第一篇：淺析中學數(shù)學軌跡問題解法

龍源期刊網(wǎng) http://.cn

淺析中學數(shù)學軌跡問題解法

作者：姜陳波

來源：《科技創(chuàng)新導報》2012年第04期

目前我們中學數(shù)學教材中主要有代數(shù)、幾何和微積分這三塊內(nèi)容，其中幾何對于絕大多數(shù)學生來說最為復雜，特別是解析集合中的圓錐曲線問題，困擾著許多學生。其最大的原因就是學生對于解題方法的不熟悉。那么下文，就對中學數(shù)學圓錐曲線中最典型的軌跡問題解法做一下分析。

第二篇：探究動點軌跡問題

探究動點軌跡問題（2）

福州時代中學戴煒

一、實驗內(nèi)容 探究圓錐曲線中兩直線交點的軌跡問題

掌握利用超級畫板進行動態(tài)探究的常用方法

二、設計理念

本講意在通過具體任務，驅(qū)動學生進行主動探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律性質(zhì)，并能總結(jié)出一般結(jié)論。最后能體會利用超級畫板探究動態(tài)幾何問題的一般方法，并將其應用到更加廣泛的探究過程中去。

三、實驗過程

1.探究問題（軌跡為定點型）x2

?y2?1，過橢圓的右焦點F作與x軸不垂直的直線L，交橢圓于已知橢圓方程為5

A、B兩點，C是點A關于x軸的對稱點，試用超級畫板探究直線BC與x軸的交點N的軌跡。

探究過程

（1）求出橢圓的右焦點?2,0?

x2

?y2?1和過點?2,0?的直線x?my?2，用畫筆標出交點A、B（2）作出橢圓：5

（3）作出點A關于x軸的對稱點C，作直線BC，找出其與x軸的交點N

（4）拖動關于m的滑動塊，觀察點N的軌跡

（5）猜測點N的坐標，你能用數(shù)學方法加以說明嗎？

探究結(jié)果

直線BC與x軸的交點N是定點，定點的坐標為??5?,0? ?2?

x2y2

拓展探究：若橢圓的方程為2?2?1，試用超級畫板探究N點的軌跡是否仍是定點。ab

2.探究問題（軌跡為圓錐曲線型）

x2

?y2?1，點A、B是橢圓長軸的兩個端點，直線（1）已知橢圓C的方程為4

x?m(?2?m?2)與橢圓C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試用超級畫板探究，當m變化時S的軌跡，并求出該軌跡方程。

x2x2y22

?y?1改為橢圓2?2?1，點A、B是橢圓長軸的兩個端（2）若將橢圓C：4ab

點，直線x?m??a?x?a?與橢圓C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試求S的軌跡方程。

x2y2x2y2

（3）若將橢圓C：2?2?1改為雙曲線2?2?1，點A、B是雙曲線實軸的兩

abab

個端點，直線x?m與雙曲線C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試求S的軌跡方程。

探究過程

x2

?y2?1和點A（-2,0）（1）作出橢圓：，點B（2,0）4

（2）作出直線x?m，用畫筆標出交點P、Q（3）作直線AP、BQ，用畫筆標出交點S（4）拖動關于m的滑動塊，觀察點S的軌跡（5）你能求出S的軌跡方程嗎？

x2y2x2y2

（6）用類似的方法探究橢圓方程為2?2?1和雙曲線方程為2?2?1時S的軌

abab

跡。

探究結(jié)果

x2

?y2?1（1）S的軌跡為雙曲線，方程為4x2y2

（2）S的軌跡為雙曲線，方程為2?2?1

ab

x2y2

（3）S的軌跡為橢圓，方程為2?2?1

ab

互動交流：結(jié)合“交軌法”求軌跡方程做相應討論和總結(jié)。

x2y2x2y2

以問題（3）為例，若將橢圓C：2?2?1改為雙曲線2?2?1，點A、B是雙

abab

曲線實軸的兩個端點，直線x?m與雙曲線C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試求S的軌跡方程。

解析過程：設P點的坐標為?x1,y1?，則Q點的坐標為?x1,?y1?.又有A??a,0?,B?a,0? 則直線AP的方程為y?

y1

?x?a?① x1?a

y1

?x?a?② x1?a

直線BQ的方程為y?

y1222

①×②得y??2③ x?a??2

x1?a

x12y12

又因點P在雙曲線上，故2?2?1

abm222

即y?2?x1?a?

n

x2y2

代入③并整理得2?2?1,此即為點S的軌跡方程.ab

拓展探究：（1）若直線x?m改為垂直于y軸的直線，最終的軌跡如何？

（2）若將問題架構(gòu)在拋物線上，如拋物線y?2x上任意一點P向其準線l引垂線，垂足為Q，連接頂點O與P的直線和連接焦點F與Q的直線交于R點，則R點的軌跡如何？

結(jié)果：軌跡方程為y??2x?x 3.探究問題（軌跡為直線型）

前面的探究問題中，直線的平移是生成點M軌跡的因素之一，若將直線的平移改為旋轉(zhuǎn)，點S的軌跡如何？

x2

?y2?1，已知曲線C的方程為曲線C與x軸的交點分別為A、B，設直線x?my?14

與曲線C交于P,Q兩點，且AP和BQ交于S點，試用超級畫板探究，當m變化時，S的軌跡是不是恒在一條直線上？如果是，請求出該直線方程。

探究過程

x2

?y2?1和直線x?my?1，用畫筆標出點A、B和交點P、Q，（1）作出曲線C：4

作直線AP、PQ，找出交點S，拖動關于m的滑動塊，觀察S的軌跡，判斷S的軌跡是不是恒在一條直線上，并求出該直線方程。

x2y2

（2）插入變量尺a、b，作出橢圓2?2?1；控制橢圓的長短軸大小，觀察軌跡變

ab

化；

（3）猜測影響軌跡位置與形狀的因素，你能用數(shù)學方法加以說明嗎？ 探究結(jié)果

（1）m改變時，S的軌跡為一條直線，直線方程為x?4

x2y2

（2）插入變量尺，作出橢圓2?2?1，改變a的值，軌跡位置發(fā)生改變，改變b

ab的值，軌跡位置不變；

x2y22

（3）假設橢圓方程為2?2?1，則按上述方法做出的點S的軌跡為直線x?a

ab

拓展探究

x2y2

（1）若曲線C由橢圓變?yōu)殡p曲線2?2?1，S的軌跡是不是仍在一條直線上？你

ab

能否求出該直線方程。

x2y2

（2）假設橢圓方程為2?2?1，前面的探究問題中，A、B點為曲線和x軸的交點，ab

現(xiàn)在若將A、B點改為x軸上的定點（-2，0）和（2，0），則點S的軌跡還是直線嗎？請試用超級畫板探究，判斷S的軌跡為何種類型的曲線。

結(jié)果：當a?2時，S的軌跡為一個橢圓

當1?a?2時，S的軌跡為一個雙曲線

第三篇：雞兔同籠問題解法教學設計

篇一：雞兔同籠教學設計與反思

“雞兔同籠”教學設計與反思

永泰縣城南小學盧鴻禎

設計理念：

“雞兔同籠”作為一種經(jīng)典名題，在國標新教材中，不少版本都有編排。比如，北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學生學會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固“假設和替換”的策略；而人教版更是濃墨重彩，在六年級上冊“數(shù)學廣角”中用6個頁碼詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應用。除此之外，還有很多名師在不同年級用不同的方法來生動地演繹它。但我想盡管“雞兔同籠”各年級都可以作為教學內(nèi)容，且有著不同的目標指向，但對于六年級而言，是否可以用來讓學生“從已有的經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋和應用的過程”，從而更好地認識數(shù)學？讓學生在學習過程中培養(yǎng)“模型”意識和舉一反三的能力。感受到一些數(shù)學問題所具有的“模型”的力量呢？帶著這樣的思考，我對這節(jié)“雞兔同籠”數(shù)學活動課作了如下嘗試：

教學內(nèi)容：人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》六年級上冊第112～117頁。教學目標：

1．了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學問題的趣味性。

2．嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，使學生體會假設和代數(shù)方法的一般性。3．在解決問題的過程中，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，并向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化、函數(shù)等數(shù)學思想和方法。

教學重點：用假設法和方程解決“雞兔同籠”問題。

教學難點：用假設法程解決“雞兔同籠”問題。

教學具準備：

1、設計導學提綱：

自學課本第112～115頁并思考解決以下幾個問題：(1)、嘗試用不同的方法解決例1的“雞兔同籠”問題。(2)、生活中有類似“雞兔同籠”的問題嗎？請舉例說明。(3)、試著完成課本第115頁“做一做”第1題。(4)、你還有什么疑問嗎？

2、課件制作。

教學流程：

一、課前談話。（課前板書：雞兔同籠）

師：同學們，你們知道我國古典文學的四大名著是什么嗎？

生：幻燈片：《西游記》、《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》。

師：這些名著你們讀過嗎？

師：四大名著是中國乃至全人類共同擁有的寶貴文化遺產(chǎn)，在整個華人世界中有著深遠的影響。我建議大家去讀一讀。

師：這是我們的古人在文學方面的偉大成就，其實我們的古人在數(shù)學方面也有很多了不起的成就，為我們留下許多有名的著作。你知道嗎？讓我們一起來看一看吧。

師：你們見過這些書嗎？在哪里見過？

生：我在數(shù)學書上見過。

生：我在網(wǎng)絡上見到過。

師：昨天要求同學們自學的“雞兔同籠”就在這其中的一部書里，大家一起說是哪部？ 生：《孫子算經(jīng)》。

師：對了，這是一部成書于1500多年前的數(shù)學著作，書中記載著很多有趣的數(shù)學名題?！半u兔同籠”就是其中的一道。

師：通過昨天的自學，你們知道雞兔同籠是什么意思嗎？

生：雞兔同籠就是雞兔在一個籠子里。

生：雞兔同籠就是把雞和兔關在一個籠子里，告訴我們雞兔的總頭數(shù)和總腳數(shù)，求出雞兔各幾只。

師：是的，雞兔同籠不僅僅是雞和兔關在一個籠子里，而是一種數(shù)學問題。（板書：問題）

二、借助導學提綱，交流自學情況。

全班匯報、展示。

1、不同方法解決“雞兔同籠”的問題。

師：通過自學，你們也一定找到不少“雞兔同籠”的解決辦法吧！誰先來匯報？

生匯報：

第一種：列表法。

生：我采用列表法得出的答案。先假設有1只雞，7只兔子，腳就有30條。腳太多，然后又假設有2只雞，6只兔子，腳還是太多了。這樣試下去就得到了有3只雞，5只兔子。

生：我也是列表法。我們是先假設雞有4只，兔子也有4只。這樣比較簡便。

師：你們認為這種方法有什么優(yōu)勢？ 生：這種方法比較簡單，容易理解。

師：除了列表法，你們還有什么方法？

第二種：假設法。

生1：我先用26－8×2=10（只），我是想假設全部是雞的話，8只雞就有16只腳，而26減去16還多出10只。也就是有些兔也當成雞了，一只兔當成一只雞就會少算2只腳，再用10÷2=3，就是兔有5只，雞有8－5=3只。（配合幻燈或畫圖演示）

師：剛才這位同學把籠子里的動物全假設成雞了，還有不同的假設法嗎？

生2：我是全部假設成兔，總共有8×4－26=6（只）腳，一只雞當成一只兔就會多算2只腳，再用6÷2=3（只），就是雞有3只，兔有8－3=5只。（配合幻燈或畫圖演示）

師：這兩位同學的方法有什么相同之處嗎？

生：都是用的假設法。（板書：假設）

師：還有和他們的解法不一樣的嗎？

第三種：列方程。（配合幻燈演示）

生：設有x只兔，雞就有（8－x）只。列出方程4x＋2（8－x）=26，解是x=5，即有5只兔，8－3=5只雞。

師：老師想問你，這里的 4x和2（8－x）分別表示是什么？

生：4x是兔腳的總數(shù)，2（8－x）是雞腳的總數(shù)。

師：方程解完了也要注意檢驗，列方程的解法還有個名字也就叫代數(shù)法。（板書：方程）

第四種：古人的解法。（配合幻燈演示：）

生：用26÷2－8=5，這是兔子的只數(shù)，再用8－5=3，這就是雞的只數(shù)。

（屏幕顯示：腳數(shù)÷2－頭數(shù)=兔數(shù) 頭數(shù)－兔數(shù)=雞數(shù)）

師：看起來很復雜的“雞兔同籠”問題，古人解起來就這么簡單啊。

師：老祖宗的方法真是太簡單了，其中的道理你們都聽明白了嗎？

師：這個方法看起來很簡單，要理解它還真不容易呢。其實對這個問題，不但咱們中國人有研究，外國人對它也有關注，美國教授波利亞，他講了一個很有趣的故事解釋了這種解法的道理。

（課件演示，教師相機解釋）：草地上有一群雞兔在玩耍，突然，雞對兔說：“我們的本領可大了，可以做金雞獨立”。說著每只雞就抬起一只腳，只用一只腳站著。兔子們見了，也不甘示弱：“這有什么了不起，看看我們兔子作揖?！闭f完，每只兔就把兩只前腳提起來，只留下兩只后腳站著。哈哈，這下有趣了，原來的雙腳雞都變成了“獨腳雞”，原來的四腳兔都變成了“雙腳兔”?？粗鴪D示，你發(fā)現(xiàn)什么了？ 生1：現(xiàn)在草地上雞和兔的頭數(shù)沒變，站立的腳數(shù)只剩下原來的一半，也就是“腳數(shù)÷2”。生2：現(xiàn)在草地的腳數(shù)再和頭數(shù)比，只有一只兔子多出1只腳，所以，腳數(shù)÷2－頭數(shù)=兔的只數(shù)。

師：都看明白了嗎？你們覺得我們老祖宗的方法怎么樣？

生3：方法很簡單，蘊含的道理很深刻！

師：不過，大家也要小心哦，這種看起來很簡單的方法也是有局限的。

2、方法優(yōu)化。

師：這么多不同的解決方法，你們最喜歡哪種方法呢？

生1：我喜歡方程解法，因為方程順著題目的意思想起來比較方便。

生2：我覺得要看題目來決定，先弄清題目意思，再來選擇合適的方法。

師：這些解法各有各的特點，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別，既有優(yōu)長也有缺陷。希望大家能根據(jù)題目的特點靈活運用。

3、體驗感受，建立模型。

師：通過剛才的匯報說明大家對“雞兔同籠”的解決辦法掌握的不錯，只是老師現(xiàn)在有一個疑問，在生活中我們很少看到有人把雞和兔放在一個籠子里養(yǎng)吧，就是放在一起養(yǎng)，也沒誰去數(shù)頭數(shù)腳做這種無聊的事。我們的老祖宗干嘛煞費苦心地研究來研究去的，一千多年過去了，還作為寶物似的流傳到今？“雞兔同籠”有什么獨特的魅力嗎？”（顯示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？）日常生活中有類似雞兔同籠的問題嗎？

師：據(jù)資料顯示，日本人也研究雞兔同籠問題，只是他們不叫“雞兔同籠”，而叫“龜鶴同游”。

（幻燈：龜鶴同游，共有40個頭，112只腳，求龜、鶴各有多少只？）

師：日本人說的“龜、鶴”和我們說的“雞、兔”有聯(lián)系嗎？

生：龜和兔一樣的，有四只腳。鶴和雞一樣的，都是兩只腳。

幻燈：龜-----兔 鶴-----雞

師：老師昨天晚上還看到這樣一首兒歌。

（幻燈：一隊獵人一隊狗，兩列并成一隊走。數(shù)頭一共五十五，數(shù)腳共有一百九。）師：我們研究了雞兔同籠、龜鶴同游，也來給這首兒歌取個名字？

生：人狗同行。

師：這“人狗同行”和“雞兔同籠”有聯(lián)系嗎？

生：我覺得它和雞兔同籠的問題仍然是一樣的。獵人相當于雞，狗相當于兔。師：他的這個理解可以嗎？ 生：可以。

師：雖然把獵人看作雞有些不雅，但是從研究的角度大家確實是找到了他們數(shù)量上的聯(lián)系。幻燈：獵人——雞（兩只腳）狗——兔（四只腳）

師：回想一下，從“雞兔同籠”到“龜鶴同游”，再到“人狗同行”，你發(fā)現(xiàn)了什么呢？（再次顯示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？）

生1：雞兔同籠是多方面的。

生2：“雞兔同籠”可以表示好多種和“雞兔同籠”相同的情況。

師：是啊，雞兔同籠不只是代

表著雞兔同籠的問題（老師在課題上加上雙引號），它就好像是一個模型?。ò鍟耗Ｐ停┪覀兛梢栽谌粘Ｉ钪姓业胶芏嗨挠白?。想想看，雞兔同籠問題還可以變化成什么問題？

生1：鴨貓問題。生2：豬鵝問題。

生3：馬鷹問題。

師：雞、鴨行不行？牛馬呢？

生：不行的，它們都是兩條腿，數(shù)量沒有區(qū)別。

4、質(zhì)疑引思。

師：在自學過程中，你們還有什么疑問嗎？

師：都沒疑問了，那就看看大家能不能運用（板書：應用）今天所學的知識解決日常生活中的“雞兔同籠”問題，請看題。

三、應用拓展，強化體驗。

1、應用。（自由選擇）

（1）、六（3）班38人去劃船游玩，共租了8條船，每條大船可坐6人，每條小船可坐4人。大小船各租了幾條？

師：誰來匯報第一題

（生匯報，同學判斷）

（2）、盒子里有大、小鋼珠共30個，共重266克，已知大鋼珠每個11克，小鋼珠每個7克。盒中大鋼珠、小鋼珠各有多少個？

師：誰來匯報第二題

（生匯報，同學判斷）

2、拓展。

（1）、小紅參加數(shù)學知識競賽，共10道題，每做對一道題得10分，做錯一道題扣2分。篇二：雞兔同籠問題 教案設計

人教版新課程標準實驗教科書

六年級上冊

《雞兔同籠》教學設計

執(zhí)教：驛城區(qū)胡廟鄉(xiāng)周井小學 耿 峰

《雞兔同籠》教學設計

教學內(nèi)容：人教版六年級上冊數(shù)學廣角--雞兔同籠（112-114頁及115 頁“做一做”和練習二十六相關練習題）

教學目標： 1．知識與技能

（1）了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學問題的趣味性。

（2）嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，使學生體會代數(shù) 方法的一般性。2．過程與方法 解決“雞兔同籠”問題可用列表、猜測、假設或者方程解等方法。3．情感、態(tài)度與價值觀

（1）在解決問題的過程中，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

（2）讓學生體會到數(shù)學問題在日常生活中的應用。

重 難 點：嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題。

關 鍵：在解決問題的過程中培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。課 時：1課時

教具準備：課件

教學過程

一、開門見山，導入新課：同學們，今天，我們一起來研究一個有趣的問題，請看屏幕。

二、新授

1、出示雞兔同籠問題：今有雞兔同籠，上有8頭，下有22足，問：雞有幾只？兔有幾只？ 提問：哪位思維敏捷清晰的同學能給大家讀一遍題目？

2、學生讀后，師說，這道題目的名字起的很直白，就是題目中說的“雞兔同籠”（板書課題）師問：題中都有哪些已知條件？指名回答。（重點關注隱性條件，就是雞有兩只腳，兔有四只腳）

3、師說：這道題可能有同學曾經(jīng)在一些思維訓練的題目中見到過，當然也有很多同學可能是第一次見到，請同學們挑戰(zhàn)一下自己，看能不能把它解決掉。（讓學生獨立思考三分鐘，老師到學生中間，發(fā)現(xiàn)解法。）

4、逐一列表法 出示表格，和學生一起完成表格。突出檢驗的過程，為后續(xù)學生的作業(yè)中避免出錯打下基礎。

5、師說：同學們，我們剛才做的這道題，我曾經(jīng)拿它考過同事一位四年級的小學生，他也非常聰明，竟然也找到了答案。大家想不想知道他是怎么做的??？

出示畫圖的方法，然后順勢引入假設法。

出示假設法

如果這8個頭都是雞的，那么，腿就應該有16條，可是這就比實際的22條腿少了6條，這說明籠子里肯定有兔子存在，因為我們知道每只雞比一只兔子少了兩條腿，那么少算的6條腿肯定就是3只兔子的，這就算出了兔子的只數(shù)是3只，再用8減去3，就得到雞有5只。

大家看，這種方法是不是也很簡單，而且真的是很聰明的想法。這就叫數(shù)形結(jié)合。（板書：數(shù)形結(jié)合）

6、請大家想一個問題，剛才我們是先把兔當成雞來算的，那么，能不能把雞當成兔來算呢？

（同學們的小腦瓜真的很靈活，能夠做到舉一反三，加油哦。）

7、師：這道題我們已經(jīng)能夠用兩種方法解決了，不知道還有沒有同學能用咱們常用來對付疑難應用題的方法來消滅它？

生：列方程

師：對了，就是方程，那么該怎么用方程來解決呢？

師：誰還記得，用方程解的時候，弄懂題意后要做什么？ 師：對，就是設未知數(shù)。

那么，我們可以設雞有x只，則兔就應該有（8-x）只。

誰站起來給大家列出完整的方程？

師：指名學生口頭列出方程

師：這個方程我們會不會解？請大家快速的解出來。

8、小結(jié)

一個小小的“雞兔同籠”問題我們用了這樣幾種不同的方法把它解決了。你喜歡哪一種方法？為什么？第一種是列表法，簡單、明白，但也有缺點，誰知道？（不適合較大數(shù)字），說的真好。第二種是假設法，也就是算術法，第三種是方程，每一種解法都有它自己的特點，我們應該根據(jù)自己的需要，來選擇合適的方法靈活去用。比如在數(shù)字比較小的時候，我們可以用這幾種方法中的任何一種，但是如果數(shù)字比較大的時候呢，我們用算術方法或者方程來做就會更好些，是不是？

三、歸納研究

師：同學們，不僅是我們今天在研究這個問題，其實在很多年前，古人對這個題目就有研究。在一千五百多年前，中國有一本非常有名的關于數(shù)學的故事書，叫《孫子算經(jīng)》。在這本書中就記錄了“雞兔同籠”問題。并且還給出了一個很有趣的解法。

出示題目及解法：今有雞兔同籠，上有8頭，下有22 足，問：雞有幾只？兔有幾只？

腳數(shù)÷2兔數(shù)=雞數(shù)

師：我們先用這種方法口算一下，看和我們算的結(jié)果是不是一樣。學生口算后，發(fā)現(xiàn)結(jié)果，說明這個方法正確。

師問：古人這樣做的道理是什么？

指名回答：有些同學想到了，我們請一位同學來說一說 好不好？（指名學生解釋，但學生很難說清楚）

師說：大家心里明白，就是說不好，是不是？其實啊，對這個問題，不但咱們古人有研究，外國人也曾關注過這個解法。美國有一個非常有名的數(shù)學家叫波利亞，他講了一個很有趣的故事來解釋為什么可以這么算。他說，有一天，有一群雞和兔在草地上玩，突然，一只雞突發(fā)奇想，說，我可以表演金雞獨立，兔說，我也會。于是，他們就這樣做了。這時候我們發(fā)現(xiàn)，草坪上的腳的只數(shù)只剩下了原來的（一半）。那么再拿這些腳和他們的只數(shù)比一比，是不是比他們的只數(shù)還多一些，為什么會多呢，不就是因為每只兔子多算了一只腳嗎？所以我們拿腳的一半減去它們一共的只數(shù)，如果多了幾只腳，不就有幾只兔子嗎？，看來咱們解決數(shù)學問題的時候啊，還真的需要一點數(shù)學家的本領。（板書：奇思妙想）

四、延展

1、師：好了，同學們，接下來，我這里有一首兒歌，我們一起把它來讀讀。

出示兒歌：一隊獵人一隊狗，二隊并成一隊走，數(shù)頭一共有十二，數(shù)腿一共四十二，多少獵人多少狗？

師問：這道題算哪一類題目

生答：雞兔同籠問題。

指名學生找和雞兔的相同點（人兩條腿，相當于雞，狗四條腿，相當于兔）學生分析后，讓學生獨立做。

指名學生回答后，一起檢驗腿的條數(shù)

師：從這里我們可以看得出，“雞兔同籠”問題中不僅僅是指雞和兔。（在標題的雞兔上加引號），例如本題。其實啊，對這個問題，日本人也有研究，日本人就把此類問題稱為“龜鶴問題”。大家想想，日本人說的龜鶴和雞兔同籠問題有聯(lián)系嗎？

學生回答后，請學生自己給這類題目起名字：我們?nèi)绻唤兴u兔也不叫它龜鶴，能不能叫它其他的名字（只要和雞兔同類型就行）。

生答：行。

師：那么說到底，雞兔同籠只是個“模型”。那么什么是模型？說到模型，你會想到什么？生答：飛機模型。師問：飛機模型和飛機長得像嗎？生答：像！師問：那么飛機模型是真飛機嗎？生答：不是。師總結(jié)：對，模型就是像真的，它有真的構(gòu)造但不是真的，就是具有基本構(gòu)造但非真實 就叫模型。所以，我們剛剛說的什么龜鶴問題啊、人狗問題啊，等等，就是雞兔同籠問題的模型。

師：同學們，我們討論這個“雞兔同籠”快一節(jié)課了，可是我突然想到一個問題，那就是：生活中誰會把雞和兔裝到同一個籠子里啊，就是裝了，誰會傻到去數(shù)它們的腿玩啊，數(shù)頭不就行了？那我們干嘛要研究它呢？看來，只有一個原因，那就是在生活中我們能夠找到這一類型的問題。不信請看： 篇三：《雞兔同籠》教學設計

《雞兔同籠》教學設計

一六八玫瑰園學校孫進二0一四年三月十四日

一、備前思考

教材分析：“雞兔同籠”是我國的歷史名題，既有趣又益智，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。在國標新教材中，不少版本都有編排，但每個版本的教學目標不同。北師大版教材是安排在五年級上冊學習這個內(nèi)容，突出“嘗試與猜測”（列表）的解題方法；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固“假設和替換”的策略；而人教版則是濃墨重彩，用了6個頁面在“數(shù)學廣角”中詳細介紹了“雞兔同籠”的出處、幾種典型解法及實際應用，突出解決問題策略的多樣化。本課使用人教版教材，加深使用蘇教版的學生對《雞兔同籠》的認識。

學生分析：使用蘇教版教材的學生，在六年級上冊已經(jīng)接觸過《雞兔同籠》，很多孩子會用假設和方程法解決這個問題，同時，他們思維活躍，對這類問題很感興趣，這為本課教學提供了良好的基礎。但是因為蘇教版教材的側(cè)重點不同，孩子們對《雞兔同籠》的認識有局限，對有些方法的探索和理解還是有難度的。

依據(jù)教材和學生的情況我有了以下的思考： 思考一：

教材編者把這個問題放在不同的版本中，是想讓他呈現(xiàn)一定的數(shù)學知識，提升學生某方面的數(shù)學能力。蘇教版教材將《雞兔同籠》作為一道練習來呈現(xiàn)，提升對“替換和假設”策略的理解。而筆者認為，《雞兔同籠》一直流傳到現(xiàn)在，他有一個重要的價值就是解題方法的多樣性，每種解題方法都蘊含著豐富的數(shù)學思想，而讓學生體會到解決問題方法的多樣化，正是《雞兔同籠》價值的最好體現(xiàn)。因為這次面對的是使用蘇教版教材學習的六年級學生，大部分同學對解決《雞兔同籠》問題方法的理解有可能只局限于假設法和方程法，所以，筆者認為，讓學生們?nèi)ンw會《雞兔同籠》解題方法的多樣性是合理的。

思考二：

執(zhí)教過《雞兔同籠》的老師發(fā)現(xiàn)，一旦將題目情境改變，很多的學生就會出現(xiàn)不會做的情況。深入思考，原因是《雞兔同籠》不是一道題目，它是一類“問題”，它是 “母題”，是一個數(shù)學“模型”。數(shù)學模型是對現(xiàn)實世界的某一特定研究對象，在作了必要的簡化和假設之后，運用適當?shù)臄?shù)學工具，并通過數(shù)學語言提煉、表達出來的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)，如數(shù)學公式、數(shù)學概念、解題方法及某類知識的特征等。一般可分為三類：概念型數(shù)學模型、方法型數(shù)學模型、結(jié)構(gòu)型數(shù)學模型。很顯然《雞兔同籠》所體現(xiàn)的模型是第三類，就是雖然問題的情境在變化，但問題的本質(zhì)——數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關系是不變的。

2011版《數(shù)學課程標準》強調(diào)，學生要初步形成模型思想，所以這節(jié)課，我們不僅要教給孩子們解題的方法，還要讓孩子們建立《雞兔同籠》這類問題的“模型”，培養(yǎng)模型意識和“舉一反三”的能力，為孩子們升入初中后，更好的學習數(shù)學打好基礎。

帶著這樣的思考，在六年級進行教學嘗試，有不妥之處，真誠希望各位前輩、同行批評指正。

二、教學設計 教學目標：

1.在掌握基本解法的基礎上，比較和梳理各種解法的特點，體會解決問題方法的多樣化； 2.經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型進行解釋和應用的過程，培養(yǎng)學生解決問題的模型意識； 3.感受古代數(shù)學問題的趣味性，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。教學重點：

比較和梳理各種解法的特點，體會解決問題方法的多樣化；培

養(yǎng)學生解決問題的模型意識； 教學準備： :教具：多媒體課件

學具：學習卡片4張 教學過程：

一、提出問題

（一）猜測導入，出示題目

這是中國古代的一道趣題，距今約有1500年的歷史，它記錄在《孫子算經(jīng)》這本古籍中，題目當中的主角是兔子和雞。（板書課題 雞兔同籠）”

（二）回顧舊知，梳理信息 關于雞兔同籠你都知道些什么？

出示題目：今有雞兔同籠，上有8頭，下有22足。問：雞有幾只？兔有幾只？

從這道題目上你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學信息？

二、探究方法

（一）完成學習卡片1 大屏幕出示學習指南（生讀）學生完成學習卡片1

（二）展示做法，全班交流。預設： 方法1(假設法)假設全是兔子

雞：（8×4-22）÷（4-2）=5(只）兔：8-5=3（只）方法2（方程法）

解： 設兔有x只，則兔子有（8-x）只 4x+（8-x）×2=22 4x+16-2x=22 2x=6 x =3 8-3=5（只）

方法3（畫圖法）（圖略）方法4（列表法）（表略）

（三）對比提煉，優(yōu)化方法。

（四）溝通聯(lián)系，介紹古人方法。足數(shù)÷2－頭數(shù)=兔數(shù) 頭數(shù)－兔數(shù)=雞數(shù)

三、初步建立結(jié)構(gòu)模型

（一）出示《龜鶴同游問題》、《人狗同行問題》，學生讀題。

第四篇：農(nóng)村中學數(shù)學課堂存在問題

我認為中學數(shù)學課堂教學現(xiàn)狀與問題：

1、學生基礎差直接導致課堂效果不理想：農(nóng)村小學不存在升學的壓力，因此在小學階段學生該具備的計算能力不過硬，導致在初中課堂上學生往往會但是卻算錯；小學數(shù)學課本上題型有限，小學生學習多是靠記憶，一種類型數(shù)學題可能反復重復做，沒有很好鍛煉學生的思維。因此到了初中的數(shù)學課堂，就會覺得數(shù)學太難，考試內(nèi)容跟書本上脫節(jié)太大，大多數(shù)孩子往往力不從心。

2、學生學習主動性不強：最明顯的表現(xiàn)是課堂上學生不愿意動筆去計算，總愿意用“想”的，而結(jié)果往往都是錯的。長此下去，導致多數(shù)學生“眼高手低”解題不準確，不遵循步驟，只知其然而不知其所以然，過程缺乏邏輯性，對知識不會靈活運用，對方法不會歸納總結(jié)。而且相當部分的學生缺乏憂患意識，缺乏競爭意識，抱著無所謂的態(tài)度整天無所事事，作業(yè)練習馬虎應付，抄襲了事。所以班集體的整體氣氛帶動不起來，課堂效率低。

3、老師循規(guī)蹈矩課堂很難有突破：農(nóng)村中學教師年齡普遍偏大，他們教齡很長，已經(jīng)形成了自己獨特的方式方法，循規(guī)蹈矩遵守教材，課堂教學中采用“老師講-學生記”老師大大代替了學生，教的知識講解的津津樂道，但學生聽起來卻很枯燥、乏味，有些學生甚至漫不經(jīng)心、很厭煩。而且有的學生聽 懂了，課后卻又遺忘了，教學效果很不理想。學生練習的形式單調(diào)，練習幾乎都是在“導航”里進行，并多數(shù)為“自我”完成，少有“合作”機會，學生之間沒有形成共同學習，互相啟發(fā)的氛圍。

4、課堂上信息化教育環(huán)境落后：農(nóng)村環(huán)境有限，班班通還沒有普及，大多數(shù)教師上課依賴教材練習冊，缺少其他資源，呈現(xiàn)課程資源的手段單一，較少發(fā)揮現(xiàn)代教學媒體的作用。

改變現(xiàn)狀措施：

教學方式學習方式的改變：新課改下要求學生應該是學習的主體，教師給予學生指導和幫助，教學過程中要充分體現(xiàn)學生的主動性，那么這就要求教師在教學方式學習方式上有所改變，丟掉傳統(tǒng)教學的“滿堂灌”。創(chuàng)設情境拋出問題引起學生學習興趣，教師提出的問題要能引起學生的認知沖突，讓學生感到探究的必要性。問題可以從生活中的現(xiàn)象開始，和實際生活聯(lián)系越密切越容易引起學生探究的欲望。如果學生可以獨立完成那么教師決不能包辦代替；如果遇到一個人難以完成的問題，教師要把握好小組合作的契機，讓學生恰到好處地進入合作學習的情境，同時教師要主動加入到學生的交流中去，要做好學生的幫手。教師在課堂教學過程中圍繞“學生主動參與”這個中心環(huán)節(jié)開展教學，靈活運用教材把每一個知識點都設計為學生主動探索的過程，把被動學習轉(zhuǎn)換為主動學習。

第五篇：軌跡組詩

她必須不食人間煙火，唯大海之藍

與寶石之美

構(gòu)成了身世的全部。從她嘴里吐出的字詞

都是星辰

都在我幅員遼闊的腹肌上

降生、閃爍或隕落

呵！我的生命像天空擁有了弧度

誕下的子女

滑落成萬千座城池

哪怕隱去家姓，也能通過道路

觸摸骨肉

憑借燈光，辨認基因

看他們多么俊美

組成人間的合唱團

正齊聲高唱：若此愛不止

那此夜便永不會熄滅

南江濱

大道寬闊，似可躍馬

往北是帝都

向南是田園。君且北上，我自南歸

種一壟冬霜，結(jié)一粒寒月

兩岸青山安營扎寨

萬千草木棄甲從耕

喝大碗大碗的酒，笑愈看愈低的天

杜鵑風華正茂，長成楊柳

楊柳怒發(fā)沖冠，長成云杉

不妨擂石成硯，泛流作絹

狷狂時該潑什么墨

一桶月色，盡入大江，令彼唐宋失顏色

雁陣塔

一個黃昏，我步行三公里去看雁陣塔

但塔上沒有雁陣

就像黃鶴樓沒有黃鶴

鳳凰臺上也早已不見了鳳凰

這里只有蒼茫的大海

眼看夕陽西斜

就要沉沒海底

萬物不由得加快了腳步

我是昨日與今日的時差

走在永難被糾正的路上

興化雨

春天那么廣

祖國那么大

稻田青青

群山都隆起綠色的胸肌

這些年我經(jīng)過的地方

烏云籠罩

媽祖慈祥

人群在港口卸下方言

雨水落進興化灣

像倔強的父子終于重歸于好

這個世界兩點了

這個世界兩點了

有人在手表里弄丟了時間

有人在地圖上忘記了歸途

弄丟時間的人調(diào)整時差去了西半球

忘記歸途的人牽走樹影拴在東大街

這個世界兩點了

有人閉緊嘴巴出生

有人睜著眼睛死去

閉嘴的人恨我恨到咬牙切齒

睜眼的人想再見我最后一面

這個世界兩點了

有人吞下水銀結(jié)成盟友

有人剜除心臟變?yōu)槌鹑?/p>

吞水銀的人說過了今夜就會戒酒

剜心臟的人說出門左拐天色尚早

這個世界兩點了

有人在妻子的身體里馳騁

有人在情人的背影下哭泣

馳騁的人看不到帝國的邊境

哭泣的人能聽見螞蟻的回音

不見面的手足仿佛客死異鄉(xiāng)

天氣預報說華北有雨，華東多云

華南陰轉(zhuǎn)晴，而西北仍有降雪

想起我四面八方的姐妹兄弟

這些前世的手足，當年相繼客死異鄉(xiāng)

昔日陳方碩遠走西南

娶回一個四川老婆

生下的孩子叫我叔叔

說要讓我?guī)ド虾?/p>

我沒有告訴他，上海是我的情人

還有廣州和北京，也曾被我愛得死去活來。如今我偏安一隅

在地圖上辨認此生

有沒有那么一座樓

左邊住著夕陽，右邊豢養(yǎng)花香

將左右連在一起

能看見春天的裂縫

有沒有那么一段時光

上半年用來遠足，下半年耽于回憶

將上下接在一起

每個擦肩的人紛紛變成石頭

有沒有那么一條河

河以北世代游牧，河以南晝夜笙歌

將南北拼在一起

歷史就是一章自相矛盾的墓志銘

有沒有那么一首詩

前半首平鋪直敘，后半首擲地有聲

將前后合在一起

所有的形容詞都變成了名詞

現(xiàn)在，你帶著素顏來找我一滴水在手心握得太緊

就會變成墨汁。一枚吻在臉上

停留太久，就會變成痣