第一篇：小波分析小結(jié)

小波分析的形成

小波分析是一門數(shù)學(xué)分支，是繼Fourier變換之后新的時頻域分析工具。小波理論的形成經(jīng)歷了三個發(fā)展階段：

Fourier變換階段：

Fourier變換是將信號在整個時間軸上進行積分，它將信號的時域特征和頻域特征聯(lián)系起來，分別進行分析。設(shè)信號f(t)，其Fourier變換為：

F(?)??f(t)e?i?tdt

???F(?)確定了f(t)在整個時間域上的頻譜特性。但Fourier變換不能對信號從時域和頻域結(jié)合起來分析，它是一種全局變換，在時間域上沒有任何分辨率。

例：f(t)?1,(?2??t??2)，其Fourier變換對應(yīng)圖如下：

短時Fourier變換階段：

短時Fourier變換即加窗Fourier變換，其思想是把信號分成許多小的時間間隔，用Fourier分析每個時間間隔，以確定該間隔存在的頻率，達到時頻局部化目的。其表達式為：

Gf(?,?)??f(t),g(t??)ej?t???f(t)g(t??)e?j?tdt

R式中，g(t)為時限函數(shù)，即窗口函數(shù)，e?j?t起頻限作用，Gf(?,?)大致反映了f(t)在?時、頻率為?的信號成分含量。

由上式，短時Fourier變換能實現(xiàn)一定程度上的時頻局部化，但窗口函數(shù)確定時，窗口大小和形狀固定，所得時頻分辨率單一。

小波分析階段：

為了克服上述缺點，小波變換應(yīng)運而生。小波變換在研究信號的低頻成分時其窗函數(shù)在時間窗長度上增加，即在頻率寬上減?。辉谘芯啃盘柕母哳l成分時其窗函數(shù)在時間窗長度上減小，而在頻率寬上增加。對信號可以進行概貌和細節(jié)上的分析。

小波的定義：

?(?)，若滿足設(shè)?(t)?L2(R)（為能量有限的空間信號），其Fourier變換為?容許條件：

|?(?)|2???|?|d????

???(0)???(t)dt?0，說明?(t)具有波動則稱?(t)為母小波，由容許條件可得：????性，在有限區(qū)間外恒為0或快速趨近于0.t?12以Marr小波?(t)?(1?t)e2為例，如下圖：

2?2

將母小波進行伸縮平移所得小波系列稱為子小波，定義式如下:

?b,a(t)?1t?b?(),a?0

aa其中a為伸縮因子，b為平移因子。

a 以Marr小波為例，分別取伸縮平移因子a，b為0.5、1、2、4；-1、0、1，對應(yīng)圖形如下:

Daubichies小波

常見的小波有Daubechies、Symlets、Morlet、Mexican Hat、Meyer小波等，其對應(yīng)的圖形及性質(zhì)如下：

Daubechies小波是正交小波，沒有解析表達式（除Haar小波外）。其簡寫形式為dbN，N表示階數(shù)，支集區(qū)間為（0，2N-1）。

Symlets小波與db小波的差別是sym小波有更好的對稱性。

Morlet小波不具備正交性，不存在緊支集，不能做離散小波變換，沒有解析尺度函數(shù)，其小波函數(shù)為：

?(x)?e?x/2cos(5x)

Mexican Hat小波不具有正交性，不存在尺度函數(shù)，是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，小波函數(shù)為：

2?(x)?2?1/4?x2/2?e 3Meyer小波為在頻域定義的具有解析形式的正交小波，不存在緊支集，但其頻譜有限，具有對稱性。

小波函數(shù)的特點：

正交性：小波函數(shù)與自身內(nèi)積為1，而與其伸縮平移后的小波系列內(nèi)積為0。正交小波的優(yōu)點是小波變換可將信號分解到無重疊的子頻帶上，并且可以進行高效的離散小波變換。

對稱性：不具有對稱性的小波函數(shù)所重構(gòu)的信號會有相位失真。

緊支性：具有緊支性的小波其小波函數(shù)僅在有限區(qū)間內(nèi)是非零的，其局部化能力強，小波變換復(fù)雜度低。

正則性：用于刻畫小波函數(shù)的光滑程度，正則性越高，函數(shù)越光滑。

消失矩：用于衡量小波逼近光滑函數(shù)時的能力。消失矩越大，壓縮比越大。

尺度函數(shù)：若函數(shù)?(t)?L2(R)，其整數(shù)平移系列?k(t)??(t?k)滿足：

?k(t),?k?(t)??kk?

則稱?(t)為尺度函數(shù)。

對尺度函數(shù)?(t)進行平移和伸縮，可得一個尺度和位移均可變的函數(shù)集合：

?j,k(t)?2?j/2?(2?jt?k)??k(2?jt)

稱每一個固定尺度j上的平移系列?k(2?jt)所張成的空間Vj為尺度j的尺度空間：

Vj?span??k(2?jt)?,k?Z

正交多分辨分析：Hilbert空間L2(R)中，若一列閉子空間{Vj}j?z滿足如下性質(zhì)：嵌套性：Vj?Vj?1,(j?z);逼近性：?Vj?{0},?Vj?L2(R);

j?zj?z伸縮性：f(t)?Vj?f(2t)?Vj?1;

平移不變性：f(t)?Vj?f(t?k)?Vj,j?Z;

正交性（Riesz基）：存在?(t)?V0，使得{?(t?k),k?z}是V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基。濾波器：在二尺度方程中，對系數(shù)系列{hk}k?z和gk?(?1)kh1?k,k?z作Fourier 變換得H(?)和G(?)，其中H(?)?11?ik??ik?heG(?)?ge，稱H(?)和??kk2k?z2k?zG(?)分別為低通濾波器和高通濾波器。稱{hk}k?z和{gk}k?z分別為低通濾波器系數(shù)和高通濾波器系數(shù)。小波變換

連續(xù)小波變換：設(shè)?為一母小波，f(t)?L2(R)，稱

(W?f)(a,b)??f,?a,b??|a|?12????f(t)?(t?b)dt a為f的連續(xù)小波變換。

離散小波變換

離散小波：通過離散化連續(xù)小波變換中的平移因子b和尺度因子a得到，通

mm常取a?a0,b?nb0a0,m,n?Z.?m2離散小波變換：(W?f)(a,b)??f,?a,b??|a0|????f(t)?(a0?mt?nb0)dt

若取a0?2,b0?1，可以得到二進小波：?m,n(t)?2?m/2?(2?mt?n),m,n?Z

信號的離散小波變換并不是直接由尺度函數(shù)?(t)和對應(yīng)的小波?(t)與信號內(nèi)積來實現(xiàn)，而是利用濾波器組h[n]和g[n]來實現(xiàn)，用矩陣形式表述如下：

?cj[0]?00??cj?1[0]??c[1]??h[0]h[1]?h[k]0???c[1]??j??00h[0]h[1]?h[k]?0j?1?? ?????????????????????????c[n?1]??c[n?1]?h[k]0000h[0]h[1]????j?j?1????2??dj[0]?00??cj?1[0]??d[1]??g[0]g[1]?g[k]0???c[1]??j??00g[0]g[1]?g[k]?0? ??j?1????????????????????????d[n?1]??c[n?1]?g[k]0000g[0]g[1]????j?j?1????2?其中，設(shè)濾波器長度為k。并且兩濾波器系數(shù)間有如下關(guān)系：

gk?(?1)kh1?k,k?z

?|hk?zk|2?2； ?2； ??h2k?1?1;k?z?hk?zk?zk?h2k?hk?zk?2nkh?2?n0,?n?z

以db5小波為例，其低通濾波器系數(shù)如下（這里取二尺度方程為?(t)?2?hk?(2t?k)）所得的系數(shù)：

k?zh[0]=0.160102397974;h[1]=0.603829269797;h[2]=0.724308528438;h[3]=0.***1;h[4]=-0.242294887066;h[5]=-0.032244869585;h[6]=0.077571493840;h[7]=-0.006241490213;h[8]=-0.012580751999;h[9]=0.003335725285;變換所得系數(shù)cj和dj分別為離散小波變換的不同尺度下的低頻和高頻系數(shù)。

小波逆變換即信號的重建運算，重構(gòu)是從尺度最低的近似系數(shù)cj和細節(jié)系數(shù)dj開始，通過低頻和高頻重構(gòu)濾波器恢復(fù)出上一尺度的近似信號cj?1，繼續(xù)這個過程，直到恢復(fù)原始信號。其計算公式為：

cj?1,m??cj,kh(m?2k)??dj,kg(m?2k),k?Z

kk離散小波變換與重構(gòu)實例如下：

所采用的信號為添加白噪聲的正弦信號，信號共1000個采樣，采用db4小波做3層分解，其原始信號、低頻系數(shù)、高頻系數(shù)和重構(gòu)信號如下圖：

第二篇：小波分析算法資料整理總結(jié)

一、小波分析基本原理：

信號分析是為了獲得時間和頻率之間的相互關(guān)系。傅立葉變換提供了有關(guān)頻率域的信息，但有關(guān)時間的局部化信息卻基本丟失。與傅立葉變換不同，小波變換是通過縮放母小波（Mother wavelet）的寬度來獲得信號的頻率特征，通過平移母小波來獲得信號的時間信息。對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關(guān)程度。相關(guān)原理詳見附件資料和系統(tǒng)設(shè)計書。

注：小波分析相關(guān)數(shù)學(xué)原理較多，也較復(fù)雜，很多中文的著作都在討論抽象讓非數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)人難理解的數(shù)學(xué)。本人找到了相對好理解些的兩個外文的資料： Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.doc Ten.Lectures.of.Wavelets.pdf

二、搜索到的小波分析源碼簡介（僅談大體印象，還待繼續(xù)研讀）：

１、83421119WaveletVCppRes.rar 源碼類型：VC++程序

功能是：對簡單的一維信號在加上了高斯白噪聲之后進行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波變換，從而得到小波分解系數(shù)；再通過改變分解得到的各層高頻系數(shù)進行信號的小波重構(gòu)達到消噪的目的。

說明：在這一程序?qū)崿F(xiàn)的過程中能直觀地理解信號小波分解重構(gòu)的過程和在信號消噪中的重要作用，以及在對各層高頻系數(shù)進行權(quán)重處理時系數(shù)的選取對信號消噪效果的影響。但這是為專業(yè)應(yīng)用寫的算法，通用性差。

２、WA.FOR（南京氣象學(xué)院常用氣象程序中的小波分析程序）

源碼類型：fortran程序

功能是：對簡單的一維時間序列進行小波分析。

說明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代碼寫得較亂，思路不清，還弄不明白具體應(yīng)用。

３、中科院大氣物理學(xué)所.zip（原作者是美國Climate Diagnostics Center的C.Torrence 等）

源碼類型：fortran和matlab程序各一份

功能是：氣象應(yīng)用。用小波分析方法對太平洋溫度的南方濤動指數(shù)進行分析。

說明：用的是Morlet和墨西哥帽小波。程序編寫規(guī)范，思路清晰，但這是為專業(yè)應(yīng)用寫的算法，通用性差。

４、Morlet小波變換源程序.rar 源碼類型：matlab程序

功能是：對簡單的一維時間序列進行小波分析。

說明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代碼寫得較亂，思路不清，還弄不明白具體應(yīng)用。

５、Morlet小波計算函數(shù)封裝源程序.rar 源碼類型：matlab程序

功能是：對一維時間序列信號進行連續(xù)小波變換程序。

說明：用的是Morlet小波。程序短小，代碼調(diào)用了matlab內(nèi)置函數(shù)wave，并使用了卷積進行求解，源碼中的多個參數(shù)的選擇和設(shè)置原理和依據(jù)還弄不明白。６、計算關(guān)于時間序列數(shù)據(jù)的的小波變換fortran程序.rar 源碼類型：fortran程序

功能是：對簡單的一維時間序列進行小波變換。

說明：用的是DOG小波、Morlet小波、Paul小波。程序較長，代碼寫得較亂，還弄不明白具體應(yīng)用。

三、小波分析底層基本算法實現(xiàn)的困難：

１、小波分析中用的小波基函數(shù)的種類很多，選擇不同基小波函數(shù)的，變換內(nèi)核的計算實現(xiàn)方法不同。

２、小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域非常多，不同的應(yīng)用領(lǐng)域的小波算法框架不同。

３、小波分析的輸入輸出參數(shù)較多，但在應(yīng)用時靈活度不強，對不同小波基函數(shù)和不同的應(yīng)用有著不同的參數(shù)選擇和設(shè)定方法，同時表現(xiàn)出不同的性質(zhì)。

因而，很多時候小波在不同的實際應(yīng)用時的算法和編碼實現(xiàn)有差別非常大。從目前本人收集到的５個小波分析源程序的分析來看，這６個源程序的具體實現(xiàn)思路、參數(shù)選擇和設(shè)置各不相同?？傊茈y設(shè)定一個比較標(biāo)準(zhǔn)通用的小波分析底層算法。

第三篇：小波家長開放日小結(jié)

小波班家長開放日活動小結(jié)

一、家長素質(zhì)差別大

本班共有33位寶寶，在本次家長開放日共有31位寶寶的家長參加活動，郭文博寶寶因為腳燙傷，張季鋆寶寶得了支氣管肺炎在住院未能來參加活動，其余31位寶寶的家長都來了。從家長的重視程度上也從一個側(cè)面反映了其教育觀念，很多家長都是請了假來參加的，還有一些爸爸媽媽都來參加本次活動，因為家長重視教育，所以孩子的發(fā)展也很突出，如李嘉祺、徐小溪、貢熙等平時表現(xiàn)就特別棒！在寶寶起床的環(huán)節(jié)中，我們讓家長在旁邊看著寶寶自己穿褲子、鞋子，不能幫忙，大部分的家長都能做到，讓寶寶自己的事情自己做。但有個別家長急于去幫助自己的孩子，如：漆昊源的奶奶看見漆昊源在穿褲子，馬上就上去幫忙，結(jié)果漆昊源還不領(lǐng)情，用褲子狠狠地甩奶奶。

二、幼兒表現(xiàn)差異大

本次開放日活動向家長展示了數(shù)學(xué)《小動物過生日》，進行3以內(nèi)的等量匹配，孩子們活動的表現(xiàn)差異很大，有的孩子注意力集中、舉手發(fā)言積極，幾乎每個問題都在舉手；有的孩子注意力一點也不集中，一會兒弄弄衣服、一會兒摸摸前面小朋友的頭發(fā)，從來也不舉手，特別是高蘊博寶寶上課時還跑到小舞臺上去玩。還有陸者而寶寶看到媽媽在場就就表現(xiàn)的比較“人來瘋”，對于老師提出的問題，常常答非所問，在黏貼蠟燭時，還沒有完成就跑出去玩了，需要他的媽媽拉過來幾次才能做完。

從整體來說寶寶的作業(yè)正確率較高，只是做作業(yè)的速度不同。有的寶寶很快就完成了，有的寶寶還在慢慢思考、仔細點數(shù)，也獲得了成功。

統(tǒng)計家長開放日反饋表情況：

一、教學(xué)活動：

1．教學(xué)活動中寶寶的注意力：集中(14)；有時集中(17)；不集中(0)

2．寶寶對老師提問的反映：經(jīng)常舉手(9)；有時舉手(15)；從不舉手(7)

3．寶寶回答問題的情況：積極性高(10)；一般(20)；答非所問（0）；

聲音響亮(9)； 一般(18)；較輕(4)

4．老師對你寶寶的關(guān)注：能關(guān)注到(31)；沒有關(guān)注(0)

5．寶寶參與半日活動的態(tài)度：愉快、認(rèn)真(24)； 一般(7)； 不認(rèn)真(0)

有“人來瘋”現(xiàn)象（2）；哭鬧、情緒不穩(wěn)或不認(rèn)真（0）

6．寶寶活動的結(jié)果：非常棒（15）；比較好（12）；一般（2）

二、戶外鍛煉

做操時，您寶寶的態(tài)度：認(rèn)真（21）一般（10）不認(rèn)真（0）

動作：有力到位（7）一般（22）軟弱（2）

節(jié)奏感：強（11）一般（19）弱（1）

三、從本次活動情況來看，您的寶寶有進步嗎？對寶寶的表現(xiàn)滿意嗎？ 從反饋表上看出家長對本次活動的表現(xiàn)都非常滿意，寶寶都有了進步了。

四、參加本次活動擬有何啟示或感想？

幼兒園舉行的活動有利于孩子的溝通、交流，有利于孩子的成長。特別是過生日的數(shù)學(xué)課，讓孩子們更深刻地認(rèn)識1、2、3個數(shù)字的本質(zhì)?？梢宰屛覀兏恿私庾约汉⒆釉谛５谋憩F(xiàn)，讓父母和孩子的距離更近了，很感謝幼兒園給我們家長這個機會等。

五、您對本次活動有何更好的建議或意見？

歸納一下，都是希望這樣的活動多一點，作為家長也非常愿意參加這樣的的活動，對寶寶的表現(xiàn)能及時了解等。

第四篇：小波變換快速算法及應(yīng)用小結(jié)

離散小波變換的快速算法

Mallat算法[經(jīng)典算法] 在小波理論中,多分辨率分析是一個重要的組成部分。多分辨率分析是一種對信號的空間分解方法,分解的最終目的是力求構(gòu)造一個在頻率上高度逼近L2(R)空間的正交小波基,這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。因此,對于一個能量有限信號,可以通過多分辨率分析的方法把其中的逼近信號和細節(jié)信號分離開,然后再根據(jù)需要逐一研究。多分辨率分析的概念是S.Mallat在構(gòu)造正交小波基的時候提出的,并同時給出了著名的Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉變換中的地位,為小波分析的應(yīng)用和發(fā)展起到了極大的推動作用。MALLAT算法的原理

在對信號進行分解時，該算法采用二分樹結(jié)構(gòu)對原始輸入信號x(n)進行濾波和二抽取，得到

111第一級的離散平滑逼近和離散細節(jié)逼近和，再采用同樣的結(jié)構(gòu)對進行濾波和二抽取

22得到第二級的離散平滑逼近和離散細節(jié)逼近和，再依次進行下去從而得到各級的離散123細節(jié)逼近對，…，即各級的小波系數(shù)。重構(gòu)信號時，只要將分解算法中的步驟反過來進行即可，但要注意，此時的濾波器與分解算法中的濾波器不一定是同一濾波器，并且要將二抽取裝置換成二插入裝置才行。

多孔算法

[小波變換快速算法及其硬件實現(xiàn)的研究毛建華]

多孔算法是由M.shen于1992年提出的一種利用Mallat算法結(jié)構(gòu)計算小波變換的快速算法，因在低通濾波器h0()和高通濾波器h1()中插入適當(dāng)數(shù)目的零點而得名。它適用于a=2的二分樹結(jié)構(gòu)，與Mallat算法的電路實現(xiàn)結(jié)構(gòu)相似。先將Mallat算法的電路實現(xiàn)的基本支路作一下變形。令h0 和h1()的z變換為H0（z）與H1（z），下兩條支路完全等價，只不過是將插值和二抽取的順序調(diào)換一下罷了。圖中其它的上下兩條支路也為等效支路，可仿照上面的方法證明。這樣，我們便可由Mallat算法的二分樹電路結(jié)構(gòu)得出多孔算法的電路級聯(lián)圖，原Mallat算法中的電路支路由相應(yīng)的等效支路所取代，所以整個電路形式與Mallat算法非常相似。如果舍去最后的抽取環(huán)節(jié)們實際上相當(dāng)于把所有點的小波變換全部計算出來。

基干FFT的小波快速算法

[小波變換快速算法及其硬件實現(xiàn)的研究毛建華]

Mallat算法是由法國科學(xué)家StephaneG.Mallat提出的計算小波分解與重構(gòu)的快速算法，能大大降低小波分解與重構(gòu)的計算量，因此在數(shù)字信號處理和數(shù)字通信領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。但是如果直接采用該算法計算信號的分解和重構(gòu)，其運算量還是比較大。主要體現(xiàn)在信號長度較大時，與小波濾波器組作卷積和相關(guān)的乘加法的計算量很大，不利于信號的實時處理。故有必要對該算法作進一步的改進。眾所周知，F(xiàn)FT是計算離散傅里葉變換(DFT)的一種快速算法，如能將它和Mallat算法結(jié)合在一起，勢必會進一步降低小波分解和重構(gòu)的計算量，事實證明這一想法是可行的。

基于FFT的小波變換快速算法是通過離散傅里葉變換建立起FFT和mallat算法之何的橋梁，從而將、FFT引入到小波變換中來，達到改小波變換快速算法及硬件實現(xiàn)的研究進Mallat算法的目的。

當(dāng)信號長度較小時，F(xiàn)FT算法效率不及直接算法;隨著長度的增加，特別是對于長度是2的幕次方的信號，F(xiàn)FT算法比直接算法更適用，能大大降低計算t。當(dāng)信號是長序列信號時，小波分解與重構(gòu)中，濾波器要補很多的零，這對信號的實時計算很不利，我們可以采用長序列快速相關(guān)卷積算法對信號進行分段后再運用FFT算法，提高運算速度。

基于算術(shù)傅里葉變換的小波變換快速算法

[小波變換快速算法及其硬件實現(xiàn)的研究毛建華]

算術(shù)傅里葉變換(AFT)是1988年由Tufts和Sadasiv提出的一種用Mobius反演公式計算連續(xù)函數(shù)傅里葉系數(shù)的方法.它具有乘法運算t僅為O(N)算法簡單、并行性好的優(yōu)點。根據(jù)DPT和連續(xù)函數(shù)傅里葉系數(shù)的關(guān)系，可以用AFT計算DFT。同直接算法相比，APT方法可以將DFT的計算時間減少90%，尤其是對于含有較大素因子，特別是其長度本身為素數(shù)的DFT，它的速度比傳統(tǒng)的FFT更快.另一方面，Mallat算法的分解和重構(gòu)算法也可由DFT來計算，從而將AFT與Mallat算法聯(lián)系了起來，從而為小波變換快速算法開辟了新的途徑。對于尺度

為j的快速分解算法步驟如下: 1)選定濾波器系數(shù)h(n)和g(n)，再根據(jù)FFT的性質(zhì)2，用N點的AFT分別計算出H(k)和G(k)，分別取共扼，進而得到H*(k)，G*(k)。

2)在已知cj(n)的情況下，用N點的AFT求出其DFTCj(k)3)分別計算出H*(k)Cj(k)，G*(k)Cj(k)，即C’j(k)和D’j(k)4)用N點的AFT求出C’j+1(k)和D’j+1(k)IDFT，得到C’j+1(n)和D’j+1(n)IDFT，再分別對它 們作二抽取，就可求出Cj+1(n)和Dj+1(n)。在進行分解計算時，H(k)G(k)只要計算一次即可。重復(fù)步驟(2)一(4)可實現(xiàn)下一尺度小波分解，直到達到規(guī)定的尺度為止。不過要注意:尺度增加一個級別，信號長度減半。對于尺度為j+1的快速重構(gòu)算法為: 1)對Cj+1(n)和Dj+1(n)進行二插值，得到C’j+1(n)和D’j+1(n);2)用N點的AFT分別求出h(n)、g(n)的DFTH(k)和G(k)3)用N點的AFT分別求出C’j+1(n)和D’j+1(n)的DFTC’j+1(k)和D’j+1(k);4)根據(jù)(17)式求出Cj(k)，再用N點的AFT進行IDFT，可求出cj(n)。

基于Hermite插值的小波變換模極大值重構(gòu)信號快速算法

[基于Hermite插值的小波變換模極大值重構(gòu)信號快速算法韓民，田嵐，翟廣濤，崔國輝] 信號在不同尺度上的小波變換模極大值包含了信號中的重要信息，因此研究如何由小波變 換模極大值重構(gòu)信號是很有意義的。論文提出了一種基于Hermite插值多項式由二進小波變換模極大值重構(gòu)信號的快速算法。數(shù)值試驗表明，與S.Mallat提出的經(jīng)典交替投影算法相比，該算法可以在保證重構(gòu)質(zhì)量的前提下簡化計算過程，提高計算效率，計算所需時間與交替投影算法相比大大減少，是一種實用性較強的信號重構(gòu)算法。

Hermite插值[11]方法是一種具有重節(jié)點的多項式插值方法，由于它要求在節(jié)點處滿足相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)條件，因此也稱為切觸差值。由于小波系數(shù)模極大值點的導(dǎo)數(shù)為零，這與Hermite插值對節(jié)點的導(dǎo)數(shù)要求不謀而合，因此我們選用Hermite插值多項式作為改進的插值方法。

強奇異積分方程小波Petrov-Galerkin快速算法

[強奇異積分方程小波Petrov-Galerkin快速算法隆廣慶]

通過構(gòu)造具有高階消失矩、小支集和半雙正交性質(zhì)的分片多尺度小波基底, 給出第2類強奇異積分方程的小波Petrov-Galerkin快速算法, 并證明該算法收斂階達到最佳, 條件數(shù)有界, 計算復(fù)雜性幾乎最佳。構(gòu)造配置泛函的思想, 構(gòu)造分片多項式空間Xn上2列具有半雙正交性的小波基,其中一列具有高階消失矩性質(zhì)。

小波變換的應(yīng)用

小波分析在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用

[小波變換算法在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用支春強中國電子科技集團公司第二十八研究所，江蘇南京 210007摘] 數(shù)字圖像信號像素間一般都具有相關(guān)性，相鄰之間、相鄰列之間的相關(guān)性最強，其相關(guān)系數(shù)呈指規(guī)律衰減。圖像中相關(guān)性的存在，是圖像壓縮的理論依據(jù)，使得能針對性地采用某種相關(guān)的手段去除冗余信息，達到壓縮的目的。利用變換編碼可以有效地消除像素間的相關(guān)性，從而獲得較好的壓縮效果。其基本原理就是將在時域描述的信號（如聲音信號）或在空域描述的信號（如圖像信號）經(jīng)變換到正交向量空間（即變換域）中進行描述，在變換域的描述中各信號分量之間的相關(guān)性很小或互不相關(guān)，即能量得以集中。

小波變換進行圖像重構(gòu)實質(zhì)上是相當(dāng)于分別對圖像數(shù)據(jù)的行和列做一維小波逆變換。對通過水平跟垂直濾波，離散小波將一級變換后圖像的4個子圖進行合成。對多級變換后的圖像，則先對其信息集中的圖進行重構(gòu)，然后逐層進行。

小波分析在圖像處理邊緣檢測中的應(yīng)用

小波變換在車牌定位中的應(yīng)用張國才，王召巴（中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，山西太原030051）

由于傳統(tǒng)的邊緣檢測方法檢測到的邊緣信息復(fù)雜，要想從中找準(zhǔn)車牌的位置十分困難，而小波可以在不同的分辨率層次上對圖像進行分割，在低分辨率層次上進行粗分割，由于計算量較小，適用于尋找目標(biāo)的大致輪廓，在較高分辨率上實現(xiàn)精細分割，而且粗分割的結(jié)果對精細分割具有一定的指導(dǎo)作用，可以減少計算量和提高目標(biāo)的定位精度。所以有的學(xué)者將小波變換用在了車牌區(qū)域的定位方面，利用小波的特點對車牌圖像進行分析，發(fā)現(xiàn)小波分解后的細節(jié)分量中有能較好體現(xiàn)出車牌位置的信息，特別是水平低頻、垂直高頻分量能提供更準(zhǔn)確的車牌位置信息。利用小波變換對車牌定位，在小波變換的分解圖像中這里只研究其低頻子圖像，對低頻子圖像利用最大類間方差法進行二值化分割。

在軍事工程方面的應(yīng)用

[小波變換及其在軌道檢測中的應(yīng)用俞峰 戴月輝 ] 目前小波分析應(yīng)用于軌道檢測主要有: ①用小波時域局部特征檢測突變信號(如檢測鋼

軌焊接部位缺陷、鋼軌表面磨損等);②當(dāng)傳統(tǒng)的功率譜無法區(qū)分信號譜特征時,采用小波分 層細化分解,提取信號譜特征。

在語音合成方面的應(yīng)用

[語音處理中自適應(yīng)小波變換的應(yīng)用 Application of Adaptive Wavelet Transformations in Speech Processing徐靜波,冉崇森XU Jing2bo , RAN Chong2sen(信息工程大學(xué)信息工程學(xué)院,河南鄭州450002)] 對于含噪聲語音信號,我們先分離小波變換中語音信號引起的模極大值點和噪聲引起的模極 大值點,再根據(jù)語音信號引起的模極大值點來檢測端點。一般地,原始信號的Lipschitz指數(shù)是正的,而白噪聲的Lipschitz指數(shù)是負的。當(dāng)尺度減少時,如果某些小波變換模極大值點的幅值急劇增加,則表明對應(yīng)的奇異性具有負的Lipschitz指數(shù),這些極大值點幾乎被噪聲控制。因為由噪聲引起的模極大值點的平均密度與尺度成反比,所以,隨著尺度的遞增,至少有一半的模極大值點不能傳遞到較大尺度上。因此,那些不能從一個尺度上傳遞到較大尺度上的模極大值點,也是由噪聲控制的。我們把噪聲控制的模極大值點去掉,剩下的模極大值點就是由語音信號控制的。

在其他方面的應(yīng)用

（1）小波分析在數(shù)字水印中的應(yīng)用

使用小波域水印方法的優(yōu)點與在JPEG 中使用小波是類似的，并且小波的多分辨率分析與人眼視覺特性是一致的，這對根據(jù)HVS 選擇適當(dāng)?shù)乃∏度胛恢煤颓度霃姸扔泻艽蟮膸椭＃?）小波分析在圖像濾波中的應(yīng)用

在小波變換域，可通過對小波系數(shù)進行切削、縮小幅度等非線性處理，以達到濾除噪聲的目的。

（3）小波分析在地球物理勘探中的應(yīng)用

提高物理勘探資料的信噪比和分辨率一直是物理勘探資料處理所追求的目標(biāo)。在資料處理中所遇到的噪音主要有規(guī)則干擾和隨機干擾兩大類，利用小波變換時頻兩域都有局部化的特點，對信號進行多尺度分解同樣可以抑制噪音。（4）醫(yī)學(xué)檢測方面的應(yīng)用

小波能有效提取生理信號中的突變特征點，這在醫(yī)學(xué)方面（如B超、CT、磁共振、心電圖等）已有成熟的應(yīng)用。在胃動力檢測方面，利用小波包變換方法能很清除地分辨出人體胃運動的三相特征，這些在臨床上都有重要的應(yīng)用價值。

第五篇：分析小結(jié)[小編推薦]

2008-2012高考課標(biāo)卷數(shù)形結(jié)合法解題分析結(jié)論

通過對五年高考試題的分析，可以看出高考試題中利用數(shù)形結(jié)合法解決試題占百分之二十左右，分值30分左右，現(xiàn)對分析結(jié)果做一小結(jié)如下：

1．高考試題對數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；

（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；

（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達式幾何意義的應(yīng)用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。

2．運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負面效應(yīng)；

（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線為佳。

3．進行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。

4．常見的“以形助數(shù)”的方法有：

（1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

（2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予以重視。

5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合： 主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.