區(qū)間也是固定的，因而求它的最值，只 要直接應(yīng)用單調(diào)性求出最值即可．

例1（2002年高考數(shù)學(xué)上海卷）f?x??x2?2ax?2，x???5,5?．（1）當(dāng)a??1時(shí)，求函數(shù)f?x?的最大值和最小值；

（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y?f?x?在區(qū)間??5,5?上是單調(diào)函數(shù)．

解：方法

（一）：（1）當(dāng)a??1時(shí)，f?x??x2?2x?2??x?1??1，x???5,5?，2由于對(duì)稱(chēng)軸為x?1，區(qū)間為??5,5?，而當(dāng)1?x?5時(shí)，f?x?是單調(diào)遞增的；當(dāng)?5?x?1時(shí)，f?x??x2?2ax?2f?x?是單調(diào)遞減的，所以f?x?min?f?1??1，f?x?max?f??5??37．

（2）=?x?a??2?a2，所以對(duì)稱(chēng)軸為x??a，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)a??5時(shí)，2f?x?在區(qū)間??5,5?上單調(diào)遞減；當(dāng)a?5時(shí)，f?x?在區(qū)間??5,5?上單調(diào)遞增．

方法

（二）：（導(dǎo)數(shù)法）

''（1）當(dāng)a??1時(shí)，因?yàn)閒?x??2x?2，令f?x??0，得x?1

''當(dāng)?5?x?1時(shí)，f?x??0，當(dāng)1?x?5時(shí)，f?x??0 所以x?1是f?x?的極小值點(diǎn)

f?x?min?f?1??

1f?x?max??f??5?,f?5?'?max?f??5??37

（2）f?x?在區(qū)間??5,5?上單調(diào)等價(jià)于y?f?x?在區(qū)間??5,5?上恒大于等于0或恒小于等于0，于是2x?2a?0或2x?2a?0在??5,5?上恒成立

所以a??x或a??x在??5,5?上恒成立 故a?5或a??5

二、軸定區(qū)間動(dòng)

由于這種形式的對(duì)稱(chēng)軸是固定的，而區(qū)間是變動(dòng)的，因而求它的最值必須進(jìn)行分類(lèi)討論才能得出結(jié)果．

例2（2008年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷）已知函數(shù)f?x??x2?3x?5，x??t,t?1?，若f?x? 的最小值為h?t?，寫(xiě)出h?t?的表達(dá)式．

分析：所求二次函數(shù)解析式固定，區(qū)間變動(dòng)，可考慮區(qū)間在變動(dòng)過(guò)程中二次函數(shù)的單調(diào)性，從而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出此函數(shù)的最值．

33?29?

解：f?x???x???，所以對(duì)稱(chēng)軸為x??固定，而區(qū)間?t,t?1?是變動(dòng)的，22?4?因此有

（1）當(dāng)t?1??

（2）當(dāng)t??

（3）當(dāng)t??2352，即t??時(shí)，h?x??f?t?1???t?1??3?t?1??5?t2?5t?1；

2232時(shí)，h?x??f?t??t?3t?5； 235329?3??t?1，即??t??時(shí)，h?t??f?????． 2224?2??25??t?5t?1t?????2???3??29?5??t??

綜上所述，h?x??????

2??4?23???2t?3t?5t?????2???

三、軸動(dòng)區(qū)間定

這種形式的二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸是變動(dòng)的，而區(qū)間是固定的，要求其最值，需要討論對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間端點(diǎn)之間、端點(diǎn)之外時(shí)的各種情況才能確定．

例3（2011年高考數(shù)學(xué)寧夏卷）若f?x??1?2a?2acosx?2sinx的最小值為

2g?a?．

（1）求g?a?的解析式；（2）求能使g?a??1的a值，并求出當(dāng)a取此值時(shí)，f?x?的最大值． 2分析：這是一個(gè)定區(qū)間，動(dòng)對(duì)稱(chēng)軸的最值問(wèn)題，要求它的最值要由定區(qū)間看動(dòng)軸的不

同變化，再由函數(shù)的單調(diào)性求出最值．

a?a2? 解：（1）f?x??2?cosx????2a?1，令t?cosx???1,1?，所以對(duì)稱(chēng)軸

22??t?cosx?當(dāng)

2a是變動(dòng)的，而t???1,1?是定區(qū)間．于是有 2a??1，即a??2時(shí)，f?x?在cosx??1時(shí)取得最小值，即g?a??1； 2aa當(dāng)?1??1，即?2?a?2時(shí)，f?x?在cosx?時(shí)取得最小值，22a2?2a?1； 即g?a???2當(dāng)a?1，即a?2時(shí)，f?x?在cosx?1時(shí)取得最小值，即g?a??1?4a． 21?4a?a?2??2??a?2a?1??2?a?2? 綜上所述，g?a????2?1?a??2???111a21?2a?1?時(shí)，由于1?4a?得（2）當(dāng)g?a??，即1?4a?或?222221a21a?，顯然不合題意，故只有??2a?1?，即a??3（舍去）或a??1，822因?yàn)?2?a?2才符合題意，所以當(dāng)g?a??21時(shí)，a??1，21?1?所以f?x??2?cosx???，因此，當(dāng)cosx?1時(shí)，f?x?max?5．

2?2?四，軸動(dòng)區(qū)間動(dòng)

對(duì)稱(chēng)軸不定，區(qū)間也不定，由于它們的變化是相互制約的，故必須對(duì)它們的制約關(guān)系（含參量）進(jìn)行討論：對(duì)稱(chēng)軸橫坐標(biāo)在所給的區(qū)間內(nèi)；對(duì)稱(chēng)軸橫坐標(biāo)不在所給的區(qū)間內(nèi)，同樣是按照對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于區(qū)間的位置分情況討論。

例4，已知y?4a?x?a??a?0?，求f?x???x?3??y2的最小值 22解y?4a?x?a?代入f?x?中，得 2f?x???x?3??4a?x?a???x??3?2a???12a?8a2，x??a,??? 222（1）當(dāng)3?2a?a，即0?a?1時(shí)，f?x?min?f?3?2a??12a?8a；

（2）當(dāng)3?2a?a，即a?1時(shí)，f?x?min?f?a???a?3? 3

2???12a?8a(0?a?1)因此可得，f?x?min=? 2???(a?3)(a?1)綜上 ,求二次函數(shù)的一般方法為：設(shè)函數(shù)f?x??ax2?bx?c,?a?0?,x??m,n?則對(duì)稱(chēng)軸為x??b, 最值分情況討論： 2ab時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左側(cè)，f?x?在?m,n?上遞增，則f?x?的最大值為 2a[1] 當(dāng)m??f?n?，最小值為f?m?；

b 時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右側(cè)，f?x? 在?m,n?上遞減,，則f?x?的最大值2a[2] 當(dāng)n??為f?m?，最小值為f?n?；

[3] 當(dāng) ?bb??b????m,n?時(shí)，則f?x?的最小值為f???；在?m,??上函數(shù)f?x?遞2a2a??2a??減，則f?x?的最大值為f?m?，在??比較f?m?與f?n?的大小即得．

?b?,n?上函數(shù)f?x?遞增，則f?x?的最大值為f?n?，?2a?參考文獻(xiàn) 張忠．一元二次方程實(shí)根分布新探［Ｊ］．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2007.4 2 李曉梅,李國(guó)興．新課程下中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練的設(shè)計(jì)［Ｊ］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2007.2 3 張世林．一道高三調(diào)研考試題的繁解、錯(cuò)解、簡(jiǎn)解［Ｊ］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中），2007,5 4 劉瑞美,孫玉．求二次函數(shù)最值的幾種形式［Ｊ］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中），2007,12

第四篇：高中數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題小結(jié)

對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

一、要點(diǎn)梳理

1.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的核心是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)和點(diǎn)關(guān)于直線的軸對(duì)稱(chēng)，要充分利用轉(zhuǎn)化的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)中的一種加以處理.2.解決最值問(wèn)題最常用的方法是目標(biāo)函數(shù)法和幾何法。3.求對(duì)稱(chēng)曲線的常用思想方法：代入轉(zhuǎn)移法

4.許多問(wèn)題中都隱含著對(duì)稱(chēng)性，要注意挖掘、充分利用對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，如角平分線、線段中垂線、光線反射等

二、基礎(chǔ)練習(xí)

1、已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為

（）A.(x＋1)2＋y2＝

1B.x2＋y2＝1

C.x2＋(y＋1)2＝1

D.x2＋(y－1)2＝1

2、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲線曲線

（）A.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)但不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)但不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

D.以上都不對(duì)

3、函數(shù)y＝－ex的圖象

（）A.與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.與y＝ex的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.與y?e的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

D.與y?e的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

4、曲線x2＋4y2＝4關(guān)于點(diǎn)M（3，5）對(duì)稱(chēng)的曲線方程為_(kāi)__________.5、光線從點(diǎn)A（-3，4）發(fā)出，經(jīng)過(guò)x軸反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，6），求射入y軸后的反射線的方程。

變式：已知直線l1: x+my+5=0和直線l2:x+ny+P=0，則l1、l2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是（）A、?x?x5p?

mnB、p=-5

C、m=-n且p=-5

D、11??且p=-5 mn6.直線2x?3y?6?0交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，試在直線y??x上求一點(diǎn)P，使P1A?P1B最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_______ 思考、已知函數(shù)f(x)?13x?x2?x的圖象C上存在一定點(diǎn)P滿足：若過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C交于不同于P的3兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)，且恒有y1?y2為定值y0，則y0的值為（）A.?12

4B.?

C.?

D.?2 3337、已知點(diǎn)M（3，5），在直線：x?2y?2?0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q，使?MPQ的周長(zhǎng)最小。

x2y2??1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓。問(wèn)：點(diǎn)P在何處時(shí)，8、在直線l:x?y?9?0上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且以橢圓

123所作橢圓的長(zhǎng)軸最短？并求具有最短長(zhǎng)軸的橢圓的方程。

9、已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1

10、已知拋物線y=ax2－1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x2y2變式：已知橢圓方程為試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線y?4x?m??1，43對(duì)稱(chēng)。

11、已知函數(shù)f(x)?lnx(0?x?1)1?x（1）在函數(shù)y?f(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)（m,n），使得y?f(x)的圖象關(guān)于（m,n）對(duì)稱(chēng)？（2）令g(x)?f(1?x11)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)b，使得任意的a∈[,]時(shí)，對(duì)任意的x∈(0,??)，不等式2?x43g(x)?x?ax2?b恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.12、已知拋物線C:y2?4x，過(guò)M(m,0)的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）若m=3，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（Ⅱ）若m?0，且存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，求m的取值范圍.（Ⅲ）若m?0，記A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1，求證：直線A1B過(guò)定點(diǎn).13、設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)在拋物線y?2x上，l是AB的垂直平分線．（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2取何值時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍．

214、已知函數(shù)f（x）=(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設(shè)g（x）=f(x)+13x?x2?ax?b的圖像在點(diǎn)P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2.3m是[2,??]上的增函數(shù)。x?

1（i）求實(shí)數(shù)m的最大值；

(ii)當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

參考解答：

1、C；

2、C；

3、D；

4、（x－6）2+4（y－10）2=4；

5、解：?A（-3，4）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1（-3，-4）在經(jīng)x軸反射的光線上；A1（-3，-4）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2（3，-4）在經(jīng)過(guò)射入y軸的反射的光線上，∴kA2B=

6?4??2

?2?3∴所求直線方程為 y?6??2(x?2)，即2x?y?2?0 變式、C；

6、(0,0)； 思考、B；解析： ?f(x)?13111x?x2?x?(x3?3x2?3x?1?1)?(x?1)3? 3333111?f(x)??(x?1)3從而f(x)的圖像關(guān)于定點(diǎn)(?1,?)對(duì)稱(chēng)，333112所以點(diǎn)P為(?1,?)，y1?y2?y0?2(?)??

3337、解：可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M1（5，1），點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M2（-3，5），則

?MPQ的周長(zhǎng)就是M2Q?QP?PM1，連M2M1，則直線M2M1與y軸及直線x?2y?2?0的交點(diǎn)P、Q即為所求。

直線M1M2的方程為x?2y?7?0，直線M1M2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q(0,)，由方程組?72?x?2y?2?059597 得交點(diǎn)P(,)，∴點(diǎn)P(,)、Q(0,)即為所求。

24242?x?2y?7?08、略

9、解：設(shè)P1B=x，∠P1P0B=θ，則CP1=1－x，P3PB∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均為θ，∴tanθ=1=x.P0BCP1?x1?x1又tanθ=1==x，∴CP2==－1.CPCP2xx2而tanθ=

D(0,1)P2C(2,1)P1B(2,0)A P0P4P3D=P2DDP3DP31==x，∴DP3=x（3－）=3x－1.11x2?(?1)3?xx又tanθ=AP31?(3x?1)2?3x2?3x2===x，∴AP4==－3.AP4AP4AP4xx依題設(shè)1> xx42512>tanθ>.2510、解法一：設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的兩相異點(diǎn)為P（x1，y1）、Q（x2，y2），線段PQ的中點(diǎn)為M（x0，y0），?y?x?b，設(shè)直線PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點(diǎn)存在，所以方程組?有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即得方程 2?y?ax?1ax2－x－（1+b）=0.① 判別式Δ=1+4a（1+b）＞0.②

x1?x211=，y0=x0+b=+b.2a2a21113∵M(jìn)∈l，∴0=x0+y0=++b，即b=－，代入②解得a＞.a42a2a解法二：設(shè)同解法一，由題意得 由①得x0=?y1?ax12?1，?y?ax2?1，2?2?y1?y2?1，?x?x?12?y1?y2x1?x2??0.??22①②③ ④將①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得

1?x?x??12a，由二元均值不等式易得2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.?12?x12?x22??2?.aa?將⑤⑥代入上式得2（－1a2解法三：同解法二，由①－②，得y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.y?y2∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）=1=1.x1?x2x1?x21=.∵M(jìn)（x0，y0）∈l，2a2111∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，從而PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，－）.2a2a2a∴x0=∵M(jìn)在拋物線內(nèi)部，∴a（+

213）＞（）2，解得a＞.aa41132）－（－）－1＜0.解得a＞.（舍去a＜0，為什么?）

42a2a變式：解法一：該問(wèn)題等價(jià)于存在直線y??中點(diǎn)落在直線y?4x?m上。

1x?n，使得這直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P、Q，線段PQ的4?x2y2??4?3?122由?消去y得13x?8nx?16n?48?0 ?y??1x?n?4?∵直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)。

∴??64n2?4?13(16n2?48)?0??由韋達(dá)定理得：x1?x2?1313 ① ?n?228n124n，y1?y2??(x1?x2)?2n?。13413 4n12n,)又M在直線y?4x?m上 1313124n4n?4??m，∴m??n ② ∴131313故PQ中點(diǎn)為M(由①②知?213213 ?m?1313解法二：設(shè)A(x1,y2)、B(x2,y2)是橢圓上關(guān)于直線y?4x?m對(duì)稱(chēng)的相異的兩點(diǎn)，x12y12x22y22AB中點(diǎn)為M(x0,y0)。則??1,??1，4343由點(diǎn)差法得y0?3x0，代入y0?4x0?m解得，M點(diǎn)坐標(biāo)為(?m,?3m)。而M是AB中點(diǎn)，∴M點(diǎn)在橢圓內(nèi)部。

m29m2213213∴。??1。解得??m?43131311、【解析】（1）若存在一點(diǎn)（m，n），使得y =f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱(chēng)，則f(x+m)+f(m－x)=2n

x?mm?xm2?x2即ln ?ln?ln1?x?m1?m?x(1?m)2?x2當(dāng)m?11?在y=f(x)的圖像上，,n?0時(shí)f(x+m)+f(m－x)=2n 且?,0??2?2?1?，使得y=f(x)的圖像關(guān)于?1?對(duì)稱(chēng)。所以在y=f(x)的圖像上存在一點(diǎn)??,0??,0??2??2?1?x（2）g?x?=ln2?x?ln?x?1?(x＞－1), 構(gòu)造函數(shù)F?x?=ln?1?x??x?ax，1?x1?2?x1??2ax?x?1??1?2ax?2ax?x?112a??則F??x???2ax?1??，x?1x?1x?12

因?yàn)閤?0,a∈[,]所以x?1?0,2ax?0, 1143 11?1),?F(x)在(0,?1)上是減函數(shù)； 2a2a11?1,??),?F(x)在(?1,??)上是增函數(shù)； 若F?(x)?0，則x∈(2a2a11111?1時(shí),F(x)取最小值，即F(x)min?F(?1)=ln??1?a(?1)2 所以當(dāng)x?2a2a2a2a2a11111??1??a?1=ln??a

=ln2a2a4a2a4a若F?(x)?0，則x∈(0,記h(a)?ln11111111??a,又h?(a)?2a?(?2)?2?1?2??1?(?2)2, 2a4aa4a2a4a4a

11113∈[3，4]所以h?(a)?0,即h(a)在[,]上為增函數(shù)，所以h(a)min?h()?ln2?

44a433所以若使F(x)?b恒成立，只需b?ln2?.4311所以存在這樣的實(shí)數(shù)b?ln2?,使得對(duì)a∈[,]，對(duì)任意的x∈(0,??)時(shí)，443因?yàn)椴坏仁絣n（1+x）＞x-ax2+b恒成立.12、（Ⅰ）解：由題意，直線l的方程為y?x?3，由??y?x?3?y?4x

2得

y2?4y?12?0?y1??2,y2?6，故A?1,?2?,B?9,6?

以AB為直徑的圓的圓心為AB中點(diǎn)?5,2?，半徑為

AB?42 2?圓的方程為:?x?5???y?2??32.?????????（Ⅱ）解：設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2), MB??AM(??0).22?????????則AM?(m?x1,?y1),MB?(x2?m,y2)，所以 ??x2?m??(m?x1)

○

1y???y?21

因?yàn)辄c(diǎn)A, B在拋物線C上, 2

所以y12=4x1,y22

=4x2，○

由○1○2，消去x2,y1,y2得?x1?m.若此直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，則|OM|2?|MB|?|AM|，2即|OM|2??|AM|?|AM|，所以m2??[(x1?m)2?y1]，因?yàn)閥12=4x1，?x1?m，所以m2?m[(x1?m)2?4x1]，x12整理得x1?(3m?4)x1?m2?0，○

因?yàn)榇嬖谥本€l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，所以關(guān)于x1的方程○3有正根，因?yàn)榉匠獭?的兩根之積為m2>0, 所以只可能有兩個(gè)正根，?3m?4?0?

所以?m2?0，解得m?4.???(3m?4)2?4m2?0? 故當(dāng)m?4時(shí)，存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列.（Ⅲ）定點(diǎn)位N(-m,0)。

13、解：（Ⅰ）F?l?|FA|?|FB|?A,B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等．

∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y1?0,y2?0,依題意y1,y2不同時(shí)為0，2∴上述條件等價(jià)于y1?y2?x12?x2?(x1?x2)(x1?x2)?0;

∵x1?x2，∴上述條件等價(jià)于

x1?x2?0.即當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2?0時(shí)，l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F． 另解：（Ⅰ）∵拋物線y?2x2，即x?2y11,?p?，∴焦點(diǎn)為F(0,)

248（1）直線l的斜率不存在時(shí)，顯然有x1?x2?0

（2）直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，截距為b

即直線l：y=kx+b

由已知得：

?y?y?222??1?k?x1x2?b?2x2?2x1?k?x1x2?b

?2?222????22?y1y2??1??2x1?2x2??1??kx1?x2x1?x2k??

?22x1?x2?b??k???x1x2 ?x2?x2??1?b?0?b?1 2??12441?x1?x2??2k??即l的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F(0,)

所以當(dāng)且僅當(dāng)

18x?x12=0時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F

（II）設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y?2x?b； 過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫(xiě)為y??所以x1,x2滿足方程2x?21x?m，211x?m?0,得x1?x2??； 2411.A，B為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式???8m?0, 即m??432設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0,y0)，則x0?1111(x1?x2??,y0??x0?m??m.28216由N?l,得115519?m???b,于是b??m???.1641616323232即得l在y軸上截距的取值范圍為（9,??）．

法二:y1=2x1, y2=2x2, 相減得2

2y1?y21?2(x1?x2)?4x0,即??4x0, x1?x221192x0??,y0???b, 中點(diǎn)在拋物線內(nèi)必y0?2x0 得b?843214、解：（Ⅰ）由f'(x)?x2?2x?a及題設(shè)得??f'(0)?3?a?3即?。

b??2?f(0)??2?（Ⅱ）（?。┯蒰(x)?13mm2x?x2?3x?2?

得g'(x)?x?2x?3?。23x?1(x?1)?g(x)是[2,??)上的增函數(shù)，?g'(x)?0在[2,??)上恒成立，即x?2x?3?2m?0在[2,??)上恒成立。

(x?1)2m?0在[1,??)上恒成立 t設(shè)(x?1)2?t。?x?[2,??),?t?[1,??)，即不等式t?2?當(dāng)m?0時(shí)，不等式t?2?m?0在[1,??)上恒成立。tm當(dāng)m?0時(shí)，設(shè)y?t?2?，t?[1,??)

tmm因?yàn)閥'?1?2?0，所以函數(shù)y?t?2?在[1,??)上單調(diào)遞增，因此ymin?3?m。

tt?ymin?0,?3?m?0，即m?3。又m?0，故0?m?3。

綜上，m的最大值為3。

1331x?x2?3x?2?，其圖像關(guān)于點(diǎn)Q(1,)成中心對(duì)稱(chēng)。3x?131332證明如下：?g(x)?x?x?3x?2?

3x?113183?g(2?x)?(2?x)3?(2?x)2?3(2?x)?2???x3?x2?3x??

32?x?1331?x2因此，g(x)?g(2?x)?。

32上式表明，若點(diǎn)A(x,y)為函數(shù)g(x)在圖像上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)B(2?x,?y)也一定在函數(shù)g(x)的圖像上。

31而線段AB中點(diǎn)恒為點(diǎn)Q(1,)，由此即知函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱(chēng)。

3（ⅱ）由（?。┑胓(x)?

第五篇：2016(好)高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題常用的解題方法

初高中理科專(zhuān)業(yè)教學(xué)機(jī)構(gòu)

高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題常用的解題方法

一、相鄰問(wèn)題捆綁法

題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)組(當(dāng)作一個(gè)元素)參與排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。

分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當(dāng)于4人4的全排列，A4?24種。

二、相離問(wèn)題插空法

元素相離(即不相鄰)問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端．

例2 七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是。

分析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A652種，不同的排法種數(shù)是A5A6?3600種。

三、定序問(wèn)題縮倍法

在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法． 例3 A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元

15?60種。素全排列數(shù)的一半，即A

52四、標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法

把元素排到指定號(hào)碼的位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成．

例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。

五、有序分配問(wèn)題逐分法

有序分配問(wèn)題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有。

分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有211C10C8C7?2520種。

初高中理科專(zhuān)業(yè)教學(xué)機(jī)構(gòu)

六、多元問(wèn)題分類(lèi)法

元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類(lèi)情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。

例6 由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個(gè)。

分析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有511311311313個(gè)，A4A5A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個(gè)，合并總計(jì)300個(gè)。

例7 從1，2，3，?100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？

分析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A??7,14,21,98?共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A??1,2,3,4，10086個(gè)元素；由此可知，從A中任取2個(gè)元素的取法有?共有211，從A中任取一個(gè)，又從A中任取一個(gè)共有C14，兩種情形共符合要求的C14C86211取法有C14?C14C86?1295種。

例8 從1，2，?100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種？

分析：將I??1,2,3,100?分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集

97?，能被4除余2的數(shù)99?，易見(jiàn)這四個(gè)集合中A??4,8,12,集C??2,6,100?；能被4除余1的數(shù)集B??1,5,9，98?，能被4除余3的數(shù)集D??3,7,11,每一個(gè)有25個(gè)元素；從A中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從B,D中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從C中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求2112的取法共有C25種。?C25C25?C2

5七、交叉問(wèn)題集合法

某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B。)

例 9 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設(shè)全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：

初高中理科專(zhuān)業(yè)教學(xué)機(jī)構(gòu)

n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(種)．

八、定位問(wèn)題優(yōu)先法

某個(gè)(或幾個(gè))元素要排在指定位置，可先排這個(gè)(幾個(gè))元素，再排其他元素。

例10 1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_______ _種。

41分析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有A3種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有A414種方法；所以共有A3A4?72種。

九、多排問(wèn)題單排法

把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例11 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是。

分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排6成一排，共A6?720種。

例12 8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某 1個(gè)元素要排在后排，有多少種排法？

2分析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A4種，某11個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A4種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上5125有A5種，故共有A4A4A5?5760種排法。

十、“至少”問(wèn)題間接法

關(guān)于“至少”類(lèi)型組合問(wèn)題，用間接法較方便。例13 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有 種。

分析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種

333型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C9?C4?C5?70種。

分析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；

2112甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C5C4?C5C4?70種。

十一、選排問(wèn)題先取后排法

從幾類(lèi)元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_____ ___種

2分析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C4種，再排：在 3

初高中理科專(zhuān)業(yè)教學(xué)機(jī)構(gòu)

323四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A4種，故共有C4A4?144種。

例15 9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？

22分析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有C52C4種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有A2222中排法，故共有C5C4A2?120種。

十二、部分合條件問(wèn)題排除法

在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。

例16 以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個(gè)。分析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成C84四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C84?12?58個(gè)。

例17 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 種。

4分析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C10種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在44四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C6，四個(gè)面共有4C6個(gè)；②過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6

44個(gè)；所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是C10?4C6?3?6?141種。

十三、復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法

例18馬路上有編號(hào)為1，2，3?9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？

分析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮3的燈C5種方法。所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種。

十四、利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法

例19 圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？ 分析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的410個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有C10個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以4這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有C10個(gè)。