第一篇：72向量單元復(fù)習(xí)

2009——2010高一數(shù)學(xué)學(xué)案NO.68編制王軍成審定： 高一數(shù)學(xué)組

平面向量的綜合應(yīng)用

【典例練講】

?????????????????????

例

1、（1）在?ABC中，AB?c,BC?a,CA?b，且c?a?a?b?b?c,判斷?ABC的形狀。

????????????????????（2）若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(OB?OC)?(OB?OC?2OA)?0判斷△ABC的形狀；

?????????????例

2、（1）若O 為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA?OB?OC?0，則O 是?ABC 的心

????????????????（2）若OP=OA+?(AB?AC)，??0則點(diǎn)P必過(guò)?ABC的心（外心，垂心，內(nèi)心，重心）。

????2????2????2????2????2????2（3）若|OA|?|BC|?|OB|?|CA|?|OC|?|AB|則O是?ABC的心（外心，垂心，內(nèi)心，重心）。

???????例

3、（1）已知OA?OB?OC?0，且|OA|?|OB|?|OC|，則△ABC為_(kāi)________三角形。

????????????????????????OC?CO?CO?OA?BC?0，判斷△ABC（2）若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OB?的形狀。

例

4、（1）在四邊形ABCD中，設(shè)?,?,?,?，若

???????，判斷四邊形ABCD的形狀，并加以證明

?????????????（2）設(shè)點(diǎn)O在?ABC內(nèi)部，且有3OA?OB?OC?0，求?ABC的面積與?OBC的面積的比。

第二篇：空間向量復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)選修2—1空間向量 期末復(fù)習(xí)

（基本知識(shí)點(diǎn)與典型題舉例）

為右手直角坐標(biāo)系（立體幾何中建立的均為右手系）。

2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運(yùn)算：

一、空間向量的線性運(yùn)算：

1、空間向量的概念：

空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長(zhǎng)度（模）、共線向量等．

2、空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算：

平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運(yùn)算． 三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量．

3、加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足運(yùn)算律：

①交換律，即a+b=b+a；②結(jié)合律，即(a(a+b)?c?a?(b+c)；

③分配律，即(???)a=?a+?a及?(a+b)??a??b（其中?，?均為實(shí)數(shù)）．

4、空間向量的基本定理：

（1）共線向量定理：對(duì)空間向量a，b(b?0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)?，使a=?b．（2）共面向量定理：如果空間向量a，b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是，存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使c=xa+yb。

推論：①空間一點(diǎn)?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使???????x???????y????C?；

②空間一點(diǎn)?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y或?qū)臻g任一定點(diǎn)?，有??????????????x???????y????C?；

③若四點(diǎn)?，?，?，C共面，則???????x???????y???????z????C?

? x?y?z?1?。

（3）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡(jiǎn)述為：空間任一向量p都可以用一個(gè)基底{a，b，c}惟一線性表示（線性組合）。

5、兩個(gè)向量的數(shù)量積：

（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是a?

b=abcos?a，b?，數(shù)量積有如下性質(zhì)：①a?e=acos?a，e?（e為單位向量）；②a⊥b?a?b=0；③a?a=a

2；④a?b≤ab。

（2）數(shù)量積運(yùn)算滿足運(yùn)算律：①交換律，即a?b=b?a；②與數(shù)乘的結(jié)合律，即(?a)?

b=?(a?b)；③分配律，即(a+b)?c=a?c+b?c．

二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：

1、空間直角坐標(biāo)系：

若一個(gè)基底的三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用{i，jk}表示；在空間

選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，jk}，可建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O?xyz，作空間直角 坐標(biāo)系O?xyz時(shí)，一般使∠x(chóng)Oy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系

（1）定義：給定空間直角坐標(biāo)系O－xyz和向量a，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組使a=a1i+a2j+a3k，則(a1，a2，a3)叫作向量a在空間的坐標(biāo)，記作a=(a1，a2，a對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在惟一的???3)。

OA?

?xi+yj+zk，點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，x，y，z 分別叫Ａ的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)。

（2）若A(x????

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB?(x2?x1，y2?y1，z2?z1)；

（3）空間兩點(diǎn)的距離公式：

d???????

???

3、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則：a+b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)，a?b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)；

?a?(?a1，?a2，?a3)，a?b=(a1b1，a2b?

2，?a3b3)；

a∥b?a1??b1，a

2??bcos???a?b

ab2，a3a?,b???b3|a|?|b|?1?212a2b2?a3b3222?0；

空間兩個(gè)向量的夾角公式：

a1?a2?a3?b12?b2?b

3。

4、直線的方向向量與向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空間固定一個(gè)基點(diǎn)O，作向量???OA?

?a，則點(diǎn)A在空間的位置被a

所

惟一確定，a稱為位置向量。

（2）方向向量與向量方程：給定一個(gè)定點(diǎn)???Ａ和一個(gè)向量a，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)t，以A為起點(diǎn)作向量

AP?

?ta，則此方程為直線l上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的向量方程，向量a稱為直線l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面?，則稱這個(gè)向量垂直于平面?

（記作a⊥?），向量a叫做平面?的法向量。法向量有兩個(gè)相反的方向。

三、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：

1、空間向量在位置關(guān)系證明中的具體應(yīng)用：

1）空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題來(lái)解決：①設(shè)a、b分別為直線a，b的一個(gè)方向向量，那么a⊥b?a⊥b?a?b=0；②設(shè)a、b分別為平面?，?的一個(gè)法向量，那么?⊥??a⊥b?a?b=0；③設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那么l⊥??a∥b。

2）空間直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來(lái)研究：①設(shè)a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那么a∥b?a∥b；②直線與平面平行可轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來(lái)

證明線面平行問(wèn)題；

③平面與平面平行可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量平行。

2、空間向量在立體幾何的計(jì)算問(wèn)題中的應(yīng)用：

1）空間角的計(jì)算：

①線線角：異面直線所成角轉(zhuǎn)化為兩條直線所在向量的夾角；

②線面角：直線AB與平面?所成角為，其中n是平面?的法向量；

③面面角：二面角的大小為，其中m，n是兩個(gè)半平面的法向量。2）距離的計(jì)算：

①點(diǎn)面距：設(shè)n是平面?的法向量，A??，則B到?的距離為；

②線線距：設(shè)n是兩條異面直線l1，l2的公垂線的向量，若A，B分別是在l1，l2上的任意一點(diǎn)，則l1，l2的距離為；

③線面距、面面距，與前面求法相同。

四、例題分析：

例

1、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

為正方形，PD=DC，E、F分別是AB，PB的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小。

例

2、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1，（1）求BF的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離。

例

3、已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?D

1，AB?1，M是PB的中點(diǎn)。

（1）證明：面PAD?面PCD；（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

例

4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD?底面ABCD，E是AB上

一點(diǎn)，PF?EC.已知PD?

2,CD?2,AE?

2, 求（Ⅰ）異面直線PD與EC的距離；（Ⅱ）二面角E?PC?D的大小。

例

2、如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，問(wèn)AE等于何值時(shí)，二面角D1?EC?D的大小為

π

4．19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 為正方形，PD=DC，E、F分別 是AB，PB的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AD=a，則

D(0?,?0?,?0)?,?A(a?,?0?,?0)，B(a?,a?,?0)?,C?

(0?,?a?,?0)?,E?

(a?,a

?,?0)?,F?(a2

2?,a2?,a2)?,P?(0?,?0?,a)

（1）??????a

a?2?,?0?,2??

?,?(0?,?a?,?0)?0?,?

∴EF

?DC?.（2）設(shè)G(x?,?0?,?z)，則G∈平面PAD.FG??

?aaa??

x?2?,??2?,?z?2??，????a?x?2,???a2?,?z?a?2???(a?,?0?,?0)?a??a?a?

x?2???0，則x?2； ???

?a?

x?2?,??a2?,?z?a?2???(0?,??a?,?a)?a2a2?a(z?2)?0，則z=0.∴G是坐標(biāo)為（a，0，0），即G為AD的中點(diǎn).（3）（只理科做）設(shè)平面DEF的法向量為n?(x?,y?,z)?.??由??n??0?,?(x,?y,?z)???a,?a?,a?

??0?,?得??DE?0???222??n.???(x?,y,?z)?(a,?a,??0)?0?.?a

(x?y?z)?即??0?,?2取x=1，則y=-2，z=1, ???ax?a2

y?0?.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD?,?n〉a3

?

2a?6

?

?, ∴DB與平面DEF所成角大小為

?2?arccos3

（即arcsin3

6）.19．如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，問(wèn)AE等于何值時(shí)，二面角D1?EC?D的大小為

π4

． 解：設(shè)AE?x，以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1所在直線

分別為

x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴???CE??(1，x?2，0)????D?1)，????DD?1C?(0，2，?1?(0，0，1)．

設(shè)平面D1EC的法向量為n?(a，b，c)，??????·D1C?0，?2b?c?0，?n

??由???? ?

a?b(x?2)?0，·CE?0???n

?????

又CC1?(0，0，3)，設(shè)CC1與n1的夾角為?，?????

CC1·n則cos??． 1?

CC1n

令b?1，∴c?2，a?2?x．

∴n?(2?x，1，2)．

?????n·DD1π依題意cos?．

??

4nDD1．

∴

x?2x?2∴AE?2．

????? ∴C到平面AEC1F的距離d?CC1cos??

20．如圖5所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB?4，BC?2，CC1?3，BE?1．

????

（1）求BF；

（2）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離．

解：（1）以D為原點(diǎn)，DAF，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，設(shè)F(0，0，z)． ?????????

由AF?EC1，得(?2，0，z)?(?2，0，2)，∴z?2．

????∴F(0，0，2)BF?(?2，?4，2)．

????

∴BF?

?????·AE?0，?n1

（2）設(shè)n1為平面AEC1F的法向量，n1?(x，y，1)，由?????

·AF?0，??n1，?x?1

?4y?1?0，?得?∴?1

?2x?2?0．y??．???4

第三篇：向量單元練習(xí)

高一數(shù)學(xué)訓(xùn)練訓(xùn)練（18）

1.設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列四個(gè)命題

①(a?b)c?(c?a)b?0；②a?b?a?b；

③(b?c)a?(c?a)b不與c垂直； ④(3a?2b)?(3a?2b)?9a2?4b；

2中，是真命題的有（）

(A)① ②(B)② ③(C)③ ④(D)② ④

2．在四邊形ABCD中，??2，??4?，??5?3，則四邊形ABCD的形狀是（）

A．長(zhǎng)方形B．平行四邊形Ｃ．菱形Ｄ．梯形

????3.已知a?(1,2),b?(?3,3)則a在b上的射影為

4.在?ABC中，設(shè)?a，?b，?c，若a(a?b)?0，則?ABC（）

(A)直角三角形(B)銳角三角形(C)鈍角三角形(D)無(wú)法判定其形狀

????

5、已知a?(2,?1)，b?(?,3),若a與b夾角為鈍角，則λ的取值范圍是_______________

6.如果向量AB?(2,3),AC?(1,k)，確定的?ABC為直角三角形，那么k的值為．

7.已知向量a?(1,2),則與a垂直的單位向量為

8.點(diǎn)O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足條件?????，則點(diǎn)O是△ABC 的（）

A．重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心

9．O是平面上一點(diǎn)，A，B，C是該平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿足??，則直線AP一定通過(guò)△ABC的?+?(?)，λ∈（0，+∞）

（）

A．內(nèi)心B．外心Ｃ．重心Ｄ．垂心

????????????????????10.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D.已知(DB?DC?2DA)?(DB?DC)?0,則三角形的形

狀是

????????????????????????11.設(shè)向量OA =(3,1), OB =(－1,2),向量 OC⊥OB ,BC ∥OA ,????????????????

又 OD + OA =OC ,求 OD.????

12、已知△ABC中，A(2,?1)、B(3,2)、C(?3,?1)，BC邊上的高為AD，（1）求D點(diǎn)和AD

（2）求角平分線AE的長(zhǎng)

13.已知a、b均為非零向量，且a?3b與7a?5b垂直，a?4b與7a?2b垂直，求a與b的夾角．

14．已知|a|=2，|b|=3，a與b夾角為45，求使向量a+?b 與?a+b的夾角是銳角時(shí)，?的取值范圍

????????????

15．在△ABC中，設(shè)BC?a，CA?b，AB?c.若a?b=b?c=c?a成立，求證△ABC是正三角形？????作業(yè)16 :若a??cos?,sin??,b??

cos?,sin??,且ka?b

??

?1 ?用k表示數(shù)量積a?b

????

?求a?b的最小值,并求此時(shí)a與b的夾角?.?

2????????????????

17.四邊形ABCD中,AB=a,BC= b, CD=c,DA=d,?

?

??kb?k?0?

且a·b = b·c= c·d= d ·a, 判斷四邊形ABCD是什么圖形？ 18.如圖，平行四邊形ABCD中，BE=

1BA，BF=BD，求證：E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線。4

5（利用向量證明）

??????

16、已知a、b是兩個(gè)單位向量，且|ka?b|?3|a?kb|（其中k>0），??

（1）a與b能垂直嗎？

???

（2）若a與b夾角為60，求k的值

1．如圖，O，A，B三點(diǎn)不共線，OC?2OA，OD?3OB，設(shè)OA?a，D

?。

（1）試用a,b表示向量OE；（2）設(shè)線段AB，OE，CD的中點(diǎn)分別N，試證明L，M，N三點(diǎn)共線。

12、已知向量p=a+tb，q=c+sd（s、t

為L(zhǎng)，M，是任意

實(shí)數(shù)），其中a=（1，2），b=（3，0），c=（1，-1），d=（3，2），求向量p、q的交點(diǎn)坐標(biāo)．

第四篇：向量小結(jié)與復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)教案第五章平面向量（第23課時(shí)）課題：5.13向量小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）

教學(xué)目的：

1.熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律；2.能根據(jù)向量性質(zhì)特點(diǎn)構(gòu)造向量；

3.熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用；4.熟練向量求解的坐標(biāo)化思路.5.認(rèn)識(shí)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；

6.認(rèn)識(shí)向量的工具性作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用意識(shí)

.教學(xué)重點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用；構(gòu)造向量法的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造向量法的適用題型特點(diǎn)的把握

授課類型：復(fù)習(xí)課

課時(shí)安排：1課時(shí)

教具：多媒體、實(shí)物投影儀

教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)式

針對(duì)向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，通過(guò)非坐標(biāo)形式解法與坐標(biāo)化解法的比較來(lái)加深學(xué)生對(duì)于向量坐標(biāo)表示的認(rèn)識(shí)，同時(shí)要加強(qiáng)學(xué)生選擇建立坐標(biāo)系的意識(shí).對(duì)于“構(gòu)造向量法”的應(yīng)用，本節(jié)例題選擇了本章的重點(diǎn)內(nèi)容數(shù)量積的坐標(biāo)表示，目的要使學(xué)生把握坐標(biāo)表示的數(shù)量積性質(zhì)的形式特點(diǎn)，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的解題技巧，提高解題能力教學(xué)過(guò)程：

一、講解范例：

例1利用向量知識(shí)證明下列各式

22(1)x＋y≥

2xy

22(2)｜x｜＋｜y｜≥2x·y

分析：(1)題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識(shí)求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系.(2)題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求證.證明：(1)設(shè)a＝（x，y），b＝（y，x）則a·b＝xy＋yx＝2

xy

222222｜a｜·｜b｜＝x?y?x?y?x?y

又a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ(其中θ為a，b夾角)

≤｜a｜·｜b

｜

22∴x＋y≥2xy

(2)設(shè)x，y的夾角為θ，則x·y＝｜x｜·｜y｜c(diǎn)osθ≤｜x｜·｜y｜≤

22x?y222 ∴｜x｜＋｜y｜≥2x·

y

22評(píng)述：(1)上述結(jié)論表明，重要不等式a＋b≥2ab，無(wú)論對(duì)于實(shí)數(shù)還是向量，都成立.(2)在(2)題證明過(guò)程中，由于｜x｜，｜y｜是實(shí)數(shù)，故可以應(yīng)用重要不等式求證.例2利用向量知識(shí)證明

22222(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此題形式對(duì)學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識(shí)求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標(biāo)表示產(chǎn)生聯(lián)系，故需要構(gòu)造向量

.證明：設(shè)a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

則a·b＝a1b1＋a2b2，222222｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

∵a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ為a，b夾角)

222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

22222∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

評(píng)述：此題證法難點(diǎn)在于向量的構(gòu)造，若能恰當(dāng)構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論.這一技巧應(yīng)要求學(xué)生注意體會(huì).例3已知ｆ（x）＝?x2

求證：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）

分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對(duì)值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達(dá)到去根號(hào)的目的.也可考慮構(gòu)造向量法，利用向量的性質(zhì)求證.下面給出兩種證法.證法一：∵ｆ（a）＝?a2，ｆ（b）＝?

b2，∴要證明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b

｜ 只需證明｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

2222222即1＋a＋1＋b－2(1?a)(1?b)＜a＋b－2

ab

22即(1?a)(1?b)＞1＋

ab 2222只需證明（(1?a)(1?b)）＞（1＋ab）

即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab

22即a＋b＞2

ab

22∵a＋b≥2ab又a≠

b

22∴a＋b＞2

ab

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜

證法二：設(shè)a＝（1，a），b＝（1，b）

則｜a｜＝?a2，｜b｜＝?b2 222222

a－b＝（O，a－b）

｜a－b｜＝｜a－b

｜

由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中當(dāng)｜a｜＝｜b｜即a＝b時(shí)，取“＝”，而a≠

b

∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b

｜ 即｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.評(píng)述：通過(guò)兩種證法的比較，體會(huì)“構(gòu)造向量法”的特點(diǎn)，加深對(duì)向量工具性作用的認(rèn)識(shí).上述三個(gè)例題，主要通過(guò)“構(gòu)造向量”解決問(wèn)題，要求學(xué)生在體驗(yàn)向量工具性作用的同時(shí)，注意解題方法的靈活性.下面，我們通過(guò)下面的例題分析，讓大家體會(huì)向量坐標(biāo)運(yùn)算的特點(diǎn)，以及“向量坐標(biāo)化”思路在解題中的具體應(yīng)用.例4已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對(duì)角線.求證AC⊥BD.分析：對(duì)于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個(gè)向量垂直的充要條件，而對(duì)于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件.證法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜－｜｜＝

O

∴⊥

證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）

222則由｜AB｜＝｜BC｜得a＋b＝c ∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），22 ＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c－a－b＝O 222

∴⊥即 AC⊥

BD

評(píng)述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，則將給解題帶來(lái)一定的方便.通過(guò)向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運(yùn)算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認(rèn)識(shí)和掌握.例5 若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜.證明：a⊥b

.分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識(shí)之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，也可考慮平面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法.證法一：(根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì))設(shè)＝a，＝b，由已知可得a與b不平行，由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對(duì)角線和相等

.所以平行四邊形OACB是矩形，∴OA⊥OB，∴a⊥

b

證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b

｜

22∴（a＋b）＝（a－b）

2222∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

∴a·b＝O，∴a⊥

b

證法三：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），22｜a＋b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22｜a－b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22∴(x1?x2)?(y1?y2)22＝(x1?x2)?(y1?y2)，化簡(jiǎn)得：x1x2＋y1y2＝O，∴a·b＝O，∴a⊥b.例6 已知向量a是以點(diǎn)A(3，－1)為起點(diǎn)，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點(diǎn)坐標(biāo).分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示a的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程.解：設(shè)a的終點(diǎn)坐標(biāo)為（ｍ，ｎ）

則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

由題意???3(m?3)?4(n?1)?0

22?(m?3)?(n?1)?1 ①

②

由①得：ｎ＝

21（3ｍ－13）代入②得 425ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 19?11?m?,m?,12????55或?解得?

?n??2.?n??8.12?5?5??

∴a的終點(diǎn)坐標(biāo)是（192118,?)或(,?)555

5評(píng)述：向量的坐標(biāo)表示是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起始點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆.上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點(diǎn)知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標(biāo)化思路在解題時(shí)的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)知識(shí)溝通起來(lái).二、課堂練習(xí)：

1.已知a＝（1，O），b＝（1，1），當(dāng)λ為何值時(shí)，a＋λb與a垂直

.解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）

∵（a＋λb）⊥a∴（a＋λb）·a＝

O

∴（1＋λ）＋O·λ＝O∴λ＝－

1即當(dāng)λ＝－1時(shí)，a＋λb與a垂直.2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a與b的夾角為3O°，求｜a＋b｜，｜a－b｜

.2222解：｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b

22＝｜a｜＋2·｜a｜·｜b｜c(diǎn)os3O°＋｜b｜

＝（）＋2×3×2×232＋2＝

32∴｜a＋b｜＝，∵｜a－b｜＝（a－b)＝a－2a·b＋b

22＝｜a｜－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b

＝（3）－2××2×222222＋2＝

∴｜a－b｜＝

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a與b的夾角為6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b.當(dāng)ｍ為何值時(shí)，c與d是否垂直?

解：若c⊥d，則c·d＝

O

∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜c(diǎn)os6O°－15｜b｜＝

O

即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝29.1

44.已知a＋b＝c，a－b＝

d

求證：｜a｜＝｜b｜?c⊥

d

證明：(1)c⊥

d

22（a－b）＝O? a－b＝

O ?（a＋b）

? a2＝b2? ｜a｜＝｜b

｜，(2)｜a｜＝｜b｜

（a－b）＝O? c⊥d

.? a2＝b2? a2－b2＝O?（a＋b）

三、小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，能夠掌握向量坐標(biāo)化的思路求解問(wèn)題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法

.四、課后作業(yè)：

五、課后記及備用資料：

1.三角形內(nèi)角和性質(zhì)

定理：在△ABC中，A、B、C分別為三個(gè)內(nèi)角，則A＋B＋C＝18O°

推論(1)B＝6O°?2B＝A＋C

推論(2)若A＜9O°，則有

sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC

.推論(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.A?BCA?BC?cos,cos?sin,2222推論(4)A?BCA?BCtan?cot,cot?tan.2222sin

2.三角形內(nèi)角和性質(zhì)應(yīng)用舉例

例1△ABC中，若tanB?tanCa?c?,求證：A、B、C成等差數(shù)列

.tanB?tanCa

證明：由條件得sin(B?C)sinA?sinC，?sin(B?C)sinA

由推論(3)得sin（B＋C）＝sinA.∴sin（B－C）＝sinA－sinC

∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sin

C

∵sinC≠O，∴cosB＝1?，∴B＝.2

3故由推論(1)得2B＝A＋C.所以A、B、C成等差數(shù)列

.例2在銳角△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

證明：∵△ABC是銳角三角形，∴A＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinB＞cosC ①

B＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinC＞cosA

②

C＜9O°，根據(jù)推論(2)有sinA＞cosB ③ ∴①＋②＋③得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

.例3已知△ABC，求證(a－b)cotCAB＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝

O.222

證明：根據(jù)正弦定理和推論(4)，有

CA?BA?BA?B＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin，2222

C∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA）2

A同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）； 2

B（c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC).2

CAB三式相加可得（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O.222(a－b)cot

第五篇：會(huì)考復(fù)習(xí)——向量綜合(二)

向量綜合（二）班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

【知識(shí)歸納】

1、利用向量平面幾何問(wèn)題的基本過(guò)程是：（1）選擇合適的基底向量（或建立坐標(biāo)系）；（2）把其它有關(guān)向量用基底向量表示（或求出其它向量的坐標(biāo)）；（3）用向量的平行、共線、垂直等條件得出幾何上的結(jié)論。

2、在△ABC中，三內(nèi)角和A+B+C=，三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是。

3、正弦定理：2R?==

變形公式：a?b?c?

?a2??cosA??2?

4、余弦定理：?b??cosB?

?2?cosC?c???

5、面積S三角形＝＝＝

6、解三角形的幾種類型及步驟：

①已知兩角一邊：。

②已知兩邊及夾角：。

③已知三邊：。

④已知兩邊及一邊對(duì)角：。

7、解應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟：。

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1、在△ABC中，“A?B是“sinA?sinB”的（）

A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件

2、在△ABC

中，c?

A．?

4，則∠C為（）?3B．C．2?

3D．?3或2?

33、在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（）

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

4、在△ABC中，已知B ＝135°，C ＝15°，a ＝5這個(gè)三角形的最大邊長(zhǎng)為

05、在△ABC中,若B=30，AB=23，AC=2，則△ABC的面積S是。

6、三角形三邊成公差為2的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為

32，則此三角形的面積為。

【典型例題】

例

1、已知P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),PECF是矩形(E,F分別是BC,DC上的點(diǎn)),用向量證明:(1)PA=EF(2)PA⊥EF.例

2、△ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別是A、B、C，向量a?（52cos

C2,cos

A?B

2),當(dāng)tanA?tanB?

D

F 時(shí)，求|a|.例

3、在□ABCD中，對(duì)角線AC ＝65，BD ＝，周長(zhǎng)為18，求這個(gè)平行四邊形的面積．

例

4、如圖，某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40分鐘到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東30°；海輪改為北偏東60°的航向再航行80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求PC間的距離。

【綜合訓(xùn)練】

1、如圖.點(diǎn)M是?ABC的重心,則MA?MB?MC為（）

?A．0

B．4MEC．4MDD．4MF2、已知a、b是兩個(gè)非零向量，則a與b不共線是||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|的（）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件D．不充分不必要條件

3、△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=7，BC=5，CA=6，則AB?BC的值為（）A．19

B．－19

C．－18

D．－144、若(a?b?c)(b?c?a)?3bc，且sinA?sinBcosC, 那么?ABC是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

5、在△ABC中，若b＝2asinB，那么∠A的度數(shù)為（）A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°

→→→→

6、設(shè)F1、F2是雙曲線－y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1 ·PF2 =0，則|PF1 |·|PF2 |的值為

A．2B．．4D．8（）

7、已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，2），B（4，0），C（8，6），D（5，8），有下面四個(gè)結(jié)論：① 四邊形ABCD是平行四邊形；② 四邊形ABCD是矩形；③ 四邊形ABCD是菱形；④ 四邊形ABCD是正方形。其中正確的結(jié)論是（）A．①②B．①③C．①②④D．①③④

8、如圖，D、C、B三點(diǎn)在地面同一條直線上，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別為?、?，（???），且|CD|?m，則A點(diǎn)距地面高度AB等于（）

A．

msin?sin?sin(???)mcos?sin?sin(???)

x

2B．

msin?cos?cos(???)mcos?cos?cos(???)

C．D．

B

54C

D9、已知?ABC中，CB?a，CA?b，a?b?0,S?ABC?，則a與b的夾角是（）|a|?3，|b|?5，A．30°B．60°C．150°D．120°

10、已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PA?PB?PC?AB，下列結(jié)論中正確的是 A．P在△ABC內(nèi)部B．P在△ABC外部（）C．P在AB邊所在直線上D．P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)

11、已知△ABC中，A=45°，a=2，b=2，那么∠B為（）

A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°

12、雙曲線

xa

2?

yb

?1的離心率e?2，焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為2，A、B是雙曲線上關(guān)于y

軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA?OB等于是（）A．?4B．?2C．2D．

413、在△ABC中，已知a ＝2，b ＝22，c ＝6＋2．則這個(gè)三角形的最小角的度數(shù)是______ _____。

14、在△ABC中，B ＝30°，AB ＝23，S△ABC＝3，則AC的長(zhǎng)等于。

15、設(shè)2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍。

16、求值：sin 2 20°＋cos 2 80°＋3sin 20°cos 80°＝。

??????

17、如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為DE、BF交點(diǎn)。若AB=a，AD=b，試??????????

以a，b為基底表示DE、BF、CG．

18、在△ABC中，A＝120°，sinB∶sinC＝3︰2，S△ABC＝63，求a．

19、設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且滿足條件sin(B?C)cosC?cos(120?C)sinC,試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由。

20、已知?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，且A?B?C，tanA?tanC?2?

3。

?

（1）求角A,B,C的大?。?）如果BC?43，求?ABC的一邊AC長(zhǎng)及三角形面積。