第一篇：平面向量復(fù)習(xí)課教案

平面向量復(fù)習(xí)課

一．考試要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。

2、掌握向量的加法和減法。

3、掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運算。

5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義。了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度，角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。二．知識梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，單位向量，平行向量（共線向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本運算（1）向量的加減運算

幾何運算：向量的加減法按平行四邊行法則或三角形法則進(jìn)行。坐標(biāo)運算：設(shè)a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2)平面向量的數(shù)量積 ： a?b=abcos?

設(shè)a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a?b=x1x2+y1y2（3）兩個向量平行的充要條件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，則 ∥ 3．兩個非零向量垂直的充要條件是 ⊥

=λ

x1y2-x2y1=0

· =0 設(shè) =(x1,y1)，=(x2,y2)，則 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教學(xué)過程

（一）基礎(chǔ)知識訓(xùn)練

1.下列命題正確的是（）

(A)單位向量都相等(B)任一向量與它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共線向量(D)模為0的向量與任意向量共線 2.已知正六邊形ABCDEF中，若AB?a，F(xiàn)A?b，則BC?（）

(A)12(a?b)(B)12(a?b)(C)a?b(D)12a?b

3.已知向量e1?0,??R，a?e1??e2,b=2e1若向量a與b共線，則下列關(guān)系一定成立是（）

(A)??0(B)e2?0(C)e1∥e2(D)e1∥e2或??0 4.若向量a?(?1,x)，b?(?x,2)共線且方向相同，x=__________。

（二）．典例分析

??例1：（1）設(shè)a與b為非零向量，下列命題：

???? ①若a與b平行，則a?與b?向量的方向相同或相反；

?? ②若AB?a,CD?b, a與b共線，則A、B、C、D四點必在一條直線上；

?????????a??③若a與b共線，則a?b?a?b；④若a與b反向，則a???b

b其中正確命題的個數(shù)有（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

（2）下列結(jié)論正確的是（）

??????????????（A）a?b?ab（B）a?b?a?b（C）若(a?b)c?(c?a)b?0

????????（D）若a與b都是非零向量，則a?b的充要條件為a?b?a?b

錯解：（1）有學(xué)生認(rèn)為①②③④全正確，答案為4；也有學(xué)生認(rèn)為①或④是錯的，答案為2或3；（2）A或B或C。

分析：學(xué)生對向量基礎(chǔ)知識理解不正確、與實數(shù)有關(guān)性質(zhì)運算相混淆，致使選擇錯誤。

??第（1）小題中，正確的應(yīng)該是①④，答案為2。共線向量（a與b共

?線）的充要條件中所存在的常數(shù)?可看作為向量b作伸縮變換成為另一個向量???????a所作的伸縮量；若a，b為非零向量，則共線的a與b滿足a與b同向時??????b??ba?a?，a與b反向時a??a?。

bb第（2）小題中，正確答案為（D）。學(xué)生的錯誤多為與實數(shù)運算相混淆所致。選擇支D同時要求學(xué)生明確向量垂直、兩個向量的數(shù)量積、向量的模之間互化方法，并進(jìn)行正確互化。

例2 設(shè)a、b是兩個不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb

∴ 2=2λ且 k=-λ

∴ k=-1 例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分別為DC、AB中點。AB=a AD=b 用a，b來標(biāo)DC、BC、MN。解：DC= 12AB=12a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b-a

2211MN=DN-DM=12a-b-a= a-b 4411例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a

22解：設(shè)a=(x,y)則 x+y=100（1）

由a∥b得-4x-3y=0（2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8?；?x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8)四． 歸納小結(jié)

1． 向量有代數(shù)與幾何兩種形式，要理解兩者的內(nèi)在聯(lián)系，善于從圖形中發(fā)現(xiàn)向量間的關(guān)系。

2． 對于相等向量，平行向量，共線向量等概念要區(qū)分清楚，特別注意零向量與任何向量共線這一情況。要善于運用待定系數(shù)法。

五．作業(yè)：

1、下列命題正確的是（）

A．若|a|?0，則a?0 B．若|a|?|b|，則a?b或a??b

C．若a||b，則|a|?|b| D．若a?0，則?a?0

2、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(?2,1)、B(?1,3)、C(3,4)，則頂點D的坐標(biāo)為（）

A．(1,2)B．(2,2)C．(2,1)D．(?2,?2)

3、設(shè)|a|?m(m?0)，與a反向的單位向量是b0，則a用b0表示為

A．a(chǎn)?mb0 B．a(chǎn)??mb0 C．a(chǎn)?1mb01m D．a(chǎn)??b0

4、D、E、F分別為?ABC的邊BC、CA、AB上的中點，且BC?a，CA?b，下列命題中正確命題的個數(shù)是（）①AD??12a?b；②BE?a?12b；③CF??12a?12b；

④AD?BE?CF?0。

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

5、化簡：CE?AC?DE?AD=__________。

?????a?ba?3,b?(1,2)

6、已知向量，且，則a的坐標(biāo)_____________。

????2???

27、若a?1,b?2,?a?b??a?0，則a與b的夾角為______________。

???????

8、已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2,其中e1?(1,0),e2?(0,1)????求（1）a?b;a?b??的值；（2）a與b的夾角。

9、如果向量a與b，c的夾角都是60?，而b?c，且|a|?|b|?|c|?1，求(a?2c)?(b?c)的值。

PQBC10、如圖，設(shè)O為?ABC內(nèi)一點，PQ∥BC，且OB?b?t，OA?a，OC?c，試用a，b，c表示OP,OQ．

答案

基礎(chǔ)知識訓(xùn)練：D，C，D，2

達(dá)標(biāo)練習(xí)： D，B，B，D，5，0； 6，（655655，—

355），（—，355）

102217，450，8，(1)a?b=10, a?b=52(2)?=arccos9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb

第二篇：2014高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量

高考數(shù)學(xué)內(nèi)部交流資料【1--4】

2014高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量

一選擇題（每題5分，共50分）

1.向量????﹒化簡后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面給出的關(guān)系式中，正確的個數(shù)是（）

10·=0○2 ·=·○

3?○4○2??5?a?b ????a??

A.0B.1C.2D.3 3.對于非零向量a.b,下列命題中正確的是（）

A.a?b?0 ?a?0或b?0B//?在上的投

影為。C.?????D.a?c?b?c?a?b

4.已知=?5,?2?,=??4,?3?,=?x,y?.若-2+3=.則等于()A.?1,?B.??2?8?

?3??138??134??134?,?C.?,?D.??,?? ?33??33??33?

1AB?()25已知???2,4?,??2,6?,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是（）

A.e1 和e1?e2B.e1—2e2和e2?2e1 C.e1—2e2和4e2?2e1 D.e1?e2和e1—e2 7已知?ABC中AB?AC>0,則?ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定 8已知??1,0?,??1,1?，且?k恰好與垂直，則實數(shù)k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不對

9.已知=??,2?,???3,5?，且與的夾角是鈍角，則?的范圍是（）

A.??10101010B.??C.??D.?? 3333

10.已知,是夾角為60的兩個單位向量，則?2?,??3?的夾角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空題（每題5分,共25分）

11.若a??6,?8?，則與a平行的單位向量是12.若向量,?1?2且與的夾角為13.?

1?

2，???0，則與的夾角為

?

?

?=3

14．設(shè)e1.e2為兩個不共線的向量，若?e1??e2與??2e1?3e2與共線，則??15已知平面內(nèi)三點A.B.C?3?4

?5,則?????的值等于三．解答題（共75分）

16(12分)已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2其中e1??1,0?,e2??0,1?求：（1）?，（2）與夾角的余弦值。

17(12分).已知向量??3,?4?,??2,x?,??2,y?且//,?求：（1）x,y的值；（2的值

??

18.（12分）已知向量??sinx,1?,??cosx,1?（1）當(dāng)a//b時，求cosx?sinxcosx的值；（2）求f(x)=?的最小正周期及最值。

19.（12分）已知??2,?2?4,?3?6（其中,是任意兩個不共線

向量），證明：A.B.C三點共線。

20．（13分）已知?ABC中，A?5,?1?，B??1,7?,C?1,2.?求（1）BC邊上的中線AM的長;（2）cos?ABC的值

21.（14

?3?2,的夾角為60，c?3a?5b,d?ma?3b；（1）當(dāng)m為何值時，c與d垂直？（2）當(dāng)m為何值時，c與d共線？

第三篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進(jìn)行平面向量的幾何表示。

2、讓學(xué)生經(jīng)歷類比方法學(xué)習(xí)向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

3、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受向量的概念方法源于現(xiàn)實世界，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

三．教學(xué)類型：新知課

四、教學(xué)重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學(xué)過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學(xué)到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數(shù)量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習(xí)1 對于下列各量：

①質(zhì)量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5N的力，和一個水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學(xué)科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習(xí)2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結(jié)向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業(yè) 八．教學(xué)后記

第四篇：平面向量教案

平面向量教案

課

件004km.cn

二、復(fù)習(xí)要求

、向量的概念;

2、向量的線性運算:即向量的加減法,實數(shù)與向量的乘積,兩個向量的數(shù)量積等的定義,運算律;

3、向量運算的運用

三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運算過程中,借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。

向量運算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。

2、向量的三種線性運算及運算的三種形式。

向量的加減法,實數(shù)與向量的乘積,兩個向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運算,前兩者的結(jié)果是向量,兩個向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號、坐標(biāo)語言。

主要內(nèi)容列表如下:

運算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言

加法與減法

=

-=

記=,=

則=

-==

實數(shù)與向量

的乘積

=λ

λ∈R記=

則λ=兩個向量

的數(shù)量積

·=||||

cos<,>

記=,=

則·=x1x2y1y2

3、運算律

加法:=,=

實數(shù)與向量的乘積:λ=λλ;=λμ,λ=

兩個向量的數(shù)量積:·=·;·=·=λ,·=··

說明:根據(jù)向量運算律可知,兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則,正確遷移實數(shù)的運算性質(zhì)可以簡化向量的運算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于該平面內(nèi)任一向量,有且只有一對數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱λ1λλ2為,的線性組合。

根據(jù)平面向量基本定理,任一向量與有序數(shù)對一一對應(yīng),稱為在基底{,}下的坐標(biāo),當(dāng)取{,}為單位正交基底{,}時定義為向量的平面直角坐標(biāo)。

向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點在原點時,定義向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo),即若A,則=;當(dāng)向量起點不在原點時,向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo),即若A,B,則=

兩個向量平行的充要條件

符號語言:若∥,≠,則=λ

坐標(biāo)語言為:設(shè)=,=,則∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在這里,實數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時,λ>0;當(dāng)與異向時,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。

兩個向量垂直的充要條件

符號語言:⊥·=0

坐標(biāo)語言:設(shè)=,=,則⊥x1x2y1y2=0

線段定比分點公式

如圖,設(shè)

則定比分點向量式:

定比分點坐標(biāo)式:設(shè)P,P1,P2

則

特例:當(dāng)λ=1時,就得到中點公式: ，實際上,對于起點相同,終點共線三個向量，,總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數(shù)和為1。

平移公式:

①點平移公式,如果點P按=平移至P',則

分別稱,為舊、新坐標(biāo),為平移法則

在點P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中,已知兩組坐標(biāo),一定可以求第三組坐標(biāo)

②圖形平移:設(shè)曲線c:y=f按=平移,則平移后曲線c'對應(yīng)的解析式為y-k=f

當(dāng)h,k中有一個為零時,就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移

利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式,從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理變形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標(biāo)系的引入,體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點。

四、典型例題

例

1、如圖，為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。

分析:

以,為鄰邊,為對角線構(gòu)造平行四邊形

把向量在,方向上進(jìn)行分解,如圖,設(shè)=λ,=μ,λ>0,μ>0

則=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc邊上的高為AD,求點D和向量坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

設(shè)D,則=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求與向量=,-1)和=夾角相等,且模為的向量的坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

法一:設(shè)=,則·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:從分析形的特征著手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB為等腰直角三角形,如圖

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c為AB中點

∴c

說明:數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。

例

4、在△oAB的邊oA、oB上分別取點m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設(shè)線段AN與Bm交于點P,記=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共線

∴記=s

∴①

同理,記

∴=②

∵,不共線

∴由①②得解之得:

∴

說明:從點共線轉(zhuǎn)化為向量共線,進(jìn)而引入?yún)?shù)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s,t的方程。

例

5、已知長方形ABcD,AB=3,Bc=2,E為Bc中點,P為AB上一點

利用向量知識判定點P在什么位置時,∠PED=450;

若∠PED=450,求證:P、D、c、E四點共圓。

分析:

利用坐標(biāo)系可以確定點P位置

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系

則c,D,E

設(shè)P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴點P為靠近點A的AB三等分處

當(dāng)∠PED=450時,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四點共圓

說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標(biāo)系;②設(shè)點的坐標(biāo);③求出有關(guān)向量的坐標(biāo);④利用向量的運算計算結(jié)果;⑤得到結(jié)論。

同步練習(xí)

選擇題、平面內(nèi)三點A,B,c,若∥,則x的值為:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c點滿足,連Dc并延長至E,使||=||,則點E坐標(biāo)為:

A、B、c、D、或

2、點沿向量平移到,則點沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,則此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等邊三角形D、以上均有可能

5、設(shè)，是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:

①-=0

②||-||<|-|

③-不與垂直

④·=9||2-4|2中，真命題是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,則∠c度數(shù)是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點P在

A、∠AoB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上

c、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上

8、正方形PQRS對角線交點為m,坐標(biāo)原點o不在正方形內(nèi)部,且=,=,則=

A、B、c、D、填空題

9、已知{,|是平面上一個基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。

1、設(shè),是兩個單位向量,它們夾角為600，則·=____________。

2、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移,得到函數(shù)___________的圖象。

解答題

3、設(shè)=,=,⊥,∥,試求滿足=的的坐

14、若=,-=,求、及與夾角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夾角為450,求當(dāng)向量λ與λ夾角為銳角時,λ的取值范圍。

參考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 課

件004km.cn

A

第五篇：平面向量教案

平面向量的綜合應(yīng)用 執(zhí)教人： 執(zhí)教人：易燕子
考綱要求： “從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點設(shè)計試題，使 考綱要求：
對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到必要的深度”。向量以其獨特的數(shù)形結(jié)合和坐標(biāo)運算，成為銜接代數(shù)與幾何的最佳紐帶，故以向量知識與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、不等式等多項內(nèi)容的交匯作為設(shè)計綜合性試題考查考生的綜合能力，是高考的一 個熱點，也是重點。教學(xué)目標(biāo)（1）進(jìn)一步理解平面向量的有關(guān)知識； 教學(xué)目標(biāo)：（2）了解在平面向量與其他知識交匯點設(shè)計試題的幾種形式；（3）能綜合運用平面向量和相關(guān)知識解決問題。教學(xué)重點： 教學(xué)重點：平面向量與其他知識的相互聯(lián)系。教學(xué)難點： 教學(xué)難點：平面向量與其他知識的相互轉(zhuǎn)化。

評述：通過平面向量的運算得出二次不等式，利用恒成立解決。

“ 訓(xùn)練：（2010 北京）a、b 為非零向量，a ⊥ b ”是“函數(shù) f(x)=(xa + b)? xb ? a)為一次(函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 四．與三角知識的交匯 例 4．（2009 湖北）已知向量 a =(cos α , sin α), b =(cos β , sin β), c =(? 1,0)（1）求向量 b + c 的長度的最大值；（2）設(shè) a =

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π

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，且 a ⊥(b + c)，求 cos β 的值.

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教學(xué)設(shè)計： 教學(xué)設(shè)計：
一．與集合的交匯 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a =(1, 0)+ m(0,1), m ∈ R}，Q = {b | b =(1,1)+ n(?1,1), n ∈ R} 是兩個向量集合，則 P I Q = A．〔1，1〕 ｛ ｝(B.｛ 〔-1，1〕 ｝)C.｛ 〔1，0〕 ｝

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評述：以平面向量(三角函數(shù))為載體，與三角函數(shù)(平面向量)的交叉與綜合，是高考命題的一個 重要考點，其解法是利用向量的數(shù)量積和模的概念等脫去向量的“外衣”，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問 題，即可解決。訓(xùn)練：（2009 江蘇）設(shè)向量 a =(4 cos α ,sin α), b =(sin β , 4 cos β), c =(cos β , ?4 sin β)（1）若 a 與 b ? 2c 垂直，求 tan(α + β)的值；（2）求 | b + c | 的最大值；

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D.｛ 〔0，1〕 ｝

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r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0，且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA, 則點 O，N，P 依 次是 ?ABC 的()
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 內(nèi)心 D.外心 重心 內(nèi)心

變式：若將 Q 集合中的 n 改為 m，結(jié)果又如何呢？ 評述：借助平面向量的坐標(biāo)運算，把集合的交集運算轉(zhuǎn)化為向量相等，考查了方程思想和等價 轉(zhuǎn)化的思想。二．與平面幾何的交匯 例 2.（2009 寧夏海南）已知 O，N，P 在 ?ABC 所在平面內(nèi)，且

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