第一篇：高考數(shù)學基礎(chǔ)知識總結(jié)：第15章_復數(shù)（推薦）

高中數(shù)學第十五章 復數(shù)

考試內(nèi)容：

復數(shù)的概念．

復數(shù)的加法和減法．

復數(shù)的乘法和除法．

數(shù)系的擴充．

考試要求：

（1）了解復數(shù)的有關(guān)概念及復數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義．

（2）掌握復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，能進行復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運算．

（3）了解從自然數(shù)系到復數(shù)系的關(guān)系及擴充的基本思想．

§15.復 數(shù)知識要點

1.⑴復數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復數(shù)及其相關(guān)概念：

① 復數(shù)—形如a + bi的數(shù)（其中a，b?R）；

② 實數(shù)—當b = 0時的復數(shù)a + bi，即a；

③ 虛數(shù)—當b?0時的復數(shù)a + bi；

④ 純虛數(shù)—當a = 0且b?0時的復數(shù)a + bi，即bi.⑤ 復數(shù)a + bi的實部與虛部—a叫做復數(shù)的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數(shù)）⑥ 復數(shù)集C—全體復數(shù)的集合，一般用字母C表示.⑶兩個復數(shù)相等的定義：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.⑷兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復數(shù)，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復數(shù)，而不是實數(shù)] 2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時，上式成立）

2.⑴復平面內(nèi)的兩點間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復平面內(nèi)的兩點z1和z2所對應的復數(shù)，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復平面內(nèi)以z0為圓心，r為半徑的圓的復數(shù)方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復數(shù)形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對值不等式：

設(shè)z1，z2是不等于零的復數(shù)，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.3.共軛復數(shù)的性質(zhì)：

z?zz1?z2?z1?z2

z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）z?z?|z|2?|z|2

z1?z2?z1?z2z1?z2?z1?z2

?z1??z2??z1??（z2?0）zn?(z)n ?z2?

注：兩個共軛復數(shù)之差是純虛數(shù).（×）[之差可能為零，此時兩個復數(shù)是相等的]⑴①復數(shù)的乘方：zn??z??z??z?...z(n?N?)?

n

②對任何z，z1,z2?C及m,n?N?有

③nzm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn?z12

注：①以上結(jié)論不能拓展到分數(shù)指數(shù)冪的形式，否則會得到荒謬的結(jié)果，如i2??1,i4?1若由i?21142(i)?12?1就會得到?1?1的錯誤結(jié)論.②在實數(shù)集成立的|x|?x2.當x為虛數(shù)時，|x|?x2，所以復數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.⑵常用的結(jié)論：

i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1

in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)

(1?i)2??2i,若1?i1?i?i,??i 1?i1?i1

1?是的立方虛數(shù)根，即????

則.5.⑴復數(shù)z是實數(shù)及純虛數(shù)的充要條件： ①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數(shù)?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數(shù).特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.6.⑴復數(shù)的三角形式：z?r(cos??isin?).輻角主值：?適合于0≤?＜2?的值，記作argz.注：①z為零時，argz可取[0,2?)內(nèi)任意值.②輻角是多值的，都相差2?的整數(shù)倍.③設(shè)a?R?,則arga?0,arg(?a)??,argai?

⑵復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化： ?3?1,?2??,??,1????2?0,?n??n?1??n?2?0(n?Z)123i2，?3,arg(?ai)??.22

a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?b2，cos??ab,sin??.rr

⑶幾類三角式的標準形式：

r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)]

?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(sin??icos?)?r??)?isin(??)] 22

7.復數(shù)集中解一元二次方程：

在復數(shù)集內(nèi)解關(guān)于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)時，應注意下述問題： ①當a,b,c?R時，若?＞0，則有二不等實數(shù)根x1,2?

x1,2???b??；若?=0，則有二相等實數(shù)根2a???b??|ib；若?＜0，則有二相等復數(shù)根x1,2?（x1,2為共軛復數(shù)）.2a2a

②當a,b,c不全為實數(shù)時，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.8.復數(shù)的三角形式運算：

r1(cos?1?isin?2)?r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r1(cos?1?isin?2)r1?[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r2(cos?2?isin?2)r2

棣莫弗定理：[r(cos?

?isin?)]n?rn(cosn??isinn?)

第二篇：2010屆高考數(shù)學總結(jié)精華版第十五章復數(shù)

高中數(shù)學第十五章 復數(shù)

考試內(nèi)容：

復數(shù)的概念．

復數(shù)的加法和減法．

復數(shù)的乘法和除法．

數(shù)系的擴充．

考試要求：

（1）了解復數(shù)的有關(guān)概念及復數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義．

（2）掌握復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，能進行復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運算．

（3）了解從自然數(shù)系到復數(shù)系的關(guān)系及擴充的基本思想．

§15.復 數(shù)知識要點

1.⑴復數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復數(shù)及其相關(guān)概念：

① 復數(shù)—形如a + bi的數(shù)（其中a，b?R）；

② 實數(shù)—當b = 0時的復數(shù)a + bi，即a；

③ 虛數(shù)—當b?0時的復數(shù)a + bi；

④ 純虛數(shù)—當a = 0且b?0時的復數(shù)a + bi，即bi.⑤ 復數(shù)a + bi的實部與虛部—a叫做復數(shù)的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數(shù)）⑥ 復數(shù)集C—全體復數(shù)的集合，一般用字母C表示.⑶兩個復數(shù)相等的定義：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.⑷兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復數(shù)，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復數(shù)，而不是實數(shù)] 2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時，上式成立）

2.⑴復平面內(nèi)的兩點間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復平面內(nèi)的兩點z1和z2所對應的復數(shù)，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復平面內(nèi)以z0為圓心，r為半徑的圓的復數(shù)方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復數(shù)形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程

（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對值不等式：

設(shè)z1，z2是不等于零的復數(shù)，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.3.共軛復數(shù)的性質(zhì)：

z?zz1?z2?z1?z2

z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）z?z?|z|2?|z|2

z1?z2?z1?z2z1?z2?z1?z2

?z1??z2??z1??（z2?0）zn?(z)n ?z2?

n???z??z??z?...z(n?N)?

n注：兩個共軛復數(shù)之差是純虛數(shù).（×）[之差可能為零，此時兩個復數(shù)是相等的] 4 ⑴①復數(shù)的乘方：z

②對任何z，z1,z2?C及m,n?N?有

③nzm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn?z12

42(i)?12注：①以上結(jié)論不能拓展到分數(shù)指數(shù)冪的形式，否則會得到荒謬的結(jié)果，如i2??1,i4?1若由i?2?1就會得到?1?1的錯誤結(jié)論.②在實數(shù)集成立的|x|?x2.當x為虛數(shù)時，|x|?x2，所以復數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.⑵常用的結(jié)論：

i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1

in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)

(1?i)2??2i,若

31?i1?i?i,??i 1?i1?i11?2是的2立n方n?1虛n?2數(shù)根，即????123i2，,?,1?????0,??????0(n?Z)則?? 1 ,??? ?.5.⑴復數(shù)z是實數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：

①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數(shù)?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同

一復數(shù).特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.6.⑴復數(shù)的三角形式：z?r(cos??isin?).輻角主值：?適合于0≤?＜2?的值，記作argz.注：①z為零時，argz可取[0,2?)內(nèi)任意值.②輻角是多值的，都相差2?的整數(shù)倍.③設(shè)a?R?,則arga?0,arg(?a)??,argai?

⑵復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化：

a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?b2，cos???3,arg(?ai)??.22ab,sin??.rr

⑶幾類三角式的標準形式：

r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)]

?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(sin??icos?)?r??)?isin(??)] 22

7.復數(shù)集中解一元二次方程：

在復數(shù)集內(nèi)解關(guān)于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)時，應注意下述問題： ①當a,b,c?R時，若?＞0，則有二不等實數(shù)根x1,2?

根x1,2???b?；若?=0，則有二相等實數(shù)2a???b??|ib；若?＜0，則有二相等復數(shù)根x1,2?（x1,2為共軛復數(shù)）.2a2a

②當a,b,c不全為實數(shù)時，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.8.復數(shù)的三角形式運算：

r1(cos?1?isin?2)?r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r1(cos?1?isin?2)r1?[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r2(cos?2?isin?2)r2

棣莫弗定理：[r(cos?

?isin?)]n?rn(cosn??isinn?)

第三篇：高考數(shù)學備考：注重基礎(chǔ)知識 加強規(guī)律總結(jié)

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高考數(shù)學備考：注重基礎(chǔ)知識加強規(guī)律總結(jié)

命題：注重基礎(chǔ)和方法

注重“雙基”

高考數(shù)學試卷將會一如既往地堅持考查“雙基”——基礎(chǔ)知識、基本方法，突出對主干知識、重點知識的反復考查。三角函數(shù)、解三角形、數(shù)列、立體幾何、統(tǒng)計與概率等知識將在解答題中被重點考查。同時，在選擇題和填空題中，將對集合、復數(shù)、程序框圖、三視圖、二項式定理、線性規(guī)劃、向量、三角、函數(shù)圖像和性質(zhì)等內(nèi)容進行全面、系統(tǒng)的考查?？忌貏e注意教材中新增內(nèi)容，如二分法、函數(shù)零點、條件概率等，還要兼顧冷點知識，如線性回歸、相關(guān)系數(shù)、獨立性檢驗及正態(tài)分布等?？忌プ≈攸c并做到系統(tǒng)全面復習，切忌出現(xiàn)知識盲點。

注重數(shù)學本質(zhì)

高考數(shù)學最重視的是具有普遍意義的方法和相關(guān)的知識。例如，將直線方程代入圓錐曲線方程，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，再利用根的判別式、求根公式、韋達定理、兩點間距離公式等可以編出很多精彩的試題。這些問題考查了解析幾何的基本方法，也體現(xiàn)了考試中心提出的“應更多地從知識網(wǎng)絡(luò)的交會點上設(shè)計題目，從學科的整體意義、思想含義上考慮問題”的思想。

注重知識的交會

對推理論證能力和抽象概括能力的考查貫穿于全卷，是考查的重點;對空間想象能力的考查，主要體現(xiàn)在對文字語言、符號語言及圖形語言的互相轉(zhuǎn)化上。

對運算求解能力的考查以代數(shù)運算為主。對數(shù)據(jù)處理能力的考查主要是考查考生運用概率統(tǒng)計的基本方法和思想解決實際問題的能力，重視對數(shù)學思想方法，如分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、配方法等的考查，函數(shù)與方程、不等式、導數(shù)、數(shù)列、平面向量的結(jié)合，三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列等知識網(wǎng)絡(luò)間的交會仍然是數(shù)學命題的重點。

備考：突出重點，加強總結(jié)

選擇題題量大、分值多，考生可從近年高考試卷和做過的模擬題中篩選出那些“出鏡率高”的重點題型進行訓練。還要注意整理平時積累的一些小規(guī)律，這可以大大提高解客觀題的速度和準確率，還有助于在解答大題時抓住實質(zhì)，迅速解題。

解填空題的基本要求是“正確、合理、迅速”，必須概念清楚，推理明白，運算熟練，方法簡潔靈活?；绢}型以定量型居多，也有定性型和混合型。由于沒有選擇題的選項和“必有一個正確”的保證，填空題難度比選擇題要大，但應試策略基本類似。比如重點練習常考熱點題型，熟記大量特殊結(jié)論。另外，除直接求解法外，數(shù)形結(jié)合法、特殊賦值法、等價轉(zhuǎn)換法、特征分析法、歸納猜想法等都是十分有效的方法。數(shù)學解答題中常有一些帶有套路性的解題程序出現(xiàn)，要有意識地把它們提煉出來形成模型并反復練習。比如許多壓軸題的最后一步往往歸結(jié)為“二次函數(shù)最值或單調(diào)性”“雙勾函數(shù)與基本不等式”“恒成立問題與最值”等模型;立體幾何中，線面垂直是聯(lián)系各種平行垂直關(guān)系的樞紐，題目有或者能挖掘出此條件就等于成功了一半，之后用坐標法還是幾何法都很容易。還有立體幾何中的“向量坐標法”，解析幾何中的“代入消元-韋達定理-判別式-弦長公式”一條龍，導數(shù)大題中“求導-求極值點-解導數(shù)不等式-分類討論研究單調(diào)性”一條龍，幾乎每套卷子里都會用到。把這些運用得非常熟練，必受大益，而且也是一些大題的解題步驟。

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第四篇：高考數(shù)學回歸課本教案：復數(shù)

高考數(shù)學回歸課本教案

整理：盧立臻 第十五章 復數(shù)

一、基礎(chǔ)知識

21．復數(shù)的定義：設(shè)i為方程x=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復數(shù)。所有復數(shù)構(gòu)成的集合稱復數(shù)集。通常用C來表示。2．復數(shù)的幾種形式。對任意復數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標平面內(nèi)點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復數(shù)可以用點來表示，表示復數(shù)的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數(shù)z又對應唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對應復平面內(nèi)的點Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=a2?b2.如果用e表示cosθ+isinθ，則z=re，iθ

iθ稱為復數(shù)的指數(shù)形式。

3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則z?a-bi稱為z的共軛復數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：

?z1（1）z1?z2?z1?z2；（2）z1?z2?z1?z2；（3）z?z?|z|；（4）??z?22?z1?；（5）???z2（6）||z1?z2|?|z1|?|z2|；22

22z1|z1|；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|?z2|z2|1。z|z1+z2|+|z1-z2|=2|z1|+2|z2|；（9）若|z|=1，則z?4．復數(shù)的運算法則：（1）按代數(shù)形式運算加、減、乘、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致，運算結(jié)果可以通過乘以共軛復數(shù)將分母分為實數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z2?0,z1r1[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ?z2r22)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2e

i(θ1+θ2),z1r1i(?1??2)?e.z2r2n5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).n6.開方：若w?r(cosθ+isinθ)，則w?nn

r(cos??2k?n?isin??2k?n)，k=0,1,2,?,n-1。

[cos(?2??)?isin(?2??)]n?cosn(?2??)?isin(?2??)?cos(?2?n?)?isin(?2?n?)，所以n=4k+1.又因為0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個。4．二項式定理的應用。

02410013599例5 計算：（1）C100；（2）C100 ?C100?C100???C100?C100?C100???C100[解](1+i)=[(1+i)]=(2i)=-2,=1002505050

由二項式定理(1+i)=)+（***00C100?C100i?C100i???C100i?C100i024100(C100?C100?C100???C***9)i，比較實部和虛部，得C100=-2，?C100?C100???C100C100?C100?C100???C10013599=0。C100?C100?C100???C1005．復數(shù)乘法的幾何意義。

例6 以定長線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點為定點。

[證明] 設(shè)|BC|=2a，以BC中點O為原點，BC為x軸，建立直角坐標系，確定復平面，則B，C對應的復數(shù)為-a,a,點A，M，N對應的復數(shù)為z1,z2,z3,CA?z1?a,BA?z1?a，由復數(shù)乘法的幾何意義得：CN?z3?a??i(z1?a)，①BM?z2?a??i(z1?a)，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點為P，對應的復數(shù)z=

z2?z3?ai,為2定值，所以MN的中點P為定點。

例7 設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。

[證明] 用A，B，C，D表示它們對應的復數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因為|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立當且僅當Arg(B?AB?CD?AB?C)?Arg()，即Arg()?Arg()=π，即A，B，C，D共圓D?AC?DB?AD?C時成立。不等式得證。6．復數(shù)與軌跡。

例8 ΔABC的頂點A表示的復數(shù)為3i，底邊BC在實軸上滑動，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。

[解]設(shè)外心M對應的復數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點對應的復數(shù)分別是b,b+2.因為外心M是三邊垂直平分線的交點，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點M對應的復數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得4x2?6(y?).3所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。7．復數(shù)與三角。

例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[證明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則

[證明] 以P為原點建立復平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對應的復數(shù)，由題設(shè)及復數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取Q?三角形；又由C-Q=i(B-Q)得

C?iB，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角1?iDA?Q?i(?Q)，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直ii角三角形且以Q為直角頂點。綜上命題得證。

例14平面上給定ΔA1A2A3及點p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點列p0,p1,p2,?,使得pk+1為繞0中心Ak+1順時針旋轉(zhuǎn)120時pk所到達的位置，k=0,1,2,?,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。[證明] 令u=ei?3，由題設(shè)，約定用點同時表示它們對應的復數(shù)，取給定平面為復平面，則p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, 22①×u+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+uA1)+p0=w+p0,w為與p0無關(guān)的常數(shù)。同理得

22p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+uA1=0.由u=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說明ΔA1A2A3為正三角形。

三、基礎(chǔ)訓練題

221．滿足(2x+5x+2)+(y-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(x,y)有__________組。2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-

100=__________。z3.復數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)?z是純虛數(shù)，則z?__________。4．已知z??21?3i，則1+z+z+?+z

2199

2=__________。

5.設(shè)復數(shù)z使得z?1?的一個輻角的絕對值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。z?266．設(shè)z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關(guān)于z的方程z-Λz=w的解為z=__________。

1?x1?x2?arcsin?__________。7.設(shè)0

??29．若a,b,c∈C,則a+b>c是a+b-c>0成立的__________條件。

2210．已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x-2x+2=0和x+2mx+1=0的四個不同的根在復平面上對應的點共圓，則m取值的集合是__________。

211．二次方程ax+x+1=0的兩根的模都小于2，求實數(shù)a的取值范圍。12．復平面上定點Z0，動點Z1對應的復數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個動點Z對應的復數(shù)z滿足z1?z=-1，②求點Z的軌跡，并指出它在復平面上的形狀和位置。

13．N個復數(shù)z1,z2,?,zn成等比數(shù)列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠±1,復數(shù)222222

?|z1|?|z2|?|z3|?1,?zz?z13.給定實數(shù)a,b,c,已知復數(shù)z1,z2,z3滿足?1?2?3?1,求

?z2z3z1|az1+bz2+cz3|的值。

三、聯(lián)賽一試水平訓練題 1．已知復數(shù)z滿足|2z?1|?1.則z的輻角主值的取值范圍是__________。z2．設(shè)復數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復數(shù)z,(1+i)z，2z在復平面上對應的三個點分別是P，Q，R，當P，Q，R不共線時，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個頂點為S，則S到原點距離的最大值為__________。3．設(shè)復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應的復數(shù)依次為z1,z2,?,z20,則復數(shù)1995z1,z1995,?,z1995220所對應的不同點的個數(shù)是__________。

4．已知復數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為__________。5．設(shè)w??130z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對應復平面上的點A，B，點O為原點，∠AOB=90，?i，22|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。6．設(shè)w?cos?5?isinm?5n，則(x-w)(x-w)(x-w)(x-w)的展開式為__________。

3797．已知(3?i)=(1+i)(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。

8．復平面上，非零復數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z1?z2的實部為零，z1的輻角主值為?，則z2=__________。63?i7)?1]n的值中有實數(shù)__________個。29.當n∈N,且1≤n≤100時，[(10．已知復數(shù)z1,z2滿足

z2z1??7?，且Argz1?，Argz2?，Argz3??，則

368z1z2Argz1?z2的值是__________。z318

4811．集合A={z|z=1},B={w|w=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問：集合C中有多少個不同的元素？ 12．證明：如果復數(shù)A的模為1，那么方程(1?ixn)?A的所有根都是不相等的實根（n1?ix∈N+）.13.對于適合|z|≤1的每一個復數(shù)z，要使0<|αz+β|<2總能成立，試問：復數(shù)α，β應滿足什么條件？

六、聯(lián)賽二試水平訓練題

第五篇：考研數(shù)學基礎(chǔ)知識總結(jié)

考研數(shù)學基礎(chǔ)知識總結(jié) 1.擺線 一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經(jīng)過的軌跡稱為擺線，擺線有一個重要性質(zhì)，即當一物體僅憑重力從A點滑落到不在它正下方的B點時，若沿著A，B間的擺線，滑落所需時間最短，因此擺線又稱最速降曲線。每一拱的拱高為2a（即圓的直徑），拱寬為2πa（即圓的周長）r為圓的半徑，t是圓的半徑所經(jīng)過的角度（滾動角），當t由0變到2π時，動點就畫出了擺線的一支，稱為一拱。