第一篇：高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)津2函數(shù)反函數(shù)與基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)津2函數(shù)反函數(shù)與基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

11.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f

令t??2x?1?ex?x，求f(x).?x?1，則t?0

∴x?t?∴f(t)?et2?1?t2?1

∴f(x)?ex2?1?x2?1?x?0?

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

??1?x

如：求函數(shù)f(x)??2???x?1?x?0?的反函數(shù)

?x?0???x?1?x?1?）

（答：f(x)??????x?x?0?

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y?f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，a?A，b?C，則f(a)=b?f?1(b)?a

?f?1?f(a)??f?1(b)?a，f?f?1(b)??f(a)?b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

（取值、作差、判正負(fù)）

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

（y?f(u)，u??(x)，則y?f??(x)?（外層）（內(nèi)層）

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)f?(x)為增函數(shù)，否則f?(x)為減函數(shù)。）

????y?log1?x?2x的單調(diào)區(qū)間

如：求

2?2?

（設(shè)u??x?2x，由u?0則0?x?2 且log1u?，u???x?1??1，如圖： u O 1 2 x

當(dāng)x?(0，1]時(shí)，u?，又log1u?，∴y?

當(dāng)x?[1，2)時(shí)，u?，又log1u?，∴y?

2∴??）

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間a，b內(nèi)，若總有f'(x)?0則f(x)為增函數(shù)。（在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于 ??零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對(duì)，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函數(shù)f(x)?x?ax在1，??上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大 值是（）

A.0

3??B.1 2 C.2 D.3

（令f'(x)?3x?a?3?x???a??a???x???0 3??3?

則x??aa 或x?33a?1，即a?3

3由已知f(x)在[1，??)上為增函數(shù)，則

∴a的最大值為3）

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

注意如下結(jié)論：

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)?0。

a·2x?a?2為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a?

如：若f(x)?2x?

1（∵f(x)為奇函數(shù)，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·20?a?2?0，∴a?1）

即20?12x，又如：f(x)為定義在(?1，1)上的奇函數(shù)，當(dāng)x?(0，1)時(shí)，f(x)?x4?1求f(x)在??1，1?上的解析式。

2?x

（令x???1，0?，則?x??0，1?，f(?x)??x

4?12?x2x??

又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)???x x4?11?4?2x??x?4?1

又f(0)?0，∴f(x)??x?2??4x?1

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

x?(?1，0)x?0x??0，1?）

（若存在實(shí)數(shù)T（T?0），在定義域內(nèi)總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期 函數(shù)，T是一個(gè)周期。）

如：若f?x?a???f(x)，則

（答：f(x)是周期函數(shù)，T?2a為f(x)的一個(gè)周期）

又如：若f(x)圖象有兩條對(duì)稱軸x?a，x?b???

即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)

則f(x)是周期函數(shù)，2a?b為一個(gè)周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(?x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

f(x)與?f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

f(x)與?f(?x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

f(x)與f?1(x)的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱

f(x)與f(2a?x)的圖象關(guān)于直線x?a對(duì)稱

f(x)與?f(2a?x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱

將y?f(x)圖象??????????左移a(a?0)個(gè)單位右移a(a?0)個(gè)單位y?f(x?a)y?f(x?a)

y?f(x?a)?b上移b(b?0)個(gè)單位

???????? ??y?f(x?a)?b下移b(b?0)個(gè)單位

注意如下“翻折”變換：

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?

作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的圖象 y y=log2x O 1 x

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

（1）一次函數(shù)：y?kx?b?k?0?

（2）反比例函數(shù)：y?的雙曲線。

kk?k?0?推廣為y?b??k?0?是中心O'(a，b)xx?a2b?4ac?b2?

（3）二次函數(shù)y?ax?bx?c?a?0??a?x?圖象為拋物線 ????2a4a2?b4ac?b2?b

頂點(diǎn)坐標(biāo)為??，?，對(duì)稱軸x??

4a?2a?2a

開口方向：a?0，向上，函數(shù)ymin4ac?b2?

4a

a?0，向下，ymax4ac?b2?

4a

應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0時(shí)，兩根x1、x2為二次函數(shù)y?ax2?bx?c的圖象與x軸 的兩個(gè)交點(diǎn)，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端點(diǎn)值。

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

???0??b2

如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于k????k

?2a??f(k)?0 y(a>0)O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于k?f(k)?0

（4）指數(shù)函數(shù)：y?ax?a?0，a?1? ??

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)y?logaxa?0，a?1

由圖象記性質(zhì)！

（注意底數(shù)的限定！）

y y=ax(a>1)(01)1 O 1 x(0

（6）“對(duì)勾函數(shù)”y?x?k?k?0? x

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？ y ?k O k x

20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？

指數(shù)運(yùn)算：a?1(a?0)，amnnm?mn0?p

?1(a?0)pa

a?a(a?0)，a?1nam(a?0)

對(duì)數(shù)運(yùn)算：logaM·N?logaM?logaNM?0，N?0

loga??M1n?logM?logN，logM?logaaaaM Nn

對(duì)數(shù)恒等式：alogax?x

對(duì)數(shù)換底公式：logab?

logcbn?logambn?logab

logcam

第二篇：2、函數(shù)的圖像與性質(zhì)

高考必備：

二、函數(shù)的圖像和性質(zhì)

要點(diǎn)強(qiáng)記

思想方法：

1、函數(shù)與方程的思想：若問題中含有解析式，應(yīng)考慮使用函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問題，若不含解析式，可構(gòu)造函數(shù)，再用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題。

2、形結(jié)合的思想：把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題來研究，或者把圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題來處理，數(shù)形結(jié)合的思想在解選擇、填空題具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。

3、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化前后互為充要條件。

4、分類討論思想：當(dāng)問題不能進(jìn)行統(tǒng)一，則應(yīng)分類研究。

常規(guī)方法

1、定義域：定義域分默認(rèn)型（式子有意義）、實(shí)際型（由實(shí)際有意義定）、規(guī)定型（無條件規(guī)定）。求函數(shù)表達(dá)式時(shí)務(wù)必寫出定義域。對(duì)于復(fù)合函數(shù)，如：已知fg?x?的表達(dá)式，求此時(shí)關(guān)于x定義域就是g?x?的值域；已知f?x?的表達(dá)式，求f?g?x??的f?x?表達(dá)式，表達(dá)式，此時(shí)關(guān)于x定義域就是使得g?x?的值域?yàn)閒?x?的定義域的全體x的取值。

2、值域：函數(shù)的最值問題是函數(shù)各種性質(zhì)的綜合反映，求函數(shù)的值域和最值的常用方法有常數(shù)分離法（一次分式法）、配方法（二次函數(shù)）、換元法（包括三角換元）、判別式法（二次分式函數(shù)）、單調(diào)法、，利用重要不等式、導(dǎo)數(shù)法、圖象法，利用幾何意義等。

3、解析式：求解析式的方法有換元法和配湊法兩種，近幾年分段函數(shù)是高考的熱點(diǎn)。

4、函數(shù)的圖像：有些函數(shù)雖然不能畫出其正確的圖像，但是我們可以通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)的研究，畫出原函數(shù)的圖像走向，這樣我們?nèi)匀豢梢郧蟪龊瘮?shù)的極值、最值等。

5、奇偶性：判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)從兩方面考慮，即定義域和判別恒等式。奇偶性的應(yīng)用主要是通過局部看整體。

奇函數(shù)若在x=0處有定義，則f?0??0。

6、單調(diào)性：①求單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先挖定義域，常用的方法有：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性質(zhì)和利用重要不等式法。②作為單調(diào)性的應(yīng)用，主要有：比大小，求最值，求值域。③有了導(dǎo)數(shù)這一工具后，給求函數(shù)的單調(diào)性帶來了極大的方便。

7、周期性：①判斷函數(shù)的周期性應(yīng)從兩方面考慮，即定義域和判別恒等式；②周期性的應(yīng)用是通過局部看整體。

8、對(duì)稱性：有兩種對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于直線對(duì)稱。若求對(duì)稱后的曲線（與原曲線不同）的方程，通常利用間接法（轉(zhuǎn)移法）。若要證明曲線自身關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱，通常是先設(shè)曲線上一點(diǎn)，再求出對(duì)稱點(diǎn)，然后證明對(duì)稱后的點(diǎn)也的在曲線上。

9、抽象函數(shù)的性質(zhì)：①若f??x??f?x?,則函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；②若f??x???f?x?,??則函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③若f?x?a??f?b?x?,則函數(shù)圖像關(guān)于x?④若fa?b對(duì)稱；2?x??a???f?a?b?,0?對(duì)稱；⑤若b?x函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)??,則

?2?f?x??a??f⑥若f?x?a???f?x?b?,則函數(shù)還是周期?xb?,則函數(shù)為周期函數(shù)。函數(shù)。

10、抽象函數(shù)解題策略：①利用函數(shù)的單調(diào)性，作等價(jià)轉(zhuǎn)化，最后脫離函數(shù)符號(hào)f；②利用函數(shù)的對(duì)稱性，通過數(shù)形結(jié)合，使抽象函數(shù)具體化；③利用函數(shù)的周期性，以點(diǎn)推面，回歸已知；④合理賦值，構(gòu)造方程，解出抽象函數(shù)的表達(dá)式。

11、圖像的變換：常見的變換有平移、放縮、對(duì)稱，這些變換可以用間接法求之，要學(xué)會(huì)用向量法解決平移問題。另外還要掌握y?f?x?的圖像與y?f??x?,y??f?x?,y?f?x?,y?|f?x?|,y?f?1?x?,y?f'?x?之間的關(guān)系。

特別警示

1、研究函數(shù)的性質(zhì)，要注意先確定函數(shù)的定義域，如奇函數(shù)的必要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

2、函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某一個(gè)區(qū)間而言的。如函數(shù)f(x)在（-1，0）上是增函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，但在

（-1，0）∪（0，1）上卻不一定是增函數(shù)。

3、在反函數(shù)的運(yùn)算中，要注意y?f?x?1?與y?f反函數(shù)是

?1?x?1?不是互為反函數(shù)；y?f?x?1?的y?f?1?x??1；y?f?1?x?1?是函數(shù)y?f?1?x?中自變量x換為x?1的結(jié)果。

第三篇：函數(shù)性質(zhì)培優(yōu)教案2(映射、反函數(shù))

函

數(shù)（2）

映 射

逆映射：如果f是A與B之間的一一對(duì)應(yīng)，那么可得B到A的一個(gè)映射g：任給b?B，規(guī)定g(b)?a，其中a是b在f下的原象，稱這個(gè)映射g是f的逆映射，并將g記為f —1.顯然有（f —1）—1= f，即如果f是A與B之間的一一對(duì)應(yīng)，則f —1是B與A之間的一一對(duì)應(yīng)，并且f —1的逆映射是f.典例分析

例1：設(shè)A={a,b,c},B={0,1},請(qǐng)寫出所有從A到B的映射

變式1：設(shè)集合A＝??1,0,1,2?集合B＝??1,0,1?。

（1）從集合A到集合B可以構(gòu)造多少不同的映射？（2）從B到A的映射有多少個(gè)？

（3）若B中每個(gè)元素都要有原象，這樣的映射有多少個(gè)？

例2：假設(shè)集合M ={0,-1,1} N ={-2,-1 ,0,1,2} 映射f：M→N 滿足條件“對(duì)任意的x屬于M ,x+f(x)是奇數(shù)”，這樣的映射有多少個(gè)？

變式2：設(shè)集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 從A到B的映射 f滿足條件 ：對(duì)每個(gè)X∈A 有 f（X）+X為偶數(shù) 那么這樣的映射f的個(gè)數(shù)是多少？

變式3：設(shè)集合X＝

??1,0,1?，Y＝?2,3,4,5,6?，映射f：

X?Y，使得對(duì)任意的x?X，都有x+f?x?+xf?x?是奇數(shù)，這樣的映射f有多少個(gè)？

例3：已知：集合M?{a,b,c}，N?{?1,0,1}，映射f:??M?N滿足f(a)?f(b)?f(c)?0，那么映射f:??M?N的個(gè)數(shù)是多少？

例4：設(shè)集合A＝??1,0,1?，集合B＝??2,?1,0,1,2?。若A中的元

素x對(duì)應(yīng)B中元素f（x），且滿足f?x??f?x2?，則這樣的映射有

多少個(gè)？

變式4：知集合M＝

?x,y,z?，N＝??1,0,1?，由集合M到N的映射f滿足：f?x?＝f?y?+f?z?，那么這樣的映射有多少個(gè)？

反 函 數(shù)

1．反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是A，值域是C．我們從式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=φ(y)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y)，習(xí)慣表示為y=f-1(x)．注意：函數(shù)y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數(shù)y=f-1(x)的值域和定義域，例如：f(x)=的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數(shù)f-1(x)=x2-1, x≥0，定義域?yàn)閇0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函數(shù)存在的條件

按照函數(shù)定義，y=f(x)定義域中的每一個(gè)元素x，都唯一地對(duì)應(yīng)著值域中的元素y，如果值域中的每一個(gè)元素y也有定義域中的唯一的一個(gè)元素x和它相對(duì)應(yīng)，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過對(duì)應(yīng)法則y=f(x)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)．

3．函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系

函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱．若點(diǎn)(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上．

4．反函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單命題

（1）一個(gè)奇函數(shù)y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定是奇函數(shù)．

（2）一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間是（減）函數(shù)，并且存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間也是增（減）函數(shù)． 典例分析

例1：求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2]

(2)y=

（3）已知f(x)=(0≤x≤4)

例2：已知點(diǎn)（1，2）既在y=的圖象上，又在它反函數(shù)的圖象上，求a、b．

例3：函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=f-1(x+1)的圖象（）.A、關(guān)于直線y=x對(duì)稱

B、關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱

C、關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱

D、關(guān)于直線y=-x對(duì)稱

例4：設(shè)y=f(x)=, y=g(x)的圖象與 y=f-1(x+1)的圖象關(guān)于y=x

對(duì)稱，求g(3)的值．

例5：函數(shù)y=f(x)=(1+)2-2(x≥-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集．

例6．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).課后練習(xí)

1．定義在R上的函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+a)+b的圖象與

y=f-1(x+a)+b的圖象間的關(guān)系是（）.A、關(guān)于直線y=x+a+b對(duì)稱

B、關(guān)于直線x=y+a+b對(duì)稱

C、關(guān)于直線y=x+a-b對(duì)稱

D、關(guān)于直線x=y+a-b對(duì)稱

2．設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y = f(x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，若g(5)= 1999，那么 f(4)=（）

A、1999

B、2000

C、2001

D、2002

3．設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)函數(shù)式y(tǒng)=f(x)，第二個(gè)函數(shù)是它的反函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱。則第三個(gè)函數(shù)是（）A、y=-f（x）

B、y=-f（-x）

C、y=-f-1(x)

D、y=-f-1(-x)

4．若函數(shù)f(x)的圖象過（0，1）點(diǎn)，則f-1(x+4)的圖象必過點(diǎn)________．

5．已知f(x)?2x?3，則f?1(x?1)______________．

6．已知f(x)?2x?3，則f(x?1)的反函數(shù)為_____________．

7．已知y?f(x)反函數(shù)為y?f?1(x)，則f(x?3)的反函數(shù)

_____________．

8．已知y?f(x)的圖象過點(diǎn)（0,1），則函數(shù)y?f(4?x)的反函數(shù)圖象過點(diǎn)____________． 9．若函數(shù)圖象y?f?1(x)過點(diǎn)（-2,0），則函數(shù)圖象y?f(x?5)過點(diǎn)___________． 10．若函數(shù)f(x)?x,則f?11x?2(3)=______________． 參 考 答 案

映射

例

1、從A到B的映射共有2^3=8個(gè)：（a，b，c）→（0，0，0）；（a，b，c）→（0，0，1）；（a，b，c）→（0，1，0）；（a，b，c）→（1，0，0）；（a，b，c）→（0，1，1）；（a，b，c）→（1，0，1）；（a，b，c）→（1，1，0）；（a，b，c）→（1，1，1）。

變式

1、分析 這個(gè)問題是要建立沒有限制條件的映射。它的關(guān)鍵是正確理解映射的概念。對(duì)于映射f：A?B，集合A中的任何一個(gè)元素在集合B中都有B中都有唯一的象(可理解為放球模型)，因此，建立從A到B的映射就是給A中的每個(gè)元素找到一個(gè)象，而A中的每個(gè)元素都有3種對(duì)應(yīng)方式，根據(jù)乘法原理，共有34個(gè)不同的映射。

1)變形思考 C234P3＝36個(gè) 2)43個(gè)

例

2、①當(dāng)x=-1時(shí)，x+f(x)=-1+f(-1)恒為奇數(shù)，相當(dāng)于題目中的限制條件“使對(duì)任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數(shù)” f(-1)=-2,0,2 ②當(dāng)x=0時(shí)，x+f(x)=f(0),根據(jù)題目中的限制條件“使對(duì)任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數(shù)”可知f(0)只能等于-1和1 ③當(dāng)x=1時(shí)，x+f(x)=1+f(1)恒為奇數(shù)

f(1)=-2,0,2 綜上①②③可知，只有第②種情況有限制，所以這樣的映射共有3×2×3=18個(gè)

變式

2、映射可以多對(duì)一，要讓f（X）+X＝偶數(shù)，當(dāng)X＝－1和1時(shí)，只能從B中取奇數(shù)，有3，5兩種可能，當(dāng)X＝0從B中取偶數(shù)有2 4 6三種，則一共有2×2×3＝12個(gè)

變式

3、分析 此題需仔細(xì)分析題意，根據(jù)映射的定義，要使X中的每個(gè)元素都有象，而集合X中只有三個(gè)元素，所以我們可以直接對(duì)元素進(jìn)行分類。

1)當(dāng)x＝－1時(shí)，x+f?x?+xf?x?＝－1，恒滿足題意，所以－1的象可在Y中任取，有5種可能。

2)當(dāng)x＝0時(shí)x+f?x?+xf?x?＝f?0?，要滿足題意，0的象可在3，5中任取一個(gè)，有2種可能。3)當(dāng)x＝1時(shí)，x+f?x?+xf?x?＝1+2f?1?，恒滿足題意，所以－1的象可在Y中任取，有5種可能。由乘法原理得：共有映射5?2?5＝50個(gè)。

例

3、思路提示：滿足f(a)?f(b)?f(c)?0，則只可能

0?0?0?0?1?(?1)?0，即f(a)、f(b)、f(c)中可以全部為0，或0,1,?1各取一個(gè)．

解：∵f(a)?N,??f(b)?N,??f(c)?N，且f(a)?f(b)?f(c)?0 ∴有0?0?0?0?1?(?1)?0．

當(dāng)f(a)?f(b)?f(c)?0時(shí)，只有一個(gè)映射；

當(dāng)f(a)、f(b)、f(c)中恰有一個(gè)為0，而另兩個(gè)分別為1，－1時(shí)，有3?2＝6個(gè)映射．因此所求的映射的個(gè)數(shù)為1＋6＝7．

評(píng)注：本題考查了映射的概念和分類討論的思想．

例

4、分析 這是一個(gè)要建立有限制條件的映射，所以關(guān)鍵是分析它有何限制條件。由條件f?x??f?x2?可知，f??1??f???1?2?＝

f?1?，也就是說，－1和1應(yīng)該和同一個(gè)元素對(duì)應(yīng)，又f?0??f?02?是一定

滿足的，所以這樣的映射可以有：5?5＝25個(gè)。變式:

4、7個(gè)。

反 函 數(shù)

例

1、解：（1）∵ y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2]，∴-2≤y≤1且(x+1)

2=y+3.∴ x+1=-, y=-1-，∴ 所求反函數(shù)y=-1--2≤x≤1.(2)若x≤0，則y=x2

≥0, x=-.若x>0, 則 y=-x-1<-1, x=-y-1.∴ 所求反函數(shù)y=.（3）∵0≤x≤4,∴0≤x2

≤16, 9≤25-x2≤25, ∴ 3≤y≤5，∵ y=, y2

=25-x2, ∴ x2

=25-y2

.∵ 0≤x≤4, ∴x=

(3≤y≤5)

將x, y互換，∴ f(x)的反函數(shù)f-1(x)=(3≤x≤5).評(píng)注：求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟是

（1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域．

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）將x、y交換位置得y=f-1(x)．

（4）求分段函數(shù)的反函數(shù)，應(yīng)分別求出各段的反函數(shù)，它們聯(lián)合在一起構(gòu)成原函數(shù)的反函數(shù)．

例

2、解：∵點(diǎn)（1，2）在y=上，∴ 2=...........(1)

∵點(diǎn)（1，2）在y=的反函數(shù)的圖象上，∴點(diǎn)（2，1）在y=

上，∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7．

評(píng)議：本題目巧妙的運(yùn)用了：若點(diǎn)(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上．

例

3、解答：y=f(x+1)與y=f-1(x+1)圖象是分別將y=f(x), y=f-1(x)的圖象向左平移一個(gè)單位所得，∵ y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，y=x向左平移一個(gè)單位而得y=x+1.故選B.例

4、解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-

1(x+1)的反函數(shù)，即它們關(guān)于y=x對(duì)稱．所以g(x)=f(x)-1，∴g(3)=f(3)-1=

-1=

．

例

5、分析：若先求出反函數(shù)f-

1(x)=2-2(x≥-2)，再求它的解集，這時(shí)由題設(shè)有

2-2=(1+)2-2.整理得四次方程，求解

有困難，但我們可利用y=f(x)與y=f-1

(x)的圖象關(guān)系求解．

首先畫出y=f(x)=(1+)2-2的圖象，如圖所示．因?yàn)榛榉春瘮?shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的，故立即可畫出y=f-1

(x)的圖象，由圖可見兩圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在y=x上，因此可由方程組：

解得 x=2或-2, 從而得方程f(x)=f-1

(x)的解集為{-2,2}． 例

6、解：設(shè)f-

1(5)=x0, 則 f(x0)=5,即 =5(x0≥3)

∴ x02+1=5x0-5, x0

2-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴ f-1

(5)=3.課后練習(xí)

1、解答:將y=x向左平移a個(gè)單位，向上平移b個(gè)單位得y=x+a+b，故選A.2、解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，∴y = g-1(x－2)反函數(shù)是y = f(x－1)，而y = g-

1(x－2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,應(yīng)選（C）

3、B

4、分析：∵f(x)的圖象過（0，1）點(diǎn)，∴ f-1(x)的圖象過（1，0）點(diǎn)，而f-1(x+4)-1的圖象是把y=f-

1(x)的圖象向左平移4個(gè)單位而得到的，故f(x+4)的圖象過(-3,0)點(diǎn)．

5、f?1(x?1)=12(x?4)

6、y?12(x?1)

7、y?f?1(x)?

38、（1,4）

9、（-5，-2）10、1

第四篇：函數(shù)與基本初等函數(shù)2.6冪函數(shù)(作業(yè))

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)作業(yè) 第二編 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ

主備人

張靈芝

總第9期

§2.6冪函數(shù)

一、填空題 1.設(shè)α∈{-1,1,12α ,3}，則使函數(shù)y=x定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有的α值為.α2.冪函數(shù)f(x)=x(α是有理數(shù)）的圖象過點(diǎn)（2，m2?m?214），則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是.3.如果冪函數(shù)y=（m-3m+3）x

2的圖象不過原點(diǎn)，則m的取值是.4.如圖所示，曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象，已知n取±

2、±C3，C4的n值依次為.2??1?x,5.設(shè)函數(shù)f(x)=?2??x?x?2,312四個(gè)值，則相應(yīng)的曲線C1，C2，x?1,x?1，則f（1)的值為.f(2)6.設(shè)f(x)=x+x,則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 條件.127.當(dāng)0

2121D上封閉.若定義域D=（0，1），則函數(shù)①f(x)=3x-1;②f(x)=-x-22

12x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,12其中在D上封閉的是.（填序號(hào)即可）

二、解答題 9.求函數(shù)y=x

1m2?m?1(m∈N)的定義域、值域，并判斷其單調(diào)性.

10.已知f(x)=x ?n2?2n?3（n=2k,k∈Z）的圖象在［0，+∞）上單調(diào)遞增，解不等式f(x-x)>f(x+3). 17

x2?4x?5211.指出函數(shù)f（x）=2的單調(diào)區(qū)間，并比較f（-?）與f(-)的大小.

x?4x?42

12.已知函數(shù)f(x)=x?x513?13，g(x)=

x?x513?13.

（1）證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）分別計(jì)算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)的對(duì)所有 不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明.

第五篇：正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像教案

1．4．3 正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像

一、教學(xué)目標(biāo)

1.用單位圓中的正切線作正切函數(shù)的圖象；2.用正切函數(shù)圖象解決函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)；

二、課時(shí) 1課時(shí)

三、教學(xué)重點(diǎn) 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用.四、教學(xué)難點(diǎn) 正切函數(shù)性質(zhì)的深刻理解及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.五、教具

多媒體、實(shí)物投影儀

六、教學(xué)過程 導(dǎo)入新課

思路1.(直接導(dǎo)入)常見的三角函數(shù)還有正切函數(shù),前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？由此展開新課.思路2.先由圖象開始,讓學(xué)生先畫正切線,然后類比正弦、余弦函數(shù)的幾何作圖法來畫出正切函數(shù)的圖象.這也是一種不錯(cuò)的選擇,這是傳統(tǒng)的導(dǎo)入法.推進(jìn)新課 新知探究 提出問題

①我們通過畫正弦、余弦函數(shù)圖象探究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì).正切函數(shù)是我們高中要學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù).你能運(yùn)用類比的方法先探究出正切函數(shù)的性質(zhì)嗎？都研究函數(shù)的哪幾個(gè)方面的性質(zhì)？②我們學(xué)習(xí)了正弦線、余弦線、正切線.你能畫出四個(gè)象限的正切線嗎？③我們知道作周期函數(shù)的圖象一般是先作出長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象,然后向左、右擴(kuò)展,這樣就可以得到它在整個(gè)定義域上的圖象.那么我們先選哪一個(gè)區(qū)間來研究正切函數(shù)呢？為什么？④我們用“五點(diǎn)法”能簡(jiǎn)捷地畫出正弦、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖,你能畫出正切函數(shù)的簡(jiǎn)圖嗎？

你能類比“五點(diǎn)法”也用幾個(gè)字總結(jié)出作正切簡(jiǎn)圖的方法嗎？

活動(dòng):問題①,教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶:正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)是從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性這幾個(gè)方面來研究的,有了這些知識(shí)準(zhǔn)備,然后點(diǎn)撥學(xué)生也從這幾個(gè)方面來探究正切函數(shù)的性質(zhì).由于還沒有作出正切函數(shù)圖象,教師指導(dǎo)學(xué)生充分利用正切線的直觀性.(1)周期性 由誘導(dǎo)公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠

?+kπ,k∈Z

2可知,正切函數(shù)是周期函數(shù),周期是π.這里可通過多媒體課件演示,讓學(xué)生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數(shù)的周期性,后面的正切函數(shù)圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數(shù)的這一周期性.(2)奇偶性 由誘導(dǎo)公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠

?+kπ,k∈Z 2

可知,正切函數(shù)是奇函數(shù),所以它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過圖象還能發(fā)現(xiàn)對(duì)稱點(diǎn)嗎？與正余弦函數(shù)相對(duì)照,學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)也是中心對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱中心是(k?,0)k∈Z.2(3)單調(diào)性

通過多媒體課件演示,由正切線的變化規(guī)律可以得出,正切函數(shù)在(?又由正切函數(shù)的周期性可知,正切函數(shù)在開區(qū)間(???22,)內(nèi)是增函數(shù),?2+kπ,?+kπ),k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).2(4)定義域

根據(jù)正切函數(shù)的定義tanα=

y,顯然,當(dāng)角α的終邊落在y軸上任意一點(diǎn)時(shí),都有x=0,這時(shí)x正切函數(shù)是沒有意義的；又因?yàn)榻K邊落在y軸上的所有角可表示為kπ+數(shù)的定義域是{α|α≠kπ+

?,k∈Z,所以正切函2??,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},這個(gè)問題不少初學(xué)者很不理解,在22解題時(shí)又很容易出錯(cuò),教師應(yīng)提醒學(xué)生注意這點(diǎn),深刻明了其內(nèi)涵本質(zhì).(5)值域

由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律,從正切線知,當(dāng)x大于?切線AT向Oy軸的負(fù)方向無限延伸;當(dāng)x小于向無限延伸.因此,tanx在(??2且無限接近??2時(shí),正

??且無限接近時(shí),正切線AT向Oy軸的正方22??22,)內(nèi)可以取任意實(shí)數(shù),但沒有最大值、最小值.因此,正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R.問題②,教師引導(dǎo)學(xué)生作出正切線,并觀察它的變化規(guī)律,如圖1.圖1

問題③,正切函數(shù)圖象選用哪個(gè)區(qū)間作為代表區(qū)間更加自然呢？教師引導(dǎo)學(xué)生在課堂上展開充分討論,這也體現(xiàn)了“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體”的新課改理念.有的學(xué)生可能選取了［0,π］作為正切函數(shù)的周期選取,這正是學(xué)生作圖的真實(shí)性的體現(xiàn).此時(shí),教師應(yīng)調(diào)整計(jì)劃,把課件中先作出［-??,］內(nèi)的圖象,改為先作出［0,π］內(nèi)的圖象,再進(jìn)行圖象的平移,得到整22??,)的圖象為好.22?+kπ(k∈Z)2個(gè)定義域內(nèi)函數(shù)的圖象,讓學(xué)生觀察思考.最后由學(xué)生來判斷究竟選用哪個(gè)區(qū)間段內(nèi)的函數(shù)圖象既簡(jiǎn)單又能完全體現(xiàn)正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生通過分析得到先作區(qū)間(-這時(shí)條件成熟,教師引導(dǎo)學(xué)生來作正切函數(shù)的圖象,如圖2.根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把圖2向左、右擴(kuò)展,得到正切函數(shù)y=tanx,x∈R,且x≠的圖象,我們稱正切曲線,如圖3.圖2

圖3

問題④,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察正切曲線,點(diǎn)撥學(xué)生討論思考,只需確定哪些點(diǎn)或線就能畫出函數(shù)y=tanx,x∈(???22,)的簡(jiǎn)圖.學(xué)生可看出有三個(gè)點(diǎn)很關(guān)鍵:(??4,-1),(0,0),（?,1),還有兩4條豎線.因此,畫正切函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法就是:先描三點(diǎn)(?x=??4,-1),(0,0),（?,1),再畫兩條平行線4?2,x=?,然后連線.教師要讓學(xué)生動(dòng)手畫一畫,這對(duì)今后解題很有幫助.2討論結(jié)果:①略.②正切線是AT.③略.④能,“三點(diǎn)兩線”法.提出問題

①請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察正切函數(shù)的圖象特征,由數(shù)及形從正切函數(shù)的圖象討論它的性質(zhì).②設(shè)問:每個(gè)區(qū)間都是增函數(shù),我們可以說正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？請(qǐng)舉一個(gè)例子.活動(dòng):問題①,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=

?+kπ,k∈Z所隔開的無2窮多支曲線組成的.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,這點(diǎn)反應(yīng)了它的哪一性質(zhì)——定義域；并且函數(shù)圖象在每個(gè)區(qū)間都無限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線——漸近線；從y軸方向看,上下無限延伸,得到它的哪一性質(zhì)——值域?yàn)镽；每隔π個(gè)單位,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等,得到它的哪一性質(zhì)——周期π;在每個(gè)區(qū)間圖象都是上升趨勢(shì),得到它的哪一性

?+kπ),k∈Z,沒有減區(qū)間.它的圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

22k?的,得到是哪一性質(zhì)——奇函數(shù).通過圖象我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對(duì)稱,對(duì)稱中心是(,0),k∈Z.2質(zhì)——單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間是(?+kπ,問題②,正切函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).如在區(qū)間(0,π)上就沒有單調(diào)性.討論結(jié)果:①略.②略.應(yīng)用示例 略

課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)到了哪些知識(shí)方法,有哪些啟發(fā)、收獲.本節(jié)課我們是在研究完正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)之后,研究的又一個(gè)具體的三角函數(shù),與研究正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)有什么不同?研究正、余弦函數(shù),是由圖象得性質(zhì),而這節(jié)課我們從正切函數(shù)的定義出發(fā)得出一些性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上得到圖象,最后用圖象又驗(yàn)證了函數(shù)的性質(zhì).2.(教師點(diǎn)撥)本節(jié)研究的過程是由數(shù)及形,又由形及數(shù)相結(jié)合,也是我們研究函數(shù)的基本方法,特別是又運(yùn)用了類比的方法、數(shù)形結(jié)合的方法、化歸的方法.請(qǐng)同學(xué)們課后思考總結(jié):這種多角度觀察、探究問題的方法對(duì)我們今后學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義？ 作業(yè)課本習(xí)題1.4 A組6、8、9.?