第一篇：29-第二章 平面向量小結(jié)與復習

第二章平面向量章末復習（第2課時）

教學目標

重點：平面向量數(shù)量積的定義及其坐標表示；數(shù)量積的幾何意義、向量法在平面幾何中的應用． 難點：用向量法解決平面幾何問題時，如何建立平面幾何與平面向量之間的聯(lián)系．

能力點：在運用向量方法解決平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題過程中，進一步發(fā)展學生的運

算能力和解決實際問題的能力．

教育點：提高學生的認知水平，為學生塑造良好的數(shù)學認識結(jié)構(gòu)．

自主探究點：例題及變式的解題思路的探尋．

易錯點：(1)忽視兩向量垂直的概念是針對兩非零向量的而致錯；

(2)對兩向量夾角的定義理解不清致錯；

(3)把數(shù)的乘法的消去律運用在向量的數(shù)量積運算上而致錯；

(4)混淆點的坐標與向量的坐標致錯．

學法與教具

1．學法：講授法、討論法．2．教具：投影儀．

二、【知識梳理】

1．平面向量的數(shù)量積

(1)數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量abcos?叫做a與b的數(shù)量積(inner product)（或內(nèi)積），記作a?b，即a?b=abcos?，其中?是a與b的夾角．

(2)數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長度a與b在a方向上的投影bcos?的乘積，或等于b的長度b與a在b方向上的投影acos?的乘積．

(3)數(shù)量積的性質(zhì)

b?0． ①a?b?a?

②當a與b同向時，a?b=ab；當a與b反向時，a?b=?ab；特別地，a?a=a，所以

2a記作a2． a?a?

③a?b?ab

(4)數(shù)量積的運算律

已知向量a、b、c和實數(shù)?，則：

b?b?a； ①a?

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)； ③(a?b)?c?a?c?b?c．(5)數(shù)量積的坐標表示

已知兩個非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?x1x2?y1y2． 由此可得：

2①a

?x1?y1或a

②a?b?x1x2?y1y2?0； ③設?為a、b的夾角，則cos??

a?b

?

|a||b|2．平面幾何中的向量方法

用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．

在上述步驟中，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解決問題的關(guān)鍵一步，轉(zhuǎn)化方法大致有兩種思路：第一，選取恰當?shù)幕蛄?；第二，建立坐標系?/p>

3．向量法在物理中的應用

向量有豐富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的數(shù)量積的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解決一些物理問題．向量在物理中的應用，實際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象．用向量法解決物理問題時，應作出相應的圖形，以幫助我們建立數(shù)學模型．

三、【范例導航】

????????

例1（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．設點P，Q滿足 AP??AB，????????????????

CP??2，則?? AQ??1???AC,??R.若BQ?

????????????????????2????

2【分析】由題意可知AB?AC?0，根據(jù)BQ?CP?(??1)AC??AB??2，解方程可以求得?的值.????????????

??

c?0，【解答】如圖，設AB?b，AC?c，則b?1，c?2，b?

????????????????????????????

又BQ?BA?AQ??b?(1??)c，CP?CA?AP??c??b，????????由BQ?CP??2得，[??(1??)]?(???)?(??1??4(??1)????2，即3??2,所以??

2.3【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的運算，屬于中檔題.??????2

變式訓練1(2011·江蘇卷10)已知e1,e2是夾角為?的兩個單位向量，a?e1?2e2,b?ke1?e2, 若

?

?

??

a?b?0，則k的值為

答案：

4??

????????2?????解析：a?b??e1?2e2??ke?e?ke?1?2ke?e?2e?k?1?2kcos?0，??122???12?

13????

解得k?

.4

例2(2012·江蘇9)如圖，在矩形ABCD

中，AB?，BC?2，點E為BC的中點，點F在邊CD

上，若AB?AFAE?BF的值是．【分析】根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的數(shù)量積，注意應用垂直的向量的數(shù)量積等于0，得到結(jié)果.????????????????

????????????

【解答】因為AF?AD?DF，?????????????????????????????????????????????

AB?AF?AB?AD?DF?AB?AD?AB?DF?AB?DF??

?

?

????

????DF?1CF?1.所以，????????????????????????????????????????AE?BF?AB?BE?BC?CF?AB?CF?BE?BC1)?1?2? 所以

???

?

【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算.解題的關(guān)鍵是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.變式訓練2(2012·湖南文15)如圖4，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，AP?3且AP?AC=

答案：18

????????

????????????解析：設AC?BD?O，則AC?2AB?BO，??

所以，????????????????????????????????????????????????????????????2

AP?AC?AP?2AB?BO?2AP?AB?2AP?BO?2AP?AB?2AP?AP?PB?2AP?18

????

例3.證明：對于任意的a1、a2、b1、b2?R，恒有不等式?a1b1?a2b2??a1?a

2?

??b

12?b2?．

【分析】此題形式對學生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關(guān)

【解答】設a?(a1,a2)，b

?(b1,b2),222

則a?，b?b1?b2 b?a1b1?a2b2，a?a12?a2

因為a?b?ab，b?a所以a?

b

所以?a1b1?a2b2??a1?a2

?

??b

2?b2?.【點評】

變式訓練3.如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A(cos?,sin?)，B(cos?,sin?)，試用A、B兩點的坐標表示?AOB的余弦值.答案：cos?AOB?cos?cos??sin?sin?

解析：因為A(cos?,sin?),B(cos?,sin?),????????

所以OA?(cos?,sin?)，OB?(cos?,sin?)

????????OA?OB

那么，cos?AOB??cos?cos??sin?sin?.OAOB

四、【解法小結(jié)】

1．準確把握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

(1)a?b?a? b?0?x1x2?y1y2?0，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進行有關(guān)計算；

a=a2?a

與a?(2)a?

轉(zhuǎn)化．

(3)cos??

?a?b

a、b的夾角，也可用來求?

|a||b|直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式

用于求參數(shù)的值或范圍．

2．向量解決幾何問題就是把點、線、平面等幾何元素直接歸納為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算的結(jié)果 翻譯成關(guān)于點、線、平面的相應結(jié)果，可以簡單表述為“形到向量?向量的運算?數(shù)到形”.3．明確和掌握用向量研究物理問題的相關(guān)知識：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加減法，運動的疊加亦用到向量的合成；(2)動量mv是數(shù)乘向量；

(3)功即是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.五、【布置作業(yè)】

必做題： 1．（2012·遼寧卷）已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b|D．a(chǎn)＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四邊形ABCD中，∠AAB、AD的長分別為2、1.若M、N

分別是邊

→→|BM||CN|→→

BC、CD，則AM·AN的取值范圍是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則DE·CB的值為__ __.DE·DC的最大值為________．

????????????????????????4．在邊長為1的正三角形ABC中，則AB?BC?BC?CA?CA?AB?________．.必做題答案：

1．因為|a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，答案選B.點評：本小題主要考查向量的數(shù)量積以及性質(zhì)．解題的突破口為對于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，則DN＝(1－n)DC，在平行四邊形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函數(shù)f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是單調(diào)遞減的，其值域為[2,5]，所以AM·AN的取值范圍是[2,5]． →→3．以D為坐標原點，DC與DA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因為DC＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因為1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.????????????????????????

CA?CA?AB= 4．AB?BC?BC?

????????????????????????3?1??1??1?00

ABBCcos120?BCCAcos120?CAABcos1200??????????????

2?2??2??2?

點評：利用數(shù)量積的定義求解時，務必要注意兩向量夾角的大小.兩向量夾角的定義前提是兩向量的起

????????????????????????00

點要重合，對于本題要特別注意：向量AB與BC,BC與CA,CA與AB的夾角不是60，而是120.選做題：

???

1．已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標.2．如圖，在?ABC中，AD?DB，AE?EC，CD與BE交于F，證明：CF?2FD.選做題答案：

1.設a的終點坐標為(m,n),則a＝(m,n),

??

??3(m?3)?4(n?1)?0由題意? 2

2?(m?3)?(n?1)?

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

419?11?m?,m?,???192118?15?2

5或?解得?∴a的終點坐標是（,?)或(,?)

5555?n??2.?n??8.12?5?5??

點評：向量的坐標表示是終點坐標減去起始點的坐標，所以向量的坐標與點的坐標既有聯(lián)系又有區(qū)別，2.本題選自《學生自主學習叢書·數(shù)學》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮點是：(1)用結(jié)構(gòu)圖呈現(xiàn)本章知識，直觀簡明；(2)知識梳理部分十分詳實且分類明晰；(3)例題具有典型性且解法總結(jié)到位，變式練習有效，講練結(jié)合教學效果明顯；(4)在作業(yè)的布置上，選擇了部分高考題，對學生理解、鞏固知識能夠起到良好的作用．

2．本教案的弱項是：(1)有關(guān)平面向量數(shù)量積的應用涉及題目較少，如夾角的計算、模的計算等；(2)向量法在物理中的應用沒有涉及到，有待于進一步補充．

第二篇：向量小結(jié)與復習

高中數(shù)學教案第五章平面向量（第23課時）課題：5.13向量小結(jié)與復習（2）

教學目的：

1.熟悉向量的性質(zhì)及運算律；2.能根據(jù)向量性質(zhì)特點構(gòu)造向量；

3.熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應用；4.熟練向量求解的坐標化思路.5.認識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；

6.認識向量的工具性作用，加強數(shù)學在實際生活中的應用意識

.教學重點：向量的坐標表示的應用；構(gòu)造向量法的應用.教學難點：構(gòu)造向量法的適用題型特點的把握

授課類型：復習課

課時安排：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學方法:啟發(fā)引導式

針對向量坐標表示的應用，通過非坐標形式解法與坐標化解法的比較來加深學生對于向量坐標表示的認識，同時要加強學生選擇建立坐標系的意識.對于“構(gòu)造向量法”的應用，本節(jié)例題選擇了本章的重點內(nèi)容數(shù)量積的坐標表示，目的要使學生把握坐標表示的數(shù)量積性質(zhì)的形式特點，同時增強學生的解題技巧，提高解題能力教學過程：

一、講解范例：

例1利用向量知識證明下列各式

22(1)x＋y≥

2xy

22(2)｜x｜＋｜y｜≥2x·y

分析：(1)題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系.(2)題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求證.證明：(1)設a＝（x，y），b＝（y，x）則a·b＝xy＋yx＝2

xy

222222｜a｜·｜b｜＝x?y?x?y?x?y

又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ為a，b夾角)

≤｜a｜·｜b

｜

22∴x＋y≥2xy

(2)設x，y的夾角為θ，則x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤

22x?y222 ∴｜x｜＋｜y｜≥2x·

y

22評述：(1)上述結(jié)論表明，重要不等式a＋b≥2ab，無論對于實數(shù)還是向量，都成立.(2)在(2)題證明過程中，由于｜x｜，｜y｜是實數(shù)，故可以應用重要不等式求證.例2利用向量知識證明

22222(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此題形式對學生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標表示產(chǎn)生聯(lián)系，故需要構(gòu)造向量

.證明：設a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

則a·b＝a1b1＋a2b2，222222｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ為a，b夾角)

222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

22222∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

評述：此題證法難點在于向量的構(gòu)造，若能恰當構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論.這一技巧應要求學生注意體會.例3已知ｆ（x）＝?x2

求證：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）

分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達到去根號的目的.也可考慮構(gòu)造向量法，利用向量的性質(zhì)求證.下面給出兩種證法.證法一：∵ｆ（a）＝?a2，ｆ（b）＝?

b2，∴要證明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b

｜ 只需證明｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

2222222即1＋a＋1＋b－2(1?a)(1?b)＜a＋b－2

ab

22即(1?a)(1?b)＞1＋

ab 2222只需證明（(1?a)(1?b)）＞（1＋ab）

即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab

22即a＋b＞2

ab

22∵a＋b≥2ab又a≠

b

22∴a＋b＞2

ab

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜

證法二：設a＝（1，a），b＝（1，b）

則｜a｜＝?a2，｜b｜＝?b2 222222

a－b＝（O，a－b）

｜a－b｜＝｜a－b

｜

由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中當｜a｜＝｜b｜即a＝b時，取“＝”，而a≠

b

∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b

｜ 即｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.評述：通過兩種證法的比較，體會“構(gòu)造向量法”的特點，加深對向量工具性作用的認識.上述三個例題，主要通過“構(gòu)造向量”解決問題，要求學生在體驗向量工具性作用的同時，注意解題方法的靈活性.下面，我們通過下面的例題分析，讓大家體會向量坐標運算的特點，以及“向量坐標化”思路在解題中的具體應用.例4已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線.求證AC⊥BD.分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標形式的充要條件.證法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜－｜｜＝

O

∴⊥

證法二：以OC所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標系，設B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）

222則由｜AB｜＝｜BC｜得a＋b＝c ∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），22 ＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c－a－b＝O 222

∴⊥即 AC⊥

BD

評述：如能熟練應用向量的坐標表示及運算，則將給解題帶來一定的方便.通過向量的坐標表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學生對于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認識和掌握.例5 若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜.證明：a⊥b

.分析：此題在綜合學習向量知識之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應用，也可考慮平面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法.證法一：(根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì))設＝a，＝b，由已知可得a與b不平行，由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線和相等

.所以平行四邊形OACB是矩形，∴OA⊥OB，∴a⊥

b

證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b

｜

22∴（a＋b）＝（a－b）

2222∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

∴a·b＝O，∴a⊥

b

證法三：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），22｜a＋b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22｜a－b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22∴(x1?x2)?(y1?y2)22＝(x1?x2)?(y1?y2)，化簡得：x1x2＋y1y2＝O，∴a·b＝O，∴a⊥b.例6 已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標.分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設a的終點坐標，然后表示a的坐標，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程.解：設a的終點坐標為（ｍ，ｎ）

則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

由題意???3(m?3)?4(n?1)?0

22?(m?3)?(n?1)?1 ①

②

由①得：ｎ＝

21（3ｍ－13）代入②得 425ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 19?11?m?,m?,12????55或?解得?

?n??2.?n??8.12?5?5??

∴a的終點坐標是（192118,?)或(,?)555

5評述：向量的坐標表示是終點坐標減去起始點的坐標，所以向量的坐標與點的坐標既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆.上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應用，在突出本章這一重點知識的同時，應引導學生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標化思路在解題時的應用，將幾何與代數(shù)知識溝通起來.二、課堂練習：

1.已知a＝（1，O），b＝（1，1），當λ為何值時，a＋λb與a垂直

.解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）

∵（a＋λb）⊥a∴（a＋λb）·a＝

O

∴（1＋λ）＋O·λ＝O∴λ＝－

1即當λ＝－1時，a＋λb與a垂直.2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a與b的夾角為3O°，求｜a＋b｜，｜a－b｜

.2222解：｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b

22＝｜a｜＋2·｜a｜·｜b｜cos3O°＋｜b｜

＝（）＋2×3×2×232＋2＝

32∴｜a＋b｜＝，∵｜a－b｜＝（a－b)＝a－2a·b＋b

22＝｜a｜－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b

＝（3）－2××2×222222＋2＝

∴｜a－b｜＝

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a與b的夾角為6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b.當ｍ為何值時，c與d是否垂直?

解：若c⊥d，則c·d＝

O

∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜cos6O°－15｜b｜＝

O

即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝29.1

44.已知a＋b＝c，a－b＝

d

求證：｜a｜＝｜b｜?c⊥

d

證明：(1)c⊥

d

22（a－b）＝O? a－b＝

O ?（a＋b）

? a2＝b2? ｜a｜＝｜b

｜，(2)｜a｜＝｜b｜

（a－b）＝O? c⊥d

.? a2＝b2? a2－b2＝O?（a＋b）

三、小結(jié)通過本節(jié)學習，要求大家進一步熟悉向量的性質(zhì)及運算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應用，能夠掌握向量坐標化的思路求解問題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法

.四、課后作業(yè)：

五、課后記及備用資料：

1.三角形內(nèi)角和性質(zhì)

定理：在△ABC中，A、B、C分別為三個內(nèi)角，則A＋B＋C＝18O°

推論(1)B＝6O°?2B＝A＋C

推論(2)若A＜9O°，則有

sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC

.推論(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.A?BCA?BC?cos,cos?sin,2222推論(4)A?BCA?BCtan?cot,cot?tan.2222sin

2.三角形內(nèi)角和性質(zhì)應用舉例

例1△ABC中，若tanB?tanCa?c?,求證：A、B、C成等差數(shù)列

.tanB?tanCa

證明：由條件得sin(B?C)sinA?sinC，?sin(B?C)sinA

由推論(3)得sin（B＋C）＝sinA.∴sin（B－C）＝sinA－sinC

∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sin

C

∵sinC≠O，∴cosB＝1?，∴B＝.2

3故由推論(1)得2B＝A＋C.所以A、B、C成等差數(shù)列

.例2在銳角△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

證明：∵△ABC是銳角三角形，∴A＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinB＞cosC ①

B＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinC＞cosA

②

C＜9O°，根據(jù)推論(2)有sinA＞cosB ③ ∴①＋②＋③得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

.例3已知△ABC，求證(a－b)cotCAB＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝

O.222

證明：根據(jù)正弦定理和推論(4)，有

CA?BA?BA?B＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin，2222

C∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA）2

A同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）； 2

B（c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC).2

CAB三式相加可得（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O.222(a－b)cot

第三篇：2014高考數(shù)學復習：平面向量

高考數(shù)學內(nèi)部交流資料【1--4】

2014高考數(shù)學復習：平面向量

一選擇題（每題5分，共50分）

1.向量????﹒化簡后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面給出的關(guān)系式中，正確的個數(shù)是（）

10·=0○2 ·=·○

3?○4○2??5?a?b ????a??

A.0B.1C.2D.3 3.對于非零向量a.b,下列命題中正確的是（）

A.a?b?0 ?a?0或b?0B//?在上的投

影為。C.?????D.a?c?b?c?a?b

4.已知=?5,?2?,=??4,?3?,=?x,y?.若-2+3=.則等于()A.?1,?B.??2?8?

?3??138??134??134?,?C.?,?D.??,?? ?33??33??33?

1AB?()25已知???2,4?,??2,6?,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是（）

A.e1 和e1?e2B.e1—2e2和e2?2e1 C.e1—2e2和4e2?2e1 D.e1?e2和e1—e2 7已知?ABC中AB?AC>0,則?ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定 8已知??1,0?,??1,1?，且?k恰好與垂直，則實數(shù)k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不對

9.已知=??,2?,???3,5?，且與的夾角是鈍角，則?的范圍是（）

A.??10101010B.??C.??D.?? 3333

10.已知,是夾角為60的兩個單位向量，則?2?,??3?的夾角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空題（每題5分,共25分）

11.若a??6,?8?，則與a平行的單位向量是12.若向量,?1?2且與的夾角為13.?

1?

2，???0，則與的夾角為

?

?

?=3

14．設e1.e2為兩個不共線的向量，若?e1??e2與??2e1?3e2與共線，則??15已知平面內(nèi)三點A.B.C?3?4

?5,則?????的值等于三．解答題（共75分）

16(12分)已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2其中e1??1,0?,e2??0,1?求：（1）?，（2）與夾角的余弦值。

17(12分).已知向量??3,?4?,??2,x?,??2,y?且//,?求：（1）x,y的值；（2的值

??

18.（12分）已知向量??sinx,1?,??cosx,1?（1）當a//b時，求cosx?sinxcosx的值；（2）求f(x)=?的最小正周期及最值。

19.（12分）已知??2,?2?4,?3?6（其中,是任意兩個不共線

向量），證明：A.B.C三點共線。

20．（13分）已知?ABC中，A?5,?1?，B??1,7?,C?1,2.?求（1）BC邊上的中線AM的長;（2）cos?ABC的值

21.（14

?3?2,的夾角為60，c?3a?5b,d?ma?3b；（1）當m為何值時，c與d垂直？（2）當m為何值時，c與d共線？

第四篇：平面向量復習課教案

平面向量復習課

一．考試要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。

2、掌握向量的加法和減法。

3、掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。

5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義。了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度，角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。二．知識梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，單位向量，平行向量（共線向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本運算（1）向量的加減運算

幾何運算：向量的加減法按平行四邊行法則或三角形法則進行。坐標運算：設a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2)平面向量的數(shù)量積 ： a?b=abcos?

設a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a?b=x1x2+y1y2（3）兩個向量平行的充要條件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，則 ∥ 3．兩個非零向量垂直的充要條件是 ⊥

=λ

x1y2-x2y1=0

· =0 設 =(x1,y1)，=(x2,y2)，則 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教學過程

（一）基礎知識訓練

1.下列命題正確的是（）

(A)單位向量都相等(B)任一向量與它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共線向量(D)模為0的向量與任意向量共線 2.已知正六邊形ABCDEF中，若AB?a，F(xiàn)A?b，則BC?（）

(A)12(a?b)(B)12(a?b)(C)a?b(D)12a?b

3.已知向量e1?0,??R，a?e1??e2,b=2e1若向量a與b共線，則下列關(guān)系一定成立是（）

(A)??0(B)e2?0(C)e1∥e2(D)e1∥e2或??0 4.若向量a?(?1,x)，b?(?x,2)共線且方向相同，x=__________。

（二）．典例分析

??例1：（1）設a與b為非零向量，下列命題：

???? ①若a與b平行，則a?與b?向量的方向相同或相反；

?? ②若AB?a,CD?b, a與b共線，則A、B、C、D四點必在一條直線上；

?????????a??③若a與b共線，則a?b?a?b；④若a與b反向，則a???b

b其中正確命題的個數(shù)有（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

（2）下列結(jié)論正確的是（）

??????????????（A）a?b?ab（B）a?b?a?b（C）若(a?b)c?(c?a)b?0

????????（D）若a與b都是非零向量，則a?b的充要條件為a?b?a?b

錯解：（1）有學生認為①②③④全正確，答案為4；也有學生認為①或④是錯的，答案為2或3；（2）A或B或C。

分析：學生對向量基礎知識理解不正確、與實數(shù)有關(guān)性質(zhì)運算相混淆，致使選擇錯誤。

??第（1）小題中，正確的應該是①④，答案為2。共線向量（a與b共

?線）的充要條件中所存在的常數(shù)?可看作為向量b作伸縮變換成為另一個向量???????a所作的伸縮量；若a，b為非零向量，則共線的a與b滿足a與b同向時??????b??ba?a?，a與b反向時a??a?。

bb第（2）小題中，正確答案為（D）。學生的錯誤多為與實數(shù)運算相混淆所致。選擇支D同時要求學生明確向量垂直、兩個向量的數(shù)量積、向量的模之間互化方法，并進行正確互化。

例2 設a、b是兩個不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb

∴ 2=2λ且 k=-λ

∴ k=-1 例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分別為DC、AB中點。AB=a AD=b 用a，b來標DC、BC、MN。解：DC= 12AB=12a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b-a

2211MN=DN-DM=12a-b-a= a-b 4411例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a

22解：設a=(x,y)則 x+y=100（1）

由a∥b得-4x-3y=0（2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8?；?x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8)四． 歸納小結(jié)

1． 向量有代數(shù)與幾何兩種形式，要理解兩者的內(nèi)在聯(lián)系，善于從圖形中發(fā)現(xiàn)向量間的關(guān)系。

2． 對于相等向量，平行向量，共線向量等概念要區(qū)分清楚，特別注意零向量與任何向量共線這一情況。要善于運用待定系數(shù)法。

五．作業(yè)：

1、下列命題正確的是（）

A．若|a|?0，則a?0 B．若|a|?|b|，則a?b或a??b

C．若a||b，則|a|?|b| D．若a?0，則?a?0

2、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(?2,1)、B(?1,3)、C(3,4)，則頂點D的坐標為（）

A．(1,2)B．(2,2)C．(2,1)D．(?2,?2)

3、設|a|?m(m?0)，與a反向的單位向量是b0，則a用b0表示為

A．a(chǎn)?mb0 B．a(chǎn)??mb0 C．a(chǎn)?1mb01m D．a(chǎn)??b0

4、D、E、F分別為?ABC的邊BC、CA、AB上的中點，且BC?a，CA?b，下列命題中正確命題的個數(shù)是（）①AD??12a?b；②BE?a?12b；③CF??12a?12b；

④AD?BE?CF?0。

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

5、化簡：CE?AC?DE?AD=__________。

?????a?ba?3,b?(1,2)

6、已知向量，且，則a的坐標_____________。

????2???

27、若a?1,b?2,?a?b??a?0，則a與b的夾角為______________。

???????

8、已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2,其中e1?(1,0),e2?(0,1)????求（1）a?b;a?b??的值；（2）a與b的夾角。

9、如果向量a與b，c的夾角都是60?，而b?c，且|a|?|b|?|c|?1，求(a?2c)?(b?c)的值。

PQBC10、如圖，設O為?ABC內(nèi)一點，PQ∥BC，且OB?b?t，OA?a，OC?c，試用a，b，c表示OP,OQ．

答案

基礎知識訓練：D，C，D，2

達標練習： D，B，B，D，5，0； 6，（655655，—

355），（—，355）

102217，450，8，(1)a?b=10, a?b=52(2)?=arccos9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb

第五篇：平面向量復習題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點問題。題型多為選擇或填空題，數(shù)量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學數(shù)學中的一個重要工具在三角、函數(shù)、導數(shù)、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現(xiàn)在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運算性質(zhì)、考查向量幾何意義的應用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯(lián)系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應用”試題進一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發(fā)現(xiàn)、去研究、去創(chuàng)新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發(fā)揮每一道題目的價值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動探索：條件和結(jié)論換一種說法如何？變換一個條件如何？反過來又會怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應萬變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．

5．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式．

二、高考熱點分析

在高考試題中，對平面向量的考查主要有三個方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質(zhì)和運算法則，理解和運用其直觀的幾何意義，并能正確地進行計算。其二考查向量坐標表示，向量的線性運算。

其三是和其他知識結(jié)合在一起，在知識的交匯點設計試題，考查向量與學科知識間綜合運用能力。

數(shù)學高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網(wǎng)絡的交匯點設計試題．由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，使它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項知識的媒介．因此，平面向量與其他知識的結(jié)合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點內(nèi)容．

附Ⅰ、平面向量知識結(jié)構(gòu)表

1.考查平面向量的基本概念和運算律

1此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關(guān)概念與性質(zhì)，要求考生深刻理解平面向量的相關(guān)概念，能熟練進行向量的各種運算，熟悉常用公式及結(jié)論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．a(chǎn)rccos C．a(chǎn)rccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a(chǎn)⊥e ???B．a(chǎn)⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標運算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標系xOy中,已知點A(0,1)和點B(－3,4)，若點C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標系內(nèi)有三個定點A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動點P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的結(jié)合當平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎上，可以設計出有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數(shù)

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數(shù)g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時，求函數(shù)

（1）求k,b的值；（2）當x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數(shù)量積、夾角等公式和相互知識為紐帶，促成與不等式知識的相互遷移，有效地考查平面向量有關(guān)知識、不等式的性質(zhì)、不等式的解法、不等式的應用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點。

平面幾何與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題。主要包括以下三種題型：

1、運用向量共線的充要條件處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題

運用向量共線的充要條件來處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點公式研究這類問

題要簡捷的多。

2、運用向量的數(shù)量積處理解幾中有關(guān)長度、角度、垂直等問題

運用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)的長度、角度、垂直等幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計算”出所要求的結(jié)果。

3、運用平面向量綜合知識，探求動點軌跡方程，還可再進一步探求曲線的性質(zhì)。

1．(江西卷)以下同個關(guān)于圓錐曲線的命題中 ①設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|

PA|?|PB|?k，則動點P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動點P的軌跡為橢圓； 2

②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點.④雙曲線

25935

其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）

???????????

2．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A(3,1),B(?1,3)，若點C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個定點C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·