第一篇：復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

(一)問題探索

問題1：復(fù)數(shù)z的幾何意義？設(shè)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z= a+bi（a，b∈R），連結(jié)OZ，則點(diǎn)Z，復(fù)數(shù)z= a+bi（a，b∈R）之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)

復(fù)數(shù)z=a+bi一一對(duì)應(yīng) 一一對(duì)應(yīng) 向量O Z

問題2：∣z∣的幾何意義？若復(fù)數(shù)z= a+bi（a，b∈R）對(duì)應(yīng)的向量是，則向量是22的模叫做復(fù)數(shù)z= a+bi（a，b∈R）的模，a?b（a，b∈R）。

問題3：∣z1-z2∣的幾何意義？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)的差z1?z2?z所對(duì)應(yīng)的向量就是連結(jié)Z1Z2并且方向指向（被減數(shù)向量）的向量,d?z1?z2??(x1?x2)2?(y1?y2)

2(二)探索研究

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示，求復(fù)平面內(nèi)下列曲線的方程：

1．圓的定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)

設(shè)Z(x,y)以Z0(x0,y0)為圓心，r(r?0)為半徑的圓上任意一點(diǎn),則ZZ0?r(r?0)

（1）該圓向量形式的方程是什么??r(r?0)

（2）該圓復(fù)數(shù)形式的方程是什么?z?z0?r(r?0)

（3）該圓代數(shù)形式的方程是什么?(x?x0)2?(y?y0)2?r2(r?0)

12．橢圓的定義:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Z1，Z2的距離的和等于常數(shù)(大于Z1Z2)的點(diǎn)的集合(軌跡)

設(shè)Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)為焦點(diǎn)，2a為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓的上任意一點(diǎn), 則ZZ1?ZZ2?2a(2a?Z1Z2)

（1）該橢圓向量形式的方程是什么

? ??2a(2a?Z1Z2)

（2）該橢圓復(fù)數(shù)形式的方程是什么? z?z1?z?z2?2a(2a?Z1Z2)變式:以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)為端點(diǎn)的線段

（1）向量形式的方程是什么

? ??2a(2a?Z1Z2)

（2）復(fù)數(shù)形式的方程是什么? z?z1?z?z2?2a(2a?Z1Z2)

3．雙曲線的定義:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Z1，Z2的距離的差的絕對(duì)值等于

常數(shù)(小于Z1Z2)的點(diǎn)的集合(軌跡)

設(shè)Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)為焦點(diǎn)，2a為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的上

任意一點(diǎn), 則ZZ1?ZZ2?2a(2a?Z1Z2)

（1）該雙曲線向量形式的方程是什么

? ?2a(2a?Z1Z2)

（2）該橢圓復(fù)數(shù)形式的方程是什么? z?z1?z?z2?2a(2a?Z1Z2)變式:射線

（1）向量形式的方程是什么?

?2a(2a?Z1Z2)

（2）復(fù)數(shù)形式的方程是什么?z?z1?z?z2?2a(2a?Z1Z2)

變式：以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線

（1）該線段向量形式的方程是什么

? ?2a(2a

?0)?（2）該線段復(fù)數(shù)形式的方程是什么? z?z1?z?z2?2a(2a?0)即

z?z1?z?z2

（三）應(yīng)用舉例

例1．復(fù)數(shù) z 滿足條件∣z+2∣-∣z-2∣=4，則復(fù)數(shù)z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z 的軌跡是（）

（A）雙曲線（B）雙曲線的右支

（C）線段（D）射線

答案：（D）一條射線

變式探究：

（1）若復(fù)數(shù)z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z 的軌跡是兩條射線，復(fù)數(shù) z 應(yīng)滿足什么條件？

（2）若復(fù)數(shù)z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z 的軌跡是線段，復(fù)數(shù) z 應(yīng)滿足什么條件？

（3）若復(fù)數(shù)z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z 的軌跡是雙曲線的右支，復(fù)數(shù) z 應(yīng)滿足什么條件？

（4）若復(fù)數(shù)z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z 的軌跡是雙曲線，復(fù)數(shù) z 應(yīng)滿足什么條件？

（5）若復(fù)數(shù)z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z 的軌跡是橢圓，復(fù)數(shù) z 應(yīng)滿足什么條件？

（6）若復(fù)數(shù)z 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z 的軌跡是線段的垂直平分線，復(fù)數(shù) z 應(yīng)滿足什么條件？ 例2．若復(fù)數(shù)z滿足條件z?1，求z?2i的最值。

解法1：（數(shù)形結(jié)合法）由z?1可知，z對(duì)應(yīng)于單位圓上的點(diǎn)Z；

z?2i表示單位圓上的點(diǎn)Z到點(diǎn)P（0，2）的距離。

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)Z運(yùn)動(dòng)到A（0，1）點(diǎn)時(shí)，z?2imin?1,此時(shí)z=i；

當(dāng)點(diǎn)Z運(yùn)動(dòng)到B（0，-1）點(diǎn)時(shí)，z?2imax?3, 此時(shí)z=-i。

解法2：（不等式法）?z1?z2?z1?z2?z1?z2

?z?2i?z?2i?z?2i

?z?1,2i?2，?1?z?2i?

3解法3：（代數(shù)法）設(shè)z?x?yi(x,y?R)，則x2?y2?1

?z?2i?x?yi?2i?x2?(y?2)2??4y?y?1，即?1?y?1

?當(dāng)y?1，即z?i時(shí)，z?2imin?1；

當(dāng)y??1，即z??i時(shí)，z?2imax?3=3,解法4：（性質(zhì)法）?z?2i2?(z?2i)(z?2i)?(z?2i)(z?2i)?(z?2i)(z?2i)?z?z?2(z?z)i?4?5?4yi ?y?1，即?1?y?1

?當(dāng)y?1，即z?i時(shí)，z?2imin?1；

當(dāng)y??1，即z??i時(shí)，z?2imax?3,變式探究：

（1）z?imin?，z?imax?；0；2

（2）z?1113i?z?i?；, 222min2max

（3z?2?2imin?z?2?2imax?2?1;22?1

（4z?1?i

min12111?z?1?i?2?;2? 222max

例3．已知z1、z2∈C，且z1?1，若z1?z2?2i，則z1?z2的最大值是（）

（A）６（B）５（C）４（D）３

解法1：z1?z2?z1?(2i?z1)?2z1?i ?z1?imax?2?z1?z2的最大值是4

解法2：?z1?z2?2i,?z1?2i?z2

?z1?1?2i?z2?1,即z2?2i?1?z1?1表示以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓；z2?2i?1表示以（0，2）為圓心，以1為半徑的圓。?z1?z2的最大值為兩圓上距離最大的兩點(diǎn)間的距離為4。

(四)反饋演練：

1． 復(fù)數(shù)z滿足條件∣z+i∣+∣z-i∣=２，則∣z+i-1∣的最大值是________

最小值是__________.1

2． 復(fù)數(shù)z滿足條件∣z-2∣+∣z+i∣=5，則∣z∣的取值范圍是（B）?25??2?,?,2???(A)?5(B)5???

(C)1,(D)?1,2?

??

?x?y?5?0?3． 已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件?x?y?0，z?x?yi(i為虛數(shù)單位），?x?3?

則|z?1?2i| 的最大值和最小值分別是．226,2

第二篇：復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義

復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算的法則及其推導(dǎo)過程． 2．掌握復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．

3．讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法． 4．培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的三角形式是本節(jié)內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算． 難點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義，不易為學(xué)生掌握． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

師：前面我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的三角形式，請(qǐng)大家用5分鐘的時(shí)間，完成以下兩道題的演算．（利用投影儀出示）

1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；

想出算法后，請(qǐng)大家在筆記本上演算，允許同學(xué)之間交換意見．

（教師在教室里巡視，稍過幾分鐘，請(qǐng)一位已經(jīng)做完的同學(xué)在黑板上寫出推導(dǎo)過程）學(xué)生板演：

z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）

=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]． 師：很好，你是怎樣想出來的？為什么這樣想？

生：我們已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算，因此把三角形式化為代數(shù)形式，按著代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則就可以完成運(yùn)算．根據(jù)數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的原則，運(yùn)用三角公式把結(jié)果化簡(jiǎn)． 在已知的基礎(chǔ)上發(fā)展和探索未知的東西，解題時(shí)，把未知轉(zhuǎn)化成已知，這是重要的思想方法．我是根據(jù)這個(gè)思想才想出來的．

師：觀察這個(gè)問題的已知和結(jié)論，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？

生：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的復(fù)角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和． 師：利用這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算：

這就是復(fù)數(shù)的三角形式乘法運(yùn)算公式．

三角形式是由模和輻角兩個(gè)量確定的，進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)要清楚模怎樣算？輻角怎樣算？ 使用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行運(yùn)算的條件是復(fù)數(shù)必須是三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，輻角不要求一定是主值．

同學(xué)們已經(jīng)了解，復(fù)數(shù)通過幾何表示，把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立起一一對(duì)應(yīng)后，復(fù)數(shù)不僅取得了實(shí)際的解釋，而且確實(shí)逐步展示了它的廣泛應(yīng)用．我們已經(jīng)研究了復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，并感覺到了它的用途，請(qǐng)大家討論一下，學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算對(duì)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有什么啟發(fā)呢？

（同學(xué)分組討論，請(qǐng)小組代表發(fā)言．如果條件允許，在學(xué)生發(fā)言同時(shí)，用多媒體輔助教學(xué)，演示模伸縮情況，輻角終邊的旋轉(zhuǎn)）

生：復(fù)數(shù)的乘法對(duì)應(yīng)的向量，就是由對(duì)應(yīng)于被乘數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角|θ2|，再把其模變?yōu)樵瓉淼膔2倍（r2＞1，應(yīng)伸長(zhǎng)；0＜r2＜1，應(yīng)縮短；r2=1，模長(zhǎng)不變），所得的向量就表示積z1·z2．這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．

師：解此題復(fù)數(shù)是否一定化成三角形式？

生：復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，無論是代數(shù)形式還是三角形式都表示同一個(gè)復(fù)數(shù)和向量，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，因此不一定化成三角形式，應(yīng)根據(jù)需要來選擇．

師：說得好，請(qǐng)同學(xué)們寫一下解題過程．（找一名同學(xué)到黑板板演）

解：所求的復(fù)數(shù)就是-1+i乘以一個(gè)復(fù)數(shù)z0的積，這個(gè)復(fù)數(shù)z0的模是1，輻角的主值是120°．所求的復(fù)數(shù)是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）

師：為什么？

生丙：乘數(shù)sin30°+icos 30°不是復(fù)數(shù)三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，應(yīng)化為cos 60°＋isin 60°，這樣才能應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義來解題．

師：同學(xué)們應(yīng)注意到旋轉(zhuǎn)的角度是輻角來確定的，而輻角的大小又是由復(fù)數(shù)的三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式來確定．

同學(xué)們開始討論解決：

生庚：復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義是在復(fù)平面內(nèi)實(shí)施的，因此要建立直角坐標(biāo)系． 師：你分析得正確，如圖8－13，建立坐標(biāo)系．取正方形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)1．

生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，這樣，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分別看作B1，B2，B3三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的輻角主值，下面應(yīng)考慮B1，B2，B3對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是什么？

按著老師規(guī)定的單位長(zhǎng)，B1，B2，B3三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋i，2＋i，3＋i． 師：好，你先談到這里，如果單位長(zhǎng)度有新的規(guī)定，例如邊長(zhǎng)為2，則三點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影響復(fù)數(shù)的輻角主值的大小，不過計(jì)算要繁一些．同學(xué)們繼續(xù)討論．

生壬：2＋i，3＋i的輻角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，誤差較大．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，積的輻角等于兩個(gè)乘數(shù)輻角之和，可以先作乘法，看乘積是什么？假若其輻角主值也不是特殊角，但只取一次近似值． 師：你分析得很好，請(qǐng)你計(jì)算一下：

師：今天這節(jié)課，從知識(shí)上要掌握用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算的法則和乘法的幾何意義及其推導(dǎo)過程．從思考方法上要善于從未知與已知、數(shù)與形以及復(fù)數(shù)的各種形式互相轉(zhuǎn)換角度上考慮問題．現(xiàn)在布置作業(yè)：

第三篇：復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義

復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．理解并掌握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義．

2．滲透轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法，提高分析、解決問題能力． 3．培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深刻性，靈活性等）． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：復(fù)數(shù)減法法則．

難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義．

（板書課題：復(fù)數(shù)減法及其幾何意義）

（二）復(fù)數(shù)減法

師：首先規(guī)定，復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算，那么復(fù)數(shù)減法法則為（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板書）1．復(fù)數(shù)減法法則

（1）規(guī)定：復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算；

（2）法則：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推導(dǎo)這個(gè)法則呢？

生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（學(xué)生口述，教師板書）

（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 師：說一下這樣推導(dǎo)的想法和依據(jù)是什么？

生：把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，利用乘法分配律和復(fù)數(shù)加法法則．

師：轉(zhuǎn)化的想法很好．但復(fù)數(shù)和乘法分配律在這里作為依據(jù)不合適，因?yàn)閺?fù)數(shù)乘法還沒有學(xué)，邏輯上出現(xiàn)一些問題． 生：我覺得可以利用復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算的規(guī)定來推導(dǎo)．（學(xué)生口述，教師板書）

推導(dǎo)：設(shè)（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即復(fù)數(shù)x+yi為復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+di的差．由規(guī)定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依據(jù)加法法則，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，得

故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 師：這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù)．

我們得到了復(fù)數(shù)減法法則，那么兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是什么數(shù)？ 生：仍是復(fù)數(shù)．

師：兩個(gè)復(fù)數(shù)相減所得差的結(jié)果會(huì)不會(huì)是不同的復(fù)數(shù)？ 生：不會(huì)． 師：這說明什么？

生：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是唯一確定的復(fù)數(shù)．

師：復(fù)數(shù)的加（減）法與多項(xiàng)式加（減）法是類似的．就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加（減），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．

（三）復(fù)數(shù)減法幾何意義

師：我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則，那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么？（板書：2．復(fù)數(shù)減法幾何意義）生：用向量表示兩個(gè)做減法的復(fù)數(shù)．（學(xué)生口述，教師板書）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），對(duì)應(yīng)向量分別

師：我們應(yīng)該如何認(rèn)識(shí)這個(gè)方程？（學(xué)生困惑，教師引導(dǎo)）

師：我們先看方程左式，右式分別表示什么？

生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1+i差的模． 師：有什么幾何意義嗎？

生：是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（1，1）間的距離．（學(xué)生活躍起來，紛紛舉手回答）

生：方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模，也就是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（-2，-1）間距離．這個(gè)方程表示的是到兩點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）距離相等的點(diǎn)的軌跡方程，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線．（2）|z+i|+|z-i|=4；（學(xué)生議論后，舉手回答）

生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個(gè)定點(diǎn)（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動(dòng)點(diǎn)軌跡．

師：這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么曲線呢？（學(xué)生稍有遲疑，有些同學(xué)小聲議論）生：是橢圓吧．

師：似乎回答的不夠肯定，不妨回憶一下橢圓的定義．

（學(xué)生在教師的提示下一起回答）生：在平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓． 師：滿足這個(gè)方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是不是橢圓呢？

生：是．因?yàn)辄c(diǎn)Z到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和是常數(shù)4，并且大于兩點(diǎn)（0，-1），（0，1）間的距離2，所以滿足方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（學(xué)生議論后，舉手回答）

生：這個(gè)方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個(gè)定點(diǎn)（-2，0），（2，0）距離差等于1的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)軌跡是雙曲線． 師：說的再準(zhǔn)確些． 生：是雙曲線右支．

師：很好．由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程．使有些曲線方程形式變得更為簡(jiǎn)捷．且反映曲線的本質(zhì)特征．

例4 設(shè)動(dòng)點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)z=x+yi對(duì)應(yīng)，定點(diǎn)P與復(fù)數(shù)p=a+bi對(duì)應(yīng)．求（1）復(fù)平面內(nèi)圓的方程；（學(xué)生口述，教師板書）

解：復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點(diǎn)的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）．

師：利用復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程．不等式等問題．

（五）小結(jié)

師：我們通過推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則，并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義，應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問題，不等式以及最值問題．

（六）布置作業(yè)P193習(xí)題二十七：2，3，8，9． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1．復(fù)數(shù)加法法則是規(guī)定的，而復(fù)數(shù)減法法則需要推導(dǎo)．推導(dǎo)過程要求每一步都要有合理依據(jù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維品質(zhì)．復(fù)數(shù)減法幾何意義是教學(xué)難點(diǎn)，主要由于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)及其幾何表示還不很熟悉，在復(fù)數(shù)加法幾何意義學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自己得到復(fù)數(shù)減法幾何意義，有利于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)減法幾何意義理解． 2．對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義應(yīng)分三個(gè)層次．

例1主要訓(xùn)練學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義應(yīng)用，并通過此例題使學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義有具體認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步使學(xué)生理解向量與向量終點(diǎn)表示復(fù)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，并體會(huì)兩個(gè)相等向量表示兩個(gè)復(fù)數(shù)差的各自方便之處．

例2是對(duì)復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，這既是對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義再次應(yīng)用，同時(shí)也為對(duì)復(fù)數(shù)方程的認(rèn)識(shí)打下基礎(chǔ)．

例3和例4是在例2公式基礎(chǔ)上將復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用推廣到用復(fù)數(shù)研究解析幾何某些曲線、不等式等問題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)復(fù)數(shù)減法幾何意義的重要性．

第四篇：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

七、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

例15（1）求曲線y= x11+ 在點(diǎn)(1,21)處的切線方程

（2）已知曲線（t為參數(shù)），求曲線在t=1處的法線方程。

....= += tarctanty)t1ln(x2

解（1）2)x1(1x11y+.= ′......+ =′，41)x1(1y1x21x.= +.=′ = =，即k= － 41，所以過（1，21）點(diǎn)的切線方程為：y-21= －

41(x-1)，即 x+4y-3=0

（2）2t])t1[ln()tarctant(dxdy2= ′+ ′.=，21dxdy1t= = ；即k法=-2，又t=1時(shí)，.....π.= = 41y0x ；

所以過切點(diǎn)(0,1-4π)的切線方程為：y-1+ 4π=-2(x-0)

即 2x+y+ 4π-1=0

第五篇：復(fù)數(shù)與幾何教案

復(fù)數(shù)與幾何·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握復(fù)平面、向量等有關(guān)概念；弄清復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；弄清復(fù)數(shù)模的幾何意義．

2．通過數(shù)形結(jié)合研究復(fù)數(shù)，提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，突出比較與類比的研究方法．

3．感受到為真理執(zhí)著追求的精神．進(jìn)行辯證唯物主義教育． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)與點(diǎn)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及復(fù)數(shù)的模．

難點(diǎn)：自由向量與位置向量的區(qū)別，以及它們與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念．什么是復(fù)數(shù)？ 生：形如a＋bi的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（學(xué)生有不同意見，小聲議論）師：誰有補(bǔ)充？

生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（教師給予肯定）

師：a，b∈R的條件很重要，實(shí)際上我們是用實(shí)數(shù)來定義的復(fù)數(shù)，雖然我們知道了復(fù)數(shù)的定義，但是復(fù)數(shù)對(duì)于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實(shí)數(shù)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，那么復(fù)數(shù)到底在哪里呢？我們能不能像實(shí)數(shù)那樣來表示復(fù)數(shù)呢？

生：數(shù)軸上的點(diǎn)不能表示虛數(shù)，只能表示實(shí)數(shù)．

師：那么用什么可以表示復(fù)數(shù)呢？注意復(fù)數(shù)是由a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)決定的，可以大膽設(shè)想一下，我們可以利用什么來表示復(fù)數(shù)？

生：可以用直角坐標(biāo)系里的點(diǎn)來表示嗎？ 師：××提出了一個(gè)想法，用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)．這種想法行不行呢？

（在黑板上畫出直角坐標(biāo)系，任取一點(diǎn)（a，b））師：能不能用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)呢？

生：可以．因?yàn)橛幸粋€(gè)復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R），就有一個(gè)點(diǎn)（a，b），而有一個(gè)點(diǎn)（a，b），就有一個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi．

師：他剛才所說的實(shí)際想說明一點(diǎn)復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)系中的點(diǎn)構(gòu)成的集合是一一對(duì)應(yīng)的．的確，由復(fù)數(shù)相等的概念，我們知道一個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）唯一確定，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．因此我們完全可以建立復(fù)數(shù)集與點(diǎn)集之間的一一對(duì)應(yīng)．看來，用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)是完全可以的．為了區(qū)別表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)與其它的點(diǎn)，我們把這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．那么在這個(gè)坐標(biāo)系中x軸上的點(diǎn)與y軸上的點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)分別具有什么特點(diǎn)呢？

生：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，即復(fù)數(shù)的虛部為0，因此x軸上的點(diǎn)代表實(shí)數(shù)．

師：既然x軸上的點(diǎn)代表了所有實(shí)數(shù)，我們就把復(fù)平面中的x軸叫實(shí)軸．那么y軸上的點(diǎn)代表什么樣的復(fù)數(shù)呢？

生：由于y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是零，因此y軸上的點(diǎn)表示的是純虛數(shù)． 師：同學(xué)們認(rèn)為他說得對(duì)嗎？

（大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為他說得對(duì)，少數(shù)人有疑惑）

生：原點(diǎn)也在y軸上，但0不是純虛數(shù)，而是實(shí)數(shù)．所以y軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外表示的都是純虛數(shù)．

師：他說得很對(duì)．y軸上只有這個(gè)原點(diǎn)搗亂，不然就可以表示所有的純虛數(shù)．因此，我們把去掉原點(diǎn)后的y軸叫虛軸．這樣虛軸上所有的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．那么，直角坐標(biāo)平面與復(fù)平面有什么區(qū)別？

生：直角坐標(biāo)平面中的x軸與y軸交于原點(diǎn)，而復(fù)平面中的實(shí)軸與虛軸沒有交點(diǎn)．

師：我們通過建立復(fù)平面，將復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣復(fù)數(shù)對(duì)我們來說，也就不顯得那樣遙遠(yuǎn)了．但對(duì)于復(fù)數(shù)的認(rèn)可，在19世紀(jì)可沒那么簡(jiǎn)單．第一次認(rèn)真討論這種數(shù)的是文藝復(fù)興時(shí)期意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”卡丹，他是1545年開始討論這種數(shù)的，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱作“詭辯量”，幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個(gè)名字——虛數(shù)．但是又過了140年，歐拉還是說這種數(shù)只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虛幻的縮寫）來表示它的單位．后來德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定義，但他們?nèi)愿械竭@種數(shù)有點(diǎn)虛無縹緲，盡管他也感到它的作用．1830年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系的復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)a＋bi，使復(fù)數(shù)有了立足之地，人們才最終承認(rèn)了它．看來復(fù)數(shù)從發(fā)現(xiàn)到最終被人們承認(rèn)，的確經(jīng)過了一個(gè)漫長(zhǎng)坎坷的過程，可最終使人們接受他的還是它的幾何表示，用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，人們才覺得復(fù)數(shù)的存在．

（學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史方面的知識(shí)很感興趣，因?yàn)樗麄兏械綌?shù)學(xué)的發(fā)展是那樣神秘，可以憑空造出數(shù)來，學(xué)生聽得聚精會(huì)神，當(dāng)最后得知是用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)這一理論使復(fù)數(shù)得以被人承認(rèn)后，甚至還有些成就感）

師：用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，我們還要介紹一種表示復(fù)數(shù)的方法，連接坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)Z，得到一個(gè)具有長(zhǎng)度且有方向的線段，這種既有大小又有方向的線段叫有向線段，而有向線段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？

生：既有大小又有方向的量叫向量． 師：能不能舉出一些向量的例子？

生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它們都是向量．

師：現(xiàn)在的問題是我們能不能用向量來表示復(fù)數(shù)？我們一般將起點(diǎn)為O，終點(diǎn)為Z的向量記作

．

生：當(dāng)然可以．因?yàn)橛幸粋€(gè)向量就對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，而有一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，而點(diǎn)與復(fù)數(shù)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可用向量表示復(fù)數(shù)．

（學(xué)生議論紛紛，看起來有不同意見）生：那我在復(fù)平面內(nèi)任意畫一個(gè)有向線段（大家在思考）

師：這個(gè)問題提得很好．實(shí)際上，大家可以想一想，剛才××同學(xué)說一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，對(duì)不對(duì)？怎么樣改一下就對(duì)了？ 生：應(yīng)改為起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，也就是起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)．

師：既然這樣，我們就知道，起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的．那其它向量怎么辦？它們對(duì)應(yīng)什么復(fù)數(shù)？能不能將他們移到原點(diǎn)來？，這個(gè)向量表示哪個(gè)復(fù)數(shù)呢？

生：只要它們的長(zhǎng)度和方向與合的位置上．

相同，就可以平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)，與 重師：實(shí)際上，我們把長(zhǎng)度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其實(shí)，我們只要規(guī)定相等的向量對(duì)應(yīng)同一個(gè)復(fù)數(shù)，我們就可以用向量來表示復(fù)數(shù)了．對(duì)那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，我們只要怎么做就可以知道它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)了呢？ 生：只要將它們平移到起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，這時(shí)向量終點(diǎn)所確定的復(fù)數(shù)就是那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量所表示的復(fù)數(shù)．

（教師給予肯定）

師：在這個(gè)正六邊形中有多少對(duì)向量相等，它們分別對(duì)應(yīng)著哪些復(fù)數(shù)？

師：這樣我們完成了今天我們要討論的第二個(gè)問題：復(fù)數(shù)與向量．我們弄清楚了向量可以來表示復(fù)數(shù)，相等的向量對(duì)應(yīng)著同一個(gè)復(fù)數(shù)．一個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量唯一嗎？

生：一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)際上可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)長(zhǎng)度相等、方向相同的向量，只是這些向量的位置不同．

師：現(xiàn)在我們知道復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)和向量來表示，它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用下圖來表示．

有了這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系后，我們常把復(fù)數(shù)z=a＋bi說成點(diǎn)Z（a，b），或說成向量 ．

師：在用有向線段表示向量時(shí)，有向線段的長(zhǎng)度我們定義為向量的模，即線段OZ的長(zhǎng)度為向量 的模．那么

可以表示復(fù)數(shù)z=a＋bi，那么 的?？梢员硎緩?fù)數(shù)的哪個(gè)量呢？在實(shí)數(shù)集中，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．在復(fù)數(shù)集中呢？

生：向量 的模就是復(fù)數(shù)的絕對(duì)值．

師：他的意思說出來了，但在復(fù)數(shù)中，我們一般不叫絕對(duì)值，叫復(fù)數(shù)的模．因此 的模就叫復(fù)數(shù)的模，只有復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，我們叫絕對(duì)值．那么復(fù)數(shù)的模具有什么樣的幾何意義？

生：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．

（教師給予肯定，并指出復(fù)數(shù)模的幾何意義與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義是統(tǒng)一的．）

師：復(fù)數(shù)的模用什么表示呢？

生：用實(shí)數(shù)集中絕對(duì)值的符號(hào)表示，z的模，記作|z|． 師：復(fù)數(shù)z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？

（學(xué)生板演）

師：我們知道復(fù)數(shù)一般不能比較大小，而復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)，可以比較大?。▽1，z2所表示的點(diǎn)畫在復(fù)平面上，再將它們所表示的向量畫出來，強(qiáng)調(diào)這三者的轉(zhuǎn)化）

例2 設(shè)z∈C，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4． 生：（1）表示到原點(diǎn)距離為4的點(diǎn)． 師：這樣的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)什么圖形？ 生：是原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓． 師：是圓面還是只有邊界的圓？為什么？

生：應(yīng)該是表示只有邊界的圓．因?yàn)榕c復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為4．所以z表示的點(diǎn)Z構(gòu)成一個(gè)半徑為4的圓． 生：（2）表示一個(gè)圓環(huán)．由于|z|的幾何意義是點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，所以2≤|z|＜4表示到原點(diǎn)距離大于等于2，小于4的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形．

師：準(zhǔn)確地說這個(gè)圖形應(yīng)當(dāng)是半徑為2與半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)容及內(nèi)邊界．包不包括邊界，主要是由原不等式中的等與不等決定的．

例3 用復(fù)數(shù)表示下圖中的陰影部分．

生甲：|z|＜3且虛部＜-1．由于圖中所示的點(diǎn)在半徑為3的圓中，且縱坐標(biāo)小于-1．

師：這種表示是否正確？（學(xué)生小聲議論）

生：是兩條直線．

師：夾在這兩條直線中間又滿足|z|＜3的點(diǎn)顯然不僅僅是陰影部

（學(xué)生到黑板畫出圖）

師：因此剛才乙同學(xué)的想法是好在不滿足于用一種方法表示，肯思考，但這個(gè)題無法用實(shí)部來表示．

（下面提問第2小題）生：|z|≥3，且實(shí)部≤-1．

生：不對(duì)．

師：看來用實(shí)部還是虛部表示，一定要全盤考慮，表示出來后，還要反過來檢查一下是否符合題設(shè)條件．

（教師小結(jié)）

師：這節(jié)課我們共同探尋了復(fù)數(shù)的幾何表示方法以及復(fù)數(shù)模的幾何意義．要特別重視數(shù)與點(diǎn)與向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在研究的過程中要特別注意與實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別．

補(bǔ)充作業(yè)

1．判斷下列命題的真假，并說明理由：

2．已知|x+yi|=2，求表示復(fù)數(shù)x+yi的點(diǎn)的軌跡．

4．設(shè)z∈C，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）實(shí)部＞0，虛部＞0且|z|＜4．

作業(yè)答案或提示

1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×． 2．x2+y2=4．3．略．

4．（1）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓；

（2）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓面，不包括邊界；

（3）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3和5的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部，包括外邊界；（4）以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓在第一象限的部分，不包括邊界． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本節(jié)課是一節(jié)內(nèi)容較為簡(jiǎn)單的概念課，但所涉及的知識(shí)內(nèi)容，非常重要，它是學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的重要一環(huán)．

本設(shè)計(jì)著重突出主體性教學(xué)的原則，盡量做到讓學(xué)生來發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的幾何表示法，由實(shí)數(shù)自然地過渡到復(fù)數(shù)．本節(jié)課還將復(fù)數(shù)的點(diǎn)的表示與向量的表示集中在一節(jié)課處理，筆者認(rèn)為這樣有利于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的整體把握． 在教學(xué)中還注意通過數(shù)學(xué)史的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，并自然地將思想教育滲透到教學(xué)中．