第一篇：《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計及反思

《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計及反思

交口第一中學(xué)

趙云鵬

平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數(shù)學(xué)的一個重要概念，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，在每年高考中也是重點考查的內(nèi)容。向量作為一種運算工具，其知識體系是從實際的物理問題中抽象出來的，它在解決幾何問題中的三點共線、垂直、求夾角和線段長度、確定定比分點坐標以及平移等問題中顯示出了它的易理解和易操作的特點。

一、總體設(shè)想：

本節(jié)課的設(shè)計有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量積的概念和幾何意義；二是圍繞數(shù)量積的概念通過變形和限定衍生出新知識――垂直的判斷、求夾角和線段長度的公式。教學(xué)方案可從三方面加以設(shè)計：一是數(shù)量積的概念；二是幾何意義和運算律；三是兩個向量的模與夾角的計算。

二、教學(xué)目標：

1.了解向量的數(shù)量積的抽象根源。

2.了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角

3.數(shù)量積與向量投影的關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義

4.理解掌握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能進行相關(guān)的判斷和計算

三、重、難點：

【重點】1.平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)

2.平面向量數(shù)量積的運算律的探究和應(yīng)用 【難點】平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

四、課時安排：

2課時

五、教學(xué)方案及其設(shè)計意圖： 1．平面向量數(shù)量積的物理背景

平面向量的數(shù)量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問題中出現(xiàn)了兩個矢量，即數(shù)學(xué)中所謂的向量，這時物體力F的所做的功為W?F?s?cos?，這里的?是矢量F和s的夾角，也即是兩個向量夾角的定義基礎(chǔ)，在定義兩個向量的夾角時，要使學(xué)生明確“把向量的起點放在同一點上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個啟示：功是否是兩個向量某種運算的結(jié)果呢？以此為基礎(chǔ)引出了兩非零向量a, b的數(shù)量積的概念。2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義

已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數(shù)量積的定義a?b = |a||b|cos?無法得到，因此另外進行了規(guī)定。3.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，叫ａ與ｂ的夾角.a?b?a?bco?s，a?b是記法，a?bcos?是定義的實質(zhì)――它是一個實數(shù)。按照推理，當0???2?2時，數(shù)量積為正數(shù)；當???時，數(shù)量積為零；

2當?????時，數(shù)量積為負。

4.“投影”的概念

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一個數(shù)量，它的符號取決于角?的大小。當?為銳角時投影為正值；當?為鈍角時投影為負值；當?為直角時投影為0；當? = 0?時投影為 |b|；當? = 180?時投影為 ?|b|.因此投影可正、可負，還可為零。

根據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫成a?b a

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分。5．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.向量數(shù)量積的幾何意義在證明分配律方向起著關(guān)鍵性的作用。其幾何意義實質(zhì)上是將乘積拆成兩部分：a和b?cos?。此概念也以物體做功為基礎(chǔ)給出。b?cos?是向量b在a的方向上的投影。6．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，則

(1)a?b ? a?b = 0；

(2)當a與b同向時，a?b = |a||b|；當a與b反向時，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|2或|a|?a?a

(3)|a?b| ≤ |a||b|

(4)cos??a?b，其中?為非零向量a和b的夾角。a?b例1.(1)已知向量a ,b，滿足b?2,a與b的夾角為600,則b在a上的投影為______

(2)若b?4,a?b?6,則a在b方向上投影為 _______ 例2.已知a?3，b?4，按下列條件求a?b

(1)a//b

(2)a?b(3)a與b的夾角為 1500 7.平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設(shè)a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?

∴a ? b = b ? a

2．數(shù)乘結(jié)合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內(nèi)取一點O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b

即：(a + b)?c = a?c + b?c

說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

ａ＝ｂ

（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0

①

(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0

② 兩式相減：2a?b = b2 代入①或②得：a2 = b2

a?bb21設(shè)a、b的夾角為?，則cos? =

∴? = 60? ??|a||b|2|b|225 評述：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；

(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.例4若記a?a?a2，求證：(1)(a?b)2?a2?2a?b?b2;(2)(a?b)(a?b)?a2?b2.以此作為今后求模的基礎(chǔ)。

圍繞向量的數(shù)量積的定義，可開發(fā)出解決幾何問題中有用的知識：垂直的判斷，夾角的計算和線段長度的計算。根據(jù)教學(xué)實際，有的數(shù)學(xué)知識可提出問題讓學(xué)生解決，并總結(jié)、概括出一般的結(jié)論或規(guī)律，但有些知識學(xué)生聽講時，理解起來都比較困難，就需要老師的講解，此時恰當?shù)奶幚矸绞绞牵合茸寣W(xué)生學(xué)會，再說明道理。這里，兩個向量垂直的判斷和夾角的計算，可通過讓學(xué)生自己做題后總結(jié)出來；而計算模則需要老師講解并加以強化：由a2?a?a?a?a?c0o?sa2a?b?a?bcos?，當b = a時，?a?a2.接著演示例題并練習(xí)。

〖例2〗已知a?2,b?3,且a, b夾角是60?，求a?(a?b);a?b.小結(jié)與反思：

以問題的形式，來反饋一節(jié)課的重點是否突出，難點是否突破。

問題一：關(guān)于向量的數(shù)量積的概念包括哪些主要內(nèi)容？如何引入的？

問題二：說出向量數(shù)量積的幾何意義及運算律。

問題三：用向量的數(shù)量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？ ? 數(shù)量積的概念包括兩個非零向量的夾角的定義和范圍、數(shù)量積的定義。? 向量數(shù)量積的幾何意義是：a ? b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運算律有三條：??。

? 用向量的數(shù)量積可解決幾何中三大問題：垂直的判斷、夾角的計算和求線段長度。⑴a?b?a?b?0； ⑵cos??a?b2a?a ⑶。a?b；板書設(shè)計：整個板面分成三列，把重點知識數(shù)量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來的幾何意義、運算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個向量夾角的相關(guān)概念；右列集中放例題。

教學(xué)記：本節(jié)課的設(shè)計注重教學(xué)目標的明確；注重根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律而科學(xué)地進行知識序列的呈現(xiàn)；注重調(diào)動學(xué)生參與教學(xué)活動；注重課堂效果的實效性。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)知識的來龍去脈，創(chuàng)設(shè)問題情景，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用，可以更好的理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。對于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，幫助學(xué)生克服機械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者，教師在教學(xué)中的作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提，教學(xué)過程中要發(fā)揚民主，要鼓勵學(xué)生質(zhì)疑，提倡獨立思考、動手實踐、自主探索、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。對于教學(xué)中問題情境的設(shè)計、教學(xué)過程的展開、練習(xí)的安排等，要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動參與，提出各自解決問題的方案，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學(xué)生切實體會到自主探索數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑。

第二篇：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計[推薦]

高效課堂教學(xué)模式探討公開課

平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

華羅庚中學(xué) 袁勁竹

一、教材分析

向量作為一種基本工具，在數(shù)學(xué)解題中有著極其重要的地位和作用。利用向量知識，可以解決不少復(fù)雜的的代數(shù)幾何問題?！镀矫嫦蛄康臄?shù)量積及應(yīng)用》，計劃安排兩個課時，本節(jié)課是第2課時。也就是，在復(fù)習(xí)了平面向量數(shù)的有關(guān)概念，坐標表示，以及平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)知識之后，本節(jié)課是進一步去認識、掌握平面向量數(shù)量積及平面向量的相關(guān)應(yīng)用。

二、課標要求

1、平面向量的數(shù)量積

①通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； ②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

③掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；

④能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。

2、向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。

三、命題走向及高考預(yù)測

通過對近幾年廣東高考試題的分析，向量的數(shù)量積及運算律一直是高考數(shù)學(xué)的熱點內(nèi)容之一，對向量的數(shù)量積及運算律的考查多為一個小題；另外作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時經(jīng)常用到．整個命題過程緊扣課本，重點突出，有時考查單一知識點；有時通過知識的交匯與鏈接，全面考查向量的數(shù)量積及運算律等內(nèi)容。

預(yù)測高考：

預(yù)測2012年廣東高考仍將以向量的數(shù)量積的運算、向量的平行、垂直為主要考點，以與三角、解析幾何知識交匯命題為考向。

四、學(xué)情分析

學(xué)生已復(fù)習(xí)了向量的相關(guān)概念、線性運算、數(shù)量積及初步應(yīng)用，已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運算和性質(zhì)，已初步體會研究向量運算的一般方法，具有一定的觀察、探究能力，這為學(xué)生進一步復(fù)習(xí)數(shù)量積數(shù)量積及應(yīng)用做了鋪墊。由于本班是普通班，受實數(shù)乘法運算的影響，造成不少學(xué)生對數(shù)量積理解上的偏差，從而出現(xiàn)錯誤。

五、教學(xué)目標

知識目標：

1、掌握平面向量的數(shù)量積公式及向量的夾角公式；

2、運用平面向量的知識解決有關(guān)問題。

能力目標：

1、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、化歸轉(zhuǎn)化的能力；

2、提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

六、教學(xué)重點、難點

重點：平面向量數(shù)量積公式及平面向量的應(yīng)用。

難點：如何將有關(guān)問題等價轉(zhuǎn)化為向量問題。

七、教法、學(xué)法分析

教法：采取啟發(fā)引導(dǎo)、反饋評價等方式；

學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生積極參與、自主探索，培養(yǎng)探究能力。

八、教學(xué)過程

【 基本知識點回顧 】

1、向量的數(shù)量積的概念

高效課堂教學(xué)模式探討公開課

?b的數(shù)量積。

2、數(shù)量積的性質(zhì)(e是單位向量，〈a，e〉＝θ)???????已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為?，則a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a與

(1)e·a＝a·e＝__________.(2)當a與b同向時，a·b＝_____；當a與b反向時，a·b＝__________.特別

地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b?__________.(4)cos〈a，b〉＝________.3、數(shù)量積的坐標運算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝______________.2(2)若a＝(x，y)，則|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|BA|＝____________________.(4)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?_____________________.4、向量的應(yīng)用

（1）平面向量數(shù)量積的運算

（2）利用平面向量數(shù)量積解決平行與垂直問題（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題

（4）平面向量的綜合運用

注：本節(jié)課是第2課時，重點學(xué)習(xí)（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題和（4）平面向量的綜合運用，其中平面向量的綜合運用主要是在三角函數(shù)中的應(yīng)用，在立體幾何、解析幾何等方面的應(yīng)用放在后面學(xué)習(xí)。

【典例剖析】

應(yīng)用3：利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題

???1????1例

1、(2011年廣州調(diào)研)已知a?1，a?b?，(a?b)?(a?b)?，求： 22??????（1）a與b的夾角的大小;(2)a?b與a?b夾角的余弦值

思路分析（先提問學(xué)生，然后板演解題過程）：利用向量夾角的余弦公式求解

設(shè)計意圖：讓學(xué)生分析解題思路以培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力，歸納概括能力。讓學(xué)生上臺板演可以暴露學(xué)生存在的問題，老師及時予以糾正，并呈現(xiàn)標準的解答格式，促使學(xué)生自我反思，以加強學(xué)生答題的規(guī)范性，做到“會做的題目得滿分，不會做的題目不得零分”。

【鞏固練習(xí)】

（1）（09重慶理）已知A、6

???????a?

1、b?6且a?(b?a)?2，則向量a與b的夾角是（）

? B、C、D、4???322

高效課堂教學(xué)模式探討公開課

(2（）2010年高考課標全國卷）??則a，b夾角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、??65656565??a，b為平面向量，已知???a?(4,3)，2a?b?(3,18)，答案：（1）C；（2）C；

設(shè)計意圖：選用的兩道題中，一道題向量是非坐標形式的，另一道題向量是坐標形式的，通過練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會選用適當?shù)墓浇忸}，鞏固所學(xué)知識。同時，讓學(xué)生多參與、多思考、多活動，改變教師大段講解的傾向，使師生活動交替進行，調(diào)節(jié)學(xué)生的注意力，促進學(xué)生各方面的發(fā)展。

題后小結(jié)：

(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系．(2)若已知a與b的坐標，則可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2

應(yīng)用四：平面向量的綜合運用

???sin?)，c?(?1，例

2、(2009 湖北理)已知向量a?(cos?，b?(cos?，sin?)，0)．??（1）求向量b+c的長度的最大值；

（2）設(shè)?? π4???，且a⊥(b?c)，求cos?的值．

設(shè)計意圖：通過典例精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認識，從而進一步提高分析、解決問題的能力。

【自主探究、共同提高】

?????

1、(06天津理)設(shè)向量a與b的夾角為?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，則cos?_____

??????????02、已知兩單位向量a與b的夾角為120，若c?2a?b，d?b?a，試求c與d的夾角的余弦值

3、設(shè)0???2?，已知兩個向量則向量p1p2長度的最大值是op1?(cos?,sin?)，op2?(2?sin?,2?cos?)，______ 答案： 1、31010；

2、?92142；

3、32

設(shè)計意圖：要求每位學(xué)生自己先做練習(xí)，然后對照答案進行自主的學(xué)習(xí)、同座之間互相探討，然后聽老師或?qū)W生進行講解。本環(huán)節(jié)盡量留出時間讓學(xué)生充分地比較，互相學(xué)習(xí)，共同提高。

高效課堂教學(xué)模式探討公開課

【課堂小結(jié)】：

1、向量知識，向量觀點有著廣泛的應(yīng)用，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了兩方面的應(yīng)用： 利用平面向量數(shù)量積解決夾角問題和平面向量的綜合應(yīng)用（在三角函數(shù)中應(yīng)用）

2、本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了化歸轉(zhuǎn)化的思想方法

向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

設(shè)計意圖：課堂小結(jié)由師生共同進行，以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力，歸納概括能力。同時要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)：做完一道題目的總結(jié)，學(xué)完一課、一章的總結(jié)，有總結(jié)才有提高，通過：練習(xí)—總結(jié)—再練習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率。

【課堂小測】

A、300?????????

1、(05北京)a?1，b?2，c?a?b，且c?a，則向量a與b的夾角為（）??

2、已知a?1，b?

000 B、60 C、120 D、150

?????2，且a?(a?b)，則向量a與b的夾角是_______.????

3、已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?)，且????22????（2）.求a?b的最大值(1).若a?b,求?

答案：

1、C

2、?4

3、（1）??4，（2）2?1

設(shè)計意圖：通過課堂小測快速反饋，既可以把學(xué)生取得的進步變成有形的事實，使之受到鼓勵，樂于接受下一個任務(wù)，又可以及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，及時矯正乃至調(diào)節(jié)教學(xué)的進度，從而有效地提高課堂教學(xué)的效率。

思考題、設(shè)向量??m?(cos?,sin?)和n?(2?sin?,cos?),??(?,2?)??82??且m?n?,求cos(?)的值528

【課后作業(yè)，分層練習(xí)】

必做： 《課時作業(yè)本》第4章第3課時

選做：(2009·江蘇)設(shè)向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.設(shè)計意圖：出選做題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，為學(xué)有余力的學(xué)生提供思考空間。

【教學(xué)反思】 待寫??

第三篇：平面向量的數(shù)量積教案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

教學(xué)目標：

1、知識目標:推導(dǎo)并掌握平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會利用數(shù)量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問題.2、能力目標:通過自主互助探究式學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,啟發(fā)學(xué)生用多角度去思考和解決問題的能力,促進學(xué)生對知識的掌握和靈活運用.3、情感目標:通過自主學(xué)習(xí),增強學(xué)生的成就感,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心.教學(xué)重點:利用數(shù)量積的坐標表示解決模、夾角、垂直等問題.教學(xué)難點:平面向量數(shù)量積的坐標表達式的推導(dǎo).教法:啟發(fā)式教學(xué),講練結(jié)合 學(xué)法:自主互助探究式 教學(xué)用具:多媒體 教學(xué)過程設(shè)計:

一、復(fù)習(xí)引入

(教師提問,學(xué)生回答)

二、知識探究

1.平面向量數(shù)量積的坐標表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學(xué)生到黑板上推導(dǎo))結(jié)論:兩個向量數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和.思考:向量數(shù)量積的坐標表示與前面所學(xué)的向量的坐標運算有什么聯(lián)系和區(qū)別?

(學(xué)生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問,學(xué)生做后兩問)

2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

(1)求模問題:

(讓學(xué)生自己推導(dǎo))?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習(xí):P107練習(xí)1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關(guān)系:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學(xué)生回答)例4.鞏固練習(xí).P107 練習(xí)3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設(shè)a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計算器,結(jié)合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學(xué)生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結(jié)

這節(jié)課咱們一起學(xué)習(xí)了: 1.平面向量數(shù)量積的坐標表示 2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎(chǔ)上加以靈活應(yīng)用.五、作業(yè)

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實數(shù)x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實數(shù)x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實數(shù)x的取值范圍是_____.

第四篇：平面向量數(shù)量積的坐標表示教學(xué)反思.doc范文

《平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角》教學(xué)反思

1、本節(jié)課先是通過對相關(guān)知識的回顧，然后引進與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，進一步探索兩個向量數(shù)量積的坐標表示。最后通過幾個例題加強學(xué)生對兩個向量數(shù)量積的坐標表示的理解及其靈活應(yīng)用。課堂結(jié)構(gòu)清晰完整流暢。在教學(xué)中，知識的回顧，題目的設(shè)計都圍繞數(shù)量積坐標表示展開。數(shù)量積公式得出后，啟發(fā)學(xué)生自己動手推導(dǎo)出模、夾角的坐標表示，回顧了公式的同時又培養(yǎng)了學(xué)生的推導(dǎo)能力、自主學(xué)習(xí)能力。在與學(xué)生的課堂交流中能傾聽學(xué)生的想法，及時糾正偏差，激發(fā)了學(xué)生自主探究的欲望，較好的提升了學(xué)生的思維能力，對于學(xué)生在探究過程中出現(xiàn)的問題都能認真加以點評，適時指出不足與優(yōu)點，對于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與總結(jié)都能給于很好的評價與贊揚，讓學(xué)生收到激勵，保持學(xué)習(xí)的熱情。

2、教學(xué)設(shè)計結(jié)構(gòu)嚴謹，過渡自然，時間分配合理。知識回顧部分把上節(jié)課的數(shù)量積、夾角、模、垂直、平行的有關(guān)知識進行回顧，每一條知識點的回顧都是本堂課的新課內(nèi)容。

3、新課引入部分問題設(shè)計合理，但提問的字句還需斟酌，要語簡意賅，如

22思考2中：對于上述向量i,j，則i,j,i.j分別等于什么？這樣的問法覺的還是太繁瑣，是否可以改為計算i2,j2,i.j？這樣可能更直接一點。

4、公式的得出，在應(yīng)用之前或者應(yīng)用之后都應(yīng)該對公式的結(jié)構(gòu)特征進行歸納總結(jié)。學(xué)生因為接受新知識，對公式肯定不是很了解，應(yīng)該要引導(dǎo)學(xué)生分析公式特征及應(yīng)用的注意點。

5、一節(jié)課的知識與技能是否落實，難點是否得到突破，是教學(xué)者最為關(guān)心的話題。課堂習(xí)題正是檢驗教學(xué)效果的工具。在習(xí)題設(shè)置上，除了覆蓋重難點外，還應(yīng)做到由簡入深。同時，在教學(xué)過程中，通過舊知生成新知的過程，采用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生一步步完成自主探究得到生成，是比較有效的教學(xué)方式。

6、通過本次公開訂，學(xué)到了很多東西，爭取下一次做得更好，另外還需改進語言表達能力，希望課堂氣氛可愉更加活躍。

第五篇：向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計

平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，力F所做的功為多少？

【師生活動】由全體學(xué)生共同回答。然后教師提問學(xué)生功、位移、力各是什么量，由此引入向量“數(shù)量積”的概念?！窘Y(jié)論】

（二）講授新課

1、向量的數(shù)量積

2、數(shù)量積的幾何意義

3、向量數(shù)量積的性質(zhì)

4、向量數(shù)量積的運算律

古典概型

教材分析

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)3（必修）第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時，是在學(xué)習(xí)隨機事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的。古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當重要的地位。

學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些簡單事件的概率，有利于解釋生活中的一些現(xiàn)象與問題。學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段已經(jīng)了解了頻率與概率的關(guān)系，會計算一些簡單等可能事件發(fā)生的概率，這為學(xué)習(xí)古典概型提供了一定的基礎(chǔ)。教學(xué)目標

1.知識與技能：

(1)通過試驗理解基本事件的概念和特點；

(2)通過具體實例分析，抽離出古典概型的兩個基本特征，并推導(dǎo)出古典概型下的概率計算公式；

(3)會求一些簡單的古典概率問題。

2.過程與方法：經(jīng)歷探究古典概型的過程，體驗由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

3.情感、態(tài)度與價值觀：通過具有現(xiàn)實意義的實例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。教學(xué)重、難點

重點：理解古典概型的概念，利用古典概型求解隨機事件的概率。難點：如何判斷一個試驗是否為古典概型，弄清在一個古典概型中基本事件的總數(shù)和某隨機事件包含的基本事件的個數(shù)。教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

有一本好書，兩位同學(xué)都想看。甲同學(xué)提議擲硬幣：正面向上甲先看，反面向上乙先看。乙同學(xué)提議擲骰子：三點以下甲先看，三點以上乙先看。這兩種方法是否公平？

【師生活動】由全體學(xué)生共同回答。教師提出公平與否實質(zhì)上是概率大小問題，切入本堂課主題——利用古典概型求隨機事件的概率。

（二）溫故知新

回顧前幾節(jié)課對概率求取的方法。

【師生活動】由全體學(xué)生共同回答，進而教師提出這種求概率的方法的不足之處，提出建立概率模型的必要性?！窘Y(jié)論】大量重復(fù)試驗。

（三）講授新課

1、基本事件

問題1：（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，會有哪幾種可能結(jié)果？

（2）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，會有哪幾種可能結(jié)果？

【師生活動】由全體學(xué)生共同回答。教師提出基本事件的概念。【結(jié)論】

定義：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件。

問題2：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子

(1)在一次試驗中，會同時出現(xiàn)“1點”和“2點”這兩個基本事件嗎？

(2)隨機事件“出現(xiàn)點數(shù)小于3”與“出現(xiàn)點數(shù)大于3”包含哪幾個基本事件？

問題3：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣

(1)在一次試驗中，會同時出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”這兩個基本事件嗎？

(2)“必然事件”包含哪幾個基本事件？

【師生活動】由全體學(xué)生共同回答。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)基本事件的共同特征?；臼录奶攸c：(1)任何兩個基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2、古典概型

思考:從基本事件角度來看,上述兩個試驗有何共同特征？ 【師生活動】由個別學(xué)生回答，教師輔助講解，引出古典概型的概念。古典概型的特征：

(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件的個數(shù)有限；(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。思考：能否列舉出一些生活實例是符合古典概型的特征的？

3、求解古典概型

思考:古典概型下,每個基本事件出現(xiàn)的概率是多少?隨機事件出現(xiàn)的概率又如何計算？(1)基本事件的概率 試驗1:擲硬幣

P(“正面向上”）= P(“反面向上”）=1/2 試驗2:擲骰子

P（“1點”）=P（“2點”）=P（“3點”）=P（“4點”）=P（“5點”）=P（“6點”）=1/6 【師生活動】由全體學(xué)生共同回答，教師板書。

【結(jié)論】古典概型中,若基本事件總數(shù)有n個,則每一個基本事件出現(xiàn)的概率為1/n。(2)隨機事件的概率

擲骰子試驗中，記事件A為“出現(xiàn)點數(shù)小于3”，事件B為“出現(xiàn)點數(shù)大于3”，如何求解P(A)與P(B)？

【結(jié)論】古典概型中,若基本事件總數(shù)有n個，A事件所包含的基本事件個數(shù)為m，則P（A）=m/n。

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

一、教材分析

本節(jié)課是在學(xué)生掌握了單位圓中的正弦函數(shù)線和誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上進行的，不僅是對前面所學(xué)知識應(yīng)用的考察，也是后續(xù)學(xué)習(xí)正、余弦函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。對函數(shù)圖像清晰而準確的掌握也為學(xué)生在解題實踐中提供了有力的工具。本小節(jié)內(nèi)容是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是本章知識的重點，有著承前啟后的作用。

二、學(xué)情分析

知識上，通過高一對函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的繪圖技能，能夠類比推理畫出圖像，并通過觀察圖像，總結(jié)性質(zhì)。心理上，具備了一定的分辨能力、語言表達能力，初步形成了辯證的思維方法。

三、教學(xué)目標

（一）知識與技能

1、會用單位圓中的線段畫出正弦函數(shù)的圖象；

2、結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，會用誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；

3、會用“五點法”畫正、余弦函數(shù)的圖象。

（二）過程與方法

1、通過將單位圓12等分，過各分點做垂線，得到對應(yīng)于0、π/6...2π等角的正弦線，將其向右平移，得到函數(shù)y=sinx ,x?[0,2?]的圖象；

2、根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)，通過適當?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)的圖象；

3、通過先描關(guān)鍵的五個點，再用光滑的曲線將其連接起來，得到正余弦函數(shù)的圖象。

（三）情感、態(tài)度與價值觀

1、通過作函數(shù)圖象，感受數(shù)形結(jié)合的思想；

2、通過各函數(shù)圖象之間的關(guān)系，學(xué)會用聯(lián)系的觀點看問題。

四、教學(xué)重、難點

重點：用“五點法”畫正弦曲線、余弦曲線。

難點：利用單位圓中的正弦線畫出函數(shù)y=sinx ,x?[0,2?]的圖象；

利用正弦曲線和誘導(dǎo)公式畫出余弦曲線。

五、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1、如何畫函數(shù)的圖象？有什么方法

2、回顧一下三角函數(shù)線的概念。

【師生活動】對于這兩個問題，可由個別學(xué)生回答，教師根據(jù)學(xué)生的回答進行板書，進而引出本節(jié)課的主題——繪制正余弦函數(shù)的圖象。

（二）講授新課

1、正弦函數(shù)的圖象

（1）提問：1）一般怎樣得到函數(shù)圖象上點的兩個坐標數(shù)據(jù)？

2）由于一般角的三角函數(shù)值都是近似值，作圖不夠精確，我們?nèi)绾蔚玫饺我饨堑娜呛瘮?shù)值并用線段長（或有向線段數(shù)值）表示x角的三角函數(shù)值。即如何在直角坐標系中準確的描出此點（x,sinx）？

【師生活動】問題1可由學(xué)生回答，學(xué)生可能會回答描點法，進而教師指出三角函數(shù)值都是近似值，作圖不夠精確，拋出問題2。對于問題2，教師可自問自答，指出可利用單位圓中的正弦線來準確描點。之后教師板書利用正弦線作正弦函數(shù)圖象的過程。（2）利用正弦線作正弦函數(shù)的圖象： 1）作直角坐標系，并在直角坐標系中y軸左側(cè)畫單位圓 2）把單位圓分成12等分（等分越多，畫出的圖象越精確），可分別在單位圓中作出對應(yīng)于x的0，,?? ,2? 的正弦函數(shù)線。

3）找橫坐標：把x軸上從0到2?(2?≈6.28)這一段分成12等分。4）找縱坐標：將正弦線對應(yīng)平移，即可得到相應(yīng)12個點。

5）連線：用平滑的曲線將12個點依次從左至右連接起來，即得y=sinx，x∈[0,2?]的圖像。使學(xué)生明白作圖方法的來由。

2、余弦函數(shù)的圖象

思考：能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)，通過適當?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)的圖象？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生利用誘導(dǎo)公式將正余弦函數(shù)聯(lián)系起來，可由個別學(xué)生回答?！窘Y(jié)論】

3、五點法作圖

（1）提問：利用正弦線作圖確實比較精確，但不太實用，我們該如何快捷地畫出正弦函數(shù)的圖象呢？

追問：請同學(xué)們仔細觀察：是否可看出，在函數(shù)y=sinx，x∈[0,2?]的圖象上，起關(guān)鍵作用的點只有五個：（哪五個？）

【師生活動】由全體學(xué)生共同回答，進而教師指出在精確度不高的情況下，常常先找出這五個關(guān)鍵點，然后用光滑曲線將它們連接起來，就可以得到函數(shù)的簡圖?！窘Y(jié)論】

（2）提問：類似于正弦函數(shù)圖象的五個關(guān)鍵點，能否找出余弦函數(shù)的五個關(guān)鍵點？作出簡圖。

【師生活動】由學(xué)生自主探索用五點法作圖，教師可請一位學(xué)生上來板演，之后進行一定的講解。

（三）例題講解

兩角差的余弦公式

教材分析

三角恒等變換處于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點和交匯點上，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運算能力的重要素材．兩角差的余弦公式是《三角恒等變換》這一章的基礎(chǔ)和出發(fā)點，公式的發(fā)現(xiàn)和證明是本節(jié)課的重點，也是難點。由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性，我們可以在獲得其中一個公式的基礎(chǔ)上，通過角的變換得到另一個公式．我們可以用“隨機、自然進入”的方式選擇其中的一個作為突破口．教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，其基本出發(fā)點是使公式的證明過程盡量簡潔明了，易于學(xué)生理解和掌握，同時也有利于提高學(xué)生運用向量解決相關(guān)問題的意識和能力．

教材沒有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結(jié)果、證明結(jié)果兩步進行探究，并從簡單情況入手得出結(jié)果．這樣的安排不僅使探究更加真實，也有利于學(xué)生學(xué)會探究、思維發(fā)展。教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課 問題1：我們知道cos30??13，cos60??，cos30?又可寫成cos(60?-30?)，那么

22cos(60?-30?)是不是就等于cos60?-cos30?呢？

【師生活動】可由教師直接在黑板上板書，與學(xué)生共同驗證結(jié)論的錯誤，進而引出本節(jié)課所要探討的兩角差的余弦公式。

（二）講授新課

兩角差的余弦公式：cos(?-?)?cos?cos??sin?sin? 思考：如何證明上述公式？

追問：求一個角的余弦值的最原始的方法是什么？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生從單位元上的三角函數(shù)出發(fā)，在單位元中構(gòu)造直角三角形和角α、β，將cos?、cos?、sin?、sin?表示出來，找出它們之間的等量關(guān)系?？上瓤紤]簡單的情形，即α、β是銳角的情況。【結(jié)論】通過單位元中的三角函數(shù)線。【證明】

提問：對于α、β是任意角的情況，如何將公式進行推廣呢？

【師生活動】此項推廣工作比較繁難，教師在課堂上可提示有興趣的學(xué)生回去自行研究一下。提問：上個單元我們學(xué)習(xí)了向量的知識，在證明兩角差的余弦公式時能否利用向量的知識來證明呢？

【師生活動】教師提示學(xué)生可在單位元中取兩個向量，通過計算向量的數(shù)量積得到公式，但要提醒學(xué)生注意考慮角的范圍，通過觀察討論搞清?-??2k????！咀C明】

正弦定理

一、教材分析

正弦定理選自《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修5（人教A版）》，主要學(xué)習(xí)正弦定理及其應(yīng)用。本節(jié)課作為本章的起始課，既是初中解直角三角形的延拓，也是對三角函數(shù)和平面向量等知識在三角形中的運用。本節(jié)內(nèi)容是解任意三角形的基礎(chǔ)，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)余弦定理打下了一定的基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，這為學(xué)習(xí)正弦定理打下了良好的基礎(chǔ)。但本節(jié)內(nèi)容涉及代數(shù)推理，定理的推導(dǎo)和證明中可能涉及多方面的知識方法，綜合性強，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難免會有困難。

四、教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點： 1.正弦定理的推導(dǎo).2.正弦定理的運用

教學(xué)難點：1.正弦定理的推導(dǎo).2.正弦定理的運用.五、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系，我們是否能得到這個邊、角關(guān)系的準確量化呢？

【師生活動】教師指出在一個?ABC中，如果已知。。，我們要研究。。由此，引出本節(jié)課的主題——正弦定理。

（二）講授新課

1、特殊入手，探究證明

直角三角形中角與邊的等式關(guān)系：

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)正弦函數(shù)的定義，得到三邊與對應(yīng)的角的正弦值的關(guān)系?！咀C明】

2、推廣拓展，探究證明

銳角三角形中角與邊的等式關(guān)系：

問題1：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示 “a與sinA、b與sinB”的關(guān)系呢？ 追問：能否構(gòu)造直角三角形，將問題化歸為已知問題？

【學(xué)情預(yù)設(shè)】此處，學(xué)生可能出現(xiàn)以下答案情形。學(xué)生對直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過以下兩種方法構(gòu)造直角三角形。

生1：過 C作BC邊上的線CD，交BA的延長線于D，得到直角三角形DBC。生2：過A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個直角三角形問題。【師生活動】可由個別學(xué)生回答，教師根據(jù)學(xué)生的回答進行板書證明?！咀C明】

問題3：鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生對于鈍角三角形的情況，類別銳角三角形，構(gòu)造直角三角形，留給學(xué)生課后回去思考。

3、正弦定理的理解 正弦定理：

問題4：定理從結(jié)構(gòu)上看有什么特征？有哪些變形式？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察定理的結(jié)構(gòu)，用方程的觀點看問題，每個方程含有四個量，知三求一。

【結(jié)論】（1）從結(jié)構(gòu)看：各邊與其對角的正弦嚴格對應(yīng)，成正比例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。

（2）從方程的觀點看：每個方程含有四個量，知三求一。從而知正弦定理的基本作用為：

① 已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值。

余弦定理

教材分析

余弦定理是初中勾股定理的直接延拓，也是解任意三角形的基礎(chǔ)，是三角函數(shù)和平面向量知識在三角形中的具體運用，具有廣泛的應(yīng)用價值。同時，它也是學(xué)習(xí)后續(xù)知識的基礎(chǔ)?！緦W(xué)情分析】

學(xué)生已經(jīng)會用正弦定理解決三角形相關(guān)問題，了解三角形邊角之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。對于正弦定理解決已知兩邊及夾角問題學(xué)生有一定的求知欲，這就促使學(xué)生去探索如何求解該類問題。

【教學(xué)重點】 余弦定理推導(dǎo)

【教學(xué)難點】 余弦定理推導(dǎo)及應(yīng)用 教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

如果已知一個三角形的兩邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形。怎樣在這樣的已知三角形的兩邊及其夾角的條件下解三角形呢？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生先用數(shù)學(xué)符號表示上述問題：如果已知三角形的兩邊a，b和角C，如何解出c，B，A？先考慮怎樣計算出c的大小。即要研究如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊的問題，由此引出本節(jié)課的主題——余弦定理。

（二）講授新課

1、余弦定理

問題1：聯(lián)系所學(xué)過的知識，從什么途徑來解決上述問題呢？

【師生活動】由于涉及到邊長問題，教師引導(dǎo)學(xué)生從向量的角度出發(fā)考慮，利用向量的數(shù)量積求解。【證明】 余弦定理：

2、余弦定理的推論 問題2：

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生將余弦定理進行變形，可以通過三邊計算出三角形的三個角?！窘Y(jié)論】

3、余弦定理和勾股定理的關(guān)系

問題3：余弦定理與以前的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近？

【師生活動】由個別學(xué)生回答，教師由此引進就三種不同情形探究兩個定理之間的聯(lián)系。【結(jié)論】

（三）例題講解

等差數(shù)列

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

情境1：在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，10,15,20...情境2： 情境3 情境4：

思考：同學(xué)們觀察一下上面的這四個數(shù)列： 0，5，10，15，20，?? ① 48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 072，10 144，10 216，10 288，10 360 ④ 看這些數(shù)列有什么共同特點呢？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察每個數(shù)列相鄰兩項之間的關(guān)系，由此引出等差數(shù)列的概念?！窘Y(jié)論】

（二）講授新課

1、等差數(shù)列的概念

問題1：對于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請同學(xué)們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個定義。

【師生活動】由個別學(xué)生回答，教師輔助講解?！窘Y(jié)論】

問題2：如果在與中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？ 【師生活動】由個別學(xué)生回答，教師由此引入等差中項的概念?！窘Y(jié)論】

2、等差數(shù)列的通項公式

問題3：對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義，先得到相鄰兩項之間的關(guān)系，再將每一項用首項及公差表示出來，即可發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律，得到通項公式。【結(jié)論】

等差數(shù)列的前n項和

教材分析

等差數(shù)列的前n項和是數(shù)列與等差數(shù)列的概念的延續(xù)，是進一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識的重要基礎(chǔ)和有力工具。同時，它也為后續(xù)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項和打下了一定的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)中的函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等都有密切的聯(lián)系。

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中經(jīng)常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時，高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問題：1+2+3+??+100=？當時，當其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+??+（50+51）=101×50=5050。高斯的算法解決了1+2+3+??+n中前100項之和的問題。

【師生活動】教師通過講述這個故事，因此本節(jié)課的主題——等差數(shù)列的前n項和，并讓學(xué)生思考高斯的算法妙在哪里。

（二）講授新課

問題1：能否嘗試用高斯的方法計算出1+2+3+??+n的結(jié)果？ 【師生活動】先由學(xué)生自主思考，再請個別學(xué)生回答，教師輔助講解?！窘Y(jié)論】

問題2：有沒有更巧妙的方法呢？

【師生活動】教師指出數(shù)學(xué)家們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1，2，3，?，n，?的前n項的和：

由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 +? + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1）

可知

這種方法叫“倒序相加法”。

問題3：對于一般的等差數(shù)列求和，能否用倒序相加法來求解？

【師生活動】教師設(shè)出一個一般的等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生用倒序相加法求和，將Sn用兩種方式表示出來，同樣將兩式相加，得到等差數(shù)列前n項和的公式?！就茖?dǎo)過程】

問題4：如果不知道末項，如何求前n項和？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生可利用等差數(shù)列的通項公式，將an用首項及公差表示，得到公式2?！窘Y(jié)論】

等比數(shù)列的前n項和

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（5）》（人教版）第二章第5節(jié)第一課時。從在教材中的地位與作用來：看《等比數(shù)列的前n項和》是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)情分析

從學(xué)生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學(xué)對象是剛進入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。教學(xué)過程

（三）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

國際象棋起源于古代印度。相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么。發(fā)明者說：請在棋盤的第一個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生將各格所放的麥粒數(shù)看成一個數(shù)列，可得到一個等比數(shù)列。該問題即是求這個等比數(shù)列前64項的和。提問：如何對上式進行求解呢？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生對上式進行觀察，進而發(fā)現(xiàn)后一項均是前一項的2倍，用2乘以上式，得到一個新的式子，再引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個式子的關(guān)系，將兩式相減，從而得到最終結(jié)果。【求解過程】

（四）講授新課

問題1：對于一般的等比數(shù)列。，它的前n項和是。。，如何求前n項和呢？ 【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生類比求麥粒的過程，自主探究等比數(shù)列的前n項和的公式，可請個別學(xué)生上來板演?！就茖?dǎo)過程】 【注意點】q?1

問題2：如果不知道數(shù)列總共有多少項，如何求第一項至最后一項的總和？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生如果不知道n具體為多少時，該如何求解前n項和，引導(dǎo)學(xué)生回顧。，可將公式進行變化得到另一公式?！窘Y(jié)論】

問題3：若q=1，則是什么數(shù)列？

【師生活動】由全體學(xué)生共同回答，教師進行板書，將特殊情況羅列出來?！窘Y(jié)論】常數(shù)數(shù)列。

平行線的判定

1、教材分析

圖形的判定與圖形的性質(zhì)，是研究圖形時必須要解決的兩類問題，判定兩條直線平行，是指根據(jù)直線具備的某個條件，就可以得到這兩條直線平行的結(jié)論。而性質(zhì)是一種事物區(qū)別于其它事物的根本屬性。研究平行線的性質(zhì)，平行線是已知的前提條件。因此二者的不同之處在于平行線是條件還是結(jié)論。教科書通過學(xué)生已學(xué)過的平行線的畫法中，有同位角相等畫出的兩直線就平行這一數(shù)學(xué)事實，得出“同位角相等，兩直線平行”的判定方法。這一方法是判定兩直線平行的基本方法，利用這一方法，通過對頂角和鄰補角關(guān)系分別推出平行線的另外兩種判定方法。教科書p36上端提出的問題可用反證法的思想加以說明。假設(shè)CD與EF不平行，那么CD與EF相交，設(shè)交點為O，那么過O點就可畫兩條直線與AB平行，這與“經(jīng)過直線外一點能畫并且只能畫一條直線與已知直線平行”的已知事實矛盾，所以CD∥EF。在平行線判定的教學(xué)中，應(yīng)充分體現(xiàn)一條主線索：“充分實驗—仔細觀察—形成猜想—實踐檢驗—明確條件和結(jié)論．”

2、學(xué)生分析

以前學(xué)生接觸的是一步推理，而且因果關(guān)系比較明顯。判定定理的推導(dǎo)需要先通過角的關(guān)系，找符合判定公理的條件，涉及兩步推理，學(xué)生需要思考的問題復(fù)雜了一些，可能一時適應(yīng)不了問題的思考方法。教學(xué)時注意引導(dǎo)，隨時歸納總給使學(xué)生逐漸學(xué)會思考和分析。根據(jù)以前經(jīng)驗，多數(shù)學(xué)生能積極思考、探究，敢于發(fā)表自己的見解；在前面的教學(xué)中，曾開展過探究實踐活動，全班同學(xué)具有初步的小組合作交流的經(jīng)驗。

3、學(xué)習(xí)目標

知識與技能目標：經(jīng)歷觀察、操作、推理、交流等活動，探索并掌握平行線的三個判定方法，并會正確識別圖中的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角。

能力與方法目標：經(jīng)歷探索直線平行的條件的過程，發(fā)展空間觀念和有條理的表達能力。

情感與態(tài)度目標：在自己獨立思考的基礎(chǔ)上，積極參與小組活動對直線平行條件的討論，敢于表達自已的觀點，并從中受益。

重點難點分析：本節(jié)的重點是：平行線的判定公理及兩個判定定理．一般的定義與第一個判定定理是等價的．都可以做判定的方法．但平行線的定義不好用來判定兩直線相交還是不相交．這樣，有必要借助兩條直線被第三條直線截成的角來判定．因此，這一個判定公理和兩個判定定理就顯得尤為重要了．它們是判斷兩直線平行的依據(jù)，也為下一節(jié)，學(xué)習(xí)習(xí)近平行線的性質(zhì)打下了基礎(chǔ)．本節(jié)內(nèi)容的難點是：理解由判定公理推出判定定理的過程．學(xué)生剛剛接觸演繹推理方法，對幾何說理還不太理解．有些同學(xué)甚至認為從直觀圖形即可辨認出的性質(zhì)，沒必要再進行證明．這些都使幾何的入門教學(xué)困難重重．因此，教學(xué)中要有直觀的演示和操作，也要有嚴格推理板書示范．創(chuàng)設(shè)情境，不斷滲透，使學(xué)生初步理解說理的步驟和基本方法．

勾股定理

教材分析：

這節(jié)課是九年制義務(wù)教育初級中學(xué)教材浙教版八年級第二章第六節(jié)《探索勾股定理》第一課時，勾股定理是幾何中幾個重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到重要的作用，在現(xiàn)時世界中也有著廣泛的作用。學(xué)生通過對勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對直角三角形有進一步的認識和理解。

學(xué)情分析

八年級學(xué)生已經(jīng)具有了一定的幾何圖形的觀察能力，同時他們的抽象思維能力、邏輯推理能力也有了一定的發(fā)展。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了三角形，全等三角形，等腰三角形以及簡單多邊形的相關(guān)性質(zhì)，對本節(jié)課的學(xué)習(xí)有很大幫助。本節(jié)內(nèi)容思維量較大，對思維的嚴謹、歸納推理等能力有較高要求，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度。

多邊形的內(nèi)角和

一、教材分析：

從教材的編排上，本節(jié)課作為第三章的第三節(jié)。從三角形的內(nèi)角和到四邊形的內(nèi)角和至多邊形的內(nèi)角和，環(huán)環(huán)相扣。同時，對今后學(xué)習(xí)的鑲嵌，正多邊形和圓等都是非常重要的。知識的聯(lián)系性比較強。因此，本節(jié)課具在承上啟下的作用，符合學(xué)生的認知規(guī)律。再從本節(jié)的教學(xué)理念看，編者從簡單的幾何圖形入手，蘊含了把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，化未知為已知的思想。充分體現(xiàn)了人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，這一新課程標準精神。

二、學(xué)情分析：

學(xué)生剛學(xué)完三角形的內(nèi)角和，對內(nèi)角和的問題有了一定的認識，加上七年級的學(xué)生具有好奇心，求知欲強，互相評價，互相提問的積極性高。因此對于學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容的知識條件已經(jīng)成熟。學(xué)生參加探索活動的熱情已經(jīng)具備。因此把這節(jié)課設(shè)計成一節(jié)探索活動課是必要的。

三、教學(xué)目標的確定：

新課程標準注重教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，注重學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想像等探索過程。根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識水平，依據(jù)課程標準的要求，我確定了以下的教學(xué)目標。

知識技能：掌握多邊形的內(nèi)角和公式

數(shù)學(xué)思考：

1、通過動手實踐，自主探索，交流互 動，能夠?qū)⒍噙呅蔚膯栴}轉(zhuǎn)化為三角形的問題。從而深刻理解多邊形的內(nèi)角和，并會加以應(yīng)用。

2、通過活動，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，在探索中學(xué)會交流自己的思想和方法。

3、通過探索多邊形內(nèi)角和公式，讓學(xué)生逐步從實驗幾何過渡到論證幾何。

解決問題：通過探索多邊形的內(nèi)角和公式，使學(xué)生嘗試從不同的角度尋求解決問題的方法并能有效的解決問題。

情感態(tài)度：讓學(xué)生體驗猜想得到證實的成功喜悅和成就感。在解題中感受數(shù)學(xué)就在我們身邊。

四、重難點的確立：

既然是多邊形內(nèi)角和具有承上啟下的作用。因此確定本節(jié)課的重點是探究多邊形的內(nèi)角和的公式。由于七年級學(xué)生初學(xué)幾何，所以學(xué)生在幾何的邏輯推理上感到有難度。所以我確定本節(jié)課的難點是探究多邊形內(nèi)角和公式推導(dǎo)的基本思想，而解決問題的關(guān)鍵是教師恰當?shù)囊龑?dǎo)。

對數(shù)的概念

一、教材分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修一（人教A版）》第二章2.2.1，主要學(xué)習(xí)對數(shù)的概念及其運算。對數(shù)與對數(shù)運算是學(xué)生在學(xué)習(xí)了指數(shù)與指數(shù)冪后的又一重要運算，對數(shù)與指數(shù)的互化是對指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的鞏固，也是后續(xù)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課起著承上啟下的重要作用。

二、學(xué)情分析

本節(jié)內(nèi)容面向高一學(xué)生，學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)與指數(shù)冪的運算及指數(shù)函數(shù)，而對數(shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化過來的，所以前面的學(xué)習(xí)為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了一定的鋪墊。學(xué)生已經(jīng)初步具備運用所學(xué)知識解決問題的能力，但本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)對學(xué)生的遷移轉(zhuǎn)化能力有較高的要求。因此，教師要加以一定的指導(dǎo)。

三、教學(xué)目標

四、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

根據(jù)上一節(jié)的例8我們能從中，算出任意一個年頭x的人口總數(shù)，那么哪一年的人口達到18億，20億，30億？

【師生活動】由學(xué)生根據(jù)問題得出計算公式，進而教師引導(dǎo)學(xué)生觀察3個式子，都是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)。由此，教師引出本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的對數(shù)問題。

（二）講授新課

1、對數(shù)的定義

一般地。。

思考：利用對數(shù)寫出上述3個問題的答案。

【師生活動】全體學(xué)生共同回答，教師根據(jù)學(xué)生的回答板書，幫助學(xué)生掌握對數(shù)的概念。【結(jié)論】

提問：為什么對數(shù)的定義中要求a>0且不等于1？

2、兩個重要的對數(shù)

3、對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系

4、對數(shù)的性質(zhì)

提問：是否所有實數(shù)都有對數(shù)？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生將對數(shù)式先轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再進行思考。【結(jié)論】

（三）課堂例題

直線的傾斜角與斜率

教材分析

本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修2（人教A版）》第三章3.1，主要學(xué)習(xí)直線的傾斜角與斜率。直線的傾斜角與斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，是平面直角坐標系內(nèi)以坐標法的方式來研究直線及其幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。本節(jié)課是第三章的第一節(jié)，該節(jié)是學(xué)生學(xué)習(xí)用坐標法研究圖形，研究幾何問題的初步知識，這些知識是初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法。本節(jié)也是后續(xù)學(xué)習(xí)直線的方程、圓錐曲線的基礎(chǔ)。學(xué)情分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，對直線的表示有一定的了解，這為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下了一定的基礎(chǔ)。由于這是學(xué)生第一次接觸直線的傾斜角和斜率，對于兩者之間的轉(zhuǎn)換也有一定的難度，對學(xué)生的問題探究能力也有一定的要求。因此，在課堂中要讓學(xué)生好好理解直線的傾斜角與斜率的概念。教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

在平面直角坐標系中，點用坐標表示，直線如何表示呢？

（二）講授新課

問題1：對于平面直角坐標系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？ 【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩點可以確定一條直線，一點不能確定一條直線。問題2：如圖，在直角坐標系中，過點P的不同直線的區(qū)別在哪里？ 【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)過定點的不同直線，其傾斜程度不同。

圓的標準方程

教材分析

本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修2（人教A版）》第四章4.1.1，主要學(xué)習(xí)圓的標準方程。圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用。圓的方程屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識，是研究二次曲線的開始，是后續(xù)學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線等內(nèi)容的基礎(chǔ)。學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的概念和基本性質(zhì)，在前一階段的學(xué)習(xí)中又掌握了求直線方程的一般方法，為本節(jié)的學(xué)習(xí)打下了一定的基礎(chǔ)。但由于學(xué)生以往更注重從幾何的角度理解圓的性質(zhì)，而且學(xué)習(xí)解析幾何的時間還不長，尚未牢固建立數(shù)形結(jié)合的思想，對坐標法的運用還不夠熟練，在學(xué)習(xí)過程中難免會出現(xiàn)困難。教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的定義，圓是怎么定義的呢？確定一個圓需要哪些條件？ 【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的定義，讓學(xué)生明確確定一個圓的幾何要素是半徑和圓心。

（二）講授新課

問題1：在平面直角坐標系中，圓心在原點，半徑為r的圓如何表示呢？

【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生利用圓的定義，設(shè)出圓上的任意點的坐標，利用圓上的任意點到圓心的距離等于半徑的關(guān)系求出圓的方程?！窘Y(jié)論】

問題2：在平面直角坐標系中，如果圓心不在原點，圓的方程應(yīng)該如何表示呢？ 【師生活動】 【結(jié)論】

直線與平面平行的判定

教材分析

本節(jié)內(nèi)容。。本節(jié)課是在前面學(xué)習(xí)點、線、面的位置關(guān)系基礎(chǔ)上，進一步研究直線與平面的位置關(guān)系。平行關(guān)系是本章的重要內(nèi)容，線面平行是平行關(guān)系的初步，也是面面平行判定的基礎(chǔ)，還映射著線面垂直的關(guān)系。學(xué)情分析

學(xué)生通過對點、線、面位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，初步理解了空間中點、線、面的位置關(guān)系，基本熟悉了直觀感知、操作確認這一研究方法，但對學(xué)生的空間想象能力有一定的要求。

a??，b??，且a//b?a//?.證明：由a??得

a//?或者a???A.下證a???A不可能.若a???A，由a//b，b??，得

A?b.則過點A做c//b，則a//c.又a?c?A，矛盾.?a//?.