第一篇：極限滿分方法

的題目是以直接求極限的形式出現(xiàn)，例如2011年數(shù)學(xué)一的15題：求極限也有的題目是間接涉及到求極限問題，例如2012年數(shù)學(xué)一的1題是要求曲線漸近線的條數(shù)，求曲線漸進(jìn)線最終還是通過求函數(shù)極限來達(dá)到的。這兩類題目在歷年考研數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的頻率都很高，求極限的方法一定要熟記于心、熟練掌握，不可輕視！

??? 求極限的方法不只限于兩三種，概括來講共分為下面八大類：

??? 1.定義法。此法一般用于極限的證明題，計(jì)算題很少用到，但仍應(yīng)熟練掌握，不重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的掌握對整個(gè)復(fù)習(xí)過程都是不利的。

??? 2.洛必達(dá)法則。此法適用于解型等不定式極限，但要注意適用條件（不只是使用洛必達(dá)法則要注意這點(diǎn)，數(shù)學(xué)本身是邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，任何一個(gè)公式、任何一條定理的成立都是有使其成立的前提條件的，不能想當(dāng)然的隨便亂用），如出現(xiàn)的極限是形如，則都可以轉(zhuǎn)化為型來求解。

??? 3.對數(shù)法。此法適用于指數(shù)函數(shù)的極限形式，指數(shù)越是復(fù)雜的函數(shù)，越能體現(xiàn)對數(shù)法在求極限中的簡便性，計(jì)算到最后要注意代回以e為底，不能功虧一簣。

??? 4.定積分法。此法適用于待求極限的函數(shù)為或者可轉(zhuǎn)化為無窮項(xiàng)的和與一個(gè)分?jǐn)?shù)單位之積，且這無窮項(xiàng)為等差數(shù)列，公差即為那個(gè)分?jǐn)?shù)單位。例如《2013無師自通考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全》第26頁末尾的一道題：極限

?

??? 5.泰勒展開法。待求極限函數(shù)為分式，且用其他方法都不容易簡化時(shí)使用此法會(huì)有意外收獲。當(dāng)然這要求考生能熟記一些常見初等函數(shù)的泰勒展開式且能快速判斷題目是否適合用泰勒展開法，堅(jiān)持平時(shí)多記多練，這都不是難事。

??? 6.等價(jià)替換法。此法能快速簡化待求極限函數(shù)的形式，也需要考生熟記一些常用的等價(jià)關(guān)系，才能保證考試時(shí)快速準(zhǔn)確地解題。注意等價(jià)替換只能替換乘除關(guān)系的式子，加減關(guān)系的不可替換。

??? 7.放縮法（夾逼定理）。此法較簡單，就是對待求極限的函數(shù)進(jìn)行一定的擴(kuò)大和縮小，使擴(kuò)大和縮小后的函數(shù)極限是易求的，例如《2013考研數(shù)學(xué)接力題典1800》第4頁的56題：求極限，該題即是用放縮法求解，具體解法可參見書內(nèi)答案。

??? 8.重要極限法。高數(shù)中的兩個(gè)重要極限：及其變形要熟記并學(xué)會(huì)應(yīng)用。

??? 掌握了以上八大方法還是不夠的，要學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，因?yàn)榭佳蓄}的綜合性很強(qiáng)，不是一道題只用一種方法就能夠解出來的，往往是同時(shí)用到兩三種甚至更多才能順利解答。這就需要考生平時(shí)多想多練，做到熟能生巧，才能在最后的考試決戰(zhàn)中勝人一籌。

第二篇：求極限方法

首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面

首先對極限的總結(jié)如下

極限的保號(hào)性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致

1極限分為一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。?！你還能有補(bǔ)充么？？？）1 等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記

（x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮?。?/p>

2落筆他 法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提?。?！

必須是X趨近而不是N趨近?。。。。ㄋ悦鎸?shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在?。。。。偃绺嬖V你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死?。?/p>

必須是0比0無窮大比無窮大?。。。。?/p>

當(dāng)然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時(shí)候直接用

20乘以無窮無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成1中的形式了

30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋的加減的時(shí)候要 特變注意?。。?/p>

E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母?。。。。。?/p>

看上去復(fù)雜處理很簡單?。。。?！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了?。?/p>

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號(hào)要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要！?。Φ谝粋€(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。地2個(gè)就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應(yīng)的形式

（地2個(gè)實(shí)際上是 用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）還有個(gè)方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。?！

x的x次方 快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。?！

當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會(huì)對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中

13假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實(shí)在是沒有辦法走投無路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性?。?！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。?/p>

一，求極限的方法橫向總結(jié)：

1帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時(shí)出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時(shí)乘以不同的對應(yīng)分式湊成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：分子與分母同時(shí)除以該無窮大量湊出無窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無窮小量。

3等差數(shù)列與等比數(shù)列和求極限：用求和公式。

4分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項(xiàng)的和求極限：列項(xiàng)求和

5分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限：看未知數(shù)的冪數(shù)，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6運(yùn)用重要極限求極限（基本）。

7乘除法中用等價(jià)無窮小量求極限。

8函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，函數(shù)的極限等于極限的函數(shù)。

9常數(shù)比0型求極限：先求倒數(shù)的極限。

10根號(hào)套根號(hào)型：約分，注意別約錯(cuò)了。

11三角函數(shù)的加減求極限：用三角函數(shù)公式，將sin化cos

二，求極限的方法縱向總結(jié)：

1未知數(shù)趨近于一個(gè)常數(shù)求極限：分子分母湊出（x-常數(shù)）的形式，然后約分（因?yàn)閤不等于該常數(shù)所以可以約分）最后將該常數(shù)帶入其他式子。

2未知數(shù)趨近于0或無窮：1）將x放在相同的位置

2）用無窮小量與有界變量的乘積

3）2個(gè)重要極限

4）分式解法（上述）

第三篇：求函數(shù)極限方法的若干方法

求函數(shù)極限方法的若干方法

摘要： 關(guān)鍵詞：

1引言：極限的重要性

極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對第二個(gè)問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。

2極限的概念及性質(zhì)2.1極限的概念

2.1.1limn→∞

xn=A,任意的正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)就有 xn?A <。

2.1.2limx→∞f x =A??ε>0，任意整數(shù)X，使得當(dāng) x >時(shí)就有 f x ?A <。類似可以定義單側(cè)極限limx→+∞f x =A與limx→?∞f(x)。2.2.3類似可定義當(dāng)，整數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)有

。，時(shí)右極限與左極限：。在此處鍵入公式。

2.2極限的性質(zhì)

2.2.1極限的不等式性質(zhì)：設(shè)若若，則，使得當(dāng)，當(dāng)

時(shí)有

。時(shí)有時(shí)有，則

；

。，則

與，使得當(dāng)

在的某空心鄰

時(shí)，時(shí)有，則。

。

2.2.1（推論）極限的保號(hào)性：設(shè)若若,則，使得當(dāng)，當(dāng)2.2.2存在極限的函數(shù)局部有界性：設(shè)存在極限域有

內(nèi)有界，即3求極限的方法

1、定義法

2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限，3、利用夾逼性定理求極限

4、利用兩個(gè)重要極限求極限，5、利用迫斂性求極限，6、利用洛必達(dá)法則求極限，7、利用定積分求極限，8、利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限

9、利用變量替換求極限，10、利用遞推公式求極限，11、利用等價(jià)無窮小量代換求極限,12、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，13、利用泰勒展開式求極限，14、利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限

15、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限

16、利用單側(cè)極限求極限

17、利用中值定理求極限 3.1定義法

利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)的,總存在一個(gè)正整數(shù)

.，當(dāng)

是一個(gè)數(shù)列,是實(shí)數(shù),如果對任意給定,我們就稱是數(shù)列

時(shí),都有的極限.記為例1 證明

證 任給，取，則當(dāng)時(shí)有

，所以。

3.2利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 設(shè)，，則

。，例1求解 這是求

型極限，用相消法，分子、分母同除以

得。，其中3.3利用夾逼性定理求極限

當(dāng)極限不易直接求出時(shí), 可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當(dāng)在連加或連乘的極限里,可通過各項(xiàng)或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。3.3.1（數(shù)列情形）若則。，使得當(dāng)時(shí)有，且，3.3.2（函數(shù)情形）若，則，使得當(dāng)。

時(shí)有，又

例題

解 ：，其中，因此。

3.4利用兩個(gè)重要極限球極限 兩個(gè)重要極限是，或。

第一個(gè)重要極限可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。利用這兩個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要觀察所給的函數(shù)形式，只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)，才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例題1解：令t=故 例題23.5利用迫斂性求極限 ,且在某個(gè)。

內(nèi)有,那么

.則sinx=sin（t)=sint, 且當(dāng)

時(shí)

例 求的極限

解：因?yàn)?且 由迫斂性知

所以

3.6利用洛必達(dá)法則求極限

假設(shè)當(dāng)自變量和趨近于某一定值（或無窮大）時(shí)，函數(shù)

和

和

滿足：的導(dǎo)數(shù)不為0的極限都是或都是無窮大都可導(dǎo)，并且存在（或無窮大），則極限也必存在，且等于，即=。利用洛必達(dá)法則求極限，可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，可簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但是運(yùn)用時(shí)需注意條件。

例題 求

解 原式=注：運(yùn)用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1、要注意條件，也就是說，在沒有化為或時(shí)不可求導(dǎo)。

2、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。

3、要及時(shí)化簡極限符號(hào)后面的分式，在化簡以后檢查是否還是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)錯(cuò)誤。

3.7利用定積分求極限

利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 例

上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。

解 原式=，由定積分的定義可知。

3.8利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限 利用無窮小量乘有界變量仍是無窮小量,這一方法在求極限時(shí)常用到。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個(gè)無窮小量與所有其他量相乘或相除時(shí), 這個(gè)無窮小量可用它的等價(jià)無窮小量來代替,從而使計(jì)算簡單化。例

解 注意時(shí)。

3.9利用變量替換求極限

為將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)囊胄伦兞浚瑏硖鎿Q原有變量，使原來的極限過程轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價(jià)無窮小的代換。

例 已知證 令

試證

則時(shí)，于是

當(dāng)時(shí)），故時(shí)第二、三項(xiàng)趨于零，現(xiàn)在證明第四項(xiàng)極限也為零。因有界，即，使得

。所以

（當(dāng)

原式得證。

3.10利用遞推公式求極限

用遞推公式計(jì)算或者證明序列的極限，也是一常見的方法，我們需要首先驗(yàn)證極限的存在性。在極限存在前提下，根據(jù)極限唯一性，解出我們所需要的結(jié)果，但是驗(yàn)證極限的存在形式是比較困難的，需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)來解決。

例 設(shè)，對，定義

且

。證明 時(shí)，解 對推出遞推公式解得,，因?yàn)椋虼?，序?/p>

中可以得出

是單調(diào)遞增且有界的，它的極限，設(shè)為，從，即。

3.11利用等價(jià)無窮小量代換求極限 所謂的無窮小量即，例如 求極限 解 本題屬于有

型極限，利用等價(jià)無窮小因子替換

=

=,，稱

與

是

時(shí)的無窮小量，記作

注：可以看出，想利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的 等價(jià)無窮小量，如：由于，故有又由于故有。

另注：在利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能利用等價(jià)無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。

小結(jié):在求解極限的時(shí)候要特別要注意無窮小等價(jià)代換,無窮小等價(jià)代換可以很好的簡化解題。

3.12利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

在若處連續(xù)，那么且

在點(diǎn)連續(xù)，則。

例 求的極限

解：由于

及函數(shù)在處連續(xù)，故

3.13利用泰勒展開式求極限 列舉下 例題

3.14利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限

3.14.1函數(shù)極限迫斂性（夾逼準(zhǔn)則）：若一個(gè)正整數(shù)，并且例題

3.14.2單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，并且極限唯一。,當(dāng)時(shí)，則

則。

利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵是要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。例題

3.15利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限

利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則，首先判定級(jí)數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限。例題

3.16利用單側(cè)極限求極限

1）求含的函數(shù)

趨向無窮的極限，或求含的函數(shù)

趨于的極限;2）求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;3）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限;4）含偶次方根的函數(shù)以及

或的函數(shù)，趨向無窮的極限.這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。例題

3.17利用中值定理求極限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2積分中值定理

第四篇：數(shù)學(xué)中常用極限方法總結(jié)

【1】 忽略高階無窮小方法。

很多極限看起來很復(fù)雜，而且也不好使用洛必達(dá)法則，但是如果忽略掉次要部分，則會(huì)很容易計(jì)算。

比如

再比如斐波那契數(shù)列，忽略掉比x低的無窮小項(xiàng)后為√x / √2x = 1/√2

忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要項(xiàng)后，可以求得lim a(n+1)/a(n)=(1+√5)/2

再比如 lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))當(dāng)x->∞的時(shí)候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高階無窮小 所以lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞)sinh(x)/2Cosh(x)

= lim(x->∞)(e^x-e^(-x))/ 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞)e^x / 2e^x =1

【2】 取對數(shù)與洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則是求極限的時(shí)候用的最多的方法，但是很多題目都會(huì)饒下彎子，需要先對代數(shù)式進(jìn)行一些變形，否則計(jì)算起來會(huì)越來越煩，常見的的代換包括取對數(shù)，等價(jià)無窮小代換，省略高階無窮小部分，在用完這些方法后，再使用洛必達(dá)法則，可以有效的解決這類問題。

比如

這個(gè)直接用等價(jià)無窮小代換后會(huì)因?yàn)閾p失了高階無窮小導(dǎo)致結(jié)果不正確，取對數(shù)后就會(huì)化成容易計(jì)算的形式了 lim(x->∞)x^2*ln(1+1/x)1)/ 2t =-1/2 所以原式極限為e^(-1/2)

再比如 tanx ^(1/lnx)在x->0+的時(shí)候的極限 這個(gè)極限是0^∞的形式

直接取對數(shù)得 ln(tanx)/ lnx，現(xiàn)在是∞/∞的形式

用洛必達(dá)法則得 = x /(sinx cosx)= x/sinx * 1/cosx = 1 所以tanx^(1/lnx)在x->0+的時(shí)候的極限為e

【3】 常用等價(jià)無窮小

經(jīng)常用到的等價(jià)無窮小有

(1)tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x)~ acsinh(x)~ x(x->0)(2)1-cosx ~ x^2/2(x->0)(3)e^x1 ~ ax(x->0)(6)esinx)/ x^3在x->0處的極限，這個(gè)可以使用多次洛必達(dá)求得，或提取sinx后用兩個(gè)等價(jià)無窮小代換，也可以用tanx和sinx的級(jí)數(shù)代入求得 =(x+x^3/3 + O(x^4)(13 x^7)/210 + O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0處的冪級(jí)數(shù)展開為x + x^3/3 + x^5/302)/ x^2在 x->0處的極限 用泰勒公式就比較簡單

√(1+x)~ 1+x/2x/2x^2/4(e x)/2 +(11 e x^2)/24 + O(x^3)(1+1/x)^x在x=0處的級(jí)數(shù)展開為1-x lnx +(1+(lnx)^2)x^2 + O(x^3)

【6】 中值定理

有些極限用常見的方法處理比較困難，但是可以很容易的看出這是某個(gè)函數(shù)在兩個(gè)很近的點(diǎn)處的割線的斜率或兩個(gè)點(diǎn)之間的面積，那么這個(gè)時(shí)候可以考慮使用微分中值定理或積分中值定理。

比如求sin(√(x+1)sin√x)/(√(x+1)-√x)所以lim(sin(√(x+1)arctan a/(x+1))在x->∞處的極限

令f(x)= arctan a/x那么存在x< ξ

由于x^2/(a^2+(x+1)^2)< x^2/(a^2+ξ^2)< x^2 /(a^2+x^2)，取極限得1 <= lim x^2/(1+ξ^2)<= 1 所以原式極限是a

再比如求(Pi/2arctanx = ∫ 1/(1+t^2)dt(積分限為[x,∞])所以存在x<ξ<∞使得 ξ/(1+ξ^2)= Pi/2(n-1)^(k+1)] =n^k / [ n^(k+1)C(k+1,2)n^(k-1)+....] =n^k / [C(k+1,1)n^kln(n!)+ n ln(n))/(n+1-n)=lim [ ln(n+1)ln(n+1)+ n ln(n)] =lim n * ln(n/(n+1))=-1

【8】 利用定積分的數(shù)值公式

有些求和的極限用夾擠定理只能得到級(jí)數(shù)收斂，但不能求出具體的極限值，而一些題剛好是利用定積分的數(shù)值公式（主要是矩形公式）分解而來，這個(gè)時(shí)候可以考慮湊定積分的方式來對級(jí)數(shù)求和。

比如求

可以寫成1/n ∑1/(1+(k/n)^2)

所以這個(gè)剛好是1/(1+x^2)在[0,1]上的定積分 所以極限為Pi/4

再如上面出現(xiàn)過的(1^k+2^k+...+n^k)/ n^(k+1)這個(gè)可以寫成1/n ∑(i/n)^k

所以可以看成是 x^k在[0,1]上的定積分 所以極限是1/(k+1)

【9】 利用級(jí)數(shù)展開

某些涉及到求和的極限可能剛好是某個(gè)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開的特殊值 比如交錯(cuò)級(jí)數(shù) 1-1/2+1/3-1/4+...這個(gè)剛好是ln(1+x)= xx^4/4 +...在x=1處的值 所以極限是ln2 而對于其他一些級(jí)數(shù)也可能是函數(shù)展開的特殊值 比如1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^ + 1/n^2 +...考慮正弦函數(shù)的無窮積展開為 sinx = x ∏(1-x^2/k^2Pi^2)取對數(shù)后求導(dǎo)數(shù)得

Cot[x] = 1/x1/4 + 1/7-1/11 +...(-1)^(3k+1)/(3k+1)+....也是可以計(jì)算出來的，結(jié)果留給你們算

第五篇：求極限的方法小結(jié)

求極限的方法小結(jié) 要了解極限首先看看的定義哦 A.某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無定義和連續(xù)無關(guān)，但在該點(diǎn)周圍(數(shù)列除外）的必 某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無定義和連續(xù)無關(guān)，某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無定義和連續(xù)無關(guān) 但在該點(diǎn)周圍(數(shù)列除外）須連續(xù) B.了解左右極限的定義 了解左右極限的定義 C.極限的四則和乘方運(yùn)算 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi) 注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，可以利用它同 B 一起去絕對值

1、代入法——在極限點(diǎn)處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 ——在極限點(diǎn)處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.約分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)約分法—— ——分解因式 這只是最簡單的約分法，同時(shí)還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）（這只是最簡單的約分法，同時(shí)還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）3.利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)。。。利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)。。?！幢壤瘮?shù) Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1)=(4+1/x 2 +1/x 4)/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)

4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋╝ n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求

5、極限與導(dǎo)數(shù) —— 利用導(dǎo)數(shù)的定義 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用導(dǎo)數(shù)的定義、極限與導(dǎo)數(shù)——（）6.有界函數(shù)與無窮小的積仍為無窮小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等價(jià)無窮小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用無窮小時(shí)注意它不是充分必要的即應(yīng)用無窮小轉(zhuǎn)化后若極限不存 不能得到原極限不存在）在，不能得到原極限不存在）8.利用重要極限 利用重要極限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要極限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解釋 sin2x/x2)=e(中間的配湊略 中間的配湊略)解釋 中間的配湊略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是無窮小 都是無窮小)都是無窮小 ∞(1 是很重要的一個(gè)極限，它可以用取對數(shù)法，還有就是上面的 取對數(shù)法是冪指 是很重要的一個(gè)極限，它可以用取對數(shù)法，還有就是上面的.取對數(shù)法是冪指 函數(shù)的通法，時(shí)上述方法就顯得更簡單了恩）函數(shù)的通法，當(dāng)看見 1∞時(shí)上述方法就顯得更簡單了恩）9.利用洛比達(dá)法則 可轉(zhuǎn)化

為 0/0, ∞/∞型)利用洛比達(dá)法則(可轉(zhuǎn)化為 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比達(dá)法則 型 洛比達(dá)法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。（對于未定式都可用 洛比達(dá)法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。同時(shí)它同 7 一樣都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在極限中很少用，但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）在極限中很少用，在極限中很少用 但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）11.極限與積分 ___就是利用積分的定義 極限與積分 就是利用積分的定義 _______

解:

=

12.利用柯西準(zhǔn)則來求！12.利用柯西準(zhǔn)則來求！利用柯西準(zhǔn)則來求 柯西準(zhǔn)則： 要使{xn} {xn}有極限的充要條件使任給 ε>0,存在自然數(shù) 柯西準(zhǔn)則 ： 要使 {xn} 有極限的充要條件使任給 ε>0, 存在自然數(shù) N，使 得當(dāng) n>N 時(shí)，對于 |xn任意的自然數(shù) m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用單調(diào)有界必有極限來求 14.利用單調(diào)有界必有極限來求 證明： x1＝。。。）存在極限 存在極限，證明：數(shù)列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在極限，并求出極限值 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由歸納法 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有極限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 兩邊取極限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 16.求數(shù)列極限時(shí) 可以先算出其極限值，然后再證明。求數(shù)列極限時(shí)，16.求數(shù)列極限時(shí)，可以先算出其極限值，然后再證明。17.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 17.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 18.利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限 18.利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限